જો પરવલય y^2=4ax ના શિરોબિંદુ O માંથી તેના કો | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે પરવલય $y^2=4ax$ પરના બિંદુ $P(at^2, 2at)$ આગળનો સ્પર્શક $yt = x + at^2$ છે ... $(i)$. રેખા $NM$ સ્પર્શકને લંબ છે અને ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ માં

Vedclass · Accepted Answer

$4a^2$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે પરવલય $y^2=4ax$ પરના બિંદુ $P(at^2, 2at)$ આગળનો સ્પર્શક $yt = x + at^2$ છે ... $(i)$. રેખા $NM$ સ્પર્શકને લંબ છે અને ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનું સમીકરણ $y = -tx$ છે ... (ii). $N$ શોધવા માટે,$(i)$ માં $y = -tx$ મૂકતા: $t(-tx) = x + at^2 \implies -t^2x - x = at^2 \implies x = -\frac{at^2}{1+t^2}$. તેથી $y = -t(-\frac{at^2}{1+t^2}) = \frac{at^3}{1+t^2}$. આમ,$N \equiv (-\frac{at^2}{1+t^2}, \frac{at^3}{1+t^2})$. $M$ શોધવા માટે,$y^2 = 4ax$ માં $y = -tx$ મૂકતા: $(-tx)^2 = 4ax \implies t^2x^2 = 4ax$. $x 
eq 0$ હોવાથી,$x = \frac{4a}{t^2}$. તેથી $y = -t(\frac{4a}{t^2}) = -\frac{4a}{t}$. આમ,$M \equiv (\frac{4a}{t^2}, -\frac{4a}{t})$. હવે,$ON = \sqrt{(-\frac{at^2}{1+t^2})^2 + (\frac{at^3}{1+t^2})^2} = \frac{at^2}{\sqrt{1+t^2}}$. અને $OM = \sqrt{(\frac{4a}{t^2})^2 + (-\frac{4a}{t})^2} = \frac{4a}{t^2} \sqrt{1+t^2}$. તેથી,$ON \cdot OM = \frac{at^2}{\sqrt{1+t^2}} \cdot \frac{4a}{t^2} \sqrt{1+t^2} = 4a^2$.

જો પરવલય $y^2=4ax$ ના શિરોબિંદુ $O$ માંથી તેના કોઈપણ સ્પર્શક પર દોરેલો લંબ સ્પર્શકને $N$ માં અને પરવલયને $M$ માં મળે,તો $ON \cdot OM=$

Similar Questions

જો રેખા $y = -x + k$ એ વક્ર $y^2 = 16x$ નો અભિલંબ હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.

પરવલય $y^2+6y-2x+5=0$ માટે:
$(I)$ શિરોબિંદુ $(-2,-3)$ છે.
$(II)$ નિયામિકા (directrix) $y+3=0$ છે.
નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

સમીકરણ $y^{2}+4x+4y+k=0$ એક પરવલય દર્શાવે છે જેનું નાભિલંબ (latus rectum) છે

પરવલય $y^2 = 6x$ માટે શિરોબિંદુ અને નાભિલંબના ઋણ છેડામાંથી પસાર થતી જીવાનું સમીકરણ શોધો.

ધારો કે $P, Q,$ અને $R$ એ પરવલય $y^2 = 4ax$ પરના ત્રણ સહ-અભિલંબ બિંદુઓ છે. તો નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module