જો C_r = { }^n C_r હોય,તો C_0 + C_4 + C_8 + C | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $S = C_0 + C_4 + C_8 + C_{12} + \ldots$ $(1+x)^n = \sum_{r=0}^n C_r x^r$ વિસ્તરણ ધ્યાનમાં લો. એકમના ચતુર્થ મૂળ $\omega = i$ લો. મૂળ $1, i,

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{2^{\frac{n}{2}} \left[ \cos \frac{n \pi}{4} + 2^{\frac{n}{2}-1} \right]}{2}$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $S = C_0 + C_4 + C_8 + C_{12} + \ldots$ $(1+x)^n = \sum_{r=0}^n C_r x^r$ વિસ્તરણ ધ્યાનમાં લો. એકમના ચતુર્થ મૂળ $\omega = i$ લો. મૂળ $1, i, -1, -i$ છે. એકમના મૂળના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\sum_{k=0}^3 (1 + \omega^k x)^n = \sum_{r=0}^n C_r x^r \sum_{k=0}^3 (\omega^r)^k$. જો $r$ એ $4$ નો ગુણક હોય તો આંતરિક સરવાળો $\sum_{k=0}^3 (\omega^r)^k = 4$ થાય,અન્યથા $0$ થાય. તેથી,$4S = (1+1)^n + (1+i)^n + (1-1)^n + (1-i)^n = 2^n + (1+i)^n + 0^n + (1-i)^n$. $(1+i) = \sqrt{2} e^{i \pi/4}$ અને $(1-i) = \sqrt{2} e^{-i \pi/4}$ હોવાથી,$(1+i)^n + (1-i)^n = 2^{n/2} (e^{i n \pi/4} + e^{-i n \pi/4}) = 2^{n/2} \cdot 2 \cos \frac{n \pi}{4} = 2^{n/2+1} \cos \frac{n \pi}{4}$. તેથી,$4S = 2^n + 2^{n/2+1} \cos \frac{n \pi}{4}$. $S = \frac{2^n}{4} + \frac{2^{n/2+1}}{4} \cos \frac{n \pi}{4} = 2^{n-2} + 2^{n/2-1} \cos \frac{n \pi}{4}$. આને $\frac{2^{n/2} [\cos \frac{n \pi}{4} + 2^{n/2-1}]}{2}$ તરીકે લખી શકાય.

જો $C_r = { }^n C_r$ હોય,તો $C_0 + C_4 + C_8 + C_{12} + \ldots$ નો સરવાળો શોધો.

Similar Questions

$2 \le r \le n$ માટે,$\binom{n}{r} + 2\binom{n}{r-1} + \binom{n}{r-2}$ ની કિંમત શોધો.

જો $(1+x)^n=C_0+C_1 x+C_2 x^2+\ldots+C_n x^n$ હોય,તો $C_0+2 C_1+3 C_2+\ldots+(n+1) C_n$ ની કિંમત શોધો.

જો $26 \left( \frac{2}{3} \binom{12}{2} + \frac{2}{5} \binom{12}{4} + \frac{2}{7} \binom{12}{6} + \dots + \frac{2}{13} \binom{12}{12} \right) = 3^{13} - \alpha$ હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત શોધો:

શ્રેણી $1 + \frac{1}{2} {}^{n}C_{1} + \frac{1}{3} {}^{n}C_{2} + \dots + \frac{1}{n+1} {}^{n}C_{n}$ નો સરવાળો કેટલો થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module