यदि $a>0$ और $\left(a x^3+\frac{c}{x}\right)^6$ के विस्तार में $x^2$ का गुणांक $60$ है,तो $a c^2=$

$x$ का एक संभावित मान ज्ञात कीजिए,जिसके लिए $\left\{3^{\log _{3} \sqrt{25^{x-1}+7}}+3^{\left(-\frac{1}{8}\right) \log _{3}\left(5^{x-1}+1\right)}\right\}^{10}$ के विस्तार में $3^{\left(-\frac{1}{8}\right) \log _{3}\left(5^{x-1}+1\right)}$ की बढ़ती घातों में नौवां पद $180$ के बराबर है।

माना $a_n$,$\left[x+\frac{\sin(1/n)}{x^2}\right]^{3n}$ के विस्तार में $x$ से स्वतंत्र पद को दर्शाता है। तो $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n \cdot n!}{^{3n}P_n}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\left(\sqrt[3]{2}+\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\right)^n, n \in N$ के विस्तार में,यदि प्रारंभ से $15^{\text{th}}$ पद और अंत से $15^{\text{th}}$ पद का अनुपात $\frac{1}{6}$ है,तो ${}^n C_3$ का मान ज्ञात कीजिए:

वह अंतराल जिसमें $x$ स्थित होना चाहिए ताकि $(1 - x)^{21}$ के विस्तार में संख्यात्मक रूप से सबसे बड़ा पद संख्यात्मक रूप से सबसे बड़ा गुणांक रखे,है

${\left( {1 + x} \right)^n}{\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^n}$ के विस्तार में $\frac{1}{x}$ का गुणांक है :-