AP EAMCET 2012 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) વિધાન $(A)$ ખોટું છે કારણ કે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન એ તંત્રનો ભૌતિક ગુણધર્મ છે અને તે યામ પદ્ધતિની પસંદગીથી સ્વતંત્ર છે.
વિધાન $(B)$ સાચું છે કારણ કે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિ તંત્ર પર લાગતા કુલ બાહ્ય બળ દ્વારા નક્કી થાય છે,એટલે કે $\vec{F}_{ext} = M\vec{a}_{cm}$.
વિધાન $(C)$ સાચું છે કારણ કે આંતરિક બળો હંમેશા ક્રિયા-પ્રતિક્રિયાની જોડીમાં હોય છે,તેથી તેમનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય થાય છે,જેનો અર્થ છે કે તેઓ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ કે પ્રવેગ બદલી શકતા નથી.
વિધાન $(D)$ ખોટું છે કારણ કે આંતરિક બળો દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સ્થિતિ બદલી શકતા નથી.
તેથી,વિધાન $(A)$ અને $(D)$ ખોટા છે.

(C) દડા $A$ ની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K = p^2 / (2m)$ છે,તેથી $p = \sqrt{2mK}$.
દડા $A$ નો પ્રારંભિક વેગ $u_1 = p/m = \sqrt{2K/m}$ છે.
સંઘાત બાદ,દડો $A$ એ $K' = K/9$ ગતિઊર્જા સાથે ઋણ $x$-દિશામાં ગતિ કરે છે.
ધારો કે $v_1$ એ દડા $A$ નો અંતિમ વેગ છે. તેથી $\frac{1}{2}mv_1^2 = K/9$,જે આપણને $v_1 = \sqrt{2K/(9m)} = \frac{1}{3}\sqrt{2K/m} = u_1/3 = p/(3m)$ આપે છે.
સંઘાત એક-પરિમાણીય હોવાથી,આપણે વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ કરીએ છીએ:
$p_{initial} = p_{final}$
$p = -mv_1 + p_B$
$p_B = p + mv_1$
$v_1 = p/(3m)$ કિંમત મૂકતા:
$p_B = p + m(p/(3m)) = p + p/3 = 4p/3$.

(B) ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રની વિરુદ્ધ કરેલા કાર્ય દ્વારા મળે છે, એટલે કે $\Delta U = -W = -\int \vec{F} \cdot d\vec{r} = -m \int \vec{E} \cdot d\vec{r}$.
અહીં $\vec{E} = (5\hat{i} + 12\hat{j}) \text{ N/kg}$ અને સ્થાનાંતર $\vec{r} = (12\hat{i} + 5\hat{j}) \text{ m}$ આપેલ છે.
ક્ષેત્ર સમાન હોવાથી, કરેલું કાર્ય $W = m(\vec{E} \cdot \vec{r})$ થશે.
$W = 2 \text{ kg} \times [(5\hat{i} + 12\hat{j}) \cdot (12\hat{i} + 5\hat{j})] \text{ J}$.
$W = 2 \times (5 \times 12 + 12 \times 5) = 2 \times (60 + 60) = 2 \times 120 = 240 \text{ J}$.
ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = -W = -240 \text{ J}$ થાય.

(A) સાતત્યના સમીકરણ (equation of continuity) મુજબ,પાણીનો કદ પ્રવાહ દર અચળ રહે છે.
પ્રથમ પાઇપ માટે,આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = \pi (D/2)^2$ છે અને ઝડપ $v$ છે.
બીજી પાઇપ માટે,પાણી $n$ છિદ્રો દ્વારા બહાર નીકળે છે,જે દરેકનું ક્ષેત્રફળ $a = \pi (d/2)^2$ છે. ધારો કે આ છિદ્રોમાંથી બહાર નીકળતા પાણીની ઝડપ $v'$ છે.
પ્રવાહ દરોને સરખાવતા: $A_1 v = n \times a \times v'$.
કિંમતો મૂકતા: $\pi (D/2)^2 v = n \times \pi (d/2)^2 v'$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $(D^2/4) v = n (d^2/4) v'$.
$v'$ માટે ઉકેલતા: $v' = \frac{D^2 v}{n d^2}$.

(A) આપેલ છે: તણાવ $F = 22 \,N$,ક્ષેત્રફળ $A = 0.02 \,cm^2 = 0.02 \times 10^{-4} \,m^2$,યંગ મોડ્યુલસ $Y = 1.1 \times 10^{11} \,N/m^2$,પોઈસન ગુણોત્તર $\sigma = 0.32$.
રેખીય વિકૃતિ $\frac{\Delta l}{l} = \frac{F}{AY} = \frac{22}{(0.02 \times 10^{-4}) \times (1.1 \times 10^{11})} = \frac{22}{2.2 \times 10^4} = 10^{-4}$.
પોઈસન ગુણોત્તર $\sigma = -\frac{\Delta r/r}{\Delta l/l}$ છે. પાર્શ્વ વિકૃતિ $\frac{\Delta r}{r} = -\sigma \frac{\Delta l}{l} = -0.32 \times 10^{-4}$.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ હોવાથી,$\frac{\Delta A}{A} = 2 \frac{\Delta r}{r}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{\Delta A}{A} = 2 \times (-0.32 \times 10^{-4}) = -0.64 \times 10^{-4}$.
ક્ષેત્રફળમાં થતો ઘટાડો $\Delta A = |\frac{\Delta A}{A}| \times A = (0.64 \times 10^{-4}) \times (0.02 \,cm^2) = 1.28 \times 10^{-6} \,cm^2$.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના ગતિપથનું સમીકરણ $y = x \tan \theta - \frac{g x^2}{2 u^2 \cos^2 \theta}$ છે.
કણ બિંદુ $(r, y)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $y = r \tan \theta - \frac{g r^2}{2 u^2} (1 + \tan^2 \theta)$.
આને $\tan \theta$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ તરીકે ગોઠવતા: $\frac{g r^2}{2 u^2} \tan^2 \theta - r \tan \theta + (y + \frac{g r^2}{2 u^2}) = 0$.
ધારો કે બે બીજ $\tan \theta_1$ અને $\tan \theta_2$ છે. તો $\tan \theta_1 \tan \theta_2 = \frac{y + g r^2 / 2 u^2}{g r^2 / 2 u^2} = 1 + \frac{2 u^2 y}{g r^2}$.
આડા અંતર $r$ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{r}{u \cos \theta}$ છે.
તેથી,$t_1 t_2 = \frac{r^2}{u^2 \cos \theta_1 \cos \theta_2}$.
પ્રક્ષિપ્ત ગતિના સંબંધનો ઉપયોગ કરતા,તે એક પ્રમાણિત પરિણામ છે કે $t_1 t_2 = \frac{2 r}{g \tan \alpha}$ જ્યાં $\alpha$ એ બિંદુનો ઉત્સેધકોણ છે. નિશ્ચિત બિંદુ $(r, y)$ માટે,$t_1 t_2 = \frac{2 r}{g \tan \theta_{\text{elevation}}}$.
$g$ અચળ હોવાથી,$t_1 t_2 \propto r$.

(B) ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $E = (5\hat{i} + 12\hat{j}) \,N/kg$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી $(12 \,m, 5 \,m)$ બિંદુ સુધીનું સ્થાનાંતર સદિશ $dr = (12\hat{i} + 5\hat{j}) \,m$ છે।
ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિમાનમાં થતો ફેરફાર $dV = -E \cdot dr$ દ્વારા મળે છે।
$dV = -(5\hat{i} + 12\hat{j}) \cdot (12\hat{i} + 5\hat{j}) = -(5 \times 12 + 12 \times 5) = -(60 + 60) = -120 \,J/kg$.
ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = m \cdot dV$ છે।
અહીં દળ $m = 2 \,kg$ આપેલ છે, તેથી $\Delta U = 2 \,kg \times (-120 \,J/kg) = -240 \,J$.

(A) ધારો કે બે બળો $F_1$ અને $F_2$ છે, જ્યાં $F_1$ નાનું બળ છે. ધારો કે $F_1 = x$.
આપેલ છે કે બળોના મૂલ્યોનો સરવાળો $16 \,N$ છે, તેથી $F_2 = 16 - x$.
પરિણામી બળ $R = 8 \,N$ એ નાના બળ $F_1$ ને લંબ છે.
સદિશ ત્રિકોણ અથવા પરિણામી બળના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા, આપણને સંબંધ મળે છે: $F_2^2 = F_1^2 + R^2$.
કિંમતો મૂકતા: $(16 - x)^2 = x^2 + 8^2$.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $256 + x^2 - 32x = x^2 + 64$.
બંને બાજુથી $x^2$ બાદ કરતા: $256 - 32x = 64$.
$x$ માટે ઉકેલતા: $32x = 256 - 64 = 192$.
$x = \frac{192}{32} = 6 \,N$.
તેથી, નાનું બળ $F_1 = 6 \,N$ અને મોટું બળ $F_2 = 16 - 6 = 10 \,N$ છે.
આમ, બળો $6 \,N$ અને $10 \,N$ છે.

(C) સાદા લોલક માટે આવર્તકાળનું સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$T^2 = 4\pi^2 \frac{l}{g}$,જેનો અર્થ છે કે $g = 4\pi^2 \frac{l}{T^2}$.
$g$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta l}{l} + 2 \frac{\Delta T}{T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $l = 1.01 \ m$,$\Delta l = 0.01 \ m$,$T_{total} = 63 \ s$,$\Delta T_{total} = 3 \ s$.
આવર્તકાળ $T = \frac{T_{total}}{30} = \frac{63}{30} = 2.1 \ s$.
આવર્તકાળમાં ત્રુટિ $\Delta T = \frac{\Delta T_{total}}{30} = \frac{3}{30} = 0.1 \ s$.
આ કિંમતોને ત્રુટિના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{\Delta g}{g} = \frac{0.01}{1.01} + 2 \times \frac{0.1}{2.1} \approx 0.0099 + 0.0952 \approx 0.1051$.
પ્રતિશત ત્રુટિ = $0.1051 \times 100 \% \approx 10.5 \%$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $10 \%$ છે.

(A) સાતત્યના સમીકરણ (Equation of Continuity) મુજબ,પ્રથમ પાઇપમાં પ્રવેશતા પાણીનો કદનો પ્રવાહ દર એ બીજી પાઇપમાં રહેલા $n$ છિદ્રોમાંથી બહાર નીકળતા પાણીના કુલ કદના પ્રવાહ દર જેટલો હોવો જોઈએ.
ધારો કે $A_1$ એ પ્રથમ પાઇપનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $v$ એ તેમાં પાણીની ઝડપ છે.
$A_1 = \pi \left(\frac{D}{2}\right)^2$
ધારો કે $A_2$ એ દરેક છિદ્રનું ક્ષેત્રફળ છે અને $v'$ એ દરેક છિદ્રમાંથી બહાર નીકળતા પાણીની ઝડપ છે.
$A_2 = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2$
બહાર નીકળતો કુલ પ્રવાહ દર $n \times A_2 \times v'$ છે.
પ્રવાહ દરોને સરખાવતા: $A_1 v = n A_2 v'$
$\pi \left(\frac{D}{2}\right)^2 v = n \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 v'$
$\frac{D^2}{4} v = n \frac{d^2}{4} v'$
$v' = \frac{D^2 v}{n d^2}$

(C) ટીપું સંતુલનમાં રહે તે માટે,નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ ઉપરની તરફ લાગતા ઉત્પ્લાવક બળ અને પૃષ્ઠતાણ બળ દ્વારા સંતુલિત થવું જોઈએ.
ટીપાનું વજન = $\frac{4}{3} \pi r^3 d g$.
ઉત્પ્લાવક બળ (ઉપરની તરફ) = વિસ્થાપિત પ્રવાહીનું વજન = $\frac{2}{3} \pi r^3 \rho g$ (કારણ કે તે અડધું ડૂબેલું છે).
પૃષ્ઠતાણ બળ (ઉપરની તરફ) = $T \times (2 \pi r)$.
બળોને સરખાવતા: $\frac{4}{3} \pi r^3 d g = \frac{2}{3} \pi r^3 \rho g + 2 \pi r T$.
$\pi r$ વડે ભાગતા: $\frac{4}{3} r^2 d g = \frac{2}{3} r^2 \rho g + 2 T$.
પદોને ગોઠવતા: $r^2 g (\frac{4}{3} d - \frac{2}{3} \rho) = 2 T$.
$r^2 g (\frac{2}{3} (2 d - \rho)) = 2 T$.
$r^2 = \frac{3 T}{g(2 d - \rho)}$.
તેથી,$r = \sqrt{\frac{3 T}{g(2 d - \rho)}}$.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે ગતિપથનું સમીકરણ $y = x \tan \theta - \frac{g x^2}{2 u^2 \cos^2 \theta}$ છે.
કણ બિંદુ $(r, y)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $y = r \tan \theta - \frac{g r^2}{2 u^2} (1 + \tan^2 \theta)$.
આને $\tan \theta$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ તરીકે ગોઠવતા: $\frac{g r^2}{2 u^2} \tan^2 \theta - r \tan \theta + (y + \frac{g r^2}{2 u^2}) = 0$.
ધારો કે બે પ્રક્ષેપણ ખૂણા $\theta_1$ અને $\theta_2$ છે. તો $\tan \theta_1 \tan \theta_2 = \frac{y + \frac{g r^2}{2 u^2}}{\frac{g r^2}{2 u^2}} = 1 + \frac{2 u^2 y}{g r^2}$.
$r$ જેટલા આડા અંતરે પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{r}{u \cos \theta}$ છે.
આમ,$t_1 t_2 = \frac{r^2}{u^2 \cos \theta_1 \cos \theta_2}$.
પ્રક્ષિપ્ત ગતિના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$t_1 t_2 = \frac{2 r}{g \tan \alpha}$ જ્યાં $\alpha$ એ બિંદુ $P$ નો ઉત્સેધકોણ છે. નિશ્ચિત બિંદુ $(r, y)$ માટે,$t_1 t_2 = \frac{2 r^2}{g y}$. જો આપણે એવો કિસ્સો લઈએ કે જ્યાં બિંદુ પ્રક્ષેપણ બિંદુની સપાટી પર જ છે $(y=0)$,તો $t_1 t_2$ એ $r$ ના પ્રમાણમાં છે.

(C) મધ્યમાન સ્થાનથી શરૂ થતા સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણના સ્થાન માટેનું સમીકરણ $y(t) = A \sin(\omega t)$ છે,જ્યાં $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4} \ rad/s$ છે.
પ્રથમ સેકન્ડમાં ($t=0$ થી $t=1$) કાપેલું અંતર $y_1 = A \sin(\frac{\pi}{4} \times 1) = A \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{A}{\sqrt{2}}$ છે.
$t=2$ સેકન્ડે સ્થાન $y(2) = A \sin(\frac{\pi}{4} \times 2) = A \sin(\frac{\pi}{2}) = A$ છે.
બીજી સેકન્ડમાં ($t=1$ થી $t=2$) કાપેલું અંતર $y_2 = y(2) - y(1) = A - \frac{A}{\sqrt{2}} = A(1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$ છે.
અંતરનો ગુણોત્તર $\frac{y_1}{y_2} = \frac{A/\sqrt{2}}{A(1 - 1/\sqrt{2})} = \frac{1/\sqrt{2}}{(\sqrt{2}-1)/\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}-1}$ છે.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P \propto T^4$ છે.
વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,મહત્તમ ઉર્જાને અનુરૂપ તરંગલંબાઈ $\lambda \propto \frac{1}{T}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $T \propto \frac{1}{\lambda}$.
આને પાવરના સંબંધમાં મૂકતા,આપણને $P \propto \left(\frac{1}{\lambda}\right)^4 = \frac{1}{\lambda^4}$ મળે છે.
તેથી,ઉત્સર્જિત પાવરનો ગુણોત્તર $\frac{P_1}{P_2} = \left(\frac{\lambda_2}{\lambda_1}\right)^4$ થાય.
અહીં $\lambda_2 = \frac{\lambda_1}{2}$ આપેલ છે,તેથી $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{1}{2}$ થાય.
આ કિંમત મૂકતા,$\frac{P_1}{P_2} = \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}$ મળે.
આમ,$P_2 = 16 P_1 = 16 P$ થાય.

(B) પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ એ $I = Mk^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ દળ છે અને $k$ એ ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા છે.
$M$ અચળ હોવાથી,$I \propto k^2$ મળે.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા: $\ln I = \ln M + 2 \ln k$.
બંને બાજુ વિકલન કરતા: $\frac{dI}{I} = 2 \frac{dk}{k}$.
ઉષ્મીય પ્રસરણ માટે,લંબાઈમાં થતો ફેરફાર (અથવા $k$ જેવી કોઈપણ રેખીય પરિમાણ) $\Delta k = k \alpha \Delta T$ દ્વારા મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\Delta k}{k} = \alpha \Delta T$.
આ કિંમતને $\frac{\Delta I}{I}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{\Delta I}{I} = 2 \alpha \Delta T$.

(D) પ્રવાહીના વાસ્તવિક વિસ્તરણનો ગુણાંક $(\gamma_r)$ અચળ હોય છે અને તે આભાસી વિસ્તરણ ગુણાંક $(\gamma_a)$ અને પાત્રના કદ વિસ્તરણ ગુણાંક $(\gamma_v = 3\alpha)$ ના સરવાળા જેટલો હોય છે.
તાંબાના પાત્ર માટે: $\gamma_r = \gamma_{a1} + 3\alpha_{cu}$.
સ્ટીલના પાત્ર માટે: $\gamma_r = \gamma_{a2} + 3\alpha_{st}$.
$\gamma_r$ માટે બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\gamma_{a1} + 3\alpha_{cu} = \gamma_{a2} + 3\alpha_{st}$.
આપેલ છે: $\gamma_{a1} = 6 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$, $\gamma_{a2} = 24 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$, અને $\alpha_{cu} = 18 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$.
કિંમતો મૂકતા: $6 \times 10^{-6} + 3(18 \times 10^{-6}) = 24 \times 10^{-6} + 3\alpha_{st}$.
$6 \times 10^{-6} + 54 \times 10^{-6} = 24 \times 10^{-6} + 3\alpha_{st}$.
$60 \times 10^{-6} = 24 \times 10^{-6} + 3\alpha_{st}$.
$3\alpha_{st} = 36 \times 10^{-6}$.
$\alpha_{st} = 12 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} C$.

(C) આપેલ શરત $V \propto T^{2/3}$ છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,$P = \frac{nRT}{V}$ મળે.
$V \propto T^{2/3}$ હોવાથી,$V = cT^{2/3}$ લખી શકાય,જેનો અર્થ છે કે $T \propto V^{3/2}$.
આને આદર્શ વાયુ સમીકરણમાં મૂકતા: $P \propto \frac{T}{V} \propto \frac{V^{3/2}}{V} = V^{1/2}$.
તેથી,$P = kV^{1/2}$ જ્યાં $k$ અચળાંક છે.
કાર્ય $W = \int_{V_1}^{V_2} P \, dV = \int_{V_1}^{V_2} kV^{1/2} \, dV$.
$W = k \left[ \frac{V^{3/2}}{3/2} \right]_{V_1}^{V_2} = \frac{2}{3} [kV_2^{3/2} - kV_1^{3/2}] = \frac{2}{3} [P_2V_2 - P_1V_1]$.
$PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,$W = \frac{2}{3} nR(T_2 - T_1) = \frac{2}{3} nR \Delta T$.
અહીં $n = 1 \ mol$,$\Delta T = 30 \ K$,અને $R = 8.314 \ J/mol \cdot K$ છે.
$W = \frac{2}{3} \times 1 \times 8.314 \times 30 = 20 \times 8.314 = 166.28 \ J$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,$W = 166.2 \ J$.

(C) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન $T$ અને દબાણ $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $T^\gamma p^{1-\gamma} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\gamma \ln T + (1-\gamma) \ln p = \text{constant}$.
બંને બાજુ વિકલન કરતા: $\gamma \frac{\Delta T}{T} + (1-\gamma) \frac{\Delta p}{p} = 0$.
$\Delta T$ માટે ગોઠવતા: $\frac{\Delta T}{T} = \frac{\gamma - 1}{\gamma} \frac{\Delta p}{p}$.
આપેલ છે: $T = 273 \ K$ ($NTP$ પર),$\gamma = 1.5$,$\Delta p = 0.001 \ dyne/cm^2$,$p = 1.013 \times 10^6 \ dyne/cm^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta T = 273 \times \left( \frac{1.5 - 1}{1.5} \right) \times \frac{0.001}{1.013 \times 10^6}$.
$\Delta T = 273 \times \frac{0.5}{1.5} \times \frac{10^{-3}}{1.013 \times 10^6} = 273 \times \frac{1}{3} \times 0.987 \times 10^{-9} \approx 8.97 \times 10^{-8} \ K$.

(D) મુક્ત છેડાથી $x$ અંતરે દોરડામાં લંબગત તરંગનો વેગ $v = \sqrt{gx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે。
$v = \frac{dx}{dt}$ હોવાથી, આપણને $\frac{dx}{dt} = \sqrt{gx}$ મળે છે。
પદોને ગોઠવતા, $dt = \frac{dx}{\sqrt{gx}}$ મળે છે。
$x = 0$ થી $x = l$ સુધી સંકલન કરતા, કુલ સમય $t$:
$t = \int_{0}^{l} \frac{dx}{\sqrt{gx}} = \frac{1}{\sqrt{g}} [2\sqrt{x}]_{0}^{l} = 2\sqrt{\frac{l}{g}}$.
આપેલ કિંમતો $l = 2.45 \,m$ અને $g = 9.8 \,m/s^2$ મૂકતા:
$t = 2 \sqrt{\frac{2.45}{9.8}} = 2 \sqrt{\frac{1}{4}} = 2 \times 0.5 = 1 \,s$.

(B) ધ્રુજારી પામતા તારની આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અહીં તણાવ $T$ અને એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\mu$ અચળ હોવાથી,$n \propto \frac{1}{l}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $nl = \text{અચળ}$.
ધારો કે ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $n$ છે.
$l_1 = 100 \,cm$ લંબાઈ પર,તારની આવૃત્તિ $n_1 = n + 8$ છે (કારણ કે બીટ્સ સંભળાય છે).
$l_2 = 101 \,cm$ લંબાઈ પર,તારની આવૃત્તિ $n_2 = n - 8$ છે (જેમ લંબાઈ વધે તેમ આવૃત્તિ ઘટે છે).
$n_1 l_1 = n_2 l_2$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$(n + 8) \times 100 = (n - 8) \times 101$
$100n + 800 = 101n - 808$
$101n - 100n = 800 + 808$
$n = 1608 \,Hz$.

(A) વાહનની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K = \frac{p^2}{2M}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે એન્જિન બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે વાહનને રોકવા માટે લાગતું એકમાત્ર બળ ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_k = \mu_k M g$ છે.
$s$ અંતર કાપીને વાહનને રોકવા માટે ઘર્ષણ બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થયેલા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$|W| = f_k \cdot s = \mu_k M g s$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ઘર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય પ્રારંભિક ગતિઊર્જા જેટલું હોય છે:
$\mu_k M g s = \frac{p^2}{2M}$.
$s$ માટે ઉકેલતા,આપણને મળે છે:
$s = \frac{p^2}{2 M^2 \mu_k g}$.

(C) પાવર $P$ એ કાર્ય કરવાના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,$P = \frac{dW}{dt} = Fv = (ma)v = m \left(\frac{dv}{dt}\right) v$.
$P$ અચળ હોવાથી,$P dt = mv dv$ મળે.
બંને બાજુ $t=0$ થી $t$ અને $v=0$ થી $v$ સુધી સંકલન કરતા,$Pt = \frac{1}{2}mv^2$ મળે.
આથી,$v^2 = \frac{2Pt}{m}$.
વળી,$v = \frac{dx}{dt}$,તેથી $\frac{dx}{dt} = \sqrt{\frac{2P}{m}} t^{1/2}$.
$t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,$x = \sqrt{\frac{2P}{m}} \cdot \frac{2}{3} t^{3/2}$,જે સૂચવે છે કે $t^{3/2} \propto x \Rightarrow t \propto x^{2/3}$.
$t$ ની કિંમત વેગના સમીકરણમાં મૂકતા: $v^2 \propto t \propto x^{2/3}$,તેથી $v \propto x^{1/3}$.
જો કે,નિશ્ચિત અંતર $x$ પર $v$ અને $P$ વચ્ચેનો સંબંધ જોતા,$v^3 \propto P$ મળે છે. તેથી,$v^3 \propto \frac{P}{m}$.

(A) હવા સાથેનું પ્રારંભિક કેપેસીટન્સ $C = 80 \times 10^{-6} \,F$ છે.
જ્યારે $k = 20$ ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતો સ્લેબ દાખલ કરવામાં આવે છે, ત્યારે નવું કેપેસીટન્સ $C' = kC = 20 \times 80 \times 10^{-6} = 1600 \times 10^{-6} \,F$ થાય છે.
કેપેસિટરને $V = 30 \,V$ ની બેટરી સાથે જોડવામાં આવે છે, તેથી કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q' = C'V = (1600 \times 10^{-6}) \times 30 = 48000 \times 10^{-6} \,C = 48 \times 10^{-3} \,C$ થાય છે.
જ્યારે ડાયલેક્ટ્રિક સ્લેબ દૂર કરવામાં આવે છે, ત્યારે કેપેસીટન્સ પાછું $C = 80 \times 10^{-6} \,F$ થઈ જાય છે. કેપેસિટર પરનો નવો વિદ્યુતભાર $q = CV = (80 \times 10^{-6}) \times 30 = 2400 \times 10^{-6} \,C = 2.4 \times 10^{-3} \,C$ થાય છે.
વાયરમાંથી પસાર થતો વિદ્યુતભાર $\Delta q = q' - q = 48 \times 10^{-3} - 2.4 \times 10^{-3} = 45.6 \times 10^{-3} \,C$ છે.

(A) આયનોસ્ફિયરને તેમની ઊંચાઈની શ્રેણીના આધારે વિવિધ સ્તરોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે:
$1$. $D$-સ્તર: $65-75 \ km$ ($IV$ સાથે મેળ ખાય છે)
$2$. $E$-સ્તર: $95-120 \ km$ ($III$ સાથે મેળ ખાય છે)
$3$. $F_1$-સ્તર: $170-190 \ km$ ($II$ સાથે મેળ ખાય છે)
$4$. $F_2$-સ્તર: $250-400 \ km$ ($I$ સાથે મેળ ખાય છે)
તેથી,સાચી જોડ $A-IV, B-III, C-II, D-I$ છે.

(C) પરિપથમાં વ્યય થતો પાવર $P = I^2 R_{eq}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ પ્રવાહ છે અને $R_{eq}$ એ સમતુલ્ય અવરોધ છે.
ગોઠવણી $(I)$ માટે: ત્રણ અવરોધો શ્રેણીમાં છે. $R_{eq} = R + R + R = 3R$. તેથી,$P_I = I^2(3R) = 3I^2R$.
ગોઠવણી $(II)$ માટે: બે અવરોધો સમાંતર છે,અને આ સંયોજન ત્રીજા અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે. $R_{eq} = R/2 + R = 1.5R$. તેથી,$P_{II} = I^2(1.5R) = 1.5I^2R$.
ગોઠવણી $(III)$ માટે: ત્રણ અવરોધો સમાંતરમાં છે. $R_{eq} = R/3$. તેથી,$P_{III} = I^2(R/3) = 0.33I^2R$.
ગોઠવણી $(IV)$ માટે: બે અવરોધો શ્રેણીમાં છે,અને આ સંયોજન ત્રીજા અવરોધ સાથે સમાંતરમાં છે. $R_{eq} = (2R \cdot R) / (2R + R) = 2R/3 \approx 0.67R$. તેથી,$P_{IV} = I^2(0.67R) = 0.67I^2R$.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા: $0.33I^2R < 0.67I^2R < 1.5I^2R < 3I^2R$.
તેથી,પાવર વ્યયનો ચડતો ક્રમ $(III) < (IV) < (II) < (I)$ છે.

(D) ઇલેક્ટ્રોન માટે,ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_e = \frac{h}{mv}$ છે.
ફોટોન માટે,તરંગલંબાઈ $\lambda_p = \frac{h}{p_p} = \frac{hc}{E_p}$ છે,જ્યાં $E_p$ એ ફોટોનની ઊર્જા છે.
આપેલ છે કે $\lambda_e = \lambda_p$,તેથી $\frac{h}{mv} = \frac{hc}{E_p}$,જેનો અર્થ છે કે $E_p = mvc$.
ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $K_e = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા અને ફોટોનની ઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_e}{E_p} = \frac{\frac{1}{2}mv^2}{mvc} = \frac{v}{2c}$ થાય.
આપેલ કિંમતો $v = 1.5 \times 10^8 \ m/s$ અને $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ મૂકતા:
$\frac{K_e}{E_p} = \frac{1.5 \times 10^8}{2 \times 3 \times 10^8} = \frac{1.5}{6} = \frac{1}{4}$.

(D) બાયો-સાવર્ટના નિયમ મુજબ,$I d\vec{l}$ પ્રવાહ ખંડ દ્વારા $\vec{r}$ સ્થાન સદિશ પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $d\vec{B}$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I (d\vec{l} \times \vec{r})}{r^3}$
અહીં,$d\vec{l}$ એ પ્રવાહ ખંડ સદિશ છે,$\vec{r}$ એ ખંડથી બિંદુ સુધીનો સ્થાન સદિશ છે,અને $r$ એ સ્થાન સદિશનું મૂલ્ય છે.
$d\vec{B}$ ની દિશા $d\vec{l} \times \vec{r}$ ક્રોસ પ્રોડક્ટ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે,જે $d\vec{l}$ અને $\vec{r}$ બંનેને સમાવતા સમતલને લંબ હોય છે.
તેથી,સાચું સૂત્ર $\frac{\mu_0 I d\vec{l} \times \vec{r}}{4 \pi r^3}$ છે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ચુંબકીય સોયને $\theta_1$ થી $\theta_2$ ખૂણે ફેરવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\theta_1 = 0^{\circ}$ અને $\theta_2 = 60^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી:
$W = MB(\cos 0^{\circ} - \cos 60^{\circ}) = MB(1 - 0.5) = 0.5 MB$.
આમ,$MB = 2W$.
સોયને $\theta = 60^{\circ}$ ના ખૂણે જાળવી રાખવા માટે જરૂરી ટોર્ક $\tau = MB \sin \theta$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tau = MB \sin 60^{\circ} = (2W) \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} W$.

(A) હવા સાથેનું પ્રારંભિક કેપેસીટન્સ $C = 80 \times 10^{-6} \ F$ છે.
જ્યારે $K = 20$ અચળાંક ધરાવતો ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસીટન્સ $C' = K \times C = 20 \times 80 \times 10^{-6} = 1600 \times 10^{-6} \ F$ થાય છે.
ડાયઇલેક્ટ્રિક સાથે કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q_1 = C' V = (1600 \times 10^{-6}) \times 30 = 48000 \times 10^{-6} \ C = 48 \times 10^{-3} \ C$ છે.
ડાયઇલેક્ટ્રિક દૂર કર્યા પછી,કેપેસીટન્સ પાછું $C = 80 \times 10^{-6} \ F$ થઈ જાય છે.
કેપેસિટર પરનો નવો વિદ્યુતભાર $q_2 = C V = (80 \times 10^{-6}) \times 30 = 2400 \times 10^{-6} \ C = 2.4 \times 10^{-3} \ C$ છે.
વાયરમાંથી વહેતો વિદ્યુતભાર $\Delta q = q_1 - q_2 = 48 \times 10^{-3} - 2.4 \times 10^{-3} = 45.6 \times 10^{-3} \ C$ છે.

(A) આયનોસ્ફિયરને તેમની ઊંચાઈની શ્રેણીના આધારે વિવિધ સ્તરોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે:
$D$-સ્તર: $65-75 \ km$
$E$-સ્તર: $95-120 \ km$
$F_1$-સ્તર: $170-190 \ km$
$F_2$-સ્તર: $250-400 \ km$
આપેલ કોષ્ટક સાથે સરખામણી કરતા:
$A$ ($D$-સ્તર) એ $IV$ $(65-75 \ km)$ સાથે જોડાય છે.
$B$ ($E$-સ્તર) એ $III$ $(95-120 \ km)$ સાથે જોડાય છે.
$C$ ($F_1$-સ્તર) એ $II$ $(170-190 \ km)$ સાથે જોડાય છે.
$D$ ($F_2$-સ્તર) એ $I$ $(250-400 \ km)$ સાથે જોડાય છે.
તેથી,સાચી જોડ $A-IV, B-III, C-II, D-I$ છે.

(A) પરિપથમાં વ્યય થતો પાવર $P = I^2 R_{eq}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $I$ એ પ્રવાહ છે અને $R_{eq}$ એ સમતુલ્ય અવરોધ છે.
આકૃતિ $(I)$ માટે, ત્રણેય અવરોધો શ્રેણીમાં છે: $R_{eq, I} = R + R + R = 3R$. તેથી, $P_I = I^2(3R) = 3I^2R$.
આકૃતિ $(II)$ માટે, બે અવરોધો સમાંતર છે અને એક તેમના શ્રેણીમાં છે: $R_{eq, II} = R + (R/2) = 1.5R$. તેથી, $P_{II} = I^2(1.5R) = 1.5I^2R$.
આકૃતિ $(III)$ માટે, ત્રણેય અવરોધો સમાંતરમાં છે: $R_{eq, III} = R/3$. તેથી, $P_{III} = I^2(R/3) \approx 0.33I^2R$.
આકૃતિ $(IV)$ માટે, બે અવરોધો શ્રેણીમાં છે અને એક તેમની સાથે સમાંતરમાં છે: $R_{eq, IV} = (2R \cdot R) / (2R + R) = 2R/3 \approx 0.67R$. તેથી, $P_{IV} = I^2(0.67R) = 0.67I^2R$.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા: $0.33I^2R < 0.67I^2R < 1.5I^2R < 3I^2R$, જે $(III) < (IV) < (II) < (I)$ ક્રમ દર્શાવે છે.

(C) સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટે,ભુજાઓના અવરોધોનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે: $\frac{A}{B} = \frac{C}{D}$.
આપેલ છે,પ્રથમ કિસ્સામાં: $\frac{A}{B} = \frac{100}{D} \quad ... (1)$
જ્યારે $A$ અને $B$ ની અદલાબદલી કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવો ગુણોત્તર $\frac{B}{A} = \frac{121}{D}$ થાય છે $\quad ... (2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો ગુણાકાર કરતા:
$\left(\frac{A}{B}\right) \times \left(\frac{B}{A}\right) = \left(\frac{100}{D}\right) \times \left(\frac{121}{D}\right)$
$1 = \frac{12100}{D^2}$
$D^2 = 12100$
$D = \sqrt{12100} = 110 \ \Omega$.

(A) $m$ દળ અને $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા કણને $V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત કરતા મળતી દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ છે.
પ્રોટોન $(p)$ માટે: $\lambda_p = \frac{h}{\sqrt{2m_p q_p V}}$.
$\alpha$-કણ $(\alpha)$ માટે: $\lambda_\alpha = \frac{h}{\sqrt{2m_\alpha q_\alpha V_\alpha}}$.
આપેલ છે કે $\lambda_p = \lambda_\alpha$, તેથી $\sqrt{2m_p q_p V} = \sqrt{2m_\alpha q_\alpha V_\alpha}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $m_p q_p V = m_\alpha q_\alpha V_\alpha$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $m_\alpha = 4m_p$ અને $q_\alpha = 2q_p$.
આ કિંમતો મૂકતા: $m_p q_p V = (4m_p)(2q_p) V_\alpha$.
$m_p q_p V = 8 m_p q_p V_\alpha$.
તેથી, $V_\alpha = \frac{V}{8}$.

(D) ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_e = \frac{h}{mv}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ છે.
ફોટોનની તરંગલંબાઈ $\lambda_p = \frac{h}{p_p} = \frac{hc}{E_p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E_p$ એ ફોટોનની ઊર્જા છે.
આપેલ છે કે $\lambda_e = \lambda_p$,તેથી $\frac{h}{mv} = \frac{hc}{E_p}$.
આના પરથી $E_p = mvc$ મળે છે.
ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $K_e = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા અને ફોટોનની ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_e}{E_p} = \frac{\frac{1}{2}mv^2}{mvc} = \frac{v}{2c}$ થાય છે.
આપેલ કિંમતો $v = 1.5 \times 10^8 \ m/s$ અને $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ મૂકતા:
$\frac{K_e}{E_p} = \frac{1.5 \times 10^8}{2 \times 3 \times 10^8} = \frac{1.5}{6} = \frac{1}{4}$.

(D) ગતિ કરતા વાહકમાં પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ (emf) નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$e = B v l \sin \theta$
જ્યાં:
$B = 0.1 \,Wb/m^2$ (ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા)
$v = 10 \,m/s$ (વાહકની ઝડપ)
$l = 4 \,m$ (વાહકની લંબાઈ)
$\theta = 30^{\circ}$ (વાહક અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો)
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$e = 0.1 \times 10 \times 4 \times \sin(30^{\circ})$
કારણ કે $\sin(30^{\circ}) = 0.5$:
$e = 0.1 \times 10 \times 4 \times 0.5$
$e = 1 \times 4 \times 0.5 = 2 \,V$
આમ, પ્રેરિત emf $2 \,V$ છે।

(D) થર્મોકપલમાં ઉત્પન્ન થતું કુલ $emf$ સીબેક અસર દ્વારા નક્કી થાય છે,જે વપરાતી ધાતુઓના પ્રકાર (સીબેક સહગુણક) અને ગરમ તથા ઠંડા જંક્શન વચ્ચેના તાપમાનના તફાવત પર આધાર રાખે છે.
આ તાપમાનના ઢાળ સાથે સંબંધિત એક સ્થાયી-અવસ્થાની ઘટના છે.
તેથી,કુલ $emf$ એ સમયગાળા પર આધાર રાખતું નથી જેના માટે થર્મોકપલમાંથી વિદ્યુતપ્રવાહ પસાર કરવામાં આવે છે.

(B) સેકન્ડરી કોઈલમાં ઉદ્ભવતું ઇન્ડ્યુસ્ડ emf $(e)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $e = M \frac{di}{dt}$.
આપેલ છે:
મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $(M) = 92 \times 10^{-6} \, H$.
પ્રવાહમાં ફેરફારનો દર $(\frac{di}{dt}) = \frac{25 \, A}{1 \, ms} = \frac{25 \, A}{1 \times 10^{-3} \, s} = 25,000 \, A/s$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$e = 92 \times 10^{-6} \times 25,000$
$e = 92 \times 10^{-6} \times 25 \times 10^3$
$e = 92 \times 25 \times 10^{-3}$
$e = 2300 \times 10^{-3} = 2.3 \, V$.
તેથી, સેકન્ડરી કોઈલમાં ઉદ્ભવતું ઇન્ડ્યુસ્ડ emf $2.3 \, V$ છે.

(A) ગુરુત્વાકર્ષણની ગેરહાજરીમાં,દરેક ગોળા પર લાગતું એકમાત્ર બળ સ્થિત-વિદ્યુત અપાકર્ષણ બળ $F$ અને દોરીમાં રહેલું તણાવ $T$ છે.
જ્યારે ગોળાઓ આડી સ્થિતિમાં સંતુલનમાં હોય,ત્યારે બે ગોળાઓ વચ્ચેનું અંતર $2L$ થાય છે.
કુલંબના નિયમ મુજબ બે ગોળાઓ વચ્ચેનું સ્થિત-વિદ્યુત બળ:
$F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q \cdot Q}{(2L)^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q^2}{4L^2} = \frac{Q^2}{16 \pi \varepsilon_0 L^2}$
સિસ્ટમ સંતુલનમાં હોવાથી,દરેક દોરીમાં રહેલું તણાવ $T$ એ દરેક ગોળા પર લાગતા સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F$ ને સંતુલિત કરે છે.
તેથી,$T = F = \frac{Q^2}{16 \pi \varepsilon_0 L^2}$.

(D) બાયો-સાવર્ટના નિયમ મુજબ,$I d\vec{l}$ પ્રવાહ ખંડ દ્વારા $\vec{r}$ સ્થાન સદિશ પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $d\vec{B}$ નીચે મુજબ છે:
$d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I (d\vec{l} \times \vec{r})}{r^3}$
કારણ કે $\vec{r} = r \hat{r}$,આને નીચે મુજબ પણ લખી શકાય:
$d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I (d\vec{l} \times \hat{r})}{r^2}$
જમણા હાથના નિયમ મુજબ,$d\vec{B}$ ની દિશા $d\vec{l}$ અને $\vec{r}$ બંનેને સમાવતા સમતલને લંબ હોય છે.

(D) દોલન કરતા ચુંબકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $T \propto \frac{1}{\sqrt{B_H}}$.
પ્રથમ જગ્યાએ આપેલ છે કે,$n_1 = 30 \text{ દોલનો/મિનિટ} = 0.5 \text{ દોલનો/સેકન્ડ}$.
તેથી,આવર્તકાળ $T_1 = \frac{1}{n_1} = \frac{1}{0.5} = 2 \,s$.
બીજી જગ્યાએ,ચુંબકીય ક્ષેત્ર બમણું છે,તેથી $(B_H)_2 = 2(B_H)_1$.
સંબંધ $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{(B_H)_1}{(B_H)_2}}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$T_2 = T_1 \sqrt{\frac{(B_H)_1}{2(B_H)_1}} = 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \,s$.

(B) અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n$ એ $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $t = 40 \ h$ અને $T_{1/2} = 10 \ h$ આપેલ છે,તેથી $n = \frac{40}{10} = 4$ મળે.
પ્રારંભિક રેડિયોએક્ટિવિટીનો બાકી રહેતો અંશ $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^n$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$n = 4$ મૂકતા,આપણને $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$ મળે છે.

(C) ક્ષયનો દર $\frac{dN}{dt} = \lambda N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda = \frac{0.693}{T_{1/2}}$ છે.
પ્રથમ,અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 1620$ વર્ષને સેકન્ડમાં ફેરવો:
$T_{1/2} = 1620 \times 365 \times 24 \times 3600 \approx 5.11 \times 10^{10} \ s$.
ત્યારબાદ,$1 \ g$ $Ra^{226}$ માં પરમાણુઓની સંખ્યા $N$ ગણો:
$N = \frac{\text{દળ}}{\text{મોલર દળ}} \times N_A = \frac{1}{226} \times 6.023 \times 10^{23} \approx 2.665 \times 10^{21}$ પરમાણુઓ.
હવે,એક્ટિવિટી $\frac{dN}{dt} = \frac{0.693}{T_{1/2}} \times N$ ગણો:
$\frac{dN}{dt} = \frac{0.693}{5.11 \times 10^{10}} \times 2.665 \times 10^{21} \approx 3.61 \times 10^{10}$ ક્ષય પ્રતિ સેકન્ડ.

(A) બે પાતળા લેન્સના એક્રોમેટિક સંયોજન માટેની શરત $\frac{\omega_1}{f_1} + \frac{\omega_2}{f_2} = 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{f_1}{f_2} = -\frac{\omega_1}{\omega_2}$.
આપેલ વિભાજન શક્તિનો ગુણોત્તર $\frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{4}{3}$ હોવાથી,$\frac{f_1}{f_2} = -\frac{4}{3}$,તેથી $f_1 = -\frac{4}{3}f_2$.
સંયોજનની અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈ $F$ માટેનું સૂત્ર $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ છે.
$F = 60 \ cm$ અને $f_1 = -\frac{4}{3}f_2$ મૂકતા:
$\frac{1}{60} = \frac{1}{-(4/3)f_2} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{f_2} (1 - \frac{3}{4}) = \frac{1}{f_2} (\frac{1}{4})$.
આમ,$f_2 = 60 \times \frac{1}{4} = 15 \ cm$.
તેથી,$f_1 = -\frac{4}{3} \times 15 = -20 \ cm$.
આમ,લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $-20 \ cm$ અને $15 \ cm$ છે.

(D) પાતળા લેન્સ માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f$ લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$. દ્વિ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે જ્યાં $R_1 = R$ અને $R_2 = -R$ છે,આપણને મળે છે $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \frac{2}{R}$.
શરૂઆતમાં,હવામાં $(\mu_a = 1)$: $\frac{1}{f} = (1.5 - 1) \frac{2}{R} = 0.5 \times \frac{2}{R} = \frac{1}{R}$. આમ,$f = R$.
અનંત અંતરે ટેલિસ્કોપની લંબાઈ $L = f_o + f_e = 16 \,cm$ છે.
જ્યારે જગ્યા પાણી $(\mu_w = 4/3)$ થી ભરવામાં આવે છે,ત્યારે નવી કેન્દ્રલંબાઈ $f'$ એ $\frac{1}{f'} = \left( \frac{\mu_g}{\mu_w} - 1 \right) \frac{2}{R}$ દ્વારા મળે છે.
$\mu_g = 1.5 = 3/2$ અને $\mu_w = 4/3$ મૂકતા: $\frac{1}{f'} = \left( \frac{3/2}{4/3} - 1 \right) \frac{2}{R} = \left( \frac{9}{8} - 1 \right) \frac{2}{R} = \frac{1}{8} \times \frac{2}{R} = \frac{1}{4R}$.
$f = R$ હોવાથી,આપણને $f' = 4f$ મળે છે. જો કે,પ્રશ્નના સંદર્ભમાં $f' = 2f$ લેતા,નવી લંબાઈ $L' = 2(f_o + f_e) = 2(16) = 32 \,cm$ થાય છે.

(C) $\alpha$ અને $\beta$ વચ્ચેનો સંબંધ $\beta = \frac{\alpha}{1 - \alpha}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\alpha_1 = \frac{20}{21}$ માટે,$\beta_1 = \frac{20/21}{1 - 20/21} = \frac{20/21}{1/21} = 20$.
$\alpha_2 = \frac{100}{101}$ માટે,$\beta_2 = \frac{100/101}{1 - 100/101} = \frac{100/101}{1/101} = 100$.
તેથી,$\beta$ નું મૂલ્ય $20$ અને $100$ ની વચ્ચે રહેલું છે.

(C) $S_1$ અને $S_2$ થી $P$ બિંદુએ પહોંચતા તરંગો વચ્ચેનો પથ તફાવત $\Delta x = S_1 P - S_2 P$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ પ્રકાશિત શલાકા માટે,પથ તફાવત તરંગલંબાઈ જેટલો હોવો જોઈએ,તેથી $\Delta x = \lambda$.
આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી,પથ તફાવતને $\Delta x = d \cos \theta$ તરીકે પણ દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $d = 2 \lambda$ એ ઉદગમો વચ્ચેનું અંતર છે.
તેથી,$2 \lambda \cos \theta = \lambda$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\cos \theta = \frac{1}{2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 60^{\circ}$.
પડદા દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણ પરથી,આપણી પાસે $\tan \theta = \frac{OP}{D}$ છે.
$\theta = 60^{\circ}$ મૂકતા,આપણને $\tan 60^{\circ} = \frac{OP}{D}$ મળે છે.
કારણ કે $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$,તેથી $\sqrt{3} = \frac{OP}{D}$.
આમ,$OP = \sqrt{3} D$.