જો $f(x) = \left|\begin{array}{ccc} 1 & x & x+1 \\ 2x & x(x-1) & x(x+1) \\ 3x(x-1) & x(x-1)(x-2) & (x-1)x(x+1) \end{array}\right|$,હોય તો $f(2012)$ ની કિંમત શોધો.

જો $x^2+y^2+z^2 \neq 0, \quad x=cy+bz, \quad y=az+cx$ અને $z=bx+ay$ હોય,તો $a^2+b^2+c^2+2abc$ ની કિંમત શોધો.

જો $a, b, c$ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય અને સમીકરણોની સંહતિ $(a - 1)x = y + z,$ $(b - 1)y = z + x,$ $(c - 1)z = x + y$ નો ઉકેલ શૂન્યતર (non-trivial) હોય,તો $ab + bc + ca$ ની કિંમત શું થાય?

ધારો કે ${a_2},{a_3} \in R$ એવા છે કે જેથી $\left| {{a_2} - {a_3}} \right| = 6$ અને $f\left( x \right) = \left| \begin{array}{ccc} 1 & {a_3} & {a_2} \\ 1 & {a_3} & {2{a_2} - x} \\ 1 & {2{a_3} - x} & {a_2} \end{array} \right|, x \in R.$ તો $f(x)$ ની મહત્તમ કિંમત શોધો.

સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $x + \lambda y - z = 0, \lambda x - y - z = 0, x + y - \lambda z = 0$ ને નીચેનામાંથી કોના માટે શૂન્યેતર ઉકેલ છે?

$(a, b)$,$(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો,જ્યાં $a, x_1, x_2$ એ સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ સાથે $G.P.$ માં છે અને $b, y_1, y_2$ એ સામાન્ય ગુણોત્તર $s$ સાથે $G.P.$ માં છે.