AP EAMCET 2018 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) કુલ બિંદુઓની સંખ્યા $n = 5 + 7 + 9 = 21$ છે. \\ $21$ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{21}C_3 = \frac{21 \times 20 \times 19}{3 \times 2 \times 1} = 1330$ છે. \\ જો $3$ બિંદુઓ સમરેખ હોય તો ત્રિકોણ બની શકતો નથી. \\ સમરેખ બિંદુઓ એક જ રેખા પર આવેલા હોય છે: \\ $L_1$ માંથી ગુમાવેલા ત્રિકોણ: ${}^{5}C_3 = 10$. \\ $L_2$ માંથી ગુમાવેલા ત્રિકોણ: ${}^{7}C_3 = 35$. \\ $L_3$ માંથી ગુમાવેલા ત્રિકોણ: ${}^{9}C_3 = 84$. \\ કુલ ત્રિકોણ = $1330 - (10 + 35 + 84) = 1330 - 129 = 1201$.

(D) ત્રણ અંકની સંખ્યા $abc$ સ્વરૂપમાં હોય છે,જ્યાં $a \in \{1, 2, \dots, 9\}$ અને $b, c \in \{0, 1, \dots, 9\}$.
કિસ્સો $1$: $9$ સોના સ્થાન પર હોય $(a=9)$.
ત્યારે $b \in \{0, 1, \dots, 8\}$ ($9$ વિકલ્પો) અને $c \in \{0, 1, \dots, 8\}$ ($9$ વિકલ્પો).
આવી સંખ્યાઓ $= 1 \times 9 \times 9 = 81$.
કિસ્સો $2$: $9$ દશકના સ્થાન પર હોય $(b=9)$.
ત્યારે $a \in \{1, 2, \dots, 8\}$ ($8$ વિકલ્પો) અને $c \in \{0, 1, \dots, 8\}$ ($9$ વિકલ્પો).
આવી સંખ્યાઓ $= 8 \times 1 \times 9 = 72$.
કિસ્સો $3$: $9$ એકમના સ્થાન પર હોય $(c=9)$.
ત્યારે $a \in \{1, 2, \dots, 8\}$ ($8$ વિકલ્પો) અને $b \in \{0, 1, \dots, 8\}$ ($9$ વિકલ્પો).
આવી સંખ્યાઓ $= 8 \times 9 \times 1 = 72$.
કુલ સંખ્યા $= 81 + 72 + 72 = 225$.

(C) $COMBINATION$ શબ્દમાં $11$ અક્ષરો છે: $C, O, M, B, I, N, A, T, I, O, N$.
સ્વરો $O, I, A, I, O$ છે (કુલ $5$ સ્વરો).
વ્યંજનો $C, M, B, N, N$ છે (કુલ $6$ વ્યંજનો).
સ્વરો હંમેશા સાથે હોવાથી,આપણે $(O, I, A, I, O)$ જૂથને એક એકમ તરીકે ગણીએ છીએ.
હવે,આપણી પાસે $6$ વ્યંજનો + $1$ એકમ = $7$ વસ્તુઓ છે.
આ $7$ વસ્તુઓની ગોઠવણી,જેમાં $N$ બે વાર પુનરાવર્તિત થાય છે,તે $\frac{7!}{2!} = 2520$ છે.
સ્વર જૂથ $(O, I, A, I, O)$ માં $5$ અક્ષરો છે જેમાં $O$ બે વાર અને $I$ બે વાર આવે છે.
સ્વરોની ગોઠવણી $\frac{5!}{2! \times 2!} = 30$ છે.
કુલ રીતોની સંખ્યા $2520 \times 30 = 75600$ છે.

(B) સૌ પ્રથમ,$LEADING$ શબ્દના અક્ષરોને મૂળાક્ષરોના ક્રમમાં ગોઠવીએ: $A, D, E, G, I, L, N$.
$A$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $6! = 720$.
$D$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $6! = 720$.
$E$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $6! = 720$.
$A, D, E$ થી શરૂ થતા કુલ શબ્દો $720 + 720 + 720 = 2160 > 2017$ છે.
તેથી,શબ્દ $E$ થી શરૂ થશે. $E$ પહેલાના કુલ શબ્દો $1440$ છે.
હવે,$EA, ED, EG, EI$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $4 \times 5! = 480$.
$EI$ સુધીના કુલ શબ્દો: $1440 + 480 = 1920$.
આગળ,$ELA, ELD, ELG$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $3 \times 4! = 72$.
$ELG$ સુધીના કુલ શબ્દો: $1920 + 72 = 1992$.
આગળ,$ELI$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $4! = 24$.
$ELI$ સુધીના કુલ શબ્દો: $1992 + 24 = 2016$.
$2017^{\text{th}}$ શબ્દ $ELN$ થી શરૂ થતો પ્રથમ શબ્દ હશે.
$ELN$ પછી બાકી રહેલા અક્ષરો $A, D, G, I$ મૂળાક્ષરોના ક્રમમાં છે.
આમ,$2017^{\text{th}}$ શબ્દ $ELNADGI$ છે.

(A) કુલ પ્રશ્નોની સંખ્યા $12$ છે ($3$ વિભાગ $\times$ દરેકના $4$ પ્રશ્નો). ઉમેદવારે $5$ પ્રશ્નો એવી રીતે પસંદ કરવાના છે કે દરેક વિભાગમાંથી ઓછામાં ઓછો એક પ્રશ્ન પસંદ થાય.
$5$ પ્રશ્નોની $3$ વિભાગોમાં વહેંચણી નીચે મુજબ થઈ શકે:
કિસ્સો $1$: $(2, 2, 1)$ કોઈપણ ક્રમમાં. રીતોની સંખ્યા = $3 \times (^4C_2 \times ^4C_2 \times ^4C_1) = 3 \times (6 \times 6 \times 4) = 432$.
કિસ્સો $2$: $(3, 1, 1)$ કોઈપણ ક્રમમાં. રીતોની સંખ્યા = $3 \times (^4C_3 \times ^4C_1 \times ^4C_1) = 3 \times (4 \times 4 \times 4) = 192$.
કુલ રીતોની સંખ્યા = $432 + 192 = 624$.

(D) આપેલ ગણ $S = \{0, 1, 2, \ldots, 100\}$ છે.
આપણે એવા ક્રમયુક્ત જોડ $(x, y)$ શોધવાની છે કે જ્યાં $x, y \in S$,$x \neq y$,અને $x + y = 100$ થાય.
શક્ય જોડ $(x, y)$ આ મુજબ છે:
$(0, 100), (1, 99), (2, 98), \ldots, (49, 51)$.
અહીં $(50, 50)$ જોડને બાકાત રાખવી પડે કારણ કે $x \neq y$ શરત છે.
વધુમાં,$(51, 49), (52, 48), \ldots, (100, 0)$ જોડ પણ અલગ ગણાય કારણ કે $x$ અને $y$ ની પસંદગીમાં ક્રમ મહત્વનો છે.
$x = 0$ થી $x = 49$ સુધીની કુલ $50$ જોડ મળે છે.
$x = 51$ થી $x = 100$ સુધીની કુલ $50$ જોડ મળે છે.
કુલ રીતોની સંખ્યા = $50 + 50 = 100$.

(A) આપેલ છે,$10$ પુરુષો અને $8$ સ્ત્રીઓનું જૂથ. આપણે $8$ સભ્યોની સમિતિ બનાવવાની છે જેમાં $5$ થી વધુ પુરુષો ન હોય અને $5$ થી ઓછી સ્ત્રીઓ ન હોય.
આનો અર્થ એ છે કે (સ્ત્રીઓ,પુરુષો) ના સંભવિત સંયોજનો છે:
$(5W, 3M), (6W, 2M), (7W, 1M), (8W, 0M)$.
રીતોની સંખ્યા નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$= \binom{8}{5} \times \binom{10}{3} + \binom{8}{6} \times \binom{10}{2} + \binom{8}{7} \times \binom{10}{1} + \binom{8}{8} \times \binom{10}{0}$
$= (56 \times 120) + (28 \times 45) + (8 \times 10) + (1 \times 1)$
$= 6720 + 1260 + 80 + 1 = 8061$ રીતો.

(C) $3$ સમાંતર રેખાઓ છે,જેમાં દરેક પર $4$ બિંદુઓ છે. કુલ બિંદુઓની સંખ્યા $3 \times 4 = 12$ છે.
$12$ માંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $C(12, 3) = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$ છે.
જ્યારે $3$ બિંદુઓ એક જ રેખા પર હોય ત્યારે ત્રિકોણ બનતા નથી. એક જ રેખા પરના $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાથી ત્રિકોણ બનતો નથી.
$4$ બિંદુઓ ધરાવતી $3$ રેખાઓ હોવાથી,$3$ સમરેખ બિંદુઓ પસંદ કરવાની રીતો $3 \times C(4, 3) = 3 \times 4 = 12$ છે.
તેથી,બનતા ત્રિકોણની સંખ્યા $220 - 12 = 208$ છે.

(D) જો $a, b, c$ હાર્મોનિક શ્રેણીમાં હોય,તો $b = \frac{2ac}{a+c}$.
આપેલ છે કે $\cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right), \cos x, \cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ હાર્મોનિક શ્રેણીમાં છે,તેથી:
$\cos x = \frac{2 \cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right) \cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right)}{\cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right) + \cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right)}$
નિત્યસમ $\cos(A-B)\cos(A+B) = \cos^2 A - \sin^2 B$ અને $\cos(A-B) + \cos(A+B) = 2 \cos A \cos B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos x = \frac{2 \left(\cos^2 x - \sin^2 \frac{\pi}{3}\right)}{2 \cos x \cos \frac{\pi}{3}}$
$\cos x = \frac{\cos^2 x - \sin^2 \frac{\pi}{3}}{\cos x \cdot \frac{1}{2}}$
$\frac{1}{2} \cos^2 x = \cos^2 x - \sin^2 \frac{\pi}{3}$
$\sin^2 \frac{\pi}{3} = \cos^2 x - \frac{1}{2} \cos^2 x$
$\frac{3}{4} = \frac{1}{2} \cos^2 x$
$\cos^2 x = \frac{3}{2}$
$\cos x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ધારો કે શ્રેણી $S = \frac{1}{4} - \frac{5}{4 \cdot 8} + \frac{5 \cdot 9}{4 \cdot 8 \cdot 12} - \ldots$ છે.
આ દ્વિપદી શ્રેણી $(1+x)^{-n} = 1 - nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 - \frac{n(n+1)(n+2)}{3!}x^3 + \ldots$ ના સ્વરૂપમાં છે.
શ્રેણીને $S = 1 - [1 - \frac{1}{4} + \frac{1 \cdot 5}{2! \cdot 4^2} - \frac{1 \cdot 5 \cdot 9}{3! \cdot 4^3} + \ldots]$ તરીકે લખી શકાય.
કૌંસની અંદરના પદોને દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+x)^{-n}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $nx = \frac{1}{4}$ અને $n = \frac{1}{4}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = 1$.
આમ,કૌંસની અંદરની શ્રેણી $(1+1)^{-\frac{1}{4}} = 2^{-\frac{1}{4}}$ છે.
તેથી,$S = 1 - 2^{-\frac{1}{4}} = 1 - \frac{1}{2^{\frac{1}{4}}} = \frac{2^{\frac{1}{4}}-1}{2^{\frac{1}{4}}}$.

(B) $S_n = 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \ldots + (-1)^{n-1} n^2$ \\ $S_{77} = (1^2 - 2^2) + (3^2 - 4^2) + \ldots + (75^2 - 76^2) + 77^2$ \\ નિત્યસમ $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ નો ઉપયોગ કરતા,દરેક જોડી $(k^2 - (k+1)^2) = (k - k - 1)(k + k + 1) = -(2k+1)$ \\ $S_{77} = -(3 + 7 + 11 + \ldots + 151) + 77^2$ \\ કૌંસમાં રહેલો સરવાળો એ સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં $n = 38$ પદો,પ્રથમ પદ $a = 3$ અને અંતિમ પદ $l = 151$ છે \\ સરવાળો $= \frac{38}{2}(3 + 151) = 19 \times 154 = 2926$ \\ $S_{77} = -2926 + 5929 = 3003$

(C) આપેલ પદાવલિ: $\left(1+\frac{3}{1}\right)\left(1+\frac{5}{4}\right)\left(1+\frac{7}{9}\right) \ldots \left(1+\frac{2n+1}{n^2}\right) = 121$.
દરેક પદનું સાદું રૂપ આપતા: $\left(\frac{1+3}{1}\right)\left(\frac{4+5}{4}\right)\left(\frac{9+7}{9}\right) \ldots \left(\frac{n^2+2n+1}{n^2}\right) = 121$.
આનું સાદું રૂપ: $\left(\frac{4}{1}\right) \times \left(\frac{9}{4}\right) \times \left(\frac{16}{9}\right) \times \ldots \times \left(\frac{(n+1)^2}{n^2}\right) = 121$.
પેટર્ન જોતા,પદો ટેલિસ્કોપિંગ રીતે ઉડી જાય છે: $\frac{4}{1} \times \frac{9}{4} \times \frac{16}{9} \times \ldots \times \frac{(n+1)^2}{n^2} = (n+1)^2$.
તેથી,$(n+1)^2 = 121$.
વર્ગમૂળ લેતા: $n+1 = 11$.
આમ,$n = 10$.

(C) ધારો કે $P(n) = 2(4^{2n+1}) + 3^{3n+1}$.
$n = 1$ માટે,$P(1) = 2(4^3) + 3^4 = 128 + 81 = 209$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $209 = 11 \times 19$.
$n = 2$ માટે,$P(2) = 2(4^5) + 3^7 = 2048 + 2187 = 4235$.
$P(2)$ માટે વિભાજ્યતા તપાસતા:
$4235 / 11 = 385$ (વિભાજ્ય છે).
$4235 / 19 = 222.89$ (વિભાજ્ય નથી).
તેથી,$k = 11$ એ સાચો જવાબ છે.

(C) આપણે $\sum_{n=1}^5 (n^3 + n^2 + n)$ નો સરવાળો શોધવો પડશે.
$n=1$ માટે: $1(1^2+1+1) = 1(3) = 3$.
$n=2$ માટે: $2(2^2+2+1) = 2(7) = 14$.
$n=3$ માટે: $3(3^2+3+1) = 3(13) = 39$.
$n=4$ માટે: $4(4^2+4+1) = 4(21) = 84$.
$n=5$ માટે: $5(5^2+5+1) = 5(31) = 155$.
આ કિંમતોનો સરવાળો: $3 + 14 + 39 + 84 + 155 = 295$.

(C) આપણે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\cos^3 x + \cos^3(120^{\circ} - x) + \cos^3(120^{\circ} + x) = \frac{3}{4} \cos(3x)$.
આપેલ પદાવલિ $\cos^3 10^{\circ} + \cos^3 110^{\circ} + \cos^3 130^{\circ}$ ને આ રીતે લખી શકાય:
$\cos^3 10^{\circ} + \cos^3(120^{\circ} - 10^{\circ}) + \cos^3(120^{\circ} + 10^{\circ})$.
અહીં,$x = 10^{\circ}$.
નિત્યસમ લાગુ પાડતા:
$= \frac{3}{4} \cos(3 \times 10^{\circ})$
$= \frac{3}{4} \cos 30^{\circ}$
$= \frac{3}{4} \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
$= \frac{3\sqrt{3}}{8}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$.
$\tan 60^{\circ} = \tan(40^{\circ} + 20^{\circ}) = \sqrt{3}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\tan 40^{\circ} + \tan 20^{\circ} + \sqrt{3} \tan 40^{\circ} \tan 20^{\circ} = \sqrt{3}$ મળે છે.
તે જ રીતે,$\tan(56^{\circ} - 11^{\circ}) = \tan 45^{\circ} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$\tan 56^{\circ} - \tan 11^{\circ} - \tan 56^{\circ} \tan 11^{\circ} = 1$ મળે છે.
આ કિંમતો મૂકતા,જવાબ $\sqrt{3} - 1$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$\sec \theta \cosh y = \operatorname{cosec} x \implies \cos \theta = \sin x \cosh y \quad (i)$
$\operatorname{cosec} \theta \sinh y = \sec x \implies \sin \theta = \cos x \sinh y \quad (ii)$
સમીકરણો $(i)$ અને $(ii)$ નો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$\cos ^2 \theta + \sin ^2 \theta = (\sin x \cosh y)^2 + (\cos x \sinh y)^2$
$1 = \sin ^2 x \cosh ^2 y + \cos ^2 x \sinh ^2 y$
કારણ કે $\cosh ^2 y = 1 + \sinh ^2 y$,તેથી:
$1 = \sin ^2 x (1 + \sinh ^2 y) + \cos ^2 x \sinh ^2 y$
$1 = \sin ^2 x + \sin ^2 x \sinh ^2 y + \cos ^2 x \sinh ^2 y$
$1 = \sin ^2 x + \sinh ^2 y (\sin ^2 x + \cos ^2 x)$
$1 = \sin ^2 x + \sinh ^2 y (1)$
$\sinh ^2 y = 1 - \sin ^2 x$
$\sinh ^2 y = \cos ^2 x$

(D) આપેલ છે,$\tan \left(\frac{\pi}{4}+\frac{y}{2}\right)=\tan ^3\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)$
$\tan \left(\frac{\pi}{4}+\theta\right) = \frac{1+\tan \theta}{1-\tan \theta}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1+\tan \frac{y}{2}}{1-\tan \frac{y}{2}} = \left(\frac{1+\tan \frac{x}{2}}{1-\tan \frac{x}{2}}\right)^3$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{1+\sin y}{1-\sin y} = \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^3$
યોગ-વિયોગ (componendo and dividendo) ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2}{2 \sin y} = \frac{(1+\sin x)^3 + (1-\sin x)^3}{(1+\sin x)^3 - (1-\sin x)^3}$
$\frac{1}{\sin y} = \frac{1+3 \sin ^2 x}{3 \sin x + \sin ^3 x}$
તેથી,$\sin y = \frac{3 \sin x + \sin ^3 x}{1+3 \sin ^2 x}$.

(C) આપણી પાસે $x=\log _e \left[\cot \left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)\right]$ છે.
વિધાન $I$ માટે:
$\cosh x = \frac{e^x+e^{-x}}{2} = \frac{\cot \left(\frac{\pi}{4}+\theta\right) + \tan \left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)}{2}$
$= \frac{\frac{\cos(\pi/4+\theta)}{\sin(\pi/4+\theta)} + \frac{\sin(\pi/4+\theta)}{\cos(\pi/4+\theta)}}{2} = \frac{\cos^2(\pi/4+\theta) + \sin^2(\pi/4+\theta)}{2 \sin(\pi/4+\theta) \cos(\pi/4+\theta)}$
$= \frac{1}{\sin(2(\pi/4+\theta))} = \frac{1}{\sin(\pi/2+2\theta)} = \frac{1}{\cos 2\theta} = \sec 2\theta$.
આમ,વિધાન $I$ સાચું છે.
વિધાન $II$ માટે:
$\sinh x = \frac{e^x-e^{-x}}{2} = \frac{\cot \left(\frac{\pi}{4}+\theta\right) - \tan \left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)}{2}$
$= \frac{\frac{\cos^2(\pi/4+\theta) - \sin^2(\pi/4+\theta)}{\sin(\pi/4+\theta) \cos(\pi/4+\theta)}}{2} = \frac{\cos(2(\pi/4+\theta))}{\sin(2(\pi/4+\theta))}$
$= \cot(\pi/2+2\theta) = -\tan 2\theta$.
આમ,વિધાન $II$ પણ સાચું છે.

(B) ધારો કે $P = \left(1+\cos \frac{\pi}{8}\right)\left(1+\cos \frac{2 \pi}{8}\right)\left(1+\cos \frac{3 \pi}{8}\right)\left(1+\cos \frac{4 \pi}{8}\right)\left(1+\cos \frac{5 \pi}{8}\right)\left(1+\cos \frac{6 \pi}{8}\right)\left(1+\cos \frac{7 \pi}{8}\right)$.
$\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$ હોવાથી,$\cos \frac{7\pi}{8} = -\cos \frac{\pi}{8}$,$\cos \frac{6\pi}{8} = -\cos \frac{2\pi}{8}$,અને $\cos \frac{5\pi}{8} = -\cos \frac{3\pi}{8}$ થાય.
વળી,$\cos \frac{4\pi}{8} = \cos \frac{\pi}{2} = 0$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$P = \left(1+\cos \frac{\pi}{8}\right)\left(1+\cos \frac{\pi}{4}\right)\left(1+\cos \frac{3 \pi}{8}\right)(1+0)\left(1-\cos \frac{3 \pi}{8}\right)\left(1-\cos \frac{2 \pi}{8}\right)\left(1-\cos \frac{\pi}{8}\right)$.
પદોને જૂથબદ્ધ કરતા:
$P = \left(1-\cos^2 \frac{\pi}{8}\right)\left(1-\cos^2 \frac{3 \pi}{8}\right)\left(1+\cos \frac{\pi}{4}\right)\left(1-\cos \frac{\pi}{4}\right)$.
$P = \sin^2 \frac{\pi}{8} \cdot \sin^2 \frac{3 \pi}{8} \cdot \left(1-\cos^2 \frac{\pi}{4}\right)$.
$\sin^2 \theta = \frac{1-\cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P = \left(\frac{1-\cos \frac{\pi}{4}}{2}\right) \left(\frac{1-\cos \frac{3\pi}{4}}{2}\right) \cdot \left(1-\frac{1}{2}\right)$.
$P = \left(\frac{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}{2}\right) \left(\frac{1+\frac{1}{\sqrt{2}}}{2}\right) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1-\frac{1}{2}}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{16}$.

(B) આપેલ પદાવલિ: $E = \sqrt{4 \sin^4 \theta + \sin^2 2 \theta} + 4 \cos^2 \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2}\right)$.
પ્રથમ,વર્ગમૂળની અંદરના પદનું સાદું રૂપ આપો:
$4 \sin^4 \theta + \sin^2 2 \theta = 4 \sin^4 \theta + (2 \sin \theta \cos \theta)^2 = 4 \sin^4 \theta + 4 \sin^2 \theta \cos^2 \theta = 4 \sin^2 \theta (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = 4 \sin^2 \theta$.
તેથી,$\sqrt{4 \sin^2 \theta} = 2 |\sin \theta|$.
કારણ કે $\theta$ ત્રીજા ચરણમાં છે,$\sin \theta < 0$,તેથી $2 |\sin \theta| = -2 \sin \theta$.
હવે,બીજા પદનું સાદું રૂપ આપો:
$4 \cos^2 \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2}\right) = 2 \left[2 \cos^2 \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2}\right)\right] = 2 \left[1 + \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)\right] = 2 (1 + \sin \theta) = 2 + 2 \sin \theta$.
બંને ભાગનો સરવાળો કરતા:
$E = -2 \sin \theta + 2 + 2 \sin \theta = 2$.

(D) આપેલ છે કે $\sec(\theta+\alpha)$,$\sec\theta$,અને $\sec(\theta-\alpha)$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
તેથી,$2 \sec\theta = \sec(\theta+\alpha) + \sec(\theta-\alpha)$.
$\sec x = \frac{1}{\cos x}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2}{\cos\theta} = \frac{1}{\cos(\theta+\alpha)} + \frac{1}{\cos(\theta-\alpha)}$.
$\frac{2}{\cos\theta} = \frac{\cos(\theta-\alpha) + \cos(\theta+\alpha)}{\cos(\theta+\alpha)\cos(\theta-\alpha)}$.
$\cos(A-B) + \cos(A+B) = 2\cos A \cos B$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2}{\cos\theta} = \frac{2\cos\theta \cos\alpha}{\cos^2\theta - \sin^2\alpha}$.
$\cos^2\theta - \sin^2\alpha = \cos^2\theta \cos\alpha$.
$\cos^2\theta(1 - \cos\alpha) = \sin^2\alpha$.
$\cos^2\theta(2\sin^2\frac{\alpha}{2}) = 4\sin^2\frac{\alpha}{2}\cos^2\frac{\alpha}{2}$.
તેથી,$\cos^2\theta = 2\cos^2\frac{\alpha}{2}$.
વર્ગમૂળ લેતા,$\cos\theta = \pm \sqrt{2} \cos\frac{\alpha}{2}$.
તેથી,$\cos\theta \cdot \sec\frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{2}$.

(B) ઉકેલ: $E = (\cos^2 252^{\circ} - \sin^2 126^{\circ})(\sin^2 126^{\circ} + \sin^2 186^{\circ} + \sin^2 66^{\circ})$.
$\cos^2 \theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$ અને $\sin^2 \theta = \frac{1-\cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos^2 252^{\circ} - \sin^2 126^{\circ} = \cos 18^{\circ} (-\sin 36^{\circ})$.
$\sin^2 126^{\circ} + \sin^2 186^{\circ} + \sin^2 66^{\circ} = \frac{3}{2}$.
તેથી,$E = -\frac{3}{2} \sin 36^{\circ} \cos 18^{\circ} = -\frac{3\sqrt{5}}{8}$.

(D) આપેલ છે કે $\tan \theta = \frac{\cos 25^{\circ} + \sin 25^{\circ}}{\cos 25^{\circ} - \sin 25^{\circ}}$.
અંશ અને છેદને $\cos 25^{\circ}$ વડે ભાગતા,આપણને $\tan \theta = \frac{1 + \tan 25^{\circ}}{1 - \tan 25^{\circ}}$ મળે છે.
$\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $A = 45^{\circ}$ અને $B = 25^{\circ}$,આપણને $\tan \theta = \tan(45^{\circ} + 25^{\circ}) = \tan 70^{\circ}$ મળે છે.
$\theta$ ત્રીજા ચરણમાં હોવાથી,આપણે $\tan(180^{\circ} + \alpha) = \tan \alpha$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
તેથી,$\tan \theta = \tan(180^{\circ} + 70^{\circ}) = \tan 250^{\circ}$.
આમ,$\theta = 250^{\circ}$.

(C) આપેલ છે કે $\cos 3A + \cos 3B + \cos 3C + \cos 3\pi = 0$. $\cos 3\pi = -1$ હોવાથી,$\cos 3A + \cos 3B + \cos 3C = 1$.
$A+B+C = \pi$ માટે નિત્યસમ $\cos 3A + \cos 3B + \cos 3C = 1 - 4 \cos \frac{3A}{2} \cos \frac{3B}{2} \cos \frac{3C}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1 - 4 \cos \frac{3A}{2} \cos \frac{3B}{2} \cos \frac{3C}{2} = 1$
$\Rightarrow 4 \cos \frac{3A}{2} \cos \frac{3B}{2} \cos \frac{3C}{2} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\cos \frac{3A}{2} = 0$ અથવા $\cos \frac{3B}{2} = 0$ અથવા $\cos \frac{3C}{2} = 0$.
$\triangle ABC$ માટે,$0 < A, B, C < \pi$,તેથી $0 < \frac{3A}{2} < \frac{3\pi}{2}$.
$\cos \frac{3A}{2} = 0$ $\Rightarrow \frac{3A}{2} = \frac{\pi}{2}$ $\Rightarrow A = \frac{\pi}{3}$.
જો એક ખૂણો $\frac{\pi}{3}$ હોય,તો બાકીના બે ખૂણાઓનો સરવાળો $\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ થાય.
પરંતુ,જો આપણે એવો કિસ્સો લઈએ કે જેમાં એક ખૂણો $\frac{2\pi}{3}$ હોય,તો બાકીના બેનો સરવાળો $\frac{\pi}{3}$ થાય.
આમ,બે ખૂણાઓના સરવાળાનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $\frac{\pi}{3}$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\cos A = \frac{7}{25}$ અને $A$ એ ચોથા ચરણમાં છે,એટલે કે $\frac{3 \pi}{2} < A < 2 \pi$.
$\frac{3 \pi}{2} < A < 2 \pi$ હોવાથી,$\frac{3 \pi}{4} < \frac{A}{2} < \pi$ અને $\frac{3 \pi}{8} < \frac{A}{4} < \frac{\pi}{2}$ થાય.
$\cos A = 2 \cos^2 \frac{A}{2} - 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos^2 \frac{A}{2} = \frac{1 + \cos A}{2} = \frac{1 + 7/25}{2} = \frac{16}{25}$.
$\frac{A}{2}$ એ બીજા ચરણમાં હોવાથી,$\cos \frac{A}{2} = -\frac{4}{5}$.
$\cos \frac{A}{2} = 2 \cos^2 \frac{A}{4} - 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$2 \cos^2 \frac{A}{4} = 1 + \cos \frac{A}{2} = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$,તેથી $\cos^2 \frac{A}{4} = \frac{1}{10}$.
$\frac{A}{4}$ એ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$\cos \frac{A}{4} = \frac{1}{\sqrt{10}}$.
વળી,$\cos 2A = 2 \cos^2 A - 1 = 2 \left(\frac{7}{25}\right)^2 - 1 = -\frac{527}{625}$.
તેથી,$\cos \frac{A}{4} + \cos \frac{A}{2} - \cos 2A = \frac{1}{\sqrt{10}} - \frac{4}{5} + \frac{527}{625} = \frac{1}{\sqrt{10}} + \frac{27}{625}$.

(A) આપેલ છે $x = -\frac{1}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sinh^{-1} x = \ln(x + \sqrt{x^2+1})$ અને $\operatorname{cosech}^{-1} x = \ln\left(\frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2}+1}\right)$.
$x = -\frac{1}{2}$ મૂકતા:
$\sinh^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = \ln\left(-\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{1}{4}+1}\right) = \ln\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)$.
$\operatorname{cosech}^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = \ln\left(-2 + \sqrt{4+1}\right) = \ln(\sqrt{5}-2)$.
બંનેનો સરવાળો કરતા:
$\sinh^{-1} x + \operatorname{cosech}^{-1} x = \ln\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right) + \ln(\sqrt{5}-2) = \ln\left(\frac{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}-2)}{2}\right)$.
$= \ln\left(\frac{5 - 2\sqrt{5} - \sqrt{5} + 2}{2}\right) = \ln\left(\frac{7-3\sqrt{5}}{2}\right)$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\tan^2(x+y) + \cos^2(x+y) + y^2 + 2y = 0$
આને આ રીતે લખી શકાય: $\tan^2(x+y) + \cos^2(x+y) + (y+1)^2 = 1$
અહીં $\tan^2(x+y) \ge 0$ અને $(y+1)^2 \ge 0$ હોવાથી,$\tan(x+y) = 0$,$\cos^2(x+y) = 1$ અને $y = -1$ મળે.
તેથી $x+y = n\pi$ અને $y = -1$,એટલે કે $x = n\pi + 1$.
બિંદુઓ $P(n_1\pi + 1, -1)$ અને $Q(n_2\pi + 1, -1)$ સ્વરૂપના છે.
તેથી અંતર $d = |n_1 - n_2|\pi = k\pi$ મળે.
આમ,$\cos d = \cos(k\pi) = (-1)^k$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $1$ છે.

(B) આપણે સરવાળા-ગુણાકારના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ અને $\cos A - \cos B = -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}$.
આપેલ પદાવલિ: $E = (\cos \alpha + \cos \beta) - (\cos \gamma + \cos (\alpha + \beta + \gamma))$.
સૂત્રો લાગુ પાડતા:
$E = 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} - 2 \cos \frac{\alpha+\beta+2\gamma}{2} \cos \frac{\alpha+\beta}{2}$.
$2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2}$ સામાન્ય લેતા:
$E = 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} [\cos \frac{\alpha-\beta}{2} - \cos \frac{\alpha+\beta+2\gamma}{2}]$.
$\cos C - \cos D = 2 \sin \frac{C+D}{2} \sin \frac{D-C}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} [2 \sin \frac{\alpha+\gamma}{2} \sin \frac{\beta+\gamma}{2}]$.
આમ,$E = 4 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\beta+\gamma}{2} \sin \frac{\gamma+\alpha}{2}$.

(A) આપેલ છે કે $u = \log \tan \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2}\right)$.
હાયપરબોલિક કોસાઇન વિધેયની વ્યાખ્યા મુજબ,$\cosh u = \frac{e^u + e^{-u}}{2}$.
આપેલ સમીકરણ પરથી,$e^u = \tan \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2}\right)$.
તેથી $e^{-u} = \frac{1}{\tan \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2}\right)} = \cot \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2}\right) = \tan \left(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2})\right) = \tan \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2}\right)$.
હવે,$\cosh u = \frac{1}{2} \left[ \tan \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2}\right) + \tan \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2}\right) \right]$.
નિત્યસમ $\tan(A+B) + \tan(A-B) = \frac{2 \sin(2A)}{\cos(2A) + \cos(2B)}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cosh u = \frac{1}{2} \left[ \frac{2 \sin(\pi/2)}{\cos(\pi/2) + \cos(\theta)} \right] = \frac{1}{0 + \cos \theta} = \frac{1}{\cos \theta} = \sec \theta$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sin 5x = \cos 2x$.
આપણે $\cos 2x$ ને $\sin(\frac{\pi}{2} - 2x)$ તરીકે લખી શકીએ.
તેથી,$\sin 5x = \sin(\frac{\pi}{2} - 2x)$.
$\sin \theta = \sin \alpha$ માટે વ્યાપક ઉકેલ $\theta = n\pi + (-1)^n \alpha$ છે.
આનો ઉપયોગ કરતા,$5x = n\pi + (-1)^n(\frac{\pi}{2} - 2x)$.
$5x = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{2} - (-1)^n 2x$.
$5x + (-1)^n 2x = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{2}$.
$x(5 + 2(-1)^n) = \frac{\pi}{2}(2n + (-1)^n)$.
$x = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{2n + (-1)^n}{5 + 2(-1)^n}$.
આને $x = a_n \cdot \frac{\pi}{2}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a_n = \frac{2n + (-1)^n}{5 + 2(-1)^n}$ મળે છે.

(A) અમે વ્યસ્ત હાઇપરબોલિક વિધેયોની લઘુગણકીય વ્યાખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\tanh^{-1}(x) = \frac{1}{2} \ln(\frac{1+x}{1-x})$ અને $\operatorname{coth}^{-1}(x) = \frac{1}{2} \ln(\frac{x+1}{x-1})$.
$\tanh^{-1}(\frac{1}{2})$ માટે:
$\tanh^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \ln(\frac{1+1/2}{1-1/2}) = \frac{1}{2} \ln(\frac{3/2}{1/2}) = \frac{1}{2} \ln(3) = \log \sqrt{3}$.
$\operatorname{coth}^{-1}(3)$ માટે:
$\operatorname{coth}^{-1}(3) = \frac{1}{2} \ln(\frac{3+1}{3-1}) = \frac{1}{2} \ln(\frac{4}{2}) = \frac{1}{2} \ln(2) = \log \sqrt{2}$.
આ પરિણામોનો સરવાળો કરતા:
$\log \sqrt{3} + \log \sqrt{2} = \log(\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}) = \log \sqrt{6}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\sqrt{3-5 \sin x+\sin ^2 x} = -\cos x$.
વર્ગમૂળ વ્યાખ્યાયિત હોવા માટે અને $-\cos x$ ની બરાબર હોવા માટે,$-\cos x \ge 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\cos x \le 0$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $3-5 \sin x+\sin ^2 x = \cos ^2 x$.
$\cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા: $3-5 \sin x+\sin ^2 x = 1 - \sin ^2 x$.
$2 \sin ^2 x - 5 \sin x + 2 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(2 \sin x - 1)(\sin x - 2) = 0$.
આથી $\sin x = \frac{1}{2}$ અથવા $\sin x = 2$.
$\sin x \in [-1, 1]$ હોવાથી,$\sin x = \frac{1}{2}$ મળે.
$\sin x = \frac{1}{2}$ માટે,$x = \frac{\pi}{6}$ અથવા $x = \frac{5\pi}{6}$.
$\cos x \le 0$ હોવાથી,$[0, 2\pi]$ અંતરાલમાં $x = \frac{5\pi}{6}$ મળે.
તેથી વ્યાપક ઉકેલ $x = (2n+1)\pi - \frac{\pi}{6}$ છે.

(D) આપેલ છે,$\cos 2 \theta \cdot \sec ^4 \theta + \sec ^2 \theta = 0$,જ્યાં $\theta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$.
$\sec \theta \neq 0$ હોવાથી,$\sec ^2 \theta$ વડે ભાગતા:
$\cos 2 \theta \cdot \sec ^2 \theta + 1 = 0$
$\cos 2 \theta = \frac{1 - \tan ^2 \theta}{1 + \tan ^2 \theta}$ અને $\sec ^2 \theta = 1 + \tan ^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\left(\frac{1 - \tan ^2 \theta}{1 + \tan ^2 \theta}\right) (1 + \tan ^2 \theta) + 1 = 0$
$1 - \tan ^2 \theta + 1 = 0$
$2 - \tan ^2 \theta = 0$
$\tan ^2 \theta = 2$
$\tan ^2 \theta = \frac{\sin ^2 \theta}{1 - \sin ^2 \theta} = 2$ લેતા:
$\sin ^2 \theta = 2 - 2 \sin ^2 \theta$
$3 \sin ^2 \theta = 2$
$\sin ^2 \theta = \frac{2}{3}$

(C) સમીકરણ $\tan x - x = 0$ ના બીજ શોધવા માટે,આપણે $y = \tan x$ અને $y = x$ ના આલેખના છેદબિંદુઓ શોધીએ છીએ.
$x = 0$ આગળ,બંને વિધેયો શૂન્ય છે,પરંતુ આપણે સૌથી નાનું ધન બીજ શોધવાનું છે.
$x \in (0, \frac{\pi}{2})$ માટે,$\tan x > x$ છે,તેથી આ અંતરાલમાં કોઈ બીજ નથી.
$x \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$ માટે,$\tan x$ ઋણ છે જ્યારે $x$ ધન છે,તેથી કોઈ બીજ નથી.
$x \in (\pi, \frac{3\pi}{2})$ માટે,$y = \tan x$ નો આલેખ $-\infty$ થી શરૂ થઈને $+\infty$ સુધી વધે છે,જ્યારે $y = x$ એ ધન ઢાળવાળી રેખા છે. તેઓ $(\pi, \frac{3\pi}{2})$ અંતરાલમાં એક બિંદુએ છેદે છે.
આમ,સૌથી નાનું ધન બીજ $(\pi, \frac{3\pi}{2})$ અંતરાલમાં આવેલું છે.

(B) આપેલ પદાવલિ: $18 - 16 \sin^2 \frac{A}{2} - 32 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{5A}{2}$
$= 18 - 8(2 \sin^2 \frac{A}{2}) - 16(2 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{5A}{2})$
$2 \sin^2 \theta = 1 - \cos 2\theta$ અને $2 \sin X \sin Y = \cos(X-Y) - \cos(X+Y)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 18 - 8(1 - \cos A) - 16(\cos(2A) - \cos(3A))$
$= 18 - 8 + 8 \cos A - 16 \cos 2A + 16 \cos 3A$
$= 10 + 8 \cos A - 16(2 \cos^2 A - 1) + 16(4 \cos^3 A - 3 \cos A)$
$A$ ત્રીજા ચરણમાં હોવાથી અને $\tan A = \frac{\sqrt{7}}{3}$ હોવાથી,$\cos A = -\frac{3}{4}$ મળે.
$\cos A = -\frac{3}{4}$ મૂકતા:
$= 10 + 8(-\frac{3}{4}) - 16(2(\frac{9}{16}) - 1) + 16(4(-\frac{27}{64}) - 3(-\frac{3}{4}))$
$= 10 - 6 - 16(\frac{18}{16} - 1) + 16(-\frac{27}{16} + \frac{9}{4})$
$= 4 - 16(\frac{2}{16}) + 16(\frac{-27+36}{16})$
$= 4 - 2 + 9 = 11$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sin x + \sin 2x + \sin 3x = \cos x + \cos 2x + \cos 3x$.
પદોને જૂથબદ્ધ કરતા: $(\sin 3x + \sin x) + \sin 2x = (\cos 3x + \cos x) + \cos 2x$.
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા: $2 \sin 2x \cos x + \sin 2x = 2 \cos 2x \cos x + \cos 2x$.
સામાન્ય પદો બહાર કાઢતા: $\sin 2x (2 \cos x + 1) = \cos 2x (2 \cos x + 1)$.
પુનઃગોઠવણી કરતા: $(2 \cos x + 1)(\sin 2x - \cos 2x) = 0$.
કિસ્સો $1$: $2 \cos x + 1 = 0 \implies \cos x = -1/2$. અંતરાલ $[0, 2\pi]$ માં,$x = 2\pi/3, 4\pi/3$.
કિસ્સો $2$: $\sin 2x - \cos 2x = 0 \implies \tan 2x = 1$.
$0 \leq x \leq 2\pi$ માટે,$0 \leq 2x \leq 4\pi$.
$2x = \pi/4, 5\pi/4, 9\pi/4, 13\pi/4$.
$x = \pi/8, 5\pi/8, 9\pi/8, 13\pi/8$.
$x$ ના કુલ મૂલ્યો $2 + 4 = 6$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $4 \cos 2 \theta \cos 3 \theta = \sec \theta$
કારણ કે $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$,તેથી $4 \cos 2 \theta \cos 3 \theta \cos \theta = 1$.
$2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $2 \cos 2 \theta (\cos 4 \theta + \cos 2 \theta) = 1$.
$2 \cos 2 \theta \cos 4 \theta + 2 \cos^2 2 \theta = 1$.
$2 \cos^2 2 \theta - 1 = \cos 4 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $2 \cos 2 \theta \cos 4 \theta + \cos 4 \theta = 0$.
$\cos 4 \theta (2 \cos 2 \theta + 1) = 0$.
કિસ્સો $1$: $\cos 4 \theta = 0 \Rightarrow 4 \theta = (2n + 1) \frac{\pi}{2} \Rightarrow \theta = (2n + 1) \frac{\pi}{8}$.
$0 < \theta < \pi$ માટે,$\theta \in \{ \frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8}, \frac{5\pi}{8}, \frac{7\pi}{8} \}$.
કિસ્સો $2$: $2 \cos 2 \theta + 1 = 0 \Rightarrow \cos 2 \theta = -\frac{1}{2}$.
$2 \theta = 2n\pi \pm \frac{2\pi}{3} \Rightarrow \theta = n\pi \pm \frac{\pi}{3}$.
$0 < \theta < \pi$ માટે,$\theta \in \{ \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3} \}$.
ચકાસણી $\cos \theta \neq 0$: આમાંથી કોઈ પણ કિંમત $\cos \theta = 0$ બનાવતી નથી.
કુલ ઉકેલો = $4 + 2 = 6$.

(C) આપેલ છે,$x=\log _e\left[\cot \left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)\right]$
$\Rightarrow e^x =\cot \left(\frac{\pi}{4}+\theta\right) = \frac{\cos \theta-\sin \theta}{\cos \theta+\sin \theta}$
હવે,$\cosh x = \frac{e^x+e^{-x}}{2} = \frac{1}{2}\left[\frac{\cos \theta-\sin \theta}{\cos \theta+\sin \theta} + \frac{\cos \theta+\sin \theta}{\cos \theta-\sin \theta}\right]$
$= \frac{1}{2}\left[\frac{(\cos \theta-\sin \theta)^2+(\cos \theta+\sin \theta)^2}{\cos^2 \theta-\sin^2 \theta}\right] = \frac{1}{2}\left[\frac{2(\cos^2 \theta+\sin^2 \theta)}{\cos 2 \theta}\right] = \frac{1}{\cos 2 \theta} = \sec 2 \theta$
તેથી,વિધાન $I$ સાચું છે.
હવે,$\sinh x = \frac{e^x-e^{-x}}{2} = \frac{1}{2}\left[\frac{\cos \theta-\sin \theta}{\cos \theta+\sin \theta} - \frac{\cos \theta+\sin \theta}{\cos \theta-\sin \theta}\right]$
$= \frac{1}{2}\left[\frac{(\cos \theta-\sin \theta)^2-(\cos \theta+\sin \theta)^2}{\cos^2 \theta-\sin^2 \theta}\right] = \frac{1}{2}\left[\frac{-4 \sin \theta \cos \theta}{\cos 2 \theta}\right] = \frac{-\sin 2 \theta}{\cos 2 \theta} = -\tan 2 \theta$
તેથી,વિધાન $II$ સાચું છે.

(A) ગણ $A$ માટે: $\tan x - \tan^2 x > 0 \Rightarrow \tan x(1 - \tan x) > 0$. આનો અર્થ એ છે કે $0 < \tan x < 1$. અંતરાલ $[0, 2\pi]$ માં,આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) \cup \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right)$ હોય.
ગણ $B$ માટે: $|\sin x| < \frac{1}{2} \Rightarrow -\frac{1}{2} < \sin x < \frac{1}{2}$. અંતરાલ $[0, 2\pi]$ માં,આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $x \in \left[0, \frac{\pi}{6}\right) \cup \left(\frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}\right) \cup \left(\frac{11\pi}{6}, 2\pi\right]$ હોય.
$A \cap B$ શોધવા માટે,આપણે આ અંતરાલોનો છેદગણ શોધીએ:
$A \cap B = \left( \left(0, \frac{\pi}{4}\right) \cup \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) \right) \cap \left( \left[0, \frac{\pi}{6}\right) \cup \left(\frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}\right) \cup \left(\frac{11\pi}{6}, 2\pi\right] \right)$.
છેદગણ: $\left(0, \frac{\pi}{6}\right) \cup \left(\pi, \frac{7\pi}{6}\right)$.

(B) આપેલ છે,$\frac{x^2+5x+7}{(x-3)^3} = \frac{A}{x-3} + \frac{B}{(x-3)^2} + \frac{C}{(x-3)^3}$.
બંને બાજુ $(x-3)^3$ વડે ગુણતા:
$x^2+5x+7 = A(x-3)^2 + B(x-3) + C$ --- $(i)$
$x=3$ મૂકતા:
$C = 31$.
$x=0$ મૂકતા:
$3A - B = -8$ --- (ii)
$x=1$ મૂકતા:
$2A - B = -9$ --- (iii)
(ii) અને (iii) ઉકેલતા,$A=1$ અને $B=11$ મળે છે.
તેથી,$A=1$ ઢાળ અને $(11, 31)$ બિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા:
$y - 31 = 1(x - 11) \Rightarrow x - y + 20 = 0$.

(D) આપેલ બિંદુઓ $A(2,3), B(3,-6), C(5,-7)$ છે.
ધારો કે બિંદુ $P(x, y)$ છે. શરત $PA^2+PB^2=2PC^2$ મુજબ:
$(x-2)^2+(y-3)^2+(x-3)^2+(y+6)^2 = 2[(x-5)^2+(y+7)^2]$
$(x^2-4x+4+y^2-6y+9) + (x^2-6x+9+y^2+12y+36) = 2[x^2-10x+25+y^2+14y+49]$
$2x^2+2y^2-10x+6y+58 = 2x^2+2y^2-20x+28y+148$
$-10x+6y+58 = -20x+28y+148$
$10x-22y = 90$
$5x-11y = 45$
વિકલ્પો તપાસતા:
$(-13, -10)$ માટે: $5(-13) - 11(-10) = -65 + 110 = 45$.
આમ,બિંદુ $(-13, -10)$ એ $P$ ના બિંદુગણ પર આવેલું છે.

(C) ધારો કે $(x, y)$ એ મૂળ યામ છે અને $(X, Y)$ એ અક્ષોને $\theta = 135^{\circ}$ ના ખૂણે ફેરવ્યા પછીના નવા યામ છે.
રૂપાંતરણ સમીકરણો:
$x = X \cos \theta - Y \sin \theta$
$y = X \sin \theta + Y \cos \theta$
આપેલ છે $(X, Y) = (2, -6)$ અને $\theta = 135^{\circ}$:
$x = 2 \cos 135^{\circ} - (-6) \sin 135^{\circ}$
$y = 2 \sin 135^{\circ} + (-6) \cos 135^{\circ}$
$\cos 135^{\circ} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\sin 135^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ હોવાથી:
$x = 2 \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + 6 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2 \sqrt{2}$
$y = 2 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) - 6 \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4 \sqrt{2}$
આમ,મૂળ યામ $(2 \sqrt{2}, 4 \sqrt{2})$ છે.

(D) ધારો કે રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
રેખા યામ અક્ષોને અનુક્રમે $A(a, 0)$ અને $B(0, b)$ માં મળે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,$AB$ ને $3:2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરતા બિંદુના યામ:
$\left(\frac{3 \times 0 + 2 \times a}{3 + 2}, \frac{3 \times b + 2 \times 0}{3 + 2}\right) = \left(\frac{2a}{5}, \frac{3b}{5}\right)$.
આ બિંદુ $(2, -1)$ આપેલ હોવાથી:
$\frac{2a}{5} = 2 \Rightarrow a = 5$
$\frac{3b}{5} = -1 \Rightarrow b = -\frac{5}{3}$.
$a$ અને $b$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{x}{5} + \frac{y}{-5/3} = 1$
$\frac{x}{5} - \frac{3y}{5} = 1$
$x - 3y = 5$
$x - 3y - 5 = 0$.

(B) $2x + y - 4 = 0$ અને $x - 3y + 5 = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ: $(2x + y - 4) + \lambda(x - 3y + 5) = 0$ ... $(i)$
સાદું રૂપ આપતા: $x(2 + \lambda) + y(1 - 3\lambda) + (5\lambda - 4) = 0$.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી અંતર $\sqrt{5}$ છે.
અંતરના સૂત્ર મુજબ: $\left|\frac{5\lambda - 4}{\sqrt{(2 + \lambda)^2 + (1 - 3\lambda)^2}}\right| = \sqrt{5}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{(5\lambda - 4)^2}{10\lambda^2 - 2\lambda + 5} = 5$
$25\lambda^2 - 40\lambda + 16 = 50\lambda^2 - 10\lambda + 25$
$25\lambda^2 + 30\lambda + 9 = 0$
$(5\lambda + 3)^2 = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{3}{5}$.
$\lambda = -\frac{3}{5}$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મુકતા:
$(2x + y - 4) - \frac{3}{5}(x - 3y + 5) = 0$
$10x + 5y - 20 - 3x + 9y - 15 = 0$
$7x + 14y - 35 = 0$
$7$ વડે ભાગતા: $x + 2y - 5 = 0$.

(B) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(-2, 3), B(2, -1)$ અને $C(4, 0)$ છે.
પ્રથમ,લંબકેન્દ્ર $H$ શોધો. $BC$ નો ઢાળ $= \frac{0 - (-1)}{4 - 2} = \frac{1}{2}$ છે. $A$ માંથી દોરેલો વેધ $BC$ ને લંબ છે,તેથી તેનો ઢાળ $-2$ છે. સમીકરણ $y - 3 = -2(x + 2) \Rightarrow 2x + y + 1 = 0$ છે.
$AC$ નો ઢાળ $= \frac{0 - 3}{4 - (-2)} = -\frac{1}{2}$ છે. $B$ માંથી દોરેલો વેધ $AC$ ને લંબ છે,તેથી તેનો ઢાળ $2$ છે. સમીકરણ $y - (-1) = 2(x - 2) \Rightarrow 2x - y - 5 = 0$ છે.
$2x + y + 1 = 0$ અને $2x - y - 5 = 0$ ને ઉકેલતા,$4x - 4 = 0 \Rightarrow x = 1$ મળે છે. $x=1$ મુકતા $y = -3$ મળે છે. આમ,લંબકેન્દ્ર $H = (1, -3)$ છે.
મધ્યકેન્દ્ર $G = \left(\frac{-2+2+4}{3}, \frac{3-1+0}{3}\right) = \left(\frac{4}{3}, \frac{2}{3}\right)$ છે.
$H(1, -3)$ અને $G\left(\frac{4}{3}, \frac{2}{3}\right)$ ને જોડતી રેખાનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ છે,જ્યાં $m = \frac{\frac{2}{3} - (-3)}{\frac{4}{3} - 1} = 11$ છે.
તેથી,$y + 3 = 11(x - 1) \Rightarrow 11x - y - 14 = 0$ મળે છે.

(B) પગલું $1$: ઉગમબિંદુને $(2,3)$ પર સ્થાનાંતરિત કરો. સમીકરણ $3x^2+2xy+3y^2-18x-22y+50=0$ માં $x = X+2$ અને $y = Y+3$ મૂકો.
$3(X+2)^2+2(X+2)(Y+3)+3(Y+3)^2-18(X+2)-22(Y+3)+50=0$
સાદુરૂપ આપતા,આપણને $3X^2+2XY+3Y^2-1=0$ મળે છે.
પગલું $2$: અક્ષોને $\theta = \frac{\pi}{3}$ ખૂણે ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં ફેરવો. રૂપાંતરણ સમીકરણો:
$X = \frac{x' - \sqrt{3}y'}{2}$,$Y = \frac{\sqrt{3}x' + y'}{2}$
આ કિંમતોને $3X^2+2XY+3Y^2-1=0$ માં મૂકતા:
$3(\frac{x'-\sqrt{3}y'}{2})^2 + 2(\frac{x'-\sqrt{3}y'}{2})(\frac{\sqrt{3}x'+y'}{2}) + 3(\frac{\sqrt{3}x'+y'}{2})^2 - 1 = 0$
$4$ વડે ગુણતા:
$3(x'^2+3y'^2-2\sqrt{3}x'y') + 2(\sqrt{3}x'^2-2x'y'-\sqrt{3}y'^2) + 3(3x'^2+y'^2+2\sqrt{3}x'y') - 4 = 0$
$(12+2\sqrt{3})x'^2 - 4x'y' + (12-2\sqrt{3})y'^2 - 4 = 0$
$2$ વડે ભાગતા:
$(6+\sqrt{3})x^2 - 2xy + (6-\sqrt{3})y^2 - 2 = 0$.

(C) મધ્યકેન્દ્ર $G$ એ લંબકેન્દ્ર $H(5,8)$ અને પરિકેન્દ્ર $O(h,k)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\left(\frac{2h+5}{3}, \frac{2k+8}{3}\right) = \left(3, \frac{14}{3}\right)$
યામ સરખાવતા:
$\frac{2h+5}{3} = 3 \Rightarrow h = 2$
$\frac{2k+8}{3} = \frac{14}{3} \Rightarrow k = 3$
તેથી,પરિકેન્દ્ર $O(2,3)$ છે.
રેખા $x-y=0$ ની સાપેક્ષમાં લંબકેન્દ્ર $H(5,8)$ નું પ્રતિબિંબ $(8,5)$ મળે છે,જે પરિવર્તુળ પર છે.
પરિવર્તુળની ત્રિજ્યા $R = \sqrt{(8-2)^2 + (5-3)^2} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$ છે.
વ્યાસ $= 2R = 4\sqrt{10}$.

(C) ધારો કે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી લંબ રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ છે. તેઓ લંબ હોવાથી અને રેખા $2x + 3y = 6$ સાથે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ બનાવતા હોવાથી,$\triangle OAB$ એ કાટકોણ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે જેમાં $\angle AOB = 90^\circ$ અને $OA = OB$ છે.
ધારો કે $OP$ એ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી રેખા $2x + 3y - 6 = 0$ પરનું લંબ અંતર છે.
$OP = \frac{|2(0) + 3(0) - 6|}{\sqrt{2^2 + 3^2}} = \frac{6}{\sqrt{4 + 9}} = \frac{6}{\sqrt{13}}$.
કાટકોણ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં,કાટખૂણાના શિરોબિંદુથી કર્ણ પરનો વેધ કર્ણને દુભાગે છે અને તે કર્ણની લંબાઈના અડધા જેટલો હોય છે.
તેથી,$OP = AP = BP = \frac{6}{\sqrt{13}}$.
ત્રિકોણનો પાયો $AB = AP + BP = 2 \times OP = 2 \times \frac{6}{\sqrt{13}} = \frac{12}{\sqrt{13}}$.
$\triangle OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times AB \times OP$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \left(\frac{12}{\sqrt{13}}\right) \times \left(\frac{6}{\sqrt{13}}\right) = \frac{36}{13}$ ચોરસ એકમ.

(B) ધારો કે મૂળ યામ $(x', y')$ છે અને નવા યામ $(x, y)$ છે.
આપેલ પરિભ્રમણ ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{4}$ માટે,રૂપાંતરણ સમીકરણો:
$x' = \frac{x - y}{\sqrt{2}}$
$y' = \frac{x + y}{\sqrt{2}}$
આ કિંમતોને $3(x')^2 - 6x'y' + 8(y')^2 = 8$ માં મૂકતા:
$3\left(\frac{x - y}{\sqrt{2}}\right)^2 - 6\left(\frac{x - y}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{x + y}{\sqrt{2}}\right) + 8\left(\frac{x + y}{\sqrt{2}}\right)^2 = 8$
સાદુરૂપ આપતા:
$5x^2 + 10xy + 17y^2 - 16 = 0$

(B) આપેલ છે: $f(x) = \frac{|x|}{1 - |x|}$.
પ્રથમ,$x = 0$ આગળ સાતત્ય ચકાસો:
$\text{LHL} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-x}{1 - (-x)} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-x}{1 + x} = 0$.
$\text{RHL} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{1 - x} = 0$.
કારણ કે $f(0) = 0$,તેથી $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત છે.
હવે,$x = 0$ આગળ વિકલનીયતા ચકાસો:
$x < 0$ માટે,$f(x) = \frac{-x}{1 + x}$,તેથી $f'(x) = \frac{-(1+x) - (-x)(1)}{(1+x)^2} = \frac{-1}{(1+x)^2}$. આમ,$\text{LHD} = f'(0^-) = -1$.
$x > 0$ માટે,$f(x) = \frac{x}{1 - x}$,તેથી $f'(x) = \frac{(1-x) - x(-1)}{(1-x)^2} = \frac{1}{(1-x)^2}$. આમ,$\text{RHD} = f'(0^+) = 1$.
કારણ કે $\text{LHD} \neq \text{RHD}$,તેથી $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ વિકલનીય નથી.
જોકે,$f(x)$ એ $x \in D \setminus \{0\}$ માટે વિકલનીય છે.
તેથી,$f$ એ $x = 0$ સિવાય $D$ પર વિકલનીય છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = x^{\tan ^{-1} x}$. બંને બાજુ લઘુગણક લેતા,$\log f(x) = \tan ^{-1} x \cdot \log x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{1}{f(x)} \frac{df}{dx} = \frac{1}{1+x^2} \log x + \frac{\tan ^{-1} x}{x}$.
તેથી,$\frac{df}{dx} = x^{\tan ^{-1} x} \left[ \frac{\log x}{1+x^2} + \frac{\tan ^{-1} x}{x} \right]$.
હવે,$g(x) = \sec ^{-1} \left( \frac{1}{2x^2-1} \right) = \cos ^{-1} (2x^2-1)$.
$x = \cos \theta$ આદેશ લેતા,$g(x) = \cos ^{-1} (2 \cos^2 \theta - 1) = \cos ^{-1} (\cos 2\theta) = 2\theta = 2 \cos ^{-1} x$.
$g(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dg}{dx} = 2 \cdot \left( -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right) = -\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}$.
અંતે,$f(x)$ નું $g(x)$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન $\frac{df}{dg} = \frac{df/dx}{dg/dx} = \frac{x^{\tan ^{-1} x} \left[ \frac{\log x}{1+x^2} + \frac{\tan ^{-1} x}{x} \right]}{-2/\sqrt{1-x^2}} = -\frac{1}{2} \sqrt{1-x^2} x^{\tan ^{-1} x} \left[ \frac{\log x}{1+x^2} + \frac{\tan ^{-1} x}{x} \right]$.

(D) આપેલ છે કે $x=3 \cos t$ અને $y=4 \sin t$.
બંનેનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા,આપણને $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = \cos^2 t + \sin^2 t = 1$ મળે છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{2x}{9} + \frac{2y}{16} \frac{dy}{dx} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = -\frac{16x}{9y}$.
હવે,ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{16}{9} \left[ \frac{y - x \frac{dy}{dx}}{y^2} \right]$.
$\frac{dy}{dx} = -\frac{16x}{9y}$ મૂકતા,$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{16}{9} \left[ \frac{y - x(-\frac{16x}{9y})}{y^2} \right] = -\frac{16}{9} \left[ \frac{9y^2 + 16x^2}{9y^3} \right]$.
કારણ કે $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1$,તેથી $16x^2 + 9y^2 = 144$.
આમ,$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{16}{9} \left[ \frac{144}{9y^3} \right] = -\frac{256}{9y^3}$.
બિંદુ $(x_0, y_0) = (\frac{3\sqrt{2}}{2}, 2\sqrt{2})$ આગળ,$y = 2\sqrt{2}$.
તેથી,$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{256}{9(2\sqrt{2})^3} = -\frac{256}{9(16\sqrt{2})} = -\frac{16}{9\sqrt{2}} = -\frac{8\sqrt{2}}{9}$.

(B) આપેલ છે,$y = \sin(\log(x^2 + 2x + 1))$.
કારણ કે $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$,તેથી $y = \sin(2 \log(x+1))$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \cos(2 \log(x+1)) \times \frac{2}{x+1}$.
$(x+1)$ વડે ગુણતા:
$(x+1) \frac{dy}{dx} = 2 \cos(2 \log(x+1))$.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$(x+1) \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} = -2 \sin(2 \log(x+1)) \times \frac{2}{x+1}$.
આખા સમીકરણને $(x+1)$ વડે ગુણતા:
$(x+1)^2 \frac{d^2y}{dx^2} + (x+1) \frac{dy}{dx} = -4 \sin(2 \log(x+1))$.
કારણ કે $y = \sin(2 \log(x+1))$,તેથી આપણને મળે છે:
$(x+1)^2 \frac{d^2y}{dx^2} + (x+1) \frac{dy}{dx} = -4y$.

(C) આપેલ છે,$y=x \log \left(\frac{x}{2-3 x}\right)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરવા માટે ગુણાકારનો નિયમ અને સાંકળનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$\frac{dy}{dx} = x \cdot \frac{d}{dx} \left[ \log \left( \frac{x}{2-3x} \right) \right] + \log \left( \frac{x}{2-3x} \right) \cdot \frac{d}{dx}(x)$
$\frac{dy}{dx} = x \left( \frac{2-3x}{x} \right) \cdot \frac{(2-3x)(1) - x(-3)}{(2-3x)^2} + \log \left( \frac{x}{2-3x} \right)$
$\frac{dy}{dx} = x \left( \frac{2-3x}{x} \right) \cdot \frac{2}{(2-3x)^2} + \log \left( \frac{x}{2-3x} \right) = \frac{2}{2-3x} + \log \left( \frac{x}{2-3x} \right)$.
હવે,ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( 2(2-3x)^{-1} \right) + \frac{d}{dx} \left[ \log \left( \frac{x}{2-3x} \right) \right]$
$\frac{d^2y}{dx^2} = -2(2-3x)^{-2}(-3) + \frac{2}{x(2-3x)} = \frac{6}{(2-3x)^2} + \frac{2}{x(2-3x)}$.
$x = \frac{1}{2}$ માટે,$2-3x = 2 - 3(\frac{1}{2}) = 2 - 1.5 = 0.5 = \frac{1}{2}$.
$x = \frac{1}{2}$ અને $2-3x = \frac{1}{2}$ મૂકતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{6}{(1/2)^2} + \frac{2}{(1/2)(1/2)} = \frac{6}{1/4} + \frac{2}{1/4} = 24 + 8 = 32$.

(A) ધારો કે $y = x^{\sin x} + (\sin x)^x$.
ધારો કે $U = x^{\sin x}$ અને $V = (\sin x)^x$.
તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{dU}{dx} + \frac{dV}{dx}$.
$U = x^{\sin x}$ માટે,બંને બાજુ $\log$ લેતા: $\log U = \sin x \log x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{1}{U} \frac{dU}{dx} = \cos x \log x + \sin x \cdot \frac{1}{x} = \frac{\sin x}{x} + \cos x \log x$.
તેથી,$\frac{dU}{dx} = x^{\sin x} [\frac{\sin x}{x} + \cos x \log x]$.
$V = (\sin x)^x$ માટે,બંને બાજુ $\log$ લેતા: $\log V = x \log(\sin x)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{1}{V} \frac{dV}{dx} = 1 \cdot \log(\sin x) + x \cdot \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \log(\sin x) + x \cot x$.
તેથી,$\frac{dV}{dx} = (\sin x)^x [\log(\sin x) + x \cot x]$.
આમ,$\frac{dy}{dx} = x^{\sin x} [\frac{\sin x}{x} + \cos x \log x] + (\sin x)^x [\log(\sin x) + x \cot x]$.

(D) દરેક વિધેય માટે $\frac{dy}{dx}$ ની ગણતરી કરીએ:
$A. x^2 + y^2 + 3xy = 7$. $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2x + 2y\frac{dy}{dx} + 3(y + x\frac{dy}{dx}) = 0 \implies \frac{dy}{dx}(2y + 3x) = -(2x + 3y) \implies \frac{dy}{dx} = \frac{-(2x + 3y)}{3x + 2y}$. આ $II$ સાથે મેળ ખાય છે.
$B. x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}$. વિકલન કરતા: $\frac{2}{3}x^{-1/3} + \frac{2}{3}y^{-1/3}\frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{x^{-1/3}}{y^{-1/3}} = -(\frac{y}{x})^{1/3}$. આ $III$ સાથે મેળ ખાય છે.
$C. x^3 + y^3 = 3axy$. વિકલન કરતા: $3x^2 + 3y^2\frac{dy}{dx} = 3a(y + x\frac{dy}{dx}) \implies x^2 + y^2\frac{dy}{dx} = ay + ax\frac{dy}{dx} \implies \frac{dy}{dx}(y^2 - ax) = ay - x^2 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{x^2 - ay}{ax - y^2}$. આ $IV$ સાથે મેળ ખાય છે.
$D. xy(x - y) = 2 \implies x^2y - xy^2 = 2$. વિકલન કરતા: $(2xy + x^2\frac{dy}{dx}) - (y^2 + 2xy\frac{dy}{dx}) = 0 \implies \frac{dy}{dx}(x^2 - 2xy) = y^2 - 2xy \implies \frac{dy}{dx} = \frac{y^2 - 2xy}{x^2 - 2xy}$. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$D$ એ $V$ સાથે મેળ ખાય છે.

(B) આપેલ છે કે $x=\sec \theta-\cos \theta$ અને $y=\sec ^n \theta-\cos ^n \theta$.
પ્રથમ,$x$ નું $\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d x}{d \theta} = \sec \theta \tan \theta + \sin \theta = \sec \theta \cdot \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \sin \theta = \tan \theta(\sec \theta + \cos \theta)$.
ત્યારબાદ,$y$ નું $\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d y}{d \theta} = n \sec ^{n-1} \theta \cdot \sec \theta \tan \theta - n \cos ^{n-1} \theta(-\sin \theta) = n \sec ^n \theta \tan \theta + n \cos ^{n-1} \theta \sin \theta = n \tan \theta(\sec ^n \theta + \cos ^n \theta)$.
હવે,$\frac{d y}{d x} = \frac{d y / d \theta}{d x / d \theta}$ શોધતા:
$\frac{d y}{d x} = \frac{n \tan \theta(\sec ^n \theta + \cos ^n \theta)}{\tan \theta(\sec \theta + \cos \theta)} = \frac{n(\sec ^n \theta + \cos ^n \theta)}{\sec \theta + \cos \theta}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\left(\frac{d y}{d x}\right)^2 = \frac{n^2(\sec ^n \theta + \cos ^n \theta)^2}{(\sec \theta + \cos \theta)^2} = \frac{n^2(\sec ^{2n} \theta + \cos ^{2n} \theta + 2)}{(\sec ^2 \theta + \cos ^2 \theta + 2)}$.
કારણ કે $(\sec ^n \theta - \cos ^n \theta)^2 = \sec ^{2n} \theta + \cos ^{2n} \theta - 2$,તેથી $\sec ^{2n} \theta + \cos ^{2n} \theta = y^2 + 2$.
આ કિંમત મૂકતા:
$\left(\frac{d y}{d x}\right)^2 = \frac{n^2(y^2 + 2 + 2)}{x^2 + 2 + 2} = \frac{n^2(y^2 + 4)}{x^2 + 4}$.
તેથી,$\frac{d y}{d x} = n \sqrt{\frac{y^2+4}{x^2+4}}$.

(B) આપેલ છે: $x = \sec \theta - \cos \theta$ અને $y = \sec^n \theta - \cos^n \theta$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$,તેથી $x = \frac{1}{\cos \theta} - \cos \theta = \frac{1 - \cos^2 \theta}{\cos \theta} = \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta}$.
વળી,$x^2 + 4 = (\sec \theta - \cos \theta)^2 + 4 = \sec^2 \theta - 2 + \cos^2 \theta + 4 = \sec^2 \theta + 2 + \cos^2 \theta = (\sec \theta + \cos \theta)^2$.
તેથી,$\sqrt{x^2 + 4} = \sec \theta + \cos \theta$.
તે જ રીતે,$y^2 + 4 = (\sec^n \theta - \cos^n \theta)^2 + 4 = \sec^{2n} \theta - 2 + \cos^{2n} \theta + 4 = \sec^{2n} \theta + 2 + \cos^{2n} \theta = (\sec^n \theta + \cos^n \theta)^2$.
તેથી,$\sqrt{y^2 + 4} = \sec^n \theta + \cos^n \theta$.
હવે,$\frac{dx}{d\theta} = \sec \theta \tan \theta + \sin \theta = \tan \theta (\sec \theta + \cos \theta)$.
અને $\frac{dy}{d\theta} = n \sec^{n-1} \theta (\sec \theta \tan \theta) - n \cos^{n-1} \theta (-\sin \theta) = n \sec^n \theta \tan \theta + n \cos^{n-1} \theta \sin \theta = n \tan \theta (\sec^n \theta + \cos^n \theta)$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{n \tan \theta (\sec^n \theta + \cos^n \theta)}{\tan \theta (\sec \theta + \cos \theta)} = n \frac{\sec^n \theta + \cos^n \theta}{\sec \theta + \cos \theta} = n \frac{\sqrt{y^2 + 4}}{\sqrt{x^2 + 4}} = n \sqrt{\frac{y^2 + 4}{x^2 + 4}}$.

(B) આપેલ વિધેય $f(x)=\left(\frac{a+x}{1+x}\right)^{a+1+2x}$ છે,જ્યાં $a>0$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\log f(x) = (a+1+2x) \log \left(\frac{a+x}{1+x}\right)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = 2 \log \left(\frac{a+x}{1+x}\right) + (a+1+2x) \left(\frac{1}{a+x} - \frac{1}{1+x}\right)$.
$x=0$ આગળ કિંમત મુકતા:
$\frac{f^{\prime}(0)}{f(0)} = 2 \log \left(\frac{a}{1}\right) + (a+1) \left(\frac{1}{a} - 1\right)$.
$\frac{f^{\prime}(0)}{f(0)} = 2 \log a + (a+1) \left(\frac{1-a}{a}\right)$.
કારણ કે $f(0) = a^{a+1}$,તેથી:
$f^{\prime}(0) = a^{a+1} \left[ 2 \log a + \frac{(a+1)(1-a)}{a} \right]$.
$f^{\prime}(0) = a^{a+1} \left[ 2 \log a + \frac{1-a^2}{a} \right]$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આપેલ છે કે $x=a(t+\sin t)$ અને $y=a(1-\cos t)$.
પ્રથમ,$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d x}{d t}=a(1+\cos t)$ અને $\frac{d y}{d t}=a \sin t$.
હવે,$\frac{d y}{d x}$ શોધો:
$\frac{d y}{d x}=\frac{d y / d t}{d x / d t}=\frac{a \sin t}{a(1+\cos t)}=\frac{2 \sin(t/2) \cos(t/2)}{2 \cos^2(t/2)}=\tan(t/2)$.
હવે,$\frac{d y}{d x}$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2 y}{d x^2}=\frac{d}{d x}(\tan(t/2))=\sec^2(t/2) \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{d t}{d x}$.
કારણ કે $\frac{d x}{d t}=a(1+\cos t)=2a \cos^2(t/2)$,તેથી $\frac{d t}{d x}=\frac{1}{2a \cos^2(t/2)}$.
આ કિંમત મૂકતા:
$\frac{d^2 y}{d x^2}=\sec^2(t/2) \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2a \cos^2(t/2)}=\frac{1}{4a \cos^4(t/2)}$.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = \cos^2 \left( \tan^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \right)$ છે,જ્યાં $-1 < x < 1$.
ધારો કે $x = \cos(2\theta)$,જ્યાં $0 < 2\theta < \pi$,તેથી $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$.
ત્યારે,$\sqrt{\frac{1-x}{1+x}} = \sqrt{\frac{1-\cos(2\theta)}{1+\cos(2\theta)}} = \sqrt{\frac{2\sin^2\theta}{2\cos^2\theta}} = \tan\theta$.
આ કિંમત વિધેયમાં મૂકતા,આપણને $f(x) = \cos^2(\tan^{-1}(\tan\theta)) = \cos^2\theta$ મળે છે.
નિત્યસમ $\cos^2\theta = \frac{1+\cos(2\theta)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$f(x) = \frac{1+x}{2}$ મળે છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2} + \frac{x}{2} \right) = \frac{1}{2}$.

(B) ધારો કે $y = \cos^{-1} \left( \frac{b - a \cos x}{a - b \cos x} \right)$.
આદેશ $\cos y = \frac{b - a \cos x}{a - b \cos x}$ નો ઉપયોગ કરતા.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\tan \left( \frac{y}{2} \right) = \sqrt{\frac{1 - \cos y}{1 + \cos y}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1 - \cos y = \frac{(a - b)(1 + \cos x)}{a - b \cos x}$ અને $1 + \cos y = \frac{(a + b)(1 - \cos x)}{a - b \cos x}$.
તેથી,$\tan^2 \left( \frac{y}{2} \right) = \frac{a - b}{a + b} \cot^2 \left( \frac{x}{2} \right)$.
આમ,$y = 2 \tan^{-1} \left( \sqrt{\frac{a - b}{a + b}} \cot \frac{x}{2} \right)$.
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{-\sqrt{a^2 - b^2}}{a - b \cos x}$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $y=a \sin x+(5+2 x) \cos x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા (ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને):
$y^{\prime} = a \cos x + (5+2x)(-\sin x) + (2)\cos x$
$y^{\prime} = a \cos x - (5+2x)\sin x + 2 \cos x$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y^{\prime \prime} = -a \sin x - [(5+2x)\cos x + (2)\sin x] - 2 \sin x$
$y^{\prime \prime} = -a \sin x - (5+2x)\cos x - 2 \sin x - 2 \sin x$
$y^{\prime \prime} = -(a \sin x + (5+2x)\cos x) - 4 \sin x$
અહીં $y = a \sin x + (5+2x)\cos x$ હોવાથી,આપણે સમીકરણમાં $y$ ની કિંમત મૂકીએ:
$y^{\prime \prime} = -y - 4 \sin x$
તેથી,$y^{\prime \prime} + y = -4 \sin x$.

(B) આપેલ છે,$y = \log_2(\log_2 x)$.
બેઝ બદલવાના સૂત્ર $\log_a b = \frac{\log_e b}{\log_e a}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે લખી શકીએ:
$y = \frac{\log_e(\log_2 x)}{\log_e 2} = \frac{\log_e(\frac{\log_e x}{\log_e 2})}{\log_e 2} = \frac{\log_e(\log_e x) - \log_e(\log_e 2)}{\log_e 2}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log_e 2} \cdot \frac{d}{dx} [\log_e(\log_e x) - \log_e(\log_e 2)]$.
કારણ કે $\log_e(\log_e 2)$ અચળ છે,તેથી તેનું વિકલન $0$ થાય.
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log_e 2} \cdot \frac{1}{\log_e x} \cdot \frac{d}{dx}(\log_e x) = \frac{1}{\log_e 2} \cdot \frac{1}{\log_e x} \cdot \frac{1}{x}$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x \log_e x \log_e 2}$.

(A) આપેલ સમીકરણ $y^2 = a x^2 + 2 x + c$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$2 y \frac{d y}{d x} = 2 a x + 2$
$y \frac{d y}{d x} = a x + 1$
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y \frac{d^2 y}{d x^2} + (\frac{d y}{d x})^2 = a$
પ્રથમ વિકલન પરથી,$\frac{d y}{d x} = \frac{a x + 1}{y}$.
આ કિંમતને બીજા વિકલનના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y \frac{d^2 y}{d x^2} + (\frac{a x + 1}{y})^2 = a$
$y \frac{d^2 y}{d x^2} = a - \frac{(a x + 1)^2}{y^2}$
$y \frac{d^2 y}{d x^2} = \frac{a y^2 - (a x + 1)^2}{y^2}$
$y^2 = a x^2 + 2 x + c$ મૂકતા:
$y \frac{d^2 y}{d x^2} = \frac{a(a x^2 + 2 x + c) - (a^2 x^2 + 2 a x + 1)}{y^2}$
$y \frac{d^2 y}{d x^2} = \frac{a^2 x^2 + 2 a x + a c - a^2 x^2 - 2 a x - 1}{y^2}$
$y \frac{d^2 y}{d x^2} = \frac{a c - 1}{y^2}$
બંને બાજુ $y^2$ વડે ગુણતા:
$y^3 \frac{d^2 y}{d x^2} = a c - 1$.

(D) આપેલ છે: $y = a \sin x + (5 + 2x) \cos x$ . . . . . . $(i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y' = a \cos x + 2 \cos x - (5 + 2x) \sin x$
$y' = (a + 2) \cos x - (5 + 2x) \sin x$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y'' = -(a + 2) \sin x - 2 \sin x - (5 + 2x) \cos x$
$y'' = -(a + 4) \sin x - (5 + 2x) \cos x$ . . . . . . $(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$y'' + y = [-(a + 4) \sin x - (5 + 2x) \cos x] + [a \sin x + (5 + 2x) \cos x]$
$y'' + y = -a \sin x - 4 \sin x - (5 + 2x) \cos x + a \sin x + (5 + 2x) \cos x$
$y'' + y = -4 \sin x$.

(D) આપેલ વિધેય સંબંધ: $f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2$.
સમીકરણમાં $y=0$ મુકતા:
$f(x(0)+1) = f(x)f(0) - f(0) - x + 2$
$f(0)=1$ હોવાથી:
$f(1) = f(x)(1) - 1 - x + 2$
$f(1) = f(x) - x + 1$
$f(x)$ ને કર્તા બનાવતા:
$f(x) = x + f(1) - 1$
હવે,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{df}{dx} = \frac{d}{dx}(x + f(1) - 1)$
$f(1)$ અચળ હોવાથી તેનું વિકલન $0$ થાય:
$\frac{df}{dx} = 1 + 0 - 0 = 1$
તેથી,$x=e$ આગળ $\frac{df}{dx}$ ની કિંમત $1$ છે.

(B) મધ્યકમાન પ્રમેય (Mean Value Theorem) મુજબ,કોઈપણ અંતરાલ $[a, b]$ માટે,$c \in (a, b)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેથી $f^{\prime}(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ થાય.
અંતરાલ $[2, 4]$ માટે આ પ્રમેય લાગુ પાડતા,આપણને $f^{\prime}(c_1) = \frac{f(4) - f(2)}{4 - 2} = \frac{f(4) + 6}{2}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $f^{\prime}(x) \leq 4$,તેથી $\frac{f(4) + 6}{2} \leq 4$,જેનો અર્થ છે કે $f(4) + 6 \leq 8$,એટલે કે $f(4) \leq 2$.
હવે અંતરાલ $[4, 6]$ માટે મધ્યકમાન પ્રમેય લાગુ પાડતા,$f^{\prime}(c_2) = \frac{f(6) - f(4)}{6 - 4} = \frac{8 - f(4)}{2}$ મળે છે.
ફરીથી $f^{\prime}(x) \leq 4$ હોવાથી,$\frac{8 - f(4)}{2} \leq 4$,જેનો અર્થ છે કે $8 - f(4) \leq 8$,એટલે કે $f(4) \geq 0$.
આમ,$0 \leq f(4) \leq 2$,તેથી $f(4) \in [0, 2]$.

(B) આપણી પાસે છે,$y=\frac{2}{\sqrt{a^2-b^2}} \tan ^{-1}\left[\sqrt{\frac{a-b}{a+b}} \tan \frac{x}{2}\right]$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d y}{d x}=\frac{2}{\sqrt{a^2-b^2}} \cdot \frac{1}{1+\left(\frac{a-b}{a+b}\right) \tan ^2 \frac{x}{2}} \cdot \sqrt{\frac{a-b}{a+b}} \cdot \sec ^2 \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2}$
$= \frac{1}{\sqrt{a^2-b^2}} \cdot \frac{a+b}{(a+b) + (a-b) \tan ^2 \frac{x}{2}} \cdot \sqrt{\frac{a-b}{a+b}} \cdot \sec ^2 \frac{x}{2}$
$= \frac{\sec ^2 \frac{x}{2}}{a(1+\tan ^2 \frac{x}{2}) + b(1-\tan ^2 \frac{x}{2})} = \frac{1}{a+b \cos x}$.
હવે,ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2 y}{d x^2} = \frac{d}{d x} (a+b \cos x)^{-1} = -(a+b \cos x)^{-2} \cdot (-b \sin x) = \frac{b \sin x}{(a+b \cos x)^2}$.
$x = \frac{\pi}{2}$ આગળ:
$\left.\frac{d^2 y}{d x^2}\right|_{x=\frac{\pi}{2}} = \frac{b \sin(\frac{\pi}{2})}{(a+b \cos(\frac{\pi}{2}))^2} = \frac{b(1)}{(a+0)^2} = \frac{b}{a^2}$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 5 \sin^2 x$ એ $R$ પર વધતું વિધેય છે,તેથી તમામ $x \in R$ માટે $f'(x) \ge 0$ થાય.
$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b + 10 \sin x \cos x = 3x^2 + 2ax + b + 5 \sin 2x$.
$f'(x) \ge 0$ માટે,$f'(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $\ge 0$ હોવી જોઈએ.
કારણ કે $\sin 2x$ ની કિંમત $-1$ થી $1$ ની વચ્ચે હોય છે,તેથી $5 \sin 2x$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $-5$ છે.
આમ,આપણે તમામ $x \in R$ માટે $3x^2 + 2ax + b - 5 \ge 0$ ની જરૂર છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^2 + Bx + C \ge 0$ તમામ $x$ માટે સાચું હોય તે માટે $A > 0$ અને વિવેચક $D = B^2 - 4AC \le 0$ હોવું જોઈએ.
અહીં $A = 3$,$B = 2a$,અને $C = b-5$ છે.
$D = (2a)^2 - 4(3)(b-5) \le 0$.
$4a^2 - 12(b-5) \le 0$.
$4$ વડે ભાગતા,આપણને $a^2 - 3(b-5) \le 0$ મળે છે.
$a^2 - 3b + 15 \le 0$.
આપેલા વિકલ્પોમાં કડક અસમતા હોવાથી,સાચી શરત $a^2 - 3b + 15 < 0$ છે.

(D) ધારો કે $y = f(x) = \cos(x)$. આપણે $\cos(31^{\circ})$ નું મૂલ્ય શોધવું છે.
ધારો કે $x = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6} \text{ rad}$ અને $\Delta x = 1^{\circ} = 0.0174 \text{ rad}$.
તેથી $f(x) = \cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.8660$.
વિકલન કરતા $f'(x) = -\sin(x)$ મળે.
$x = 30^{\circ}$ આગળ,$f'(30^{\circ}) = -\sin(30^{\circ}) = -0.5$.
વિકલિતના આશરે મૂલ્યના સૂત્ર $\Delta y \approx f'(x) \cdot \Delta x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\Delta y \approx (-0.5) \times 0.0174 = -0.0087$.
તેથી,$\cos(31^{\circ}) = f(x + \Delta x) \approx f(x) + \Delta y$.
$\cos(31^{\circ}) \approx 0.8660 - 0.0087 = 0.8573$.

(D) ધારો કે $s = x^2 + y^2$.
આપેલ છે કે $x + y = 32$,તેથી આપણે $y = 32 - x$ લખી શકીએ.
આ કિંમતને $s$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$s = x^2 + (32 - x)^2$.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $s$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{ds}{dx} = 2x + 2(32 - x)(-1) = 2x - 64 + 2x = 4x - 64$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ માટે $\frac{ds}{dx} = 0$ લેતા:
$4x - 64 = 0 \implies x = 16$.
તેથી $y = 32 - 16 = 16$.
દ્વિતીય વિકલન ચકાસતા:
$\frac{d^2s}{dx^2} = 4 > 0$,જે દર્શાવે છે કે $x = 16$ આગળ $s$ ની કિંમત ન્યૂનતમ છે.
ન્યૂનતમ કિંમત $s = 16^2 + 16^2 = 256 + 256 = 512$ થાય.

(B) લેગ્રાન્જના મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ,એક એવો અચળાંક $c \in (1, 2)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f'(c) = \frac{f(2) - f(1)}{2 - 1}$ થાય.
પ્રથમ,આપણે $f(1)$ અને $f(2)$ શોધીએ:
$f(1) = \frac{2(1)+3}{4(1)-1} = \frac{5}{3}$
$f(2) = \frac{2(2)+3}{4(2)-1} = \frac{7}{7} = 1$
હવે,ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલિત $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = \frac{(4x-1)(2) - (2x+3)(4)}{(4x-1)^2} = \frac{8x-2-8x-12}{(4x-1)^2} = \frac{-14}{(4x-1)^2}$
હવે,$f'(c)$ ને છેદક રેખાના ઢાળ સાથે સરખાવીએ:
$\frac{-14}{(4c-1)^2} = \frac{1 - \frac{5}{3}}{1} = -\frac{2}{3}$
$(4c-1)^2 = 21$
$4c-1 = \pm \sqrt{21}$
$c = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{4}$
કારણ કે $c \in (1, 2)$,આપણે ધન કિંમત પસંદ કરીશું:
$c = \frac{1 + \sqrt{21}}{4} \in (1, 2)$.

(C) ધારો કે $f(x) = x^3$. બિંદુઓ $(-1, -1)$ અને $(2, 8)$ ને જોડતી જીવાનો ઢાળ $m = \frac{f(2) - f(-1)}{2 - (-1)} = \frac{8 - (-1)}{3} = \frac{9}{3} = 3$ છે.
સ્પર્શક રેખા આ જીવાને સમાંતર હોવાથી,તે બિંદુએ વિકલિત $f'(x)$ નું મૂલ્ય જીવાના ઢાળ જેટલું હોવું જોઈએ.
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2$.
$f'(x) = 3$ લેતા,આપણને $3x^2 = 3$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x^2 = 1$,તેથી $x = 1$ અથવા $x = -1$.
$x = 1$ માટે,$y = (1)^3 = 1$,જે બિંદુ $(1, 1)$ આપે છે.
$x = -1$ માટે,$y = (-1)^3 = -1$,જે બિંદુ $(-1, -1)$ આપે છે.
$(-1, -1)$ એ જીવાનું અંત્યબિંદુ હોવાથી,વક્ર પરનું માંગેલ બિંદુ $(1, 1)$ છે.

(D) વક્રો $x^2+4y=0$ અને $xy=2$ ના છેદબિંદુ શોધવા માટે:
$y = \frac{2}{x}$ ને $x^2+4y=0$ માં મૂકતા:
$x^2 + 4(\frac{2}{x}) = 0$
$x^2 + \frac{8}{x} = 0$
$x^3 + 8 = 0 \Rightarrow x^3 = -8 \Rightarrow x = -2$.
$x = -2$ માટે,$y = \frac{2}{-2} = -1$. તેથી,છેદબિંદુ $(-2, -1)$ છે.
પ્રથમ વક્ર $x^2+4y=0$ નો ઢાળ:
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા: $2x + 4\frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{2}$.
$x = -2$ આગળ,$m_1 = -\frac{-2}{2} = 1$.
બીજા વક્ર $xy=2$ નો ઢાળ:
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા: $y + x\frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$.
$(-2, -1)$ આગળ,$m_2 = -\frac{-1}{-2} = -\frac{1}{2}$.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| = \left| \frac{1 - (-1/2)}{1 + (1)(-1/2)} \right| = \left| \frac{3/2}{1/2} \right| = 3$.

(B) આપેલ છે: $f(x) = e^x \sin x$.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m(x) = f'(x)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$f'(x) = e^x \sin x + e^x \cos x = e^x (\sin x + \cos x)$.
ધારો કે $g(x) = f'(x) = e^x (\sin x + \cos x)$.
મહત્તમ ઢાળ શોધવા માટે,આપણે $g'(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$g'(x) = e^x (\sin x + \cos x) + e^x (\cos x - \sin x) = 2 e^x \cos x$.
$g'(x) = 0$ લેતા,આપણને $2 e^x \cos x = 0$ મળે છે.
કારણ કે તમામ $x$ માટે $e^x \neq 0$,તેથી $\cos x = 0$.
અંતરાલ $[0, 2 \pi]$ માં,$x = \frac{\pi}{2}$ અથવા $x = \frac{3 \pi}{2}$.
હવે,આપણે દ્વિતીય વિકલન $g''(x) = 2 e^x \cos x - 2 e^x \sin x = 2 e^x (\cos x - \sin x)$ ચકાસીએ છીએ.
$x = \frac{\pi}{2}$ પર,$g''(\frac{\pi}{2}) = 2 e^{\frac{\pi}{2}} (0 - 1) = -2 e^{\frac{\pi}{2}} < 0$,જે સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય દર્શાવે છે.
$x = \frac{3 \pi}{2}$ પર,$g''(\frac{3 \pi}{2}) = 2 e^{\frac{3 \pi}{2}} (0 - (-1)) = 2 e^{\frac{3 \pi}{2}} > 0$,જે સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય દર્શાવે છે.
આમ,$x = \frac{\pi}{2}$ પર ઢાળ મહત્તમ છે.

(C) ધારો કે $y = f(x) = x^{1/4}$. આપણે $x = 16$ અને $\Delta x = 2$ લઈએ છીએ કારણ કે $16$ એ $18$ ની સૌથી નજીકની પૂર્ણ ચતુર્થ ઘાત છે.
વિકલનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\Delta y \approx \left(\frac{dy}{dx}\right) \Delta x$.
પ્રથમ,વિકલિત શોધો: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4} x^{-3/4} = \frac{1}{4x^{3/4}}$.
$x = 16$ આગળ,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4(16^{3/4})} = \frac{1}{4(8)} = \frac{1}{32}$.
હવે,$\Delta y$ ની ગણતરી કરો: $\Delta y \approx \left(\frac{1}{32}\right) \times 2 = \frac{1}{16} = 0.0625$.
આમ,આશરે મૂલ્ય $y + \Delta y = f(16) + 0.0625 = 2 + 0.0625 = 2.0625$ થાય છે.

(B) ધારો કે $V$ એ ઘનફળ છે અને $S$ એ $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાકાર ફુગ્ગાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે।
આપેલ છે કે, હવા બહાર નીકળવાનો દર $\frac{dV}{dt} = -4 \,m^3 / min$ છે (કારણ કે હવા બહાર નીકળે છે, તેથી ઘનફળ ઘટે છે)।
ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે।
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા, $\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$ મળે।
$r = 8 \,m$ પર આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$-4 = 4 \pi (8)^2 \frac{dr}{dt} \Rightarrow -4 = 256 \pi \frac{dr}{dt} \Rightarrow \frac{dr}{dt} = -\frac{1}{64 \pi} \,m / min$.
ગોળાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S = 4 \pi r^2$ છે।
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા, $\frac{dS}{dt} = 8 \pi r \frac{dr}{dt}$ મળે।
$r = 8 \,m$ અને $\frac{dr}{dt} = -\frac{1}{64 \pi} \,m / min$ મૂકતા:
$\frac{dS}{dt} = 8 \pi (8) \left( -\frac{1}{64 \pi} \right) = -1 \,m^2 / min$.
આમ, સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $1 \,m^2 / min$ ના દરે ઘટી રહ્યું છે।

(A) ધારો કે $f(x) = \frac{x}{1+x} - \log(1+x)$,જ્યાં $x > 0$.
પ્રથમ,આપણે વિકલિત $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = \frac{(1+x)(1) - x(1)}{(1+x)^2} - \frac{1}{1+x}$
$f'(x) = \frac{1}{(1+x)^2} - \frac{1}{1+x} = \frac{1 - (1+x)}{(1+x)^2} = \frac{-x}{(1+x)^2}$.
કારણ કે $x > 0$ છે,તેથી તમામ $x > 0$ માટે $f'(x) < 0$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $f(x)$ એ $x > 0$ માટે ચુસ્ત ઘટતું વિધેય છે.
જેમ $x \to 0^+$,તેમ $f(x) \to \frac{0}{1} - \log(1) = 0$.
વિધેય $0$ થી શરૂ થાય છે અને $x > 0$ માટે ચુસ્ત રીતે ઘટે છે,તેથી તમામ $x > 0$ માટે $f(x) < 0$ થાય છે.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = x^3 + 2px^2 + 27x + 16$ છે.
$f(x)$ એ તમામ $x \in R$ માટે ચુસ્ત રીતે વધતું વિધેય હોવાથી,$f'(x) > 0$ થવું જોઈએ.
પ્રથમ,વિકલિત મેળવો: $f'(x) = 3x^2 + 4px + 27$.
$f'(x)$ એ દ્વિઘાત પદાવલિ છે અને તેનો અગ્ર સહગુણક ધન $(3 > 0)$ હોવાથી,તે તમામ $x$ માટે ધન ત્યારે જ હોય જો તેનો વિવેચક $D < 0$ હોય.
વિવેચક $D = (4p)^2 - 4(3)(27)$ છે.
$D < 0$ લેતા:
$16p^2 - 324 < 0$
$p^2 - \frac{324}{16} < 0$
$p^2 - \frac{81}{4} < 0$
$(p - \frac{9}{2})(p + \frac{9}{2}) < 0$.
આમ,$p$ નો વિસ્તાર $p \in \left(-\frac{9}{2}, \frac{9}{2}\right)$ છે.

(B) $f(x)$ વધતું વિધેય ક્યારે હોય તે શોધવા માટે,આપણે વિકલિત $f'(x)$ શોધીએ અને $f'(x) > 0$ લઈએ.
આપેલ છે $f(x) = 3x^4 - 8x^3 - 6x^2 + 24x - 12$.
$f'(x) = 12x^3 - 24x^2 - 12x + 24$.
$12$ સામાન્ય લેતા: $f'(x) = 12(x^3 - 2x^2 - x + 2)$.
અવયવ પાડતા: $f'(x) = 12[x^2(x - 2) - 1(x - 2)] = 12(x^2 - 1)(x - 2) = 12(x - 1)(x + 1)(x - 2)$.
$f(x)$ વધતું વિધેય હોવા માટે,$f'(x) > 0$,તેથી $(x - 1)(x + 1)(x - 2) > 0$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = -1, 1, 2$ માટે વેવી કર્વ મેથડનો ઉપયોગ કરતા:
$x \in (-1, 1)$ માટે,$f'(x) > 0$.
$x \in (2, \infty)$ માટે,$f'(x) > 0$.
આમ,વિધેય $(-1, 1) \cup (2, \infty)$ પર વધતું વિધેય છે.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = 2x^2 - \log x$ છે,જ્યાં $x > 0$.
વિધેય કયા અંતરાલમાં ઘટે છે તે શોધવા માટે,આપણે તેનું વિકલન $f'(x)$ શોધીએ.
$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2 - \log x) = 4x - \frac{1}{x}$.
વિધેય $f(x)$ ત્યારે ઘટે છે જ્યારે $f'(x) < 0$ હોય.
$4x - \frac{1}{x} < 0$
$\Rightarrow \frac{4x^2 - 1}{x} < 0$.
અહીં $x > 0$ હોવાથી,અસમતાની નિશાની બદલાયા વગર આપણે $x$ વડે ગુણી શકીએ:
$4x^2 - 1 < 0$
$\Rightarrow 4x^2 < 1$
$\Rightarrow x^2 < \frac{1}{4}$
$\Rightarrow |x| < \frac{1}{2}$.
આથી $x \in (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ મળે.
શરત $x > 0$ આપેલ હોવાથી,અંતરાલ $x \in (0, \frac{1}{2})$ થશે.
આમ,વિધેય $(0, \frac{1}{2})$ અંતરાલમાં ઘટે છે.

(B) ધારો કે $v$ એ પાણીની સાપેક્ષ મોટર બોટની ઝડપ છે,જ્યાં $v > C$. પાણીના પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં જતી વખતે જમીનની સાપેક્ષ બોટની ઝડપ $(v - C)$ થશે.
જો કાપવાનું અંતર $S$ હોય,તો લાગતો સમય $t = \frac{S}{v - C}$ થાય.
દર કલાકે પેટ્રોલનો વપરાશ પાણીની સાપેક્ષ વેગના ઘન સાથે પ્રમાણસર છે,એટલે કે $k v^3$,જ્યાં $k$ અચળાંક છે.
કુલ વપરાયેલ પેટ્રોલ $f(v)$ નીચે મુજબ છે:
$f(v) = (k v^3) \times \left( \frac{S}{v - C} \right) = k S \frac{v^3}{v - C}$.
ન્યૂનતમ વપરાશ શોધવા માટે,આપણે $f(v)$ નું $v$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
$f'(v) = k S \left[ \frac{(v - C)(3v^2) - v^3(1)}{(v - C)^2} \right] = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $3v^2(v - C) - v^3 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $3v^3 - 3v^2C - v^3 = 0$ થાય.
$2v^3 - 3v^2C = 0$.
$v \neq 0$ હોવાથી,આપણને $2v - 3C = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $v = \frac{3C}{2}$.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = 3x^4 - 2x^3 - 6x^2 + 6x + 4$ છે.
પ્રથમ,વિકલન $f'(x)$ શોધો:
$f'(x) = 12x^3 - 6x^2 - 12x + 6$
વિકલનનું અવયવીકરણ કરતા:
$f'(x) = 6(2x^3 - x^2 - 2x + 1) = 6[x^2(2x - 1) - 1(2x - 1)] = 6(x^2 - 1)(2x - 1) = 6(x - 1)(x + 1)(2x - 1)$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે $f'(x) = 0$ લો:
$6(x - 1)(x + 1)(2x - 1) = 0$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = 1, x = -1, x = 1/2$ છે.
આપણે અંતરાલ $(0, 2)$ ધ્યાનમાં લેતા હોવાથી,આપણે ફક્ત $x = 1$ અને $x = 1/2$ ને ધ્યાનમાં લઈશું (કારણ કે $-1$ અંતરાલની બહાર છે).
આ બિંદુઓ પર $f(x)$ ની કિંમત શોધો:
$f(1) = 3(1)^4 - 2(1)^3 - 6(1)^2 + 6(1) + 4 = 3 - 2 - 6 + 6 + 4 = 5$.
$f(1/2) = 3(1/16) - 2(1/8) - 6(1/4) + 6(1/2) + 4 = 3/16 - 4/16 - 24/16 + 48/16 + 64/16 = 87/16$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા,મહત્તમ કિંમત $87/16$ છે અને ન્યૂનતમ કિંમત $5$ છે.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતોનો સરવાળો $87/16 + 5 = (87 + 80) / 16 = 167/16$ થાય.

(B) આપેલ છે કે,$s = t^5 - 40t^3 + 30t^2 + 80t - 250$.
વેગ $v = \frac{ds}{dt} = 5t^4 - 120t^2 + 60t + 80$.
પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt} = 20t^3 - 240t + 60$.
ધારો કે $f(t) = 20t^3 - 240t + 60$.
ન્યૂનતમ પ્રવેગ શોધવા માટે,આપણે $f'(t) = 0$ લઈને ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધીએ:
$f'(t) = 60t^2 - 240 = 0 \Rightarrow t^2 = 4 \Rightarrow t = \pm 2$.
હવે,દ્વિતીય વિકલન $f''(t) = 120t$ તપાસો.
$t = 2$ પર,$f''(2) = 120(2) = 240 > 0$,તેથી $f(t)$ ને $t = 2$ પર ન્યૂનતમ મૂલ્ય મળે છે.
ન્યૂનતમ પ્રવેગ $a_{\min} = f(2) = 20(2)^3 - 240(2) + 60 = 160 - 480 + 60 = -260$.

(C) વિધેય $f(x) = 2x^6 - 3$ ના સ્થાનિક અંતિમ બિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે તેનું વિકલન કરીએ.
$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^6 - 3) = 12x^5$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે વિકલનને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$12x^5 = 0 \implies x = 0$.
હવે,$x = 0$ બિંદુના સ્વભાવને ચકાસવા માટે પ્રથમ વિકલન કસોટીનો ઉપયોગ કરીએ.
પ્રથમ વિકલન કસોટી મુજબ:
$x < 0$ માટે,$f'(x) = 12x^5 < 0$ (વિધેય ઘટે છે).
$x > 0$ માટે,$f'(x) = 12x^5 > 0$ (વિધેય વધે છે).
કારણ કે $x = 0$ આગળ વિકલનનું ચિહ્ન ઋણથી ધન થાય છે,તેથી વિધેયને $x = 0$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ કિંમત મળે છે.
સ્થાનિક ન્યૂનતમ કિંમત $f(0) = 2(0)^6 - 3 = -3$ છે.
આમ,$-3$ એ $f$ ની સ્થાનિક ન્યૂનતમ કિંમત છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = \cos x - \sin 2x$ એ અંતરાલ $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ પર સતત છે અને $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ પર વિકલનીય છે.
લેગ્રાન્જના મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ,એવો $c \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f'(c) = \frac{f(\pi/2) - f(-\pi/2)}{\pi/2 - (-\pi/2)}$.
પ્રથમ,$f(\pi/2) = \cos(\pi/2) - \sin(\pi) = 0 - 0 = 0$.
ત્યારબાદ,$f(-\pi/2) = \cos(-\pi/2) - \sin(-\pi) = 0 - 0 = 0$.
આમ,$f'(c) = \frac{0 - 0}{\pi} = 0$.
વિકલન $f'(x) = -\sin x - 2\cos 2x$ છે.
$f'(c) = 0$ લેતા,આપણને $-\sin c - 2\cos 2c = 0$ મળે છે.
નિત્યસમ $\cos 2c = 1 - 2\sin^2 c$ નો ઉપયોગ કરતા,$-\sin c - 2(1 - 2\sin^2 c) = 0$.
$-\sin c - 2 + 4\sin^2 c = 0$,જેનું સાદું રૂપ $4\sin^2 c - \sin c - 2 = 0$ થાય છે.
$\sin c$ માટે દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\sin c = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(4)(-2)}}{2(4)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 32}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{8}$.
તેથી,$c = \sin^{-1}\left(\frac{1 \pm \sqrt{33}}{8}\right)$.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = x^{1/2}$ અને $g(x) = x^{-1/2}$.
વિકલન કરતા:
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{2} x^{-1/2} \implies f^{\prime}(c) = \frac{1}{2} c^{-1/2}$
$g^{\prime}(x) = -\frac{1}{2} x^{-3/2} \implies g^{\prime}(c) = -\frac{1}{2} c^{-3/2}$
હવે,વિકલનનો ગુણોત્તર:
$\frac{f^{\prime}(c)}{g^{\prime}(c)} = \frac{\frac{1}{2} c^{-1/2}}{-\frac{1}{2} c^{-3/2}} = -c^{(-1/2) - (-3/2)} = -c^1 = -c$
તફાવતનો ગુણોત્તર:
$f(12) - f(3) = \sqrt{12} - \sqrt{3} = 2\sqrt{3} - \sqrt{3} = \sqrt{3}$
$g(12) - g(3) = \frac{1}{\sqrt{12}} - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{1}{2\sqrt{3}}$
$\frac{f(12) - f(3)}{g(12) - g(3)} = \frac{\sqrt{3}}{-\frac{1}{2\sqrt{3}}} = -6$
બંનેને સરખાવતા:
$-c = -6 \implies c = 6$.

(B) આપેલ છે: $f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)$.
વિધેયનું વિસ્તરણ કરતા: $f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$.
વિકલન કરતા $f'(x) = 3x^2 - 12x + 11$ મળે.
$f(x)$ બહુપદી હોવાથી તે $[0, 4]$ પર સતત અને $(0, 4)$ પર વિકલનીય છે.
લેગ્રાન્જના મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ,એવું $c \in (0, 4)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f'(c) = \frac{f(4) - f(0)}{4 - 0}$ થાય.
$f(4) = (4-1)(4-2)(4-3) = 3 \times 2 \times 1 = 6$.
$f(0) = (0-1)(0-2)(0-3) = -6$.
તેથી,$f'(c) = \frac{6 - (-6)}{4} = \frac{12}{4} = 3$.
$3c^2 - 12c + 11 = 3$ લેતા,$3c^2 - 12c + 8 = 0$ મળે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $c = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$c = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4(3)(8)}}{2(3)} = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 96}}{6} = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{6}$.
$c = \frac{12 \pm 4\sqrt{3}}{6} = 2 \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$.
બંને કિંમતો $(0, 4)$ અંતરાલમાં આવેલી છે.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{\sin 2x \, dx}{\sin^4 x + \cos^4 x}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$,તેથી $I = \int \frac{2 \sin x \cos x}{\sin^4 x + \cos^4 x} \, dx$.
અંશ અને છેદને $\cos^4 x$ વડે ભાગતા:
$I = \int \frac{2 \sin x \cos x / \cos^4 x}{(\sin^4 x + \cos^4 x) / \cos^4 x} \, dx = \int \frac{2 \tan x \sec^2 x}{1 + \tan^4 x} \, dx$.
ધારો કે $t = \tan^2 x$,તો $dt = 2 \tan x \sec^2 x \, dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{dt}{1 + t^2} = \tan^{-1}(t) + c = \tan^{-1}(\tan^2 x) + c$.
આને $\tan^{-1}(f(x)) + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $f(x) = \tan^2 x$ મળે છે.
તેથી,$f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \tan^2\left(\frac{\pi}{3}\right) = (\sqrt{3})^2 = 3$.

(C) ધારો કે $I = \int \left( \frac{\log x - 1}{1 + (\log x)^2} \right)^2 dx$.
$t = \log x$ આદેશ લેતા,$x = e^t$ અને $dx = e^t dt$ મળે.
$I = \int e^t \frac{(t - 1)^2}{(1 + t^2)^2} dt = \int e^t \frac{t^2 - 2t + 1}{(1 + t^2)^2} dt$.
$I = \int e^t \left( \frac{t^2 + 1 - 2t}{(1 + t^2)^2} \right) dt = \int e^t \left( \frac{1}{1 + t^2} - \frac{2t}{(1 + t^2)^2} \right) dt$.
સૂત્ર $\int e^t [f(t) + f'(t)] dt = e^t f(t) + C$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $f(t) = \frac{1}{1 + t^2}$ અને $f'(t) = -\frac{2t}{(1 + t^2)^2}$ છે.
તેથી,$I = e^t \left( \frac{1}{1 + t^2} \right) + C = \frac{x}{1 + (\log x)^2} + C$.

(D) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{x^3+3x^2+2x}$.
છેદના અવયવ પાડતા: $x^3+3x^2+2x = x(x^2+3x+2) = x(x+1)(x+2)$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{x(x+1)(x+2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{x+2}$.
$1 = A(x+1)(x+2) + Bx(x+2) + Cx(x+1)$.
$x=0$ માટે: $1 = A(1)(2) \Rightarrow A = \frac{1}{2}$.
$x=-1$ માટે: $1 = B(-1)(1) \Rightarrow B = -1$.
$x=-2$ માટે: $1 = C(-2)(-1) \Rightarrow C = \frac{1}{2}$.
તેથી,$I = \int \left(\frac{1}{2x} - \frac{1}{x+1} + \frac{1}{2(x+2)}\right) dx$.
$I = \frac{1}{2} \log |x| - \log |x+1| + \frac{1}{2} \log |x+2| + c$.
$I = \frac{1}{2} [\log |x| - 2 \log |x+1| + \log |x+2|] + c$.
$I = \frac{1}{2} \log \left|\frac{x(x+2)}{(x+1)^2}\right| + c = \frac{1}{2} \log \left|\frac{x^2+2x}{(x+1)^2}\right| + c$.

(B) આપેલ છે કે $I_n = \int \sec^n x \, dx$.
પ્રથમ,$I_2 = \int \sec^2 x \, dx = \tan x + c_1$ મેળવો.
ત્યારબાદ,$I_4 = \int \sec^4 x \, dx = \int \sec^2 x \cdot \sec^2 x \, dx$ મેળવો.
નિત્યસમ $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I_4 = \int (1 + \tan^2 x) \sec^2 x \, dx$.
ધારો કે $u = \tan x$,તો $du = \sec^2 x \, dx$.
$I_4 = \int (1 + u^2) \, du = u + \frac{u^3}{3} + c_2 = \tan x + \frac{\tan^3 x}{3} + c_2$.
હવે,$I_4 - \frac{2}{3} I_2$ ની ગણતરી કરો:
$I_4 - \frac{2}{3} I_2 = (\tan x + \frac{\tan^3 x}{3} + c_2) - \frac{2}{3} (\tan x + c_1)$.
$= \tan x + \frac{\tan^3 x}{3} - \frac{2}{3} \tan x + c$.
$= \frac{1}{3} \tan x + \frac{1}{3} \tan^3 x + c$.
$= \frac{1}{3} \tan x (1 + \tan^2 x) + c$.
કારણ કે $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$,તેથી:
$= \frac{1}{3} \tan x \sec^2 x + c$.

(C) આપણી પાસે છે,$\int \frac{dx}{\tan x+\cot x+\sec x+\operatorname{cosec} x} = \int \frac{dx}{\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}+\frac{1}{\cos x}+\frac{1}{\sin x}}$
$= \int \frac{\sin x \cos x dx}{\sin^2 x+\cos^2 x+\sin x+\cos x} = \int \frac{\sin x \cos x dx}{1+\sin x+\cos x}$
$2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા,આપણને મળે $\frac{1}{2} \int \frac{2 \sin x \cos x}{1+\sin x+\cos x} dx$
$= \frac{1}{2} \int \frac{2 \sin x \cos x + 1 - 1}{1+\sin x+\cos x} dx = \frac{1}{2} \int \frac{(\sin^2 x+\cos^2 x+2 \sin x \cos x)-1}{1+\sin x+\cos x} dx$
$= \frac{1}{2} \int \frac{(\sin x+\cos x)^2-1}{1+\sin x+\cos x} dx = \frac{1}{2} \int \frac{(\sin x+\cos x+1)(\sin x+\cos x-1)}{1+\sin x+\cos x} dx$
$= \frac{1}{2} \int (\sin x+\cos x-1) dx = \frac{1}{2} [-\cos x+\sin x-x]+c = \frac{1}{2}(\sin x-\cos x-x)+c$

(D) આપેલ છે કે $I = \int \frac{x-x^2}{\sqrt{1-x}} d x$.
કારણ કે $x-x^2 = x(1-x)$,તેથી $I = \int \frac{x(1-x)}{\sqrt{1-x}} d x = \int x \sqrt{1-x} d x$.
ધારો કે $1-x = t^2$,તો $dx = -2t dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int (1-t^2) t (-2t) dt = 2 \int (t^4 - t^2) dt$.
$t$ ની સાપેક્ષે સંકલન કરતા:
$I = 2 \left[ \frac{t^5}{5} - \frac{t^3}{3} \right] + c = \frac{2}{15} t^3 (3t^2 - 5) + c$.
$t = \sqrt{1-x}$ પાછું મૂકતા:
$I = \frac{2}{15} (1-x)^{3/2} [3(1-x) - 5] + c = \frac{2}{15} (1-x)^{3/2} (-3x - 2) + c = -\frac{2}{15} (1-x)^{3/2} (3x+2) + c$.

(D) આપેલ સંકલન $I = \int \frac{dx}{(2 \sin x + \sec x)^4}$ છે.
અંશ અને છેદને $\sec^4 x$ વડે ગુણતા:
$I = \int \frac{\sec^4 x}{(2 \sin x \cos x + 1)^4} dx = \int \frac{\sec^4 x}{(\sin 2x + 1)^4} dx$.
છેદને ફરીથી લખતા: $2 \sin x + \sec x = \frac{2 \sin x \cos x + 1}{\cos x} = \frac{\sin 2x + 1}{\cos x}$.
તેથી,$I = \int \frac{\cos^4 x}{(\sin 2x + 1)^4} dx = \int \frac{\cos^4 x}{((\sin x + \cos x)^2)^4} dx = \int \frac{\cos^4 x}{(\sin x + \cos x)^8} dx$.
અંશ અને છેદને $\cos^8 x$ વડે ભાગતા:
$I = \int \frac{\sec^4 x}{(1 + \tan x)^8} dx$.
ધારો કે $\tan x = t$,તો $\sec^2 x dx = dt$. કારણ કે $\sec^2 x = 1 + t^2$,આપણને મળે:
$I = \int \frac{1 + t^2}{(1 + t)^8} dt = \int \frac{(1 + t)^2 - 2t}{(1 + t)^8} dt = \int \frac{(1 + t)^2 - 2(1 + t - 1)}{(1 + t)^8} dt$
$I = \int \frac{dt}{(1 + t)^6} - 2 \int \frac{dt}{(1 + t)^7} + 2 \int \frac{dt}{(1 + t)^8}$
$I = -\frac{1}{5}(1 + t)^{-5} + \frac{2}{6}(1 + t)^{-6} - \frac{2}{7}(1 + t)^{-7} + k$
$I = -\frac{1}{5}(1 + \tan x)^{-5} + \frac{1}{3}(1 + \tan x)^{-6} - \frac{2}{7}(1 + \tan x)^{-7} + k$.
આપેલ સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,$A = -\frac{1}{5}$,$B = \frac{1}{3}$,$C = -\frac{2}{7}$.
$A + B + C = -\frac{1}{5} + \frac{1}{3} - \frac{2}{7} = \frac{-21 + 35 - 30}{105} = -\frac{16}{105}$.

(B) આપણે સંકલ્યને નીચે મુજબ સરળ બનાવીએ:
$\int \frac{2x^2-1+x^2\sqrt{x^2+4}}{x^2(x^2+4)} dx = \int \left( \frac{2x^2}{x^2(x^2+4)} - \frac{1}{x^2(x^2+4)} + \frac{x^2\sqrt{x^2+4}}{x^2(x^2+4)} \right) dx$
$= \int \left( \frac{2}{x^2+4} - \frac{1}{x^2(x^2+4)} + \frac{1}{\sqrt{x^2+4}} \right) dx$
$\frac{1}{x^2(x^2+4)} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^2+4} \right)$ માટે આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા:
$= \int \left( \frac{2}{x^2+4} - \frac{1}{4} \left( \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^2+4} \right) + \frac{1}{\sqrt{x^2+4}} \right) dx$
$= \int \left( \frac{2}{x^2+4} + \frac{1}{4(x^2+4)} - \frac{1}{4x^2} + \frac{1}{\sqrt{x^2+4}} \right) dx$
$= \int \left( \frac{9}{4(x^2+4)} - \frac{1}{4x^2} + \frac{1}{\sqrt{x^2+4}} \right) dx$
$= \frac{9}{4} \cdot \frac{1}{2} \tan^{-1} \left( \frac{x}{2} \right) - \frac{1}{4} \left( -\frac{1}{x} \right) + \sinh^{-1} \left( \frac{x}{2} \right) + c$
$= \frac{9}{8} \tan^{-1} \left( \frac{x}{2} \right) + \frac{1}{4x} + \sinh^{-1} \left( \frac{x}{2} \right) + c$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{\sqrt{x^2+1}\left[\log \left(x^2+1\right)-2 \log x\right]}{x^4} d x$.
આપણે સંકલ્યને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$I = \int \frac{x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} \left[\log \left(x^2(1+\frac{1}{x^2})\right)-2 \log x\right]}{x^4} d x$
$I = \int \frac{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} \left[\log x^2 + \log(1+\frac{1}{x^2}) - 2 \log x\right]}{x^3} d x$
કારણ કે $\log x^2 = 2 \log x$,પદાવલી સરળ બને છે:
$I = \int \frac{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} \log(1+\frac{1}{x^2})}{x^3} d x$.
ધારો કે $1+\frac{1}{x^2} = t^2$. તો $-\frac{2}{x^3} dx = 2t dt$,જે સૂચવે છે કે $-\frac{dx}{x^3} = t dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = -\int t \cdot \log(t^2) \cdot t dt = -\int t^2 \cdot 2 \log t dt = -2 \int t^2 \log t dt$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:
$I = -2 \left[ \frac{t^3}{3} \log t - \int \frac{t^3}{3} \cdot \frac{1}{t} dt \right] = -2 \left[ \frac{t^3}{3} \log t - \frac{t^3}{9} \right] = \frac{2}{9} t^3 - \frac{2}{3} t^3 \log t$.
$I = \frac{1}{9} t^3 [2 - 6 \log t] = \frac{1}{9} t^3 [2 - 3 \log t^2]$.
$t^2 = 1+\frac{1}{x^2}$ અને $t = (1+\frac{1}{x^2})^{1/2}$ મૂકતા:
$I = \frac{1}{9} (1+\frac{1}{x^2})^{3/2} [2 - 3 \log (1+\frac{1}{x^2})] + c$.

(C) ધારો કે $I = \int (\sec^4 x + \tan^4 x) \, dx$.
નિત્યસમ $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\tan^4 x = (\sec^2 x - 1)^2 = \sec^4 x - 2 \sec^2 x + 1$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int (\sec^4 x + \sec^4 x - 2 \sec^2 x + 1) \, dx$
$I = \int (2 \sec^4 x - 2 \sec^2 x + 1) \, dx$
$I = \int (2 \sec^2 x \cdot \sec^2 x - 2 \sec^2 x + 1) \, dx$
$I = \int (2(1 + \tan^2 x) \sec^2 x - 2 \sec^2 x + 1) \, dx$
$I = \int (2 \sec^2 x + 2 \tan^2 x \sec^2 x - 2 \sec^2 x + 1) \, dx$
$I = \int (2 \tan^2 x \sec^2 x + 1) \, dx$
ધારો કે $u = \tan x$,તો $du = \sec^2 x \, dx$.
$I = \int (2u^2 + 1) \, du = \frac{2}{3} u^3 + u + c$
$I = \frac{2}{3} \tan^3 x + \tan x + c$.