AP EAMCET 2018 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$,જ્યાં $\Delta$ એ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ છે અને $s$ એ અર્ધ-પરિમિતિ છે.
આપેલ છે કે $r_1: r_2: r_3 = 1: 2: 3$,ધારો કે $r_1 = x, r_2 = 2x, r_3 = 3x$.
તેથી $s-a = \frac{\Delta}{x}$,$s-b = \frac{\Delta}{2x}$,અને $s-c = \frac{\Delta}{3x}$.
આ ત્રણેય સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$(s-a) + (s-b) + (s-c) = \frac{\Delta}{x} + \frac{\Delta}{2x} + \frac{\Delta}{3x}$
$3s - (a+b+c) = \Delta \left( \frac{6+3+2}{6x} \right)$
કારણ કે $a+b+c = 2s$,તેથી $3s - 2s = \frac{11\Delta}{6x}$,એટલે કે $s = \frac{11\Delta}{6x}$.
હવે,$a = s - (s-a) = \frac{11\Delta}{6x} - \frac{\Delta}{x} = \frac{5\Delta}{6x}$.
$b = s - (s-b) = \frac{11\Delta}{6x} - \frac{\Delta}{2x} = \frac{8\Delta}{6x}$.
$c = s - (s-c) = \frac{11\Delta}{6x} - \frac{\Delta}{3x} = \frac{9\Delta}{6x}$.
આમ,$a: b: c = 5: 8: 9$.

(A) વિધાન $I$ માટે: આપેલ છે $c=6$ અને $\cos C=-\frac{11}{25}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin C = \sqrt{1-\cos^2 C} = \sqrt{1-\frac{121}{625}} = \sqrt{\frac{504}{625}} = \frac{6\sqrt{14}}{25}$.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{c}{\sin C} = 2R$,તેથી $R = \frac{c}{2\sin C} = \frac{6}{2 \times \frac{6\sqrt{14}}{25}} = \frac{25}{2\sqrt{14}}$.
આમ,વિધાન $I$ સાચું છે.
વિધાન $II$ માટે: આપેલ છે $a=3, b=4, c=6$.
તે લઘુકોણ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે $\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = \frac{9+16-36}{2(3)(4)} = \frac{-11}{24}$ ગણીએ છીએ.
કારણ કે $\cos C < 0$,ખૂણો $C$ ગુરુકોણ છે $(C > 90^{\circ})$.
આમ,વિધાન $II$ ખોટું છે.

(C) ધારો કે $\triangle ABC$ ની બાજુઓ $a, b,$ અને $c$ છે.
$\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ એ $H$.$P$. માં હોવાથી,$a, b, c$ એ $A$.$P$. માં છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે બહિર-ત્રિજ્યાઓ $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}, r_2 = \frac{\Delta}{s-b}, r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$a, b, c$ એ $A$.$P$. માં હોવાથી,$s-a, s-b, s-c$ પણ $A$.$P$. માં છે.
તેથી,તેમના વ્યસ્ત $\frac{1}{s-a}, \frac{1}{s-b}, \frac{1}{s-c}$ એ $H$.$P$. માં છે.
$\Delta$ વડે ગુણતા,$\frac{\Delta}{s-a}, \frac{\Delta}{s-b}, \frac{\Delta}{s-c}$ એ $H$.$P$. માં છે.
આમ,$r_1, r_2, r_3$ એ $H$.$P$. માં છે.

(C) $\triangle IBC$ માં,$\angle BIC = 90^\circ + \frac{A}{2}$. $\triangle IBC$ ની પરિત્રિજ્યા $P_1 = \frac{a}{2 \sin(\angle BIC)} = \frac{a}{2 \cos(A/2)}$ છે.
તે જ રીતે,$P_2 = \frac{b}{2 \cos(B/2)}$ અને $P_3 = \frac{c}{2 \cos(C/2)}$.
આમ,$P_1 P_2 P_3 = \frac{abc}{8 \cos(A/2) \cos(B/2) \cos(C/2)}$.
$a = 2R \sin A = 4R \sin(A/2) \cos(A/2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$abc = 8R^3 \sin A \sin B \sin C = 8R^3 (8 \sin(A/2) \cos(A/2) \sin(B/2) \cos(B/2) \sin(C/2) \cos(C/2))$.
આ કિંમત મૂકતા,$P_1 P_2 P_3 = \frac{8R^3 (8 \sin(A/2) \cos(A/2) \sin(B/2) \cos(B/2) \sin(C/2) \cos(C/2))}{8 \cos(A/2) \cos(B/2) \cos(C/2)} = 8R^3 \sin(A/2) \sin(B/2) \sin(C/2)$.
$r = 4R \sin(A/2) \sin(B/2) \sin(C/2)$ હોવાથી,$\sin(A/2) \sin(B/2) \sin(C/2) = \frac{r}{4R}$.
તેથી,$P_1 P_2 P_3 = 8R^3 \times \frac{r}{4R} = 2R^2r$.

(C) આપેલ છે કે $A = 60^{\circ}$ અને $B = 105^{\circ}$,તેથી $C = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 105^{\circ}) = 15^{\circ}$.
પ્રક્ષેપણ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$s - a \cos C - c \cos A = s - b = \frac{a+c-b}{2}$.
તે જ રીતે,$s - a \cos B - b \cos A = s - c = \frac{a+b-c}{2}$.
સાઇન નિયમ $a = 2R \sin A, b = 2R \sin B, c = 2R \sin C$ નો ઉપયોગ કરીને પદાવલિનું સાદુંરૂપ આપતા,પરિણામ $1$ મળે છે.

(A) કાટકોણ ત્રિકોણ $ABC$ માં જ્યાં $\angle A = 90^{\circ}$ છે,અંતઃત્રિજ્યા $r = \frac{b+c-a}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પરિત્રિજ્યા $R = \frac{a}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$r+R = \frac{b+c-a}{2} + \frac{a}{2} = \frac{b+c}{2}$.
$2$ વડે ગુણતા,આપણને $2(r+R) = b+c$ મળે છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $r = \frac{\Delta}{s}$,$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{r_1-r}{a} + \frac{r_2-r}{b} + \frac{r_3-r}{c} = \frac{1}{a}\left(\frac{\Delta}{s-a} - \frac{\Delta}{s}\right) + \frac{1}{b}\left(\frac{\Delta}{s-b} - \frac{\Delta}{s}\right) + \frac{1}{c}\left(\frac{\Delta}{s-c} - \frac{\Delta}{s}\right)$
$= \frac{1}{a}\left(\frac{\Delta s - \Delta(s-a)}{s(s-a)}\right) + \frac{1}{b}\left(\frac{\Delta s - \Delta(s-b)}{s(s-b)}\right) + \frac{1}{c}\left(\frac{\Delta s - \Delta(s-c)}{s(s-c)}\right)$
$= \frac{1}{a}\left(\frac{\Delta a}{s(s-a)}\right) + \frac{1}{b}\left(\frac{\Delta b}{s(s-b)}\right) + \frac{1}{c}\left(\frac{\Delta c}{s(s-c)}\right)$
$= \frac{\Delta}{s(s-a)} + \frac{\Delta}{s(s-b)} + \frac{\Delta}{s(s-c)}$
$= \frac{r_1}{s} + \frac{r_2}{s} + \frac{r_3}{s} = \frac{r_1+r_2+r_3}{s}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec(\tan^{-1} x) = \sqrt{1+x^2}$. આપેલ સમીકરણો $ax + b\sqrt{1+x^2} = c$ અને $ay + b\sqrt{1+y^2} = c$ ને $b\sqrt{1+x^2} = c - ax$ અને $b\sqrt{1+y^2} = c - ay$ તરીકે લખી શકાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$b^2(1+x^2) = c^2 - 2acx + a^2x^2$ અને $b^2(1+y^2) = c^2 - 2acy + a^2y^2$ મળે.
આને ફરીથી ગોઠવતા,$(a^2-b^2)x^2 - 2acx + (c^2-b^2) = 0$ અને $(a^2-b^2)y^2 - 2acy + (c^2-b^2) = 0$ મળે.
આનો અર્થ એ છે કે $x$ અને $y$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $(a^2-b^2)t^2 - 2act + (c^2-b^2) = 0$ ના ભિન્ન બીજ છે.
બીજના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,બીજનો સરવાળો $x+y = \frac{2ac}{a^2-b^2}$ અને બીજનો ગુણાકાર $xy = \frac{c^2-b^2}{a^2-b^2}$ થાય.
હવે,$1-xy = 1 - \frac{c^2-b^2}{a^2-b^2} = \frac{a^2-b^2-c^2+b^2}{a^2-b^2} = \frac{a^2-c^2}{a^2-b^2}$.
તેથી,$\frac{x+y}{1-xy} = \frac{2ac / (a^2-b^2)}{(a^2-c^2) / (a^2-b^2)} = \frac{2ac}{a^2-c^2}$.

(D) આપણે વ્યસ્ત હાઇપરબોલિક વિધેયો માટેના નિત્યસમ જાણીએ છીએ:
$\tanh^{-1}(x) = \operatorname{sech}^{-1}\left(\sqrt{1-x^2}\right)$ અને $\coth^{-1}(x) = \operatorname{cosech}^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\right)$.
પ્રથમ પદ માટે: $\tanh^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \operatorname{sech}^{-1}\left(\sqrt{1-(\frac{1}{2})^2}\right) = \operatorname{sech}^{-1}\left(\sqrt{\frac{3}{4}}\right) = \operatorname{sech}^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
તેથી,$\operatorname{sech}^2\left(\tanh^{-1} \frac{1}{2}\right) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}$.
બીજા પદ માટે: $\coth^{-1}(3) = \operatorname{cosech}^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3^2-1}}\right) = \operatorname{cosech}^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{8}}\right)$.
તેથી,$\operatorname{cosech}^2\left(\coth^{-1} 3\right) = \left(\frac{1}{\sqrt{8}}\right)^{-2} = 8$.
બંને પદોનો સરવાળો કરતા: $\frac{3}{4} + 8 = \frac{3+32}{4} = \frac{35}{4}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $r^4+r^2+1 = (r^2-r+1)(r^2+r+1)$.
વળી,$r^2+r+1 - (r^2-r+1) = 2r$.
તેથી,સરવાળાની અંદરના પદને આ રીતે લખી શકાય:
$\tan ^{-1}\left(\frac{2r}{1+(r^4+r^2+1)}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{(r^2+r+1)-(r^2-r+1)}{1+(r^2+r+1)(r^2-r+1)}\right) = \tan ^{-1}(r^2+r+1) - \tan ^{-1}(r^2-r+1)$.
હવે,આ સરવાળો એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે:
$S_n = \sum_{r=1}^n \{\tan ^{-1}(r^2+r+1) - \tan ^{-1}(r^2-r+1)\}$
$S_n = (\tan ^{-1}(3) - \tan ^{-1}(1)) + (\tan ^{-1}(7) - \tan ^{-1}(3)) + \dots + (\tan ^{-1}(n^2+n+1) - \tan ^{-1}(n^2-n+1))$
$S_n = \tan ^{-1}(n^2+n+1) - \tan ^{-1}(1)$.
$n \rightarrow \infty$ લેતા:
$\lim _{n \rightarrow \infty} S_n = \lim _{n \rightarrow \infty} (\tan ^{-1}(n^2+n+1) - \frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.

(C) ધારો કે $a_{\infty} = \lim_{n \to \infty} a_n$.
તેથી $a_{\infty} = \sqrt{7 + a_{\infty}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$a_{\infty}^2 = 7 + a_{\infty}$,જેનો અર્થ છે કે $a_{\infty}^2 - a_{\infty} - 7 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$a_{\infty} = \frac{1 \pm \sqrt{29}}{2}$.
$a_n > 0$ હોવાથી,આપણે ધન ઉકેલ લઈએ છીએ: $a_{\infty} = \frac{1 + \sqrt{29}}{2} \approx 3.19$.
શ્રેણી $a_n$ વધતી જાય છે અને $a_{\infty}$ થી ઉપર મર્યાદિત છે,તેથી $a_n < a_{\infty} < 4$ તમામ $n \geq 1$ માટે સાચું છે.
આમ,$a_n < 4$ એ તમામ $n \geq 1$ માટે સાચું છે.

(A) આપેલ છે $f(x) = 5 \cos x + 3 \cos \left(x + \frac{\pi}{3}\right) + 8$.
$\cos(x + \frac{\pi}{3})$ નું વિસ્તરણ કરતા:
$f(x) = 5 \cos x + 3 \left[ \cos x \cdot \cos \frac{\pi}{3} - \sin x \cdot \sin \frac{\pi}{3} \right] + 8$
$f(x) = 5 \cos x + 3 \left[ \frac{1}{2} \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x \right] + 8$
$f(x) = \frac{13}{2} \cos x - \frac{3\sqrt{3}}{2} \sin x + 8$.
$A \cos x + B \sin x$ સ્વરૂપના વિધેયનો વિસ્તાર $[-\sqrt{A^2 + B^2}, \sqrt{A^2 + B^2}]$ છે.
અહીં,$A = \frac{13}{2}$ અને $B = -\frac{3\sqrt{3}}{2}$.
$\sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{\left(\frac{13}{2}\right)^2 + \left(-\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{169}{4} + \frac{27}{4}} = \sqrt{\frac{196}{4}} = 7$.
તેથી,$\frac{13}{2} \cos x - \frac{3\sqrt{3}}{2} \sin x$ નો વિસ્તાર $[-7, 7]$ છે.
$8$ ઉમેરતા,$f(x) \in [-7 + 8, 7 + 8]$,એટલે કે $[1, 15]$.
તેથી,મહત્તમ કિંમત $15$ અને ન્યૂનતમ કિંમત $1$ છે.

(B) આપેલ અસમતા $[x]^2 - 7[x] + 12 \leq 0$ છે.
ધારો કે $y = [x]$. તો અસમતા $y^2 - 7y + 12 \leq 0$ બને છે.
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા,આપણને $(y - 4)(y - 3) \leq 0$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $3 \leq y \leq 4$.
કારણ કે $y = [x]$,તેથી $3 \leq [x] \leq 4$.
આનો અર્થ એ છે કે $[x]$ કાં તો $3$ હોઈ શકે અથવા $4$.
જો $[x] = 3$ હોય,તો $3 \leq x < 4$.
જો $[x] = 4$ હોય,તો $4 \leq x < 5$.
આ બંને અંતરાલોને જોડતા,આપણને $3 \leq x < 5$ મળે છે.

(B) આપેલ વક્રો $x^2=4y$ $(i)$ અને $y^2=4x$ $(ii)$ છે.
છેદબિંદુ શોધવા માટે,$y = \frac{x^2}{4}$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$\left(\frac{x^2}{4}\right)^2 = 4x \implies \frac{x^4}{16} = 4x \implies x^4 = 64x \implies x(x^3 - 64) = 0$.
તેથી,$x=0$ અથવા $x=4$. $x=4$ માટે,$y = \frac{16}{4} = 4$. આમ,ઉગમબિંદુ સિવાયનું છેદબિંદુ $(4,4)$ છે.
હવે,$(i)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2x = 4 \frac{dy}{dx} \implies \frac{dy}{dx} = \frac{x}{2}$.
બિંદુ $(4,4)$ પર,ઢાળ $m_1 = \frac{4}{2} = 2$.
$(ii)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2y \frac{dy}{dx} = 4 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$.
બિંદુ $(4,4)$ પર,ઢાળ $m_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ દ્વારા મળે છે.
$\tan \theta = \left| \frac{2 - \frac{1}{2}}{1 + 2 \times \frac{1}{2}} \right| = \left| \frac{\frac{3}{2}}{2} \right| = \frac{3}{4}$.
તેથી,$\tan \theta = \frac{3}{4}$ હોવાથી,$\sin \theta = \frac{3}{5}$,એટલે કે $\theta = \sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$.

(C) આપેલ પરવલય $y^2 = 6x$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2y \frac{dy}{dx} = 6$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{3}{y}$.
આપેલ સ્પર્શક રેખા $5x - 2y + k = 0$ ને $y = \frac{5}{2}x + \frac{k}{2}$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખાનો ઢાળ $m = \frac{5}{2}$ છે.
સ્પર્શબિંદુ પર,પરવલયના સ્પર્શકનો ઢાળ રેખાના ઢાળ જેટલો હોવો જોઈએ: $\frac{3}{y} = \frac{5}{2}$.
$y$ માટે ઉકેલતા,આપણને $y = \frac{6}{5}$ મળે છે.
$y = \frac{6}{5}$ ને પરવલયના સમીકરણ $y^2 = 6x$ માં મૂકતા:
$(\frac{6}{5})^2 = 6x$
$\frac{36}{25} = 6x$
$x = \frac{36}{25 \times 6} = \frac{6}{25}$.
આમ,સ્પર્શબિંદુ $(\frac{6}{25}, \frac{6}{5})$ છે.

(C) આપેલ છે,$f(x) = (x - a)(x - b) - (\frac{a + b}{2})$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$f(x) = x^2 - (a + b)x + ab - (\frac{a + b}{2})$ મળે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^2 + Bx + C$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $-\frac{D}{4A}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $D = B^2 - 4AC$.
અહીં,$A = 1$,$B = -(a + b)$,અને $C = ab - \frac{a + b}{2}$.
$D = (-(a + b))^2 - 4(1)(ab - \frac{a + b}{2}) = (a + b)^2 - 4ab + 2(a + b) = (a - b)^2 + 2(a + b)$.
ન્યૂનતમ કિંમત $= -\frac{(a - b)^2 + 2(a + b)}{4}$.
બીજ અ-ઋણ હોવાથી,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = (a + b) \geq 0$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = ab - \frac{a + b}{2} \geq 0$ થાય.
વાસ્તવિક બીજ માટે $D \geq 0$,જે $(a - b)^2 + 2(a + b) \geq 0$ હોવાથી સંતોષાય છે.
અ-ઋણ બીજની શરત મુજબ,વિધેયની ન્યૂનતમ કિંમત $x = \frac{a + b}{2}$ પર મળે છે.
$x = \frac{a + b}{2}$ ને $f(x)$ માં મૂકતા:
$f(\frac{a + b}{2}) = (\frac{a + b}{2} - a)(\frac{a + b}{2} - b) - \frac{a + b}{2} = (\frac{b - a}{2})(\frac{a - b}{2}) - \frac{a + b}{2} = -\frac{(a - b)^2}{4} - \frac{a + b}{2}$.
આપેલ શરતો મુજબ,ન્યૂનતમ કિંમત $\geq -\frac{(a + b)^2}{4}$ થાય.

(A) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન:
$\frac{3x^2+1}{(x^2+1)(x^2+2)^2} = \frac{Ax+B}{x^2+1} + \frac{Cx+D}{x^2+2} + \frac{Ex+F}{(x^2+2)^2}$
બંને બાજુ છેદ $(x^2+1)(x^2+2)^2$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$3x^2+1 = (Ax+B)(x^2+2)^2 + (Cx+D)(x^2+1)(x^2+2) + (Ex+F)(x^2+1)$
અહીં $3x^2+1$ માં ફક્ત $x$ ની બેકી ઘાત છે,તેથી $x$ ની તમામ એકી ઘાત (જેમ કે $x^5, x^3, x^1$) ના સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(Ax+B)(x^4+4x^2+4) = Ax^5 + 4Ax^3 + 4Ax + Bx^4 + 4Bx^2 + 4B$
$(Cx+D)(x^4+3x^2+2) = Cx^5 + 3Cx^3 + 2Cx + Dx^4 + 3Dx^2 + 2D$
$(Ex+F)(x^2+1) = Ex^3 + Ex + Fx^2 + F$
$x^5$ ના સહગુણકો સરખાવતા:
$A + C = 0$
$x^3$ ના સહગુણકો સરખાવતા:
$4A + 3C + E = 0$
$A+C=0$ હોવાથી,$C = -A$ મળે. આ કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
$4A + 3(-A) + E = 0 \Rightarrow A + E = 0$
આમ,$A=0, C=0, E=0$.
તેથી,$A+C+E = 0+0+0 = 0$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\frac{x^4+24x^2+28}{(x^2+1)^3} = \frac{A}{x^2+1} + \frac{B}{(x^2+1)^2} + \frac{C}{(x^2+1)^3}$
બંને બાજુ $(x^2+1)^3$ વડે ગુણતા:
$x^4+24x^2+28 = A(x^2+1)^2 + B(x^2+1) + C$
ધારો કે $y = x^2+1$,તેથી $x^2 = y-1$. આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$(y-1)^2 + 24(y-1) + 28 = Ay^2 + By + C$
$y^2 - 2y + 1 + 24y - 24 + 28 = Ay^2 + By + C$
$y^2 + 22y + 5 = Ay^2 + By + C$
$y^2$,$y$ અને અચળ પદના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$A = 1$
$B = 22$
$C = 5$
આપણે $A+C$ શોધવાનું છે:
$A+C = 1 + 5 = 6$

(C) આપેલ છે,$\frac{x^3}{(2x - 1)(x - 1)^2} = A + \frac{B}{2x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{D}{(x - 1)^2}$.
બહુપદી ભાગાકાર કરતા,$\frac{x^3}{2x^3 - 5x^2 + 4x - 1} = \frac{1}{2} + \frac{5x^2 - 4x + 1}{2(2x - 1)(x - 1)^2}$.
અહીં $A = \frac{1}{2}$ મળે છે.
હવે,$\frac{5x^2 - 4x + 1}{2(2x - 1)(x - 1)^2} = \frac{B}{2x - 1} + \frac{C}{x - 1} + \frac{D}{(x - 1)^2}$ લેતા.
$x = 1$ મુકતા,$D = 1$ મળે છે.
$x = \frac{1}{2}$ મુકતા,$B = \frac{1}{2}$ મળે છે.
$x^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$C = 1$ મળે છે.
તેથી,$2A - 3B + 4C + 5D = 2(\frac{1}{2}) - 3(\frac{1}{2}) + 4(1) + 5(1) = 1 - 1.5 + 9 = 8.5 = \frac{17}{2}$.

(C) ધારો કે બિંદુ $P(-9, 12, -15)$ એ $A(1, -2, 3)$ અને $B(-4, 5, -6)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $\lambda : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$-9 = \frac{-4\lambda + 1}{\lambda + 1} \implies -9\lambda - 9 = -4\lambda + 1 \implies -5\lambda = 10 \implies \lambda = -2$.
આમ,બિંદુ $P$ એ $AB$ નું $2 : 1$ ગુણોત્તરમાં બાહ્ય વિભાજન કરે છે.
$AB$ ના સંદર્ભમાં $P$ નો હાર્મોનિક કોન્જુગેટ એ બિંદુ $Q$ છે જે $AB$ નું $2 : 1$ ગુણોત્તરમાં અંતઃ વિભાજન કરે છે.
અંતઃ વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$Q = \left(\frac{2(-4) + 1(1)}{2+1}, \frac{2(5) + 1(-2)}{2+1}, \frac{2(-6) + 1(3)}{2+1}\right)$
$Q = \left(\frac{-8 + 1}{3}, \frac{10 - 2}{3}, \frac{-12 + 3}{3}\right)$
$Q = \left(-\frac{7}{3}, \frac{8}{3}, -3\right)$.

(D) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$,અને $C(x_3, y_3, z_3)$ છે.
બાજુઓ $AB, BC, CA$ ના મધ્યબિંદુઓ $D(1, 5, -1)$,$E(0, 4, -2)$,અને $F(2, 3, 4)$ આપેલા છે.
મધ્યબિંદુના સૂત્ર મુજબ:
$AB$ માટે: $\frac{x_1+x_2}{2} = 1, \frac{y_1+y_2}{2} = 5, \frac{z_1+z_2}{2} = -1 \Rightarrow x_1+x_2 = 2, y_1+y_2 = 10, z_1+z_2 = -2$.
$BC$ માટે: $\frac{x_2+x_3}{2} = 0, \frac{y_2+y_3}{2} = 4, \frac{z_2+z_3}{2} = -2 \Rightarrow x_2+x_3 = 0, y_2+y_3 = 8, z_2+z_3 = -4$.
$CA$ માટે: $\frac{x_3+x_1}{2} = 2, \frac{y_3+y_1}{2} = 3, \frac{z_3+z_1}{2} = 4 \Rightarrow x_3+x_1 = 4, y_3+y_1 = 6, z_3+z_1 = 8$.
આ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$2(x_1+x_2+x_3) = 2+0+4 = 6 \Rightarrow x_1+x_2+x_3 = 3$.
$2(y_1+y_2+y_3) = 10+8+6 = 24 \Rightarrow y_1+y_2+y_3 = 12$.
$2(z_1+z_2+z_3) = -2-4+8 = 2 \Rightarrow z_1+z_2+z_3 = 1$.
હવે,$C(x_3, y_3, z_3)$ શોધવા માટે,$AB$ ના સમીકરણોને સરવાળામાંથી બાદ કરતા:
$x_3 = (x_1+x_2+x_3) - (x_1+x_2) = 3 - 2 = 1$.
$y_3 = (y_1+y_2+y_3) - (y_1+y_2) = 12 - 10 = 2$.
$z_3 = (z_1+z_2+z_3) - (z_1+z_2) = 1 - (-2) = 3$.
તેથી,$C = (1, 2, 3)$.
$C$ માંથી $AB$ પરની મધ્યગા એ રેખાખંડ $CD$ છે,જ્યાં $D$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ $D(1, 5, -1)$ છે.
લંબાઈ $CD = \sqrt{(1-1)^2 + (5-2)^2 + (-1-3)^2} = \sqrt{0^2 + 3^2 + (-4)^2} = \sqrt{0 + 9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

(B) પાસાને ત્રણ વાર ફેંકતા કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6^3 = 216$ છે.
આપણે $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ગણમાંથી એવી ત્રણ અલગ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની છે જે ચડતા ક્રમમાં હોય.
$6$ માંથી $3$ અલગ સંખ્યાઓની પસંદગીને માત્ર એક જ રીતે ચડતા ક્રમમાં ગોઠવી શકાય છે.
$6$ માંથી $3$ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો $^6C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ છે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $20$ છે.
જરૂરી સંભાવના $\frac{20}{216} = \frac{5}{54}$ છે.

(C) $1$ થી $39$ સુધીના પૂર્ણાંકોના ગણમાંથી બે અલગ સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{39}C_2$ છે.
${}^{39}C_2 = \frac{39 \times 38}{2} = 741$.
આપણે એવી જોડી $(a, b)$ શોધવાની છે કે જે $7a - 9b = 0$ નું સમાધાન કરે,જેનો અર્થ છે $7a = 9b$.
$7$ અને $9$ પરસ્પર અવિભાજ્ય હોવાથી,$a$ એ $9$ નો ગુણક હોવો જોઈએ અને $b$ એ $7$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
$1 \le a, b \le 39$ હોવાથી,શક્ય જોડીઓ $(a, b)$ નીચે મુજબ છે:
$(9, 7), (18, 14), (27, 21), (36, 28)$.
આવી $4$ સાનુકૂળ જોડીઓ છે.
તેથી,સંભાવના $\frac{4}{741}$ છે.

(B) $0, 1, 2, 3, 4, 6$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તન વગર બનતી ચાર અંકની કુલ સંખ્યાઓ: પ્રથમ અંક $0$ ન હોઈ શકે,તેથી $5$ વિકલ્પો છે. બાકીના ત્રણ સ્થાનો $5 \times 4 \times 3 = 60$ રીતે ભરી શકાય. કુલ સંખ્યાઓ $= 5 \times 60 = 300$.
જો છેલ્લા બે અંકોથી બનતી સંખ્યા $4$ વડે વિભાજ્ય હોય,તો તે સંખ્યા $4$ વડે વિભાજ્ય છે. શક્ય જોડીઓ: $\{04, 12, 16, 20, 24, 32, 36, 40, 60, 64\}$.
કિસ્સો $1$: $0$ ધરાવતી જોડીઓ $(\{04, 20, 40, 60\})$: $4$ જોડીઓ છે. બાકીના $2$ સ્થાનો $4 \times 3 = 12$ રીતે ભરી શકાય. કુલ $= 4 \times 12 = 48$.
કિસ્સો $2$: $0$ ન ધરાવતી જોડીઓ $(\{12, 16, 24, 32, 36, 64\})$: $6$ જોડીઓ છે. પ્રથમ અંક $0$ કે વપરાયેલા અંકો ન હોઈ શકે,તેથી $3 \times 3 = 9$ રીતે ભરી શકાય. કુલ $= 6 \times 9 = 54$.
સાનુકૂળ પરિણામો $= 48 + 54 = 102$.
સંભાવના $= \frac{102}{300} = \frac{17}{50}$.

(A) આપણે $A$ કે $B$ પૈકી કોઈ પણ ઘટના ન બને તેની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(\bar{A} \cap \bar{B})$ છે.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$.
સંભાવનાના સરવાળાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$P(A \cup B) = 0.58 + 0.32 - 0.28 = 0.62$.
તેથી,$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - 0.62 = 0.38$.

(D) ધારો કે $i$ નંબર મળવાની સંભાવના $P(i)$ છે.
$P(i) \propto i$ હોવાથી,$P(i) = Ki$ થાય,જ્યાં $K$ અચળાંક છે.
બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ:
$\sum_{i=1}^{6} P(i) = K(1+2+3+4+5+6) = 21K = 1$.
તેથી,$K = \frac{1}{21}$.
એકી સંખ્યા મળવાની સંભાવના $P(1) + P(3) + P(5)$ છે.
$= K(1 + 3 + 5) = 9K$.
$= 9 \times \frac{1}{21} = \frac{9}{21} = \frac{3}{7}$.

(B) ધારો કે $P(A) = \frac{1}{2}$,$P(B) = \frac{1}{3}$,અને $P(C) = \frac{1}{4}$ એ વિદ્યાર્થીઓ $A, B$,અને $C$ દ્વારા સમસ્યા ઉકેલવાની સંભાવનાઓ છે.
તેથી,તેમના દ્વારા સમસ્યા ન ઉકેલાય તેની સંભાવનાઓ $P(\bar{A}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$,$P(\bar{B}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$,અને $P(\bar{C}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ છે.
સમસ્યા તેમનામાંથી બરાબર એક દ્વારા ઉકેલાય તેની સંભાવના નીચે મુજબ છે:
$P(\text{બરાબર એક}) = P(A)P(\bar{B})P(\bar{C}) + P(\bar{A})P(B)P(\bar{C}) + P(\bar{A})P(\bar{B})P(C)$
$= (\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4}) + (\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{3}{4}) + (\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{4})$
$= \frac{6}{24} + \frac{3}{24} + \frac{2}{24} = \frac{11}{24}$.

(A) $52$ પત્તામાંથી $4$ પત્તા પસંદ કરવાના કુલ પ્રકારો $^{52}C_4$ છે.
બે પત્તા એક જ પ્રકારના અને બાકીના બે પત્તા અલગ-અલગ પ્રકારના મળે તે માટે:
$1$. $4$ પ્રકારમાંથી $1$ પ્રકાર પસંદ કરો: $^4C_1$.
$2$. તે પ્રકારના $13$ પત્તામાંથી $2$ પત્તા પસંદ કરો: $^{13}C_2$.
$3$. બાકીના $3$ પ્રકારમાંથી $2$ પ્રકાર પસંદ કરો: $^3C_2$.
$4$. આ પસંદ કરેલા $2$ પ્રકારમાંથી દરેકમાંથી $1$ પત્તું પસંદ કરો: $^{13}C_1 \times ^{13}C_1$.
આવશ્યક સંભાવના = $\frac{^4C_1 \times ^{13}C_2 \times ^3C_2 \times ^{13}C_1 \times ^{13}C_1}{^{52}C_4}$
$= \frac{4 \times 78 \times 3 \times 13 \times 13}{270725} = \frac{72 \times 169}{425 \times 49}$.

(A) ઘનને $8$ શિરોબિંદુઓ હોય છે. $8$ માંથી $3$ શિરોબિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^8C_3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણ ત્યારે બને છે જ્યારે $3$ શિરોબિંદુઓ એવી રીતે પસંદ કરવામાં આવે કે જેથી કોઈપણ બે વચ્ચેનું અંતર ઘનના ફલકના વિકર્ણની લંબાઈ જેટલું હોય.
ઘનના દરેક ફલકને $2$ વિકર્ણ હોય છે અને કુલ $6$ ફલક હોય છે,પરંતુ દરેક વિકર્ણ $2$ ફલક દ્વારા વહેંચાયેલું હોય છે. કુલ ફલક વિકર્ણોની સંખ્યા $12$ છે.
જો કે,સમબાજુ ત્રિકોણ $3$ શિરોબિંદુઓ પસંદ કરીને બને છે જેથી દરેક જોડી ફલક વિકર્ણ દ્વારા જોડાયેલ હોય. ઘનમાં આવા બરાબર $8$ ત્રિકોણ હોય છે.
તેથી,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $8$ છે.
સંભાવના $\frac{8}{56} = \frac{1}{7}$ છે.

(B) ધારો કે આપેલ સમીકરણ $f(x) = x^4-2ax^3+4bx^2+8ax+16=0$ ના બીજ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ છે.
નવા સમીકરણના બીજ $p\alpha_1, p\alpha_2, p\alpha_3, p\alpha_4$ છે.
તેથી,નવું સમીકરણ $f(\frac{x}{p}) = 0$ થશે.
$\frac{x}{p}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(\frac{x}{p})^4 - 2a(\frac{x}{p})^3 + 4b(\frac{x}{p})^2 + 8a(\frac{x}{p}) + 16 = 0$
$p^4$ વડે ગુણતા:
$x^4 - 2apx^3 + 4bp^2x^2 + 8ap^3x + 16p^4 = 0$
આ એક વ્યસ્ત સમીકરણ હોવાથી,$x^4$ નો સહગુણક અચળ પદ જેટલો હોવો જોઈએ:
$1 = 16p^4$
$p^4 = \frac{1}{16}$
$p^2 = \frac{1}{4} \implies |p| = \frac{1}{2}$

(A) ધારો કે ત્રણ વિભાગો $S_1, S_2, S_3$ છે,જેમાં દરેકના $4$ પ્રશ્નો છે. ઉમેદવારે $5$ પ્રશ્નો પસંદ કરવાના છે જેથી દરેક વિભાગમાંથી ઓછામાં ઓછો એક પ્રશ્ન આવે. શક્ય વિતરણો $(1, 1, 3)$ અથવા $(1, 2, 2)$ છે.
કિસ્સો $1$: વિતરણ $(1, 1, 3)$.
વિભાગો પસંદ કરવાની રીતો $= \frac{3!}{2!} = 3$.
પ્રશ્નો પસંદ કરવાની રીતો $= ^4C_1 \times ^4C_1 \times ^4C_3 = 4 \times 4 \times 4 = 64$.
કુલ રીતો $= 3 \times 64 = 192$.
કિસ્સો $2$: વિતરણ $(1, 2, 2)$.
વિભાગો પસંદ કરવાની રીતો $= \frac{3!}{2!} = 3$.
પ્રશ્નો પસંદ કરવાની રીતો $= ^4C_1 \times ^4C_2 \times ^4C_2 = 4 \times 6 \times 6 = 144$.
કુલ રીતો $= 3 \times 144 = 432$.
કુલ રીતો $= 192 + 432 = 624$.

(B) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2+8x-4y+c=0$ માટે,તેનું કેન્દ્ર $C_1 = (-4, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 - c} = \sqrt{20-c}$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2+2x+4y-11=0$ માટે,તેનું કેન્દ્ર $C_2 = (-1, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 - (-11)} = \sqrt{1+4+11} = 4$ છે.
વર્તુળો બહારથી સ્પર્શતા હોવાથી,$C_1C_2 = r_1 + r_2$.
$C_1C_2 = \sqrt{(-4 - (-1))^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = 5$.
તેથી,$5 = \sqrt{20-c} + 4$,જેનો અર્થ છે કે $\sqrt{20-c} = 1$,તેથી $20-c = 1$,એટલે કે $c = 19$.
હવે,વર્તુળ $x^2+y^2+8x-4y+19=0$ એ $x^2+y^2-6x+8y+k=0$ ને લંબછેદી રીતે કાપે છે.
લંબછેદી હોવાની શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ છે.
અહીં,$g_1 = 4, f_1 = -2, c_1 = 19$ અને $g_2 = -3, f_2 = 4, c_2 = k$.
$2(4)(-3) + 2(-2)(4) = 19 + k$.
$-24 - 16 = 19 + k$.
$-40 = 19 + k$.
$k = -59$.