यदि a, b, c समान परिमाण के सदिश इस प्रकार हैं | vedclass

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Question

(B) हमारे पास है,$\cos \alpha = \frac{a \cdot b}{|a||b|}, \cos \beta = \frac{b \cdot c}{|b||c|}$ और $\cos \gamma = \frac{c \cdot a}{|c||a|}$.दिया गया

Vedclass · Accepted Answer

$-\frac{3}{2}$

Vedclass · Answer

(B) हमारे पास है,$\cos \alpha = \frac{a \cdot b}{|a||b|}, \cos \beta = \frac{b \cdot c}{|b||c|}$ और $\cos \gamma = \frac{c \cdot a}{|c||a|}$.दिया गया है कि $|a|=|b|=|c|=\lambda$ (जहाँ $\lambda > 0$),इसलिए:$\cos \alpha = \frac{a \cdot b}{\lambda^2}, \cos \beta = \frac{b \cdot c}{\lambda^2}, \cos \gamma = \frac{c \cdot a}{\lambda^2}$.अतः,$\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = \frac{a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a}{\lambda^2} \quad \dots (i)$हम जानते हैं कि $|a+b+c|^2 = (a+b+c) \cdot (a+b+c) = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a)$.चूंकि $|a+b+c|^2 \geq 0$,इसलिए:$|a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) \geq 0$$\lambda^2 + \lambda^2 + \lambda^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) \geq 0$$3\lambda^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) \geq 0$$2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) \geq -3\lambda^2$$a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a \geq -\frac{3}{2}\lambda^2 \quad \dots (ii)$$(ii)$ को $(i)$ में रखने पर:$\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = \frac{a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a}{\lambda^2} \geq \frac{-\frac{3}{2}\lambda^2}{\lambda^2} = -\frac{3}{2}$.इस प्रकार,न्यूनतम मान $-\frac{3}{2}$ है।

यदि $a, b, c$ समान परिमाण के सदिश इस प्रकार हैं कि $(a, b)=\alpha, (b, c)=\beta, (c, a)=\gamma$,तो $\cos \alpha+\cos \beta+\cos \gamma$ का न्यूनतम मान क्या है?

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