AP EAMCET 2018 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) ધારો કે ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
ધારો કે $LL^{\prime}$ એ નાભિલંબ છે,તો $L$ ના યામ $(ae, \frac{b^2}{a})$ થાય.
કારણ કે $LL^{\prime}$ કેન્દ્ર $C(0,0)$ આગળ કાટખૂણો $(\pi/2)$ આંતરે છે,તેથી $\angle LCS = \pi/4$ થાય.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle LCS$ માં,$\tan(\angle LCS) = \frac{LS}{CS}$ થાય.
$\tan(\frac{\pi}{4}) = \frac{b^2/a}{ae}$
$1 = \frac{b^2}{a^2e}$
$a^2e = b^2$
કારણ કે $b^2 = a^2(1 - e^2)$,તેથી $a^2e = a^2(1 - e^2)$ મળે.
$e = 1 - e^2$
$e^2 + e - 1 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$e = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ મળે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e > 0$ હોવાથી,$e = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ થાય.

(C) ધારો કે ઉપવલયના નાભિઓના યામ $S(ae, 0)$ અને $S^{\prime}(-ae, 0)$ છે. ગૌણ અક્ષના અંત્યબિંદુ $B$ ના યામ $(0, b)$ છે.
$\triangle SBS^{\prime}$ એ $B$ પાસે કાટકોણ ત્રિકોણ હોવાથી,$SB^2 + S^{\prime}B^2 = (SS^{\prime})^2$ થાય.
અંતર $SB = \sqrt{(ae-0)^2 + (0-b)^2} = \sqrt{a^2e^2 + b^2}$.
તે જ રીતે,$S^{\prime}B = \sqrt{(-ae-0)^2 + (0-b)^2} = \sqrt{a^2e^2 + b^2}$.
વળી,$SS^{\prime} = 2ae$.
પાયથાગોરસના પ્રમેયમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$(a^2e^2 + b^2) + (a^2e^2 + b^2) = (2ae)^2$
$2(a^2e^2 + b^2) = 4a^2e^2$
$a^2e^2 + b^2 = 2a^2e^2$
$b^2 = a^2e^2$
$\frac{b^2}{a^2} = e^2$
આપણે જાણીએ છીએ કે ઉપવલય માટે $b^2 = a^2(1 - e^2)$,તેથી $\frac{b^2}{a^2} = 1 - e^2$.
$\frac{b^2}{a^2}$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$e^2 = 1 - e^2$
$2e^2 = 1$
$e^2 = \frac{1}{2}$
$e = \frac{1}{\sqrt{2}}$

(D) મુખ્ય અક્ષ $Y$-અક્ષ પર હોવાથી,ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $b > a$.
આપેલ ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{\frac{2}{5}}$,તેથી $e^2 = 1 - \frac{a^2}{b^2} = \frac{2}{5}$.
$\frac{a^2}{b^2} = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5} \implies b^2 = \frac{5a^2}{3}$.
ઉપવલય $(-3, 1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{(-3)^2}{a^2} + \frac{1^2}{b^2} = 1$.
$\frac{9}{a^2} + \frac{1}{b^2} = 1$.
$b^2 = \frac{5a^2}{3}$ મૂકતા,$\frac{9}{a^2} + \frac{3}{5a^2} = 1$.
$\frac{45 + 3}{5a^2} = 1 \implies 5a^2 = 48 \implies a^2 = \frac{48}{5}$.
તેથી $b^2 = \frac{5}{3} \times \frac{48}{5} = 16$.
સમીકરણ $\frac{x^2}{48/5} + \frac{y^2}{16} = 1$ છે.
$\frac{5x^2}{48} + \frac{y^2}{16} = 1 \implies 5x^2 + 3y^2 = 48$.

(B) ઉપવલય $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{27}=1$ માટે,$a^2=36$ અને $b^2=27$ છે. નાભિઓ $(\pm ae, 0)$ છે.
$e^2 = 1 - \frac{27}{36} = \frac{1}{4}$ હોવાથી,$e = \frac{1}{2}$ મળે.
તેથી નાભિઓ $(\pm 3, 0)$ છે.
ઉપવલયનો એક જાણીતો ગુણધર્મ છે કે નાભિઓમાંથી કોઈપણ સ્પર્શક પર દોરેલા લંબ અંતરોનો ગુણાકાર હંમેશા અર્ધ-ગૌણ અક્ષના વર્ગ $(b^2)$ જેટલો હોય છે.
અહીં,$b^2 = 27$ છે.
આમ,નાભિઓ $(3,0)$ અને $(-3,0)$ થી સ્પર્શક પરના લંબ અંતરોનો ગુણાકાર $27$ થાય.

(A) ઉપવલયનું સમીકરણ $x^2 + 4y^2 = 4$ છે,જેને $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{1} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2 = 4$ અને $b^2 = 1$,તેથી $a = 2$ અને $b = 1$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
ઉત્કેન્દ્રિય ખૂણા $\alpha$ અને $\beta$ વાળી નાભિસ્થ જીવાના અંત્યબિંદુઓના યામ $(a \cos \alpha, b \sin \alpha)$ અને $(a \cos \beta, b \sin \beta)$ છે.
જીવા $\alpha$ અને $\beta$ ને જોડતી રેખા નાભિસ્થ જીવા હોય તેની શરત $\cos \frac{\alpha-\beta}{2} = e \cos \frac{\alpha+\beta}{2}$ છે.
$e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ મૂકતા,આપણને $\cos \frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \frac{\alpha+\beta}{2}$ મળે છે.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,$2 \cos \frac{\alpha-\beta}{2} = \sqrt{3} \cos \frac{\alpha+\beta}{2}$ મળે.
આમ,$\sqrt{3} \cos \frac{\alpha+\beta}{2} = 2 \cos \frac{\alpha-\beta}{2}$.

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $9x^2 + 16y^2 = 144$ છે,જેને $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2 = 16$ અને $b^2 = 9$.
$m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{16m^2 + 9}$ છે.
સ્પર્શક $(2, 3)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,$3 = 2m \pm \sqrt{16m^2 + 9}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(3 - 2m)^2 = 16m^2 + 9$.
$9 - 12m + 4m^2 = 16m^2 + 9$.
$12m^2 + 12m = 0$,તેથી $m = 0$ અથવા $m = -1$.
$m = 0$ માટે,સ્પર્શક $y = 3$ છે.
$m = -1$ માટે,સ્પર્શક $x + y = 5$ છે.

(D) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $4x^2 + 9y^2 = 36$ છે. $36$ વડે ભાગતા,$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ મળે.
અહીં $a^2 = 9$ અને $b^2 = 4$ છે,તેથી $a = 3$ અને $b = 2$.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
બીજા ચરણમાં નાભિલંબનું અંત્યબિંદુ $P(-\sqrt{5}, \frac{4}{3})$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{xx_1}{a^2} + \frac{yy_1}{b^2} = 1$ મુજબ:
$\frac{x(-\sqrt{5})}{9} + \frac{y(4/3)}{4} = 1$.
$\Rightarrow -\frac{\sqrt{5}x}{9} + \frac{y}{3} = 1$.
$-9$ વડે ગુણતા: $\sqrt{5}x - 3y + 9 = 0$ મળે.

(B) ઉપવલયનું સમીકરણ $16 x^2 + 11 y^2 = 256$ છે. બિંદુ $\left(4 \cos 2 \theta, \frac{16}{\sqrt{11}} \sin 2 \theta\right)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $4 x \cos 2 \theta + y \sqrt{11} \sin 2 \theta = 16$ મળે છે. વર્તુળ $x^2 + y^2 - 2 x - 15 = 0$ નું કેન્દ્ર $(1, 0)$ અને ત્રિજ્યા $4$ છે. કેન્દ્રથી સ્પર્શકનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા જેટલું હોવાથી,$\frac{|4 \cos 2 \theta - 16|}{\sqrt{16 \cos^2 2 \theta + 11 \sin^2 2 \theta}} = 4$. સાદું રૂપ આપતા $4 \cos^2 2 \theta + 8 \cos 2 \theta - 5 = 0$ મળે છે. તેથી $\cos 2 \theta = \frac{1}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $2 \theta = \pm \frac{\pi}{3}$ અથવા $\theta = \pm \frac{\pi}{6}$.

(D) ઉપવલય $3x^2+4y^2=19$ પરના બિંદુ $(1,2)$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $3x(1) + 4y(2) = 19$ છે,જે $3x + 8y = 19$ થાય છે.
આને $x = \frac{19-8y}{3}$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખા પરવલય $y^2 = kx$ નો પણ સ્પર્શક હોવાથી,આપણે $x$ ની કિંમત પરવલયના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$y^2 = k \left( \frac{19-8y}{3} \right)$
$3y^2 = 19k - 8ky$
$3y^2 + 8ky - 19k = 0$.
રેખા સ્પર્શક હોવાથી,$y$ માંના દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ સમાન હોવા જોઈએ,એટલે કે તેનો વિવેચક $D = 0$ થાય.
$D = (8k)^2 - 4(3)(-19k) = 0$
$64k^2 + 228k = 0$
$4k(16k + 57) = 0$.
અહીં $k \neq 0$ હોવાથી,$16k + 57 = 0$,તેથી $k = \frac{-57}{16}$.

(C) ધારો કે બિંદુ $P = \left(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{b}{\sqrt{2}}\right)$ છે. ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ માટે $P$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x}{a\sqrt{2}} + \frac{y}{b\sqrt{2}} = 1$ છે. $y=0$ લેતા $X$-અંત:ખંડ $M = (a\sqrt{2}, 0)$ મળે છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = -\frac{b}{a}$ છે. અભિલંબનો ઢાળ $m_n = \frac{a}{b}$ છે. $P$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $y - \frac{b}{\sqrt{2}} = \frac{a}{b} \left(x - \frac{a}{\sqrt{2}}\right)$ છે. $y=0$ લેતા $X$-અંત:ખંડ $N = \left(\frac{a^2-b^2}{a\sqrt{2}}, 0\right)$ મળે છે.
ત્રિકોણનો પાયો $MN = |a\sqrt{2} - \frac{a^2-b^2}{a\sqrt{2}}| = \frac{a^2+b^2}{a\sqrt{2}}$.
ત્રિકોણની ઊંચાઈ $P$ નો $y$-યામ એટલે કે $\frac{b}{\sqrt{2}}$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times \frac{a^2+b^2}{a\sqrt{2}} \times \frac{b}{\sqrt{2}} = \frac{b(a^2+b^2)}{4a}$.

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $4x^2 + 9y^2 = 36$ છે.
$36$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ મળે છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = 9$ અને $b^2 = 4$ મળે છે.
ઉપવલયના લંબ સ્પર્શકોના છેદબિંદુનો બિંદુપથ એ તેના નિયામક વર્તુળ (director circle) તરીકે ઓળખાય છે.
ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે નિયામક વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = a^2 + b^2$ છે.
$a^2$ અને $b^2$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને $x^2 + y^2 = 9 + 4$ મળે છે.
તેથી,જરૂરી વક્ર $x^2 + y^2 = 13$ છે.

(B) ધારો કે અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e_1$ અને તેના અનુબદ્ધ અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e_2$ છે.
તેથી,તેમની વચ્ચેનો સંબંધ $\frac{1}{e_1^2} + \frac{1}{e_2^2} = 1$ છે.
આપેલ છે કે $e_1 = \frac{5}{3}$,આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{1}{(\frac{5}{3})^2} + \frac{1}{e_2^2} = 1$
$\Rightarrow \frac{9}{25} + \frac{1}{e_2^2} = 1$
$\Rightarrow \frac{1}{e_2^2} = 1 - \frac{9}{25}$
$\Rightarrow \frac{1}{e_2^2} = \frac{16}{25}$
$\Rightarrow e_2^2 = \frac{25}{16}$
ઉત્કેન્દ્રતા હંમેશા $1$ કરતા મોટી હોવાથી,આપણે ધન વર્ગમૂળ લઈશું:
$e_2 = \frac{5}{4}$.

(C) આપેલ અતિવલયનું સમીકરણ $9 b^2 x^2 - 4 a^2 y^2 = 36 a^2 b^2$ છે,જેને $\frac{x^2}{4 a^2} - \frac{y^2}{9 b^2} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે સ્પર્શબિંદુ $(x_0, y_0) = (2 a \sec \theta, 3 b \tan \theta)$ છે.
$(x_0, y_0)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x x_0}{4 a^2} - \frac{y y_0}{9 b^2} = 1$ થાય.
બિંદુ મૂકતા,$\frac{x (2 a \sec \theta)}{4 a^2} - \frac{y (3 b \tan \theta)}{9 b^2} = 1$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x \sec \theta}{2 a} - \frac{y \tan \theta}{3 b} = 1$ થાય.
અક્ષો પરના અંતઃખંડો $x = 2 a \cos \theta$ અને $y = -3 b \cot \theta$ છે.
અંતઃખંડો એકમ લંબાઈના હોવાથી,$|2 a \cos \theta| = 1$ અને $|-3 b \cot \theta| = 1$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{1}{2 a}$ અને $\cot \theta = -\frac{1}{3 b}$.
નિત્યસમ $\csc^2 \theta - \cot^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{\cos^2 \theta} - \frac{1}{\cot^2 \theta} = 1$ મળે.
કિંમતો મુકતા,$(2 a)^2 - (-3 b)^2 = 1$,જે $4 a^2 - 9 b^2 = 1$ આપે છે.
તેથી,બિંદુ $(a, b)$ નો બિંદુપથ $4 x^2 - 9 y^2 = 1$ છે.

(B) ધારો કે અભિલંબ જીવાના અંત્યબિંદુઓ $P(a \sec \theta_1, b \tan \theta_1)$ અને $Q(a \sec \theta_2, b \tan \theta_2)$ છે.
$P$ પરના સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x \sec \theta_1}{a} - \frac{y \tan \theta_1}{b} = 1$ છે.
સ્પર્શકોના છેદબિંદુ $(h, k)$ માટે,બિંદુપથ $\frac{a^4}{x^2} - \frac{b^4}{y^2} = (a^2 + b^2)^2$ મળે છે.

(B) અનંતસ્પર્શકોની જોડીનું સમીકરણ રેખાઓના ગુણાકાર દ્વારા મળે છે: $(3x+4y-2)(2x+y+1)=0$.
અતિવલયનું સમીકરણ તેના અનંતસ્પર્શકોના સમીકરણથી માત્ર એક અચળાંક $\lambda$ દ્વારા અલગ પડે છે,તેથી આપણે લખી શકીએ: $(3x+4y-2)(2x+y+1)=\lambda$.
અતિવલય $(1,1)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=1$ અને $y=1$ મુકતા: $(3(1)+4(1)-2)(2(1)+1+1)=\lambda$.
$(5)(4)=\lambda$,જે $\lambda=20$ આપે છે.
$\lambda=20$ ને સમીકરણમાં મુકતા: $(3x+4y-2)(2x+y+1)=20$.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $6x^2+3xy+3x+8xy+4y^2+4y-4x-2y-2=20$.
સાદું રૂપ આપતા: $6x^2+11xy+4y^2-x+2y-2=20$.
આમ,સમીકરણ $6x^2+11xy+4y^2-x+2y-22=0$ છે.

(B) આપેલ અતિવલય $16x^2 - 25y^2 = 400$ છે,જેને $\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{16} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2 = 25$ અને $b^2 = 16$,તેથી $a = 5$ અને $b = 4$.
અનંતસ્પર્શકોના સમીકરણો $y = \pm \frac{b}{a}x$,એટલે કે $4x - 5y = 0$ અને $4x + 5y = 0$ છે.
ધારો કે $P(x_1, y_1)$ એ અતિવલય પરનું કોઈપણ બિંદુ છે,તેથી $16x_1^2 - 25y_1^2 = 400$.
$P$ થી અનંતસ્પર્શકો પરના લંબની લંબાઈ $d_1 = \frac{|4x_1 - 5y_1|}{\sqrt{41}}$ અને $d_2 = \frac{|4x_1 + 5y_1|}{\sqrt{41}}$ છે.
ગુણાકાર $p = d_1 d_2 = \frac{|16x_1^2 - 25y_1^2|}{41} = \frac{400}{41}$.
અનંતસ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \frac{\theta}{2} = \frac{b}{a} = \frac{4}{5}$ છે.
તેથી,$p \tan \frac{\theta}{2} = \frac{400}{41} \times \frac{4}{5} = \frac{320}{41}$.

(B) અતિવલયનું સમીકરણ $14 x^2+38 x y+20 y^2+x-7 y-91=0$ છે.
અતિવલયના અનંતસ્પર્શકો અતિવલયના સમીકરણથી એક અચળાંક જેટલા અલગ પડે છે.
ધારો કે અનંતસ્પર્શકો $(7 x+5 y+c_1)(2 x+4 y+c_2) = 14 x^2+38 x y+20 y^2+x-7 y+k = 0$ છે.
ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા: $14 x^2+28 x y+7 x c_2+10 x y+20 y^2+5 y c_2+2 x c_1+4 y c_1+c_1 c_2 = 14 x^2+38 x y+20 y^2+x(7 c_2+2 c_1)+y(5 c_2+4 c_1)+c_1 c_2$.
આપેલ અતિવલયના સમીકરણ સાથે સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$7 c_2+2 c_1 = 1$
$5 c_2+4 c_1 = -7$
આપેલ છે કે એક અનંતસ્પર્શક $7 x+5 y-3=0$ છે,તેથી $c_1 = -3$.
પ્રથમ સમીકરણમાં $c_1 = -3$ મૂકતા: $7 c_2 + 2(-3) = 1$ $\Rightarrow 7 c_2 - 6 = 1$ $\Rightarrow 7 c_2 = 7$ $\Rightarrow c_2 = 1$.
આમ,બીજો અનંતસ્પર્શક $2 x+4 y+1=0$ છે.

(C) આપેલ લક્ષ: $L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{1+\cos 2 x}{\cot 3 x\left(3^{\sin 2 x}-1\right)}$
$1+\cos 2x = 2\cos^2 x$ અને $\cot 3x = \frac{\cos 3x}{\sin 3x}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{2 \cos ^2 x \sin 3x}{\cos 3 x \left(3^{\sin 2 x}-1\right)}$
ધારો કે $x = \frac{\pi}{2} + h$,જેમ $x \rightarrow \frac{\pi}{2}$,તેમ $h \rightarrow 0$. તેથી $\cos x = -\sin h$,$\cos 3x = \sin 3h$,$\sin 3x = -\cos 3h$,અને $\sin 2x = -\sin 2h$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$L = \lim _{h \rightarrow 0} \frac{2 \sin ^2 h (-\cos 3h)}{\sin 3h (3^{-\sin 2h} - 1)} = \lim _{h \rightarrow 0} \frac{2 \sin ^2 h (-\cos 3h)}{\sin 3h (1 - 3^{-\sin 2h})}$
$\lim_{u \rightarrow 0} \frac{a^u - 1}{u} = \ln a$ અને $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin h}{h} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L = \frac{1}{3 \ln 3}$.

(B) ધારો કે પદાવલિ $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left[6^2(1^2+2^2+\ldots+n^2)\right]^2}{[5(1+2+\ldots+n)]\left[2^3(1^3+2^3+\ldots+n^3)\right]}$ છે.
સરવાળાના સૂત્રો $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$,$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$,અને $\sum_{k=1}^n k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$ નો ઉપયોગ કરતા:
અંશ $= 36^2 \left[\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right]^2 = 1296 \frac{n^2(n+1)^2(2n+1)^2}{36} = 36 n^2(n+1)^2(2n+1)^2$.
છેદ $= 5 \left[\frac{n(n+1)}{2}\right] \times 8 \left[\frac{n^2(n+1)^2}{4}\right] = 5 \times \frac{n(n+1)}{2} \times 2n^2(n+1)^2 = 5 n^3(n+1)^3$.
$L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{36 n^2(n+1)^2(2n+1)^2}{5 n^3(n+1)^3} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{36 n^2(n+1)^2(4n^2)}{5 n^3(n+1)^3} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{144 n^6}{5 n^6} = \frac{144}{5}$.

(B) આપણે લક્ષની કિંમત શોધવાની છે: $L = \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{4^x - 1}{2^x - 1} - \frac{\sqrt{4 + 3x} - 2}{x} \right)$.
પ્રથમ,પ્રથમ પદ ધ્યાનમાં લો: $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{4^x - 1}{2^x - 1} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(2^x - 1)(2^x + 1)}{2^x - 1} = \lim_{x \rightarrow 0} (2^x + 1) = 2^0 + 1 = 1 + 1 = 2$.
ત્યારબાદ,બીજું પદ ધ્યાનમાં લો: $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{4 + 3x} - 2}{x}$.
અંશનું સંમેયીકરણ કરતા: $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(\sqrt{4 + 3x} - 2)(\sqrt{4 + 3x} + 2)}{x(\sqrt{4 + 3x} + 2)} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{4 + 3x - 4}{x(\sqrt{4 + 3x} + 2)} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{3x}{x(\sqrt{4 + 3x} + 2)} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{3}{\sqrt{4 + 3x} + 2} = \frac{3}{\sqrt{4} + 2} = \frac{3}{2 + 2} = \frac{3}{4}$.
બંને પરિણામોની બાદબાકી કરતા: $2 - \frac{3}{4} = \frac{8 - 3}{4} = \frac{5}{4}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $[r^2 x] = r^2 x - \{r^2 x\}$,જ્યાં $\{r^2 x\}$ એ $r^2 x$ નો અપૂર્ણાંક ભાગ છે.
આને લક્ષમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^3} \sum_{r=1}^n [r^2 x] = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^3} \sum_{r=1}^n (r^2 x - \{r^2 x\})$
$= \lim_{n \rightarrow \infty} \left( \frac{x}{n^3} \sum_{r=1}^n r^2 - \frac{1}{n^3} \sum_{r=1}^n \{r^2 x\} \right)$
સૂત્ર $\sum_{r=1}^n r^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$= \lim_{n \rightarrow \infty} \left( \frac{x \cdot n(n+1)(2n+1)}{6n^3} - \frac{1}{n^3} \sum_{r=1}^n \{r^2 x\} \right)$
કારણ કે $0 \leq \{r^2 x\} < 1$,બીજું પદ $\frac{1}{n^3} \sum_{r=1}^n \{r^2 x\}$ એ $\frac{n}{n^3} = \frac{1}{n^2}$ દ્વારા સીમિત છે,જે $n \rightarrow \infty$ થાય ત્યારે $0$ ને અભિસરણ પામે છે.
આમ,લક્ષ $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{x(2n^3 + 3n^2 + n)}{6n^3} = \frac{2x}{6} = \frac{x}{3}$ છે.

(B) ધારો કે $L = \cos \left[ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2 \pi |x| + \pi x}{|x| - 3x} + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos \left( \frac{\pi}{2} \cos^2 x \right)}{x^2} \right]$.
પ્રથમ લક્ષ માટે,જેમ $x \rightarrow \infty$,$|x| = x$. તેથી,$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2 \pi x + \pi x}{x - 3x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{3 \pi x}{-2x} = -\frac{3 \pi}{2}$.
બીજા લક્ષ માટે,$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos \left( \frac{\pi}{2} \cos^2 x \right)}{x^2} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos \left( \frac{\pi}{2} (1 - \sin^2 x) \right)}{x^2} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} \sin^2 x \right)}{x^2}$.
$\cos \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin \left( \frac{\pi}{2} \sin^2 x \right)}{x^2}$ મળે છે.
નાના $\theta$ માટે $\sin \theta \approx \theta$ હોવાથી,આ $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{\pi}{2} \sin^2 x}{x^2} = \frac{\pi}{2} \times (1)^2 = \frac{\pi}{2}$ બને છે.
આ કિંમતોને ફરીથી પદાવલિમાં મૂકતા: $L = \cos \left( -\frac{3 \pi}{2} + \frac{\pi}{2} \right) = \cos(-\pi) = -1$.

(D) આપેલ લક્ષ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x \sin x}-\sqrt{\cos x}}{\tan ^2 2 x}$ છે,જે $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપમાં છે.
અંશનું સંમેયીકરણ કરતા:
$= \lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{(\sqrt{1+x \sin x}-\sqrt{\cos x})(\sqrt{1+x \sin x}+\sqrt{\cos x})}{\tan ^2 2 x (\sqrt{1+x \sin x}+\sqrt{\cos x})}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1+x \sin x-\cos x}{\tan ^2 2 x} \cdot \frac{1}{\sqrt{1+x \sin x}+\sqrt{\cos x}} $
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1-\cos x)+x \sin x}{\tan ^2 2 x} \cdot \frac{1}{2} $
નિત્યસમ $1-\cos x = 2 \sin ^2 \frac{x}{2}$ અને $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{2 \sin ^2 \frac{x}{2} + 2x \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{\tan ^2 2 x} \cdot \frac{1}{2}$
$= \lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{2 \sin ^2 \frac{x}{2} [1 + \frac{x \cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}]}{\tan ^2 2 x} \cdot \frac{1}{2}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin ^2 \frac{x}{2} [1 + \frac{x}{\tan \frac{x}{2}}]}{\tan ^2 2 x} \cdot \frac{1}{2} $
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 (\frac{x}{2})^2 [1 + 2 \cdot \frac{x/2}{\tan (x/2)}]}{(2x)^2} \cdot \frac{1}{2} $
$= \lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{2 \cdot \frac{x^2}{4} [1+2]}{4x^2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1/2 \cdot 3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{16}$.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2+bx+c=0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે,તેથી $ax^2+bx+c = a(x-\alpha)(x-\beta)$ લખી શકાય.
આપણે લક્ષ $L = \lim_{x \rightarrow \alpha} \frac{1-\cos(a(x-\alpha)(x-\beta))}{(x-\alpha)^2}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
નિત્યસમ $1-\cos(\theta) = 2\sin^2(\frac{\theta}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L = \lim_{x \rightarrow \alpha} \frac{2\sin^2(\frac{a(x-\alpha)(x-\beta)}{2})}{(x-\alpha)^2}$.
$(\frac{a(x-\beta)}{2})^2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$L = \lim_{x}$ ${\rightarrow \alpha} 2 \left[ \frac{\sin(\frac{a(x-\alpha)(x-\beta)}{2})}{\frac{a(x-\alpha)(x-\beta)}{2}} \right]^2 \cdot \frac{a^2(x-\alpha)^2(x-\beta)^2}{4(x-\alpha)^2}$.
કારણ કે $\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin(\theta)}{\theta} = 1$,તેથી:
$L = 2 \cdot 1^2 \cdot \frac{a^2(\alpha-\beta)^2}{4} = \frac{a^2(\alpha-\beta)^2}{2}$.

(B) ધારો કે $P = \lim _{n}$ ${\rightarrow \infty} n^{-n k} \left\{(n+1)\left(n+\frac{1}{2}\right)\left(n+\frac{1}{2^2}\right) \ldots\left(n+\frac{1}{2^{k-1}}\right)\right\}^n$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\log P = \lim _{n \rightarrow \infty} n \left[ \sum_{j=0}^{k-1} \log \left(1 + \frac{1}{2^j n}\right) \right]$.
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\log(1+ax)}{x} = a$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\log P = \sum_{j=0}^{k-1} \lim _{n}$ ${\rightarrow \infty} \frac{\log \left(1 + \frac{1}{2^j n}\right)}{1/n} = \sum_{j=0}^{k-1} \frac{1}{2^j}$.
આ $k$ પદો ધરાવતી સમગુણોત્તર શ્રેણી છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a=1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r=1/2$ છે:
$\sum_{j=0}^{k-1} \left(\frac{1}{2}\right)^j = \frac{1(1-(1/2)^k)}{1-1/2} = 2 \left(1 - \frac{1}{2^k}\right)$.
તેથી,$P = e^{2 \left(1 - \frac{1}{2^k}\right)}$.

(A) આપેલ છે: $n_1 = 8$,$\bar{x}_1 = 25$,$\sigma_1 = 5$.
વસ્તુઓનો સરવાળો: $\Sigma x_i = n_1 \times \bar{x}_1 = 8 \times 25 = 200$.
વિચરણ: $\sigma_1^2 = \frac{\Sigma x_i^2}{n_1} - (\bar{x}_1)^2 = 25$.
$\frac{\Sigma x_i^2}{8} - 625 = 25 \Rightarrow \Sigma x_i^2 = 8 \times 650 = 5200$.
નવો ડેટા સેટ: $n_2 = 8 + 2 = 10$.
નવો સરવાળો: $\Sigma x_{new} = 200 + 15 + 25 = 240$.
નવો મધ્યક: $\bar{x}_2 = \frac{240}{10} = 24$.
વર્ગોનો નવો સરવાળો: $\Sigma x_{new}^2 = 5200 + 15^2 + 25^2 = 5200 + 225 + 625 = 6050$.
નવું વિચરણ: $\sigma_2^2 = \frac{\Sigma x_{new}^2}{n_2} - (\bar{x}_2)^2 = \frac{6050}{10} - (24)^2 = 605 - 576 = 29$.

(C) સૌ પ્રથમ,$x_i$ ને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવો અને સંચયી આવૃત્તિની ગણતરી કરો:

$x_i$	$f_i$	સંચયી આવૃત્તિ	$|x_i - M|$	$f_i |x_i - M|$
$3$	$3$	$3$	$10$	$30$
$6$	$4$	$7$	$7$	$28$
$9$	$5$	$12$	$4$	$20$
$12$	$2$	$14$	$1$	$2$
$13$	$4$	$18$	$0$	$0$
$15$	$5$	$23$	$2$	$10$
$21$	$4$	$27$	$8$	$32$
$22$	$3$	$30$	$9$	$27$

અહીં,$N = \Sigma f_i = 30$.
મધ્યસ્થ એ $\frac{N}{2} = 15$ થી તરત મોટી સંચયી આવૃત્તિને અનુરૂપ કિંમત છે.
સંચયી આવૃત્તિ $18$ એ $x_i = 13$ ને અનુરૂપ છે. તેથી,મધ્યસ્થ $(M) = 13$.
સરવાળો $\Sigma f_i |x_i - 13| = 30 + 28 + 20 + 2 + 0 + 10 + 32 + 27 = 149$.
મધ્યસ્થથી સરેરાશ વિચલન $= \frac{\Sigma f_i |x_i - M|}{N} = \frac{149}{30} \approx 4.97$.

(B) ધારો કે મૂળ માહિતી $x_i = \{6, 7, 8, 9, 10, 11\}$ છે અને તેનું વિચરણ $\sigma^2$ છે.
નવી માહિતી $y_i = \{12, 14, 16, 18, 20, 22\}$ છે,જેને $y_i = 2x_i$ તરીકે લખી શકાય.
વિચરણના ગુણધર્મ મુજબ,જો દરેક અવલોકનને અચળાંક $k$ વડે ગુણવામાં આવે,તો નવું વિચરણ $k^2 \times \text{મૂળ વિચરણ}$ થાય છે.
અહીં,$k = 2$ છે,તેથી નવું વિચરણ $2^2 \times \sigma^2 = 4 \sigma^2$ થાય.

(C) આપેલ છે,$n=9$ માટે,$\bar{x} = 13$ અને $\sigma = 5$.
$\sum_{i=1}^9 x_i = 9 \times 13 = 117$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2 \Rightarrow 25 = \frac{\sum x_i^2}{9} - 169$.
$\sum x_i^2 = 9(25 + 169) = 9(194) = 1746$.
હવે,નવું અવલોકન $x_{10} = 3$ ઉમેરવામાં આવે છે.
નવો સરવાળો $\sum_{i=1}^{10} x_i = 117 + 3 = 120$.
નવો મધ્યક $\bar{x}' = \frac{120}{10} = 12$.
વર્ગોનો નવો સરવાળો $\sum_{i=1}^{10} x_i^2 = 1746 + (3)^2 = 1746 + 9 = 1755$.
નવું વિચરણ $\sigma'^2 = \frac{\sum x_i^2}{10} - (\bar{x}')^2 = \frac{1755}{10} - (12)^2 = 175.5 - 144 = 31.5$.

(B) વિચરણ શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ મધ્ય-અંતરાલ કિંમતો $(x)$ અને આવૃત્તિ $(f)$ ની ગણતરી કરીએ છીએ:

ગુણ	$x$	$f$	$f \cdot x$	$f \cdot x^2$
$1-3$	$2$	$40$	$80$	$160$
$3-5$	$4$	$30$	$120$	$480$
$5-7$	$6$	$20$	$120$	$720$
$7-9$	$8$	$10$	$80$	$640$
કુલ		$100$	$400$	$2000$

મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum f \cdot x}{\sum f} = \frac{400}{100} = 4$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum f \cdot x^2}{\sum f} - (\bar{x})^2$.
$\sigma^2 = \frac{2000}{100} - (4)^2 = 20 - 16 = 4$.

(D) વિદ્યાર્થી $A$ માટે: ગુણ $30, 20, 40$ છે.
મધ્યક $\bar{x}_A = \frac{30+20+40}{3} = \frac{90}{3} = 30$.
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma_A = \sqrt{\frac{(30-30)^2 + (20-30)^2 + (40-30)^2}{3}} = \sqrt{\frac{0 + 100 + 100}{3}} = \sqrt{\frac{200}{3}} = 10 \sqrt{\frac{2}{3}}$.
વિચલન ગુણાંક $(CV)_A = \frac{\sigma_A}{\bar{x}_A} \times 100 = \frac{10 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \times 30} \times 100 = \frac{\sqrt{2}}{3 \sqrt{3}} \times 100$.
વિદ્યાર્થી $B$ માટે: ગુણ $70, 0, 5$ છે.
મધ્યક $\bar{x}_B = \frac{70+0+5}{3} = \frac{75}{3} = 25$.
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma_B = \sqrt{\frac{(70-25)^2 + (0-25)^2 + (5-25)^2}{3}} = \sqrt{\frac{45^2 + (-25)^2 + (-20)^2}{3}} = \sqrt{\frac{2025 + 625 + 400}{3}} = \sqrt{\frac{3050}{3}} = 5 \sqrt{\frac{122}{3}}$.
વિચલન ગુણાંક $(CV)_B = \frac{\sigma_B}{\bar{x}_B} \times 100 = \frac{5 \sqrt{122}}{\sqrt{3} \times 25} \times 100 = \frac{\sqrt{122}}{5 \sqrt{3}} \times 100$.
ગુણોત્તર $\frac{(CV)_A}{(CV)_B} = \frac{\sqrt{2}}{3 \sqrt{3}} \div \frac{\sqrt{122}}{5 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{3 \sqrt{3}} \times \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{122}} = \frac{5 \sqrt{2}}{3 \sqrt{2} \sqrt{61}} = \frac{5}{3 \sqrt{61}}$.
આમ,ગુણોત્તર $5 : 3 \sqrt{61}$ છે.

(C) આપેલ સ્કોર્સ $505, 510, 515, \ldots, 595$ છે. આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં $a = 505$,$d = 5$,અને $n = 19$ પદો છે.
મધ્યક $\bar{X} = \frac{505 + 595}{2} = 550$.
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{X})^2}$.
ધારો કે $x_i = 550 + 5k$,જ્યાં $k$ ની કિંમત $-9$ થી $9$ સુધી છે.
તેથી $(x_i - \bar{X})^2 = (5k)^2 = 25k^2$.
$\sum (x_i - \bar{X})^2 = 25 \sum_{k=-9}^{9} k^2 = 25 \times 2 \times \sum_{k=1}^{9} k^2$.
સૂત્ર $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sum_{k=1}^{9} k^2 = \frac{9(10)(19)}{6} = 285$.
તેથી,$\sum (x_i - \bar{X})^2 = 50 \times 285 = 14250$.
$\sigma = \sqrt{\frac{14250}{19}} = \sqrt{750} = \sqrt{25 \times 30} = 5 \sqrt{30}$.

(C) ધારો કે પ્રથમ વિતરણ $X$ છે જેના મૂલ્યો $x_i$ અને આવૃત્તિઓ $f_i$ છે. વિચરણ $\sigma_X^2 = 45.8$ આપેલ છે.
બીજા વિતરણ $Y$ ના મૂલ્યો $y_i$ છે જ્યાં $y_i = 2x_i + 2$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે જો $Y = aX + b$ હોય,તો વિચરણ $\sigma_Y^2 = a^2 \sigma_X^2$ થાય.
અહીં,$y_i = 2x_i + 2$ હોવાથી,$a = 2$ છે.
તેથી,$\sigma_Y^2 = 2^2 \times \sigma_X^2 = 4 \times 45.8$.
$\sigma_Y^2 = 183.2$.

(C) ધારો કે પાંચ અવલોકનો $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ છે. આપેલ છે કે $x_1=1, x_2=3, x_3=4$. બાકીના બે $a$ અને $b$ ધારો.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{1+3+4+a+b}{5} = 4 \implies 8+a+b = 20 \implies a+b = 12$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2 = 4$.
$\frac{1^2+3^2+4^2+a^2+b^2}{5} - 16 = 4 \implies \frac{26+a^2+b^2}{5} = 20$.
$26+a^2+b^2 = 100 \implies a^2+b^2 = 74$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(a+b)^2 = a^2+b^2+2ab$.
$12^2 = 74+2ab \implies 144 = 74+2ab$.
$2ab = 70 \implies ab = 35$.

(C) પ્રથમ,મધ્યક $(\bar{x})$ ની ગણતરી કરો:
$\sum f_i = 8 + 48 + 56 + 32 + 16 = 160$
$\sum f_i x_i = (5 \times 8) + (15 \times 48) + (25 \times 56) + (35 \times 32) + (45 \times 16) = 40 + 720 + 1400 + 1120 + 720 = 4000$
$\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{4000}{160} = 25$
હવે,મધ્યક વિશે સરેરાશ વિચલન ($M$.$D$.$(\bar{x})$) ની ગણતરી કરો:
$M$.$D$.$(\bar{x})$ = $\frac{\sum f_i |x_i - \bar{x}|}{\sum f_i}$
$|x_i - 25|$ ની કિંમતો: $|5-25|=20, |15-25|=10, |25-25|=0, |35-25|=10, |45-25|=20$
$\sum f_i |x_i - \bar{x}| = (8 \times 20) + (48 \times 10) + (56 \times 0) + (32 \times 10) + (16 \times 20) = 160 + 480 + 0 + 320 + 320 = 1280$
$M$.$D$.$(\bar{x})$ = $\frac{1280}{160} = 8$

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રમાણિત વિચલન $(S.D.)$ નું સૂત્ર છે:
$S.D. = \sqrt{\frac{\sum(x_i - \mu)^2}{N}}$
જ્યાં $\mu$ એ મધ્યક છે અને $N$ એ પદોની સંખ્યા છે.
પ્રથમ,મધ્યક $(\mu)$ ની ગણતરી કરો:
$\mu = \frac{22 + 26 + 28 + 20 + 24 + 30}{6} = \frac{150}{6} = 25$
હવે,વિચલનોના વર્ગોની ગણતરી કરો:

$x_i$	$(x_i - \mu)^2$
$22$	$(22 - 25)^2 = 9$
$26$	$(26 - 25)^2 = 1$
$28$	$(28 - 25)^2 = 9$
$20$	$(20 - 25)^2 = 25$
$24$	$(24 - 25)^2 = 1$
$30$	$(30 - 25)^2 = 25$

વિચલનોના વર્ગોનો સરવાળો: $\sum(x_i - \mu)^2 = 9 + 1 + 9 + 25 + 1 + 25 = 70$
પ્રમાણિત વિચલન: $S.D. = \sqrt{\frac{70}{6}} = \sqrt{11.666...} \approx 3.4156 \approx 3.42$

(D) વિદ્યાર્થી $A$ માટે: ગુણ $30, 20, 40$ છે.
મધ્યક $\bar{x}_A = \frac{30+20+40}{3} = 30$.
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma_A = \sqrt{\frac{200}{3}}$.
વિચલન ગુણાંક $CV_A = \frac{\sigma_A}{\bar{x}_A}$.
વિદ્યાર્થી $B$ માટે: ગુણ $70, 0, 5$ છે.
મધ્યક $\bar{x}_B = \frac{75}{3} = 25$.
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma_B = \sqrt{\frac{3050}{3}}$.
વિચલન ગુણાંક $CV_B = \frac{\sigma_B}{\bar{x}_B}$.
ગુણોત્તર $\frac{CV_A}{CV_B} = \frac{\sigma_A}{\sigma_B} \times \frac{\bar{x}_B}{\bar{x}_A} = \sqrt{\frac{200}{3050}} \times \frac{25}{30} = \frac{5}{3 \sqrt{61}}$.

(B) સૌ પ્રથમ,આપણે વિતરણનો મધ્યક $(\bar{X})$ શોધીએ:

$C$.$I$.	$f_i$	મધ્ય કિંમત $(x_i)$	$f_i x_i$
$75$-$175$	$3$	$125$	$375$
$175$-$275$	$2$	$225$	$450$
$275$-$375$	$1$	$325$	$325$
$375$-$475$	$0$	$425$	$0$
$475$-$575$	$1$	$525$	$525$
$575$-$675$	$2$	$625$	$1250$
$675$-$775$	$3$	$725$	$2175$
કુલ	$\sum f_i = 12$	-	$\sum f_i x_i = 5100$

મધ્યક $\bar{X} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{5100}{12} = 425$ છે.
આપેલ વિચરણ $\sigma^2 = 60000$ હોવાથી,પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{60000} = 100 \sqrt{6}$ થાય.
વિચલનાંક $(CV)$ નું સૂત્ર: $CV = \frac{\sigma}{\bar{X}} \times 100$.
$CV = \frac{100 \sqrt{6}}{425} \times 100 = \frac{400 \sqrt{6}}{17}$.

(C) ધારો કે $AM$ એ $\triangle ABC$ ની $A$ શિરોબિંદુમાંથી પસાર થતી મધ્યગા છે. આપેલ છે કે $AM \perp AC$,તેથી $\angle MAC = 90^{\circ}$.
$AM$ મધ્યગા હોવાથી,$M$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $BM = MC$.
$\triangle AMC$ માં,$\angle MAC = 90^{\circ}$,તેથી $\tan C = \frac{AM}{AC}$,જેનો અર્થ છે કે $AM = AC \tan C$.
ત્રિકોણના ગુણધર્મો અને લંબતાનો ઉપયોગ કરતા,તે સાબિત કરી શકાય છે કે $\tan A = -2 \tan C$.
તેથી,$\frac{\tan A}{\tan C} = -2$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan \frac{A}{2} = \frac{\Delta}{s(s-a)}$ અને $\tan \frac{B}{2} = \frac{\Delta}{s(s-b)}$.
તેમનો સરવાળો કરતા,$\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2} = \frac{\Delta}{s} \left( \frac{1}{s-a} + \frac{1}{s-b} \right) = \frac{c \Delta}{s(s-a)(s-b)}$.
$\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{\Delta}{(s-a)(s-b)} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}} = \cot \frac{C}{2}$.
તેથી,$\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2} = \frac{c}{s} \cot \frac{C}{2} = \frac{2c \cot \frac{C}{2}}{a+b+c}$.

(D) ધારો કે $s$ એ $\triangle ABC$ ની અર્ધ-પરિમિતિ છે. શિરોબિંદુઓથી અંતઃવૃત્ત પરના સ્પર્શકોની લંબાઈ $\alpha = s-a, \beta = s-b, \gamma = s-c$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેમનો સરવાળો કરતા,$\alpha+\beta+\gamma = 3s - (a+b+c) = 3s - 2s = s$ મળે છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $S$ હેરોનના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{s \alpha \beta \gamma}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $S = rs$,જ્યાં $r$ એ અંતઃત્રિજ્યા છે.
તેથી,$r^2 s^2 = s \alpha \beta \gamma$,જેનું સાદું રૂપ $r^2 s = \alpha \beta \gamma$ થાય છે.
$s = \alpha+\beta+\gamma$ મૂકતા,આપણને $r^2 = \frac{\alpha \beta \gamma}{\alpha+\beta+\gamma}$ મળે છે.

(C) આપેલ છે $a=2, b=\sqrt{6}, c=\sqrt{3}+1$.
કોસાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$.
કોસાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
હવે,$\sin^2 C - \sin^2 A = \cos^2 A - \cos^2 C = (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 - (\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{2} - \frac{4-2\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

(C) આપેલ છે $a=2, b=\sqrt{6}, c=\sqrt{3}+1$.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = \frac{2^2 + (\sqrt{6})^2 - (\sqrt{3}+1)^2}{2(2)(\sqrt{6})} = \frac{4+6-(3+1+2\sqrt{3})}{4\sqrt{6}} = \frac{6-2\sqrt{3}}{4\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{4\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$.
તેથી $\sin^2 C = 1 - \cos^2 C = 1 - \left(\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}\right)^2 = 1 - \frac{3+1-2\sqrt{3}}{8} = 1 - \frac{4-2\sqrt{3}}{8} = 1 - \frac{2-\sqrt{3}}{4} = \frac{4-2+\sqrt{3}}{4} = \frac{2+\sqrt{3}}{4}$.
$A$ માટે કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{6 + (\sqrt{3}+1)^2 - 2^2}{2(\sqrt{6})(\sqrt{3}+1)} = \frac{6 + 4 + 2\sqrt{3} - 4}{2\sqrt{6}(\sqrt{3}+1)} = \frac{6+2\sqrt{3}}{2\sqrt{6}(\sqrt{3}+1)} = \frac{2\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{2\sqrt{6}(\sqrt{3}+1)} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી $\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\sin^2 C - \sin^2 A = \frac{2+\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{2} = \frac{2+\sqrt{3}-2}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

(D) પ્રક્ષેપણ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $a = b \cos C + c \cos B$,$b = c \cos A + a \cos C$,અને $c = a \cos B + b \cos A$.
આપણે $a^3 \cos(B-C) = a^2 \cdot a \cos(B-C)$ લખી શકીએ.
$a = 2R \sin A = 2R \sin(180^\circ - (B+C)) = 2R \sin(B+C)$ હોવાથી,આપણને મળે:
$a^3 \cos(B-C) = a^2 \cdot 2R \sin(B+C) \cos(B-C) = a^2 R [\sin(2B) + \sin(2C)] = a^2 R [2 \sin B \cos B + 2 \sin C \cos C]$.
$b = 2R \sin B$ અને $c = 2R \sin C$ નો ઉપયોગ કરતા,આ થાય છે:
$a^3 \cos(B-C) = a^2 (b \cos B + c \cos C) = a^2 b \cos B + a^2 c \cos C \quad \dots (i)$.
તે જ રીતે,
$b^3 \cos(C-A) = b^2 c \cos C + b^2 a \cos A \quad \dots (ii)$
$c^3 \cos(A-B) = c^2 a \cos A + c^2 b \cos B \quad \dots (iii)$
$(i), (ii),$ અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા:
સરવાળો $= (a^2 b \cos B + b^2 a \cos A) + (b^2 c \cos C + c^2 b \cos B) + (c^2 a \cos A + a^2 c \cos C)$
$= ab(a \cos B + b \cos A) + bc(b \cos C + c \cos B) + ca(c \cos A + a \cos C)$
$= ab(c) + bc(a) + ca(b) = abc + abc + abc = 3abc$.

(D) પ્રક્ષેપણ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $a = b \cos C + c \cos B$,$b = c \cos A + a \cos C$,અને $c = a \cos B + b \cos A$. \\
તેમજ,સાઈન નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$. \\
પદ $a^3 \cos (B-C)$ ને ધ્યાનમાં લો. $\cos (B-C) = \frac{\sin 2B + \sin 2C}{2 \sin (B+C)} = \frac{\sin 2B + \sin 2C}{2 \sin A}$ નો ઉપયોગ કરતા. \\
$a = 2R \sin A$ મૂકતા,આપણને મળે છે $a^3 \cos (B-C) = a^2 (b \cos B + c \cos C)$. \\
તે જ રીતે,$b^3 \cos (C-A) = b^2 (c \cos C + a \cos A)$ અને $c^3 \cos (A-B) = c^2 (a \cos A + b \cos B)$. \\
આ બધાનો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે $ab(c) + bc(a) + ca(b) = 3abc$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot \frac{A}{2} = \frac{s(s-a)}{\Delta}$,જ્યાં $s = \frac{a+b+c}{2}$ અને $\Delta$ એ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ છે.
આમ,$\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2} + \cot \frac{C}{2} = \frac{s(s-a) + s(s-b) + s(s-c)}{\Delta} = \frac{s(3s - (a+b+c))}{\Delta} = \frac{s(3s - 2s)}{\Delta} = \frac{s^2}{\Delta} = \frac{(a+b+c)^2}{4\Delta}$.
વળી,$\cot A + \cot B + \cot C = \frac{a^2+b^2+c^2}{4\Delta}$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}$ થાય.
$a=3, b=4, c=6$ મૂકતા:
ગુણોત્તર $= \frac{(3+4+6)^2}{3^2+4^2+6^2} = \frac{13^2}{9+16+36} = \frac{169}{61}$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $a \cos^2 \frac{C}{2} + c \cos^2 \frac{A}{2} = \frac{3b}{2}$
અડધા ખૂણાના સૂત્રો $\cos^2 \frac{C}{2} = \frac{s(s-c)}{ab}$ અને $\cos^2 \frac{A}{2} = \frac{s(s-a)}{bc}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a \left( \frac{s(s-c)}{ab} \right) + c \left( \frac{s(s-a)}{bc} \right) = \frac{3b}{2}$
$\frac{s(s-c)}{b} + \frac{s(s-a)}{b} = \frac{3b}{2}$
$\frac{s}{b} (s - c + s - a) = \frac{3b}{2}$
$2s = a + b + c$ હોવાથી,$2s - a - c = b$ મળે:
$\frac{s}{b} (b) = \frac{3b}{2} \Rightarrow s = \frac{3b}{2}$
$\frac{a + b + c}{2} = \frac{3b}{2} \Rightarrow a + b + c = 3b$
$a + c = 2b$

(D) ધારો કે $\frac{s-a}{4} = \frac{s-b}{5} = \frac{s-c}{6} = k$.
તેથી $s-a = 4k$,$s-b = 5k$,અને $s-c = 6k$.
આનો સરવાળો કરતા $3s - (a+b+c) = 15k$ મળે. $a+b+c = 2s$ હોવાથી,$3s - 2s = 15k$,એટલે કે $s = 15k$.
તેથી $a = s - 4k = 11k$,$b = s - 5k = 10k$,અને $c = s - 6k = 9k$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2\left(\frac{A}{2}\right) = \frac{(s-b)(s-c)}{bc}$.
તેથી,$\sum \sin^2\left(\frac{A}{2}\right) = \frac{(s-b)(s-c)}{bc} + \frac{(s-c)(s-a)}{ca} + \frac{(s-a)(s-b)}{ab}$.
કિંમતો મૂકતા:
$= \frac{(5k)(6k)}{(10k)(9k)} + \frac{(6k)(4k)}{(9k)(11k)} + \frac{(4k)(5k)}{(11k)(10k)} = \frac{30}{90} + \frac{24}{99} + \frac{20}{110} = \frac{1}{3} + \frac{8}{33} + \frac{2}{11}$.
$= \frac{11 + 8 + 6}{33} = \frac{25}{33}$.

(A) આપેલ છે કે,$\frac{s-a}{11}=\frac{s-b}{12}=\frac{s-c}{13}=k$.
$s-a=11k$,$s-b=12k$,$s-c=13k$.
આનો સરવાળો કરતા,$3s-(a+b+c) = 36k$.
$a+b+c=2s$ હોવાથી,$3s-2s=36k$,તેથી $s=36k$.
સૂત્ર $\tan^2\left(\frac{A}{2}\right) = \frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}$ અને $\tan^2\left(\frac{C}{2}\right) = \frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}$ નો ઉપયોગ કરતા,
$\tan^2\left(\frac{A}{2}\right)+\tan^2\left(\frac{C}{2}\right) = \frac{(12k)(13k)}{(36k)(11k)} + \frac{(11k)(12k)}{(36k)(13k)}$.
$= \frac{12 \times 13}{36 \times 11} + \frac{11 \times 12}{36 \times 13} = \frac{1}{3} \left( \frac{13}{11} + \frac{11}{13} \right)$.
$= \frac{1}{3} \left( \frac{169+121}{143} \right) = \frac{1}{3} \times \frac{290}{143} = \frac{290}{429}$.

(C) $\triangle ABC$ માં,$A+B+C = \pi$,તેથી $\frac{A+B}{2} = \frac{\pi-C}{2}$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$(a-b)^2 \sin^2\left(\frac{\pi-C}{2}\right) + (a+b)^2 \sin^2\left(\frac{C}{2}\right)$
$= (a-b)^2 \cos^2\left(\frac{C}{2}\right) + (a+b)^2 \sin^2\left(\frac{C}{2}\right)$
$= (a^2+b^2-2ab) \cos^2\left(\frac{C}{2}\right) + (a^2+b^2+2ab) \sin^2\left(\frac{C}{2}\right)$
$= (a^2+b^2) \left(\cos^2\frac{C}{2} + \sin^2\frac{C}{2}\right) - 2ab \left(\cos^2\frac{C}{2} - \sin^2\frac{C}{2}\right)$
$= (a^2+b^2)(1) - 2ab \cos C$
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$:
$= a^2+b^2 - 2ab \left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)$
$= a^2+b^2 - (a^2+b^2-c^2) = c^2$.

(C) ધારો કે ઘટનાઓ નીચે મુજબ છે:
$E_1$: મશીન $A$ દ્વારા ઉત્પાદન
$E_2$: મશીન $B$ દ્વારા ઉત્પાદન
$E_3$: મશીન $C$ દ્વારા ઉત્પાદન
$E$: પસંદ કરેલી વસ્તુ ખામીયુક્ત છે.
દરેક મશીન દ્વારા ઉત્પાદનની સંભાવનાઓ:
$P(E_1) = \frac{20}{100} = 0.2$
$P(E_2) = \frac{30}{100} = 0.3$
$P(E_3) = \frac{50}{100} = 0.5$
ખામીયુક્ત ઉત્પાદનોની શરતી સંભાવનાઓ:
$P(E|E_1) = \frac{5}{100} = 0.05$
$P(E|E_2) = \frac{3}{100} = 0.03$
$P(E|E_3) = \frac{2}{100} = 0.02$
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,ખામીયુક્ત વસ્તુ મશીન $B$ દ્વારા ઉત્પાદિત હોવાની સંભાવના:
$P(E_2|E) = \frac{P(E_2) \cdot P(E|E_2)}{P(E_1) \cdot P(E|E_1) + P(E_2) \cdot P(E|E_2) + P(E_3) \cdot P(E|E_3)}$
$P(E_2|E) = \frac{0.3 \times 0.03}{(0.2 \times 0.05) + (0.3 \times 0.03) + (0.5 \times 0.02)}$
$P(E_2|E) = \frac{0.009}{0.010 + 0.009 + 0.010} = \frac{0.009}{0.029} = \frac{9}{29}$

(B) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,તેથી $P(A \cap B) = P(A)P(B) = \frac{1}{12}$.
વળી,$A$ કે $B$ બંનેમાંથી એક પણ ન બને તેની સંભાવના $P(A^c \cap B^c) = P(A^c)P(B^c) = (1 - P(A))(1 - P(B)) = \frac{1}{2}$ છે.
બીજા સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $1 - P(A) - P(B) + P(A)P(B) = \frac{1}{2}$.
$P(A)P(B) = \frac{1}{12}$ મૂકતા: $1 - (P(A) + P(B)) + \frac{1}{12} = \frac{1}{2}$.
$P(A) + P(B) = 1 + \frac{1}{12} - \frac{1}{2} = \frac{12 + 1 - 6}{12} = \frac{7}{12}$.
ધારો કે $x = P(A)$ અને $y = P(B)$. આપણી પાસે $x + y = \frac{7}{12}$ અને $xy = \frac{1}{12}$ છે.
$x$ અને $y$ બીજ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ $t^2 - (x+y)t + xy = 0$ છે,જે $t^2 - \frac{7}{12}t + \frac{1}{12} = 0$ થાય.
$12$ વડે ગુણતા: $12t^2 - 7t + 1 = 0$.
$12t^2 - 4t - 3t + 1 = 0 \implies 4t(3t - 1) - 1(3t - 1) = 0$.
$(4t - 1)(3t - 1) = 0$,તેથી $t = \frac{1}{4}$ અથવા $t = \frac{1}{3}$.
$P(B) > P(A)$ હોવાથી,$P(A) = \frac{1}{4}$ અને $P(B) = \frac{1}{3}$ મળે.

(B) ધારો કે $X$ એ માણસ દ્વારા લક્ષ્યને વીંધવાની સંખ્યા છે. આ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે જ્યાં $n=8$ અને $p=\frac{1}{3}$ છે.
સફળતાની સંભાવના $p = \frac{1}{3}$,નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ છે.
આપણે લક્ષ્યને ઓછામાં ઓછી બે વાર વીંધવાની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(X \ge 2)$ છે.
$P(X \ge 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1)]$.
દ્વિપદી સૂત્ર $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X=0) = \binom{8}{0} (\frac{1}{3})^0 (\frac{2}{3})^8 = (\frac{2}{3})^8$.
$P(X=1) = \binom{8}{1} (\frac{1}{3})^1 (\frac{2}{3})^7 = 8 \cdot \frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3})^7$.
$P(X \ge 2) = 1 - [(\frac{2}{3})^8 + 8 \cdot \frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3})^7]$.
$P(X \ge 2) = 1 - [(\frac{2}{3})^7 \cdot (\frac{2}{3} + \frac{8}{3})] = 1 - [(\frac{2}{3})^7 \cdot \frac{10}{3}] = 1 - 5 \cdot (\frac{2}{3})^8$.

(D) ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે વ્યક્તિ જણાવે છે કે પાસા પર $6$ આવે છે.
ધારો કે $S$ એ ઘટના છે કે પાસા પર ખરેખર $6$ આવે છે,અને $S^c$ એ ઘટના છે કે પાસા પર $6$ આવતો નથી.
$P(S) = \frac{1}{6}$ અને $P(S^c) = \frac{5}{6}$.
ધારો કે $T$ એ ઘટના છે કે વ્યક્તિ સાચું બોલે છે. $P(T) = \frac{3}{5}$ અને $P(T^c) = \frac{2}{5}$.
$P(E|S)$ એ સંભાવના છે કે તે $6$ હોવા છતાં $6$ જણાવે,જે $P(T) = \frac{3}{5}$ છે.
$P(E|S^c)$ એ સંભાવના છે કે તે $6$ ન હોવા છતાં $6$ જણાવે,જે $P(T^c) = \frac{2}{5}$ છે.
બેયઝના પ્રમેય મુજબ,$P(S|E) = \frac{P(S)P(E|S)}{P(S)P(E|S) + P(S^c)P(E|S^c)}$.
$P(S|E) = \frac{(\frac{1}{6} \times \frac{3}{5})}{(\frac{1}{6} \times \frac{3}{5}) + (\frac{5}{6} \times \frac{2}{5})} = \frac{\frac{3}{30}}{\frac{3}{30} + \frac{10}{30}} = \frac{3}{13}$.

(B) ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે કાઢવામાં આવેલા $4$ દડા લાલ છે. ધારો કે $A_k$ એ ઘટના છે કે થેલીમાં $k$ લાલ દડા છે,જ્યાં $k \in \{4, 5, 6\}$. દરેક કિસ્સો સમાન રીતે સંભવિત છે તેમ ધારતા,$P(A_4) = P(A_5) = P(A_6) = \frac{1}{3}$.
શરતી સંભાવનાઓ નીચે મુજબ છે:
$P(E|A_4) = \frac{{}^4C_4}{{}^6C_4} = \frac{1}{15}$
$P(E|A_5) = \frac{{}^5C_4}{{}^6C_4} = \frac{5}{15}$
$P(E|A_6) = \frac{{}^6C_4}{{}^6C_4} = \frac{15}{15} = 1$
બેયઝના પ્રમેય મુજબ,જો $4$ કાઢેલા દડા લાલ હોય,તો થેલીમાં બરાબર $5$ લાલ દડા હોવાની સંભાવના:
$P(A_5|E) = \frac{P(A_5)P(E|A_5)}{P(A_4)P(E|A_4) + P(A_5)P(E|A_5) + P(A_6)P(E|A_6)}$
$P(A_5|E) = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{5}{15}}{\frac{1}{3} \times \frac{1}{15} + \frac{1}{3} \times \frac{5}{15} + \frac{1}{3} \times \frac{15}{15}}$
$P(A_5|E) = \frac{5}{1 + 5 + 15} = \frac{5}{21}$

(A) ધારો કે $E_1$ એ ઘટના છે કે વિદ્યાર્થી જવાબનું અનુમાન લગાવે છે અને $E_2$ એ ઘટના છે કે વિદ્યાર્થી જવાબ જાણે છે. ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે વિદ્યાર્થી સાચો જવાબ આપે છે.
આપેલ છે કે વિદ્યાર્થી $90 \%$ જવાબો જાણે છે,તેથી $P(E_2) = \frac{9}{10}$.
પરિણામે,વિદ્યાર્થી અનુમાન લગાવે તેની સંભાવના $P(E_1) = 1 - P(E_2) = 1 - \frac{9}{10} = \frac{1}{10}$ છે.
જો વિદ્યાર્થી જવાબ જાણે છે,તો સાચો જવાબ આપવાની સંભાવના $P(A \mid E_2) = 1$ છે.
જો વિદ્યાર્થી અનુમાન લગાવે છે,તો $4$ વિકલ્પો હોવાથી અને માત્ર એક સાચો હોવાથી,સાચો જવાબ આપવાની સંભાવના $P(A \mid E_1) = \frac{1}{4}$ છે.
આપણે તે સંભાવના શોધવાની છે કે વિદ્યાર્થીએ અનુમાન લગાવ્યું હતું,જો તેણે સાચો જવાબ આપ્યો હોય,જે $P(E_1 \mid A)$ છે.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$P(E_1 \mid A) = \frac{P(E_1) \cdot P(A \mid E_1)}{P(E_1) \cdot P(A \mid E_1) + P(E_2) \cdot P(A \mid E_2)}$
$P(E_1 \mid A) = \frac{\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{4}}{(\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{4}) + (\frac{9}{10} \cdot 1)}$
$P(E_1 \mid A) = \frac{\frac{1}{40}}{\frac{1}{40} + \frac{9}{10}} = \frac{\frac{1}{40}}{\frac{1+36}{40}} = \frac{1}{37}$.

(A) $n$ પ્રયત્નો અને સફળતાની સંભાવના $p$ ધરાવતા દ્વિપદી વિતરણ માટે,ધારો કે $q = 1 - p$.
મધ્યક $\mu = np$ અને વિચરણ $\sigma^2 = npq$.
આપેલ છે:
$np + npq = 15$
$np(npq) = 54$
ધારો કે $X = np$ અને $Y = npq$.
તેથી $X + Y = 15$ અને $XY = 54$.
આ દ્વિઘાત સમીકરણ $t^2 - 15t + 54 = 0$ ના બીજ છે.
$(t - 9)(t - 6) = 0$,તેથી બીજ $9$ અને $6$ છે.
કારણ કે $np > npq$ ($q < 1$ હોવાથી),આપણને $np = 9$ અને $npq = 6$ મળે છે.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{npq}{np} = \frac{6}{9} \implies q = \frac{2}{3}$.
તેથી $p = 1 - q = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
$p$ ની કિંમત $np = 9$ માં મૂકતા: $n(\frac{1}{3}) = 9 \implies n = 27$.
આમ,પ્રયત્નોની સંખ્યા $27$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે દ્વિપદી વિતરણ $P(X=r) = { }^n C_r p^r q^{n-r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $p+q=1$.
આપેલ છે કે $n=5, p=\frac{3}{4}, q=\frac{1}{4}$.
પ્રથમ,$P(X \geq 3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)$ ની ગણતરી કરો.
$P(X=3) = { }^5 C_3 (\frac{3}{4})^3 (\frac{1}{4})^2 = 10 \times \frac{27}{64} \times \frac{1}{16} = \frac{270}{1024}$.
$P(X=4) = { }^5 C_4 (\frac{3}{4})^4 (\frac{1}{4})^1 = 5 \times \frac{81}{256} \times \frac{1}{4} = \frac{405}{1024}$.
$P(X=5) = { }^5 C_5 (\frac{3}{4})^5 (\frac{1}{4})^0 = 1 \times \frac{243}{1024} \times 1 = \frac{243}{1024}$.
$P(X \geq 3) = \frac{270+405+243}{1024} = \frac{918}{1024}$.
તેથી $\alpha = \frac{1}{9} \times \frac{918}{1024} = \frac{102}{1024}$.
આગળ,$\beta = P(X \leq 2) = 1 - P(X \geq 3) = 1 - \frac{918}{1024} = \frac{106}{1024}$.
અંતે,$256(\beta - \alpha) = 256(\frac{106}{1024} - \frac{102}{1024}) = 256(\frac{4}{1024}) = 256(\frac{1}{256}) = 1$.

(B) આપેલ છે કે $X$ એ $np = 6$ મધ્યક અને $npq = 2$ વિચરણ ધરાવતો દ્વિપદી ચલ છે.
આથી,$6q = 2$,જેનો અર્થ છે કે $q = \frac{1}{3}$.
તેથી,$p = 1 - q = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
$np = 6$ માં $p$ ની કિંમત મૂકતા,$n \times \frac{2}{3} = 6$,તેથી $n = 9$.
આપણે $P(5 \leq X \leq 7) = P(X=5) + P(X=6) + P(X=7)$ ની ગણતરી કરવાની છે.
સૂત્ર $P(X=k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X=5) = {}^9C_5 (\frac{2}{3})^5 (\frac{1}{3})^4 = 126 \times \frac{32}{3^9} = \frac{4032}{19683}$.
$P(X=6) = {}^9C_6 (\frac{2}{3})^6 (\frac{1}{3})^3 = 84 \times \frac{64}{3^9} = \frac{5376}{19683}$.
$P(X=7) = {}^9C_7 (\frac{2}{3})^7 (\frac{1}{3})^2 = 36 \times \frac{128}{3^9} = \frac{4608}{19683}$.
આ કિંમતોનો સરવાળો કરતા: $P(5 \leq X \leq 7) = \frac{4032 + 5376 + 4608}{19683} = \frac{14016}{19683}$.
અંશ અને છેદને $3$ વડે ભાગતા: $\frac{4672}{6561}$.

(D) યાદચ્છિક ચલ $X$ નું વિચરણ $\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સંભાવના વિતરણમાં સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$\frac{1}{8} + \frac{3}{8} + 3K + K = 1$
$\frac{4}{8} + 4K = 1$
$\frac{1}{2} + 4K = 1 \Rightarrow 4K = \frac{1}{2} \Rightarrow K = \frac{1}{8}$.
હવે,આપણે $E(X)$ અને $E(X^2)$ ની ગણતરી કરીએ:
$E(X) = \sum x_i P(x_i) = (0 \times \frac{1}{8}) + (1 \times \frac{3}{8}) + (2 \times \frac{3}{8}) + (3 \times \frac{1}{8}) = 0 + \frac{3}{8} + \frac{6}{8} + \frac{3}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$.
$E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = (0^2 \times \frac{1}{8}) + (1^2 \times \frac{3}{8}) + (2^2 \times \frac{3}{8}) + (3^2 \times \frac{1}{8}) = 0 + \frac{3}{8} + \frac{12}{8} + \frac{9}{8} = \frac{24}{8} = 3$.
તેથી,$\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 3 - (\frac{3}{2})^2 = 3 - \frac{9}{4} = \frac{12 - 9}{4} = \frac{3}{4}$.

(A) ધારો કે $X$ એ બોક્સમાં ખામીયુક્ત તાળાની સંખ્યા છે. અહીં તાળાની સંખ્યા $n=100$ મોટી છે અને ખામીની સંભાવના $p=0.02$ નાની હોવાથી,આપણે પોઈસન વિતરણનો ઉપયોગ કરીશું,જેમાં મધ્યક $\lambda = np = 100 \times 0.02 = 2$ છે.
$r$ ખામીયુક્ત તાળા હોવાની સંભાવના $P(X=r) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^r}{r!} = \frac{e^{-2} 2^r}{r!}$ દ્વારા મળે છે.
ઉત્પાદક ખાતરી આપે છે કે $2$ થી વધુ ખામીયુક્ત તાળા નથી,એટલે કે જો $X \le 2$ હોય તો બોક્સ ગુણવત્તાના ધોરણો પૂરા કરે છે.
બોક્સ ખાતરી પૂરી કરવામાં નિષ્ફળ જાય જો $X > 2$ હોય.
નિષ્ફળતાની સંભાવના $P(X > 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$P(X > 2) = 1 - [\frac{e^{-2} 2^0}{0!} + \frac{e^{-2} 2^1}{1!} + \frac{e^{-2} 2^2}{2!}] = 1 - [e^{-2} + 2e^{-2} + 2e^{-2}] = 1 - 5e^{-2}$.

(D) યાદચ્છિક ચલ $X$ ના વિચરણનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\operatorname{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$
પ્રથમ,આપણે અપેક્ષિત મૂલ્ય $E(X) = \sum P_i x_i$ ની ગણતરી કરીએ:
$E(X) = (-2) \times \frac{1}{6} + (-1) \times \frac{1}{6} + 0 \times \frac{1}{3} + 1 \times \frac{1}{6} + 2 \times \frac{1}{6}$
$E(X) = -\frac{2}{6} - \frac{1}{6} + 0 + \frac{1}{6} + \frac{2}{6} = 0$
ત્યારબાદ,આપણે $E(X^2) = \sum P_i x_i^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$E(X^2) = (-2)^2 \times \frac{1}{6} + (-1)^2 \times \frac{1}{6} + 0^2 \times \frac{1}{3} + 1^2 \times \frac{1}{6} + 2^2 \times \frac{1}{6}$
$E(X^2) = 4 \times \frac{1}{6} + 1 \times \frac{1}{6} + 0 + 1 \times \frac{1}{6} + 4 \times \frac{1}{6}$
$E(X^2) = \frac{4+1+0+1+4}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$
અંતે,વિચરણ:
$\operatorname{Var}(X) = \frac{5}{3} - (0)^2 = \frac{5}{3}$

(A) સંભાવના વિતરણ $P(X=j) = (\frac{1}{2})^j$ જ્યાં $j = 1, 2, 3, \ldots$ આપેલ છે.
આ એક ભૂમિતિ વિતરણ (geometric distribution) છે જેમાં $p = \frac{1}{2}$ અને $q = 1 - p = \frac{1}{2}$ છે.
$j=1$ થી શરૂ થતા ભૂમિતિ વિતરણનો મધ્યક $E[X] = \frac{1}{p} = \frac{1}{1/2} = 2$ થાય છે.
ભૂમિતિ વિતરણનું વિચરણ $Var(X) = \frac{q}{p^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$Var(X) = \frac{1/2}{(1/2)^2} = \frac{1/2}{1/4} = 2$.
આમ,$X$ નું વિચરણ $2$ છે.

(D) સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવાથી:
$\frac{1}{6} + k + \frac{1}{4} + k + \frac{1}{6} = 1$
$2k + \frac{7}{12} = 1 \implies 2k = \frac{5}{12} \implies k = \frac{5}{24}$
વિચરણની ગણતરી:
$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x_i & P(X=x_i) & x_i P(x_i) & x_i^2 P(x_i) \\ \hline -2 & 1/6 & -1/3 & 2/3 \\ \hline -1 & 5/24 & -5/24 & 5/24 \\ \hline 0 & 1/4 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 5/24 & 5/24 & 5/24 \\ \hline 2 & 1/6 & 1/3 & 2/3 \\ \hline \text{Total} & 1 & 0 & 21/12 \\ \hline \end{array}$
$\text{વિચરણ} = E(X^2) - [E(X)]^2$
$= \frac{21}{12} - (0)^2 = \frac{7}{4}$

(C) ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર નાભિ અને $X$-અક્ષ તેની ધરી હોય તેવા પરવલયોના સમૂહનું સમીકરણ $(y-0)^2 = -4a(x-a)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ પ્રાચલ છે.
$y^2 = -4ax + 4a^2$ $(i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2y y' = -4a$
$a = -\frac{y y'}{2}$
$a$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$y^2 = -4\left(-\frac{y y'}{2}\right)x + 4\left(-\frac{y y'}{2}\right)^2$
$y^2 = 2x y y' + 4\left(\frac{y^2 y'^2}{4}\right)$
$y^2 = 2x y y' + y^2 y'^2$
$y$ વડે ભાગતા ($y \neq 0$ ધારીને):
$y = 2x y' + y y'^2$
$y\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + 2x\left(\frac{dy}{dx}\right) - y = 0$
આ વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $m = 1$ છે અને ઘાત $n = 2$ છે.
તેથી,$mn - m + n = (1)(2) - 1 + 2 = 2 - 1 + 2 = 3$.