જો alpha, beta અને gamma એ સમીકરણ x^3+p x^2+q | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ છે કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ $x^3+p x^2+q x+r=0$ ના બીજ છે. વિયેટાના સૂત્રો મુજબ: $\alpha+\beta+\gamma = -p$,$\alpha\beta+\beta\gamma+\gam

Vedclass · Accepted Answer

$q^2+p r$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ છે કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ $x^3+p x^2+q x+r=0$ ના બીજ છે. વિયેટાના સૂત્રો મુજબ: $\alpha+\beta+\gamma = -p$,$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = q$,અને $\alpha\beta\gamma = -r$. ધારો કે નવા બીજ $y_1 = \alpha(\beta+\gamma)$,$y_2 = \beta(\gamma+\alpha)$,અને $y_3 = \gamma(\alpha+\beta)$ છે. અહીં $\alpha(\beta+\gamma) = \alpha(\beta+\gamma+\alpha) - \alpha^2 = -p\alpha - \alpha^2$. સમીકરણ $x^3+p x^2+q x+r=0$ પરથી,$\alpha^3+p\alpha^2 = -q\alpha-r$. $\alpha$ વડે ભાગતા,$\alpha^2+p\alpha = -q - \frac{r}{\alpha}$. તેથી,$y_1 = -(-q - \frac{r}{\alpha}) = q + \frac{r}{\alpha}$. તે જ રીતે,$y_2 = q + \frac{r}{\beta}$ અને $y_3 = q + \frac{r}{\gamma}$. ધારો કે $y = q + \frac{r}{x}$,તેથી $x = \frac{r}{y-q}$. આ કિંમત મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા: $(\frac{r}{y-q})^3 + p(\frac{r}{y-q})^2 + q(\frac{r}{y-q}) + r = 0$. $r$ વડે ભાગતા: $\frac{r^2}{(y-q)^3} + \frac{pr}{(y-q)^2} + \frac{q}{y-q} + 1 = 0$. $r^2 + pr(y-q) + q(y-q)^2 + (y-q)^3 = 0$. વિસ્તરણ કરતા: $y^3 - 2qy^2 + (q^2+pr)y + (r^2-prq) = 0$. તેથી $y$ નો સહગુણક $q^2+pr$ છે.

Similar Questions

જો $\alpha$ અને $\beta$ એ $x^2-2x+4=0$ ના બીજ હોય,તો $\alpha^6+\beta^6$ ની કિંમત શોધો.

શરત કે $x^3 - p x^2 + q x - r = 0$ ના બે બીજ એકબીજાને સમાન પરંતુ વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવતા હોય,તે છે

જો સમીકરણો $x^2 + bx + c = 0$ અને $x^2 + qx + r = 0$ ના બીજોનો ગુણોત્તર સમાન હોય,તો:

જો સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજનો ગુણોત્તર $p:q$ હોય,તો

જો $\alpha, \beta$ એ સમીકરણ $x^2+x+1=0$ ના બીજ હોય,તો $\alpha^4+\beta^4$ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module