જો બિંદુ $P$ માંથી ત્રણ વર્તુળો $x^2+y^2-4=0$,$x^2+y^2-2x+3y=0$ અને $x^2+y^2+7y-18=0$ પર દોરેલા સ્પર્શકોની લંબાઈ સમાન હોય,તો $P$ ના યામ શોધો.

વર્તુળ $x^2 + y^2 = a^2$ ના સંદર્ભમાં જે વર્તુળ બિંદુ $(2a, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને જેની રેડિકલ અક્ષ $x = \frac{a}{2}$ છે,તેનું સમીકરણ શોધો.

જો વર્તુળો $x^2+y^2-4x-6y+k=0$ અને $x^2+y^2+8x-4y+11=0$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.

વર્તુળો $x^2+y^2+2ax+c=0$ અને $x^2+y^2+2by+c=0$ એકબીજાને બહારથી સ્પર્શે છે,જો

ધારો કે $C_1$ એ ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્ર ધરાવતું $1$ ત્રિજ્યાનું વર્તુળ છે. ધારો કે $C_2$ એ $A=(4,1)$ બિંદુ પર કેન્દ્ર ધરાવતું $r$ ત્રિજ્યાનું વર્તુળ છે,જ્યાં $1 < r < 3$. $C_1$ અને $C_2$ ના બે ભિન્ન સામાન્ય સ્પર્શકો $PQ$ અને $ST$ દોરવામાં આવ્યા છે. સ્પર્શક $PQ$ એ $C_1$ ને $P$ પર અને $C_2$ ને $Q$ પર સ્પર્શે છે. સ્પર્શક $ST$ એ $C_1$ ને $S$ પર અને $C_2$ ને $T$ પર સ્પર્શે છે. રેખાખંડ $PQ$ અને $ST$ ના મધ્યબિંદુઓને જોડતી રેખા $x$-અક્ષને $B$ બિંદુમાં મળે છે. જો $AB=\sqrt{5}$ હોય,તો $r^2$ ની કિંમત શોધો.

એક કોએક્સિયલ સિસ્ટમના ત્રણ વર્તુળો પર એક નિશ્ચિત બિંદુથી દોરેલા સ્પર્શકોની લંબાઈ $t_1, t_2, t_3$ છે. જો $P, Q$ અને $R$ એ આ વર્તુળોના કેન્દ્રો હોય,તો $QRt_1^2 + RPt_2^2 + PQt_3^2$ ની કિંમત કેટલી થાય?