AP EAMCET 2018 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) ધારો કે બે વર્તુળો $C_1$ અને $C_2$ છે.
$C_1: x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ જેનું કેન્દ્ર $O(-g, -f)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{g^2+f^2-c}$ છે.
$C_2: x^2+y^2+2gx+2fy+c \sin^2 \alpha + (g^2+f^2) \cos^2 \alpha = 0$.
$C_2$ ને $(x+g)^2 + (y+f)^2 = g^2+f^2 - c \sin^2 \alpha - (g^2+f^2) \cos^2 \alpha$ તરીકે લખતા.
$r_2^2 = g^2(1-\cos^2 \alpha) + f^2(1-\cos^2 \alpha) - c \sin^2 \alpha = (g^2+f^2-c) \sin^2 \alpha$.
આમ,$r_2 = r_1 \sin \alpha$.
ધારો કે $P$ એ $C_1$ પરનું બિંદુ છે,તેથી $OP = r_1$. ધારો કે $PA$ અને $PB$ એ $P$ માંથી $C_2$ પરના સ્પર્શકો છે.
$\triangle OAP$ માં,$\angle OAP = 90^\circ$.
$\sin(\angle OPA) = \frac{OA}{OP} = \frac{r_2}{r_1} = \frac{r_1 \sin \alpha}{r_1} = \sin \alpha$.
તેથી,$\angle OPA = \alpha$.
સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\angle APB = 2 \angle OPA = 2 \alpha$ થાય.

(C) વર્તુળ $x^2+y^2-4x+2y-5=0$ ના $(3,-4)$ બિંદુએ સ્પર્શકનું સમીકરણ $x-3y-15=0$ મળે છે.
જીવા $AB$ નું મધ્યબિંદુ $(h,k)$ હોય,તો તેનું સમીકરણ $T=S_1$ મુજબ $x(h+8)+y(k+1) = h^2+k^2+8h+k$ મળે.
આ રેખા $x-3y-15=0$ સાથે સરખાવતા,મધ્યબિંદુ $(-6,-7)$ મળે છે જે સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.

(D) ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(h, k)$ છે. બિંદુ $(h, k)$ માંથી વર્તુળ $S=0$ પરના સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{S(h, k)}$ છે.
સ્પર્શકોની લંબાઈ સમાન હોવાથી,ત્રણેય વર્તુળો માટે બિંદુ $P$ ની પાવર સમાન છે.
$S_1(h, k) = S_2(h, k) = S_3(h, k)$.
$S_1 \equiv x^2+y^2-4=0$
$S_2 \equiv x^2+y^2-2x+3y=0$
$S_3 \equiv x^2+y^2+7y-18=0$
$S_1 = S_2$ સરખાવતા:
$x^2+y^2-4 = x^2+y^2-2x+3y$
$2x-3y-4=0$ $(i)$
$S_1 = S_3$ સરખાવતા:
$x^2+y^2-4 = x^2+y^2+7y-18$
$-7y+14=0$
$y=2$
$y=2$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$2x-3(2)-4=0$
$2x-6-4=0$
$2x=10$
$x=5$
આમ,$P$ ના યામ $(5, 2)$ છે.

(A) બે વર્તુળો $S_1=0$ અને $S_2=0$ ની રેડિકલ ધરી $S_1-S_2=0$ દ્વારા મળે છે. પ્રથમ,બીજા વર્તુળને પ્રમાણિત કરો: $x^2+y^2+\frac{3}{2}x+4y+c=0$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(x^2+y^2+2gx+2fy+c) - (x^2+y^2+\frac{3}{2}x+4y+c) = 0$.
આનું સાદું રૂપ $x(2g-\frac{3}{2}) + y(2f-4) = 0$ મળે છે.
વર્તુળ $x^2+y^2+2x+2y+1=0$ ને $(x+1)^2+(y+1)^2=1$ તરીકે લખી શકાય,તેથી તેનું કેન્દ્ર $(-1, -1)$ અને ત્રિજ્યા $1$ છે.
રેડિકલ ધરી આ વર્તુળને સ્પર્શે છે,તેથી કેન્દ્ર $(-1, -1)$ થી રેખા $x(2g-\frac{3}{2}) + y(2f-4) = 0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $1$ જેટલું હોવું જોઈએ.
$\frac{|-(2g-\frac{3}{2})-(2f-4)|}{\sqrt{(2g-\frac{3}{2})^2+(2f-4)^2}} = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(-(2g-\frac{3}{2})-(2f-4))^2 = (2g-\frac{3}{2})^2+(2f-4)^2$.
ધારો કે $A = (2g-\frac{3}{2})$ અને $B = (2f-4)$. તો $(-A-B)^2 = A^2+B^2$,જેનો અર્થ છે $A^2+B^2+2AB = A^2+B^2$,એટલે કે $2AB=0$.
તેથી,$A=0$ અથવા $B=0$.
$2g-\frac{3}{2}=0 \Rightarrow g=\frac{3}{4}$ અથવા $2f-4=0 \Rightarrow f=2$.

(D) ધારો કે વર્તુળ $S$ નું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે. આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f)$ છે.
વર્તુળ બિંદુ $(3,4)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી:
$3^2+4^2+2g(3)+2f(4)+c=0$
$9+16+6g+8f+c=0$
$6g+8f+c+25=0$ ... $(i)$
બે વર્તુળો $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ અને $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ લંબચ્છેદી હોય તો $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ થાય.
અહીં,આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2-36=0$ છે,તેથી $g_2=0, f_2=0, c_2=-36$.
લંબચ્છેદી હોવાની શરત મુજબ:
$2g(0)+2f(0)=c-36$
$0=c-36$,તેથી $c=-36$.
સમીકરણ $(i)$ માં $c=-36$ મૂકતા:
$6g+8f-36+25=0$
$6g+8f-11=0$
ધારો કે વર્તુળ $S$ નું કેન્દ્ર $(x, y)$ છે,જ્યાં $x=-g$ અને $y=-f$. તેથી $g=-x$ અને $f=-y$.
આ કિંમતો $6g+8f-11=0$ માં મૂકતા:
$6(-x)+8(-y)-11=0$
$-6x-8y-11=0$
$6x+8y+11=0$

(B) ધારો કે જરૂરી વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ $(i)$ છે.
વર્તુળ $(3,2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $6g+4f+c+13=0$ $(ii)$.
વર્તુળ $x^2+y^2=15$ ના પરિઘને દુભાગે છે,તેથી સામાન્ય જીવા તેના કેન્દ્ર $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે,એટલે કે $c+15=0$,તેથી $c=-15$ $(iii)$.
વર્તુળ $x^2+y^2+4x+6y+3=0$ ને લંબછેદી રીતે કાપે છે,તેથી $4g+6f=c+3$ $(iv)$.
$c=-15$ મૂકતા,$4g+6f=-12$ એટલે કે $2g+3f=-6$.
સમીકરણ $(ii)$ માં $c=-15$ મૂકતા,$6g+4f=2$ એટલે કે $3g+2f=1$.
આ ઉકેલતા $g=3, f=-4$ મળે છે. તેથી સમીકરણ $x^2+y^2+6x-8y-15=0$ છે.

(A) આપેલા વર્તુળોના સમીકરણો $x^2+y^2+2x+4y-20=0$ અને $x^2+y^2+6x-8y+10=0$ છે.
લંબકોણીયતાની શરત $2g_1g_2+2f_1f_2 = c_1+c_2$ મુજબ,$2(1)(3)+2(2)(-4) = -10$ અને $c_1+c_2 = -10$ મળે છે.
તેથી,વર્તુળો લંબકોણીય રીતે છેદે છે અને બે સામાન્ય સ્પર્શકો ધરાવે છે.
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $2x-6y+15=0$ છે.
કેન્દ્ર $C_1(-1, -2)$ થી જીવાનું અંતર $d = \frac{25}{\sqrt{40}}$ છે.
સામાન્ય જીવાની લંબાઈ $2\sqrt{r_1^2-d^2} = \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ મળે છે.

(D) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે. $(i)$
વર્તુળ $X$-અક્ષને સ્પર્શતું હોવાથી,ત્રિજ્યા એ કેન્દ્રના $y$-યામના માનાંક જેટલી હોય,તેથી $r^2 = f^2$. આમ,$g^2+f^2-c = f^2$,જેનો અર્થ છે કે $c = g^2$. $(ii)$
વર્તુળ $(2,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $4+0+4g+0+c=0$,જે $c = -4g-4$ આપે છે. $(iii)$
$(ii)$ અને $(iii)$ ને સરખાવતા,$g^2 = -4g-4$,તેથી $g^2+4g+4=0$,જેનો અર્થ છે કે $(g+2)^2=0$,તેથી $g=-2$. $g=-2$ ને $(ii)$ માં મૂકતા,$c=(-2)^2=4$ મળે છે.
વર્તુળ $x^2+y^2-2x-2y-2=0$ માટે $g_1=-1, f_1=-1, c_1=-2$ છે. લંબચ્છેદી હોવાની શરત $2g_1g_2+2f_1f_2 = c_1+c_2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $2(-1)(-2) + 2(-1)(f) = -2 + 4$,જેનું સાદું રૂપ $4 - 2f = 2$ થાય છે,તેથી $2f = 2$,જે $f=1$ આપે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (-(-2), -1) = (2, -1)$ છે.

(B) બે વર્તુળો $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ અને $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{d^2-r_1^2-r_2^2}{2r_1r_2}$ છે,જ્યાં $d$ એ કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર છે અને $r_1, r_2$ એ ત્રિજ્યાઓ છે.
વર્તુળ $C_1$ માટે: કેન્દ્ર $(6, 3)$ અને $r_1 = 2$.
વર્તુળ $C_2$ માટે: કેન્દ્ર $(-\frac{k}{2}, -3)$ અને $r_2 = \sqrt{\frac{k^2}{4}+68}$.
અંતર $d^2 = (6+\frac{k}{2})^2 + 36$.
$\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ લેતા,ગણતરી કરતા $k^2 = 16$ મળે છે.
તેથી,$k = \pm 4$ થાય. આમ,$k$ ની કિંમત $-4$ છે.

(A) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2-6x-4y-12=0$ છે.
વર્ગ પૂર્ણ કરતા,$(x-3)^2+(y-2)^2 = 25$ મળે છે.
તેથી,આપેલ વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(3, 2)$ અને તેની ત્રિજ્યા $r_1 = 5$ છે.
ધારો કે વર્તુળ $S$ નું કેન્દ્ર $B$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $r_2 = 5$ છે.
બંને વર્તુળો $P(-1, -1)$ બિંદુએ સ્પર્શે છે. કેન્દ્રો $B$ અને $C$ વચ્ચેનું અંતર $BC = r_1 + r_2 = 5 + 5 = 10$ થાય.
ધારો કે $A$ એ વર્તુળ $C$ પરનું સ્પર્શક બિંદુ છે. $BA$ એ વર્તુળ $C$ નો સ્પર્શક હોવાથી,$\triangle BAC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જ્યાં $\angle BAC = 90^{\circ}$.
$\triangle BAC$ માં,$BC$ કર્ણ છે,$AC$ એ આપેલ વર્તુળની ત્રિજ્યા $(5)$ છે,અને $AB$ એ સ્પર્શકની લંબાઈ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AB^2 + AC^2 = BC^2$.
$AB^2 + 5^2 = 10^2$.
$AB^2 + 25 = 100$.
$AB^2 = 75$.
$AB = \sqrt{75} = 5 \sqrt{3}$.

(B) આપેલ વર્તુળો:
$x^2+y^2-4x-2y+k=0$
કેન્દ્ર $C_1 = (2, 1)$,ત્રિજ્યા $r_1 = 2$
$x^2+y^2-6x-4y+l=0$
કેન્દ્ર $C_2 = (3, 2)$,ત્રિજ્યા $r_2 = 3$
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_1C_2 = \sqrt{(3-2)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \approx 1.414$.
ત્રિજ્યાઓનો સરવાળો $r_1 + r_2 = 2 + 3 = 5$.
ત્રિજ્યાઓનો તફાવત $|r_1 - r_2| = |2 - 3| = 1$.
અહીં $|r_1 - r_2| < C_1C_2 < r_1 + r_2$ (એટલે કે $1 < 1.414 < 5$) હોવાથી,વર્તુળો બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે.
તેથી,સામાન્ય સ્પર્શકોની સંખ્યા $2$ છે.

(D) વર્તુળ $x^2+y^2-2x+4y+4=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (1, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{1^2 + (-2)^2 - 4} = 1$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2+4x-2y+1=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (-2, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 - 1} = 2$ છે.
કેન્દ્રો $C_1$ અને $C_2$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(-2-1)^2 + (1-(-2))^2} = \sqrt{18}$ છે.
સામાન્ય ત્રાંસા સ્પર્શકની લંબાઈ $L = \sqrt{d^2 - (r_1+r_2)^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$L = \sqrt{18 - (1+2)^2} = \sqrt{18 - 9} = \sqrt{9} = 3$.

(B) રેખા $x-2=0$ અને વર્તુળ $x^2+y^2-8x-2y+8=0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળોનું કુળ નીચે મુજબ છે:
$(x^2+y^2-8x-2y+8) + \lambda(x-2) = 0$
$x^2+y^2+(\lambda-8)x-2y+(8-2\lambda) = 0$ ... $(i)$
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-\frac{\lambda-8}{2}, 1)$ છે.
ન્યૂનતમ ત્રિજ્યા માટે,જીવા $AB$ એ વર્તુળનો વ્યાસ હોવો જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે વર્તુળનું કેન્દ્ર રેખા $x-2=0$ પર હોવું જોઈએ.
કેન્દ્રના x-યામને રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$-\frac{\lambda-8}{2} = 2$
$-\lambda+8 = 4$
$\lambda = 4$
$\lambda=4$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$x^2+y^2+(4-8)x-2y+(8-2(4)) = 0$
$x^2+y^2-4x-2y=0$

(C) વર્તુળોના છેદબિંદુઓમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $S_1 + \lambda S_2 = 0$ છે.
$(x^2+y^2+4x+6y-12) + \lambda(x^2+y^2-6x-4y-12) = 0$
લંબચ્છેદવાની શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\lambda$ ની કિંમત મળે છે.
અંતિમ સમીકરણ $x^2+y^2+6x+8y-12=0$ મળે છે.

(B) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે. વર્તુળ $(2, 3)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,તેની ત્રિજ્યા $r$ માટે $r^2 = (h-2)^2 + (k-3)^2$ થાય.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = (h-2)^2 + (k-3)^2$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 - 2hx - 2ky + 4h + 6k - 13 = 0$ થાય.
આ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 12 = 0$ ને લંબચ્છેદી છે.
લંબચ્છેદની શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ છે.
અહીં,$g_1 = -h, f_1 = -k, c_1 = 4h + 6k - 13$ અને $g_2 = 0, f_2 = 0, c_2 = -12$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $2(-h)(0) + 2(-k)(0) = (4h + 6k - 13) - 12$.
$0 = 4h + 6k - 25$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુગણ $4x + 6y - 25 = 0$ મળે છે.

(B) વર્તુળોના સમીકરણો $S_1: x^2+y^2+2x+2y+1=0$ અને $S_2: x^2+y^2+4x+3y+2=0$ છે.
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(x^2+y^2+2x+2y+1) - (x^2+y^2+4x+3y+2) = 0$.
$-2x-y-1=0$,જેનું સાદું રૂપ $2x+y+1=0$ થાય છે.
વર્તુળ $S_1$ નું કેન્દ્ર $(-1, -1)$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{(-1)^2+(-1)^2-1} = 1$ છે.
કેન્દ્ર $(-1, -1)$ થી રેખા $2x+y+1=0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|2(-1)+(-1)+1|}{\sqrt{2^2+1^2}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ છે.
સામાન્ય જીવાની લંબાઈ $2\sqrt{r_1^2-d^2} = 2\sqrt{1-\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ છે.
સામાન્ય જીવા એ માંગેલ વર્તુળનો વ્યાસ છે,તેથી વ્યાસ $D = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
માંગેલ વર્તુળની ત્રિજ્યા $R = \frac{D}{2} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ થાય.

(B) ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(x, y)$ છે. વર્તુળ $S=0$ પરના બિંદુ $(x, y)$ માંથી દોરેલા સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{S}$ છે.
આપેલ વર્તુળો $S_1 \equiv x^2+y^2-4x-6y-12=0$ અને $S_2 \equiv x^2+y^2+6x+18y+26=0$ છે.
સ્પર્શકોની લંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{\sqrt{S_1}}{\sqrt{S_2}} = \frac{2}{3}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{S_1}{S_2} = \frac{4}{9}$,જેનો અર્થ છે કે $9S_1 = 4S_2$.
વર્તુળોના સમીકરણો મૂકતા:
$9(x^2+y^2-4x-6y-12) = 4(x^2+y^2+6x+18y+26)$.
$9x^2+9y^2-36x-54y-108 = 4x^2+4y^2+24x+72y+104$.
$5x^2+5y^2-60x-126y-212 = 0$.
$5$ વડે ભાગતા,$P$ નો બિંદુપથ $x^2+y^2-12x-\frac{126}{5}y-\frac{212}{5}=0$ મળે છે.

(B) આપેલ પરવલય: $y^2+6y-2x+5=0$
$y$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$y^2+6y+9 = 2x-5+9$
$(y+3)^2 = 2(x+2)$
$(y-k)^2 = 4a(x-h)$ સાથે સરખાવતા:
શિરોબિંદુ $(h, k) = (-2, -3)$. જે $(F)$ સાથે બંધ બેસે છે.
$4a = 2 \Rightarrow a = \frac{1}{2}$.
નાભિ $(h+a, k) = (-2+\frac{1}{2}, -3) = (-\frac{3}{2}, -3)$. જે $(A)$ સાથે બંધ બેસે છે.
નિયામિકાનું સમીકરણ: $x = h-a$ $\Rightarrow x = -2-\frac{1}{2}$ $\Rightarrow x = -\frac{5}{2}$ $\Rightarrow 2x+5=0$. જે $(C)$ સાથે બંધ બેસે છે.
અક્ષનું સમીકરણ: $y = k \Rightarrow y+3=0$. જે $(E)$ સાથે બંધ બેસે છે.
આમ,સાચી જોડ $(I-F, II-A, III-C, IV-E)$ છે.

(C) સમક્ષિતિજ અક્ષ ધરાવતા પરવલયનું સમીકરણ $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ છે.
આપેલા બિંદુઓ $(-2, 1)$,$(1, 2)$ અને $(-1, 3)$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(-2, 1)$ માટે: $(1 - k)^2 = 4a(-2 - h) \implies 1 - 2k + k^2 = -8a - 4ah$ $(i)$
$(1, 2)$ માટે: $(2 - k)^2 = 4a(1 - h) \implies 4 - 4k + k^2 = 4a - 4ah$ (ii)
$(-1, 3)$ માટે: $(3 - k)^2 = 4a(-1 - h) \implies 9 - 6k + k^2 = -4a - 4ah$ (iii)
$(i)$ માંથી (ii) બાદ કરતા: $-3 + 2k = -12a \implies 2k = 3 - 12a$ (iv)
(ii) માંથી (iii) બાદ કરતા: $-5 + 2k = 8a$ $(v)$
(iv) ને $(v)$ માં મૂકતા: $(3 - 12a) - 5 = 8a \implies -2 = 20a \implies a = -\frac{1}{10}$.
નાભિલંબની લંબાઈ $|4a| = |4 \times -\frac{1}{10}| = \frac{2}{5}$ થાય.

(B) આપેલ સમીકરણ: $y^2+6y-2x+5=0$
$y$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $(y^2+6y+9) - 9 - 2x + 5 = 0$
$(y+3)^2 = 2x + 4$
$(y+3)^2 = 2(x+2)$
$(y-k)^2 = 4a(x-h)$ સાથે સરખાવતા,શિરોબિંદુ $V(h, k) = (-2, -3)$ મળે છે. જે $F$ સાથે બંધ બેસે છે.
અહીં,$4a = 2$,તેથી $a = \frac{1}{2}$.
નાભિ $(h+a, k) = (-2 + \frac{1}{2}, -3) = (-\frac{3}{2}, -3)$ છે. જે $A$ સાથે બંધ બેસે છે.
નિયામિકાનું સમીકરણ $x = h - a = -2 - \frac{1}{2} = -\frac{5}{2}$ છે,જેનો અર્થ $2x + 5 = 0$ થાય છે. જે $C$ સાથે બંધ બેસે છે.
અક્ષનું સમીકરણ $y = k$ છે,તેથી $y = -3$,જેનો અર્થ $y + 3 = 0$ થાય છે. જે $E$ સાથે બંધ બેસે છે.
આમ,સાચી જોડણી $I-F, II-A, III-C, IV-E$ છે.

(C) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 24x$ છે,જે $y^2 = 4ax$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $4a = 24$,તેથી $a = 6$.
પરવલયની નિયામિકા (directrix) $x = -a$ છે,જે $x = -6$ થાય.
પરવલયના બે લંબ સ્પર્શકોના છેદબિંદુનો બિંદુપથ તેની નિયામિકા છે.
આપણે રેખા $y = 6x + 1$ પરનું એવું બિંદુ $P$ શોધવાનું છે કે જ્યાંથી પરવલય પર દોરેલો સ્પર્શક આપેલી રેખાને લંબ હોય.
બિંદુ $P$ નિયામિકા પર હોવું જોઈએ,તેથી આપણે રેખા $y = 6x + 1$ ના સમીકરણમાં $x = -6$ મૂકીએ.
$y = 6(-6) + 1 = -36 + 1 = -35$.
આમ,બિંદુ $P$ ના યામ $(-6, -35)$ છે.

(B) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે,જ્યાં $a = 1$,નાભિ જીવા $X$-અક્ષ સાથે $\theta = 45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. નાભિ જીવાનો ઢાળ $m_c = \tan(45^{\circ}) = 1$ છે.
ધારો કે નાભિ જીવાના અંત્યબિંદુઓ $P(at_1^2, 2at_1)$ અને $Q(at_2^2, 2at_2)$ છે. નાભિ જીવા હોવાથી,$t_1 t_2 = -1$.
જીવાનો ઢાળ $m_c = \frac{2}{t_1 + t_2} = 1$ છે,જેનો અર્થ છે કે $t_1 + t_2 = 2$.
પરવલય $y^2 = 4ax$ પરના કોઈપણ બિંદુ $t$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $m = -t$ છે.
તેથી,અંત્યબિંદુઓ પરના અભિલંબના ઢાળ $m_1 = -t_1$ અને $m_2 = -t_2$ છે.
આપણે $m_1$ અને $m_2$ દ્વારા સંતોષાતું સમીકરણ શોધવાનું છે. બીજનો સરવાળો $m_1 + m_2 = -(t_1 + t_2) = -2$ છે.
બીજનો ગુણાકાર $m_1 m_2 = (-t_1)(-t_2) = t_1 t_2 = -1$ છે.
$m_1$ અને $m_2$ બીજ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ $m^2 - (m_1 + m_2)m + m_1 m_2 = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $m^2 - (-2)m + (-1) = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $m^2 + 2m - 1 = 0$ થાય છે.

(A) ધારો કે ડબલ ઓર્ડિનેટના અંતિમ બિંદુઓના યામ $A(x_1, y_1)$ અને $B(x_1, -y_1)$ છે.
આપેલ છે કે ડબલ ઓર્ડિનેટની લંબાઈ $AB = 2y_1 = 16$,તેથી $y_1 = 8$.
આમ,યામ $A(x_1, 8)$ અને $B(x_1, -8)$ છે.
બિંદુ $A$ અને $B$ પરવલય $y^2 = 8x$ પર આવેલા હોવાથી,$8^2 = 8x_1$,જે $64 = 8x_1$ આપે છે,તેથી $x_1 = 8$.
$A$ અને $B$ ના યામ $(8, 8)$ અને $(8, -8)$ છે.
ધારો કે $\alpha$ એ $OA$ દ્વારા $X$-અક્ષ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે,જ્યાં $O$ એ શિરોબિંદુ $(0, 0)$ છે.
તેથી $\tan \alpha = \frac{8}{8} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = \frac{\pi}{4}$.
શિરોબિંદુ આગળ ડબલ ઓર્ડિનેટ $AB$ દ્વારા બનતો ખૂણો $2\alpha = 2 \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ છે.

(C) આપેલ પરવલય $y^2 = 6x$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2y \frac{dy}{dx} = 6 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{3}{y}$.
આપેલ સ્પર્શકનું સમીકરણ $5x - 2y + k = 0$ છે,જેને $y = \frac{5}{2}x + \frac{k}{2}$ તરીકે લખી શકાય.
આ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \frac{5}{2}$ છે.
સ્પર્શબિંદુ આગળ સ્પર્શકના ઢાળને વિકલન સાથે સરખાવતા:
$\frac{3}{y} = \frac{5}{2} \Rightarrow y = \frac{6}{5}$.
$y$ ની કિંમત પરવલયના સમીકરણ $y^2 = 6x$ માં મૂકતા:
$\left(\frac{6}{5}\right)^2 = 6x$ $\Rightarrow \frac{36}{25} = 6x$ $\Rightarrow x = \frac{6}{25}$.
આમ,સ્પર્શબિંદુ $\left(\frac{6}{25}, \frac{6}{5}\right)$ છે.

(C) આપેલ પરવલયો $y^2=32x$ $(i)$ અને $2x^2=27y$ (ii) છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$x = \frac{y^2}{32}$ ને (ii) માં મૂકતા:
$2(\frac{y^2}{32})^2 = 27y \implies 2 \cdot \frac{y^4}{1024} = 27y \implies \frac{y^4}{512} = 27y \implies y(y^3 - 512 \cdot 27) = 0$.
તેથી,$y=0$ અથવા $y^3 = (8^3)(3^3) = 24^3$,એટલે કે $y=24$.
$y=24$ માટે,$x = \frac{24^2}{32} = \frac{576}{32} = 18$. તેથી $P = (18, 24)$.
$y^2=32x$ માટે,વિકલન કરતા $2y \frac{dy}{dx} = 32 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{16}{y}$. $P(18, 24)$ આગળ,$m_1 = \frac{16}{24} = \frac{2}{3}$.
$2x^2=27y$ માટે,વિકલન કરતા $4x = 27 \frac{dy}{dx} \implies \frac{dy}{dx} = \frac{4x}{27}$. $P(18, 24)$ આગળ,$m_2 = \frac{4(18)}{27} = \frac{72}{27} = \frac{8}{3}$.
ખૂણા $\theta$ નો ટેન્જન્ટ $\tan \theta = |\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2}| = |\frac{8/3 - 2/3}{1 + (8/3)(2/3)}| = |\frac{6/3}{1 + 16/9}| = |\frac{2}{25/9}| = \frac{18}{25}$ મળે છે.
તેથી,$5\sqrt{\tan \theta} = 5\sqrt{\frac{18}{25}} = 5 \cdot \frac{3\sqrt{2}}{5} = 3\sqrt{2}$.

(A) ધારો કે પરવલય $y^2=4ax$ પરના બિંદુ $P(at^2, 2at)$ આગળનો સ્પર્શક $yt = x + at^2$ છે ... $(i)$.
રેખા $NM$ સ્પર્શકને લંબ છે અને ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનું સમીકરણ $y = -tx$ છે ... (ii).
$N$ શોધવા માટે,$(i)$ માં $y = -tx$ મૂકતા: $t(-tx) = x + at^2 \implies -t^2x - x = at^2 \implies x = -\frac{at^2}{1+t^2}$.
તેથી $y = -t(-\frac{at^2}{1+t^2}) = \frac{at^3}{1+t^2}$. આમ,$N \equiv (-\frac{at^2}{1+t^2}, \frac{at^3}{1+t^2})$.
$M$ શોધવા માટે,$y^2 = 4ax$ માં $y = -tx$ મૂકતા: $(-tx)^2 = 4ax \implies t^2x^2 = 4ax$. $x \neq 0$ હોવાથી,$x = \frac{4a}{t^2}$.
તેથી $y = -t(\frac{4a}{t^2}) = -\frac{4a}{t}$. આમ,$M \equiv (\frac{4a}{t^2}, -\frac{4a}{t})$.
હવે,$ON = \sqrt{(-\frac{at^2}{1+t^2})^2 + (\frac{at^3}{1+t^2})^2} = \frac{at^2}{\sqrt{1+t^2}}$.
અને $OM = \sqrt{(\frac{4a}{t^2})^2 + (-\frac{4a}{t})^2} = \frac{4a}{t^2} \sqrt{1+t^2}$.
તેથી,$ON \cdot OM = \frac{at^2}{\sqrt{1+t^2}} \cdot \frac{4a}{t^2} \sqrt{1+t^2} = 4a^2$.

(D) ધારો કે બિંદુઓ $A$ અને $B$ ના યામ અનુક્રમે $(x_1, \alpha_1)$ અને $(x_2, \alpha_2)$ છે. તેઓ $y^2=4ax$ પર હોવાથી,$\alpha_1^2=4ax_1$ અને $\alpha_2^2=4ax_2$ થાય.
બિંદુ $(x_i, \alpha_i)$ આગળનો સ્પર્શક $y\alpha_i = 2a(x+x_i)$ દ્વારા મળે છે.
$A$ અને $B$ આગળના સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ $(x_3, \alpha_3)$ એ $\alpha_3 = \frac{\alpha_1+\alpha_2}{2}$ દ્વારા મળે છે.
આથી,$2\alpha_3 = \alpha_1+\alpha_2$ થાય.
પદોની ગોઠવણી કરતા,આપણને $\alpha_3-\alpha_2 = \alpha_1-\alpha_3$ મળે છે.

(D) પરવલય $y^2=x$ માટે $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{1}{4m}$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2-6y+4=0$ માટે કેન્દ્ર $(0, 3)$ અને ત્રિજ્યા $\sqrt{5}$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $mx - y + \frac{1}{4m} = 0$ છે.
કેન્દ્રથી સ્પર્શકનું લંબઅંતર ત્રિજ્યા જેટલું થાય: $\frac{|-3 + \frac{1}{4m}|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{5}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$m = 1/2$ મળે છે.
તેથી,સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$ એટલે કે $x - 2y + 1 = 0$ થાય.

(A) પરવલયની અક્ષ એ નાભિ $S(1,-1)$ અને શિરોબિંદુ $A(1,1)$ માંથી પસાર થતી રેખા છે. $x$-યામ સમાન હોવાથી,અક્ષ એ શિરોલંબ રેખા $x=1$ છે.
શિરોબિંદુ $A(1,1)$ અને નાભિ $S(1,-1)$ વચ્ચેનું અંતર $a = \sqrt{(1-1)^2 + (1 - (-1))^2} = 2$ છે.
શિરોબિંદુ નાભિની ઉપર હોવાથી,પરવલય નીચેની તરફ ખુલે છે. નિયામિકા એ શિરોબિંદુ $A(1,1)$ થી $a=2$ અંતરે ઉપર આવેલી આડી રેખા છે.
નિયામિકાનું સમીકરણ $y = 1 + 2 = 3$ છે.
પરવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,તેના પરના કોઈપણ બિંદુ $P(x,y)$ માટે,નાભિથી અંતર એ નિયામિકાથી અંતર જેટલું હોય છે: $PS^2 = PM^2$.
$(x-1)^2 + (y+1)^2 = (y-3)^2$.
$(x-1)^2 + y^2 + 2y + 1 = y^2 - 6y + 9$.
$(x-1)^2 = -8y + 8 = 8(1-y)$.
વિકલ્પ $A$ તપાસતા: $\left(3, \frac{1}{2}\right)$ માટે,$(3-1)^2 = 2^2 = 4$ અને $8(1 - \frac{1}{2}) = 8(\frac{1}{2}) = 4$.
આમ $4=4$ હોવાથી,બિંદુ $\left(3, \frac{1}{2}\right)$ પરવલય પર આવેલું છે.

(C) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4x$ છે,તેથી $a = 1$.
બિંદુ $(-2, -1)$ પરવલયની બહાર આવેલું છે કારણ કે $(-1)^2 - 4(-2) = 9 > 0$.
$m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{a}{m}$ છે.
$a = 1$ અને બિંદુ $(-2, -1)$ મુકતા,$-1 = -2m + \frac{1}{m}$ મળે.
$m$ વડે ગુણતા,$-m = -2m^2 + 1$,એટલે કે $2m^2 - m - 1 = 0$.
અવયવ પાડતા,$(2m + 1)(m - 1) = 0$,તેથી ઢાળ $m_1 = 1$ અને $m_2 = -1/2$ મળે.
સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}|$.
$\tan \theta = |\frac{1 - (-1/2)}{1 + (1)(-1/2)}| = 3$.
$\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} = \frac{2(3)}{1 - 3^2} = \frac{6}{-8} = -\frac{3}{4}$.

(D) આપેલ પદાવલિ $(2a - 3b)^{19}$ છે.
$a = \frac{1}{4}$ અને $b = \frac{2}{3}$ મૂકતા:
$2a = 2(\frac{1}{4}) = \frac{1}{2}$
$3b = 3(\frac{2}{3}) = 2$
તેથી,પદાવલિ $(\frac{1}{2} - 2)^{19} = (\frac{1}{2})^{19}(1 - 4)^{19}$ બને છે.
ધારો કે $(x+y)^n$ ના વિસ્તરણમાં $T_r$ એ $r$-મું પદ છે. સંખ્યાત્મક રીતે સૌથી મોટું પદ $T_{r+1}$ એ શરત $r \le \frac{(n+1)|y|}{|x|+|y|}$ નું પાલન કરે છે.
અહીં $n=19$,$x=1$,$y=-4$.
$r \le \frac{(19+1)|-4|}{|1|+|-4|} = \frac{20 \times 4}{5} = 16$.
કારણ કે $r=16$ એ પૂર્ણાંક છે,તેથી $T_{16}$ અને $T_{17}$ બંને સંખ્યાત્મક રીતે સૌથી મોટા પદ છે.
$T_{17} = ^{19}C_{16} (\frac{1}{2})^{19-16} (-2)^{16} = ^{19}C_3 (\frac{1}{2})^3 (2^{16}) = ^{19}C_3 \cdot 2^{-3} \cdot 2^{16} = ^{19}C_3 \cdot 2^{13}$.

(A) $\left(a x^3+\frac{c}{x}\right)^6$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ નીચે મુજબ છે:
$T_{r+1} = { }^6 C_r (a x^3)^{6-r} \left(\frac{c}{x}\right)^r$
$= { }^6 C_r a^{6-r} c^r x^{18-3r-r} = { }^6 C_r a^{6-r} c^r x^{18-4r}$
$x^2$ ના સહગુણક માટે,આપણે $x$ ના ઘાતાંકને $2$ તરીકે લઈએ છીએ:
$18-4r = 2$ $\Rightarrow 4r = 16$ $\Rightarrow r = 4$
સહગુણકના પદમાં $r=4$ મૂકતા:
${ }^6 C_4 a^{6-4} c^4 = 60$
$15 a^2 c^4 = 60$
$a^2 c^4 = 4$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$a c^2 = \pm 2$
કારણ કે $a > 0$,તેથી $a c^2 = 2$.

(B) $\left(x^4-\frac{1}{x^3}\right)^{15}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = \binom{15}{r} (x^4)^{15-r} (-x^{-3})^r = \binom{15}{r} (-1)^r x^{60-7r}$ છે.
$x^{32}$ ના સહગુણક માટે,$60-7r = 32$ લેતા,$7r = 28$,તેથી $r = 4$.
સહગુણક $\binom{15}{4} (-1)^4 = 1365$ છે.
$x^{-31}$ ના સહગુણક માટે,$60-7r = -31$ લેતા,$7r = 91$,તેથી $r = 13$.
સહગુણક $\binom{15}{13} (-1)^{13} = -105$ છે.
સહગુણકોનો સરવાળો $1365 - 105 = 1260$ થાય.

(C) ધારો કે $P(x) = \prod_{k=0}^{15} (1-2^k x)$.
આપણે આ ગુણાકારમાં $x^{15}$ નો સહગુણક શોધવો છે.
આ $q$-દ્વિપદી પ્રમેય સાથે સંબંધિત એક જાણીતી ઓળખ છે,જ્યાં $\prod_{k=0}^{n-1} (1-q^k x)$ માં $x^n$ નો સહગુણક $(-1)^n q^{n(n-1)/2}$ થાય છે.
અહીં,$n=15$ અને $q=2$ છે.
ગુણાકાર $\prod_{k=0}^{15} (1-2^k x) = (1-x)(1-2x)(1-4x)\ldots(1-2^{15}x)$ છે.
$x^{15}$ નો સહગુણક $(-1)^{15} \sum_{j=0}^{15} \frac{\prod_{k=0}^{15} 2^k}{2^j} = -2^{120} \sum_{j=0}^{15} 2^{-j} = -2^{120} (2 - 2^{-15}) = 2^{105} - 2^{121}$ થાય છે.

(D) $(3^{1/4} + 7^{1/6})^{144}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1}$ નીચે મુજબ છે:
$T_{r+1} = {}^{144}C_r (3)^{(144-r)/4} (7)^{r/6}$
પદ સંમેય હોવા માટે,$3$ અને $7$ ના ઘાતાંક પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ.
તેથી,$(144-r)/4$ પૂર્ણાંક હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $r$ એ $4$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
તે જ રીતે,$r/6$ પૂર્ણાંક હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $r$ એ $6$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
તેથી,$r$ એ $\text{lcm}(4, 6) = 12$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
$0 \le r \le 144$ હોવાથી,$r$ ની શક્ય કિંમતો $0, 12, 24, \dots, 144$ છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે જ્યાં $a = 0$,$d = 12$,અને છેલ્લું પદ $l = 144$ છે.
સૂત્ર $l = a + (n-1)d$ નો ઉપયોગ કરતા:
$144 = 0 + (n-1)12$
$12 = n - 1$
$n = 13$
આમ,કુલ $13$ સંમેય પદો છે.

(D) ધારો કે $P(n) = (15 \times 5^{2n}) + (2 \times 2^{3n})$.
$n = 1$ માટે,આપણને મળે છે:
$P(1) = (15 \times 5^2) + (2 \times 2^3) = (15 \times 25) + (2 \times 8) = 375 + 16 = 391$.
હવે,$391$ ને આપેલા વિકલ્પો વડે ભાગતા:
$391 / 17 = 23$.
આમ,$391$ એ $17$ વડે વિભાજ્ય છે,તેથી $(15 \times 5^{2n}) + (2 \times 2^{3n})$ એ તમામ $n \in N$ માટે $17$ વડે વિભાજ્ય છે.

(C) $(\sqrt[4]{5}+\sqrt[5]{4})^{100}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ નીચે મુજબ છે:
$T_{r+1} = {}^{100}C_r (5^{1/4})^{100-r} (4^{1/5})^r$
$T_{r+1} = {}^{100}C_r 5^{\frac{100-r}{4}} 4^{\frac{r}{5}}$
પદ સંમેય હોય તે માટે $5$ અને $4$ ના ઘાતાંક પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ.
આમ,$\frac{100-r}{4}$ પૂર્ણાંક હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $r$ એ $4$ નો ગુણક હોવો જોઈએ (એટલે કે $r \in \{0, 4, 8, \dots, 100\}$).
વળી,$\frac{r}{5}$ પૂર્ણાંક હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $r$ એ $5$ નો ગુણક હોવો જોઈએ (એટલે કે $r \in \{0, 5, 10, \dots, 100\}$).
તેથી,$r$ એ $\text{lcm}(4, 5) = 20$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
$r$ માટે શક્ય કિંમતો $0, 20, 40, 60, 80, 100$ છે.
આ કિંમતો ગણતા,આપણને $6$ પદો મળે છે.
આમ,સંમેય પદોની સંખ્યા $6$ છે.

(C) નિત્યસમ ${ }^{n}C_{r} + { }^{n}C_{r-1} = { }^{n+1}C_{r}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદાવલિને આ રીતે લખી શકીએ:
${ }^{34}C_{10} + { }^{34}C_{9} + 2 \cdot { }^{34}C_{9} + 2 \cdot { }^{34}C_{8} + { }^{34}C_{8} + { }^{34}C_{7} = $
$({ }^{34}C_{10} + { }^{34}C_{9}) + 2({ }^{34}C_{9} + { }^{34}C_{8}) + ({ }^{34}C_{8} + { }^{34}C_{7}) = $
${ }^{35}C_{10} + 2 \cdot { }^{35}C_{9} + { }^{35}C_{8} = $
${ }^{35}C_{10} + { }^{35}C_{9} + { }^{35}C_{9} + { }^{35}C_{8} = $
${ }^{36}C_{10} + { }^{36}C_{9} = { }^{37}C_{10}$

(A) ધારો કે $S = C_0 + C_4 + C_8 + C_{12} + \ldots$
$(1+x)^n = \sum_{r=0}^n C_r x^r$ વિસ્તરણ ધ્યાનમાં લો.
એકમના ચતુર્થ મૂળ $\omega = i$ લો. મૂળ $1, i, -1, -i$ છે.
એકમના મૂળના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\sum_{k=0}^3 (1 + \omega^k x)^n = \sum_{r=0}^n C_r x^r \sum_{k=0}^3 (\omega^r)^k$.
જો $r$ એ $4$ નો ગુણક હોય તો આંતરિક સરવાળો $\sum_{k=0}^3 (\omega^r)^k = 4$ થાય,અન્યથા $0$ થાય.
તેથી,$4S = (1+1)^n + (1+i)^n + (1-1)^n + (1-i)^n = 2^n + (1+i)^n + 0^n + (1-i)^n$.
$(1+i) = \sqrt{2} e^{i \pi/4}$ અને $(1-i) = \sqrt{2} e^{-i \pi/4}$ હોવાથી,
$(1+i)^n + (1-i)^n = 2^{n/2} (e^{i n \pi/4} + e^{-i n \pi/4}) = 2^{n/2} \cdot 2 \cos \frac{n \pi}{4} = 2^{n/2+1} \cos \frac{n \pi}{4}$.
તેથી,$4S = 2^n + 2^{n/2+1} \cos \frac{n \pi}{4}$.
$S = \frac{2^n}{4} + \frac{2^{n/2+1}}{4} \cos \frac{n \pi}{4} = 2^{n-2} + 2^{n/2-1} \cos \frac{n \pi}{4}$.
આને $\frac{2^{n/2} [\cos \frac{n \pi}{4} + 2^{n/2-1}]}{2}$ તરીકે લખી શકાય.

(C) ધારો કે $S = \sum_{k=1}^{101} k x^{k-1} (1+x)^{101-k}$.
આ એક અંકગણિતીય-ભૌમિતિક શ્રેણી છે.
$S$ ને $\frac{x}{1+x}$ વડે ગુણતા અને બાદબાકી કરતા,આપણને મળે છે:
$S(\frac{1}{1+x}) = (1+x)^{101} - x^{101} - 101 \frac{x^{101}}{1+x}$.
તેથી,$S = (1+x)^{102} - x^{102} - 102 x^{101}$.
$(1+x)^{102}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{50}$ નો સહગુણક $^{102}C_{50}$ છે.

(C) આપણી પાસે $(1+x-x^2-x^3)^{11}$ પદાવલિ છે.
કૌંસની અંદરની પદાવલિના અવયવો પાડતા:
$(1+x-x^2-x^3) = 1(1+x) - x^2(1+x) = (1-x^2)(1+x) = (1-x)(1+x)(1+x) = (1-x)(1+x)^2$.
આમ,પદાવલિ $((1-x)(1+x)^2)^{11} = (1-x)^{11}(1+x)^{22}$ બને છે.
આપણે $(1-x)^{11}(1+x)^{22}$ ના વિસ્તરણમાં $x^4$ નો સહગુણક શોધવાનો છે.
$(1-x)^{11} = \sum_{r=0}^{11} (-1)^r {}^{11}C_r x^r$ અને $(1+x)^{22} = \sum_{k=0}^{22} {}^{22}C_k x^k$.
$x^4$ નો સહગુણક $\sum_{r=0}^4 (-1)^r {}^{11}C_r \cdot {}^{22}C_{4-r}$ દ્વારા મળે છે.
$= {}^{11}C_0 \cdot {}^{22}C_4 - {}^{11}C_1 \cdot {}^{22}C_3 + {}^{11}C_2 \cdot {}^{22}C_2 - {}^{11}C_3 \cdot {}^{22}C_1 + {}^{11}C_4 \cdot {}^{22}C_0$.
$= 1 \cdot 7315 - 11 \cdot 1540 + 55 \cdot 231 - 165 \cdot 22 + 330 \cdot 1$.
$= 7315 - 16940 + 12705 - 3630 + 330 = -220$.

(B) દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+u)^n \approx 1+nu$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sqrt{4+x} = 2(1+\frac{x}{4})^{\frac{1}{2}} \approx 2(1+\frac{x}{8}) = 2+\frac{x}{4}$
$\sqrt[3]{8-x} = 2(1-\frac{x}{8})^{\frac{1}{3}} \approx 2(1-\frac{x}{24}) = 2-\frac{x}{12}$
$(1-\frac{2x}{3})^{-\frac{3}{2}} \approx 1+(-\frac{3}{2})(-\frac{2x}{3}) = 1+x$
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{(2+\frac{x}{4})+(2-\frac{x}{12})}{1} \times (1+x) = (4+\frac{3x-x}{12})(1+x) = (4+\frac{x}{6})(1+x)$
$x^2$ વાળા પદોને અવગણતા:
$4+4x+\frac{x}{6} = 4+\frac{25x}{6}$
$x=\frac{6}{25}$ મૂકતા:
$4+\frac{25}{6} \times \frac{6}{25} = 4+1 = 5$

(A) આપેલ શ્રેણી $x = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n+1)}{4 \cdot 8 \cdot \ldots \cdot 4n}$ છે.
આને $x = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \ldots \cdot \frac{2n+1}{2}}{n!} \left(\frac{1}{2}\right)^n$ તરીકે લખી શકાય.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1-y)^{-n} = 1 + ny + \frac{n(n+1)}{2!}y^2 + \ldots$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $x = \sqrt{2} - 5/4$ મળે છે.
હવે,$2x^2 + 5x$ ની ગણતરી કરતા:
$2x^2 = 4 + 25/8 - 5\sqrt{2}$.
$5x = 5\sqrt{2} - 25/4$.
સરવાળો કરતા: $2x^2 + 5x = 4 - 25/8 = 7/8$.

(C) ધારો કે $S = \frac{1}{4} - \frac{5}{4 \cdot 8} + \frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 8 \cdot 12} - \ldots$
$3$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$S = \frac{1}{3} \left( \frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 8} + \frac{3 \cdot 5 \cdot 7}{4 \cdot 8 \cdot 12} - \ldots \right)$
આપણે જાણીએ છીએ કે દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+x)^{-n} = 1 - nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 - \frac{n(n+1)(n+2)}{3!}x^3 + \ldots$
કૌંસની અંદરની શ્રેણીને વિસ્તરણ સાથે સરખાવતા,આપણે $n = \frac{3}{2}$ અને $x = \frac{1}{2}$ લઈએ છીએ.
શ્રેણી $1 - \frac{3}{2}(\frac{1}{2}) + \frac{\frac{3}{2} \cdot \frac{5}{2}}{2!}(\frac{1}{2})^2 - \ldots$ એ $(1 + \frac{1}{2})^{-3/2}$ ને અનુરૂપ છે.
આપણી શ્રેણી બીજા પદથી શરૂ થતી હોવાથી:
$\frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 8} + \ldots = 1 - (1 + \frac{1}{2})^{-3/2} = 1 - (\frac{3}{2})^{-3/2} = 1 - (\frac{2}{3})^{3/2} = 1 - \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}$.
આ કિંમત $S$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$S = \frac{1}{3} \left( \frac{3\sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}} \right) = \frac{3\sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{9\sqrt{3}}$.

(B) આપેલ શ્રેણી $\alpha = \sum_{k=2}^{\infty} \frac{5 \times 7 \times \ldots \times (2k+1)}{k! \times 3^{k-1}}$ છે.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(\alpha+2)^2 = 27$ મળે છે.
તેથી,$\alpha^2 + 4\alpha + 4 = 27$.
આમ,$\alpha^2 + 4\alpha = 23$.

(C) આપેલ પદાવલિ $f(x) = \frac{x^2-1}{(x^2+1)(x^2+2)}$ છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = \frac{1}{2} (x^2-1) (1+x^2)^{-1} (1+\frac{x^2}{2})^{-1}$
શ્રેણીનું વિસ્તરણ કરતા:
$(1+x^2)^{-1} = 1-x^2+x^4 - \dots$
$(1+\frac{x^2}{2})^{-1} = 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4} - \dots$
બંને શ્રેણીનો ગુણાકાર:
$(1-x^2+x^4)(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4}) = 1 - \frac{3}{2}x^2 + \frac{7}{4}x^4$
હવે $\frac{1}{2}(x^2-1)$ સાથે ગુણતા:
$\frac{1}{2}(x^2-1)(1 - \frac{3}{2}x^2 + \frac{7}{4}x^4) = \frac{1}{2} [-1 + \frac{5}{2}x^2 - \frac{13}{4}x^4]$
આમ,$x^4$ નો સહગુણક $\frac{1}{2} \times (-\frac{13}{4}) = -\frac{13}{8}$ મળે છે.

(B) આપેલ $\frac{x^4}{(x-1)^2(x+1)}$ માટે બહુપદી ભાગાકાર કરતા: $x+1 + \frac{2x+1}{(x-1)(x+1)}$ મળે છે.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીત વાપરતા $A=1, B=1, P=\frac{3}{2}, Q=0, R=\frac{1}{2}$ મળે છે.
તેથી $2AP-BQ+R = 2(1)(\frac{3}{2}) - (1)(0) + \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$.

(D) ધારો કે બિંદુ $(x, y) = (2 \cos \theta-3, 3 \sin \theta-4)$ છે.
આથી,$\cos \theta = \frac{x+3}{2}$ અને $\sin \theta = \frac{y+4}{3}$ મળે.
નિત્યસમ $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\frac{x+3}{2})^2 + (\frac{y+4}{3})^2 = 1$
$\frac{x^2+6x+9}{4} + \frac{y^2+8y+16}{9} = 1$
છેદ દૂર કરવા માટે $36$ વડે ગુણતા:
$9(x^2+6x+9) + 4(y^2+8y+16) = 36$
$9x^2 + 54x + 81 + 4y^2 + 32y + 64 = 36$
$9x^2 + 4y^2 + 54x + 32y + 145 - 36 = 0$
$9x^2 + 4y^2 + 54x + 32y + 109 = 0$.

(B) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $9x^2+4y^2-18x-8y-23=0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$9(x-1)^2 + 4(y-1)^2 = 36$
$36$ વડે ભાગતા:
$\frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(y-1)^2}{9} = 1$.
અહીં $a^2=4$ અને $b^2=9$ છે. તેથી મુખ્ય અક્ષ શિરોલંબ છે.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
નાભિઓ $(h, k \pm be)$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $(h, k) = (1, 1)$.
નાભિઓ $= (1, 1 \pm \sqrt{5})$.
નાભિલંબના સમીકરણો $y = 1 \pm \sqrt{5}$ છે.

(B) આપેલ છે કે શિરોબિંદુ $V = (6, 1)$ અને નાભિ $S = (4, 1)$ છે. $y$-યામ સમાન હોવાથી,મુખ્ય અક્ષ આડી છે.
શિરોબિંદુ અને નાભિ વચ્ચેનું અંતર $a - ae = |6 - 4| = 2$ છે.
$e = \frac{3}{5}$ આપેલ હોવાથી,$a(1 - e) = 2$ $\Rightarrow a(1 - \frac{3}{5}) = 2$ $\Rightarrow a(\frac{2}{5}) = 2$ $\Rightarrow a = 5$.
કેન્દ્ર $(h, k)$ એ $y = 1$ રેખા પર છે. કેન્દ્રથી શિરોબિંદુનું અંતર $a = 5$ છે. શિરોબિંદુ $(6, 1)$ પર અને નાભિ $(4, 1)$ પર હોવાથી,કેન્દ્ર $(6 - 5, 1) = (1, 1)$ થશે.
હવે,$b^2 = a^2(1 - e^2) = 25(1 - \frac{9}{25}) = 25(\frac{16}{25}) = 16$.
આમ,ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{(x-1)^2}{25} + \frac{(y-1)^2}{16} = 1$ છે.

(B) ધારો કે ચાર બિંદુઓના સ્થાન સદિશો $A = 2a + 3b - c$,$B = a - 2b + 3c$,$C = 3a + 4b - 2c$,અને $D = ka - 6b + 6c$ છે.
બિંદુઓ $A, B, C, D$ સમતલીય છે જો સદિશો $\vec{AB}$,$\vec{AC}$,અને $\vec{AD}$ સમતલીય હોય,જેનો અર્થ છે કે તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = 0$.
સદિશોની ગણતરી કરીએ:
$\vec{AB} = B - A = -a - 5b + 4c$
$\vec{AC} = C - A = a + b - c$
$\vec{AD} = D - A = (k-2)a - 9b + 7c$
સમતલીયતા માટેની શરત નિશ્ચાયક દ્વારા:
$\begin{vmatrix} -1 & -5 & 4 \\ 1 & 1 & -1 \\ k-2 & -9 & 7 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$-1(7 - 9) + 5(7 - (-k+2)) + 4(-9 - (k-2)) = 0$
$2 + 5(5+k) + 4(-7-k) = 0$
$2 + 25 + 5k - 28 - 4k = 0$
$k - 1 = 0 \Rightarrow k = 1$.

(C) સદિશ $m$ એ $(2 \hat{i}+\hat{j})$ અને $(\hat{j}-\hat{k})$ સાથે એક જ સમતલમાં છે.
તેથી,$m = x(2 \hat{i}+\hat{j}) + y(\hat{j}-\hat{k}) = 2x \hat{i} + (x+y) \hat{j} - y \hat{k}$.
કારણ કે $m$ એ $\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ ને લંબ છે,તેથી:
$2x - (x+y) - y = 0 \Rightarrow x - 2y = 0 \Rightarrow x = 2y$.
$x = 2y$ ને $m$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$m = 2(2y) \hat{i} + (2y+y) \hat{j} - y \hat{k} = 4y \hat{i} + 3y \hat{j} - y \hat{k}$.
$m$ એ એકમ સદિશ હોવાથી,$|m| = 1$:
$\sqrt{(4y)^2 + (3y)^2 + (-y)^2} = 1 \Rightarrow \sqrt{16y^2 + 9y^2 + y^2} = 1 \Rightarrow \sqrt{26y^2} = 1 \Rightarrow y = \pm \frac{1}{\sqrt{26}}$.
આમ,$m = \pm \frac{1}{\sqrt{26}}(4 \hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k})$.
ઉગમબિંદુથી સમતલ $r \cdot m = a \cdot m$ પરના લંબની લંબાઈ $|a \cdot m|$ છે.
$|a \cdot m| = |(\hat{i}-\hat{k}) \cdot \pm \frac{1}{\sqrt{26}}(4 \hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k})| = \frac{1}{\sqrt{26}} |(1)(4) + (0)(3) + (-1)(-1)| = \frac{1}{\sqrt{26}} |4+1| = \frac{5}{\sqrt{26}}$ એકમ.

(B) ધારો કે બિંદુઓના સ્થાન સદિશો $A = 2a+3b-c$,$B = 3a+4b-2c$,$C = a-2b+3c$,અને $D = a-6b+6c$ છે.
$A$ અને $B$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સદિશ સમીકરણ $r = A + t(B-A)$ છે,જ્યાં $t \in R$.
$r = (2a+3b-c) + t((3a+4b-2c) - (2a+3b-c))$
$r = (2a+3b-c) + t(a+b-c) = (2+t)a + (3+t)b + (-1-t)c$ ... $(i)$
$C$ અને $D$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સદિશ સમીકરણ $r = C + s(D-C)$ છે,જ્યાં $s \in R$.
$r = (a-2b+3c) + s((a-6b+6c) - (a-2b+3c))$
$r = (a-2b+3c) + s(0a-4b+3c) = (1)a + (-2-4s)b + (3+3s)c$ ... (ii)
રેખાઓ છેદતી હોવાથી,આપણે $a, b, c$ ના સહગુણકોને સરખાવીએ છીએ કારણ કે $a, b, c$ અસમતલીય છે:
$a$ માટે: $2+t = 1 \Rightarrow t = -1$.
$b$ માટે: $3+t = -2-4s \Rightarrow 3-1 = -2-4s \Rightarrow 2 = -2-4s \Rightarrow 4s = -4 \Rightarrow s = -1$.
$c$ માટે ચકાસણી: $-1-t = 3+3s \Rightarrow -1-(-1) = 3+3(-1) \Rightarrow 0 = 0$. આ સુસંગત છે.
સમીકરણ $(i)$ માં $t = -1$ મૂકતા:
$r = (2-1)a + (3-1)b + (-1-(-1))c = a + 2b + 0c = a+2b$.
આમ,છેદબિંદુ $a+2b$ છે.

(C) આપેલ છે કે $a$ અને $b$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|a| = 1$ અને $|b| = 1$.
કારણ કે $a+b$ એક એકમ સદિશ છે,તેથી $|a+b| = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $|a+b|^2 = 1^2 = 1$ મળે છે.
નિત્યસમ $|a+b|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $1 + 1 + 2(a \cdot b) = 1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $2(a \cdot b) = -1$,તેથી $a \cdot b = -1/2$.
હવે,આપણે $|a-b|^2$ શોધવાની જરૂર છે.
નિત્યસમ $|a-b|^2 = |a|^2 + |b|^2 - 2(a \cdot b)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીતી કિંમતો મૂકીએ:
$|a-b|^2 = 1^2 + 1^2 - 2(-1/2) = 1 + 1 + 1 = 3$.

(A) ધારો કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ એ શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો છે.
$D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$D$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{d} = \frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}$ છે.
$E$ એ $CA$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$E$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{e} = \frac{\vec{c}+\vec{a}}{2}$ છે.
હવે,$\vec{AD} = \vec{d} - \vec{a} = \frac{\vec{b}+\vec{c}}{2} - \vec{a} = \frac{\vec{b}+\vec{c}-2\vec{a}}{2}$.
અને $\vec{EB} = \vec{b} - \vec{e} = \vec{b} - \frac{\vec{c}+\vec{a}}{2} = \frac{2\vec{b}-\vec{c}-\vec{a}}{2}$.
આ બંનેનો સરવાળો કરતા,$\vec{AD} + \vec{EB} = \frac{\vec{b}+\vec{c}-2\vec{a} + 2\vec{b}-\vec{c}-\vec{a}}{2} = \frac{3\vec{b}-3\vec{a}}{2} = \frac{3}{2}(\vec{b}-\vec{a}) = \frac{3}{2} \vec{AB}$.
તેથી,$2(\vec{AD}+\vec{EB}) = 2 \times \frac{3}{2} \vec{AB} = 3 \vec{AB}$.

(C) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{a} = \bar{i}+\bar{j}+\bar{k}$,$\vec{b} = \bar{i}+2\bar{j}+3\bar{k}$,અને $\vec{c} = 2\bar{i}-\bar{j}+\bar{k}$ છે.
$A$ માંથી પસાર થતો વેધ બાજુ $BC$ ને લંબ છે.
$BC$ ની દિશાનો સદિશ $\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = (2-1)\bar{i} + (-1-2)\bar{j} + (1-3)\bar{k} = \bar{i} - 3\bar{j} - 2\bar{k}$ છે.
ધારો કે વેધની દિશાનો સદિશ $\vec{n}$ છે. વેધ $BC$ ને લંબ હોવાથી,$\vec{n}$ એ $\vec{BC}$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
વળી,વેધ $\triangle ABC$ ના સમતલમાં હોવાથી,તે સમતલના અભિલંબ $\vec{N} = \vec{AB} \times \vec{AC}$ ને પણ લંબ છે.
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = 0\bar{i} + \bar{j} + 2\bar{k}$.
$\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = \bar{i} - 2\bar{j} + 0\bar{k}$.
$\vec{N} = \vec{AB} \times \vec{AC} = 4\bar{i} + 2\bar{j} - \bar{k}$.
વેધની દિશા $\vec{v} = \vec{N} \times \vec{BC} = -7\bar{i} + 7\bar{j} - 14\bar{k}$ મળે છે.
આ દિશાને $-7$ વડે ભાગતા,આપણને $\bar{i} - \bar{j} + 2\bar{k}$ મળે છે.
તેથી,$A$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\bar{r} = \vec{a} + t\vec{v} = (\bar{i}+\bar{j}+\bar{k}) + t(\bar{i}-\bar{j}+2\bar{k})$ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ છે કે,$|\vec{a}|=3, |\vec{b}|=5, |\vec{c}|=7$.
કારણ કે $\vec{a} \perp (\vec{b}+\vec{c})$,તેથી $\vec{a} \cdot (\vec{b}+\vec{c}) = 0$,જે સૂચવે છે કે $\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} = 0 \dots (i)$.
તે જ રીતે,$\vec{b} \cdot (\vec{c}+\vec{a}) = 0 \implies \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{a} = 0 \dots (ii)$.
અને $\vec{c} \cdot (\vec{a}+\vec{b}) = 0 \implies \vec{c} \cdot \vec{a} + \vec{c} \cdot \vec{b} = 0 \dots (iii)$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0, \vec{b} \cdot \vec{c} = 0, \text{ અને } \vec{c} \cdot \vec{a} = 0$ મળે છે.
હવે,$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a})$.
કિંમતો મૂકતા,$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 = 3^2 + 5^2 + 7^2 + 2(0 + 0 + 0) = 9 + 25 + 49 = 83$.
અંતે,$\sqrt{|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 - 2} = \sqrt{83 - 2} = \sqrt{81} = 9$.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$ છે.
પદાવલિ $E = |\vec{a}-\vec{b}|^2+|\vec{b}-\vec{c}|^2+|\vec{c}-\vec{a}|^2$ ને ધ્યાનમાં લો.
તેનું વિસ્તરણ કરતા,$E = (\vec{a}^2 + \vec{b}^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b}) + (\vec{b}^2 + \vec{c}^2 - 2\vec{b} \cdot \vec{c}) + (\vec{c}^2 + \vec{a}^2 - 2\vec{c} \cdot \vec{a})$ મળે.
$|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$ હોવાથી,આ $E = 6 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a})$ માં પરિણમે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 \geq 0$,જેનો અર્થ છે કે $|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) \geq 0$.
માન મૂકતા,$3 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) \geq 0$,તેથી $2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) \geq -3$.
આમ,$E$ ની મહત્તમ કિંમત $6 - (-3) = 9$ છે.
તેથી,$k = 9$.
અંતે,$k(2|\vec{a}|^2 + 3|\vec{b}|^2 - 4|\vec{c}|^2) = 9(2(1) + 3(1) - 4(1)) = 9(2 + 3 - 4) = 9(1) = 9$.

(A) ધારો કે બિંદુ $P(p, 2^{p+2})$ અને $Q(q, 2^{q+2})$ છે.
આપેલ છે કે $OP = p\hat{i} + 2^{p+2}\hat{j}$ અને $OQ = q\hat{i} + 2^{q+2}\hat{j}$.
પ્રશ્ન મુજબ,$OP \cdot \hat{i} = -1$,જેનો અર્થ છે કે $p = -1$.
તેથી,$OP = -\hat{i} + 2^{-1+2}\hat{j} = -\hat{i} + 2\hat{j}$.
તે જ રીતે,$OQ \cdot \hat{i} = 2$,જેનો અર્થ છે કે $q = 2$.
તેથી,$OQ = 2\hat{i} + 2^{2+2}\hat{j} = 2\hat{i} + 16\hat{j}$.
હવે,$OQ - 4OP = (2\hat{i} + 16\hat{j}) - 4(-\hat{i} + 2\hat{j}) = (2+4)\hat{i} + (16-8)\hat{j} = 6\hat{i} + 8\hat{j}$.
તેનું માન $|OQ - 4OP| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ થાય.

(B) આપેલ છે કે $|a|=3, |b|=5, |c|=7$.
સદિશ $a$ એ $(b+c)$ ને લંબ હોવાથી,$a \cdot (b+c) = 0 \implies a \cdot b + a \cdot c = 0$ ... $(i)$
સદિશ $b$ એ $(c+a)$ ને લંબ હોવાથી,$b \cdot (c+a) = 0 \implies b \cdot c + b \cdot a = 0$ ... $(ii)$
સદિશ $c$ એ $(a+b)$ ને લંબ હોવાથી,$c \cdot (a+b) = 0 \implies c \cdot a + c \cdot b = 0$ ... $(iii)$
સમીકરણો $(i), (ii)$ અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0 \implies a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a = 0$.
હવે,આપણે $|a+b+c|^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$|a+b+c|^2 = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a)$
$|a+b+c|^2 = (3)^2 + (5)^2 + (7)^2 + 2(0) = 9 + 25 + 49 = 83$.
અંતે,આપણે માંગેલ પદાવલિની કિંમત શોધીએ:
$\sqrt{(a+b+c)^2 - 2} = \sqrt{83 - 2} = \sqrt{81} = 9$.

(B) આપેલ છે: $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}, \vec{b} = 2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}, \vec{c} = \hat{i} - \hat{j}$.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર શોધો:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix} = 4\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$.
$\vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = 3\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$.
$\vec{c} \times \vec{a} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = -\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$.
હવે,$6\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k} = \lambda_1(4\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}) + \lambda_2(3\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) + \lambda_3(-\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k})$ ને સરખાવતા:
$4\lambda_1 + 3\lambda_2 - \lambda_3 = 6$ $(i)$
$-\lambda_1 + 3\lambda_2 - \lambda_3 = 2$ (ii)
$-3\lambda_1 - \lambda_2 + 2\lambda_3 = 3$ (iii)
$(i)$ માંથી (ii) બાદ કરતા: $5\lambda_1 = 4 \Rightarrow \lambda_1 = \frac{4}{5}$.
$\lambda_1$ ની કિંમત (ii) અને (iii) માં મૂકતા:
$3\lambda_2 - \lambda_3 = \frac{14}{5}$ (iv)
$-\lambda_2 + 2\lambda_3 = \frac{27}{5}$ $(v)$
(iv) ને $2$ વડે ગુણી $(v)$ માં ઉમેરતા: $5\lambda_2 = 11 \Rightarrow \lambda_2 = \frac{11}{5}$.
(iv) પરથી: $\lambda_3 = \frac{19}{5}$.
આમ,$(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) = (\frac{4}{5}, \frac{11}{5}, \frac{19}{5})$.

(A) આપેલ છે કે,$a=2\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}$,$b=\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$,$c=-\hat{i}+\hat{j}-4\hat{k}$ અને $d=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $a \times b$ શોધો:
$a \times b = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1-6) - \hat{j}(2+3) + \hat{k}(-4-1) = -5\hat{i}-5\hat{j}-5\hat{k}$.
ત્યારબાદ,સદિશ ગુણાકાર $c \times d$ શોધો:
$c \times d = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & -4 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1+4) - \hat{j}(-1+4) + \hat{k}(-1-1) = 5\hat{i}-3\hat{j}-2\hat{k}$.
હવે,મળેલા બે સદિશોનો સદિશ ગુણાકાર કરો:
$(a \times b) \times (c \times d) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -5 & -5 & -5 \\ 5 & -3 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(10-15) - \hat{j}(10+25) + \hat{k}(15+25) = -5\hat{i}-35\hat{j}+40\hat{k} = 5(-\hat{i}-7\hat{j}+8\hat{k})$.
અંતે,તેનું માન શોધો:
$|(a \times b) \times (c \times d)| = 5 \sqrt{(-1)^2 + (-7)^2 + 8^2} = 5 \sqrt{1 + 49 + 64} = 5 \sqrt{114}$.

(B) ધારો કે બિંદુઓ $A, B, C, D$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ છે.
આપેલ છે કે $|\vec{b}-\vec{a}|^2 + |\vec{d}-\vec{c}|^2 = |\vec{c}-\vec{b}|^2 + |\vec{a}-\vec{d}|^2$.
ડોટ પ્રોડક્ટના ગુણધર્મ $|\vec{x}-\vec{y}|^2 = |\vec{x}|^2 + |\vec{y}|^2 - 2\vec{x} \cdot \vec{y}$ નો ઉપયોગ કરીને વર્ગોનું વિસ્તરણ કરતા:
$|\vec{b}|^2 + |\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{d}|^2 + |\vec{c}|^2 - 2\vec{c} \cdot \vec{d} = |\vec{c}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2\vec{b} \cdot \vec{c} + |\vec{a}|^2 + |\vec{d}|^2 - 2\vec{d} \cdot \vec{a}$.
બંને બાજુથી સમાન પદો $|\vec{a}|^2, |\vec{b}|^2, |\vec{c}|^2, |\vec{d}|^2$ ને દૂર કરતા:
$-2\vec{a} \cdot \vec{b} - 2\vec{c} \cdot \vec{d} = -2\vec{b} \cdot \vec{c} - 2\vec{d} \cdot \vec{a}$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા:
$\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{c} \cdot \vec{d} - \vec{b} \cdot \vec{c} - \vec{d} \cdot \vec{a} = 0$.
પદાવલિનું અવયવીકરણ કરતા:
$(\vec{a}-\vec{c}) \cdot (\vec{b}-\vec{d}) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\vec{AC} \cdot \vec{DB} = 0$,જેનો અર્થ થાય છે કે $\vec{AC} \cdot \vec{BD} = 0$.

(A) $3D$ અવકાશમાં કોઈપણ સદિશ $a$ ને ત્રણ પરસ્પર લંબ સદિશો $b$,$c$,અને $b \times c$ ના રેખીય સંયોજન તરીકે દર્શાવી શકાય છે (ધારો કે $b$ અને $c$ સમાંતર નથી).
સદિશ $a$ નું ${b, c, b \times c}$ આધારના સંદર્ભમાં સામાન્ય વિસ્તરણ નીચે મુજબ છે:
$a = \left\{\frac{a \cdot b}{|b|^2}\right\} b + \left\{\frac{a \cdot c}{|c|^2}\right\} c + \left\{\frac{a \cdot (b \times c)}{|b \times c|^2}\right\} (b \times c)$
આપેલ પદાવલિ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે આ પદાવલિ બરાબર સદિશ $a$ છે.
તેથી,પદાવલિનું માન એ સદિશ $a$ ના માન જેટલું થાય.
$|a| = |\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$.

(D) ધારો કે $ABC$ એક ત્રિકોણ છે જેના શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\alpha, \beta, \gamma$ છે. ધારો કે $AM$ એ $A$ માંથી $BC$ પરનો લંબ છે.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |BC| \cdot |AM|$
સ્થાન સદિશોના સ્વરૂપમાં $\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |\alpha \times \beta + \beta \times \gamma + \gamma \times \alpha|$
બંને ક્ષેત્રફળને સરખાવતા:
$\frac{1}{2} |BC| \cdot |AM| = \frac{1}{2} |\alpha \times \beta + \beta \times \gamma + \gamma \times \alpha|$
અહીં બાજુ $BC$ ની લંબાઈ $|\gamma - \beta|$ છે,તેથી:
$|\gamma - \beta| \cdot |AM| = |\alpha \times \beta + \beta \times \gamma + \gamma \times \alpha|$
આમ,લંબ $AM$ ની લંબાઈ:
$|AM| = \frac{|\alpha \times \beta + \beta \times \gamma + \gamma \times \alpha|}{|\gamma - \beta|}$

(A) આપેલ સદિશો $\bar{a}=5\bar{m}-3\bar{n}$,$\bar{c}=-4\bar{m}-\bar{n}$,અને $\bar{d}=-\bar{m}+\bar{n}$ છે.
પ્રથમ,$\bar{x}$ ની ગણતરી કરો:
$\bar{x} = \frac{\bar{a}+\bar{c}+\bar{d}}{3} = \frac{(5\bar{m}-3\bar{n}) + (-4\bar{m}-\bar{n}) + (-\bar{m}+\bar{n})}{3} = \frac{0\bar{m}-3\bar{n}}{3} = -\bar{n}$.
ત્યારબાદ,$\bar{y}$ ની ગણતરી કરો:
$\bar{y} = \frac{\bar{c}+\bar{d}}{5} = \frac{(-4\bar{m}-\bar{n}) + (-\bar{m}+\bar{n})}{5} = \frac{-5\bar{m}}{5} = -\bar{m}$.
લંબચોરસની પાસપાસેની બાજુઓ હોવાથી $\bar{m}$ અને $\bar{n}$ પરસ્પર લંબ છે,તેથી $\bar{m} \cdot \bar{n} = 0$. તેથી,$\bar{x} = -\bar{n}$ અને $\bar{y} = -\bar{m}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ થાય.

(C) આપેલ સદિશો $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b}=2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}$,અને $\vec{c}=\hat{i}-\hat{j}$ છે.
પ્રથમ,આપણે ક્રોસ પ્રોડક્ટ્સની ગણતરી કરીએ:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix} = 4\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$.
$\vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = 3\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$.
$\vec{c} \times \vec{a} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = -\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$.
આપેલ સમીકરણ $6\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k} = \lambda_1(4\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}) + \lambda_2(3\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) + \lambda_3(-\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k})$ છે.
ઘટકોની સરખામણી કરતા,આપણને નીચે મુજબની સિસ્ટમ મળે છે:
$4\lambda_1 + 3\lambda_2 - \lambda_3 = 6$ $(1)$
$-\lambda_1 + 3\lambda_2 - \lambda_3 = 2$ $(2)$
$-3\lambda_1 - \lambda_2 + 2\lambda_3 = 3$ $(3)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા: $5\lambda_1 = 4 \implies \lambda_1 = \frac{4}{5}$.
$\lambda_1$ ની કિંમત $(1)$ અને $(3)$ માં મૂકતા: $3\lambda_2 - \lambda_3 = \frac{14}{5}$ અને $-\lambda_2 + 2\lambda_3 = \frac{27}{5}$.
આને ઉકેલતા: $5\lambda_2 = 11 \implies \lambda_2 = \frac{11}{5}$.
તેથી $\lambda_3 = \frac{19}{5}$.
આમ,$(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) = (\frac{4}{5}, \frac{11}{5}, \frac{19}{5})$.

(A) આપેલ સદિશો $\vec{a}=2 \hat{i}+\hat{j}-3 \hat{k}$,$\vec{b}=\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$,$\vec{c}=-\hat{i}+\hat{j}-4 \hat{k}$,અને $\vec{d}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ છે.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b}$ શોધો:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1 - 6) - \hat{j}(2 + 3) + \hat{k}(-4 - 1) = -5 \hat{i} - 5 \hat{j} - 5 \hat{k}$.
ત્યારબાદ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{c} \times \vec{d}$ શોધો:
$\vec{c} \times \vec{d} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & -4 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1 + 4) - \hat{j}(-1 + 4) + \hat{k}(-1 - 1) = 5 \hat{i} - 3 \hat{j} - 2 \hat{k}$.
હવે,મળેલા બે સદિશોનો સદિશ ગુણાકાર કરો:
$(\vec{a} \times \vec{b}) \times(\vec{c} \times \vec{d}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -5 & -5 & -5 \\ 5 & -3 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(10 - 15) - \hat{j}(10 + 25) + \hat{k}(15 + 25) = -5 \hat{i} - 35 \hat{j} + 40 \hat{k}$.
અંતે,તેનું માન શોધો:
$|(\vec{a} \times \vec{b}) \times(\vec{c} \times \vec{d})| = \sqrt{(-5)^2 + (-35)^2 + (40)^2} = \sqrt{25 + 1225 + 1600} = \sqrt{2850} = 5 \sqrt{114}$.

(D) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે.
સમતલ અક્ષોને $A(a, 0, 0)$,$B(0, b, 0)$,અને $C(0, 0, c)$ માં છેદે છે,તેથી $\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $\left(\frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3}\right)$ થાય.
આપેલ છે કે મધ્યકેન્દ્ર $(6, 6, 3)$ છે,તેથી:
$\frac{a}{3} = 6 \Rightarrow a = 18$
$\frac{b}{3} = 6 \Rightarrow b = 18$
$\frac{c}{3} = 3 \Rightarrow c = 9$
આ કિંમતો સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{x}{18} + \frac{y}{18} + \frac{z}{9} = 1$
બંને બાજુ $18$ વડે ગુણતા:
$x + y + 2z = 18$
$x + y + 2z - 18 = 0$.

(C) $\triangle ABC$ ના શિરોબિંદુઓ $A=(2,3,5)$,$B=(-1,3,2)$ અને $C=(3,5,-2)$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{AC}$ શોધીએ:
$\vec{AB} = (-1-2)\hat{i} + (3-3)\hat{j} + (2-5)\hat{k} = -3\hat{i} - 3\hat{k}$
$\vec{AC} = (3-2)\hat{i} + (5-3)\hat{j} + (-2-5)\hat{k} = \hat{i} + 2\hat{j} - 7\hat{k}$
હવે,આપણે સદિશ ગુણાકાર $\vec{AB} \times \vec{AC}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -3 & 0 & -3 \\ 1 & 2 & -7 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(0 - (-6)) - \hat{j}(21 - (-3)) + \hat{k}(-6 - 0)$
$= 6\hat{i} - 24\hat{j} - 6\hat{k}$
સદિશ ગુણાકારનું માન:
$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{6^2 + (-24)^2 + (-6)^2} = \sqrt{36 + 576 + 36} = \sqrt{648} = 18\sqrt{2}$
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$ દ્વારા મળે છે:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 18\sqrt{2} = 9\sqrt{2} \text{ ચોરસ એકમ.}$

(D) ધારો કે સ્થાન સદિશો $\vec{a} = \hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}$,$\vec{b} = 2\hat{i}-\hat{j}$,$\vec{c} = \hat{i}+\hat{j}+3\hat{k}$,અને $\vec{d} = 4\hat{j}+5\hat{k}$ છે.
બાજુઓ દર્શાવતા સદિશોની ગણતરી કરો:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \hat{i} - 3\hat{j} - 2\hat{k}$.
$\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$.
$\vec{CD} = \vec{d} - \vec{c} = -\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$.
$\vec{DA} = \vec{a} - \vec{d} = \hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}$.
અહીં $\vec{AB} = -\vec{CD}$ અને $\vec{BC} = -\vec{DA}$ હોવાથી,સામસામેની બાજુઓ સમાંતર અને સમાન લંબાઈની છે.
પાસેની બાજુઓનો ડોટ ગુણાકાર $\vec{AB} \cdot \vec{BC} = -13 \neq 0$ છે.
તેથી,આ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(B) ધારો કે બિંદુ $P(x, y, z)$ છે. આપેલા બિંદુઓ $F_1(a, 0, 0)$ અને $F_2(-a, 0, 0)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$PF_1 + PF_2 = 2k$.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\sqrt{(x-a)^2 + y^2 + z^2} + \sqrt{(x+a)^2 + y^2 + z^2} = 2k$.
ધારો કે $d^2 = y^2 + z^2$. તો $\sqrt{(x-a)^2 + d^2} = 2k - \sqrt{(x+a)^2 + d^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(x-a)^2 + d^2 = 4k^2 + (x+a)^2 + d^2 - 4k\sqrt{(x+a)^2 + d^2}$.
$x^2 - 2ax + a^2 = 4k^2 + x^2 + 2ax + a^2 - 4k\sqrt{(x+a)^2 + d^2}$.
$-4ax - 4k^2 = -4k\sqrt{(x+a)^2 + d^2}$.
$ax + k^2 = k\sqrt{(x+a)^2 + d^2}$.
ફરીથી વર્ગ કરતા: $a^2x^2 + 2axk^2 + k^4 = k^2(x^2 + 2ax + a^2 + y^2 + z^2)$.
$a^2x^2 + 2axk^2 + k^4 = k^2x^2 + 2axk^2 + k^2a^2 + k^2(y^2 + z^2)$.
$x^2(a^2 - k^2) + k^2(y^2 + z^2) = k^2a^2 - k^4 = -k^2(k^2 - a^2)$.
$-k^2(k^2 - a^2)$ વડે ભાગતા: $\frac{x^2(a^2 - k^2)}{-k^2(k^2 - a^2)} + \frac{k^2(y^2 + z^2)}{-k^2(k^2 - a^2)} = 1$.
$\frac{x^2}{k^2} + \frac{y^2 + z^2}{k^2 - a^2} = 1$.

(C) આપેલ શિરોબિંદુઓ $A=(2,3,5), B=(-1,3,2), C=(3,5,-2)$ છે.
પ્રથમ,આપણે સદિશો $\overrightarrow{AB}$ અને $\overrightarrow{AC}$ શોધીએ:
$\overrightarrow{AB} = B - A = (-1-2)\hat{i} + (3-3)\hat{j} + (2-5)\hat{k} = -3\hat{i} - 3\hat{k}$
$\overrightarrow{AC} = C - A = (3-2)\hat{i} + (5-3)\hat{j} + (-2-5)\hat{k} = \hat{i} + 2\hat{j} - 7\hat{k}$
હવે,સદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -3 & 0 & -3 \\ 1 & 2 & -7 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(0 - (-6)) - \hat{j}(21 - (-3)) + \hat{k}(-6 - 0)$
$= 6\hat{i} - 24\hat{j} - 6\hat{k}$
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$ દ્વારા મળે છે:
$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{6^2 + (-24)^2 + (-6)^2} = \sqrt{36 + 576 + 36} = \sqrt{648}$
$\sqrt{648} = \sqrt{324 \times 2} = 18\sqrt{2}$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 18\sqrt{2} = 9\sqrt{2} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ ત્રિકોણમાં,પરિકેન્દ્ર $(S)$,મધ્યકેન્દ્ર $(G)$ અને લંબકેન્દ્ર $(O)$ સમરેખ હોય છે,અને મધ્યકેન્દ્ર એ પરિકેન્દ્ર અને લંબકેન્દ્રને જોડતા રેખાખંડનું $1:2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
ધારો કે પરિકેન્દ્ર $S(x, y, z)$ છે. આપેલ છે કે $O(-3, 5, 2)$ અને $G(3, 3, 4)$.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,મધ્યકેન્દ્ર $G$ નીચે મુજબ મળે છે:
$G = \left(\frac{1 \cdot O + 2 \cdot S}{1+2}\right) = \left(\frac{-3+2x}{3}, \frac{5+2y}{3}, \frac{2+2z}{3}\right)$
આને આપેલ મધ્યકેન્દ્ર $(3, 3, 4)$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{-3+2x}{3} = 3 \Rightarrow -3+2x = 9 \Rightarrow 2x = 12 \Rightarrow x = 6$
$\frac{5+2y}{3} = 3 \Rightarrow 5+2y = 9 \Rightarrow 2y = 4 \Rightarrow y = 2$
$\frac{2+2z}{3} = 4 \Rightarrow 2+2z = 12 \Rightarrow 2z = 10 \Rightarrow z = 5$
આમ,પરિકેન્દ્ર $(6, 2, 5)$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણો છે:
$l+m+n=0$ ... $(i)$
$2lm+2ln-mn=0$ ... (ii)
$(i)$ પરથી,$m+n = -l$. આ કિંમત (ii) માં મૂકતા:
$2l(m+n) - mn = 0$
$2l(-l) - mn = 0 \Rightarrow mn = -2l^2$ ... (iii)
આપણે જાણીએ છીએ કે $l^2+m^2+n^2 = 1$. વળી,$(m+n)^2 = m^2+n^2+2mn = (-l)^2 = l^2$.
તેથી,$m^2+n^2 = l^2 - 2mn = l^2 - 2(-2l^2) = 5l^2$.
$l^2+m^2+n^2 = 1$ માં મૂકતા:
$l^2 + 5l^2 = 1 \Rightarrow 6l^2 = 1 \Rightarrow l^2 = \frac{1}{6}$.
ધારો કે બે રેખાઓની દિક્કોસાઇન $(l_1, m_1, n_1)$ અને $(l_2, m_2, n_2)$ છે.
$mn = -2l^2$ અને $m+n = -l$ પરથી,$m$ અને $n$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $t^2 + lt - 2l^2 = 0$ ના બીજ છે.
$(t+2l)(t-l) = 0 \Rightarrow t = -2l, l$.
આમ,દિક્ગુણોત્તર $(l, -2l, l)$ અને $(l, l, -2l)$ ના પ્રમાણમાં છે.
તેને પ્રમાણિત કરતા,દિક્કોસાઇન $(1, -2, 1)$ અને $(1, 1, -2)$ ના પ્રમાણમાં મળે છે.
ધારો કે $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$.
$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{|(1)(1) + (-2)(1) + (1)(-2)|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+1^2} \sqrt{1^2+1^2+(-2)^2}} = \frac{|1-2-2|}{\sqrt{6}\sqrt{6}} = \frac{|-3|}{6} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(B) ધારો કે $L_1$ અને $L_2$ બંનેને લંબ રેખાના દિકગુણોત્તરો $(a, b, c)$ છે. રેખા બંનેને લંબ હોવાથી,તેના દિકગુણોત્તરો $L_1$ અને $L_2$ ના દિકગુણોત્તરોના સદિશ ગુણાકાર (cross product) દ્વારા મળે છે:
$(a, b, c) = (2, -1, 1) \times (3, -3, 4) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 3 & -3 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4 + 3) - \hat{j}(8 - 3) + \hat{k}(-6 + 3) = -1\hat{i} - 5\hat{j} - 3\hat{k}$.
આમ,દિકગુણોત્તરો $(-1, -5, -3)$ અથવા $(1, 5, 3)$ છે.
તેનું મૂલ્ય $\sqrt{1^2 + 5^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 25 + 9} = \sqrt{35}$ છે.
તેથી,દિકકોસાઇન $\pm \frac{1}{\sqrt{35}}, \pm \frac{5}{\sqrt{35}}, \pm \frac{3}{\sqrt{35}}$ થશે.

(B) આપણી પાસે છે,$\cos \alpha = \frac{a \cdot b}{|a||b|}, \cos \beta = \frac{b \cdot c}{|b||c|}$ અને $\cos \gamma = \frac{c \cdot a}{|c||a|}$.
આપેલ છે કે $|a|=|b|=|c|=\lambda$ (જ્યાં $\lambda > 0$),તેથી:
$\cos \alpha = \frac{a \cdot b}{\lambda^2}, \cos \beta = \frac{b \cdot c}{\lambda^2}, \cos \gamma = \frac{c \cdot a}{\lambda^2}$.
તેથી,$\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = \frac{a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a}{\lambda^2} \quad \dots (i)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $|a+b+c|^2 = (a+b+c) \cdot (a+b+c) = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a)$.
કારણ કે $|a+b+c|^2 \geq 0$,તેથી:
$|a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) \geq 0$
$\lambda^2 + \lambda^2 + \lambda^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) \geq 0$
$3\lambda^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) \geq 0$
$2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) \geq -3\lambda^2$
$a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a \geq -\frac{3}{2}\lambda^2 \quad \dots (ii)$
$(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = \frac{a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a}{\lambda^2} \geq \frac{-\frac{3}{2}\lambda^2}{\lambda^2} = -\frac{3}{2}$.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $-\frac{3}{2}$ છે.

(B) ધારો કે રેખા $X, Y, Z$-અક્ષ સાથે અનુક્રમે $\alpha, \beta, \gamma$ ખૂણા બનાવે છે. દિશા કોસાઇન $l = \cos \alpha, m = \cos \beta, n = \cos \gamma$ છે.
આપેલ છે કે $\beta = \frac{\pi}{4}$ અને $\gamma = \frac{\pi}{3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $l^2 + m^2 + n^2 = 1$.
કિંમતો મૂકતા: $\cos^2 \alpha + \cos^2 \frac{\pi}{4} + \cos^2 \frac{\pi}{3} = 1$.
$\cos^2 \alpha + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (\frac{1}{2})^2 = 1$.
$\cos^2 \alpha + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = 1$.
$\cos^2 \alpha + \frac{3}{4} = 1 \Rightarrow \cos^2 \alpha = \frac{1}{4}$.
$\cos \alpha = \pm \frac{1}{2}$.
અહીં $\alpha$ ગુરુકોણ હોવાથી,$\cos \alpha$ ઋણ હોવો જોઈએ,તેથી $\cos \alpha = -\frac{1}{2}$.
તેથી,$\alpha = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2 \pi}{3}$.

(B) સમતલ $\pi$ ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને $\vec{n_1} = (1, -2, 2)$ અને $\vec{n_2} = (2, 3, -1)$ દિશા ગુણોત્તર ધરાવતી બે રેખાઓને સમાવે છે.
સમતલ $\pi$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$ દ્વારા મળે છે:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 2 \\ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix} = -4\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}$.
સમતલનું સમીકરણ $-4x + 5y + 7z = 0$ છે.
સમતલ $x - y - z + 1 = 0$ (અભિલંબ $\vec{n_3} = (1, -1, -1)$) અને $\pi$ (અભિલંબ $\vec{n} = (-4, 5, 7)$) ના છેદબિંદુની રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = \vec{n_3} \times \vec{n}$ છે:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & -1 \\ -4 & 5 & 7 \end{vmatrix} = -2\hat{i} - 3\hat{j} + 1\hat{k}$.
આમ,દિશા ગુણોત્તર $(-2, -3, 1)$ ના પ્રમાણમાં છે,જે $(2, 3, -1)$ ને સમાન છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે જો કોઈ રેખા $X$-અક્ષ,$Y$-અક્ષ અને $Z$-અક્ષની ધન દિશા સાથે અનુક્રમે $\alpha, \beta, \gamma$ ખૂણા બનાવે,તો $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ થાય.
અહીં $\alpha = \tan^{-1} \sqrt{7}$ અને $\beta = \tan^{-1} \sqrt{\frac{5}{3}}$ આપેલ છે.
$\alpha = \tan^{-1} \sqrt{7}$ માટે,$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{1 + (\sqrt{7})^2}} = \frac{1}{\sqrt{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
$\beta = \tan^{-1} \sqrt{\frac{5}{3}}$ માટે,$\cos \beta = \frac{1}{\sqrt{1 + (\sqrt{5/3})^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + 5/3}} = \frac{1}{\sqrt{8/3}} = \sqrt{\frac{3}{8}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$.
આ કિંમતોને નિત્યસમ $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ માં મૂકતા:
$\left(\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\right)^2 + \cos^2 \gamma = 1$
$\frac{1}{8} + \frac{3}{8} + \cos^2 \gamma = 1$
$\frac{4}{8} + \cos^2 \gamma = 1$
$\frac{1}{2} + \cos^2 \gamma = 1$
$\cos^2 \gamma = \frac{1}{2}$
$\cos \gamma = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$
તેથી,$\gamma = \frac{\pi}{4}$ અથવા $\gamma = \frac{3\pi}{4}$.

(A) ચતુષ્ફલક જેના શિરોબિંદુઓ $A, B, C, D$ હોય તેનું મધ્યકેન્દ્ર $G = \left(\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}, \frac{y_1+y_2+y_3+y_4}{4}, \frac{z_1+z_2+z_3+z_4}{4}\right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલા બિંદુઓ $A(3,2,-1), B(4,1,1), C(6,2,5), D(3,3,3)$ માટે,મધ્યકેન્દ્ર $G$ છે:
$G = \left(\frac{3+4+6+3}{4}, \frac{2+1+2+3}{4}, \frac{-1+1+5+3}{4}\right) = \left(\frac{16}{4}, \frac{8}{4}, \frac{8}{4}\right) = (4, 2, 2)$.
ચતુષ્ફલકના શિરોબિંદુને સામેની બાજુના મધ્યકેન્દ્ર સાથે જોડતી રેખાઓ ચતુષ્ફલકના મધ્યકેન્દ્ર પર સંગામી હોય છે.
આમ,રેખાઓ $AG_1, BG_2, CG_3$ અને $DG_4$ એ $(4, 2, 2)$ બિંદુ પર સંગામી છે.

(D) ધારો કે બિંદુ $P(3, -2, 1)$ છે. રેખા બિંદુઓ $A(1, -3, 5)$ અને $B(2, 1, -4)$ માંથી પસાર થાય છે.
સદિશ $\vec{a} = \vec{i} - 3\vec{j} + 5\vec{k}$ અને રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = \vec{AB} = \vec{i} + 4\vec{j} - 9\vec{k}$ છે.
ધારો કે $\vec{p} = 3\vec{i} - 2\vec{j} + \vec{k}$. સદિશ $\vec{AP} = \vec{p} - \vec{a} = 2\vec{i} + \vec{j} - 4\vec{k}$.
લંબ અંતર $d = \frac{|\vec{AP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{AP} \times \vec{v} = 7\vec{i} + 14\vec{j} + 7\vec{k}$.
તેનું માન $|\vec{AP} \times \vec{v}| = \sqrt{294} = 7\sqrt{6}$.
રેખાના દિશા સદિશનું માન $|\vec{v}| = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}$.
અંતર $d = \frac{7\sqrt{6}}{7\sqrt{2}} = \sqrt{3}$.

(A) બે વિષમતલીય રેખાઓ $\vec{r} = \vec{a_1} + \lambda \vec{b_1}$ અને $\vec{r} = \vec{a_2} + \mu \vec{b_2}$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{ |\vec{b_1} \times \vec{b_2}| }$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$\vec{a_1} = 3\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}$ અને $\vec{a_2} = \hat{i} - 7\hat{j} - 2\hat{k}$.
$\vec{a_2} - \vec{a_1} = -2\hat{i} - 11\hat{j} + 0\hat{k}$.
$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}$.
$|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{35}$.
$(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2}) = -35$.
તેથી,$d = \frac{|-35|}{\sqrt{35}} = \sqrt{35}$.

(D) રેખા $PQ$ એ $P(2,-3,4)$ અને $Q(-1,-4,0)$ માંથી પસાર થાય છે. $PQ$ નો દિશા સદિશ $\vec{v} = Q - P = (-1-2, -4-(-3), 0-4) = (-3, -1, -4)$ છે.
રેખા $PQ$ નું પ્રાચલ સ્વરૂપમાં સમીકરણ $x = 2 - 3t$,$y = -3 - t$,$z = 4 - 4t$ છે.
$S$ એ $PQ$ પર હોવાથી,તેના યામ કોઈ અદિશ $t$ માટે $(2-3t, -3-t, 4-4t)$ થાય.
સદિશ $\vec{RS} = S - R = (2-3t-2, -3-t-1, 4-4t-0) = (-3t, -t-4, 4-4t)$ છે.
$RS \perp PQ$ હોવાથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર $\vec{RS} \cdot \vec{v} = 0$ થાય.
$(-3t)(-3) + (-t-4)(-1) + (4-4t)(-4) = 0$.
$9t + t + 4 - 16 + 16t = 0$.
$26t - 12 = 0 \implies 26t = 12 \implies t = \frac{12}{26} = \frac{6}{13}$.
$S$ નો $X$-યામ $x = 2 - 3t = 2 - 3(\frac{6}{13}) = 2 - \frac{18}{13} = \frac{26-18}{13} = \frac{8}{13}$ થાય.

(B) ધારો કે બિંદુઓ $A = 2 \vec{a}+3 \vec{b}-\vec{c}$,$B = 3 \vec{a}+4 \vec{b}-2 \vec{c}$,$C = \vec{a}-2 \vec{b}+3 \vec{c}$,અને $D = \vec{a}-6 \vec{b}+6 \vec{c}$ છે.
$A$ અને $B$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\vec{r} = A + t(B-A)$ દ્વારા મળે છે:
$\vec{r} = (2 \vec{a}+3 \vec{b}-\vec{c}) + t((3 \vec{a}+4 \vec{b}-2 \vec{c}) - (2 \vec{a}+3 \vec{b}-\vec{c}))$
$\vec{r} = (2+t) \vec{a} + (3+t) \vec{b} + (-1-t) \vec{c} \quad (i)$
$C$ અને $D$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\vec{r} = C + s(D-C)$ દ્વારા મળે છે:
$\vec{r} = (\vec{a}-2 \vec{b}+3 \vec{c}) + s((\vec{a}-6 \vec{b}+6 \vec{c}) - (\vec{a}-2 \vec{b}+3 \vec{c}))$
$\vec{r} = \vec{a} + (-2-4s) \vec{b} + (3+3s) \vec{c} \quad (ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ માં $\vec{a}, \vec{b}, \text{ અને } \vec{c}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$2+t = 1 \implies t = -1$
$3+t = -2-4s$
$-1-t = 3+3s$
બીજા સમીકરણમાં $t = -1$ મૂકતા:
$3-1 = -2-4s \implies 2 = -2-4s \implies 4s = -4 \implies s = -1$
ત્રીજા સમીકરણ સાથે સુસંગતતા તપાસતા:
$-1 - (-1) = 3 + 3(-1) \implies 0 = 0$. સિસ્ટમ સુસંગત છે.
સમીકરણ $(i)$ માં $t = -1$ મૂકતા:
$\vec{r} = (2-1) \vec{a} + (3-1) \vec{b} + (-1-(-1)) \vec{c} = \vec{a} + 2 \vec{b}$.

(B) ધારો કે ઉગમબિંદુ $O(0, 0, 0)$ છે અને લંબપાદ $P(1, 2, 3)$ છે.
કારણ કે $OP$ એ સમતલને લંબ છે,તેથી સમતલના અભિલંબના દિકગુણોત્તર એ રેખાખંડ $OP$ ના દિકગુણોત્તર સમાન જ હોય.
$OP$ ના દિકગુણોત્તર $\langle 1-0, 2-0, 3-0 \rangle = \langle 1, 2, 3 \rangle$ છે.
આમ,સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતા અને $\langle a, b, c \rangle$ અભિલંબ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$ છે.
બિંદુ $P(1, 2, 3)$ અને અભિલંબ $\langle 1, 2, 3 \rangle$ મૂકતા:
$1(x - 1) + 2(y - 2) + 3(z - 3) = 0$
$x - 1 + 2y - 4 + 3z - 9 = 0$
$x + 2y + 3z - 14 = 0$.
હવે,આપણે ચકાસીએ કે કયો વિકલ્પ આ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે:
વિકલ્પ $(B) (7, 2, 1)$ માટે:
$7 + 2(2) + 3(1) - 14 = 7 + 4 + 3 - 14 = 14 - 14 = 0$.
બિંદુ $(7, 2, 1)$ સમતલના સમીકરણનું સમાધાન કરતું હોવાથી,તે સમતલ પર આવેલું છે.

(A) રેખા બિંદુ $A(3, 1, -1)$ માંથી પસાર થાય છે અને સદિશ $\vec{v} = 2 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}$ ને સમાંતર છે. રેખાની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{u} = \frac{2 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}}{3}$ છે.
$AP = AQ = 3$ હોવાથી,બિંદુઓ $P$ અને $Q$ એ $\vec{A} \pm 3\hat{u}$ દ્વારા મળે છે.
$P, Q = (3 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) \pm (2 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k})$.
તેથી,$P = 5 \hat{i} + \hat{k}$ અને $Q = \hat{i} + 2 \hat{j} - 3 \hat{k}$ મળે છે.
સમતલ $OPQ$ ઉગમબિંદુ $O(0,0,0)$ માંથી પસાર થાય છે અને સદિશો $\vec{OP} = 5 \hat{i} + \hat{k}$ અને $\vec{OQ} = \hat{i} + 2 \hat{j} - 3 \hat{k}$ ને સમાવે છે.
સમતલનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} = s \vec{OP} + t \vec{OQ} = s(5 \hat{i} + \hat{k}) + t(\hat{i} + 2 \hat{j} - 3 \hat{k}) = (5s+t) \hat{i} + 2t \hat{j} + (s-3t) \hat{k}$ થાય છે. વિકલ્પ $A$ એ સમાન સમતલ દર્શાવે છે.

(B) ધારો કે બિંદુઓ $A, B,$ અને $C$ ના યામ અનુક્રમે $(a, 0, 0), (0, b, 0),$ અને $(0, 0, c)$ છે.
$A, B,$ અને $C$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં આ મુજબ છે: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ ... $(i)$.
આ સમતલ નિશ્ચિત બિંદુ $(\alpha, \beta, \gamma)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણને મળે: $\frac{\alpha}{a} + \frac{\beta}{b} + \frac{\gamma}{c} = 1$.
સમતલ $P_1$ એ $A(a, 0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને $YZ$-સમતલને સમાંતર છે,તેથી તેનું સમીકરણ $x = a$ છે.
સમતલ $P_2$ એ $B(0, b, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને $ZX$-સમતલને સમાંતર છે,તેથી તેનું સમીકરણ $y = b$ છે.
સમતલ $P_3$ એ $C(0, 0, c)$ માંથી પસાર થાય છે અને $XY$-સમતલને સમાંતર છે,તેથી તેનું સમીકરણ $z = c$ છે.
આ ત્રણ સમતલો $P_1, P_2,$ અને $P_3$ નું છેદબિંદુ $(a, b, c)$ છે.
ધારો કે આ છેદબિંદુના યામ $(x, y, z)$ છે. આમ,$x = a, y = b,$ અને $z = c$.
આ કિંમતોને સમીકરણ $\frac{\alpha}{a} + \frac{\beta}{b} + \frac{\gamma}{c} = 1$ માં મૂકતા,આપણને બિંદુપથ મળે છે: $\frac{\alpha}{x} + \frac{\beta}{y} + \frac{\gamma}{z} = 1$.

(D) સમતલો $r \cdot n=1$ અને $r \cdot m=-4$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $r \cdot (n + \lambda m) = 1 - 4\lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એક અદિશ છે.
આપેલ સદિશો મૂકતા: $r \cdot ((2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k}) + \lambda(\hat{i} - \hat{j})) = 1 - 4\lambda$.
આ સમતલ,સમતલ $r \cdot l = -8$ ને લંબ છે,જ્યાં $l = 2 \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
તેથી,અભિલંબ સદિશ $(n + \lambda m)$ એ $l$ ને લંબ હોવો જોઈએ,એટલે કે $(n + \lambda m) \cdot l = 0$.
$(n \cdot l) + \lambda(m \cdot l) = 0$.
ડોટ ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$n \cdot l = (2)(2) + (-3)(-1) + (4)(1) = 4 + 3 + 4 = 11$.
$m \cdot l = (1)(2) + (-1)(-1) + (0)(1) = 2 + 1 + 0 = 3$.
આ કિંમતો મૂકતા: $11 + 3\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{11}{3}$.
હવે,$\lambda$ ની કિંમત સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$r \cdot ((2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k}) - \frac{11}{3}(\hat{i} - \hat{j})) = 1 - 4(-\frac{11}{3})$.
$r \cdot ((\frac{6-11}{3}) \hat{i} + (\frac{-9+11}{3}) \hat{j} + 4 \hat{k}) = 1 + \frac{44}{3}$.
$r \cdot (-\frac{5}{3} \hat{i} + \frac{2}{3} \hat{j} + 4 \hat{k}) = \frac{47}{3}$.
$3$ વડે ગુણતા: $r \cdot (-5 \hat{i} + 2 \hat{j} + 12 \hat{k}) = 47$.
$r = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$ લેતા,આપણને $-5x + 2y + 12z = 47$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $5x - 2y - 12z + 47 = 0$ થાય છે.

(D) બિંદુ $P(\alpha, \beta, \gamma)$ એ સમતલ $2x + y + z = 1$ પર આવેલું હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$2\alpha + \beta + \gamma = 1 \quad \dots(i)$
આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ:
$\begin{bmatrix} \alpha & \beta & \gamma \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 9 & 1 \\ 8 & 2 & 1 \\ 7 & 3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
શ્રેણિક ગુણાકાર કરતા આપણને મળે છે:
$\alpha + 8\beta + 7\gamma = 0 \quad \dots(ii)$
$9\alpha + 2\beta + 3\gamma = 0 \quad \dots(iii)$
$\alpha + \beta + \gamma = 0 \quad \dots(iv)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી સમીકરણ $(iv)$ બાદ કરતા:
$(2\alpha + \beta + \gamma) - (\alpha + \beta + \gamma) = 1 - 0 \implies \alpha = 1$
$\alpha = 1$ ને $(iv)$ માં મુકતા:
$1 + \beta + \gamma = 0 \implies \beta + \gamma = -1 \quad \dots(v)$
$\alpha = 1$ ને $(ii)$ માં મુકતા:
$1 + 8\beta + 7\gamma = 0 \implies 8\beta + 7\gamma = -1 \quad \dots(vi)$
$(v)$ પરથી,$\gamma = -1 - \beta$. તેને $(vi)$ માં મુકતા:
$8\beta + 7(-1 - \beta) = -1 \implies 8\beta - 7 - 7\beta = -1 \implies \beta = 6$
તેથી $\gamma = -1 - 6 = -7$.
આમ,$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (1)^2 + (6)^2 + (-7)^2 = 1 + 36 + 49 = 86$.

(D) આપેલ સમતલનું સમીકરણ: $x+3y+2z=9$.
$9$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x}{9} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4.5} = 1$ મળે છે.
યામ અક્ષો પરના અંતઃખંડો $a=9$,$b=3$,અને $c=\frac{9}{2}$ છે.
આ અંતઃખંડો જરૂરી સમતલના અભિલંબના દિકગુણોત્તર છે,તેથી $\vec{n} = 9\hat{i} + 3\hat{j} + \frac{9}{2}\hat{k}$.
સમતલ બિંદુ $(3, 5, 7)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી સ્થાન સદિશ $\vec{a} = 3\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}$ છે.
સમતલનું સમીકરણ $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{a} \cdot \vec{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $(x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}) \cdot (9\hat{i} + 3\hat{j} + \frac{9}{2}\hat{k}) = (3\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}) \cdot (9\hat{i} + 3\hat{j} + \frac{9}{2}\hat{k})$.
$9x + 3y + \frac{9}{2}z = 27 + 15 + \frac{63}{2}$.
$9x + 3y + \frac{9}{2}z = 42 + 31.5 = 73.5$.
સાદું રૂપ આપવા માટે $\frac{2}{3}$ વડે ગુણતા: $6x + 2y + 3z = 49$.

(B) રેખા $A(1, 1, 0)$ અને $B(3, 1, -1)$ માંથી પસાર થાય છે. દિશા સદિશ $\vec{v} = B - A = 2\hat{i} + 0\hat{j} - 1\hat{k}$ છે. રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-1}{2} = \frac{y-1}{0} = \frac{z}{-1} = r$ છે. તેથી,રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(2r+1, 1, -r)$ છે.
સમતલ $(2, 4, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને $\vec{u} = 3\hat{j} + 5\hat{k}$ તથા $\vec{w} = 3\hat{i} - \hat{k}$ ને સમાંતર છે. સમતલનો અભિલંબ $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{w} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 3 & 5 \\ 3 & 0 & -1 \end{vmatrix} = -3\hat{i} + 15\hat{j} - 9\hat{k}$ છે.
સમતલનું સમીકરણ $-3(x-2) + 15(y-4) - 9(z-0) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x - 5y + 3z + 18 = 0$ થાય છે.
$P(2r+1, 1, -r)$ ને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા: $(2r+1) - 5(1) + 3(-r) + 18 = 0 \Rightarrow -r + 14 = 0 \Rightarrow r = 14$.
તેથી,$P$ નો સ્થાન સદિશ $(2(14)+1)\hat{i} + 1\hat{j} - 14\hat{k} = 29\hat{i} + \hat{j} - 14\hat{k}$ છે.

(A) $P(3,2,4)$ અને $Q(-1,0,-2)$ ને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ $R$ નીચે મુજબ મળે છે:
$R = \left( \frac{3-1}{2}, \frac{2+0}{2}, \frac{4-2}{2} \right) = (1, 1, 1)$.
રેખાખંડ $PQ$ ના દિકગુણોત્તર $(3 - (-1), 2 - 0, 4 - (-2)) = (4, 2, 6)$ છે.
સમતલ $PQ$ ને લંબ હોવાથી,સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \langle 4, 2, 6 \rangle$ છે.
તેથી,સમતલનું સમીકરણ $4x + 2y + 6z + d = 0$ થશે.
સમતલ મધ્યબિંદુ $R(1, 1, 1)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી:
$4(1) + 2(1) + 6(1) + d = 0 \implies 4 + 2 + 6 + d = 0 \implies d = -12$.
$4x + 2y + 6z - 12 = 0$ ને $ax + by + cz + d = 0$ સાથે સરખાવતા,$a=4, b=2, c=6, d=-12$ મળે છે.
તેથી,$ac + bd = (4)(6) + (2)(-12) = 24 - 24 = 0$.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $A(2, 0, 6)$ અને $B(-6, 2, 4)$ છે.
સમતલ રેખાખંડ $AB$ ને દુભાગે છે અને તેને લંબ છે,જેનો અર્થ છે કે તે $AB$ ના મધ્યબિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને સદિશ $\vec{AB}$ એ સમતલનો અભિલંબ છે.
$AB$ નું મધ્યબિંદુ $M = \left(\frac{2-6}{2}, \frac{0+2}{2}, \frac{6+4}{2}\right) = (-2, 1, 5)$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{AB} = (-6-2, 2-0, 4-6) = (-8, 2, -2)$ છે.
અભિલંબ સદિશને $-2$ વડે ભાગતા,આપણને $\vec{n}' = (4, -1, 1)$ મળે છે.
બિંદુ $(x_0, y_0, z_0)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ $(a, b, c)$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $4(x - (-2)) - 1(y - 1) + 1(z - 5) = 0$.
$4(x+2) - y + 1 + z - 5 = 0$.
$4x + 8 - y + z - 4 = 0$.
$4x - y + z + 4 = 0$.

(B) ધારો કે $E_1$ એ ઘટના છે કે $6$ આવે છે,$P(E_1) = \frac{1}{6}$.
ધારો કે $E_2$ એ ઘટના છે કે $6$ આવતું નથી,$P(E_2) = \frac{5}{6}$.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે માણસ $6$ હોવાનું જણાવે છે.
આપેલ છે કે $P(A|E_1) = \frac{2}{3}$ (સત્ય) અને $P(A|E_2) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ (અસત્ય).
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,જો તે $6$ હોવાનું જણાવે તો તે ખરેખર $6$ હોવાની સંભાવના:
$P(E_1|A) = \frac{P(E_1)P(A|E_1)}{P(E_1)P(A|E_1) + P(E_2)P(A|E_2)} = \frac{\frac{1}{6} \times \frac{2}{3}}{\frac{1}{6} \times \frac{2}{3} + \frac{5}{6} \times \frac{1}{3}} = \frac{2}{2+5} = \frac{2}{7}$.
જો તે $6$ હોવાનું જણાવે તો તે $6$ ન હોવાની સંભાવના $P(E_2|A) = 1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$ છે.
પાસો નિષ્પક્ષ હોવાથી,જો તે $6$ ન હોય,તો તે અન્ય $5$ સંખ્યાઓ $(1, 2, 3, 4, 5)$ માંથી કોઈ પણ હોઈ શકે છે.
તેથી,જો તે $6$ હોવાનું જણાવે તો તે ખરેખર $5$ હોવાની સંભાવના $\frac{1}{5} \times P(E_2|A) = \frac{1}{5} \times \frac{5}{7} = \frac{1}{7}$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે યાદચ્છિક ચલની તમામ શક્ય કિંમતો માટે સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે.
$\sum_{k=0}^{5} P(X=k) = 1$
$a \left( \frac{0+1}{2^0} + \frac{1+1}{2^1} + \frac{2+1}{2^2} + \frac{3+1}{2^3} + \frac{4+1}{2^4} + \frac{5+1}{2^5} \right) = 1$
$a \left( 1 + 1 + \frac{3}{4} + \frac{4}{8} + \frac{5}{16} + \frac{6}{32} \right) = 1$
$a \left( \frac{15}{4} \right) = 1 \Rightarrow a = \frac{4}{15}$.
$X$ માટે અવિભાજ્ય કિંમતો $\{2, 3, 5\}$ છે.
$P(X \in \{2, 3, 5\}) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=5)$
$= a \left( \frac{3}{4} + \frac{4}{8} + \frac{6}{32} \right) = a \left( \frac{23}{16} \right)$
$= \frac{4}{15} \times \frac{23}{16} = \frac{23}{60}$.

(B) સંભાવના વિતરણ માટે,બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ:
$\sum P(X=x_i) = 1$
$0 + k + 2k + 2k + 3k + k^2 + 2k^2 + (7k^2 + k) = 1$
$10k^2 + 9k - 1 = 0$
$(10k - 1)(k + 1) = 0$
કારણ કે $P(X=x) \ge 0$,$k$ ધન હોવો જોઈએ,તેથી $k = \frac{1}{10}$.
હવે,આપણે $P(0 < X < 6) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)$ શોધવાની જરૂર છે.
$P(0 < X < 6) = k + 2k + 2k + 3k + k^2 = 8k + k^2$.
$k = \frac{1}{10}$ મૂકતા:
$P(0 < X < 6) = 8\left(\frac{1}{10}\right) + \left(\frac{1}{10}\right)^2 = \frac{8}{10} + \frac{1}{100} = \frac{80+1}{100} = \frac{81}{100} = \left(\frac{9}{10}\right)^2$.

(B) જ્યારે બે પાસાઓ ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6 \times 6 = 36$ છે.
ઘટના $A$ એ સરવાળો $\ge 8$ મળે તેવી ઘટના છે. તેના પરિણામો છે:
$A = \{(2,6), (3,5), (3,6), (4,4), (4,5), (4,6), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$.
આમ,$n(A) = 15$.
ઘટના $B$ એ ઓછામાં ઓછા એક પાસા પર $3$ કે તેથી ઓછી સંખ્યા મળે તેવી ઘટના છે.
ઘટના $A \cap B$ એ સરવાળો $\ge 8$ મળે અને ઓછામાં ઓછા એક પાસા પર $3$ કે તેથી ઓછી સંખ્યા મળે તેવી ઘટના છે.
$A$ ના ઘટકો જોતા,જે પરિણામોમાં ઓછામાં ઓછો એક પાસો $3$ કે તેથી ઓછો હોય તે છે:
$A \cap B = \{(2,6), (3,5), (3,6), (5,3), (6,2), (6,3)\}$.
આમ,$n(A \cap B) = 6$.
શરતી સંભાવના $P(B / A) = \frac{n(A \cap B)}{n(A)} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$ થાય.

(B) ઓછામાં ઓછી એક છાપ મળવાની સંભાવના $1 - P(\text{એક પણ છાપ ન મળે})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સિક્કો નિષ્પક્ષ હોવાથી,$n$ વખત ઉછાળતા એક પણ છાપ ન મળે તેની સંભાવના $\left(\frac{1}{2}\right)^n$ છે.
તેથી,ઓછામાં ઓછી એક છાપ મળવાની સંભાવના $1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n > 0.8$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $1 - 0.8 > \left(\frac{1}{2}\right)^n$,એટલે કે $0.2 > \left(\frac{1}{2}\right)^n$.
$0.2$ ને $\frac{1}{5}$ તરીકે લખતા,આપણને $\frac{1}{5} > \frac{1}{2^n}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $2^n > 5$.
$n=1$ માટે,$2^1 = 2 < 5$.
$n=2$ માટે,$2^2 = 4 < 5$.
$n=3$ માટે,$2^3 = 8 > 5$.
આમ,$n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $3$ છે.

(D) કુલ દડાની સંખ્યા = $7 + 6 + 8 = 21$.
સફેદ દડાની સંખ્યા = $7$.
સફેદ ન હોય તેવા દડાની સંખ્યા = $6 + 8 = 14$.
આપણે ઓછામાં ઓછો એક દડો સફેદ હોય તેની સંભાવના શોધવાની છે.
પૂરક ઘટનાની સંભાવના શોધવી સરળ છે: $P(\text{ઓછામાં ઓછો એક સફેદ}) = 1 - P(\text{એક પણ સફેદ નહીં})$.
જો એક પણ સફેદ દડો ન નીકળે,તો બંને દડા સફેદ ન હોય તેવા હોવા જોઈએ.
પ્રથમ દડો સફેદ ન હોય તેની સંભાવના = $\frac{14}{21}$.
એક સફેદ ન હોય તેવો દડો કાઢ્યા પછી,કુલ $20$ દડામાંથી $13$ સફેદ ન હોય તેવા દડા બાકી રહે છે.
બીજો દડો સફેદ ન હોય તેની સંભાવના = $\frac{13}{20}$.
$P(\text{એક પણ સફેદ નહીં}) = \frac{14}{21} \times \frac{13}{20} = \frac{2}{3} \times \frac{13}{20} = \frac{26}{60} = \frac{13}{30}$.
તેથી,$P(\text{ઓછામાં ઓછો એક સફેદ}) = 1 - \frac{13}{30} = \frac{17}{30}$.