AP EAMCET 2012 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) આપેલ છે,$R = \frac{\pi}{4}$.
$P+Q+R = \pi$ હોવાથી,$P+Q = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
$3$ વડે ભાગતા,$\frac{P}{3} + \frac{Q}{3} = \frac{\pi}{4}$ મળે.
બંને બાજુ ટેન્જન્ટ લેતા,$\tan(\frac{P}{3} + \frac{Q}{3}) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$.
સૂત્ર $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{\tan(\frac{P}{3}) + \tan(\frac{Q}{3})}{1 - \tan(\frac{P}{3})\tan(\frac{Q}{3})} = 1$.
$\tan(\frac{P}{3})$ અને $\tan(\frac{Q}{3})$ એ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ હોવાથી,બીજનો સરવાળો $-\frac{b}{a}$ અને ગુણાકાર $\frac{c}{a}$ થાય.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{-b/a}{1 - c/a} = 1$.
આથી $\frac{-b}{a-c} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $-b = a - c$,અથવા $a+b = c$.

(A) આપેલ સમીકરણ $|x|^{6/5} - 26|x|^{3/5} - 27 = 0$ છે.
ધારો કે $|x|^{3/5} = t$.
તેથી સમીકરણ $t^2 - 26t - 27 = 0$ બને છે.
અવયવ પાડતા: $(t - 27)(t + 1) = 0$.
આથી $t = 27$ અથવા $t = -1$ મળે.
કારણ કે $|x|^{3/5} \geq 0$ હોવાથી,$t = 27$ લેતા.
તેથી,$|x|^{3/5} = 27 = 3^3$.
બંને બાજુ $5/3$ ઘાત લેતા: $|x| = (3^3)^{5/3} = 3^5$.
આમ,$x = 3^5$ અથવા $x = -3^5$.
વાસ્તવિક ઉકેલોનો ગુણાકાર $(3^5) \times (-3^5) = -3^{10}$ થાય.

(A) આપેલ છે,$(a+ib)^2=(c+id)^2(x+iy)$
બંને બાજુ માનાંક લેતા:
$|a+ib|^2 = |c+id|^2 |x+iy|$
$|z|^2 = a^2+b^2$ હોવાથી,
$a^2+b^2 = (c^2+d^2) \sqrt{x^2+y^2}$
આપેલ કિંમતો $a^2+b^2=4$ અને $c^2+d^2=2$ મૂકતા:
$4 = 2 \sqrt{x^2+y^2}$
$\sqrt{x^2+y^2} = 2$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$x^2+y^2 = 4$

(D) આપેલ છે,$\left|z-\frac{4}{z}\right|=2$.
ત્રિકોણ અસમતા $|a+b| \leq |a|+|b|$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|z| = \left|z-\frac{4}{z} + \frac{4}{z}\right| \leq \left|z-\frac{4}{z}\right| + \left|\frac{4}{z}\right|$.
આપેલ કિંમત મૂકતા: $|z| \leq 2 + \frac{4}{|z|}$.
$|z|$ વડે ગુણતા: $|z|^2 \leq 2|z| + 4$.
$|z|^2 - 2|z| - 4 \leq 0$.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $(|z|-1)^2 - 1 - 4 \leq 0 \Rightarrow (|z|-1)^2 \leq 5$.
વર્ગમૂળ લેતા: $|z|-1 \leq \sqrt{5}$.
તેથી,$|z| \leq \sqrt{5}+1$.
$|z|$ ની મહત્તમ કિંમત $\sqrt{5}+1$ છે.

(C) કારણ કે $a, b$ અને $c$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે,તેથી $b = ar$ અને $c = ar^2$ થાય.
રેખાના સમીકરણ $ax + by + c = 0$ માં આ કિંમતો મુકતા,$ax + ary + ar^2 = 0$ મળે.
$a$ વડે ભાગતા ($a \neq 0$ ધારીને),$x + ry + r^2 = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $x = -ry - r^2$.
$x = -ry - r^2$ ને વક્ર $x + 2y^2 = 0$ માં મુકતા,$-ry - r^2 + 2y^2 = 0$ અથવા $2y^2 - ry - r^2 = 0$ મળે.
આ $y$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે,જ્યાં $A = 2, B = -r, C = -r^2$.
યામોનો સરવાળો (દ્વિઘાત સમીકરણના બીજનો સરવાળો) $= -\frac{B}{A} = -\frac{-r}{2} = \frac{r}{2}$ થાય.

(C) શ્રેણીનું $n$-મું પદ $T_r = \frac{1}{(2r)(2r+2)} = \frac{1}{4r(r+1)}$ છે.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા,$T_r = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{r+1} \right)$.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \sum_{r=1}^{n} T_r = \frac{1}{4} \sum_{r=1}^{n} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{r+1} \right)$ છે.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે: $S_n = \frac{1}{4} \left[ (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) \right]$.
$S_n = \frac{1}{4} \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{n+1-1}{n+1} \right) = \frac{n}{4(n+1)}$.
આપેલ સમીકરણ $\frac{kn}{4(n+1)}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = 1$ મળે છે.

(B) અમે સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યક $(AM \geq GM)$ અસમતાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જે મુજબ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ માટે,$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ થાય.
ધારો કે $a = 27 \tan^2 \theta$ અને $b = 3 \cot^2 \theta$.
તેથી,$\frac{27 \tan^2 \theta + 3 \cot^2 \theta}{2} \geq \sqrt{27 \tan^2 \theta \cdot 3 \cot^2 \theta}$.
$\frac{27 \tan^2 \theta + 3 \cot^2 \theta}{2} \geq \sqrt{81 \tan^2 \theta \cdot \cot^2 \theta}$.
કારણ કે $\tan \theta \cdot \cot \theta = 1$,તેથી:
$\frac{27 \tan^2 \theta + 3 \cot^2 \theta}{2} \geq \sqrt{81 \cdot 1}$.
$\frac{27 \tan^2 \theta + 3 \cot^2 \theta}{2} \geq 9$.
$27 \tan^2 \theta + 3 \cot^2 \theta \geq 18$.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $18$ છે.

(D) આપેલ રેખાઓની જોડી $8x^2-6xy+y^2=0$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $8x^2-4xy-2xy+y^2=0$ $\Rightarrow 4x(2x-y)-y(2x-y)=0$ $\Rightarrow (4x-y)(2x-y)=0$.
આમ,બે રેખાઓ $y=4x$ અને $y=2x$ છે.
ત્રીજી રેખા $2x+3y=a$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ આ રેખાઓના છેદબિંદુઓ છે:
$1$. $y=4x$ અને $y=2x$ નું છેદબિંદુ $O(0,0)$ છે.
$2$. $y=4x$ અને $2x+3y=a$ નું છેદબિંદુ: $2x+3(4x)=a$ $\Rightarrow 14x=a$ $\Rightarrow x=a/14, y=2a/7$. એટલે કે,$A(a/14, 2a/7)$.
$3$. $y=2x$ અને $2x+3y=a$ નું છેદબિંદુ: $2x+3(2x)=a$ $\Rightarrow 8x=a$ $\Rightarrow x=a/8, y=a/4$. એટલે કે,$B(a/8, a/4)$.
શિરોબિંદુઓ $(0,0), (x_1, y_1), (x_2, y_2)$ વાળા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2}|x_1y_2-x_2y_1|$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |(\frac{a}{14})(\frac{a}{4}) - (\frac{a}{8})(\frac{2a}{7})| = \frac{1}{2} |\frac{a^2}{56} - \frac{2a^2}{56}| = \frac{1}{2} |-\frac{a^2}{56}| = \frac{a^2}{112}$.
આપેલ ક્ષેત્રફળ $7$ છે,તેથી $\frac{a^2}{112} = 7$ $\Rightarrow a^2 = 784$ $\Rightarrow a = 28$.

(B) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ:
$(x^2+y^2) \cos^2 \theta = (x \cos \theta + y \sin \theta)^2$
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x^2+y^2) \cos^2 \theta = x^2 \cos^2 \theta + y^2 \sin^2 \theta + 2xy \sin \theta \cos \theta$
બંને બાજુથી $x^2 \cos^2 \theta$ બાદ કરતા:
$y^2 \cos^2 \theta = y^2 \sin^2 \theta + 2xy \sin \theta \cos \theta$
તેને $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ ના સામાન્ય સ્વરૂપમાં ગોઠવતા:
$0x^2 + (2 \sin \theta \cos \theta)xy + (\sin^2 \theta - \cos^2 \theta)y^2 = 0$
રેખાઓની જોડી એકબીજાને લંબ હોવા માટે,$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$A + B = 0$
$0 + (\sin^2 \theta - \cos^2 \theta) = 0$
$\sin^2 \theta = \cos^2 \theta$
$\tan^2 \theta = 1$
$\tan \theta = \pm 1$
આમ,$\theta = \frac{\pi}{4}$ અથવા $\frac{3\pi}{4}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે દ્વિપદી સહગુણકોનો સરવાળો $\sum_{r=0}^k \binom{k}{r} = 2^k$ થાય છે.
આ કિંમત આપેલ પદમાં મૂકતા:
$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{3^k} \sum_{r=0}^k \binom{k}{r} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{3^k} (2^k)$
$= \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^k$
આ એક અનંત ભૂમિતિ શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 2/3$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 2/3$ છે.
અનંત ભૂમિતિ શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$S = \frac{2/3}{1 - 2/3} = \frac{2/3}{1/3} = 2$.

(B) આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{x(x+1)\ldots(x+n)} = \sum_{r=0}^{n} \frac{A_r}{x+r}$.
$A_r$ શોધવા માટે,બંને બાજુ $(x+r)$ વડે ગુણીને $x \to -r$ લેતા:
$A_r = \lim_{x \to -r} \frac{x+r}{x(x+1)\ldots(x+n)}$.
$A_r = \frac{1}{(-r)(-r+1)\ldots(-1) \cdot (1)(2)\ldots(n-r)}$.
છેદમાં પ્રથમ ભાગમાં $r$ ઋણ પદો છે,જે $(-1)^r \cdot r!$ આપે છે,અને બીજો ભાગ $(n-r)!$ છે.
તેથી,$A_r = \frac{1}{(-1)^r r! (n-r)!} = \frac{(-1)^r}{r! (n-r)!}$.

(A) આપેલ છે કે,$R = \frac{\pi}{4}$. $P + Q + R = \pi$ હોવાથી,$P + Q = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$ થાય.
$3$ વડે ભાગતા,$\frac{P}{3} + \frac{Q}{3} = \frac{\pi}{4}$ મળે.
બંને બાજુ ટેન્જન્ટ લેતા,$\tan \left(\frac{P}{3} + \frac{Q}{3}\right) = \tan \left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.
સૂત્ર $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{\tan(P/3) + \tan(Q/3)}{1 - \tan(P/3)\tan(Q/3)} = 1$ મળે.
$\tan(P/3)$ અને $\tan(Q/3)$ એ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ હોવાથી,બીજનો સરવાળો $-\frac{b}{a}$ અને ગુણાકાર $\frac{c}{a}$ થાય.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{-b/a}{1 - c/a} = 1$.
$\Rightarrow \frac{-b}{a - c} = 1$.
$\Rightarrow -b = a - c$.
$\Rightarrow a + b = c$.

(B) આપેલ છે કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ $x^3+p x^2+q x+r=0$ ના બીજ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ: $\alpha+\beta+\gamma = -p$,$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = q$,અને $\alpha\beta\gamma = -r$.
ધારો કે નવા બીજ $y_1 = \alpha(\beta+\gamma)$,$y_2 = \beta(\gamma+\alpha)$,અને $y_3 = \gamma(\alpha+\beta)$ છે.
અહીં $\alpha(\beta+\gamma) = \alpha(\beta+\gamma+\alpha) - \alpha^2 = -p\alpha - \alpha^2$.
સમીકરણ $x^3+p x^2+q x+r=0$ પરથી,$\alpha^3+p\alpha^2 = -q\alpha-r$.
$\alpha$ વડે ભાગતા,$\alpha^2+p\alpha = -q - \frac{r}{\alpha}$.
તેથી,$y_1 = -(-q - \frac{r}{\alpha}) = q + \frac{r}{\alpha}$.
તે જ રીતે,$y_2 = q + \frac{r}{\beta}$ અને $y_3 = q + \frac{r}{\gamma}$.
ધારો કે $y = q + \frac{r}{x}$,તેથી $x = \frac{r}{y-q}$.
આ કિંમત મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા: $(\frac{r}{y-q})^3 + p(\frac{r}{y-q})^2 + q(\frac{r}{y-q}) + r = 0$.
$r$ વડે ભાગતા: $\frac{r^2}{(y-q)^3} + \frac{pr}{(y-q)^2} + \frac{q}{y-q} + 1 = 0$.
$r^2 + pr(y-q) + q(y-q)^2 + (y-q)^3 = 0$.
વિસ્તરણ કરતા: $y^3 - 2qy^2 + (q^2+pr)y + (r^2-prq) = 0$.
તેથી $y$ નો સહગુણક $q^2+pr$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $|x|^{6/5} - 26|x|^{3/5} - 27 = 0$ છે.
ધારો કે $|x|^{3/5} = t$.
$|x|^{3/5} \ge 0$ હોવાથી,$t \ge 0$ મળે.
સમીકરણ $t^2 - 26t - 27 = 0$ બને છે.
અવયવ પાડતા: $(t - 27)(t + 1) = 0$.
તેથી $t = 27$ અથવા $t = -1$.
$t \ge 0$ હોવાથી,$t = -1$ શક્ય નથી.
તેથી,$|x|^{3/5} = 27 = 3^3$.
બંને બાજુ $5/3$ ઘાત લેતા: $|x| = (3^3)^{5/3} = 3^5$.
તેથી,$x = 3^5$ અથવા $x = -3^5$.
વાસ્તવિક ઉકેલોનો ગુણાકાર $(3^5) \times (-3^5) = -3^{10}$ થાય.

(D) આપેલ છે,$\left|z-\frac{4}{z}\right|=2$.
ત્રિકોણ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા,$|z| = \left|z-\frac{4}{z}+\frac{4}{z}\right| \leq \left|z-\frac{4}{z}\right| + \left|\frac{4}{z}\right|$.
આપેલ કિંમત મૂકતા,$|z| \leq 2 + \frac{4}{|z|}$.
$|z|$ વડે ગુણતા ($|z| > 0$ હોવાથી),આપણને $|z|^2 - 2|z| - 4 \leq 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $|z|^2 - 2|z| - 4 = 0$ ઉકેલતા,$|z| = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-4)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}$.
$|z| > 0$ હોવાથી,$0 < |z| \leq 1 + \sqrt{5}$.
તેથી,$|z|$ ની મહત્તમ કિંમત $1 + \sqrt{5}$ છે.

(C) વિદ્યાર્થીએ $13$ માંથી $10$ પ્રશ્નો એવી રીતે પસંદ કરવાના છે કે જેથી પ્રથમ $6$ માંથી ઓછામાં ઓછા $5$ પ્રશ્નો હોય. આ માટે બે કિસ્સાઓ શક્ય છે:
કિસ્સો $I$: પ્રથમ $6$ માંથી $5$ પ્રશ્નો અને બાકીના $7$ માંથી $5$ પ્રશ્નો પસંદ કરવા.
રીતોની સંખ્યા $= {}^{6}C_{5} \times {}^{7}C_{5} = 6 \times 21 = 126$.
કિસ્સો $II$: પ્રથમ $6$ માંથી $6$ પ્રશ્નો અને બાકીના $7$ માંથી $4$ પ્રશ્નો પસંદ કરવા.
રીતોની સંખ્યા $= {}^{6}C_{6} \times {}^{7}C_{4} = 1 \times 35 = 35$.
કુલ રીતોની સંખ્યા $= 126 + 35 = 161$.

(B) $12$ સભ્યોની સમિતિ એવી રીતે બનાવવાની છે કે જેમાં મહિલાઓ બહુમતીમાં હોય. અહીં $9$ મહિલાઓ અને $8$ પુરુષો છે,તેથી મહિલાઓ બહુમતીમાં હોય તેવા કિસ્સાઓ નીચે મુજબ છે:
કિસ્સો $I$: $9$ મહિલાઓ અને $3$ પુરુષો
રીતોની સંખ્યા $= {^9C_9} \times {^8C_3} = 1 \times 56 = 56$
કિસ્સો $II$: $8$ મહિલાઓ અને $4$ પુરુષો
રીતોની સંખ્યા $= {^9C_8} \times {^8C_4} = 9 \times 70 = 630$
કિસ્સો $III$: $7$ મહિલાઓ અને $5$ પુરુષો
રીતોની સંખ્યા $= {^9C_7} \times {^8C_5} = 36 \times 56 = 2016$
કુલ રીતોની સંખ્યા $= 56 + 630 + 2016 = 2702$

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ બાજુઓ ધરાવતા બહુકોણમાં વિકર્ણોની સંખ્યાનું સૂત્ર: $\frac{n(n-3)}{2}$ છે.
આપેલ છે કે વિકર્ણોની સંખ્યા $170$ છે,તેથી:
$\frac{n(n-3)}{2} = 170$
$n(n-3) = 340$
$n^2 - 3n - 340 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા:
$n^2 - 20n + 17n - 340 = 0$
$n(n - 20) + 17(n - 20) = 0$
$(n - 20)(n + 17) = 0$
કારણ કે $n$ ધન હોવું જોઈએ,તેથી $n = 20$.

(B) ધારો કે શ્રેણી $S = 1 + \frac{1}{3 \cdot 2^2} + \frac{1}{5 \cdot 2^4} + \frac{1}{7 \cdot 2^6} + \ldots$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\log _e \left( \frac{1+x}{1-x} \right) = 2 \left( x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \ldots \right)$ જ્યાં $|x| < 1$.
શ્રેણીને આ રીતે લખતા: $S = 2 \left[ \frac{1}{2} + \frac{(1/2)^3}{3} + \frac{(1/2)^5}{5} + \ldots \right]$
$x = 1/2$ લેતા:
$S = \log _e \left( \frac{1 + 1/2}{1 - 1/2} \right) = \log _e \left( \frac{3/2}{1/2} \right) = \log _e 3$.

(A) આપેલ શ્રેણી $S_n = \sum_{r=1}^{n} \frac{1}{(2r)(2r+2)}$ છે.
સામાન્ય પદને $\frac{1}{4} \times \frac{1}{r(r+1)} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{r+1} \right)$ તરીકે લખી શકાય.
$r=1$ થી $n$ સુધી સરવાળો કરતા:
$S_n = \frac{1}{4} \left[ (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) \right]$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે,તેથી $S_n = \frac{1}{4} \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right)$.
$S_n = \frac{1}{4} \left( \frac{n+1-1}{n+1} \right) = \frac{n}{4(n+1)}$.
આને $\frac{k n}{n+1}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = \frac{1}{4}$ મળે છે.

(D) $\left(\frac{x^2}{a}-\frac{b}{x}\right)^{11}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{11}C_r \left(\frac{x^2}{a}\right)^{11-r} \left(-\frac{b}{x}\right)^r = {}^{11}C_r \left(\frac{1}{a}\right)^{11-r} (-b)^r x^{22-3r}$ છે.
$x^7$ ના સહગુણક માટે,$22-3r = 7$ લેતા,$3r = 15$ એટલે કે $r = 5$ મળે. સહગુણક $C_1 = {}^{11}C_5 \left(\frac{1}{a}\right)^6 (-b)^5$ છે.
$x^4$ ના સહગુણક માટે,$22-3r = 4$ લેતા,$3r = 18$ એટલે કે $r = 6$ મળે. સહગુણક $C_2 = {}^{11}C_6 \left(\frac{1}{a}\right)^5 (-b)^6$ છે.
આપેલ શરત $C_1 + C_2 = 0$ મુજબ,${}^{11}C_5 \frac{(-b)^5}{a^6} + {}^{11}C_6 \frac{(-b)^6}{a^5} = 0$.
${}^{11}C_5 = {}^{11}C_6$ હોવાથી,સાદું રૂપ આપતા $ab = 1$ મળે છે.

(D) આપેલ પદાવલિ $\sum_{k=1}^{\infty} \sum_{r=0}^k \frac{1}{3^k} \binom{k}{r}$ છે.
નિત્યસમ $\sum_{r=0}^k \binom{k}{r} = 2^k$ નો ઉપયોગ કરતા,અંદરના સરવાળાને સરળ બનાવી શકાય:
$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{3^k} \left( \sum_{r=0}^k \binom{k}{r} \right) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k}{3^k} = \sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{2}{3} \right)^k$.
આ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = \frac{2}{3}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{2}{3}$ છે.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$S = \frac{2/3}{1 - 2/3} = \frac{2/3}{1/3} = 2$ મળે છે.

(B) આપેલ છે,$3 \sin x + 4 \cos x = 5$.
અડધા ખૂણાના સૂત્રો $\sin x = \frac{2 \tan(x/2)}{1 + \tan^2(x/2)}$ અને $\cos x = \frac{1 - \tan^2(x/2)}{1 + \tan^2(x/2)}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$3 \left( \frac{2 \tan(x/2)}{1 + \tan^2(x/2)} \right) + 4 \left( \frac{1 - \tan^2(x/2)}{1 + \tan^2(x/2)} \right) = 5$.
બંને બાજુ $(1 + \tan^2(x/2))$ વડે ગુણતા:
$6 \tan(x/2) + 4 - 4 \tan^2(x/2) = 5(1 + \tan^2(x/2))$.
$6 \tan(x/2) + 4 - 4 \tan^2(x/2) = 5 + 5 \tan^2(x/2)$.
પદોને ગોઠવતા:
$6 \tan(x/2) - 9 \tan^2(x/2) = 5 - 4$.
$6 \tan(x/2) - 9 \tan^2(x/2) = 1$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે નિત્યસમ $\tan x + \tan \left(x + \frac{\pi}{3}\right) + \tan \left(x + \frac{2\pi}{3}\right) = 3 \tan 3x$ છે.
આપેલ છે કે $\tan x + \tan \left(x + \frac{\pi}{3}\right) + \tan \left(x + \frac{2\pi}{3}\right) = 3$.
આ કિંમત નિત્યસમમાં મૂકતા,આપણને $3 \tan 3x = 3$ મળે છે.
તેથી,$\tan 3x = 1$.

(B) સૂત્ર $\cos C - \cos D = -2 \sin \left(\frac{C+D}{2}\right) \sin \left(\frac{C-D}{2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 36^{\circ} - \cos 72^{\circ} = -2 \sin \left(\frac{36^{\circ}+72^{\circ}}{2}\right) \sin \left(\frac{36^{\circ}-72^{\circ}}{2}\right)$
$= -2 \sin 54^{\circ} \sin (-18^{\circ})$
$= 2 \sin 54^{\circ} \sin 18^{\circ}$
$\sin 54^{\circ} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$ અને $\sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ ની કિંમતો મૂકતા:
$= 2 \times \left(\frac{\sqrt{5}+1}{4}\right) \times \left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)$
$= 2 \times \frac{(\sqrt{5})^2 - 1^2}{16} = 2 \times \frac{5-1}{16} = 2 \times \frac{4}{16} = 2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

(C) $\triangle ABC$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $A + B + C = 180^{\circ}$ છે.
$A + B = 180^{\circ} - C$
બંને બાજુ $\cot$ લેતા:
$\cot(A + B) = \cot(180^{\circ} - C)$
$\cot(A + B) = \frac{\cot A \cot B - 1}{\cot A + \cot B}$ અને $\cot(180^{\circ} - C) = -\cot C$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\cot A \cot B - 1}{\cot A + \cot B} = -\cot C$
$\cot A \cot B - 1 = -\cot C(\cot A + \cot B)$
$\cot A \cot B - 1 = -\cot C \cot A - \cot C \cot B$
પદોને ગોઠવતા:
$\cot A \cot B + \cot B \cot C + \cot C \cot A = 1$

(A) ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$ હોવાથી:
$\Delta = \frac{1}{2} a \alpha = \frac{1}{2} b \beta = \frac{1}{2} c \gamma$
$\Rightarrow \alpha = \frac{2 \Delta}{a}, \beta = \frac{2 \Delta}{b}, \gamma = \frac{2 \Delta}{c}$
હવે,પદાવલિ:
$\frac{\Delta^2}{R^2}\left(\frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}+\frac{1}{\gamma^2}\right)$
$= \frac{\Delta^2}{R^2}\left(\frac{a^2}{4 \Delta^2} + \frac{b^2}{4 \Delta^2} + \frac{c^2}{4 \Delta^2}\right)$
$= \frac{\Delta^2}{R^2} \cdot \frac{1}{4 \Delta^2} (a^2 + b^2 + c^2)$
$= \frac{1}{4 R^2} (a^2 + b^2 + c^2)$
સાઇનના નિયમ મુજબ,$a = 2R \sin A, b = 2R \sin B, c = 2R \sin C$:
$= \frac{1}{4 R^2} ((2R \sin A)^2 + (2R \sin B)^2 + (2R \sin C)^2)$
$= \frac{1}{4 R^2} (4R^2 \sin^2 A + 4R^2 \sin^2 B + 4R^2 \sin^2 C)$
$= \sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C$

(C) આપેલ બિંદુ $(3, 2)$ છે.
$(i)$ રેખા $y=x$ ની સાપેક્ષે બિંદુ $(3, 2)$ નું પરાવર્તન $(2, 3)$ મળે છે.
(ii) $x$-અક્ષની ધન દિશામાં $1$ એકમનું સ્થાનાંતર કરતા $(2+1, 3) = (3, 3)$ મળે છે.
(iii) બિંદુ $(3, 3)$ નું ઉગમબિંદુની આસપાસ $\theta = \frac{\pi}{4}$ ખૂણે ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં પરિભ્રમણ:
$X = x \cos \theta - y \sin \theta = 3 \cos(\frac{\pi}{4}) - 3 \sin(\frac{\pi}{4}) = 0$
$Y = x \sin \theta + y \cos \theta = 3 \sin(\frac{\pi}{4}) + 3 \cos(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{18}$
આમ,અંતિમ સ્થાન $(0, \sqrt{18})$ છે.

(B) ધારો કે જરૂરી રેખાનો ઢાળ $m$ છે. રેખા $(1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનું સમીકરણ $(y - 2) = m(x - 1)$ છે.
આપેલ છે કે આ રેખા અને $y = 2x + 1$ વચ્ચેનો ખૂણો $45^{\circ}$ છે.
આપેલ રેખાનો ઢાળ $m_1 = 2$ છે.
સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1} \right|$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan 45^{\circ} = \left| \frac{m - 2}{1 + 2m} \right|$
$1 = \left| \frac{m - 2}{1 + 2m} \right|$
આ બે કિસ્સાઓ આપે છે:
કિસ્સો $1$: $\frac{m - 2}{1 + 2m} = 1$ $\Rightarrow m - 2 = 1 + 2m$ $\Rightarrow m = -3$.
સમીકરણ $(y - 2) = -3(x - 1)$ $\Rightarrow y - 2 = -3x + 3$ $\Rightarrow 3x + y = 5$ છે.
કિસ્સો $2$: $\frac{m - 2}{1 + 2m} = -1$ $\Rightarrow m - 2 = -1 - 2m$ $\Rightarrow 3m = 1$ $\Rightarrow m = \frac{1}{3}$.
સમીકરણ $(y - 2) = \frac{1}{3}(x - 1)$ $\Rightarrow 3y - 6 = x - 1$ $\Rightarrow x - 3y + 5 = 0$ છે.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$3x + y = 5$ સાચો જવાબ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $(x+7y)^2 + 4\sqrt{2}(x+7y) - 42 = 0$ છે.
ધારો કે $x+7y = t$.
તેથી સમીકરણ $t^2 + 4\sqrt{2}t - 42 = 0$ બને છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$t = \frac{-4\sqrt{2} \pm \sqrt{32 + 168}}{2} = \frac{-4\sqrt{2} \pm 10\sqrt{2}}{2}$.
તેથી,$t = 3\sqrt{2}$ અથવા $t = -7\sqrt{2}$.
બે સમાંતર રેખાઓ $x+7y - 3\sqrt{2} = 0$ અને $x+7y + 7\sqrt{2} = 0$ છે.
સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં $A = 1, B = 7, C_1 = -3\sqrt{2}, C_2 = 7\sqrt{2}$.
$d = \frac{|-3\sqrt{2} - 7\sqrt{2}|}{\sqrt{1^2 + 7^2}} = \frac{10\sqrt{2}}{5\sqrt{2}} = 2$.

(B) ધારો કે બે પરસ્પર લંબ રેખાઓ $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ છે. બિંદુના યામ $(x, y)$ છે.
બિંદુનું $x$-અક્ષથી અંતર $|y|$ છે અને $y$-અક્ષથી અંતર $|x|$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ અંતરોનો સરવાળો $5$ છે,તેથી $|x| + |y| = 5$.
આ સમીકરણ એક ચોરસ દર્શાવે છે જેના શિરોબિંદુઓ $(5, 0), (0, 5), (-5, 0),$ અને $(0, -5)$ છે.
આ ચોરસના વિકર્ણની લંબાઈ $(5, 0)$ અને $(0, 5)$ વચ્ચેનું અંતર છે,જે $\sqrt{(5-0)^2 + (0-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ છે.
વિકર્ણ $d$ ધરાવતા ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} d^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (5\sqrt{2})^2 = \frac{1}{2} \times 50 = 25$ ચોરસ એકમ.

(D) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $r=12 \cos \theta+5 \sin \theta$ છે.
$\cos \theta=\frac{x}{r}$ અને $\sin \theta=\frac{y}{r}$ મૂકતા:
$r = 12 \left(\frac{x}{r}\right) + 5 \left(\frac{y}{r}\right)$
$r^2 = 12x + 5y$
કારણ કે $r^2 = x^2 + y^2$,તેથી:
$x^2 + y^2 - 12x - 5y = 0$
આને વ્યાપક સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$g = -6$ અને $f = -\frac{5}{2}$ મળે છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $\sqrt{g^2 + f^2 - c}$ દ્વારા મળે છે:
ત્રિજ્યા $= \sqrt{(-6)^2 + \left(-\frac{5}{2}\right)^2 - 0}$
ત્રિજ્યા $= \sqrt{36 + \frac{25}{4}}$
ત્રિજ્યા $= \sqrt{\frac{144 + 25}{4}} = \sqrt{\frac{169}{4}} = \frac{13}{2}$.

(D) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-4x-2y+c=0$ છે,જેનું કેન્દ્ર $A(2,1)$ છે.
પ્રથમ,આપણે અંતર $AP$ ની ગણતરી કરીએ:
$AP = \sqrt{(10-2)^2 + (7-1)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64+36} = \sqrt{100} = 10$.
કારણ કે $Q$ એ રેખાખંડ $PA$ પર આવેલું છે અને $PQ=5$ છે,તેથી અંતર $AQ = AP - PQ = 10 - 5 = 5$.
આમ,$Q$ એ $AP$ નું મધ્યબિંદુ છે કારણ કે $AQ = PQ = 5$.
$Q$ ના યામ $\left(\frac{10+2}{2}, \frac{7+1}{2}\right) = (6,4)$ છે.
કારણ કે $Q(6,4)$ વર્તુળ પર આવેલું છે,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$6^2 + 4^2 - 4(6) - 2(4) + c = 0$
$36 + 16 - 24 - 8 + c = 0$
$20 + c = 0$
$c = -20$.

(C) વર્તુળનું આપેલ સમીકરણ $x^2+y^2=4$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$.
બિંદુ $(1, \sqrt{3})$ પર,સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
$(1, \sqrt{3})$ પર સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - \sqrt{3} = -\frac{1}{\sqrt{3}}(x - 1)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x + \sqrt{3}y = 4$ થાય છે.
આ સ્પર્શક $x$-અક્ષને બિંદુ $B(4, 0)$ પર છેદે છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = \sqrt{3}$ છે.
$(1, \sqrt{3})$ પર અભિલંબનું સમીકરણ $y - \sqrt{3} = \sqrt{3}(x - 1)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = \sqrt{3}x$ થાય છે.
આ અભિલંબ ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
ધન $x$-અક્ષ,સ્પર્શક અને અભિલંબ દ્વારા બનતો ત્રિકોણ $\triangle OAB$ છે,જ્યાં $O(0, 0)$,$A(1, \sqrt{3})$,અને $B(4, 0)$ છે.
$\triangle OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times OB \times AD$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $AD$ એ બિંદુ $A$ નો $y$-યામ છે.
ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} \times 4 \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.

(D) રેખા $x+3y=0$ એ $(0,0)$ બિંદુએ વર્તુળનો સ્પર્શક છે. વર્તુળની ત્રિજ્યા $r=1$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h,k)$ એ $(0,0)$ બિંદુએ સ્પર્શકના અભિલંબ પર આવેલું છે.
સ્પર્શક $x+3y=0$ નો ઢાળ $m_t = -\frac{1}{3}$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = 3$ થાય.
$(0,0)$ માંથી પસાર થતા અભિલંબનું સમીકરણ $y-0 = 3(x-0)$ એટલે કે $y=3x$ છે.
આમ,કેન્દ્ર $(x, 3x)$ સ્વરૂપનું છે.
કેન્દ્ર $(x, 3x)$ થી $(0,0)$ બિંદુ સુધીનું અંતર ત્રિજ્યા $r=1$ જેટલું હોવું જોઈએ.
$\sqrt{(x-0)^2 + (3x-0)^2} = 1$
$\sqrt{x^2 + 9x^2} = 1$
$\sqrt{10x^2} = 1$
$|x|\sqrt{10} = 1 \Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{10}}$.
જો $x = \frac{1}{\sqrt{10}}$,તો $y = 3x = \frac{3}{\sqrt{10}}$. તેથી કેન્દ્ર $\left(\frac{1}{\sqrt{10}}, \frac{3}{\sqrt{10}}\right)$ મળે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો જવાબ $\left(\frac{1}{\sqrt{10}}, \frac{3}{\sqrt{10}}\right)$ છે.

(A) આપેલ કોએક્સિયલ વર્તુળ પ્રણાલી $4x^2 + 4y^2 - 12x + 6y - 3 + \lambda(x + 2y - 6) = 0$ છે.
$4$ વડે ભાગતા,$x^2 + y^2 - 3x + \frac{3}{2}y - \frac{3}{4} + \frac{\lambda}{4}(x + 2y - 6) = 0$ મળે.
રેડિકલ અક્ષ $x + 2y - 6 = 0$ છે. કેન્દ્રોની રેખા રેડિકલ અક્ષને લંબ હોય છે,તેથી તે $2x - y + k = 0$ સ્વરૂપમાં છે.
મૂળ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 3x + \frac{3}{2}y - \frac{3}{4} = 0$ નું કેન્દ્ર $(\frac{3}{2}, -\frac{3}{4})$ છે.
કેન્દ્રોની રેખા આ બિંદુમાંથી પસાર થતી હોવાથી,આપણે તેને $2x - y + k = 0$ માં મૂકીએ:
$2(\frac{3}{2}) - (-\frac{3}{4}) + k = 0 \implies 3 + \frac{3}{4} + k = 0 \implies k = -\frac{15}{4}$.
આમ,કેન્દ્રોની રેખાનું સમીકરણ $2x - y - \frac{15}{4} = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $8x - 4y - 15 = 0$ થાય છે.

(B) ધારો કે વર્તુળ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ છે,જ્યાં $(h, k)$ કેન્દ્ર છે.
તે $(3, 4)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $(3 - h)^2 + (4 - k)^2 = r^2$,જે દર્શાવે છે કે $h^2 + k^2 - 6h - 8k + 25 = r^2$.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2hx - 2ky + 6h + 8k - 25 = 0$ છે.
આ વર્તુળ $x^2 + y^2 - a^2 = 0$ ને લંબછેદી રીતે કાપે છે,તેથી $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$.
અહીં $g_1 = -h, f_1 = -k, c_1 = 6h + 8k - 25$ અને $g_2 = 0, f_2 = 0, c_2 = -a^2$.
આમ,$6h + 8k - 25 - a^2 = 0$.
કેન્દ્ર $(h, k)$ નો બિંદુપથ $6x + 8y - (25 + a^2) = 0$ છે.
આ રેખાનું $(0, 0)$ થી અંતર $\frac{|-(25 + a^2)|}{\sqrt{6^2 + 8^2}} = 25$ છે.
$\frac{25 + a^2}{10} = 25$ $\Rightarrow 25 + a^2 = 250$ $\Rightarrow a^2 = 225$.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y^2=12x$ છે. $y^2=4ax$ સાથે સરખાવતા,$a=3$ મળે છે.
પરવલય $y^2=4ax$ માટે $m$ ઢાળવાળા અભિલંબનું સમીકરણ $y=mx-2am-am^3$ છે.
આપેલ અભિલંબ $x+y=k$ છે,જેને $y=-x+k$ તરીકે લખી શકાય. તેથી,$m=-1$.
$m=-1$ અને $a=3$ ને અભિલંબના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = (-1)x - 2(3)(-1) - 3(-1)^3$
$y = -x + 6 + 3$
$y = -x + 9$
$y = -x + 9$ ને $x+y=k$ સાથે સરખાવતા,$k=9$ મળે છે.
પરવલય $y^2=12x$ ની નાભિ $S(a, 0) = (3, 0)$ છે.
નાભિ $(3, 0)$ થી રેખા $x+y-9=0$ પરના લંબની લંબાઈ $p$:
$p = \frac{|1(3) + 1(0) - 9|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-6|}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$p^2 = \frac{36}{2} = 18$.
હવે,$4k - 2p^2$ ની ગણતરી કરતા:
$4(9) - 2(18) = 36 - 36 = 0$.

(D) આપેલ રેખા $2x + 5y = 12$ છે અને ઉપવલય $4x^2 + 5y^2 = 20$ છે.
ઉપવલયના સમીકરણમાં $x = \frac{12 - 5y}{2}$ મૂકતા:
$4\left(\frac{12 - 5y}{2}\right)^2 + 5y^2 = 20$
$(12 - 5y)^2 + 5y^2 = 20$
$144 - 120y + 25y^2 + 5y^2 = 20$
$30y^2 - 120y + 124 = 0$
$15y^2 - 60y + 62 = 0$
વિવેચક $D = (-60)^2 - 4(15)(62) = 3600 - 3720 = -120$.
અહીં $D < 0$ હોવાથી,રેખા ઉપવલયને કોઈ વાસ્તવિક બિંદુમાં છેદતી નથી.
તેથી,બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદવાની શરત સંતોષાતી નથી,અને જવાબ 'આમાંથી કોઈ નહીં' આવશે.

(A) આપેલ અતિવલય $5 x^2-y^2=5$ છે,જેને $\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{5}=1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2=1$ અને $b^2=5$ છે.
ઢાળ $m$ વાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=m x \pm \sqrt{a^2 m^2-b^2}$ છે,જે $y=m x \pm \sqrt{m^2-5}$ બને છે.
સ્પર્શક $(2,8)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,$8=2 m \pm \sqrt{m^2-5}$,અથવા $(8-2 m)^2 = m^2-5$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$64+4 m^2-32 m = m^2-5$,જેનું સાદું રૂપ $3 m^2-32 m+69=0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા,$(3 m-23)(m-3)=0$,તેથી $m=3$ અથવા $m=\frac{23}{3}$.
$m=3$ માટે,સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=3 x \pm \sqrt{3^2-5} \Rightarrow y=3 x \pm 2$ મળે છે.
આમ,$3 x-y+2=0$ અથવા $3 x-y-2=0$ એ સ્પર્શકો છે.

(B) અતિવલયનું સમીકરણ $x^2 - 3y^2 = 3$ છે,જેને $\frac{x^2}{3} - y^2 = 1$ લખી શકાય.
બિંદુ $(\sqrt{3}, 0)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $x x_1 - 3 y y_1 = 3$ છે.
$(\sqrt{3}, 0)$ મૂકતા,$x(\sqrt{3}) - 3y(0) = 3$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $x = \sqrt{3}$ થાય.
અનંતસ્પર્શકોનું સમીકરણ $\frac{x^2}{3} - y^2 = 0$ એટલે કે $x = \pm \sqrt{3}y$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ છે: $(0, 0)$,$(\sqrt{3}, 1)$ અને $(\sqrt{3}, -1)$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |0(1 - (-1)) + \sqrt{3}(-1 - 0) + \sqrt{3}(0 - 1)| = \sqrt{3}$ ચોરસ એકમ.

(C) આપણે પ્રમાણિત લક્ષના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\lim _{x \rightarrow \infty} (1 + \frac{a}{x+b})^{x+c} = e^a$.
આપેલ પદાવલિ: $\lim _{x \rightarrow \infty} (\frac{x+6}{x+1})^{x+4}$.
આધારને ફરીથી લખતા: $\frac{x+6}{x+1} = \frac{x+1+5}{x+1} = 1 + \frac{5}{x+1}$.
તેથી,લક્ષ આ મુજબ બને છે: $\lim _{x \rightarrow \infty} (1 + \frac{5}{x+1})^{x+4}$.
ગુણધર્મ $\lim _{x \rightarrow \infty} (1 + \frac{k}{f(x)})^{g(x)} = e^{\lim _{x \rightarrow \infty} k \cdot \frac{g(x)}{f(x)}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= e^{\lim _{x \rightarrow \infty} 5 \cdot \frac{x+4}{x+1}}$.
$= e^{5 \cdot \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1 + 4/x}{1 + 1/x}} = e^{5 \cdot 1} = e^5$.

(A) $A_r$ શોધવા માટે,આપણે બંને બાજુ $(x+r)$ વડે ગુણીને $x \rightarrow -r$ માટે લક્ષ લઈએ છીએ.
$A_r = \lim_{x \rightarrow -r} \frac{x+r}{x(x+1)(x+2) \ldots(x+n)}$
$A_r = \frac{1}{(-r)(-r+1) \ldots (-1) \cdot (1) \cdot (2) \ldots (n-r)}$
છેદમાં $-r$ થી $-1$ સુધીના પદોનો ગુણાકાર $(-1)^r \cdot r!$ થાય છે અને $1$ થી $n-r$ સુધીના પદોનો ગુણાકાર $(n-r)!$ થાય છે.
તેથી,$A_r = \frac{1}{(-1)^r \cdot r! \cdot (n-r)!} = \frac{(-1)^r}{r!(n-r)!}$.

(D) આપેલ છે કે,$x = \log \left( \frac{1}{y} + \sqrt{1 + \frac{1}{y^2}} \right)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રતિવર્ષી હાઇપરબોલિક કોસેકન્ટ વિધેયની વ્યાખ્યા $\operatorname{cosech}^{-1} y = \log \left( \frac{1}{y} + \sqrt{\frac{1}{y^2} + 1} \right)$ છે.
આ સમીકરણની સરખામણી આપેલ સમીકરણ સાથે કરતા,આપણને $x = \operatorname{cosech}^{-1} y$ મળે છે.
બંને બાજુ હાઇપરબોલિક કોસેકન્ટ લેતા,આપણને $y = \operatorname{cosech} x$ મળે છે.

(C) ધારો કે થાંભલાની ઊંચાઈ $2h$ છે,જ્યાં $B$ એ મધ્યબિંદુ છે જેથી $AB = BC = h$. ધારો કે $PA = x$. આખા થાંભલા દ્વારા આંતરેલો ખૂણો $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$ છે,તેથી $\tan \theta = \frac{2h}{x} = \frac{1}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $x = 4h$.
હવે,$\tan \beta = \frac{h}{x} = \frac{h}{4h} = \frac{1}{4}$.
આપેલ છે કે $\theta = \alpha + \beta$,તેથી $\alpha = \theta - \beta$.
સૂત્ર $\tan \alpha = \tan(\theta - \beta) = \frac{\tan \theta - \tan \beta}{1 + \tan \theta \tan \beta} = \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{4}}{1 + (\frac{1}{2})(\frac{1}{4})} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{9}{8}} = \frac{2}{9}$.
આમ,$(\tan \alpha, \tan \beta) = \left(\frac{2}{9}, \frac{1}{4}\right)$.

(B) ધારો કે $P$ એ $Q(2,2,1)$ અને $R(5,1,-2)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $m:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P$ ના યામ નીચે મુજબ મળે:
$P = \left( \frac{5m+2}{m+1}, \frac{m+2}{m+1}, \frac{-2m+1}{m+1} \right)$.
આપેલ છે કે $P$ નો $x$-યામ $4$ છે,તેથી:
$\frac{5m+2}{m+1} = 4$.
બંને બાજુ $(m+1)$ વડે ગુણતા:
$5m + 2 = 4(m + 1) \Rightarrow 5m + 2 = 4m + 4$.
$m$ માટે ઉકેલતા,આપણને $m = 2$ મળે છે.
હવે,$z$-યામના સૂત્રમાં $m = 2$ મૂકતા:
$z = \frac{-2(2) + 1}{2 + 1} = \frac{-4 + 1}{3} = \frac{-3}{3} = -1$.
આમ,$P$ નો $z$-યામ $-1$ છે.

(A) પ્રથમ,$A$,$C$,અને $D$ ની કિંમતો શોધીએ:
$A = \left| \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{array} \right| = 1$.
$C = -1$.
$D = -2$.
સમીકરણ $x^3 + Bx^2 - x + 2 = 0$ બને છે.
ધારો કે બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે. $\alpha + \beta = 0$ આપેલ છે.
વિયેટાના સૂત્ર મુજબ,$\alpha + \beta + \gamma = -B$,તેથી $\gamma = -B$.
સમીકરણમાં $\gamma = -B$ મુકતા:
$(-B)^3 + B(-B)^2 - (-B) + 2 = 0$
$-B^3 + B^3 + B + 2 = 0$
$B = -2$.

(C) આપેલ છે,$A=\left[\begin{array}{rrr}-1 & -2 & -3 \\ 3 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 6\end{array}\right]$.
$A$ નો નિશ્ચાયક શોધતા:
$|A| = -1(24-25) + 2(18-20) - 3(15-16) = 1 - 4 + 3 = 0$.
કારણ કે $|A| = 0$,તેથી $A$ નો ક્રમ $3$ થી ઓછો છે. આપણે $2 \times 2$ નો માઇનર તપાસીએ: $\left|\begin{array}{rr}4 & 5 \\ 5 & 6\end{array}\right| = 24 - 25 = -1 \neq 0$.
તેથી,$A$ નો ક્રમ $a = 2$ છે.
આપેલ છે,$B=\left[\begin{array}{rr}1 & -2 \\ -1 & 2\end{array}\right]$.
$B$ નો નિશ્ચાયક શોધતા:
$|B| = (1)(2) - (-2)(-1) = 2 - 2 = 0$.
કારણ કે $|B| = 0$ અને ઓછામાં ઓછો એક ઘટક શૂન્યતર છે,તેથી $B$ નો ક્રમ $b = 1$ છે.
આપેલ છે,$C=\left[\begin{array}{rrr}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]$.
$C$ નો નિશ્ચાયક શોધતા:
$|C| = 2(4-0) = 8 \neq 0$.
કારણ કે $C$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે અને તેનો નિશ્ચાયક શૂન્યતર છે,તેથી $C$ નો ક્રમ $c = 3$ છે.
કિંમતોની સરખામણી કરતા: $b = 1, a = 2, c = 3$.
આમ,$b < a < c$.

(A) આપેલ છે,$f: Z \rightarrow Z$ જ્યાં $f(x)=\begin{cases} \frac{x}{2}, & \text{જો } x \text{ બેકી હોય} \\ 0, & \text{જો } x \text{ એકી હોય} \end{cases}$.
એક-એક વિધેય માટે: ધારો કે $x_1 = 1$ અને $x_2 = 3$. બંને એકી સંખ્યાઓ છે,તેથી $f(1) = 0$ અને $f(3) = 0$. અહીં $f(1) = f(3)$ છે પરંતુ $1 \neq 3$,તેથી વિધેય એક-એક નથી.
વ્યાપ્ત વિધેય માટે: $f$ નો વિસ્તાર તમામ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓનો ગણ $Z$ છે. કોઈપણ પૂર્ણાંક $y \in Z$ માટે,આપણને એવો $x \in Z$ મળે કે જેથી $f(x) = y$. જો $y = 0$ હોય,તો $f(1) = 0$. જો $y \neq 0$ હોય,તો $x = 2y$ લો,જે બેકી સંખ્યા છે,તેથી $f(2y) = \frac{2y}{2} = y$. વિસ્તાર એ સહપ્રદેશ $(Z)$ જેટલો હોવાથી,વિધેય વ્યાપ્ત છે.
તેથી,$f$ એ વ્યાપ્ત છે પણ એક-એક નથી.

(B) આપેલ છે કે $f(x)$ એ $x=0$ આગળ સતત છે,તેથી $\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = f(0) = 2$.
પ્રથમ,ડાબી બાજુની લક્ષ $(LHL)$ શોધો:
$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{h \rightarrow 0} f(-h) = \lim_{h \rightarrow 0} \left( \beta + \left[ \frac{\sin(-h) - (-h)}{(-h)^3} \right] \right) = \lim_{h \rightarrow 0} \left( \beta + \left[ \frac{-\sin h + h}{-h^3} \right] \right) = \lim_{h \rightarrow 0} \left( \beta + \left[ \frac{\sin h - h}{h^3} \right] \right)$.
ટેલર શ્રેણીના વિસ્તરણ $\sin h = h - \frac{h^3}{6} + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{\sin h - h}{h^3} = \frac{-h^3/6}{h^3} = -\frac{1}{6}$ મળે છે.
આમ,$LHL$ $= \beta + [-1/6] = \beta - 1$.
કારણ કે $LHL$ $= f(0)$,તેથી $\beta - 1 = 2 \Rightarrow \beta = 3$.
હવે,જમણી બાજુની લક્ષ $(RHL)$ શોધો:
$\lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \left( \alpha + \frac{\sin [h]}{h} \right)$.
$0 < h < 1$ માટે,$[h] = 0$,તેથી $\lim_{h \rightarrow 0} \left( \alpha + \frac{\sin 0}{h} \right) = \alpha + 0 = \alpha$.
કારણ કે $RHL$ $= f(0)$,તેથી $\alpha = 2$.
અંતે,$\beta - \alpha = 3 - 2 = 1$.

(A) આપેલ છે કે $x^4+y^4=t^2+\frac{1}{t^2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(x^2+y^2)^2 = x^4+y^4+2x^2y^2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$(t+\frac{1}{t})^2 = (t^2+\frac{1}{t^2}) + 2x^2y^2$.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$t^2 + 2(t)(\frac{1}{t}) + \frac{1}{t^2} = t^2 + \frac{1}{t^2} + 2x^2y^2$.
$t^2 + 2 + \frac{1}{t^2} = t^2 + \frac{1}{t^2} + 2x^2y^2$.
બંને બાજુથી $t^2 + \frac{1}{t^2}$ બાદ કરતા,આપણને મળે છે:
$2 = 2x^2y^2 \Rightarrow x^2y^2 = 1$.
તેથી,$y^2 = \frac{1}{x^2}$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2y \frac{dy}{dx} = -\frac{2}{x^3}$.
બંને બાજુ $\frac{x^3}{2}$ વડે ગુણતા:
$x^3 y \frac{dy}{dx} = -1$.

(A) આપેલ છે,$x^m y^n = (x+y)^{m+n}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (log) લેતા:
$m \ln x + n \ln y = (m+n) \ln(x+y)$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{m}{x} + \frac{n}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{m+n}{x+y} \left(1 + \frac{dy}{dx}\right)$.
$\frac{dy}{dx}$ ને અલગ કરવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$\frac{m}{x} - \frac{m+n}{x+y} = \frac{dy}{dx} \left( \frac{m+n}{x+y} - \frac{n}{y} \right)$.
બંને બાજુ સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{m(x+y) - x(m+n)}{x(x+y)} = \frac{dy}{dx} \left( \frac{y(m+n) - n(x+y)}{y(x+y)} \right)$.
$\frac{mx + my - mx - nx}{x(x+y)} = \frac{dy}{dx} \left( \frac{my + ny - nx - ny}{y(x+y)} \right)$.
$\frac{my - nx}{x(x+y)} = \frac{dy}{dx} \left( \frac{my - nx}{y(x+y)} \right)$.
અહીં $my - nx \neq 0$ હોવાથી,તે પદ ઉડી જશે:
$\frac{1}{x} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{1}{y}$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$.

(D) $f(x)$ એ $x=0$ આગળ સતત હોવા માટે,$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) = 2$ હોવું જોઈએ.
પ્રથમ,જમણી બાજુની લક્ષ કિંમત: $\lim_{x \to 0^+} (\alpha + \frac{\sin [x]}{x})$. $0 < x < 1$ માટે $[x] = 0$ હોવાથી,લક્ષ $\alpha + 0 = \alpha$ થાય. તેથી,$\alpha = 2$.
ત્યારબાદ,ડાબી બાજુની લક્ષ કિંમત: $\lim_{x \to 0^-} (\beta + \frac{\sin x - x}{x^3})$. ટેલર શ્રેણી $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{\sin x - x}{x^3} = -\frac{1}{6}$ મળે. તેથી,$\beta - \frac{1}{6} = 2$,જેનો અર્થ છે કે $\beta = \frac{13}{6}$.

(B) આપેલ છે કે ઘનફળમાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{dV}{dt} = 2 \pi \text{ cm}^3/\text{s}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ગોલકનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
બંને બાજુ $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$ મળે છે.
$V = 288 \pi$ આપેલ હોવાથી,ત્રિજ્યા $r$ નીચે મુજબ શોધી શકાય:
$288 \pi = \frac{4}{3} \pi r^3 \Rightarrow 216 = r^3 \Rightarrow r = 6 \text{ cm}$.
આ કિંમતોને વિકલનના સમીકરણમાં મૂકતા:
$2 \pi = 4 \pi (6)^2 \frac{dr}{dt}$
$2 \pi = 4 \pi (36) \frac{dr}{dt}$
$2 \pi = 144 \pi \frac{dr}{dt}$
$\frac{dr}{dt} = \frac{2 \pi}{144 \pi} = \frac{1}{72} \text{ cm}/\text{s}$.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{x^2 \sqrt{4+x^2}}$.
$x = 2 \tan \theta$ આદેશ લેતા,$dx = 2 \sec^2 \theta \ d\theta$ મળે.
સંકલન $I = \int \frac{2 \sec^2 \theta \ d\theta}{(4 \tan^2 \theta) \sqrt{4 + 4 \tan^2 \theta}}$ થશે.
અહીં $\sqrt{4(1 + \tan^2 \theta)} = 2 \sec \theta$ હોવાથી,$I = \int \frac{2 \sec^2 \theta \ d\theta}{4 \tan^2 \theta \cdot 2 \sec \theta} = \frac{1}{4} \int \frac{\sec \theta}{\tan^2 \theta} \ d\theta$.
$I = \frac{1}{4} \int \frac{1/\cos \theta}{\sin^2 \theta / \cos^2 \theta} \ d\theta = \frac{1}{4} \int \frac{\cos \theta}{\sin^2 \theta} \ d\theta$.
$u = \sin \theta$ લેતા,$du = \cos \theta \ d\theta$ મળે. તેથી $I = \frac{1}{4} \int u^{-2} \ du = \frac{1}{4} (-u^{-1}) + C = -\frac{1}{4 \sin \theta} + C$.
$\tan \theta = \frac{x}{2}$ હોવાથી,$\sin \theta = \frac{x}{\sqrt{x^2+4}}$ થાય.
આમ,$I = -\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{x^2+4}}{x} + C = -\frac{\sqrt{4+x^2}}{4x} + C$.

(D) ધારો કે $I = \int \sec^2 x \operatorname{cosec}^4 x \, dx$.
આપણે $\sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$ અને $\operatorname{cosec}^4 x = \frac{1}{\sin^4 x}$ લખી શકીએ.
$I = \int \frac{1}{\cos^2 x \sin^4 x} \, dx = \int \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\cos^2 x \sin^4 x} \, dx$.
$I = \int \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x \sin^4 x} \, dx + \int \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x \sin^4 x} \, dx$.
$I = \int \frac{1}{\cos^2 x \sin^2 x} \, dx + \int \operatorname{cosec}^4 x \, dx$.
$I = \int \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\cos^2 x \sin^2 x} \, dx + \int \operatorname{cosec}^2 x \operatorname{cosec}^2 x \, dx$.
$I = \int (\sec^2 x + \operatorname{cosec}^2 x) \, dx + \int (1 + \cot^2 x) \operatorname{cosec}^2 x \, dx$.
$I = \tan x - \cot x + \int \operatorname{cosec}^2 x \, dx + \int \cot^2 x \operatorname{cosec}^2 x \, dx$.
ધારો કે $u = \cot x$,તો $du = -\operatorname{cosec}^2 x \, dx$.
$I = \tan x - \cot x - \cot x - \int u^2 \, du$.
$I = \tan x - 2 \cot x - \frac{u^3}{3} + C = \tan x - 2 \cot x - \frac{1}{3} \cot^3 x + C$.
આપેલ સમીકરણ $-\frac{1}{3} \cot^3 x + k \tan x - 2 \cot x + C$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = 1$ મળે છે.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{\sqrt{x-x^2}}$.
છેદને $\sqrt{x(1-x)}$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,$I = \int \frac{dx}{\sqrt{x} \sqrt{1-x}}$.
ધારો કે $\sqrt{x} = \sin \theta$. તો $x = \sin^2 \theta$.
બંને બાજુ $\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$dx = 2 \sin \theta \cos \theta \, d\theta$ મળે.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{2 \sin \theta \cos \theta \, d\theta}{\sin \theta \sqrt{1-\sin^2 \theta}}$
$I = \int \frac{2 \sin \theta \cos \theta \, d\theta}{\sin \theta \cos \theta}$
$I = \int 2 \, d\theta = 2\theta + C$.
અહીં $\sin \theta = \sqrt{x}$ હોવાથી,$\theta = \sin^{-1} \sqrt{x}$ થાય.
તેથી,$I = 2 \sin^{-1} \sqrt{x} + C$.

(C) ધારો કે છેદબિંદુ $P$ છે. રેખા $l_1$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $(1+t, -6+2t, 2+t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રેખા $l_2$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $(2u, 4+u, 1+2u)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
છેદબિંદુ માટે,આપણે યામોને સરખાવીએ છીએ:
$1+t = 2u$ $(i)$
$-6+2t = 4+u$ $(ii)$
$2+t = 1+2u$ $(iii)$
$(i)$ પરથી,$t = 2u - 1$. આ કિંમતને $(ii)$ માં મૂકતા:
$-6 + 2(2u - 1) = 4 + u$
$-6 + 4u - 2 = 4 + u$
$3u = 12 \Rightarrow u = 4$.
$u = 4$ ને $t = 2u - 1$ માં મૂકતા,આપણને $t = 2(4) - 1 = 7$ મળે છે.
હવે,$l_1$ માં $t = 7$ નો ઉપયોગ કરીને બિંદુ $P$ શોધો:
$P = (1+7, -6+2(7), 2+7) = (8, 8, 9)$.

(B) ધારો કે રેખાના દિક્કોસાઈન $(l, m, n)$ છે.
રેખા ત્રણેય યામ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણે નમેલી હોવાથી,રેખા દ્વારા $x, y, z$ અક્ષો સાથે બનાવેલા ખૂણા $\alpha, \beta, \gamma$ સમાન છે,એટલે કે $\alpha = \beta = \gamma$.
તેથી,દિક્કોસાઈન સમાન છે: $l = m = n$.
આપણે જાણીએ છીએ કે દિક્કોસાઈનના વર્ગોનો સરવાળો $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ થાય છે.
$l = m = n$ મૂકતા,આપણને $l^2 + l^2 + l^2 = 1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $3l^2 = 1$.
આમ,$l^2 = \frac{1}{3}$,તેથી $l = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
રેખા દ્વારા $y$-અક્ષ સાથે બનાવેલો ખૂણો $\beta$ એ $\cos \beta = m = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મુખ્ય કિંમત લેતા,$\beta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$.

(D) ધારો કે સદિશ $r$ એ $a$ અને $b$ ના સમતલમાં છે. તેથી,$r$ ને $r = a + tb$ તરીકે દર્શાવી શકાય.
$r = (i + 2j + k) + t(i - j + k) = (1 + t)i + (2 - t)j + (1 + t)k$.
$r$ નો $c$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{r \cdot c}{|c|}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $|c| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}$.
પ્રક્ષેપ $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{((1 + t)i + (2 - t)j + (1 + t)k) \cdot (i + j - k)}{\sqrt{3}}$.
બંને બાજુ $\sqrt{3}$ વડે ગુણતા,$1 = (1 + t)(1) + (2 - t)(1) + (1 + t)(-1)$.
$1 = 1 + t + 2 - t - 1 - t$.
$1 = 2 - t$.
$t = 1$.
$t = 1$ ની કિંમત $r$ માં મૂકતા:
$r = (1 + 1)i + (2 - 1)j + (1 + 1)k = 2i + j + 2k$.

(A) ઉગમબિંદુ $(0,0,0)$ થી સમતલ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ $P(1,2,3)$ આપેલ છે.
કારણ કે ઉગમબિંદુ $(0,0,0)$ અને લંબપાદ $(1,2,3)$ ને જોડતી રેખા સમતલને લંબ છે,તેથી સમતલના અભિલંબના દિકગુણોત્તર $(1-0, 2-0, 3-0) = (1, 2, 3)$ થશે.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતા અને $(a, b, c)$ દિકગુણોત્તર ધરાવતા અભિલંબવાળા સમતલનું સમીકરણ $a(x-x_1) + b(y-y_1) + c(z-z_1) = 0$ છે.
બિંદુ $(1, 2, 3)$ અને અભિલંબ સદિશ $(1, 2, 3)$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$1(x-1) + 2(y-2) + 3(z-3) = 0$
$x - 1 + 2y - 4 + 3z - 9 = 0$
$x + 2y + 3z - 14 = 0$
$x + 2y + 3z = 14$.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(1,0,0), B(0,1,0)$ અને $C(1,1,1)$ છે.
બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર ગણો:
$AB = \sqrt{(0-1)^2 + (1-0)^2 + 0^2} = \sqrt{2}$
$BC = \sqrt{(1-0)^2 + (1-1)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{2}$
$CA = \sqrt{(1-1)^2 + (1-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{2}$
અહીં $AB = BC = CA = \sqrt{2}$ હોવાથી,આ બિંદુઓ એક સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે.
આ બિંદુઓમાંથી પસાર થતા સૌથી નાની ત્રિજ્યાવાળા ગોલકનું કેન્દ્ર ત્રિકોણ $ABC$ ના મધ્યકેન્દ્ર પર હોય છે.
કેન્દ્ર $C' = \left(\frac{1+0+1}{3}, \frac{0+1+1}{3}, \frac{0+0+1}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right)$.
ત્રિજ્યા $R$ એ $C'$ થી કોઈ પણ બિંદુ,જેમ કે $A(1,0,0)$ સુધીનું અંતર છે:
$R^2 = \left(\frac{2}{3}-1\right)^2 + \left(\frac{2}{3}-0\right)^2 + \left(\frac{1}{3}-0\right)^2 = \frac{1}{9} + \frac{4}{9} + \frac{1}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.
ગોલકનું સમીકરણ $(x-\frac{2}{3})^2 + (y-\frac{2}{3})^2 + (z-\frac{1}{3})^2 = \frac{2}{3}$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2 - \frac{4x}{3} + \frac{4}{9} + y^2 - \frac{4y}{3} + \frac{4}{9} + z^2 - \frac{2z}{3} + \frac{1}{9} = \frac{6}{9}$.
$x^2 + y^2 + z^2 - \frac{4x}{3} - \frac{4y}{3} - \frac{2z}{3} + \frac{9}{9} = \frac{6}{9}$.
$x^2 + y^2 + z^2 - \frac{4x}{3} - \frac{4y}{3} - \frac{2z}{3} + 1 = \frac{2}{3}$.
બંને બાજુ $3$ વડે ગુણતા: $3(x^2+y^2+z^2) - 4x - 4y - 2z + 3 = 2$.
$3(x^2+y^2+z^2) - 4x - 4y - 2z + 1 = 0$.

(B) ધારો કે ચાર મશીનો $M_1, M_2, F_1, F_2$ છે,જ્યાં $F_1, F_2$ ખામીયુક્ત છે અને $M_1, M_2$ ખામીયુક્ત નથી.
આપણે બંને ખામીયુક્ત મશીનોને ઓળખવાની જરૂર છે. ચારમાંથી બે મશીનોને ચોક્કસ ક્રમમાં પસંદ કરવાની કુલ રીતો $4 \times 3 = 12$ છે.
માત્ર બે પરીક્ષણોની જરૂર પડે તે માટે,પ્રથમ બે તપાસાયેલા મશીનો બંને ખામીયુક્ત હોવા જોઈએ ($F_1, F_2$ અથવા $F_2, F_1$).
પ્રથમ પરીક્ષણમાં ખામીયુક્ત મશીન પસંદ કરવાની સંભાવના $\frac{2}{4}$ છે.
જો પ્રથમ મશીન ખામીયુક્ત હોય,તો બીજા પરીક્ષણમાં બીજું ખામીયુક્ત મશીન પસંદ કરવાની સંભાવના $\frac{1}{3}$ છે.
તેથી,બંને ખામીયુક્ત મશીનો બરાબર બે પરીક્ષણોમાં ઓળખાય તેની સંભાવના $\frac{2}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$ છે.

(B) ધારો કે $E_1$ એ ઘટના છે કે વિદ્યાર્થી જવાબ જાણે છે અને $E_2$ એ ઘટના છે કે વિદ્યાર્થી જવાબનું અનુમાન લગાવે છે.
આપેલ છે કે $P(E_1) = 9/10$,તેથી $P(E_2) = 1 - 9/10 = 1/10$.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે જવાબ સાચો છે.
જો વિદ્યાર્થી જવાબ જાણે છે,તો સાચો જવાબ આપવાની સંભાવના $P(E|E_1) = 1$ છે.
જો વિદ્યાર્થી અનુમાન લગાવે છે,તો $4$ વિકલ્પોમાંથી $1$ સાચો હોવાથી,સાચો જવાબ આપવાની સંભાવના $P(E|E_2) = 1/4$ છે.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,જો જવાબ સાચો હોય તો વિદ્યાર્થીએ અનુમાન લગાવ્યું હોય તેની સંભાવના $P(E_2|E) = \frac{P(E|E_2)P(E_2)}{P(E|E_1)P(E_1) + P(E|E_2)P(E_2)}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$P(E_2|E) = \frac{(1/4) \times (1/10)}{(1) \times (9/10) + (1/4) \times (1/10)} = \frac{1/40}{9/10 + 1/40} = \frac{1/40}{36/40 + 1/40} = \frac{1/40}{37/40} = \frac{1}{37}$.

(A) આપેલ છે કે $X$ દ્વિપદી વિતરણને અનુસરે છે,તેથી સંભાવના દળ વિધેય $P(X=r) = { }^n C_r p^r q^{n-r}$ છે,જ્યાં $q = 1-p$.
ગુણોત્તર નીચે મુજબ છે:
$\frac{P(X=r)}{P(X=n-r)} = \frac{{ }^n C_r p^r q^{n-r}}{{ }^n C_{n-r} p^{n-r} q^r}$
કારણ કે ${ }^n C_r = { }^n C_{n-r}$,પદાવલિનું સાદું રૂપ નીચે મુજબ થાય છે:
$\frac{P(X=r)}{P(X=n-r)} = \frac{p^r q^{n-r}}{p^{n-r} q^r} = \left(\frac{p}{q}\right)^r \left(\frac{q}{p}\right)^{n-r} = \left(\frac{q}{p}\right)^{n-2r}$
આ પદાવલિ $n$ થી સ્વતંત્ર રહે તે માટે,$n$ વાળા ઘાતાંકનો આધાર $1$ હોવો જોઈએ.
તેથી,$\frac{q}{p} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $q = p$.
કારણ કે $p + q = 1$,તેથી $p + p = 1$,જે આપણને $2p = 1$ આપે છે.
આમ,$p = \frac{1}{2}$.

(A) ધારો કે $X$ એ $100$ વખત સિક્કો ઉછાળતા મળતી છાપની સંખ્યા છે. $X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે જ્યાં $n = 100$ અને $p = \frac{1}{2}$ છે.
$k$ વખત છાપ મળવાની સંભાવના $P(X=k) = {}^{100}C_k (\frac{1}{2})^k (\frac{1}{2})^{100-k} = {}^{100}C_k (\frac{1}{2})^{100}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે એકી સંખ્યામાં છાપ મળે તેની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(X=1) + P(X=3) + \dots + P(X=99)$ છે.
આ સરવાળો $(\frac{1}{2})^{100} \times ({}^{100}C_1 + {}^{100}C_3 + \dots + {}^{100}C_{99})$ જેટલો થાય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે એકી ક્રમના દ્વિપદી સહગુણકોનો સરવાળો ${}^{n}C_1 + {}^{n}C_3 + \dots = 2^{n-1}$ થાય છે.
$n=100$ માટે,આ સરવાળો $2^{100-1} = 2^{99}$ થાય છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $(\frac{1}{2})^{100} \times 2^{99} = \frac{2^{99}}{2^{100}} = \frac{1}{2}$ છે.

(B) આપેલ વક્રો $y^2=4x$ અને $x^2=4y$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$y = \frac{x^2}{4}$ ને $y^2=4x$ માં મૂકતા:
$\left(\frac{x^2}{4}\right)^2 = 4x$
$\frac{x^4}{16} = 4x$
$x^4 = 64x$
$x(x^3 - 64) = 0$
તેથી,$x = 0$ અથવા $x = 4$.
જ્યારે $x = 0, y = 0$. જ્યારે $x = 4, y = 4$.
છેદબિંદુઓ $O(0,0)$ અને $A(4,4)$ છે.
આવશ્યક ક્ષેત્રફળ $x=0$ થી $x=4$ સુધી ઉપરના વક્રમાંથી નીચેના વક્રને બાદ કરીને સંકલન દ્વારા મળે છે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_{0}^{4} \left( \sqrt{4x} - \frac{x^2}{4} \right) dx$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_{0}^{4} \left( 2\sqrt{x} - \frac{x^2}{4} \right) dx$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \left[ 2 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^3}{12} \right]_{0}^{4}$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \left[ \frac{4}{3}x^{3/2} - \frac{x^3}{12} \right]_{0}^{4}$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \left( \frac{4}{3}(4)^{3/2} - \frac{4^3}{12} \right) - (0)$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \left( \frac{4}{3} \cdot 8 - \frac{64}{12} \right)$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{32}{3} - \frac{16}{3} = \frac{16}{3} \text{ ચોરસ એકમ.}$

(D) આપેલ સંકલન $\int_0^4 f(x) d x$ છે જ્યાં $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ અને $h=1$ છે.
$x = 0, 1, 2, 3, 4$ માટે $f(x)$ ના મૂલ્યો નીચે મુજબ છે:
$y_0 = f(0) = 1$
$y_1 = f(1) = \frac{1}{2}$
$y_2 = f(2) = \frac{1}{5}$
$y_3 = f(3) = \frac{1}{10}$
$y_4 = f(4) = \frac{1}{17}$
ટ્રેપેઝોઇડલ નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\int_0^4 f(x) d x = \frac{h}{2} [ (y_0 + y_4) + 2(y_1 + y_2 + y_3) ]$
$= \frac{1}{2} [ (1 + \frac{1}{17}) + 2(\frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{10}) ]$
$= \frac{1}{2} [ \frac{18}{17} + 2(\frac{5+2+1}{10}) ]$
$= \frac{1}{2} [ \frac{18}{17} + 2(\frac{8}{10}) ]$
$= \frac{1}{2} [ \frac{18}{17} + \frac{8}{5} ]$
$= \frac{1}{2} [ \frac{90 + 136}{85} ]$
$= \frac{1}{2} [ \frac{226}{85} ] = \frac{113}{85}$

(D) આપેલ છે,$A=\left[\begin{array}{rr}i & -i \\ -i & i\end{array}\right]$ અને $B=\left[\begin{array}{rr}1 & -1 \\ -1 & 1\end{array}\right]$.
પ્રથમ,$A^2$ ની ગણતરી કરો:
$A^2 = \left[\begin{array}{rr}i & -i \\ -i & i\end{array}\right] \left[\begin{array}{rr}i & -i \\ -i & i\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rr}i^2+i^2 & -i^2-i^2 \\ -i^2-i^2 & i^2+i^2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rr}-2 & 2 \\ 2 & -2\end{array}\right] = -2 \left[\begin{array}{rr}1 & -1 \\ -1 & 1\end{array}\right] = -2B$.
હવે,$A^2 = -2B$ નો ઉપયોગ કરીને $A^8$ શોધો:
$A^8 = (A^2)^4 = (-2B)^4 = (-2)^4 B^4 = 16 B^4$.
આગળ,$B^2$ ની ગણતરી કરો:
$B^2 = \left[\begin{array}{rr}1 & -1 \\ -1 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{rr}1 & -1 \\ -1 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rr}2 & -2 \\ -2 & 2\end{array}\right] = 2B$.
તેથી $B^4 = (B^2)^2 = (2B)^2 = 4B^2 = 4(2B) = 8B$.
અંતે,$A^8 = 16(8B) = 128B$.

(C) આપેલ છે,$A = \begin{bmatrix} -1 & -2 & -3 \\ 3 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયક $|A| = -1(24-25) + 2(18-20) - 3(15-16) = 1 - 4 + 3 = 0$.
કારણ કે $|A| = 0$,તેથી $A$ નો નિશ્ચાયક (Rank) $3$ કરતા ઓછો છે.
ગૌણ નિશ્ચાયક $\begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 5 & 6 \end{vmatrix} = 24 - 25 = -1 \neq 0$ ધ્યાનમાં લો.
આમ,$A$ નો નિશ્ચાયક $a = 2$ છે.
આપેલ છે,$B = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયક $|B| = (1)(2) - (-2)(-1) = 2 - 2 = 0$.
કારણ કે $|B| = 0$ અને ઓછામાં ઓછો એક શૂન્યતર ઘટક અસ્તિત્વ ધરાવે છે (દા.ત.,$1 \neq 0$),તેથી $B$ નો નિશ્ચાયક $b = 1$ છે.
આપેલ છે,$C = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયક $|C| = 2(4 - 0) = 8 \neq 0$.
કારણ કે $C$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે અને $|C| \neq 0$,તેથી $C$ નો નિશ્ચાયક $c = 3$ છે.
નિશ્ચાયકોની સરખામણી કરતા: $b = 1, a = 2, c = 3$.
તેથી,સાચો ક્રમ $b < a < c$ છે.

(A) આપેલ છે,$f(x) = \left|\begin{array}{ccc} 1 & x & x+1 \\ 2x & x(x-1) & x(x+1) \\ 3x(x-1) & x(x-1)(x-2) & (x-1)x(x+1) \end{array}\right|$.
$R_2$ માંથી $x$ અને $R_3$ માંથી $x(x-1)$ સામાન્ય લેતા:
$f(x) = x \cdot x(x-1) \left|\begin{array}{ccc} 1 & x & x+1 \\ 2 & x-1 & x+1 \\ 3 & x-2 & x+1 \end{array}\right|$.
$C_3$ માંથી $(x+1)$ સામાન્ય લેતા:
$f(x) = x^2(x-1)(x+1) \left|\begin{array}{ccc} 1 & x & 1 \\ 2 & x-1 & 1 \\ 3 & x-2 & 1 \end{array}\right|$.
હવે,હારની પ્રક્રિયાઓ $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ કરતા:
$f(x) = x^2(x^2-1) \left|\begin{array}{ccc} 1 & x & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 2 & -2 & 0 \end{array}\right|$.
$C_3$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$f(x) = x^2(x^2-1) \cdot 1 \cdot \left|\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 2 & -2 \end{array}\right| = x^2(x^2-1) \cdot (-2 - (-2)) = x^2(x^2-1) \cdot 0 = 0$.
આમ,દરેક $x$ માટે $f(x) = 0$ થાય છે.
તેથી,$f(2012) = 0$.

(B) આપેલ સમીકરણોની સંહતિ નીચે મુજબ છે:
$(a \alpha+b) x+a y+b z=0$
$(b \alpha+c) x+b y+c z=0$
$(a \alpha+b) y+(b \alpha+c) z=0$
શૂન્યેતર ઉકેલ માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\left|\begin{array}{ccc}a \alpha+b & a & b \\ b \alpha+c & b & c \\ 0 & a \alpha+b & b \alpha+c\end{array}\right|=0$
હાર પ્રક્રિયા $R_3 \rightarrow R_3 - \alpha R_1 - R_2$ લાગુ પાડતા:
ત્રીજી હાર આ મુજબ બનશે: $0 - \alpha(a \alpha+b) - (b \alpha+c) = -(a \alpha^2+2 b \alpha+c)$,$a \alpha+b - \alpha(a) - b = 0$,અને $b \alpha+c - \alpha(b) - c = 0$.
આમ,નિશ્ચાયક નીચે મુજબ થશે:
$\left|\begin{array}{ccc}a \alpha+b & a & b \\ b \alpha+c & b & c \\ -(a \alpha^2+2 b \alpha+c) & 0 & 0\end{array}\right|=0$
ત્રીજી હારના સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$-(a \alpha^2+2 b \alpha+c)(ac - b^2) = 0$
આપેલ છે કે $a \alpha^2+2 b \alpha+c \neq 0$,તેથી:
$ac - b^2 = 0 \Rightarrow b^2 = ac$
આ શરત સૂચવે છે કે $a, b, c$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે.

(B) ધારો કે $x = \cos \theta$. કારણ કે $\frac{1}{2} \leq x \leq 1$,તેથી $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{3}$ મળે.
હવે,પદાવલિ $\cos ^{-1}(\cos \theta) + \cos ^{-1}\left(\frac{1}{2} \cos \theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta\right)$ બને છે.
નિત્યસમ $\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos A = \frac{1}{2}$ અને $\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}$ લેતા,$A = \frac{\pi}{3}$ મળે.
આમ,પદાવલિ $\theta + \cos ^{-1}(\cos(\theta - \frac{\pi}{3}))$ થાય.
કારણ કે $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{3}$,તેથી $-\frac{\pi}{3} \leq \theta - \frac{\pi}{3} \leq 0$,જેનો અર્થ છે કે $0 \leq \frac{\pi}{3} - \theta \leq \frac{\pi}{3}$.
કારણ કે $\cos(\theta - \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3} - \theta)$,તેથી $\cos ^{-1}(\cos(\theta - \frac{\pi}{3})) = \frac{\pi}{3} - \theta$ મળે.
તેથી,પદાવલિની કિંમત $\theta + (\frac{\pi}{3} - \theta) = \frac{\pi}{3}$ થાય.

(C) આપેલ છે કે,$g\{f(x)\}=|\sin x|$ અને $f\{g(x)\}=(\sin \sqrt{x})^2$.
ચાલો વિકલ્પ $f(x)=\sin ^2 x$ અને $g(x)=\sqrt{x}$ ચકાસીએ.
પ્રથમ,$f\{g(x)\}$ ની ગણતરી કરીએ:
$f\{g(x)\} = f(\sqrt{x}) = \sin ^2(\sqrt{x}) = (\sin \sqrt{x})^2$.
આ આપેલ શરત સાથે મેળ ખાય છે.
હવે,$g\{f(x)\}$ ની ગણતરી કરીએ:
$g\{f(x)\} = g(\sin ^2 x) = \sqrt{\sin ^2 x} = |\sin x|$.
આ પણ આપેલ શરત સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $f(x)=\sin ^2 x$ અને $g(x)=\sqrt{x}$ છે.

(B) આપેલ વક્રના પ્રચલ સમીકરણો $x=a(\theta+\sin \theta)$ અને $y=a(1-\cos \theta)$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે,આપણે $x$ અને $y$ નું $\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dx}{d\theta} = a(1+\cos \theta)$ અને $\frac{dy}{d\theta} = a\sin \theta$.
તેથી,સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx}$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a\sin \theta}{a(1+\cos \theta)} = \frac{2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)}{2\cos^2(\theta/2)} = \tan(\theta/2)$.
આપેલ છે કે સ્પર્શક $x$-અક્ષ સાથે $\frac{\pi}{4}$ ખૂણો બનાવે છે,તેથી ઢાળ $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ થાય.
ઢાળને સરખાવતા: $\tan(\theta/2) = \tan(\frac{\pi}{4})$,જેનો અર્થ છે કે $\theta/2 = \frac{\pi}{4}$,તેથી $\theta = \frac{\pi}{2}$.
$\theta = \frac{\pi}{2}$ ની કિંમત $x$ અને $y$ ના સમીકરણોમાં મૂકતા:
$x = a(\frac{\pi}{2} + \sin(\frac{\pi}{2})) = a(\frac{\pi}{2} + 1)$.
$y = a(1 - \cos(\frac{\pi}{2})) = a(1 - 0) = a$.
તેથી,બિંદુ $P$ ના યામ $\left[a\left(\frac{\pi}{2}+1\right), a\right]$ છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = \log \left[e^x \left(\frac{x-2}{x+2}\right)^{3/4}\right]$ છે.
લઘુગણકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,$\log(ab) = \log a + \log b$ અને $\log(a^n) = n \log a$,આપણે પદને સરળ બનાવી શકીએ છીએ:
$f(x) = \log(e^x) + \log \left(\left(\frac{x-2}{x+2}\right)^{3/4}\right)$
$f(x) = x + \frac{3}{4} [\log(x-2) - \log(x+2)]$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં $f(x)$ નું વિકલન કરતા:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x) + \frac{3}{4} \left[ \frac{d}{dx}(\log(x-2)) - \frac{d}{dx}(\log(x+2)) \right]$
$f'(x) = 1 + \frac{3}{4} \left( \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2} \right)$.
કૌંસની અંદરના પદને સરળ બનાવતા:
$\frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2} = \frac{(x+2) - (x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{4}{x^2-4}$.
આ કિંમતને વિકલનમાં પાછી મૂકતા:
$f'(x) = 1 + \frac{3}{4} \left( \frac{4}{x^2-4} \right) = 1 + \frac{3}{x^2-4}$.
છેલ્લે,$x = 0$ આગળ કિંમત શોધતા:
$f'(0) = 1 + \frac{3}{0^2-4} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.

(D) આપેલ છે,$f(x) = (x^2 - 1)^7$.
દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,$f(x) = \sum_{k=0}^{7} \binom{7}{k} (x^2)^{7-k} (-1)^k$.
આ વિસ્તરણમાં $x$ ની મહત્તમ ઘાત $x^{14}$ છે,જે $k=0$ માટે મળે છે.
$x^{14}$ વાળું પદ $\binom{7}{0} (x^2)^7 (-1)^0 = 1 \cdot x^{14} \cdot 1 = x^{14}$ છે.
$x^n$ નું $n$-મું વિકલન $n!$ થાય છે.
તેથી,$x^{14}$ નું $14$-મું વિકલન $14!$ થાય.
વિસ્તરણના અન્ય તમામ પદોમાં $x$ ની ઘાત $14$ કરતા ઓછી હોવાથી,તેમનું $14$-મું વિકલન $0$ થશે.
આમ,$f^{(14)}(x) = 14!$.

(C) આપેલ છે કે,$u=f(r)$ અને $r^2=x^2+y^2$.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં આંશિક વિકલન મેળવો:
$\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{r}$ અને $\frac{\partial r}{\partial y} = \frac{y}{r}$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$u_x = f^{\prime}(r) \frac{\partial r}{\partial x} = f^{\prime}(r) \frac{x}{r}$.
તેથી,$u_{xx} = \frac{\partial}{\partial x} \left( f^{\prime}(r) \frac{x}{r} \right) = f^{\prime \prime}(r) \frac{x^2}{r^2} + f^{\prime}(r) \left( \frac{r - x(x/r)}{r^2} \right) = f^{\prime \prime}(r) \frac{x^2}{r^2} + f^{\prime}(r) \frac{r^2 - x^2}{r^3}$.
તે જ રીતે,$u_{yy} = f^{\prime \prime}(r) \frac{y^2}{r^2} + f^{\prime}(r) \frac{r^2 - y^2}{r^3}$.
આ બંનેનો સરવાળો કરતા:
$u_{xx} + u_{yy} = f^{\prime \prime}(r) \left( \frac{x^2+y^2}{r^2} \right) + f^{\prime}(r) \left( \frac{2r^2 - (x^2+y^2)}{r^3} \right)$.
કારણ કે $x^2+y^2 = r^2$ છે:
$u_{xx} + u_{yy} = f^{\prime \prime}(r) \left( \frac{r^2}{r^2} \right) + f^{\prime}(r) \left( \frac{2r^2 - r^2}{r^3} \right) = f^{\prime \prime}(r) + f^{\prime}(r) \frac{r^2}{r^3} = f^{\prime \prime}(r) + \frac{1}{r} f^{\prime}(r)$.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{x^2 \sqrt{4+x^2}}$.
$x = 2 \tan \theta$ લેતા,$dx = 2 \sec^2 \theta \ d\theta$ મળે.
સંકલન આ મુજબ થશે: $I = \int \frac{2 \sec^2 \theta \ d\theta}{(4 \tan^2 \theta) \sqrt{4 + 4 \tan^2 \theta}}$.
કારણ કે $\sqrt{4(1+\tan^2 \theta)} = 2 \sec \theta$,તેથી:
$I = \int \frac{2 \sec^2 \theta \ d\theta}{4 \tan^2 \theta \cdot 2 \sec \theta} = \frac{1}{4} \int \frac{\sec \theta}{\tan^2 \theta} \ d\theta$.
$I = \frac{1}{4} \int \frac{1/\cos \theta}{\sin^2 \theta / \cos^2 \theta} \ d\theta = \frac{1}{4} \int \frac{\cos \theta}{\sin^2 \theta} \ d\theta$.
$u = \sin \theta$ લેતા,$du = \cos \theta \ d\theta$ મળે.
$I = \frac{1}{4} \int u^{-2} \ du = \frac{1}{4} (-u^{-1}) + C = -\frac{1}{4 \sin \theta} + C$.
અહીં $\tan \theta = \frac{x}{2}$ હોવાથી,$\sin \theta = \frac{x}{\sqrt{x^2+4}}$ થાય.
તેથી,$I = -\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{x^2+4}}{x} + C = -\frac{\sqrt{4+x^2}}{4x} + C$.

(A) ધારો કે $I = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin^2 x}{1+a^x} dx$ $(i)$
ગુણધર્મ $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,$x$ ને $-\pi + \pi - x = -x$ વડે બદલતા:
$I = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin^2(-x)}{1+a^{-x}} dx = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin^2 x}{1+\frac{1}{a^x}} dx = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{a^x \sin^2 x}{a^x+1} dx$ $(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin^2 x + a^x \sin^2 x}{1+a^x} dx = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{(1+a^x) \sin^2 x}{1+a^x} dx = \int_{-\pi}^{\pi} \sin^2 x dx$
$\sin^2 x$ એ યુગ્મ વિધેય હોવાથી:
$2I = 2 \int_{0}^{\pi} \sin^2 x dx = \int_{0}^{\pi} (1 - \cos 2x) dx$
$2I = [x - \frac{\sin 2x}{2}]_{0}^{\pi} = (\pi - 0) - (0 - 0) = \pi$
$I = \frac{\pi}{2}$

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + 2x \tan(x-y) = 1$ છે.
ધારો કે $t = x - y$. તેથી $\frac{dt}{dx} = 1 - \frac{dy}{dx}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{dt}{dx}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$1 - \frac{dt}{dx} + 2x \tan(t) = 1$
$\Rightarrow \frac{dt}{dx} = 2x \tan(t)$
$\Rightarrow \cot(t) dt = 2x dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \cot(t) dt = \int 2x dx$
$\ln|\sin(t)| = x^2 + C$.
ધારો કે $C = \ln|A|$,તો $\ln|\sin(t)| = x^2 + \ln|A|$.
$\ln|\sin(t)| - \ln|A| = x^2$
$\ln|\frac{\sin(t)}{A}| = x^2$
$\sin(t) = A e^{x^2}$.
$t = x - y$ પાછું મૂકતા,આપણને $\sin(x-y) = A e^{x^2}$ મળે છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\left(1-x^2\right) \frac{d y}{d x}+x y=\frac{x^4}{\left(1+x^5\right)}\left(\sqrt{1-x^2}\right)^3$ છે.
બંને બાજુ $(1-x^2)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$\frac{d y}{d x} + \frac{x}{1-x^2} y = \frac{x^4 (1-x^2)^{3/2}}{(1+x^5)(1-x^2)} = \frac{x^4 \sqrt{1-x^2}}{1+x^5}$.
આ સમીકરણ $\frac{d y}{d x} + P(x) y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{x}{1-x^2}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{x}{1-x^2} dx}$ દ્વારા મળે છે.
ધારો કે $u = 1-x^2$,તો $du = -2x dx$,તેથી $x dx = -\frac{1}{2} du$.
$IF = e^{-\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du} = e^{-\frac{1}{2} \ln|u|} = e^{\ln|u|^{-1/2}} = |u|^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

(B) ધારો કે સમગુણોત્તર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ $u$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $z$ છે.
તેથી,$T_p = u z^{p-1} = a$,$T_q = u z^{q-1} = b$,અને $T_r = u z^{r-1} = c$.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા:
$\log a = \log u + (p-1) \log z$
$\log b = \log u + (q-1) \log z$
$\log c = \log u + (r-1) \log z$
ધારો કે $\vec{A} = (\log a^2) i + (\log b^2) j + (\log c^2) k = 2(\log a) i + 2(\log b) j + 2(\log c) k$.
ધારો કે $\vec{B} = (q-r) i + (r-p) j + (p-q) k$.
અદિશ ગુણાકાર $\vec{A} \cdot \vec{B} = 2 [(\log a)(q-r) + (\log b)(r-p) + (\log c)(p-q)]$.
$\log a, \log b, \log c$ ની કિંમતો મૂકતા:
$(\log a)(q-r) + (\log b)(r-p) + (\log c)(p-q) = [\log u + (p-1)\log z](q-r) + [\log u + (q-1)\log z](r-p) + [\log u + (r-1)\log z](p-q)$.
$= \log u (q-r+r-p+p-q) + \log z [(p-1)(q-r) + (q-1)(r-p) + (r-1)(p-q)]$.
$= \log u (0) + \log z [0] = 0$.
અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,સદિશો પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{2}$ છે.

(D) આપેલ છે,$\vec{AB} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{BC} = \hat{i} - 2\hat{k}$.
ધારો કે વિકર્ણો $\vec{d_1}$ અને $\vec{d_2}$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,વિકર્ણો $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$ અને $\vec{BD} = \vec{BC} - \vec{AB}$ છે.
$\vec{AC} = (3\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}) + (\hat{i} - 2\hat{k}) = 4\hat{i} - 2\hat{j}$.
$\vec{BD} = (\hat{i} - 2\hat{k}) - (3\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}) = -2\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}$.
વિકર્ણો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{|\vec{AC} \cdot \vec{BD}|}{|\vec{AC}| |\vec{BD}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{AC} \cdot \vec{BD} = (4)(-2) + (-2)(2) + (0)(-4) = -8 - 4 = -12$.
$|\vec{AC}| = \sqrt{4^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
$|\vec{BD}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.
$\cos \theta = \frac{|-12|}{(2\sqrt{5})(2\sqrt{6})} = \frac{12}{4\sqrt{30}} = \frac{3}{\sqrt{30}} = \sqrt{\frac{9}{30}} = \sqrt{\frac{3}{10}}$.
આમ,$\theta = \cos^{-1}\left(\sqrt{\frac{3}{10}}\right)$.
આ કિંમત વિકલ્પોમાં ન હોવાથી,સાચો જવાબ $D$ છે.

(D) સદિશ $r$ એ $a$ અને $b$ ના સમતલમાં હોવાથી,તેને $r = a + tb$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
$r = (i + 2j + k) + t(i - j + k) = (1 + t)i + (2 - t)j + (1 + t)k$.
આપેલ છે કે $r$ નો $c$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{1}{\sqrt{3}}$ છે,તેથી સૂત્ર $\frac{r \cdot c}{|c|} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ નો ઉપયોગ કરતા.
પ્રથમ,$|c| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}$ મેળવીએ.
હવે,ડોટ ગુણાકાર $r \cdot c = ((1 + t)i + (2 - t)j + (1 + t)k) \cdot (i + j - k) = (1 + t) + (2 - t) - (1 + t) = 2 - t$.
આ કિંમતોને પ્રક્ષેપના સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{2 - t}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આથી $2 - t = 1$,જેનો અર્થ છે કે $t = 1$.
$t = 1$ ને $r$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $r = (1 + 1)i + (2 - 1)j + (1 + 1)k = 2i + j + 2k$.

(A) બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (a, b, c)$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x-x_1) + b(y-y_1) + c(z-z_1) = 0$ છે.
અહીં,ઉગમબિંદુ $(0,0,0)$ થી સમતલ પરના લંબપાદના યામ $(1,2,3)$ છે.
આ બિંદુ $(1,2,3)$ સમતલ પર આવેલું છે,તેથી તે $(x_1, y_1, z_1)$ તરીકે લેવાય.
ઉગમબિંદુથી લંબપાદ સુધીનો સદિશ એ સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ બનશે.
તેથી,$\vec{n} = (1-0, 2-0, 3-0) = (1, 2, 3)$.
આ કિંમતો સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$1(x-1) + 2(y-2) + 3(z-3) = 0$
$x - 1 + 2y - 4 + 3z - 9 = 0$
$x + 2y + 3z - 14 = 0$
$x + 2y + 3z = 14$.

(A) ધારો કે ચાર મશીનો $M_1, M_2, F_1, F_2$ છે,જ્યાં $F$ ખામીયુક્ત મશીન દર્શાવે છે અને $M$ કાર્યરત મશીન દર્શાવે છે.
$4$ મશીનોને ગોઠવવાની કુલ રીતો $4! = 24$ છે.
આપણે બરાબર $2$ પરીક્ષણોમાં બંને ખામીયુક્ત મશીનોને ઓળખવાની જરૂર છે.
આ ત્યારે થાય છે જો પ્રથમ બે તપાસાયેલ મશીનો બંને ખામીયુક્ત હોય ($F_1, F_2$ અથવા $F_2, F_1$) અથવા જો પ્રથમ બે તપાસાયેલ મશીનો બંને કાર્યરત હોય ($M_1, M_2$ અથવા $M_2, M_1$).
કિસ્સો $1$: પ્રથમ બે ખામીયુક્ત છે. રીતોની સંખ્યા $2! \times 2! = 4$ છે.
કિસ્સો $2$: પ્રથમ બે કાર્યરત છે. રીતોની સંખ્યા $2! \times 2! = 4$ છે.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 4 + 4 = 8$.
સંભાવના $= \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$.

(B) ધારો કે $E_1$ એ ઘટના છે કે વિદ્યાર્થી જવાબ જાણે છે અને $E_2$ એ ઘટના છે કે વિદ્યાર્થી જવાબનું અનુમાન લગાવે છે.
આપેલ છે કે $P(E_1) = 9/10$ અને $P(E_2) = 1 - 9/10 = 1/10$.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે જવાબ સાચો છે.
જો વિદ્યાર્થી જવાબ જાણે છે,તો સાચો જવાબ આપવાની સંભાવના $P(E|E_1) = 1$ છે.
જો વિદ્યાર્થી અનુમાન લગાવે છે,તો $4$ વિકલ્પોમાંથી $1$ સાચો હોવાથી,સાચો જવાબ આપવાની સંભાવના $P(E|E_2) = 1/4$ છે.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,જો જવાબ સાચો હોય તો વિદ્યાર્થીએ અનુમાન લગાવ્યું હોય તેની સંભાવના $P(E_2|E) = \frac{P(E|E_2)P(E_2)}{P(E|E_1)P(E_1) + P(E|E_2)P(E_2)}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$P(E_2|E) = \frac{(1/4) \times (1/10)}{(1) \times (9/10) + (1/4) \times (1/10)} = \frac{1/40}{9/10 + 1/40} = \frac{1/40}{(36+1)/40} = \frac{1}{37}$.

(B) આપેલ છે કે $X$ એ $\lambda$ પ્રાચલ ધરાવતો પોઈસન ચલ છે,તેથી સંભાવના દળ વિધેય $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ છે.
આપેલ છે કે $\alpha = P(X=1) = P(X=2)$:
$\frac{e^{-\lambda} \lambda^1}{1!} = \frac{e^{-\lambda} \lambda^2}{2!}$
$\lambda = \frac{\lambda^2}{2} \Rightarrow \lambda = 2$ (કારણ કે $\lambda > 0$).
હવે,$\alpha$ ની કિંમત શોધીએ:
$\alpha = P(X=1) = \frac{e^{-2} \times 2^1}{1!} = 2e^{-2}$.
આપણે $P(X=4)$ શોધવાનું છે:
$P(X=4) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^4}{4!} = \frac{e^{-2} \times 2^4}{24} = \frac{16 e^{-2}}{24} = \frac{2}{3} e^{-2}$.
કારણ કે $\alpha = 2e^{-2}$,તેથી $e^{-2} = \frac{\alpha}{2}$ થાય.
આ કિંમત $P(X=4)$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$P(X=4) = \frac{2}{3} \times \frac{\alpha}{2} = \frac{\alpha}{3}$.