AP EAMCET 2018 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) આપેલ રેખાઓ $a_1x \pm b_1y + c_1 = 0$ અને $a_1x \pm b_1y + c_2 = 0$ સ્વરૂપમાં છે.
રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર $d_1 = \frac{|6 - (-6)|}{\sqrt{2^2 + 3^2}} = \frac{12}{\sqrt{13}}$ અને $d_2 = \frac{12}{\sqrt{13}}$ છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\sin \theta = 12/13$ મળે છે.
ક્ષેત્રફળ = $\frac{d_1 d_2}{\sin \theta} = \frac{(12/\sqrt{13}) \times (12/\sqrt{13})}{12/13} = 12$ ચોરસ એકમ.

(D) જ્યારે અક્ષોને ધન દિશામાં $\theta = 45^{\circ}$ ના ખૂણે ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે રૂપાંતરણ સમીકરણો $x = X \cos \theta - Y \sin \theta$ અને $y = X \sin \theta + Y \cos \theta$ છે.
$\theta = 45^{\circ}$ મૂકતા,આપણને $x = \frac{X-Y}{\sqrt{2}}$ અને $y = \frac{X+Y}{\sqrt{2}}$ મળે છે.
આપેલ રૂપાંતરિત સમીકરણ $17x^2 - 16xy + 17y^2 = 225$ માં $x$ અને $y$ ની કિંમતો મૂકતા:
$17\left(\frac{X-Y}{\sqrt{2}}\right)^2 - 16\left(\frac{X-Y}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{X+Y}{\sqrt{2}}\right) + 17\left(\frac{X+Y}{\sqrt{2}}\right)^2 = 225$
ગણતરી કરતા,આપણને $9X^2 + 25Y^2 = 225$ મળે છે.
તેથી,મૂળ સમીકરણ $9x^2 + 25y^2 = 225$ છે.

(B) શિરોબિંદુ $A$ એ રેખાઓ $x+y=1$ અને $2x+3y=6$ નું છેદબિંદુ છે.
તેને ઉકેલતા,આપણને $x = -3$ અને $y = 4$ મળે છે.
તેથી,$A(-3, 4)$ અને $O\left(\frac{3}{7}, \frac{22}{7}\right)$.
$A(-3, 4)$ અને $O\left(\frac{3}{7}, \frac{22}{7}\right)$ માંથી પસાર થતી રેખા $OA$ નું સમીકરણ:
$y - 4 = \frac{\frac{22}{7} - 4}{\frac{3}{7} - (-3)}(x + 3)$
$y - 4 = -\frac{1}{4}(x + 3)$
$x + 4y = 13$.
રેખા $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ નું અભિલંબ સ્વરૂપ મેળવવા માટે $\sqrt{1^2 + 4^2} = \sqrt{17}$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{\sqrt{17}}x + \frac{4}{\sqrt{17}}y = \frac{13}{\sqrt{17}}$.
અહીં,$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{17}}$ અને $\sin \alpha = \frac{4}{\sqrt{17}}$,તેથી $\tan \alpha = 4$,એટલે કે $\alpha = \tan^{-1}(4)$.

(B) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(2,3)$,$B(2,4)$,અને $C(4,3)$ છે.
$AB$ શિરોલંબ છે અને $AC$ સમક્ષિતિજ છે,તેથી ત્રિકોણ $A$ આગળ કાટખૂણો ધરાવે છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ માટે,લંબકેન્દ્ર $O$ એ કાટખૂણા વાળું શિરોબિંદુ છે. તેથી,$O = A = (2,3)$.
તેથી,$AO^2 = (2-2)^2 + (3-3)^2 = 0$.
મધ્યકેન્દ્ર $G = \left(\frac{2+2+4}{3}, \frac{3+4+3}{3}\right) = \left(\frac{8}{3}, \frac{10}{3}\right)$.
$9BG^2 = 9 \times [(\frac{8}{3}-2)^2 + (\frac{10}{3}-4)^2] = 9 \times [\frac{4}{9} + \frac{4}{9}] = 8$.
$G$ એ $O$ અને $S$ ને જોડતા રેખાખંડનું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. $S = \frac{3G - O}{2} = (3, \frac{7}{2})$.
$4CS^2 = 4 \times [(4-3)^2 + (3-\frac{7}{2})^2] = 4 \times [1 + \frac{1}{4}] = 5$.
$AO^2 + 9BG^2 + 4CS^2 = 0 + 8 + 5 = 13$.

(D) ત્રિકોણની બે બાજુઓનું આપેલ સમીકરણ $3x^2-5xy+2y^2=0$ છે.
અવયવ પાડતા,$(3x-2y)(x-y)=0$.
તેથી,બે બાજુઓના સમીકરણો $L_1: 3x-2y=0$ અને $L_2: x-y=0$ છે.
લંબકેન્દ્ર $H(2,1)$ છે.
શિરોબિંદુ $B$ માંથી $AC$ પરનો વેધ $H(2,1)$ માંથી પસાર થાય છે અને $AC: x-y=0$ ને લંબ છે. લંબ રેખાનું સમીકરણ $x+y-3=0$ મળે છે.
$x+y-3=0$ અને $3x-2y=0$ નું છેદબિંદુ $B(6/5, 9/5)$ છે.
શિરોબિંદુ $C$ માંથી $AB$ પરનો વેધ $H(2,1)$ માંથી પસાર થાય છે અને $AB: 3x-2y=0$ ને લંબ છે. લંબ રેખાનું સમીકરણ $2x+3y-7=0$ મળે છે.
$2x+3y-7=0$ અને $x-y=0$ નું છેદબિંદુ $C(7/5, 7/5)$ છે.
ત્રીજી બાજુ $BC$ એ $(6/5, 9/5)$ અને $(7/5, 7/5)$ માંથી પસાર થાય છે.
ઢાળ $m = -2$ મળે છે.
સમીકરણ $10x+5y=21$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^2 + 2xy + y^2 - 1 = 0$ છે,જેને $(x + y)^2 = 1$ તરીકે લખી શકાય.
ઉગમબિંદુને $(1, 1)$ પર ખસેડ્યા પછી અને અક્ષોને $\theta = 45^{\circ}$ ખૂણે ફેરવ્યા પછી નવા યામ $(X, Y)$ છે.
રૂપાંતરણ સમીકરણો:
$x = 1 + X \cos 45^{\circ} - Y \sin 45^{\circ} = 1 + \frac{X - Y}{\sqrt{2}}$
$y = 1 + X \sin 45^{\circ} + Y \cos 45^{\circ} = 1 + \frac{X + Y}{\sqrt{2}}$
આ કિંમતો $(x + y)^2 = 1$ માં મૂકતા:
$(1 + \frac{X - Y}{\sqrt{2}} + 1 + \frac{X + Y}{\sqrt{2}})^2 = 1$
$(2 + \frac{2X}{\sqrt{2}})^2 = 1$
$(2 + X\sqrt{2})^2 = 1$
$4 + 4\sqrt{2}X + 2X^2 = 1$
$2X^2 + 4\sqrt{2}X + 3 = 0$.
આમ,રૂપાંતરિત સમીકરણ $2x^2 + 4\sqrt{2}x + 3 = 0$ છે.

(C) સમીકરણ $4x^2 - 17xy + 4y^2 = 0$ ને $(4x - y)(x - 4y) = 0$ તરીકે અવયવ પાડી શકાય છે.
તેથી,રેખાઓ $L_1: 4x - y = 0$ અને $L_2: x - 4y = 0$ છે.
ત્રીજી રેખા $L_3: x + y = 5$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણોની જોડી ઉકેલીએ છીએ:
$1$) $L_1$ અને $L_2$: $4x - y = 0$ અને $x - 4y = 0$ થી શિરોબિંદુ $V_1 = (0, 0)$ મળે છે.
$2$) $L_1$ અને $L_3$: $4x - y = 0$ અને $x + y = 5$ થી $5x = 5$ મળે,તેથી $x = 1, y = 4$. આમ $V_2 = (1, 4)$.
$3$) $L_2$ અને $L_3$: $x - 4y = 0$ અને $x + y = 5$ થી $5y = 5$ મળે,તેથી $y = 1, x = 4$. આમ $V_3 = (4, 1)$.
મધ્યકેન્દ્ર $(a, b) = (\frac{0+1+4}{3}, \frac{0+4+1}{3}) = (\frac{5}{3}, \frac{5}{3})$ છે.
તેથી,$a = \frac{5}{3}$ અને $b = \frac{5}{3}$.
શિરોબિંદુઓ $(0, 0), (1, 4), (4, 1)$ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $c = \frac{1}{2} |0(4-1) + 1(1-0) + 4(0-4)| = \frac{1}{2} |1 - 16| = \frac{15}{2}$ છે.
આમ,$a + b + c = \frac{5}{3} + \frac{5}{3} + \frac{15}{2} = \frac{10}{3} + \frac{15}{2} = \frac{20 + 45}{6} = \frac{65}{6}$.

(C) ધારો કે $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$ એ પરિભ્રમણનો ખૂણો છે. તેથી $\cos \theta = \frac{4}{5}$ અને $\sin \theta = \frac{3}{5}$.
જ્યારે અક્ષોને $\theta$ ખૂણે ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે રૂપાંતરણ સમીકરણો $x = X \cos \theta - Y \sin \theta$ અને $y = X \sin \theta + Y \cos \theta$ છે.
$\sin \theta$ અને $\cos \theta$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને $x = \frac{4X - 3Y}{5}$ અને $y = \frac{3X + 4Y}{5}$ મળે છે.
આ કિંમતોને મૂળ સમીકરણ $x^2 + y^2 = 9$ માં મૂકતા:
$\left(\frac{4X - 3Y}{5}\right)^2 + \left(\frac{3X + 4Y}{5}\right)^2 = 9$
$\frac{16X^2 + 9Y^2 - 24XY + 9X^2 + 16Y^2 + 24XY}{25} = 9$
$\frac{25X^2 + 25Y^2}{25} = 9$
$X^2 + Y^2 = 9$.
આમ,સમીકરણ બદલાતું નથી.

(B) ત્રિકોણનું પરિકેન્દ્ર તેના શિરોબિંદુઓથી સમાન અંતરે હોય છે. ધારો કે $O(x, y)$ એ $A(-2, 3), B(1, -2)$ અને $C(2, 1)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું પરિકેન્દ્ર છે.
$OA = OB = OC$ હોવાથી,$OA^2 = OB^2 = OC^2$ થાય.
$OA^2 = (x + 2)^2 + (y - 3)^2 = x^2 + y^2 + 4x - 6y + 13$
$OB^2 = (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = x^2 + y^2 - 2x + 4y + 5$
$OC^2 = (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = x^2 + y^2 - 4x - 2y + 5$
$OA^2 = OB^2$ સરખાવતા:
$6x - 10y + 8 = 0 \Rightarrow 3x - 5y + 4 = 0 \dots (i)$
$OB^2 = OC^2$ સરખાવતા:
$2x + 6y = 0 \Rightarrow x = -3y \dots (ii)$
$(ii)$ ને $(i)$ માં મુકતા:
$3(-3y) - 5y + 4 = 0$ $\Rightarrow -14y = -4$ $\Rightarrow y = \frac{2}{7}$
તેથી,$x = -3\left(\frac{2}{7}\right) = -\frac{6}{7}$.
આમ,પરિકેન્દ્ર $\left(-\frac{6}{7}, \frac{2}{7}\right)$ છે.

(D) બિંદુ $(1,1)$ માંથી પસાર થતી અને $m$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - 1 = m(x - 1)$ છે.
રેખા ધન અક્ષોને $A$ અને $B$ માં છેદે છે,તેથી $A$ શોધવા માટે $y=0$ અને $B$ શોધવા માટે $x=0$ લેતા.
$A$ માટે,$0 - 1 = m(x - 1) \implies x - 1 = -\frac{1}{m} \implies x = 1 - \frac{1}{m}$. તેથી,$A = (1 - \frac{1}{m}, 0)$.
$B$ માટે,$y - 1 = m(0 - 1) \implies y - 1 = -m \implies y = 1 - m$. તેથી,$B = (0, 1 - m)$.
$A$ અને $B$ ધન અક્ષો પર હોવાથી,$1 - \frac{1}{m} > 0$ અને $1 - m > 0$. $m < 0$ હોવાથી,ધારો કે $m = -k$ જ્યાં $k > 0$.
તો $OA = 1 + \frac{1}{k}$ અને $OB = 1 + k$.
$OA + OB = 2 + k + \frac{1}{k}$.
$AM$-$GM$ અસમતા મુજબ,$k + \frac{1}{k} \ge 2\sqrt{k \cdot \frac{1}{k}} = 2$.
તેથી ન્યૂનતમ કિંમત $2 + 2 = 4$ થાય.

(C) ધારો કે રેખાનું અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
રેખા $(4,3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{4}{a} + \frac{3}{b} = 1$.
અંતઃખંડોનો સરવાળો $a + b = 14$ છે,તેથી $b = 14 - a$.
કિંમત મૂકતા: $\frac{4}{a} + \frac{3}{14 - a} = 1$.
$a^2 - 15a + 56 = 0$ મળે છે.
$(a - 7)(a - 8) = 0$.
જો $a = 7$ તો $b = 7$,સમીકરણ $x + y = 7$ મળે.
જો $a = 8$ તો $b = 6$,સમીકરણ $3x + 4y = 24$ મળે.

(C) . ધારો કે $Y$-અંતઃખંડ $a$ છે,તો $X$-અંતઃખંડ $2a$ છે. સમીકરણ: $\frac{x}{2a} + \frac{y}{a} = 1 \Rightarrow x+2y=2a$. તે $(4,3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $4+2(3)=2a \Rightarrow 2a=10$. સમીકરણ: $x+2y-10=0$ (વિકલ્પ $IV$).
$B$. મધ્યકેન્દ્ર $G = (\frac{10}{3}, -\frac{2}{3})$. પરિકેન્દ્ર $O = (\frac{21}{4}, -\frac{5}{4})$. $G$ અને $O$ માંથી પસાર થતી રેખા $7x+23y-8=0$ છે (વિકલ્પ $II$).
$C$. $x-y+2=0$ ને લંબ રેખાનો ઢાળ $-1$ છે. સમીકરણ: $y-0 = -1(x - (-3/5)) \Rightarrow 5x+5y+3=0$ (વિકલ્પ $V$).
$D$. અભિલંબ સ્વરૂપ: $x \cos 45^{\circ} + y \sin 45^{\circ} = 2 \Rightarrow x+y-2\sqrt{2}=0$ (વિકલ્પ $I$).

(D) $a_1x+b_1y+c_1=0$,$a_1x+b_1y+c_2=0$,$a_2x+b_2y+d_1=0$ અને $a_2x+b_2y+d_2=0$ રેખાઓ દ્વારા બનતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{Area} = \left| \frac{(c_1-c_2)(d_1-d_2)}{a_1b_2-a_2b_1} \right|$ છે.
અહીં,રેખાઓ $ax+by+2=0$,$ax+by+5=0$,$cx+dy+3=0$ અને $cx+dy+7=0$ છે.
સૂત્ર સાથે સરખાવતા,$c_1=2, c_2=5, d_1=3, d_2=7, a_1=a, b_1=b, a_2=c, b_2=d$ મળે છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\text{Area} = \left| \frac{(2-5)(3-7)}{ad-bc} \right|$
$\text{Area} = \left| \frac{(-3)(-4)}{ad-bc} \right|$
$\text{Area} = \frac{12}{|ad-bc|}$ ચોરસ એકમ.

(A) ધારો કે રેખા $L$ સાથે $60^{\circ}$ ના ખૂણે નમેલી રેખાઓનો ઢાળ $n$ છે.
રેખા $L$ નો ઢાળ $m=1$ આપેલ છે.
બે રેખાઓના ઢાળ $m$ અને $n$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = \left| \frac{n-m}{1+nm} \right|$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા.
કિંમતો મૂકતા,$\tan 60^{\circ} = \left| \frac{n-1}{1+n} \right| = \sqrt{3}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{(n-1)^2}{(n+1)^2} = 3$.
$(n-1)^2 = 3(n+1)^2
$ $\Rightarrow n^2 - 2n + 1 = 3n^2 + 6n + 3
$ $\Rightarrow 2n^2 + 8n + 2 = 0
$ $\Rightarrow n^2 + 4n + 1 = 0$.
આ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ એ બે રેખાઓના ઢાળ દર્શાવે છે.
ઢાળનો ગુણાકાર એ અચળ પદ અને $n^2$ ના સહગુણકનો ગુણોત્તર છે,જે $\frac{1}{1} = 1$ થાય છે.

(C) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $x^2-xy+y^2+3x+3y-2=0$ $(i)$ અને રેખાનું સમીકરણ: $x+2y=k$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{x+2y}{k}=1$.
$\angle AOB=90^{\circ}$ માટેની શરત શોધવા માટે,આપણે રેખાના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને વક્રના સમીકરણને સમઘાત બનાવીએ:
$x^2-xy+y^2+(3x+3y)\left(\frac{x+2y}{k}\right)-2\left(\frac{x+2y}{k}\right)^2=0$.
$k^2$ વડે ગુણતા:
$k^2x^2-k^2xy+k^2y^2+3k(x^2+3xy+2y^2)-2(x^2+4xy+4y^2)=0$.
પદોને ગોઠવતા:
$x^2(k^2+3k-2) + xy(-k^2+9k-8) + y^2(k^2+6k-8) = 0$.
$\angle AOB=90^{\circ}$ માટે,$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ:
$(k^2+3k-2) + (k^2+6k-8) = 0$.
$2k^2+9k-10=0$.

(B) $23x^2 - 48xy + 3y^2 = 0$ દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓની જોડી $y = m_1x$ અને $y = m_2x$ છે.
$ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 23, 2h = -48, b = 3$ મળે છે.
ઢાળનો સરવાળો $m_1 + m_2 = 16$ અને ગુણાકાર $m_1m_2 = 23/3$ છે.
ઢાળનો તફાવત $|m_1 - m_2| = 26/\sqrt{3}$ મળે છે.
આ રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\tan \theta = \sqrt{3}$ એટલે કે $\theta = 60^{\circ}$ છે.
ત્રીજી રેખા $2x + 3y + 4 = 0$ નો ઢાળ $m_3 = -2/3$ છે.
ગણતરી કરતા,આ ત્રિકોણ સમબાજુ ત્રિકોણ બને છે.

(C) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની બે બાજુઓ દર્શાવતી રેખાઓની જોડી $2x^2+3xy-2y^2=0$ છે.
તેને $ax^2+2hxy+by^2=0$ સાથે સરખાવતા,$a=2, b=-2, h=\frac{3}{2}$ મળે છે.
આપેલ વિકર્ણ $3x+y=-1$ છે,જેને $lx+my=1$ સ્વરૂપમાં લખતા $l=3, m=1$ મળે છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના બીજા વિકર્ણનું સૂત્ર $y(bl-hm) = x(am-hl)$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$y((-2)(3) - (\frac{3}{2})(1)) = x((2)(1) - (\frac{3}{2})(3))$
$y(-6 - \frac{3}{2}) = x(2 - \frac{9}{2})$
$y(-\frac{15}{2}) = x(-\frac{5}{2})$
$15y = 5x$
$3y = x \Rightarrow x-3y=0$.

(C) ધારો કે રેખા $x+y+3=0$ પરનું બિંદુ $(x, y)$ છે. તેથી,$y = -x-3$. બિંદુ $(x, -x-3)$ છે.
આ બિંદુનું રેખા $x+2y+2=0$ થી અંતર $\frac{|x+2(-x-3)+2|}{\sqrt{1^2+2^2}} = \sqrt{5}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\frac{|x-2x-6+2|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} \implies |-x-4| = 5$.
$|x+4| = 5 \implies x+4 = 5$ અથવા $x+4 = -5$.
તેથી,$x_1 = 1$ અને $x_2 = -9$.
$|x_1-x_2| = |1 - (-9)| = |10| = 10$.

(C) રેખાખંડ $PQ$ ને $4:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતા બિંદુ $R$ ના યામ:
$R = \left(\frac{4(1)+1(2)}{4+1}, \frac{4(1)+1(-1)}{4+1}\right) = \left(\frac{6}{5}, \frac{3}{5}\right)$
બિંદુ $R$ એ રેખા $L \equiv 3x+4y-k=0$ પર હોવાથી:
$3\left(\frac{6}{5}\right) + 4\left(\frac{3}{5}\right) - k = 0 \Rightarrow k=6$
તેથી,$L \equiv 3x+4y-6=0$.
રેખા $PQ$ નું સમીકરણ:
$2x+y-3=0$
સંગામી રેખાઓની સંહતિ:
$(3x+4y-6) + \lambda(2x+y-3) = 0$
રેખા $y=x$ ને સમાંતર હોવાથી તેનો ઢાળ $1$ થાય:
$-\frac{3+2\lambda}{4+\lambda} = 1 \Rightarrow \lambda = -\frac{7}{3}$
કિંમત મુકતા:
$5x-5y-3=0$

(D) પ્રથમ,$L_1: 2x + 3y + 6 = 0$ અને $L_2: 3x - y - 13 = 0$ નું છેદબિંદુ શોધો.
$L_2$ ને $3$ વડે ગુણતા: $9x - 3y - 39 = 0$.
$L_1$ માં ઉમેરતા: $(2x + 3y + 6) + (9x - 3y - 39) = 0$ $\Rightarrow 11x - 33 = 0$ $\Rightarrow x = 3$.
$x = 3$ ને $L_2$ માં મૂકતા: $3(3) - y - 13 = 0$ $\Rightarrow 9 - y - 13 = 0$ $\Rightarrow y = -4$.
છેદબિંદુ $(3, -4)$ છે.
$3x - 4y + 5 = 0$ ને સમાંતર રેખાનું સ્વરૂપ $3x - 4y + k = 0$ છે.
આ રેખા $(3, -4)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી યામ મૂકતા:
$3(3) - 4(-4) + k = 0$ $\Rightarrow 9 + 16 + k = 0$ $\Rightarrow 25 + k = 0$ $\Rightarrow k = -25$.
આમ,માંગેલ સમીકરણ $3x - 4y - 25 = 0$ છે.

(B) ત્રણ રેખાઓ $a_1x+b_1y+c_1=0$,$a_2x+b_2y+c_2=0$,અને $a_3x+b_3y+c_3=0$ સંગામી હોય જો તેમના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય: $\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = 0$.
આપેલ રેખાઓ $x+ay+a=0$,$bx+y+b=0$,અને $cx+cy+1=0$ છે.
સંગામી હોવાની શરત $\begin{vmatrix} 1 & a & a \\ b & 1 & b \\ c & c & 1 \end{vmatrix} = 0$ છે.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $1(1-bc) - a(b-bc) + a(bc-c) = 0$.
$1 - bc - ab + abc + abc - ac = 0$,જેનું સાદું રૂપ $ab+bc+ca - 2abc = 1$ થાય છે.
ધારો કે $S = \frac{a}{a-1} + \frac{b}{b-1} + \frac{c}{c-1}$.
$S = \frac{a(b-1)(c-1) + b(a-1)(c-1) + c(a-1)(b-1)}{(a-1)(b-1)(c-1)}$.
અંશનું વિસ્તરણ કરતા: $a(bc-b-c+1) + b(ac-a-c+1) + c(ab-a-b+1) = 3abc - 2(ab+bc+ca) + (a+b+c)$.
છેદનું વિસ્તરણ કરતા: $(ab-a-b+1)(c-1) = abc - ab - ac + a - bc + b + c - 1 = abc - (ab+bc+ca) + (a+b+c) - 1$.
$ab+bc+ca = 1+2abc$ નો ઉપયોગ કરતા,અંશ $3abc - 2(1+2abc) + (a+b+c) = -abc + (a+b+c) - 2$ બને છે.
છેદ $abc - (1+2abc) + (a+b+c) - 1 = -abc + (a+b+c) - 2$ બને છે.
આમ,$S = \frac{-abc + (a+b+c) - 2}{-abc + (a+b+c) - 2} = 1$.

(C) ધારો કે રેખાઓ $L_1: 2x + 3y - 1 = 0$,$L_2: x + 2y - 1 = 0$ અને $L_3: ax + by - 1 = 0$ છે. ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ લંબકેન્દ્ર છે.
$L_1$ અને $L_2$ ના છેદબિંદુમાંથી $L_3$ પરનો વેધ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
$L_1$ અને $L_2$ નું છેદબિંદુ $(-1, 1)$ મળે છે.
$(-1, 1)$ અને $(0, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખા $x + y = 0$ છે.
આ રેખા $L_3$ ને લંબ હોવાથી,$L_3$ નો ઢાળ $-a/b$ છે.
$x + y = 0$ નો ઢાળ $-1$ છે. તેથી,$(-a/b) \times (-1) = -1$,જેનો અર્થ છે કે $a/b = -1$,એટલે કે $a = -b$.
આ જ રીતે,$L_2$ અને $L_3$ ના છેદબિંદુમાંથી $L_1$ પરનો વેધ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
ગણતરી કરતા $a = -8$ અને $b = 8$ મળે છે.

(B) ધારો કે બિંદુ $P(x, y)$ છે. આપેલ શરત $PA + PB = 4$ છે.
$\sqrt{(x-1)^2 + (y+1)^2} + \sqrt{(x+1)^2 + (y-1)^2} = 4$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x-1)^2 + (y+1)^2 + (x+1)^2 + (y-1)^2 + 2\sqrt{((x-1)^2 + (y+1)^2)((x+1)^2 + (y-1)^2)} = 16$
$2(x^2 + y^2 + 2) + 2\sqrt{(x^2 + y^2 + 2 - 2x + 2y)(x^2 + y^2 + 2 + 2x - 2y)} = 16$
$(x^2 + y^2 + 2) + \sqrt{(x^2 + y^2 + 2)^2 - (2x - 2y)^2} = 8$
$\sqrt{(x^2 + y^2 + 2)^2 - 4(x - y)^2} = 8 - (x^2 + y^2 + 2)$
ફરીથી વર્ગ કરતા:
$(x^2 + y^2 + 2)^2 - 4(x - y)^2 = (6 - (x^2 + y^2))^2$
$(x^2 + y^2 + 2)^2 - (x^2 + y^2 - 6)^2 = 4(x - y)^2$
$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$((x^2 + y^2 + 2) - (x^2 + y^2 - 6))((x^2 + y^2 + 2) + (x^2 + y^2 - 6)) = 4(x^2 + y^2 - 2xy)$
$(8)(2x^2 + 2y^2 - 4) = 4(x^2 + y^2 - 2xy)$
$16(x^2 + y^2 - 2) = 4(x^2 + y^2 - 2xy)$
$4x^2 + 4y^2 - 8 = x^2 + y^2 - 2xy$
$3x^2 + 2xy + 3y^2 = 8$

(B) ધારો કે બિંદુઓ $A(a, 0)$ અને $B(0, b)$ છે. ચલ રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
રેખા $(\alpha, \beta)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$\frac{\alpha}{a} + \frac{\beta}{b} = 1$ મળે.
$\triangle OAB$ નું મધ્યકેન્દ્ર $(h, k)$ એ $h = \frac{a}{3}$ અને $k = \frac{b}{3}$ છે.
તેથી,$a = 3h$ અને $b = 3k$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{\alpha}{3h} + \frac{\beta}{3k} = 1$.
$3hk$ વડે ગુણતા,$\alpha k + \beta h = 3hk$ મળે.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $\beta x + \alpha y - 3xy = 0$ મળે છે.

(C) ધારો કે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y=mx$ છે,જે સમાંતર રેખાઓ $x-y+10=0$ અને $x-y+20=0$ ને અનુક્રમે $A$ અને $B$ બિંદુઓમાં છેદે છે.
બિંદુ $A$ માટે: $x-mx+10=0 \Rightarrow x=\frac{10}{m-1}, y=\frac{10m}{m-1}$.
તેથી,$OA = \frac{10\sqrt{1+m^2}}{|m-1|}$.
તે જ રીતે,બિંદુ $B$ માટે: $OB = \frac{20\sqrt{1+m^2}}{|m-1|}$.
ધારો કે $P(h, k)$ એ $y=mx$ પરનું બિંદુ છે,તેથી $m=\frac{k}{h}$ અને $OP = \sqrt{h^2+k^2}$.
$OA, OP, OB$ હરાત્મક શ્રેણીમાં હોવાથી,$\frac{2}{OP} = \frac{1}{OA} + \frac{1}{OB}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2}{\sqrt{h^2+k^2}} = \frac{|m-1|}{\sqrt{1+m^2}} \cdot \frac{3}{20}$.
$m = \frac{k}{h}$ મૂકતા,આપણને $3(k-h) = 40$ મળે છે.
તેથી,બિંદુપથ $3x-3y+40=0$ છે.

(A) ચતુષ્કોણ $PABC$ નું ક્ષેત્રફળ એ $\triangle ABC$ અને $\triangle PAC$ ના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= 3.5$ ચોરસ એકમ.
તેથી,$\triangle PAC$ નું ક્ષેત્રફળ $= 10 - 3.5 = 6.5$ ચોરસ એકમ.
$P(x,y)$ માટે,$\frac{1}{2} |4x - 3y - 11| = 6.5$
$|4x - 3y - 11| = 13$.
આ સમીકરણનું વર્ગ કરતાં $(4x - 3y - 11)^2 = 169$ મળે છે,જે વિકલ્પો સાથે સુસંગત છે.

(A) ધારો કે બિંદુઓના યામ $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$,અને $C(x_3, y_3)$ છે. ધારો કે $P(x, y)$ એ ચલ બિંદુ છે.
આપેલ શરત $PA^2 + PB^2 = 2PC^2$ છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 + (x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 = 2[(x - x_3)^2 + (y - y_3)^2]$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $(x^2 - 2xx_1 + x_1^2 + y^2 - 2yy_1 + y_1^2) + (x^2 - 2xx_2 + x_2^2 + y^2 - 2yy_2 + y_2^2) = 2(x^2 - 2xx_3 + x_3^2 + y^2 - 2yy_3 + y_3^2)$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $2x^2 + 2y^2 - 2x(x_1 + x_2) - 2y(y_1 + y_2) + x_1^2 + x_2^2 + y_1^2 + y_2^2 = 2x^2 + 2y^2 - 4xx_3 - 4yy_3 + 2x_3^2 + 2y_3^2$.
$x^2$ અને $y^2$ ના પદો ઉડી જાય છે,અને $x$ અને $y$ માં $Ax + By + C = 0$ સ્વરૂપનું સુરેખ સમીકરણ મળે છે.
તેથી,બિંદુ $P$ નો બિંદુપથ એક સીધી રેખા છે.

(D) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $2x^2 - xy - 3y^2 + 6x + y + 4 = 0$ છે.
તેના અવયવો પાડતા:
$2x^2 + x(6 - y) - (3y^2 - y - 4) = 0$.
$x$ માટે દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{y-6 \pm (5y-2)}{4}$.
આથી બે રેખાઓ મળે છે:
$L_1: 2x - 3y + 4 = 0$.
$L_2: x + y + 1 = 0$.
બિંદુ $(-1, 5)$ થી $2x - 3y + 4 = 0$ પરના લંબની લંબાઈ $P_1 = \sqrt{13}$ છે.
બિંદુ $(-1, 5)$ થી $x + y + 1 = 0$ પરના લંબની લંબાઈ $P_2 = \frac{5}{\sqrt{2}}$ છે.
લંબની લંબાઈનો ગુણાકાર $P_1 \times P_2 = \sqrt{13} \times \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{65}{\sqrt{26}}$ થાય.

(C) આપેલ રેખાઓની જોડી $x^2 - 4xy + y^2 = 0$ છે.
સામાન્ય સ્વરૂપ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 1, h = -2, b = 1$ મળે છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી રેખાઓ પરના લંબ અંતરનો ગુણાકાર $d_1 d_2 = \frac{|ax_1^2 + 2hx_1y_1 + by_1^2|}{\sqrt{(a-b)^2 + 4h^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $x_1 = 1, y_1 = -1, a = 1, h = -2, b = 1$.
$d_1 d_2 = \frac{|1(1)^2 + 2(-2)(1)(-1) + 1(-1)^2|}{\sqrt{(1-1)^2 + 4(-2)^2}} = \frac{|1 + 4 + 1|}{\sqrt{0 + 16}} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.

(B) આપેલ સીધી રેખાઓની જોડી $x^2-y^2+2y-1=0$ છે.
આને $x^2-(y-1)^2=0$ તરીકે લખી શકાય,જેનું અવયવીકરણ $(x-y+1)(x+y-1)=0$ થાય છે.
આમ,બે રેખાઓ $L_1: x-y+1=0$ અને $L_2: x+y-1=0$ છે.
આ રેખાઓના ખૂણાના દ્વિભાજકો $\frac{x-y+1}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \pm \frac{x+y-1}{\sqrt{1^2+1^2}}$ દ્વારા મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x-y+1 = \pm(x+y-1)$ થાય છે.
કિસ્સો $1$: $x-y+1 = x+y-1$ $\Rightarrow 2y=2$ $\Rightarrow y=1$.
કિસ્સો $2$: $x-y+1 = -(x+y-1)$ $\Rightarrow x-y+1 = -x-y+1$ $\Rightarrow 2x=0$ $\Rightarrow x=0$.
ત્રિકોણ રેખા $x+y=3$ અને રેખાઓ $x=0$ તથા $y=1$ દ્વારા રચાય છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ આ રેખાઓના છેદબિંદુઓ છે:
$1$. $x=0$ અને $y=1$ નું છેદબિંદુ $(0,1)$ છે.
$2$. $x=0$ અને $x+y=3$ નું છેદબિંદુ $(0,3)$ છે.
$3$. $y=1$ અને $x+y=3$ નું છેદબિંદુ $(2,1)$ છે.
શિરોબિંદુઓ $(0,1), (0,3),$ અને $(2,1)$ છે.
$y$-અક્ષ પર ત્રિકોણનો પાયો $|3-1|=2$ એકમ છે.
શિરોબિંદુ $(2,1)$ થી $y$-અક્ષ સુધીની ત્રિકોણની ઊંચાઈ $|2-0|=2$ એકમ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$ ચોરસ એકમ.

(C) ધારો કે બે રેખાઓ $L_1: 3x + 2y + 4 = 0$ અને $L_2: ax + by + c = 0$ છે. રેખા $L: 2x + 3y + 1 = 0$ એ ખૂણાનો દ્વિભાજક છે.
પ્રથમ,$L_1$ અને $L$ નું છેદબિંદુ શોધો:
$3x + 2y = -4$ ($3$ વડે ગુણતા $9x + 6y = -12$)
$2x + 3y = -1$ ($2$ વડે ગુણતા $4x + 6y = -2$)
સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(9x - 4x) = -12 - (-2)$ $\Rightarrow 5x = -10$ $\Rightarrow x = -2$.
$x = -2$ ને $2x + 3y + 1 = 0$ માં મૂકતા: $2(-2) + 3y + 1 = 0$ $\Rightarrow -4 + 3y + 1 = 0$ $\Rightarrow 3y = 3$ $\Rightarrow y = 1$.
છેદબિંદુ $(-2, 1)$ છે.
ખૂણાનો દ્વિભાજક $L$ એ $L_1$ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે. બીજી રેખા $L_2$ પણ $L$ સાથે બીજી બાજુ સમાન ખૂણો $\theta$ બનાવશે.
$L_1$ નો ઢાળ $m_1 = -3/2$ છે. $L$ નો ઢાળ $m = -2/3$ છે. ધારો કે $L_2$ નો ઢાળ $m_2$ છે.
$L_1$ અને $L$ વચ્ચેનો ખૂણો $\tan \theta = |(m - m_1) / (1 + m \cdot m_1)| = |(-2/3 - (-3/2)) / (1 + (-2/3)(-3/2))| = |(-4/6 + 9/6) / (1 + 1)| = |(5/6) / 2| = 5/12$ દ્વારા મળે છે.
જેમ કે $L$ ખૂણાને દુભાગે છે,$\tan \theta = |(m_2 - m) / (1 + m_2 \cdot m)| = 5/12$.
$|(m_2 + 2/3) / (1 - 2m_2/3)| = 5/12 \Rightarrow |(3m_2 + 2) / (3 - 2m_2)| = 5/12$.
કિસ્સો $1$: $(3m_2 + 2) / (3 - 2m_2) = 5/12$ $\Rightarrow 36m_2 + 24 = 15 - 10m_2$ $\Rightarrow 46m_2 = -9$ $\Rightarrow m_2 = -9/46$.
$(-2, 1)$ બિંદુનો ઉપયોગ કરીને: $y - 1 = (-9/46)(x + 2)$ $\Rightarrow 46y - 46 = -9x - 18$ $\Rightarrow 9x + 46y - 28 = 0$.

(D) આપેલ સમીકરણ $3x^2+7xy+2y^2+2gx+2fy+2=0$ એ બે રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે,તેથી શરત $abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2=0$ મુજબ:
$6f^2 + 4g^2 - 14fg = -25$ ---$(i)$
છેદબિંદુ શોધવા માટે,સમીકરણનું $x$ અને $y$ ની સાપેક્ષે આંશિક વિકલન કરતા:
$6x+7y+2g = 0$ ---(ii)
$7x+4y+2f = 0$ ---(iii)
આ સમીકરણો ઉકેલતા,છેદબિંદુ $\left(\frac{8g-14f}{25}, \frac{12f-14g}{25}\right)$ મળે છે.
ઉગમબિંદુથી અંતરનો વર્ગ $\frac{2}{5}$ હોવાથી:
$\left(\frac{8g-14f}{25}\right)^2 + \left(\frac{12f-14g}{25}\right)^2 = \frac{2}{5}$
સાદુરૂપ આપતા $26g^2 + 34f^2 - 56fg = 25$ મળે છે. ---(iv)
સમીકરણ $(i)$ અને (iv) ને ઉકેલતા:
$10g^2 + 10f^2 = 125$
તેથી,$f^2 + g^2 = \frac{25}{2}$

(C) આપેલ સમીકરણ $4xy + 6x - 8y + c = 0$ છે.
આને $(x - 2)(y + 1.5) = \frac{12 - c}{4}$ તરીકે લખી શકાય.
લંબચોરસની બાજુઓ $x = 2$ અને $y = -1.5$ છે.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $|2 \times (-1.5)| = 3$ થાય.
વિકલ્પ $C$ મુજબ,$|c|/4 = 12/4 = 3$ થાય છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $4xy + 6x - 8y + c = 0$ છે.
આ સમીકરણને અવયવ પાડતા: $(2y + 3)(x - 2) = -\frac{12 + c}{2}$ મળે.
રેખાઓ યામ અક્ષો સાથે લંબચોરસ બનાવે તે માટે,રેખાઓ $x = 2$ અને $y = -1.5$ સ્વરૂપમાં હોવી જોઈએ.
લંબચોરસની બાજુઓ $2$ અને $1.5$ છે.
તેથી,ક્ષેત્રફળ $2 \times 1.5 = 3$ થાય.
અહીં $c = -12$ હોવાથી,$|c/4| = |-12/4| = 3$ મળે છે.

(C) વર્તુળ બંને યામ અક્ષોને સ્પર્શે છે,તેથી તેનું કેન્દ્ર $(h, h)$ અને ત્રિજ્યા $|h|$ છે.
આપેલ છે કે વર્તુળ રેખા $3x - 4y - 12 = 0$ ને પણ સ્પર્શે છે,તેથી કેન્દ્ર $(h, h)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $|h|$ જેટલું થાય.
$\therefore \left|\frac{3h - 4h - 12}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}\right| = |h|$
$\Rightarrow \left|\frac{-h - 12}{5}\right| = |h|$
$\Rightarrow |-h - 12| = 5|h|$
કિસ્સો $1$: $-h - 12 = 5h$ $\Rightarrow 6h = -12$ $\Rightarrow h = -2$.
કિસ્સો $2$: $-h - 12 = -5h$ $\Rightarrow 4h = 12$ $\Rightarrow h = 3$.
$h = 3$ માટે,સમીકરણ $(x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 3^2$ થાય.
$x^2 - 6x + 9 + y^2 - 6y + 9 = 9$
$x^2 + y^2 - 6x - 6y + 9 = 0$.

(A) બે વર્તુળો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{r_1^2+r_2^2-d^2}{2 r_1 r_2}$ છે.
$(A)$ $(x-2)^2+y^2=2$ $(r_1=\sqrt{2}, c_1=(2,0))$ અને $(x-2)^2+(y-1)^2=1$ $(r_2=1, c_2=(2,1))$.
$d^2 = (2-2)^2 + (1-0)^2 = 1$.
$\cos \theta = \frac{2+1-1}{2 \times \sqrt{2} \times 1} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\theta = 45^{\circ}$ અથવા $135^{\circ}$. તેથી,$(A)$ એ $II$ સાથે જોડાય છે.
$(B)$ $x^2+y^2-6x-6y+9=0$ $(r_1=\sqrt{3^2+3^2-9}=3, c_1=(3,3))$ અને $x^2+y^2-4x+4y-9=0$ $(r_2=\sqrt{2^2+(-2)^2-(-9)}=\sqrt{17}, c_2=(2,-2))$.
$d^2 = (3-2)^2 + (3-(-2))^2 = 1^2 + 5^2 = 26$.
$\cos \theta = \frac{9+17-26}{2 \times 3 \times \sqrt{17}} = 0$.
$\theta = 90^{\circ}$. તેથી,$(B)$ એ $I$ સાથે જોડાય છે.
$(C)$ $x^2+y^2+4x-14y+28=0$ $(r_1=\sqrt{(-2)^2+7^2-28}=5, c_1=(-2,7))$ અને $x^2+y^2+4x-5=0$ $(r_2=\sqrt{(-2)^2+0^2-(-5)}=3, c_2=(-2,0))$.
$d^2 = (-2-(-2))^2 + (7-0)^2 = 49$.
$\cos \theta = \frac{25+9-49}{2 \times 5 \times 3} = \frac{-15}{30} = -\frac{1}{2}$.
$\theta = 120^{\circ}$ અથવા $60^{\circ}$. તેથી,$(C)$ એ $III$ સાથે જોડાય છે.
આમ,સાચી જોડણી $A-II, B-I, C-III$ છે.

(A) સમાંતર રેખાઓ $3x - 4y - 10 = 0$ અને $3x - 4y + 30 = 0$ વચ્ચેનું અંતર એ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
વ્યાસ $d = \frac{|30 - (-10)|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{40}{5} = 8$.
તેથી,ત્રિજ્યા $r = \frac{d}{2} = 4$.
કેન્દ્ર $(h, k)$ એ રેખા $x + 2y = 0$ પર છે,તેથી $h = -2k$.
કેન્દ્ર બંને સમાંતર રેખાઓથી સમાન અંતરે છે. આપેલ રેખાઓની વચ્ચેની રેખા $3x - 4y + 10 = 0$ છે.
$x = -2k$ ને $3x - 4y + 10 = 0$ માં મૂકતા,$3(-2k) - 4k + 10 = 0$ મળે છે,જે $-10k = -10$ થાય છે,તેથી $k = 1$.
તેથી $h = -2(1) = -2$. કેન્દ્ર $(-2, 1)$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 4^2$ છે.
$x^2 + 4x + 4 + y^2 - 2y + 1 = 16$.
$x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11 = 0$.

(B) ચોરસના શિરોબિંદુઓ $A(0,0)$,$B(16,0)$,$C(16,16)$,અને $D(0,16)$ છે.
વર્તુળ ચોરસને પરિગત હોવાથી,વિકર્ણ $AC$ એ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
$A$ ના યામ $(0,0)$ અને $C$ ના યામ $(16,16)$ છે.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ છે.
$A$ અને $C$ ના યામ મૂકતા:
$(x-0)(x-16) + (y-0)(y-16) = 0$
$x(x-16) + y(y-16) = 0$
$x^2 - 16x + y^2 - 16y = 0$
$x^2 + y^2 = 16(x+y)$
આપેલ સમીકરણ $x^2 + y^2 = 4k(x+y)$ સાથે સરખાવતા:
$4k = 16$
$k = 4$

(B) આપેલ વર્તુળ: $x^2+y^2+6x+4y-12=0$.
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$g=3, f=2, c=-12$ મળે.
કેન્દ્ર $O = (-g, -f) = (-3, -2)$.
ત્રિજ્યા $R = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{3^2+2^2-(-12)} = \sqrt{9+4+12} = \sqrt{25} = 5$.
ધારો કે $P = (2, -14)$. અંતર $OP = \sqrt{(2 - (-3))^2 + (-14 - (-2))^2} = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.
લઘુત્તમ અંતર $d = OP - R = 13 - 5 = 8$.
સ્પર્શકની લંબાઈ $l = \sqrt{OP^2 - R^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$.
તેથી,$\sqrt{d+l} = \sqrt{8+12} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+4x-10y-7=0$ છે.
તેને $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$g=2$,$f=-5$,અને $c=-7$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(-g, -f) = (-2, 5)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{2^2+(-5)^2-(-7)} = \sqrt{4+25+7} = \sqrt{36} = 6$ છે.
ધારો કે $P$ એ બિંદુ $(4, -3)$ છે. કેન્દ્ર $C(-2, 5)$ અને બિંદુ $P(4, -3)$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (-3 - 5)^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ છે.
બિંદુથી વર્તુળનું ન્યૂનતમ અંતર $|d - r| = |10 - 6| = 4$ છે.
બિંદુથી વર્તુળનું મહત્તમ અંતર $d + r = 10 + 6 = 16$ છે.
ન્યૂનતમ અને મહત્તમ અંતરનો સરવાળો $4 + 16 = 20$ થાય.

(D) ધારો કે જરૂરી છેદબિંદુ $(x_1, y_1)$ છે. વર્તુળ $x^2 + y^2 - 4x - 6y + 4 = 0$ ના સંદર્ભમાં સ્પર્શક જીવાની સમીકરણ $T = 0$ દ્વારા મળે છે:
$xx_1 + yy_1 - 2(x + x_1) - 3(y + y_1) + 4 = 0$
પદોને ગોઠવતા:
$(x_1 - 2)x + (y_1 - 3)y + (4 - 2x_1 - 3y_1) = 0$ $(i)$
આ રેખા $4x + 4y - 11 = 0$ દર્શાવતી હોવાથી,સહગુણકો પ્રમાણસર હશે:
$\frac{x_1 - 2}{4} = \frac{y_1 - 3}{4} = \frac{4 - 2x_1 - 3y_1}{-11} = K$
આથી,$x_1 = 4K + 2$ અને $y_1 = 4K + 3$.
ત્રીજા ગુણોત્તરમાં કિંમત મૂકતા:
$\frac{4 - 2(4K + 2) - 3(4K + 3)}{-11} = K$
$\frac{-20K - 9}{-11} = K$ $\Rightarrow -20K - 9 = -11K$ $\Rightarrow K = -1$
$x_1 = 4(-1) + 2 = -2$ અને $y_1 = 4(-1) + 3 = -1$.
આમ,છેદબિંદુ $(-2, -1)$ છે.

(D) ધારો કે બે વર્તુળો $S_1: x^2+y^2-4x+8y+5=0$ અને $S_2: x^2+y^2+2x+4y-3=0$ છે.
સામાન્ય જીવા $S_1-S_2=0$ દ્વારા મળે છે.
$(x^2+y^2-4x+8y+5) - (x^2+y^2+2x+4y-3) = 0$
$-6x+4y+8=0 \Rightarrow 3x-2y-4=0$.
આમ,રેખાનું સમીકરણ $3x-2y=4$ અથવા $\frac{3x-2y}{4}=1$ છે.
ઉગમબિંદુને છેદબિંદુઓ સાથે જોડતી રેખાઓની જોડ મેળવવા માટે,આપણે રેખાના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને $S_2$ ના સમીકરણનું સમઘાતીકરણ કરીએ છીએ:
$x^2+y^2+(2x+4y)(1) - 3(1)^2 = 0$
$x^2+y^2+(2x+4y)(\frac{3x-2y}{4}) - 3(\frac{3x-2y}{4})^2 = 0$
છેદ દૂર કરવા માટે $16$ વડે ગુણતા:
$16(x^2+y^2) + 4(2x+4y)(3x-2y) - 3(9x^2+4y^2-12xy) = 0$
$16x^2+16y^2 + 4(6x^2+8xy-8y^2) - 27x^2-12y^2+36xy = 0$
$13x^2+68xy-28y^2=0$.

(A) વર્તુળનું આપેલ સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ $(c>0)$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c}$ છે.
વર્તુળ બંને યામ અક્ષોને સ્પર્શતું હોવાથી,કેન્દ્રનું અક્ષોથી અંતર ત્રિજ્યા જેટલું થાય,તેથી $|-g| = |-f| = r = \sqrt{c}$.
વર્તુળ ત્રીજા ચરણમાં હોવાથી,કેન્દ્ર $(-\sqrt{c}, -\sqrt{c})$ થશે.
આમ,વર્તુળનું સમીકરણ $(x+\sqrt{c})^2 + (y+\sqrt{c})^2 = c$ થાય.
વર્તુળ $x$-અક્ષને $(-\sqrt{c}, 0)$ બિંદુએ અને $y$-અક્ષને $(0, -\sqrt{c})$ બિંદુએ સ્પર્શે છે.
ધારો કે આ બિંદુઓ $A(-\sqrt{c}, 0)$ અને $B(0, -\sqrt{c})$ છે.
આ બિંદુઓ રેખા $x+y+\sqrt{c}=0$ પર આવેલા છે કે નહીં તે ચકાસીએ:
બિંદુ $A$ માટે: $-\sqrt{c} + 0 + \sqrt{c} = 0$ (સાચું).
બિંદુ $B$ માટે: $0 - \sqrt{c} + \sqrt{c} = 0$ (સાચું).
આમ,રેખા દ્વારા વર્તુળ પર અંતઃખંડિત જીવા એ રેખાખંડ $AB$ છે.
જીવા $AB$ ની લંબાઈ $\sqrt{(0 - (-\sqrt{c}))^2 + (-\sqrt{c} - 0)^2} = \sqrt{(\sqrt{c})^2 + (-\sqrt{c})^2} = \sqrt{c+c} = \sqrt{2c}$ થાય.

(A) બે રેખાઓ $L_1: a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $L_2: a_2x + b_2y + c_2 = 0$ વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ ના સાપેક્ષમાં સંયુગ્મી હોવાની શરત $r^2(a_1a_2 + b_1b_2) = (g a_1 + f b_1 - c_1)(g a_2 + f b_2 - c_2)$ છે.
વર્તુળ $x^2 + y^2 - 4x + 3y - 1 = 0$ માટે,$g = -2$,$f = 3/2$,અને $c = -1$ છે.
ત્રિજ્યાનો વર્ગ $r^2 = g^2 + f^2 - c = (-2)^2 + (3/2)^2 - (-1) = 4 + 9/4 + 1 = 29/4$ છે.
રેખા $L_1: 2x + y + 12 = 0$ માટે,$a_1 = 2, b_1 = 1, c_1 = 12$.
રેખા $L_2: kx - 3y - 10 = 0$ માટે,$a_2 = k, b_2 = -3, c_2 = -10$.
આ કિંમતો શરતમાં મૂકતા:
$\frac{29}{4}(2k - 3) = (-2(2) + \frac{3}{2}(1) - 12)(-2(k) + \frac{3}{2}(-3) - (-10))$
$\frac{29}{4}(2k - 3) = (-14.5)(-2k + 5.5)$
$\frac{1}{2}(2k - 3) = -(-2k + 5.5)$
$k - 1.5 = 2k - 5.5$
$k = 4$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $(x_1, y_1)$ માંથી વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ પર દોરેલા સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{x_1^2+y_1^2+2gx_1+2fy_1+c}$ છે.
ધારો કે $P = (h, k)$.
પ્રશ્ન મુજબ,સ્પર્શકોની લંબાઈનો ગુણોત્તર $2:1$ છે:
$\frac{\sqrt{h^2+k^2-2h+4k-20}}{\sqrt{h^2+k^2-2h-8k+1}} = \frac{2}{1}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{h^2+k^2-2h+4k-20}{h^2+k^2-2h-8k+1} = 4$
$h^2+k^2-2h+4k-20 = 4(h^2+k^2-2h-8k+1)$
$h^2+k^2-2h+4k-20 = 4h^2+4k^2-8h-32k+4$
$3h^2+3k^2-6h-36k+24 = 0$
$3$ વડે ભાગતા:
$h^2+k^2-2h-12k+8 = 0$
તેથી,$P$ નો બિંદુપથ $x^2+y^2-2x-12y+8=0$ છે.

(B) ધારો કે $(h, k)$ એ રેખા $9x + y - 28 = 0$ નો વર્તુળ $x^2 + y^2 - \frac{3}{2}x + \frac{5}{2}y - \frac{7}{2} = 0$ ના સંદર્ભમાં ધ્રુવ છે.
ધ્રુવીય રેખાનું સમીકરણ $hx + ky - \frac{3}{4}(x + h) + \frac{5}{4}(y + k) - \frac{7}{2} = 0$ છે.
આને સાદું રૂપ આપતા $x(4h - 3) + y(4k + 5) - 3h + 5k - 14 = 0$ મળે છે.
આ રેખા અને $9x + y - 28 = 0$ સમાન હોવાથી,સહગુણકો પ્રમાણમાં હશે:
$\frac{4h - 3}{9} = \frac{4k + 5}{1} = \frac{-3h + 5k - 14}{-28} = \lambda$.
ઉકેલતા $\lambda = 1$ મળે છે,જેનાથી $h = 3$ અને $k = -1$ મળે છે.
તેથી,ધ્રુવ $(3, -1)$ છે.

(D) બે વર્તુળોના સામાન્ય સ્પર્શકો તેમના કેન્દ્રોને જોડતી રેખા પર બાહ્ય રીતે તેમની ત્રિજ્યાઓના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
આપેલ વર્તુળો $(x+11)^2+(y-2)^2=15^2$ અને $(x-11)^2+(y+2)^2=5^2$ માટે,કેન્દ્રો $C_1 = (-11, 2)$ અને $C_2 = (11, -2)$ છે અને ત્રિજ્યાઓ $r_1 = 15$ અને $r_2 = 5$ છે.
ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $r_1 : r_2 = 15 : 5 = 3 : 1$ છે.
બાહ્ય વિભાજનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{15(11) - 5(-11)}{15 - 5} = \frac{165 + 55}{10} = 22$
$y = \frac{15(-2) - 5(2)}{15 - 5} = \frac{-30 - 10}{10} = -4$
આમ,છેદબિંદુ $(22, -4)$ છે.

(C) બિંદુ $P(0, b)$ માંથી વર્તુળ $x^2+y^2=16$ પરના સ્પર્શકોની જોડનું સમીકરણ $SS_1 = T^2$ મુજબ $(x^2+y^2-16)(b^2-16) = (by-16)^2$ છે.
$X$-અક્ષ પરના બિંદુઓ $A$ અને $B$ માટે,સમીકરણમાં $y=0$ મૂકતા:
$(x^2-16)(b^2-16) = (-16)^2 = 256$
$x^2-16 = \frac{256}{b^2-16}$
$x^2 = \frac{16b^2}{b^2-16} \Rightarrow x = \pm \frac{4b}{\sqrt{b^2-16}}$
આમ,$A$ અને $B$ ના યામ $(\pm \frac{4b}{\sqrt{b^2-16}}, 0)$ છે.
$\triangle PAB$ નું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times \left( \frac{8b}{\sqrt{b^2-16}} \right) \times |b| = \frac{4b^2}{\sqrt{b^2-16}}$.
ક્ષેત્રફળ ન્યૂનતમ કરવા માટે,$b$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરીને $0$ લેતા:
$\frac{d\Delta}{db} = 0 \Rightarrow b^2 = 32$.
$b^2=32$ માટે,$x$-યામ $\pm 4\sqrt{2}$ મળે છે.
શિરોબિંદુઓ $P(0, 4\sqrt{2})$,$A(4\sqrt{2}, 0)$ અને $B(-4\sqrt{2}, 0)$ છે.
આમ,પરિવર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=32$ મળે છે.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-12x-16y=0$ છે. તેનું કેન્દ્ર $C(6, 8)$ અને ત્રિજ્યા $r = 10$ છે.
સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ હોવાથી,કેન્દ્રથી જીવા પરના લંબનું અંતર $d = r \cos(30^{\circ})$ થશે નહીં,પરંતુ $d = r \cos(60^{\circ}/2) = r \cos(30^{\circ})$ એ ખોટું છે. સાચું અંતર $d = r \cos(30^{\circ})$ નથી,પરંતુ $d = r \sin(30^{\circ}) = 10 \times \frac{1}{2} = 5$ છે.
રેખા $5x-5y+k=0$ નું કેન્દ્ર $(6, 8)$ થી અંતર $d = \frac{|5(6)-5(8)+k|}{\sqrt{5^2+(-5)^2}} = \frac{|k-10|}{5\sqrt{2}}$ છે.
તેથી,$\frac{|k-10|}{5\sqrt{2}} = 5 \Rightarrow |k-10| = 25\sqrt{2}$.
આમ,$k = 10 \pm 25\sqrt{2} = 5(2 \pm 5\sqrt{2})$.

(A) ધારો કે વર્તુળોના સમીકરણો $S_1 \equiv x^2+y^2-4x-6y-12=0$ અને $S_2 \equiv x^2+y^2+6x+18y+26=0$ છે.
બિંદુ $P(x_1, y_1)$ માંથી વર્તુળ $S=0$ પરના સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{S}$ છે.
સ્પર્શકોની લંબાઈનો ગુણોત્તર $2:3$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{\sqrt{x_1^2+y_1^2-4x_1-6y_1-12}}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+6x_1+18y_1+26}} = \frac{2}{3}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{x_1^2+y_1^2-4x_1-6y_1-12}{x_1^2+y_1^2+6x_1+18y_1+26} = \frac{4}{9}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$9(x_1^2+y_1^2-4x_1-6y_1-12) = 4(x_1^2+y_1^2+6x_1+18y_1+26)$
$9x_1^2+9y_1^2-36x_1-54y_1-108 = 4x_1^2+4y_1^2+24x_1+72y_1+104$
$5x_1^2+5y_1^2-60x_1-126y_1-212 = 0$
$(x_1, y_1)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $5x^2+5y^2-60x-126y-212=0$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $g\left(\frac{t+1}{2 t+1}\right)=t+1$.
ધારો કે $x = \frac{t+1}{2 t+1}$.
તેથી $x(2t+1) = t+1 \Rightarrow 2tx + x = t+1 \Rightarrow t(2x-1) = 1-x$.
આમ,$t = \frac{1-x}{2x-1}$.
$g(x) = t+1$ માં $t$ ની કિંમત મૂકતા:
$g(x) = \frac{1-x}{2x-1} + 1 = \frac{1-x+2x-1}{2x-1} = \frac{x}{2x-1}$.
હવે,$\int g(x) dx = \int \frac{x}{2x-1} dx$.
$= \frac{1}{2} \int \frac{2x}{2x-1} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x-1+1}{2x-1} dx$.
$= \frac{1}{2} \int \left(1 + \frac{1}{2x-1}\right) dx$.
$= \frac{1}{2} \left(x + \frac{1}{2} \log _e|2x-1|\right) + C$.
$= \frac{x}{2} + \frac{1}{4} \log _e|2x-1| + C$.

(D) આપણે સંકલન $I = \int \frac{x^4+1}{1+x^6} dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
અંશને $x^4+1 = (x^4 - x^2 + 1) + x^2$ તરીકે વિભાજિત કરો.
તેથી,$I = \int \frac{x^4 - x^2 + 1}{1+x^6} dx + \int \frac{x^2}{1+x^6} dx$.
ધારો કે $I_1 = \int \frac{x^4 - x^2 + 1}{1+(x^2)^3} dx$ અને $I_2 = \int \frac{x^2}{1+(x^3)^2} dx$.
$I_1$ માટે,નિત્યસમ $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ નો ઉપયોગ કરો:
$I_1 = \int \frac{x^4 - x^2 + 1}{(1+x^2)(x^4 - x^2 + 1)} dx = \int \frac{1}{1+x^2} dx = \tan^{-1} x$.
$I_2$ માટે,$x^3 = t$ લો,તો $3x^2 dx = dt$,તેથી $x^2 dx = \frac{dt}{3}$:
$I_2 = \int \frac{1}{1+t^2} \cdot \frac{dt}{3} = \frac{1}{3} \tan^{-1} t = \frac{1}{3} \tan^{-1} (x^3)$.
આ બંનેને જોડતા,$I = I_1 + I_2 = \tan^{-1} x + \frac{1}{3} \tan^{-1} (x^3) + C$.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{a^3-x^3}} dx$.
$t = x^{\frac{3}{2}}$ આદેશ લેતા,$dt = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} dx$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $x^{\frac{1}{2}} dx = \frac{2}{3} dt$.
વળી,$t^2 = (x^{\frac{3}{2}})^2 = x^3$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{\frac{2}{3} dt}{\sqrt{a^3 - t^2}} = \frac{2}{3} \int \frac{dt}{\sqrt{(\sqrt{a^3})^2 - t^2}}$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{du}{\sqrt{A^2 - u^2}} = \sin^{-1}(\frac{u}{A}) + c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{2}{3} \sin^{-1}\left(\frac{t}{\sqrt{a^3}}\right) + c$.
$t = x^{\frac{3}{2}}$ પાછું મૂકતા:
$I = \frac{2}{3} \sin^{-1}\left(\frac{x^{\frac{3}{2}}}{a^{\frac{3}{2}}}\right) + c = \frac{2}{3} \sin^{-1}\left(\left(\frac{x}{a}\right)^{\frac{3}{2}}\right) + c$.
આમ,$P(x) = \frac{2}{3} \sin^{-1}\left(\left(\frac{x}{a}\right)^{\frac{3}{2}}\right)$.

(D) ધારો કે $I = \int \operatorname{Tan}^{-1}\left(x^{\frac{1}{3}}\right) d x$.
$x = t^3$ આદેશ લેતા,$dx = 3t^2 dt$ મળે.
$I = \int \operatorname{Tan}^{-1}(t) \cdot 3t^2 dt = 3 \int t^2 \operatorname{Tan}^{-1}(t) dt$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = \operatorname{Tan}^{-1}(t)$ અને $dv = t^2 dt$ લેતા,
$du = \frac{1}{1+t^2} dt$ અને $v = \frac{t^3}{3}$ મળે.
$I = 3 \left[ \frac{t^3}{3} \operatorname{Tan}^{-1}(t) - \int \frac{t^3}{3(1+t^2)} dt \right] = t^3 \operatorname{Tan}^{-1}(t) - \int \frac{t^3}{1+t^2} dt$.
$\frac{t^3}{1+t^2} = \frac{t(t^2+1)-t}{1+t^2} = t - \frac{t}{1+t^2}$ હોવાથી,
$I = t^3 \operatorname{Tan}^{-1}(t) - \int \left( t - \frac{t}{1+t^2} \right) dt = t^3 \operatorname{Tan}^{-1}(t) - \frac{t^2}{2} + \frac{1}{2} \log(1+t^2) + c$.
$t = x^{\frac{1}{3}}$ મૂકતા,$I = x \operatorname{Tan}^{-1}(x^{\frac{1}{3}}) - \frac{1}{2} x^{\frac{2}{3}} + \frac{1}{2} \log(1+x^{\frac{2}{3}}) + c$ મળે.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{\cos^3 x + \cos^5 x}{\sin^2 x + \sin^4 x} dx$.
$= \int \frac{\cos^3 x (1 + \cos^2 x)}{\sin^2 x (1 + \sin^2 x)} dx$
$= \int \frac{\cos^2 x (1 + \cos^2 x)}{\sin^2 x (1 + \sin^2 x)} \cos x dx$
$= \int \frac{(1 - \sin^2 x) (1 + 1 - \sin^2 x)}{\sin^2 x (1 + \sin^2 x)} \cos x dx$
$= \int \frac{(1 - \sin^2 x) (2 - \sin^2 x)}{\sin^2 x (1 + \sin^2 x)} \cos x dx$.
ધારો કે $\sin x = t$,તેથી $\cos x dx = dt$.
$I = \int \frac{(1 - t^2) (2 - t^2)}{t^2 (1 + t^2)} dt$
$= \int \frac{t^4 - 3t^2 + 2}{t^2 (1 + t^2)} dt$
$= \int \frac{t^2(t^2 + 1) - 4t^2 + 2}{t^2 (1 + t^2)} dt$
$= \int \left( 1 + \frac{2 - 4t^2}{t^2 (1 + t^2)} \right) dt$
$= \int 1 dt + \int \left( \frac{2}{t^2} - \frac{6}{1 + t^2} \right) dt$
$= t - \frac{2}{t} - 6 \tan^{-1} t + c$
$= \sin x - 2(\sin x)^{-1} - 6 \tan^{-1} (\sin x) + c$.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{\tan x + \cot x + \sec x + \csc x}$.
$= \int \frac{dx}{\left(\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} + \frac{1}{\cos x} + \frac{1}{\sin x}\right)}$
$= \int \frac{\sin x \cos x}{\sin^{2} x + \cos^{2} x + \sin x + \cos x} dx$
$= \int \frac{\sin x \cos x}{1 + \sin x + \cos x} dx$
અંશ અને છેદને $(\sin x + \cos x - 1)$ વડે ગુણતા:
$= \int \frac{\sin x \cos x (\sin x + \cos x - 1)}{(\sin x + \cos x)^{2} - 1} dx$
$= \int \frac{\sin x \cos x (\sin x + \cos x - 1)}{\sin^{2} x + \cos^{2} x + 2 \sin x \cos x - 1} dx$
$= \int \frac{\sin x \cos x (\sin x + \cos x - 1)}{2 \sin x \cos x} dx$
$= \frac{1}{2} \int (\sin x + \cos x - 1) dx$
$= \frac{1}{2} (-\cos x + \sin x - x) + c$.

(C) આપણી પાસે $f(x) = \int \csc^5 x \ dx$ છે. $\int \csc^n x \ dx$ માટેના રિડક્શન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $\int \csc^n x \ dx = -\frac{\csc^{n-2} x \cot x}{n-1} + \frac{n-2}{n-1} \int \csc^{n-2} x \ dx$.
$n=5$ માટે,આપણને $f(x) = -\frac{\csc^3 x \cot x}{4} + \frac{3}{4} \int \csc^3 x \ dx$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\int \csc^3 x \ dx = -\frac{1}{2} \csc x \cot x + \frac{1}{2} \log |\csc x - \cot x| + C$.
આ કિંમત પાછી મૂકતા,$f(x) = -\frac{1}{4} \csc^3 x \cot x + \frac{3}{4} [-\frac{1}{2} \csc x \cot x + \frac{1}{2} \log |\csc x - \cot x|] + c$.
$f(x) = -\frac{1}{4} \csc^3 x \cot x - \frac{3}{8} \csc x \cot x + \frac{3}{8} \log |\csc x - \cot x| + c$.
$x = \frac{\pi}{4}$ પર,$\csc(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}$ અને $\cot(\frac{\pi}{4}) = 1$ થાય.
$f(\frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{4} (\sqrt{2})^3 (1) - \frac{3}{8} (\sqrt{2})(1) + \frac{3}{8} \log |\sqrt{2} - 1| + c$.
$f(\frac{\pi}{4}) = -\frac{2\sqrt{2}}{4} - \frac{3\sqrt{2}}{8} + \frac{3}{8} \log |\sqrt{2} - 1| + c$.
$f(\frac{\pi}{4}) = -\frac{4\sqrt{2}}{8} - \frac{3\sqrt{2}}{8} + \frac{3}{8} \log |\frac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}{\sqrt{2}+1}| + c$.
$f(\frac{\pi}{4}) = -\frac{7\sqrt{2}}{8} + \frac{3}{8} \log |\frac{1}{\sqrt{2}+1}| + c = -\frac{7\sqrt{2}}{8} - \frac{3}{8} \log(\sqrt{2}+1) + c$.
$f(\frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{8} [7\sqrt{2} + 3 \log(\sqrt{2} + 1)] + c$.

(C) આપણે $\int \operatorname{cosec}^n x \, dx = -\frac{\operatorname{cosec}^{n-2} x \cot x}{n-1} + \frac{n-2}{n-1} \int \operatorname{cosec}^{n-2} x \, dx$ માટે રિડક્શન ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$n=5$ માટે,$\int \operatorname{cosec}^5 x \, dx = -\frac{\operatorname{cosec}^3 x \cot x}{4} + \frac{3}{4} \int \operatorname{cosec}^3 x \, dx$.
$n=3$ માટે,$\int \operatorname{cosec}^3 x \, dx = -\frac{\operatorname{cosec} x \cot x}{2} + \frac{1}{2} \log |\operatorname{cosec} x - \cot x| = -\frac{\operatorname{cosec} x \cot x}{2} + \frac{1}{2} \log |\operatorname{cosec} x - \cot x|$.
આ કિંમત પાછી મૂકતા,$f(x) = -\frac{\operatorname{cosec}^3 x \cot x}{4} + \frac{3}{4} \left( -\frac{\operatorname{cosec} x \cot x}{2} + \frac{1}{2} \log |\operatorname{cosec} x - \cot x| \right) + c$.
$f(x) = -\frac{1}{4} \operatorname{cosec}^3 x \cot x - \frac{3}{8} \operatorname{cosec} x \cot x + \frac{3}{8} \log |\operatorname{cosec} x - \cot x| + c$.
$x = \frac{\pi}{4}$ પર,$\operatorname{cosec} x = \sqrt{2}$ અને $\cot x = 1$.
$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{4} (\sqrt{2})^3 (1) - \frac{3}{8} (\sqrt{2}) (1) + \frac{3}{8} \log |\sqrt{2} - 1| + c$.
$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{2\sqrt{2}}{4} - \frac{3\sqrt{2}}{8} + \frac{3}{8} \log (\sqrt{2} - 1) + c$.
$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{4\sqrt{2} + 3\sqrt{2}}{8} - \frac{3}{8} \log (\sqrt{2} + 1) + c = -\frac{1}{8} [7\sqrt{2} + 3 \log (\sqrt{2} + 1)] + c$.

(A) ધારો કે $I = \int (\log x)^3 x^5 dx$. ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા $\int u v dx = u \int v dx - \int (u' \int v dx) dx$,જ્યાં $u = (\log x)^3$ અને $v = x^5$.
$I = (\log x)^3 \frac{x^6}{6} - \int 3(\log x)^2 \frac{1}{x} \frac{x^6}{6} dx = \frac{x^6}{6}(\log x)^3 - \frac{1}{2} \int x^5 (\log x)^2 dx$.
$\int x^5 (\log x)^2 dx$ માટે ફરીથી ખંડશઃ સંકલન કરતા:
$I = \frac{x^6}{6}(\log x)^3 - \frac{1}{2} \left[ (\log x)^2 \frac{x^6}{6} - \int 2(\log x) \frac{1}{x} \frac{x^6}{6} dx \right] = \frac{x^6}{6}(\log x)^3 - \frac{x^6}{12}(\log x)^2 + \frac{1}{6} \int x^5 \log x dx$.
$\int x^5 \log x dx$ માટે ફરીથી ખંડશઃ સંકલન કરતા:
$I = \frac{x^6}{6}(\log x)^3 - \frac{x^6}{12}(\log x)^2 + \frac{1}{6} \left[ \log x \frac{x^6}{6} - \int \frac{1}{x} \frac{x^6}{6} dx \right] = \frac{x^6}{6}(\log x)^3 - \frac{x^6}{12}(\log x)^2 + \frac{x^6}{36} \log x - \frac{1}{36} \int x^5 dx$.
$I = \frac{x^6}{6}(\log x)^3 - \frac{x^6}{12}(\log x)^2 + \frac{x^6}{36} \log x - \frac{1}{36} \frac{x^6}{6} + c = x^6 \left[ \frac{(\log x)^3}{6} - \frac{(\log x)^2}{12} + \frac{\log x}{36} - \frac{1}{216} \right] + c$.

(A) આપણને $I_n = \int \cot^n x \, dx$ આપેલ છે.
$n=5$ માટે,$I_5 = \int \cot^5 x \, dx$.
આપણે $\cot^5 x = \cot^3 x \cdot \cot^2 x = \cot^3 x (\csc^2 x - 1) = \cot^3 x \csc^2 x - \cot^3 x$ લખી શકીએ.
તેથી,$I_5 = \int \cot^3 x \csc^2 x \, dx - \int \cot^3 x \, dx$.
ધારો કે $u = \cot x$,તો $du = -\csc^2 x \, dx$,તેથી $\int \cot^3 x \csc^2 x \, dx = -\int u^3 \, du = -\frac{u^4}{4} = -\frac{\cot^4 x}{4}$.
હવે,$\int \cot^3 x \, dx = \int \cot x (\csc^2 x - 1) \, dx = \int \cot x \csc^2 x \, dx - \int \cot x \, dx$.
$\int \cot x \csc^2 x \, dx = -\frac{\cot^2 x}{2}$ અને $\int \cot x \, dx = \log |\sin x|$.
આમ,$\int \cot^3 x \, dx = -\frac{\cot^2 x}{2} - \log |\sin x|$.
આ કિંમતો મૂકતા,$I_5 = -\frac{\cot^4 x}{4} - (-\frac{\cot^2 x}{2} - \log |\sin x|) + c = -\frac{\cot^4 x}{4} + \frac{\cot^2 x}{2} + \log |\sin x| + c$.

(D) સૌ પ્રથમ,છેદના અવયવો પાડો: $x^3-3x+2 = (x-1)^2(x+2)$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{x}{(x-1)^2(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{C}{x+2}$.
$(x-1)^2(x+2)$ વડે ગુણતા: $x = A(x-1)(x+2) + B(x+2) + C(x-1)^2$.
$x=1$ લેતા: $1 = B(3) \Rightarrow B = \frac{1}{3}$.
$x=-2$ લેતા: $-2 = C(-3)^2 \Rightarrow -2 = 9C \Rightarrow C = -\frac{2}{9}$.
$x^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $0 = A + C \Rightarrow A = -C = \frac{2}{9}$.
આમ,સંકલન થશે: $\int \left( \frac{2/9}{x-1} + \frac{1/3}{(x-1)^2} - \frac{2/9}{x+2} \right) dx$.
$= \frac{2}{9} \log |x-1| - \frac{1}{3(x-1)} - \frac{2}{9} \log |x+2| + c$.
$= -\frac{1}{3(x-1)} + \frac{2}{9} \log \left| \frac{x-1}{x+2} \right| + c$.

(B) આપેલ છે $I = \int \frac{dx}{\sin x + \sin 2x}$.
$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા,$I = \int \frac{dx}{\sin x(1 + 2 \cos x)}$.
અંશ અને છેદને $\sin x$ વડે ગુણતા: $I = \int \frac{\sin x dx}{\sin^2 x(1 + 2 \cos x)} = \int \frac{\sin x dx}{(1 - \cos^2 x)(1 + 2 \cos x)} = \int \frac{\sin x dx}{(1 - \cos x)(1 + \cos x)(1 + 2 \cos x)}$.
ધારો કે $\cos x = t$,તેથી $-\sin x dx = dt$,એટલે કે $I = -\int \frac{dt}{(1-t)(1+t)(1+2t)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીત વાપરતા: $\frac{1}{(1-t)(1+t)(1+2t)} = \frac{A}{1-t} + \frac{B}{1+t} + \frac{C}{1+2t}$.
અચળાંકો શોધતા: $A = \frac{1}{6}$,$B = \frac{1}{2}$,$C = -\frac{4}{3}$.
તેથી,$I = -\int (\frac{1/6}{1-t} + \frac{1/2}{1+t} - \frac{4/3}{1+2t}) dt = \frac{1}{6} \log |1-t| - \frac{1}{2} \log |1+t| + \frac{2}{3} \log |1+2t| + c$.
$t = \cos x$ મૂકતા: $I = \frac{1}{6} \log |1-\cos x| - \frac{1}{2} \log |1+\cos x| + \frac{2}{3} \log |1+2 \cos x| + c$.

(A) ધારો કે સંકલ્ય $\frac{3x+1}{(x-1)^3(x+1)} = \frac{a}{x+1} + \frac{b}{x-1} + \frac{c}{(x-1)^2} + \frac{d}{(x-1)^3}$ છે.
આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન દ્વારા,$3x+1 = a(x-1)^3 + b(x+1)(x-1)^2 + c(x+1)(x-1) + d(x+1)$.
$x=1$ લેતા,$3(1)+1 = d(1+1) \implies 4 = 2d \implies d=2$.
$x=-1$ લેતા,$3(-1)+1 = a(-1-1)^3 \implies -2 = -8a \implies a = \frac{1}{4}$.
$x^3$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $0 = a + b \implies b = -a = -\frac{1}{4}$.
અચળ પદોની સરખામણી કરતા: $1 = a(-1) + b(1) + c(-1) + d(1) \implies 1 = -\frac{1}{4} - \frac{1}{4} - c + 2 \implies 1 = \frac{3}{2} - c \implies c = \frac{1}{2}$.
આપેલ સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,$A = \frac{1}{4}$,$B = -\frac{1}{2}$,$C = -1$.
$A+B+C = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 1 = \frac{1-2-4}{4} = -\frac{5}{4}$.

(C) સંકલન $\int \frac{x^8-9 x^2+18}{x^4-3 x^2+3} d x$ ઉકેલવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ જોઈએ છીએ કે અંશની ઘાત $(8)$ એ છેદની ઘાત $(4)$ કરતા મોટી છે.
$x^8-9 x^2+18$ ને $x^4-3 x^2+3$ વડે ભાગાકાર કરતા:
$x^8-9 x^2+18 = (x^4-3 x^2+3)(x^4+3 x^2+6) + 0$.
આમ,સંકલન નીચે મુજબ બને છે:
$\int (x^4+3 x^2+6) d x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં દરેક પદનું સંકલન કરતા:
$= \int x^4 d x + 3 \int x^2 d x + 6 \int 1 d x$.
$= \frac{x^5}{5} + 3 \left( \frac{x^3}{3} \right) + 6x + c$.
$= \frac{x^5}{5} + x^3 + 6x + c$.

(D) ધારો કે $I = \int \frac{x - 1}{(x + 1) \sqrt{x(x^2 + x + 1)}} dx$.
વર્ગમૂળની અંદર અંશ અને છેદને $x$ વડે ભાગતા અને પદાવલિને ગોઠવતા:
$I = \int \frac{x - 1}{(x + 1) \sqrt{x^2(x + 1 + \frac{1}{x})}} dx = \int \frac{x - 1}{(x + 1) x \sqrt{x + 1 + \frac{1}{x}}} dx$.
અંશ અને છેદને $x^2$ વડે ભાગતા:
$I = \int \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}}{(1 + \frac{1}{x}) \sqrt{x + 1 + \frac{1}{x}}} dx$.
ધારો કે $t = \sqrt{x + 1 + \frac{1}{x}}$. તેથી $t^2 = x + 1 + \frac{1}{x}$,જેથી $2t dt = (1 - \frac{1}{x^2}) dx$.
આ આદેશથી સંકલન નીચે મુજબ સરળ બને છે:
$I = 2 \tan^{-1} \left( \sqrt{x + \frac{1}{x} + 1} \right) + c$.

(C) ધારો કે $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x \, dx}{\sqrt{1+\cos x \sin x}} \quad \dots (i)$
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos(\frac{\pi}{2}-x) \, dx}{\sqrt{1+\cos(\frac{\pi}{2}-x) \sin(\frac{\pi}{2}-x)}} = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x \, dx}{\sqrt{1+\sin x \cos x}} \quad \dots (ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x + \sin x}{\sqrt{1+\cos x \sin x}} \, dx$
અંશ અને છેદને $\sqrt{2}$ વડે ગુણતા:
$2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{2}(\cos x + \sin x)}{\sqrt{2+2\sin x \cos x}} \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{2}(\cos x + \sin x)}{\sqrt{3 - (1 - 2\sin x \cos x)}} \, dx$
કારણ કે $1 - 2\sin x \cos x = (\sin x - \cos x)^2$ હોવાથી:
$2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{2}(\cos x + \sin x)}{\sqrt{3 - (\sin x - \cos x)^2}} \, dx$
ધારો કે $t = \sin x - \cos x$,તો $dt = (\cos x + \sin x) \, dx$.
સીમાઓ: જ્યારે $x=0, t=-1$; જ્યારે $x=\frac{\pi}{2}, t=1$.
$2I = \int_{-1}^1 \frac{\sqrt{2} \, dt}{\sqrt{3-t^2}} = 2 \int_0^1 \frac{\sqrt{2} \, dt}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 - t^2}}$
$I = \sqrt{2} \left[ \sin^{-1} \left( \frac{t}{\sqrt{3}} \right) \right]_0^1 = \sqrt{2} \sin^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$

(D) ધારો કે $I = \int_{0}^{\pi} \frac{x \tan x}{\sec x + \tan x} dx$.
ગુણધર્મ $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - x) \tan(\pi - x)}{\sec(\pi - x) + \tan(\pi - x)} dx$.
કારણ કે $\tan(\pi - x) = -\tan x$ અને $\sec(\pi - x) = -\sec x$,તેથી:
$I = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - x)(-\tan x)}{-\sec x - \tan x} dx = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - x) \tan x}{\sec x + \tan x} dx$.
$I = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{\tan x}{\sec x + \tan x} dx - I$.
$2I = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \sin x} dx$.
$2I = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x(1 - \sin x)}{\cos^2 x} dx = \pi \int_{0}^{\pi} (\sec x \tan x - \tan^2 x) dx$.
$2I = \pi \int_{0}^{\pi} (\sec x \tan x - (\sec^2 x - 1)) dx$.
$2I = \pi [\sec x - \tan x + x]_{0}^{\pi}$.
$2I = \pi [(\sec \pi - \tan \pi + \pi) - (\sec 0 - \tan 0 + 0)]$.
$2I = \pi [(-1 - 0 + \pi) - (1 - 0 + 0)] = \pi (\pi - 2)$.
$I = \frac{\pi (\pi - 2)}{2}$.

(A) ધારો કે $I = \int_0^\pi \frac{x \tan x}{\sec x+\tan x} d x \quad ...(i)$
ગુણધર્મ $\int_a^b f(x) d x = \int_a^b f(a+b-x) d x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_0^\pi \frac{(\pi-x) \tan(\pi-x)}{\sec(\pi-x)+\tan(\pi-x)} d x$
$\tan(\pi-x) = -\tan x$ અને $\sec(\pi-x) = -\sec x$ હોવાથી:
$I = \int_0^\pi \frac{(\pi-x)(-\tan x)}{-\sec x-\tan x} d x = \int_0^\pi \frac{(\pi-x) \tan x}{\sec x+\tan x} d x \quad ...(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_0^\pi \frac{x \tan x + (\pi-x) \tan x}{\sec x+\tan x} d x = \int_0^\pi \frac{\pi \tan x}{\sec x+\tan x} d x$
$I = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi \frac{\sin x}{1+\sin x} d x$
અંશ અને છેદને $(1-\sin x)$ વડે ગુણતા:
$I = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi \frac{\sin x(1-\sin x)}{1-\sin^2 x} d x = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi \frac{\sin x - \sin^2 x}{\cos^2 x} d x$
$I = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi (\sec x \tan x - \tan^2 x) d x = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi (\sec x \tan x - (\sec^2 x - 1)) d x$
$I = \frac{\pi}{2} [\sec x - \tan x + x]_0^\pi$
$I = \frac{\pi}{2} [(\sec \pi - \tan \pi + \pi) - (\sec 0 - \tan 0 + 0)]$
$I = \frac{\pi}{2} [(-1 - 0 + \pi) - (1 - 0 + 0)] = \frac{\pi}{2} (\pi - 2)$

(D) ધારો કે $I = \int_0^{\alpha / 3} \frac{f(x)}{f(x)+f\left(\frac{\alpha-3 x}{3}\right)} d x$ $(i)$
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $x$ ને $(\frac{\alpha}{3} - x)$ વડે બદલીએ છીએ:
$I = \int_0^{\alpha / 3} \frac{f(\frac{\alpha}{3} - x)}{f(\frac{\alpha}{3} - x) + f(\frac{\alpha - 3(\frac{\alpha}{3} - x)}{3})} dx$
$I = \int_0^{\alpha / 3} \frac{f(\frac{\alpha}{3} - x)}{f(\frac{\alpha}{3} - x) + f(x)} dx$ $(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_0^{\alpha / 3} \frac{f(x) + f(\frac{\alpha}{3} - x)}{f(x) + f(\frac{\alpha}{3} - x)} dx$
$2I = \int_0^{\alpha / 3} 1 dx$
$2I = [x]_0^{\alpha / 3} = \frac{\alpha}{3}$
$I = \frac{\alpha}{6}$

(C) ધારો કે $I = \int_0^3 |x^2 - 3x + 2| dx$.
કારણ કે $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$,માનાંકની અંદરની પદાવલિ $x = 1$ અને $x = 2$ આગળ ચિહ્ન બદલે છે.
$x \in [0, 1]$ માટે,$x^2 - 3x + 2 \ge 0$.
$x \in (1, 2)$ માટે,$x^2 - 3x + 2 < 0$.
$x \in [2, 3]$ માટે,$x^2 - 3x + 2 \ge 0$.
આમ,$I = \int_0^1 (x^2 - 3x + 2) dx - \int_1^2 (x^2 - 3x + 2) dx + \int_2^3 (x^2 - 3x + 2) dx$.
સંકલન $\int (x^2 - 3x + 2) dx = \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x + C$ મેળવતા.
$I = [\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x]_0^1 - [\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x]_1^2 + [\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x]_2^3$.
$I = (\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2) - [(\frac{8}{3} - 6 + 4) - (\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2)] + [(\frac{27}{3} - \frac{27}{2} + 6) - (\frac{8}{3} - 6 + 4)]$.
$I = (\frac{5}{6}) - [(\frac{2}{3}) - (\frac{5}{6})] + [(\frac{3}{2}) - (\frac{2}{3})] = \frac{5}{6} + \frac{1}{6} + \frac{5}{6} = \frac{11}{6}$.

(D) ધારો કે $I = \int_0^{\pi / 2} \log _e(\sin 2 x) d x$.
$2x = t$ આદેશ લેતા,$dx = \frac{1}{2} dt$ મળે.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $t = 0$ અને જ્યારે $x = \frac{\pi}{2}$,ત્યારે $t = \pi$.
તેથી,$I = \frac{1}{2} \int_0^{\pi} \log _e(\sin t) dt$.
ગુણધર્મ $\int_0^{2a} f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $f(2a-x) = f(x)$,આપણને મળે છે કે $\int_0^{\pi} \log _e(\sin t) dt = 2 \int_0^{\pi/2} \log _e(\sin t) dt$.
આમ,$I = \frac{1}{2} \times 2 \int_0^{\pi/2} \log _e(\sin t) dt = \int_0^{\pi/2} \log _e(\sin t) dt$.
આ એક પ્રમાણિત પરિણામ છે કે $\int_0^{\pi/2} \log _e(\sin t) dt = -\frac{\pi}{2} \log _e 2$.
તેથી,$I = -\frac{\pi}{2} \log _e 2$.

(C) તફાવત $a_{n+1} - a_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2((n+1)x) - \sin^2(nx)}{\sin x} dx$ ધ્યાનમાં લો.
નિત્યસમ $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A-B)\sin(A+B)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sin^2((n+1)x) - \sin^2(nx) = \sin(x)\sin((2n+1)x)$ મળે છે.
આમ,$a_{n+1} - a_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(x)\sin((2n+1)x)}{\sin x} dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin((2n+1)x) dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા: $a_{n+1} - a_n = \left[ -\frac{\cos((2n+1)x)}{2n+1} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = -\frac{1}{2n+1} (\cos((2n+1)\frac{\pi}{2}) - \cos(0)) = -\frac{1}{2n+1} (0 - 1) = \frac{1}{2n+1}$.
$n=1$ માટે,$a_2 - a_1 = \frac{1}{3}$.
$n=2$ માટે,$a_3 - a_2 = \frac{1}{5}$.
$n=3$ માટે,$a_4 - a_3 = \frac{1}{7}$.
શ્રેણી $\frac{1}{3}, \frac{1}{5}, \frac{1}{7}, \dots$ છે.
કારણ કે તેમના વ્યસ્ત $3, 5, 7, \dots$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,તેથી આ શ્રેણી હરાત્મક શ્રેણીમાં છે.

(C) આપેલ છે કે $I_n = \int_0^{\pi / 4} \tan^n x \, dx$,જ્યાં $n \geq 2$.
$F_n = I_n + I_{n-2} = \int_0^{\pi / 4} (\tan^n x + \tan^{n-2} x) \, dx$.
$F_n = \int_0^{\pi / 4} \tan^{n-2} x (\tan^2 x + 1) \, dx = \int_0^{\pi / 4} \tan^{n-2} x \sec^2 x \, dx$.
ધારો કે $t = \tan x$,તો $dt = \sec^2 x \, dx$.
જ્યારે $x = 0, t = 0$ અને જ્યારે $x = \pi / 4, t = 1$.
$F_n = \int_0^1 t^{n-2} \, dt = \left[ \frac{t^{n-1}}{n-1} \right]_0^1 = \frac{1}{n-1}$.
તે જ રીતે,$F_{n+1} = \frac{1}{(n+1)-1} = \frac{1}{n}$.
તેથી,$F_n - F_{n+1} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} = \frac{n - (n-1)}{n(n-1)} = \frac{1}{n(n-1)}$.

(B) આપેલ પદાવલિ $S = \lim _{n \rightarrow \infty} n \sum_{r=1}^n \frac{1}{3 n^2+8 n r+4 r^2}$ છે.
અંશ અને છેદને $n^2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$S = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n \frac{1}{3+8(\frac{r}{n})+4(\frac{r}{n})^2}$.
આ એક રીમાન સરવાળો છે,જેને નિશ્ચિત સંકલન તરીકે લખી શકાય:
$S = \int_0^1 \frac{dx}{4x^2+8x+3} = \int_0^1 \frac{dx}{(2x+2)^2-1} = \int_0^1 \frac{dx}{4(x+1)^2-1}$.
સૂત્ર $\int \frac{dx}{x^2-a^2} = \frac{1}{2a} \ln |\frac{x-a}{x+a}|$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = \frac{1}{4} \int_0^1 \frac{dx}{(x+1)^2-(\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{4} \times \frac{1}{2(\frac{1}{2})} [\ln |\frac{x+1-1/2}{x+1+1/2}|]_0^1$.
$S = \frac{1}{4} [\ln |\frac{x+1/2}{x+3/2}|]_0^1 = \frac{1}{4} [\ln \frac{3/2}{5/2} - \ln \frac{1/2}{3/2}] = \frac{1}{4} [\ln \frac{3}{5} - \ln \frac{1}{3}] = \frac{1}{4} \ln (\frac{3}{5} \times 3) = \frac{1}{4} \ln \frac{9}{5}$.

(D) આપેલ પદ $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{3n} \sin ^5\left(\frac{r \pi}{6 n}\right)$ છે.
નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યા મુજબ,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{kn} f\left(\frac{r}{n}\right) = \int_0^k f(x) dx$ થાય.
અહીં,$f(x) = \sin^5\left(\frac{\pi}{6} x\right)$ અને $k=3$ છે.
તેથી,સંકલન $\int_0^3 \sin ^5\left(\frac{\pi}{6} x\right) dx$ થશે.
ધારો કે $t = \frac{\pi}{6} x$,તો $dt = \frac{\pi}{6} dx$,જેનો અર્થ છે કે $dx = \frac{6}{\pi} dt$.
જ્યારે $x=0, t=0$ અને જ્યારે $x=3, t=\frac{\pi}{2}$ થાય.
સંકલન $\frac{6}{\pi} \int_0^{\pi/2} \sin^5(t) dt$ બને છે.
વોલિસના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\int_0^{\pi/2} \sin^5(t) dt = \frac{4 \times 2}{5 \times 3 \times 1} = \frac{8}{15}$ મળે.
તેથી,કિંમત $\frac{6}{\pi} \times \frac{8}{15} = \frac{2 \times 8}{5 \pi} = \frac{16}{5 \pi}$ થાય.

(A) આપેલ પદાવલિ $\lim_{n \to \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{n}{n^2 + r^2}$ છે.
આપણે તેને $\lim_{n \to \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{n}{n^2(1 + (r/n)^2)}$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
આનું સાદું રૂપ $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \frac{1}{1 + (r/n)^2}$ થાય છે.
નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યા મુજબ,આ $\int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x^2} dx$ ને સમાન છે.
$\frac{1}{1 + x^2}$ નું સંકલન $\tan^{-1}(x)$ છે.
$0$ થી $1$ સુધીની કિંમત મૂકતા,આપણને $\tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(0) = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$ મળે છે.

(A) આપેલ લક્ષ $L = \lim_{n \to \infty} \sum_{r=0}^{n(b-a)} \frac{1}{na + r}$ છે.
આપણે તેને $L = \lim_{n \to \infty} \sum_{r=0}^{n(b-a)} \frac{1}{n(a + \frac{r}{n})}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આ $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{n(b-a)} f(\frac{r}{n})$ સ્વરૂપનો રીમાન સરવાળો છે,જ્યાં $f(x) = \frac{1}{a+x}$ છે.
તેને નિશ્ચિત સંકલનમાં ફેરવતા,આપણને $L = \int_{0}^{b-a} \frac{1}{a+x} dx$ મળે છે.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા,$L = [\log(a+x)]_{0}^{b-a}$ મળે છે.
સીમાઓ મૂકતા,$L = \log(a + (b-a)) - \log(a + 0) = \log(b) - \log(a) = \log(\frac{b}{a})$.

(A) વક્ર $y=1-x-6x^2$ અને $X$-અક્ષ દ્વારા આવૃત ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $y=0$ લઈને $X$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુઓ શોધીએ.
$1-x-6x^2=0$
$6x^2+x-1=0$
$6x^2+3x-2x-1=0$
$3x(2x+1)-1(2x+1)=0$
$(3x-1)(2x+1)=0$
તેથી,$x = \frac{1}{3}$ અને $x = -\frac{1}{2}$ મળે છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબના સંકલન દ્વારા મળે છે:
$\text{Area} = \int_{-1/2}^{1/3} (1-x-6x^2) dx$
$= [x - \frac{x^2}{2} - 2x^3]_{-1/2}^{1/3}$
$= (\frac{1}{3} - \frac{(1/3)^2}{2} - 2(1/3)^3) - (-\frac{1}{2} - \frac{(-1/2)^2}{2} - 2(-1/2)^3)$
$= (\frac{1}{3} - \frac{1}{18} - \frac{2}{27}) - (-\frac{1}{2} - \frac{1}{8} + \frac{1}{4})$
$= (\frac{18-3-4}{54}) - (\frac{-4-1+2}{8})$
$= \frac{11}{54} - (-\frac{3}{8}) = \frac{11}{54} + \frac{3}{8}$
$= \frac{44+81}{216} = \frac{125}{216} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(B) એકમ ચોરસ $OABC$ નું ક્ષેત્રફળ $1 \text{ ચોરસ એકમ}$ છે. વક્રો $y^2=x$ અને $x^2=y$ એ $(0,0)$ અને $(1,1)$ પર છેદે છે.
ધારો કે $a_1, a_2, a_3$ એ ત્રણ ભાગોના ક્ષેત્રફળ છે. સંમિતિને કારણે,$a_1 = a_3$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $a_1 + a_2 + a_3 = 1 \quad \dots(i)$ છે.
સંમિતિને કારણે,$a_1 = a_3 \quad \dots(ii)$.
ક્ષેત્રફળ $a_2$ એ $x=0$ થી $x=1$ સુધીના વક્રો $y = \sqrt{x}$ અને $y = x^2$ વચ્ચેનું ક્ષેત્રફળ છે:
$a_2 = \int_0^1 (\sqrt{x} - x^2) dx = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$.
સમીકરણ $(i)$ માં $a_2 = \frac{1}{3}$ મૂકતા:
$a_1 + \frac{1}{3} + a_3 = 1 \implies a_1 + a_3 = \frac{2}{3}$.
કારણ કે $a_1 = a_3$,તેથી $2a_1 = \frac{2}{3} \implies a_1 = \frac{1}{3}$ અને $a_3 = \frac{1}{3}$.
આમ,$a_1 = a_2 = a_3 = \frac{1}{3}$.
આપણે $a_1 + 2a_2 + 3a_3$ શોધવાનું છે:
$a_1 + 2a_2 + 3a_3 = \frac{1}{3} + 2\left(\frac{1}{3}\right) + 3\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1+2+3}{3} = \frac{6}{3} = 2$.

(A) આપેલ પરવલય $y^2 = 8x$ છે. તેને $y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4a = 8$ મળે છે,તેથી $a = 2$.
પરવલયનો નાભિલંબ રેખા $x = a = 2$ છે.
વક્ર અને નાભિલંબ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $A = 2 \int_0^2 y \, dx = 2 \int_0^2 \sqrt{8x} \, dx$ છે.
$A = 2 \times 2\sqrt{2} \int_0^2 x^{1/2} \, dx = 4\sqrt{2} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_0^2$.
$A = 4\sqrt{2} \times \frac{2}{3} \times (2)^{3/2} = \frac{8\sqrt{2}}{3} \times 2\sqrt{2} = \frac{16 \times 2}{3} = \frac{32}{3}$ ચોરસ એકમ.

(D) આપેલ છે કે $y = \max \{x-[x], x+|x|\}$. $x \in [0, 2]$ માટે,$x \geq 0$,તેથી $x+|x| = 2x$ અને $x-[x] = \{x\}$.
કારણ કે $x \in [0, 2]$ માટે $2x \geq \{x\}$ છે,તેથી $y = 2x$ મળે.
આપણે $x = 0$ અને $x = 2$ ની વચ્ચે $y = 2x^2$ અને $y = 2x$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું છે.
વક્રો જ્યાં છેદે છે ત્યાં $2x^2 = 2x$,એટલે કે $x^2 - x = 0$,તેથી $x = 0$ અને $x = 1$ મળે.
$x \in [0, 1]$ માટે,$2x \geq 2x^2$. $x \in [1, 2]$ માટે,$2x^2 \geq 2x$.
ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ છે:
$A = \int_0^1 (2x - 2x^2) dx + \int_1^2 (2x^2 - 2x) dx$
$A = \left[x^2 - \frac{2x^3}{3}\right]_0^1 + \left[\frac{2x^3}{3} - x^2\right]_1^2$
$A = \left(1 - \frac{2}{3}\right) - 0 + \left(\left(\frac{16}{3} - 4\right) - \left(\frac{2}{3} - 1\right)\right)$
$A = \frac{1}{3} + \left(\frac{4}{3} - (-\frac{1}{3})\right) = \frac{1}{3} + \frac{5}{3} = \frac{6}{3} = 2 \text{ ચોરસ એકમ.}$

(D) વક્રો $y = x \log x$ અને $y = 2x - 2x^2$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેમના છેદબિંદુઓ શોધીએ: $x \log x = 2x - 2x^2$.
$x > 0$ માટે,$x$ વડે ભાગતા: $\log x = 2 - 2x$,જેનો અર્થ છે $\log x + 2x - 2 = 0$.
નિરીક્ષણ દ્વારા,$x = 1$ એ ઉકેલ છે કારણ કે $\log(1) + 2(1) - 2 = 0 + 2 - 2 = 0$.
અંતરાલ $x \in (0, 1]$ માટે,વક્ર $y = 2x - 2x^2$ એ $y = x \log x$ ની ઉપર આવેલો છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \int_{0}^{1} (2x - 2x^2 - x \log x) dx$.
સંકલન કરતા: $\int_{0}^{1} 2x dx = [x^2]_{0}^{1} = 1$.
$\int_{0}^{1} 2x^2 dx = [\frac{2}{3}x^3]_{0}^{1} = \frac{2}{3}$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરીને $\int x \log x dx = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4}$.
$0$ થી $1$ સુધીની સીમાઓ લેતા: $[\frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4}]_{0}^{1} = (0 - \frac{1}{4}) - (0) = -\frac{1}{4}$.
તેથી,$A = 1 - \frac{2}{3} - (-\frac{1}{4}) = 1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{12 - 8 + 3}{12} = \frac{7}{12}$.

(A) આપેલ સમીકરણો $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ અને $x^2 + y^2 = 4$ છે.
તેમને ઉકેલતા,આપણને પ્રથમ ચરણમાં છેદબિંદુ $A$ મળે છે: $x^2 + (\frac{x}{\sqrt{3}})^2 = 4 \implies x^2 + \frac{x^2}{3} = 4 \implies \frac{4x^2}{3} = 4 \implies x^2 = 3 \implies x = \sqrt{3}$.
તેથી $y = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 1$. આમ,$A = (\sqrt{3}, 1)$.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ એ ત્રિકોણ $OAB$ (જ્યાં $B$ એ $(\sqrt{3}, 0)$ છે) અને $x = \sqrt{3}$ થી $x = 2$ સુધી વર્તુળની નીચેના ભાગનું ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
ત્રિકોણ $OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times \sqrt{3} \times 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
વર્તુળની નીચેનું ક્ષેત્રફળ $= \int_{\sqrt{3}}^{2} \sqrt{4 - x^2} dx = [\frac{x}{2}\sqrt{4 - x^2} + \frac{4}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{2})]_{\sqrt{3}}^{2}$.
$= [0 + 2 \sin^{-1}(1)] - [\frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{4 - 3} + 2 \sin^{-1}(\frac{\sqrt{3}}{2})]$.
$= [2 \times \frac{\pi}{2}] - [\frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \times \frac{\pi}{3}] = \pi - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $= \frac{\sqrt{3}}{2} + (\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ:
$y = px + \sqrt{a^2p^2 + b^2}$,જ્યાં $p = \frac{dy}{dx}$.
ક્રમ અને ઘાત શોધવા માટે,આપણે બંને બાજુ વર્ગ કરીને વર્ગમૂળ દૂર કરીએ:
$\sqrt{a^2p^2 + b^2} = y - px$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$a^2p^2 + b^2 = (y - px)^2$
$a^2p^2 + b^2 = y^2 + p^2x^2 - 2xyp$
પદોને ગોઠવતા:
$(x^2 - a^2)p^2 - 2xyp + (y^2 - b^2) = 0$
$p = \frac{dy}{dx}$ મૂકતા:
$(x^2 - a^2)\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 - 2xy\left(\frac{dy}{dx}\right) + (y^2 - b^2) = 0$
અહીં સૌથી ઉચ્ચ વિકલન $\frac{dy}{dx}$ છે,તેથી ક્રમ $1$ છે.
સૌથી ઉચ્ચ વિકલનની મહત્તમ ઘાત $2$ છે,તેથી ઘાત $2$ છે.
આમ,ક્રમ અને ઘાત અનુક્રમે $1$ અને $2$ છે.

(B) કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r = 5$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = 25$ છે.
અહીં બે સ્વૈર અચળાંકો $h$ અને $k$ હોવાથી,આપણે બે વાર વિકલન કરીશું.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2(x - h) + 2(y - k)y' = 0$,જે આપે છે $(x - h) = -(y - k)y'$.
ફરીથી વિકલન કરતા: $1 = -[(y')^2 + (y - k)y'']$,જે આપે છે $(y - k) = -\frac{1 + (y')^2}{y''}$.
$(y - k)$ ની કિંમત પ્રથમ વિકલિત સમીકરણમાં મૂકતા: $(x - h) = \left(\frac{1 + (y')^2}{y''}\right)y'$.
આ કિંમતોને મૂળ વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા: $\left(\frac{1 + (y')^2}{y''}\right)^2 (y')^2 + \left(\frac{1 + (y')^2}{y''}\right)^2 = 25$.
સાદુરૂપ આપતા,આપણને $(1 + (y')^2)^3 = 25(y'')^2$ મળે છે.
કક્ષા $m$ એ સૌથી ઉચ્ચ વિકલિત છે,જે $y''$ છે,તેથી $m = 2$.
ઘાત $l$ એ સૌથી ઉચ્ચ વિકલિતની ઘાત છે,જે $2$ છે,તેથી $l = 2$.
આમ,$2l + 3m = 2(2) + 3(2) = 4 + 6 = 10$.

(A) આપેલ પરવલયનું કુળ $y^2 = 4a(x+a) \quad ...(i)$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2y \frac{dy}{dx} = 4a$
$\Rightarrow a = \frac{1}{2} y \frac{dy}{dx} \quad ...(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $a$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$y^2 = 4 \left( \frac{1}{2} y \frac{dy}{dx} \right) \left( x + \frac{1}{2} y \frac{dy}{dx} \right)$
$y^2 = 2y \frac{dy}{dx} \left( x + \frac{1}{2} y \frac{dy}{dx} \right)$
$y$ વડે ભાગતા ($y \neq 0$ ધારતા):
$y = 2x \frac{dy}{dx} + y \left( \frac{dy}{dx} \right)^2$
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$y \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + 2x \frac{dy}{dx} - y = 0$

(C) આપેલ સમીકરણ: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{b^2} \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{y}{b^2} \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{a^2} \implies \frac{y}{x} \frac{dy}{dx} = -\frac{b^2}{a^2}$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx} \left( \frac{y}{x} \frac{dy}{dx} \right) = \frac{d}{dx} \left( -\frac{b^2}{a^2} \right) = 0$.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{y}{x} \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} \left( \frac{x \frac{dy}{dx} - y}{x^2} \right) = 0$.
$x^2$ વડે ગુણતા:
$xy \frac{d^2y}{dx^2} + x \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 - y \frac{dy}{dx} = 0$.

(B) આપેલ વક્રોના કુળનું સમીકરણ: $r^2 = a^2 \cos 2\theta$.
$\theta$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{d}{d\theta}(r^2) = \frac{d}{d\theta}(a^2 \cos 2\theta)$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા: $2r \frac{dr}{d\theta} = a^2 (-\sin 2\theta) \cdot 2$.
સાદું રૂપ આપતા: $r \frac{dr}{d\theta} = -a^2 \sin 2\theta$.
મૂળ સમીકરણ પરથી,$a^2 = \frac{r^2}{\cos 2\theta}$.
વિકલિત સમીકરણમાં $a^2$ ની કિંમત મૂકતા:
$r \frac{dr}{d\theta} = -\left(\frac{r^2}{\cos 2\theta}\right) \sin 2\theta$.
$r \frac{dr}{d\theta} = -r^2 \tan 2\theta$.
$r$ વડે ભાગતા ($r \neq 0$ ધારીને):
$\frac{dr}{d\theta} = -r \tan 2\theta$.

(C) ઉગમબિંદુ પર નાભિ અને $X$-અક્ષ પર ધરી ધરાવતા પરવલયોના કુળનું સમીકરણ $y^2 = 4a(x+a) = 4ax + 4a^2$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $2y \frac{dy}{dx} = 4a$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a = \frac{1}{2} y \frac{dy}{dx}$.
$a$ ની કિંમત મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$y^2 = 4 \left( \frac{1}{2} y \frac{dy}{dx} \right) x + 4 \left( \frac{1}{2} y \frac{dy}{dx} \right)^2$
$y^2 = 2xy \frac{dy}{dx} + y^2 \left( \frac{dy}{dx} \right)^2$.
અહીં સૌથી ઉચ્ચ ક્રમનું વિકલન $\frac{dy}{dx}$ છે,તેથી ક્રમ $m = 1$.
સૌથી ઉચ્ચ ક્રમના વિકલનની ઘાત $2$ છે,તેથી ઘાત $n = 2$.
તેથી,$mn - m + n = (1 \times 2) - 1 + 2 = 2 - 1 + 2 = 3$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\left(1+e^{x / y}\right) d x+e^{x / y}\left(1-\frac{x}{y}\right) d y=0$
પદોને ગોઠવતા: $\frac{d x}{d y}=-\frac{e^{x / y}(1-x / y)}{1+e^{x / y}}$
ધારો કે $x=v y$,તેથી $\frac{d x}{d y}=v+y \frac{d v}{d y}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v+y \frac{d v}{d y}=-\frac{e^v(1-v)}{1+e^v}$
$y \frac{d v}{d y}=-\frac{e^v-v e^v}{1+e^v}-v = \frac{-e^v+v e^v-v-v e^v}{1+e^v} = -\frac{v+e^v}{1+e^v}$
ચલને અલગ કરતા: $\frac{1+e^v}{v+e^v} d v=-\frac{d y}{y}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{1+e^v}{v+e^v} d v=-\int \frac{d y}{y}$
ધારો કે $v+e^v=t$,તેથી $(1+e^v) d v=d t$.
તેથી,$\int \frac{d t}{t}=-\int \frac{d y}{y} \Rightarrow \ln|t|=-\ln|y|+\ln|c|$
$\ln|t|+\ln|y|=\ln|c| \Rightarrow \ln|t y|=\ln|c| \Rightarrow t y=c$
$t=v+e^v$ અને $v=x/y$ મૂકતા: $(x/y+e^{x/y}) y=c$
$x+y e^{x/y}=c$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + y \tan x = 2x + x^2 \tan x$ છે.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \tan x$ અને $Q = 2x + x^2 \tan x$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) શોધીએ:
$I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \tan x dx} = e^{\ln |\sec x|} = \sec x$.
વ્યાપક ઉકેલ આ મુજબ છે:
$y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + c$
$y \sec x = \int (2x + x^2 \tan x) \sec x dx + c$
$y \sec x = \int 2x \sec x dx + \int x^2 \tan x \sec x dx + c$
બીજા સંકલન $\int x^2 (\tan x \sec x) dx$ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:
ધારો કે $u = x^2$ અને $dv = \sec x \tan x dx$. તો $du = 2x dx$ અને $v = \sec x$.
$\int x^2 \sec x \tan x dx = x^2 \sec x - \int 2x \sec x dx$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$y \sec x = \int 2x \sec x dx + (x^2 \sec x - \int 2x \sec x dx) + c$
$y \sec x = x^2 \sec x + c$
બંને બાજુ $\cos x$ વડે ગુણતા:
$y = x^2 + c \cos x$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dx}{dy} + 2yx = 2y$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{dx}{dy} = 2y(1-x)$ મળે છે.
ચલને અલગ કરતા,$\int \frac{dx}{1-x} = \int 2y \, dy$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$-\ln|1-x| = y^2 + C$ મળે,જેને $\ln|1-x| = -y^2 - C$ તરીકે લખી શકાય.
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા,$|1-x| = e^{-y^2 - C} = Ae^{-y^2}$,જ્યાં $A = e^{-C}$.
આનો અર્થ એ છે કે $1-x = \pm Ae^{-y^2}$,અથવા $x-1 = Ke^{-y^2}$ જ્યાં $K = \mp A$.
વક્ર બિંદુ $(2,0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$x=2$ અને $y=0$ મૂકતા:
$2-1 = Ke^{-(0)^2} \Rightarrow 1 = K(1) \Rightarrow K=1$.
આમ,ઉકેલ $(x-1) = e^{-y^2}$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{y} = x^2$ છે.
બંને બાજુ $x^2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1}{x^2} \frac{dx}{dy} + \frac{1}{xy} = 1$ મળે છે.
ધારો કે $t = \frac{1}{x}$,તો $\frac{dt}{dy} = -\frac{1}{x^2} \frac{dx}{dy}$ થાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,$-\frac{dt}{dy} + \frac{t}{y} = 1$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{dt}{dy} - \frac{t}{y} = -1$ થાય છે.
આ $\frac{dt}{dy} + P(y)t = Q(y)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = -\frac{1}{y}$ અને $Q(y) = -1$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int P(y) dy} = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\log y} = \frac{1}{y}$ છે.
ઉકેલ $t \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) dy + c$ છે.
$t \cdot \frac{1}{y} = \int (-1) \cdot \frac{1}{y} dy + c$.
$\frac{t}{y} = -\log |y| + c$.
$t = \frac{1}{x}$ મૂકતા,આપણને $\frac{1}{xy} = -\log |y| + c$ મળે,એટલે કે $\frac{1}{x} = cy - y \log |y|$.

(C) આપેલ છે,$\cos^{2} x \cdot \frac{dy}{dx} - (\tan 2x) y = \cos^{4} x$
$\cos^{2} x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$\frac{dy}{dx} - \left(\frac{\tan 2x}{\cos^{2} x}\right) y = \cos^{2} x$
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = -\frac{\tan 2x}{\cos^{2} x}$ અને $Q = \cos^{2} x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ $e^{\int P dx}$ છે.
$\int P dx = -\int \frac{\tan 2x}{\cos^{2} x} dx = -\int \frac{2 \tan x}{(1 - \tan^{2} x) \cos^{2} x} dx$.
ધારો કે $\tan x = t$,તો $\sec^{2} x dx = dt$.
$\int P dx = -\int \frac{2t}{1 - t^{2}} dt = \ln |1 - t^{2}| = \ln |1 - \tan^{2} x|$.
તેથી,$I.F. = e^{\ln |1 - \tan^{2} x|} = 1 - \tan^{2} x$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot I.F. = \int (Q \cdot I.F.) dx + C$ છે.
$y(1 - \tan^{2} x) = \int (\cos^{2} x (1 - \tan^{2} x)) dx + C$.
$y(1 - \tan^{2} x) = \int (\cos^{2} x - \sin^{2} x) dx + C$.
$y(1 - \tan^{2} x) = \int \cos 2x dx + C$.
$y(1 - \tan^{2} x) = \frac{\sin 2x}{2} + C$.
$y = \frac{1}{2} \left[ \frac{\sin 2x + 2C}{1 - \tan^{2} x} \right]$.
$2C$ ને $c$ તરીકે લેતા,આપણને મળે $y = \frac{1}{2} \left[ \frac{\sin 2x + c}{1 - \tan^{2} x} \right]$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{x+2y-3}{2x+y-3}$ છે.
ધારો કે $x = X+h$ અને $y = Y+k$. $h$ અને $k$ એવી રીતે પસંદ કરો કે જેથી $h+2k-3=0$ અને $2h+k-3=0$ થાય,જેનાથી આપણને $h=1$ અને $k=1$ મળે છે.
$x=X+1$ અને $y=Y+1$ મૂકતા,સમીકરણ $\frac{dY}{dX} = \frac{X+2Y}{2X+Y}$ બને છે.
આ એક સમપરિમાણ વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $Y = vX$,તેથી $\frac{dY}{dX} = v + X\frac{dv}{dX}$.
તેથી,$v + X\frac{dv}{dX} = \frac{1+2v}{2+v}$.
$X\frac{dv}{dX} = \frac{1+2v-2v-v^2}{2+v} = \frac{1-v^2}{2+v}$.
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{v+2}{1-v^2} dv = \int \frac{dX}{X}$.
$\int (\frac{v}{1-v^2} + \frac{2}{1-v^2}) dv = \ln|X| + C$.
$-\frac{1}{2}\ln|1-v^2| + \ln|\frac{1+v}{1-v}| = \ln|X| + C$.
ગણતરી કરતા,આપણને $(x+y-2) = c(x-y)^3$ મળે છે.

(B) $A(a+2b-5c)$ અને $B(-a-2b-3c)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $r = A + \lambda_1(B-A)$ છે.
$r = (a+2b-5c) + \lambda_1(-2a-4b+2c) = (a+2b-5c) + \lambda_1'(a+2b-c)$ જ્યાં $\lambda_1' = -2\lambda_1$.
સરળતા માટે,$r = (a+2b-5c) + \lambda_1(a+2b-c)$ $(i)$ લો.
$C(-4c)$ અને $D(6a-4b+4c)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $r = C + \lambda_2(D-C)$ છે.
$r = -4c + \lambda_2(6a-4b+8c) = -4c + 2\lambda_2(3a-2b+4c)$ (ii).
છેદબિંદુ માટે $(i)$ અને (ii) ને સરખાવતા:
$(1+\lambda_1)a + (2+2\lambda_1)b + (-5-\lambda_1)c = (6\lambda_2)a + (-4\lambda_2)b + (-4+8\lambda_2)c$.
$a, b, c$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$1+\lambda_1 = 6\lambda_2$,$2+2\lambda_1 = -4\lambda_2$,$-5-\lambda_1 = -4+8\lambda_2$.
પ્રથમ બે સમીકરણો પરથી: $2(1+\lambda_1) = 2+2\lambda_1 = -4\lambda_2$,તેથી $2(6\lambda_2) = -4\lambda_2 \implies 16\lambda_2 = 0 \implies \lambda_2 = 0$.
તેથી $\lambda_1 = -1$. છેદબિંદુ $r = -4c + 0 = -4c$ છે.
વિકલ્પો તપાસતા,$\mu = -3$ માટે,વિકલ્પ $B$ આપે છે $r = (3a+6b-c) - 3(a+2b+c) = 3a+6b-c-3a-6b-3c = -4c$. આમ,વિકલ્પ $B$ માં આપેલી રેખા છેદબિંદુમાંથી પસાર થાય છે.

(D) ધારો કે $P, Q, R$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}$ છે.
$M$ એ $QR$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$M$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{m} = \frac{\vec{q} + \vec{r}}{2}$ છે.
$C$ એ $PM$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$C$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{c} = \frac{\vec{p} + \vec{m}}{2} = \frac{\vec{p} + \frac{\vec{q} + \vec{r}}{2}}{2} = \frac{2\vec{p} + \vec{q} + \vec{r}}{4}$ છે.
રેખા $QC$ એ $Q$ અને $C$ માંથી પસાર થાય છે. રેખા $QC$ નું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} = \vec{q} + t(\vec{c} - \vec{q}) = \vec{q} + t(\frac{2\vec{p} + \vec{q} + \vec{r}}{4} - \vec{q}) = \vec{q} + t(\frac{2\vec{p} - 3\vec{q} + \vec{r}}{4})$ છે.
રેખા $PR$ એ $P$ અને $R$ માંથી પસાર થાય છે. રેખા $PR$ નું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} = \vec{p} + s(\vec{r} - \vec{p}) = (1-s)\vec{p} + s\vec{r}$ છે.
છેદબિંદુ $N$ માટે $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}$ ના સહગુણકો સરખાવતા,આપણને $t = \frac{4}{3}$ અને $s = \frac{1}{3}$ મળે છે.
આમ,$\vec{n} = (1 - \frac{1}{3})\vec{p} + \frac{1}{3}\vec{r} = \frac{2\vec{p} + \vec{r}}{3}$.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$N$ એ $QC$ નું $t : (1-t) = \frac{4}{3} : (1 - \frac{4}{3}) = 4 : -1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
તેથી,$\overrightarrow{QN} = 4\overrightarrow{QC}$,જે સૂચવે છે કે $\frac{|\overrightarrow{QN}|}{|\overrightarrow{CN}|} = 4$.

(A) આપેલ સદિશો $a=\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}$,$b=2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$,અને $c=\hat{i}+3 \hat{j}-2 \hat{k}$ છે.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના નિત્યસમ $(u \times v) \times w = (u \cdot w)v - (v \cdot w)u$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(a \times b) \times (b \times c) = [a b c]b$
$(b \times c) \times (c \times a) = [b c a]c = [a b c]c$
$(c \times a) \times (a \times b) = [c a b]a = [a b c]a$
હવે,અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[a b c]$ ની ગણતરી કરીએ:
$[a b c] = \begin{vmatrix} 1 & -2 & -3 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & -2 \end{vmatrix} = 1(-2+3) + 2(-4+1) - 3(6-1) = 1 - 6 - 15 = -20$.
ધારો કે $k = [a b c] = -20$. તો પદાવલિ $[kb, kc, ka]$ બને છે.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$[kb, kc, ka] = k^3 [b c a] = k^3 [a b c] = k^3 \cdot k = k^4$.
$k = -20$ મૂકતા:
$(-20)^4 = 160000$.

(B) આપેલ છે કે $n \perp a$ અને $n \perp b$,તેથી $n = a \times b$.
$n = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ -1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-6) - \hat{j}(1+3) + \hat{k}(2+2) = -4\hat{i} - 4\hat{j} + 4\hat{k}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin \theta = \frac{|n \times c|}{|n||c|}$.
$n \times c = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -4 & -4 & 4 \\ 1 & 2 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(8-8) - \hat{j}(8-4) + \hat{k}(-8+4) = 0\hat{i} - 4\hat{j} - 4\hat{k}$.
$|n \times c| = \sqrt{0^2 + (-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.
$|n| = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2 + 4^2} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$.
$|c| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3$.
$\sin \theta = \frac{4\sqrt{2}}{(4\sqrt{3}) \times 3} = \frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}$.

(B) ધારો કે $|a|=|b|=|c|=\lambda$.
$a, b, c$ પરસ્પર લંબ હોવાથી,$a \cdot b = b \cdot c = c \cdot a = 0$ થાય.
હવે,$|a+b+c|^2 = (a+b+c) \cdot (a+b+c) = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a)$.
કિંમતો મૂકતા,$|a+b+c|^2 = \lambda^2 + \lambda^2 + \lambda^2 + 2(0) = 3\lambda^2$.
તેથી,$|a+b+c| = \sqrt{3}\lambda$.
ધારો કે $a$ અને $a+b+c$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
તો,$\cos \theta = \frac{a \cdot (a+b+c)}{|a| |a+b+c|} = \frac{a \cdot a + a \cdot b + a \cdot c}{|a| |a+b+c|} = \frac{|a|^2 + 0 + 0}{|a| |a+b+c|} = \frac{\lambda^2}{\lambda \cdot \sqrt{3}\lambda} = \frac{\lambda^2}{\sqrt{3}\lambda^2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.