AP EAMCET 2003 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) ધારો કે $p(x)$ ને $x^2-a^2$ વડે ભાગતા મળતી શેષ $R(x) = mx + c$ છે,જ્યાં $x^2-a^2 = (x-a)(x+a)$ છે.
શેષ પ્રમેય મુજબ,$p(a) = -a$ અને $p(-a) = a$ થાય.
$p(x) = (x^2-a^2)q(x) + (mx+c)$ હોવાથી:
$p(a) = m(a) + c = -a$ ... $(i)$
$p(-a) = m(-a) + c = a$ ... (ii)
$(i)$ માંથી (ii) બાદ કરતા: $2ma = -2a \Rightarrow m = -1$.
$m = -1$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $-a + c = -a \Rightarrow c = 0$.
આમ,શેષ $R(x) = -1(x) + 0 = -x$ મળે.

(A) શ્રેણીનું $n$-મું પદ $T_n = \frac{1+2+3+\ldots+n}{(n+1)!}$ છે.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળાનો ઉપયોગ કરતા,$T_n = \frac{n(n+1)}{2(n+1)!} = \frac{n(n+1)}{2(n+1)n(n-1)!} = \frac{1}{2(n-1)!}$.
$n=1$ થી $\infty$ સુધી સરવાળો કરતા:
$S = \sum_{n=1}^{\infty} T_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2(n-1)!} = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!}$.
ધારો કે $k = n-1$,તો જ્યારે $n=1, k=0$ અને જ્યારે $n \to \infty, k \to \infty$.
$S = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \ldots \right) = \frac{1}{2} e$.
આમ,સરવાળો $\frac{e}{2}$ છે.

(A) ધારો કે $x = \cos \frac{2 \pi}{15} \cos \frac{4 \pi}{15} \cos \frac{8 \pi}{15} \cos \frac{14 \pi}{15}$.
અહીં $\frac{14 \pi}{15} = \pi - \frac{\pi}{15}$ હોવાથી,$\cos \frac{14 \pi}{15} = -\cos \frac{\pi}{15}$ થાય.
વળી,$\frac{2 \pi}{15} = 24^{\circ}$,$\frac{4 \pi}{15} = 48^{\circ}$,$\frac{8 \pi}{15} = 96^{\circ}$,અને $\frac{\pi}{15} = 12^{\circ}$ છે.
તેથી,$x = -\cos 12^{\circ} \cos 24^{\circ} \cos 48^{\circ} \cos 96^{\circ}$.
સૂત્ર $\cos \theta \cos 2\theta \cos 4\theta \dots \cos 2^{n-1}\theta = \frac{\sin(2^n \theta)}{2^n \sin \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = -\left( \frac{\sin(2^4 \times 12^{\circ})}{2^4 \sin 12^{\circ}} \right) = -\frac{\sin 192^{\circ}}{16 \sin 12^{\circ}}$.
કારણ કે $\sin 192^{\circ} = \sin(180^{\circ} + 12^{\circ}) = -\sin 12^{\circ}$,
તેથી $x = -\frac{-\sin 12^{\circ}}{16 \sin 12^{\circ}} = \frac{1}{16}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $(5+4 \cos \theta)(2 \cos \theta+1)=0$
કારણ કે $5+4 \cos \theta$ ક્યારેય $0$ ન હોઈ શકે (કારણ કે $-1 \le \cos \theta \le 1$,તેથી $1 \le 5+4 \cos \theta \le 9$),તેથી આપણી પાસે હોવું જોઈએ:
$2 \cos \theta + 1 = 0$
$\cos \theta = -\frac{1}{2}$
અંતરાલ $[0, 2\pi]$ માં,$\theta$ ની કિંમતો જેના માટે $\cos \theta = -\frac{1}{2}$ થાય છે તે છે:
$\theta = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ અને $\theta = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$
આમ,ઉકેલ ગણ $\left\{\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}\right\}$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 6 \theta = \sin 3(2 \theta)$.
$\sin 3A = 3 \sin A - 4 \sin^3 A$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin 6 \theta = 3 \sin 2 \theta - 4 \sin^3 2 \theta$.
$\sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ મૂકતા:
$\sin 6 \theta = 3(2 \sin \theta \cos \theta) - 4(2 \sin \theta \cos \theta)^3$
$= 6 \sin \theta \cos \theta - 32 \sin^3 \theta \cos^3 \theta$
$= 6 \sin \theta \cos \theta - 32 \sin \theta \cos^3 \theta (1 - \cos^2 \theta)$
$= 32 \cos^5 \theta \sin \theta - 32 \cos^3 \theta \sin \theta + 3 \sin 2 \theta$.
આપેલ સમીકરણ સાથે સરખાવતા,$3x = 3 \sin 2 \theta$,તેથી $x = \sin 2 \theta$ મળે છે.

(A) $\sin (A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પદનું વિસ્તરણ કરો:
$\cos \alpha (\sin \beta \cos \gamma - \cos \beta \sin \gamma) + \cos \beta (\sin \gamma \cos \alpha - \cos \gamma \sin \alpha) + \cos \gamma (\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta)$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$\cos \alpha \sin \beta \cos \gamma - \cos \alpha \cos \beta \sin \gamma + \cos \beta \sin \gamma \cos \alpha - \cos \beta \cos \gamma \sin \alpha + \cos \gamma \sin \alpha \cos \beta - \cos \gamma \cos \alpha \sin \beta$
બધા પદો એકબીજા સાથે ઉડી જાય છે,તેથી પરિણામ $0$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $A+B+C=270^{\circ}$,તેથી $A+B=270^{\circ}-C$.
સૂત્ર $\cos 2A+\cos 2B=2 \cos(A+B) \cos(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 2A+\cos 2B+\cos 2C = 2 \cos(A+B) \cos(A-B) + (2 \cos^2 C - 1)$
$= 2 \cos(270^{\circ}-C) \cos(A-B) + 2 \cos^2 C - 1$
$= 2(-\sin C) \cos(A-B) + 2 \cos^2 C - 1$
$= -2 \sin C \cos(A-B) + 2(1-\sin^2 C) - 1$
$= 1 - 2 \sin C [\cos(A-B) + \sin C]$
કારણ કે $C = 270^{\circ}-(A+B)$,તેથી $\sin C = \sin(270^{\circ}-(A+B)) = -\cos(A+B)$.
$= 1 - 2 \sin C [\cos(A-B) - \cos(A+B)]$
$\cos(A-B) - \cos(A+B) = 2 \sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 1 - 2 \sin C [2 \sin A \sin B] = 1 - 4 \sin A \sin B \sin C$.

(D) ધારો કે મૂળ સિસ્ટમમાં યામ $(x, y)$ છે અને નવી સિસ્ટમમાં યામ $(x', y')$ છે,જ્યાં $\theta = 135^{\circ}$ છે.
રૂપાંતરણ સમીકરણો:
$x' = x \cos \theta + y \sin \theta$
$y' = -x \sin \theta + y \cos \theta$
આપેલ છે કે $(x', y') = (4, -3)$ અને $\theta = 135^{\circ}$,તેથી:
$4 = -\frac{x}{\sqrt{2}} + \frac{y}{\sqrt{2}} \Rightarrow -x + y = 4\sqrt{2} \quad (i)$
$-3 = -\frac{x}{\sqrt{2}} - \frac{y}{\sqrt{2}} \Rightarrow x + y = 3\sqrt{2} \quad (ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા $2y = 7\sqrt{2} \Rightarrow y = \frac{7}{\sqrt{2}}$ મળે.
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા $2x = -\sqrt{2} \Rightarrow x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ મળે.
આમ,મૂળ સિસ્ટમમાં યામ $(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{7}{\sqrt{2}})$ છે.

(D) ધારો કે $P$ ના યામ $(x, y)$ છે.
$P$ એ $A, B, C$ થી સમાન અંતરે હોવાથી,$PA^2 = PB^2$ અને $PB^2 = PC^2$ થાય.
$PA^2 = PB^2$ પરથી:
$(x-1)^2 + (y-3)^2 = (x+3)^2 + (y-5)^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 6y + 9 = x^2 + 6x + 9 + y^2 - 10y + 25$
$8x - 4y + 24 = 0 \Rightarrow 2x - y + 6 = 0$ ... $(i)$
$PB^2 = PC^2$ પરથી:
$(x+3)^2 + (y-5)^2 = (x-5)^2 + (y+1)^2$
$16x - 12y + 8 = 0 \Rightarrow 4x - 3y + 2 = 0$ ... (ii)
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) ઉકેલતા:
$x = -8$ અને $y = -10$ મળે.
આમ,$P$ ના યામ $(-8, -10)$ છે.
$PA = \sqrt{(-8-1)^2 + (-10-3)^2} = \sqrt{81 + 169} = \sqrt{250} = 5 \sqrt{10}$.

(A) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $\sqrt{3} \sin \theta + 2 \cos \theta = \frac{4}{r}$ છે,જેને $\sqrt{3} r \sin \theta + 2 r \cos \theta = 4$ તરીકે લખી શકાય.
$x = r \cos \theta$ અને $y = r \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરીને કાર્તેઝિયન યામમાં ફેરવતા,આપણને $2x + \sqrt{3} y - 4 = 0$ મળે છે.
આ રેખાનો ઢાળ $m_1 = -\frac{2}{\sqrt{3}}$ છે.
તેને લંબ રેખાનો ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{m_1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ થાય.
ધ્રુવીય યામ $\left(-1, \frac{\pi}{2}\right)$ એ કાર્તેઝિયન યામ $(0, -1)$ ને અનુરૂપ છે.
$(0, -1)$ માંથી પસાર થતી અને $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - (-1) = \frac{\sqrt{3}}{2}(x - 0)$ છે.
$y + 1 = \frac{\sqrt{3}}{2} x \Rightarrow \sqrt{3} x - 2y = 2$.
$x = r \cos \theta$ અને $y = r \sin \theta$ મૂકતા,આપણને $\sqrt{3} r \cos \theta - 2 r \sin \theta = 2$ મળે છે.

(D) રેખાઓની જોડી $Ax^2+2Hxy+By^2=0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે આ રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $2\theta$ છે. $ax+by+c=0$ રેખા સાથે બનતો ત્રિકોણ સમબાજુ હોવાથી,દરેક રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે.
રેખાઓ $y=m_1x$ અને $y=m_2x$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left|\frac{2\sqrt{H^2-AB}}{A+B}\right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે,તેથી $\theta = 30^{\circ}$.
આમ,$\tan 30^{\circ} = \frac{\sqrt{H^2-AB}}{|A+B|}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{1}{3} = \frac{H^2-AB}{(A+B)^2}$.
$(A+B)^2 = 3(H^2-AB)$.
$A^2+B^2+2AB = 3H^2-3AB$.
$A^2+B^2+5AB = 3H^2$.
આપણે $(A+3B)(3A+B) = 3A^2+10AB+3B^2$ ની કિંમત શોધવાની છે.
રેખાઓ $Ax^2+2Hxy+By^2=0$ વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ હોવાની શરત મુજબ,આપણે $\cos 60^{\circ} = \frac{|A+B|}{\sqrt{(A-B)^2+4H^2}}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$\frac{1}{2} = \frac{|A+B|}{\sqrt{(A-B)^2+4H^2}} \implies (A-B)^2+4H^2 = 4(A+B)^2$.
$A^2+B^2-2AB+4H^2 = 4(A^2+B^2+2AB)$.
$4H^2 = 3A^2+3B^2+10AB$.
તેથી,$(A+3B)(3A+B) = 3A^2+10AB+3B^2 = 4H^2$.

(A) આપેલ સમીકરણોને આ રીતે અવયવ પાડી શકાય:
પ્રથમ જોડી: $(\lambda x + my)(\lambda x - my - n) = 0$,જે રેખાઓ $L_1: \lambda x + my = 0$ અને $L_2: \lambda x - my = n$ દર્શાવે છે.
બીજી જોડી: $(\lambda x + my)(\lambda x - my + n) = 0$,જે રેખાઓ $L_3: \lambda x + my = -n$ અને $L_4: \lambda x - my = 0$ દર્શાવે છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\left| \frac{(c_1 - c_2)(d_1 - d_2)}{a_1 b_2 - a_2 b_1} \right|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,ક્ષેત્રફળ $= \left| \frac{(0 - n)(0 - (-n))}{\lambda(-m) - m(\lambda)} \right| = \frac{n^2}{2|\lambda m|}$ ચોરસ એકમ.

(A) ધારો કે સમીકરણ $x^3+p x^2-q x+r=0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
$\alpha+\beta+\gamma = -p$
$\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = -q$
$\alpha \beta \gamma = -r$
આપેલ છે કે બે બીજનો સરવાળો શૂન્ય છે,ધારો કે $\alpha + \beta = 0$,જેનો અર્થ છે $\beta = -\alpha$.
પ્રથમ સંબંધમાં $\alpha + \beta = 0$ મૂકતા:
$0 + \gamma = -p \implies \gamma = -p$.
ત્રીજા સંબંધમાં $\gamma = -p$ મૂકતા:
$\alpha \beta (-p) = -r \implies \alpha \beta p = r$.
હવે,બીજા સંબંધમાં $\beta = -\alpha$ મૂકતા:
$\alpha(-\alpha) + \gamma(\alpha + \beta) = -q$
$-\alpha^2 + \gamma(0) = -q
-\alpha^2 = -q
\alpha^2 = q$.
કારણ કે $\alpha \beta = \alpha(-\alpha) = -\alpha^2 = -q$,તેથી $\alpha \beta = -q$.
$\alpha \beta p = r$ પરથી,આપણને $(-q)p = r$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $-pq = r$,અથવા $pq = -r$.

(C) આપેલ છે કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ સમીકરણ $x^3+0x^2+4x+1=0$ ના બીજ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha+\beta+\gamma = 0$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 4$
$\alpha\beta\gamma = -1$
$\alpha+\beta+\gamma = 0$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$\alpha+\beta = -\gamma$
$\beta+\gamma = -\alpha$
$\gamma+\alpha = -\beta$
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$(\alpha+\beta)^{-1}+(\beta+\gamma)^{-1}+(\gamma+\alpha)^{-1} = \frac{1}{-\gamma} + \frac{1}{-\alpha} + \frac{1}{-\beta}$
$= -\left(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma}\right) = -\left(\frac{\beta\gamma + \alpha\gamma + \alpha\beta}{\alpha\beta\gamma}\right)$
$= -\left(\frac{4}{-1}\right) = 4$

(D) આપેલ પદાવલિ: $225+(3 \omega+8 \omega^2)^2+(3 \omega^2+8 \omega)^2$
વર્ગનું વિસ્તરણ કરતા: $225 + (9 \omega^2 + 64 \omega^4 + 48 \omega^3) + (9 \omega^4 + 64 \omega^2 + 48 \omega^3)$
$\omega^3 = 1$ અને $\omega^4 = \omega$ ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા: $225 + 9 \omega^2 + 64 \omega + 48 + 9 \omega + 64 \omega^2 + 48$
પદોને જૂથમાં ગોઠવતા: $225 + 73(\omega^2 + \omega) + 96$
કારણ કે $1 + \omega + \omega^2 = 0$,તેથી $\omega^2 + \omega = -1$: $225 + 73(-1) + 96$
અંતિમ કિંમત: $225 - 73 + 96 = 152 + 96 = 248$

(D) આપેલ છે કે,$\arg(z-2-3i) = \frac{\pi}{4}$.
ધારો કે $z = x+iy$.
તેથી $z-2-3i = (x-2) + i(y-3)$.
$\arg(z-2-3i) = \frac{\pi}{4}$ હોવાથી,$\tan^{-1}\left(\frac{y-3}{x-2}\right) = \frac{\pi}{4}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{y-3}{x-2} = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.
તેથી,$y-3 = x-2$,જેનું સાદું રૂપ $x-y+1 = 0$ થાય છે.
આમ,$z$ નો બિંદુપથ $x-y+1 = 0$ છે.

(B) આપેલ છે કે $z = x+iy$,તેથી $z-2-3i = (x-2) + i(y-3)$.
$z-2-3i$ નો કંપવિસ્તાર $\frac{\pi}{4}$ હોવાથી,$\arg((x-2) + i(y-3)) = \frac{\pi}{4}$.
આથી $\tan^{-1}\left(\frac{y-3}{x-2}\right) = \frac{\pi}{4}$.
બંને બાજુ ટેન્જન્ટ લેતા,$\frac{y-3}{x-2} = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.
તેથી,$y-3 = x-2$,જેનું સાદું રૂપ $x-y+1=0$ મળે છે.

(C) આપેલ રેખાઓ $y=x+r$ અને $y=-x+r$ છે,જ્યાં $r \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
આ રેખાઓ ચોરસની ગ્રીડ બનાવે છે.
બે રેખાઓ $y=x+r_1$ અને $y=x+r_2$ સમાંતર છે,અને તેમની વચ્ચેનું અંતર $\frac{|r_1-r_2|}{\sqrt{2}}$ છે.
ચોરસની બાજુની લંબાઈ $\sqrt{2}$ હોવા માટે,$\frac{|r_1-r_2|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ જરૂરી છે,જેનો અર્થ છે કે $|r_1-r_2| = 2$.
$r \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ગણ માટે,$2$ નો તફાવત ધરાવતી જોડીઓ $(0, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6)$ છે. આવી $5$ જોડીઓ છે.
તે જ રીતે,$y=-x+r$ રેખાઓ માટે,બે રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{|r_3-r_4|}{\sqrt{2}}$ છે.
આને $\sqrt{2}$ તરીકે લેતા $|r_3-r_4| = 2$ મળે છે,જે પણ $5$ જોડીઓ આપે છે.
બનતા ચોરસની કુલ સંખ્યા દરેક દિશામાં $2$ લંબાઈના અંતરાલોની સંખ્યાનો ગુણાકાર છે,જે $5 \times 5 = 25$ છે.

(D) કુલ બિંદુઓની સંખ્યા $8$ છે ($P$ ને બાદ કરતાં). $P$ ને ગણતા,આપણી પાસે કુલ $9$ બિંદુઓ છે.
ત્રિકોણ બનાવવા માટે,આપણે $3$ અસમરેખ બિંદુઓ પસંદ કરવા પડે.
$9$ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${^9C_3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$ છે.
જોકે,એક જ રેખા પર આવેલા બિંદુઓ ત્રિકોણ બનાવી શકતા નથી.
$l_1$ પરના બિંદુઓ ($P$ સહિત) $4$ છે $(A_1, B_1, C_1, P)$. તેમાંથી $3$ સમરેખ બિંદુઓ પસંદ કરવાની રીતો ${^4C_3} = 4$ છે.
$l_2$ પરના બિંદુઓ ($P$ સહિત) $6$ છે $(A_2, B_2, C_2, D_2, E_2, P)$. તેમાંથી $3$ સમરેખ બિંદુઓ પસંદ કરવાની રીતો ${^6C_3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ છે.
કુલ ત્રિકોણ = ($3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો) - ($l_1$ પરના સમરેખ સેટ) - ($l_2$ પરના સમરેખ સેટ)
કુલ ત્રિકોણ = $84 - 4 - 20 = 60$.

(A) શ્રેણીનું $n$મું પદ $T_n = \frac{1+2+3+\ldots+n}{(n+1) !}$ છે.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળાનો ઉપયોગ કરતા,$T_n = \frac{n(n+1)}{2(n+1)!} = \frac{n}{2(n)!} = \frac{1}{2(n-1)!}$.
$n=1, 2, 3, \ldots$ માટે,પદો $T_1 = \frac{1}{2(0!)}, T_2 = \frac{1}{2(1!)}, T_3 = \frac{1}{2(2!)}, \ldots$ છે.
સરવાળો $S = \sum_{n=1}^{\infty} T_n = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots \right]$.
કારણ કે $e = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots$,તેથી $S = \frac{1}{2} e$.

(A) આપણી પાસે પદાવલિ $(1+x^2)^5(1+x)^4$ છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણ સૂત્ર $(1+a)^n = \sum_{k=0}^{n} {^nC_k} a^k$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(1+x^2)^5 = 1 + 5x^2 + 10x^4 + 10x^6 + \dots$
$(1+x)^4 = 1 + 4x + 6x^2 + 4x^3 + x^4$
$x^5$ નો સહગુણક મેળવવા માટે,આપણે બંને વિસ્તરણના પદોનો ગુણાકાર એવી રીતે કરીએ છીએ કે જેથી ઘાતનો સરવાળો $5$ થાય:
$(5x^2) \cdot (4x^3) + (10x^4) \cdot (4x) = 20x^5 + 40x^5 = 60x^5$
આમ,$x^5$ નો સહગુણક $60$ છે.

(B) $(1+x)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{k+1} = {}^{n}C_k x^k$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(2r+1)$-મા પદ માટે,$k = (2r+1)-1 = 2r$. સહગુણક ${}^{43}C_{2r}$ છે.
$(r+2)$-મા પદ માટે,$k = (r+2)-1 = r+1$. સહગુણક ${}^{43}C_{r+1}$ છે.
આપેલ છે કે સહગુણકો સમાન છે:
${}^{43}C_{2r} = {}^{43}C_{r+1}$.
ગુણધર્મ ${}^{n}C_a = {}^{n}C_b$ નો ઉપયોગ કરતા,કાં તો $a = b$ અથવા $a+b = n$ થાય.
કિસ્સો $1$: $2r = r+1 \Rightarrow r = 1$.
કિસ્સો $2$: $2r + (r+1) = 43$ $\Rightarrow 3r + 1 = 43$ $\Rightarrow 3r = 42$ $\Rightarrow r = 14$.
વિકલ્પોમાં $14$ આપેલ હોવાથી,$r = 14$ એ સાચો જવાબ છે.

(A) આપેલ છે કે $x(y^3 - 1) = 1$,તેથી $x = \frac{1}{y^3 - 1}$.
ધારો કે $k = \frac{1}{x} = y^3 - 1$.
શ્રેણી $S = 2k + \frac{2}{3}k^3 + \frac{2}{5}k^5 + \dots$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\log \left( \frac{1+k}{1-k} \right) = 2(k + \frac{k^3}{3} + \frac{k^5}{5} + \dots) = 2k + \frac{2}{3}k^3 + \frac{2}{5}k^5 + \dots$
$k = y^3 - 1$ મુકતા:
$S = \log \left( \frac{1 + (y^3 - 1)}{1 - (y^3 - 1)} \right) = \log \left( \frac{y^3}{2 - y^3} \right)$.

(D) $\sin(a\theta)$ નું આવર્તમાન $\frac{2\pi}{|a|}$ છે અને $\cos(b\theta)$ નું આવર્તમાન $\frac{2\pi}{|b|}$ છે.
$f(\theta) = \sin \frac{\theta}{3} + \cos \frac{\theta}{2}$ માટે, $\sin \frac{\theta}{3}$ નું આવર્તમાન $T_1 = \frac{2\pi}{1/3} = 6\pi$ છે.
$\cos \frac{\theta}{2}$ નું આવર્તમાન $T_2 = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$ છે.
બે આવર્તી વિધેયોના સરવાળાનું આવર્તમાન તેમના વ્યક્તિગત આવર્તમાનોનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ છે.
આપણે $LCM(6\pi, 4\pi)$ શોધવાની જરૂર છે.
$LCM(6, 4) = 12$.
તેથી, $f(\theta)$ નું આવર્તમાન $12\pi$ છે.

(A) આપેલ સ્પર્શકો:
$5x - 12y + 10 = 0$ $\dots$ $(i)$
$-5x + 12y + 16 = 0$ $\dots$ $(ii)$
બંને રેખાઓનો ઢાળ $\frac{5}{12}$ હોવાથી,રેખાઓ સમાંતર છે.
સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર એ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
$d = \frac{|10 - (-16)|}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}} = \frac{26}{13} = 2$.
વ્યાસ $2r = 2$ હોવાથી,ત્રિજ્યા $r = 1$ મળે.

(D) આપેલ છે કે,વર્તુળ $S_1 \equiv x^2+y^2+6x-2y+k=0$ અને $S_2 \equiv x^2+y^2+2x-6y-15=0$.
જ્યારે $S_1$ એ $S_2$ ના પરિઘને દુભાગે છે,ત્યારે $S_1$ અને $S_2$ ની સામાન્ય જીવા એ $S_2$ નો વ્યાસ બને છે.
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ છે.
$(x^2+y^2+6x-2y+k) - (x^2+y^2+2x-6y-15) = 0$.
$4x + 4y + k + 15 = 0$.
આ જીવા $S_2$ નો વ્યાસ હોવાથી,તે $S_2$ ના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
$S_2$ નું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (-1, 3)$ છે.
$(-1, 3)$ ને જીવાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$4(-1) + 4(3) + k + 15 = 0$.
$-4 + 12 + k + 15 = 0$.
$8 + k + 15 = 0$.
$k + 23 = 0$.
$k = -23$.

(B) ધારો કે $P$ ના યામ $(x, y)$ છે.
આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો:
$S_1: x^2+y^2+2x-4y-20=0$
$S_2: x^2+y^2-4x+2y-44=0$
બિંદુ $P(x, y)$ માંથી વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ પરના સ્પર્શકની લંબાઈનો વર્ગ $x^2+y^2+2gx+2fy+c$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,સ્પર્શકોની લંબાઈના વર્ગોનો ગુણોત્તર:
$\frac{x^2+y^2+2x-4y-20}{x^2+y^2-4x+2y-44} = \frac{2}{3}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$3(x^2+y^2+2x-4y-20) = 2(x^2+y^2-4x+2y-44)$
$3x^2+3y^2+6x-12y-60 = 2x^2+2y^2-8x+4y-88$
પદોને એક બાજુ ગોઠવતા:
$x^2+y^2+14x-16y+28 = 0$
આ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સ્વરૂપમાં વર્તુળનું સમીકરણ છે,જ્યાં $2g=14$ અને $2f=-16$.
તેથી,$g=7$ અને $f=-8$.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (-7, 8)$ છે.

(A) પરવલયની નાભિ $S(0,0)$ આપેલ છે.
નિયામિકાનું સમીકરણ $x+y-4=0$ છે.
ધારો કે $P(x, y)$ એ પરવલય પરનું કોઈ બિંદુ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,$P$ નું નાભિથી અંતર એ $P$ નું નિયામિકાથી અંતર જેટલું હોય છે,તેથી $SP^2 = PM^2$.
$SP^2 = (x-0)^2 + (y-0)^2 = x^2 + y^2$.
$P(x, y)$ થી રેખા $x+y-4=0$ નું લંબ અંતર $PM = \frac{|x+y-4|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|x+y-4|}{\sqrt{2}}$ છે.
તેથી,$x^2 + y^2 = \left(\frac{x+y-4}{\sqrt{2}}\right)^2$.
$x^2 + y^2 = \frac{(x+y-4)^2}{2}$.
$2(x^2 + y^2) = x^2 + y^2 + 16 + 2xy - 8x - 8y$.
$x^2 + y^2 - 2xy + 8x + 8y - 16 = 0$.

(B) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $9x^2 + 5y^2 - 18x - 20y - 16 = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$9(x^2 - 2x) + 5(y^2 - 4y) = 16$ મળે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$9(x^2 - 2x + 1) + 5(y^2 - 4y + 4) = 16 + 9 + 20$ મળે.
આથી $9(x - 1)^2 + 5(y - 2)^2 = 45$ થાય.
$45$ વડે ભાગતા,પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{(x - 1)^2}{5} + \frac{(y - 2)^2}{9} = 1$ મળે.
અહીં,$a^2 = 5$ અને $b^2 = 9$ છે. $b^2 > a^2$ હોવાથી,ઉપવલય ઉભું છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{a^2}{b^2}} = \sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$ થાય.

(B) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $x^2 - 2y^2 = 2$ છે,જેને $\frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{1} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2 = 2$ અને $b^2 = 1$ છે.
અનંતસ્પર્શકોના સમીકરણો $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 0$ દ્વારા મળે છે,જે $\frac{x}{\sqrt{2}} - y = 0$ અને $\frac{x}{\sqrt{2}} + y = 0$ થાય છે.
અતિવલય પરના કોઈપણ બિંદુ $P(x_1, y_1)$ માટે,અનંતસ્પર્શકો પરના લંબની લંબાઈનો ગુણાકાર $\frac{a^2 b^2}{a^2 + b^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$a^2 = 2$ અને $b^2 = 1$ કિંમતો મૂકતા:
ગુણાકાર $= \frac{2 \times 1}{2 + 1} = \frac{2}{3}$.

(B) ધારો કે $L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{6}} \frac{3 \sin x - \sqrt{3} \cos x}{6x - \pi}$.
અહીં લક્ષ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપમાં હોવાથી,આપણે $L$'$H$ôpital ના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ:
$L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{6}} \frac{3 \cos x + \sqrt{3} \sin x}{6}$
$x = \frac{\pi}{6}$ મૂકતા:
$L = \frac{3(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \sqrt{3}(\frac{1}{2})}{6} = \frac{4\sqrt{3}}{12} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(B) આપેલ લક્ષ: $\lim _{x \rightarrow a} \frac{a^x - x^a}{x^x - a^a} = -1$.
$L^{\prime}$Hospital ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
અંશનું વિકલન: $\frac{d}{dx}(a^x - x^a) = a^x \ln a - a x^{a-1}$.
છેદનું વિકલન: $\frac{d}{dx}(x^x - a^a) = x^x(1 + \ln x)$.
$x = a$ મૂકતા:
$\frac{a^a \ln a - a \cdot a^{a-1}}{a^a(1 + \ln a)} = -1$.
$\frac{a^a \ln a - a^a}{a^a(1 + \ln a)} = -1$.
અંશ અને છેદને $a^a$ વડે ભાગતા:
$\frac{\ln a - 1}{1 + \ln a} = -1$.
$\ln a - 1 = -(1 + \ln a)$.
$\ln a - 1 = -1 - \ln a$.
$2 \ln a = 0$.
$\ln a = 0 \Rightarrow a = e^0 = 1$.

(B) આપેલ છે: $b=20, c=21$ અને $\sin A=\frac{3}{5}$.
નિત્યસમ $\cos^2 A = 1 - \sin^2 A$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos^2 A = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.
તેથી,$\cos A = \frac{4}{5}$ (ધારો કે $A$ લઘુકોણ છે).
કોસાઇનના નિયમ મુજબ: $\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{4}{5} = \frac{20^2+21^2-a^2}{2 \times 20 \times 21}$.
$\frac{4}{5} = \frac{400+441-a^2}{840}$.
$840 \times \frac{4}{5} = 841 - a^2$.
$168 \times 4 = 841 - a^2$.
$672 = 841 - a^2$.
$a^2 = 841 - 672 = 169$.
તેથી,$a = \sqrt{169} = 13$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણમાં અડધા ખૂણાઓ માટે કોટેન્જન્ટનું સૂત્ર: $\cot \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)}}$ અને $\cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}}$ છે.
તેમનો ગુણાકાર કરતા: $\cot \frac{B}{2} \cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)} \cdot \frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}} = \sqrt{\frac{s^2}{(s-a)^2}} = \frac{s}{s-a}$.
આપેલ છે કે $3a = b + c$,તેથી અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{a+3a}{2} = 2a$.
$s = 2a$ ની કિંમત પદમાં મૂકતા: $\frac{s}{s-a} = \frac{2a}{2a-a} = \frac{2a}{a} = 2$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)}}$ અને $\cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}}$.
તેમનો ગુણાકાર કરતા,$\cot \frac{B}{2} \cdot \cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)} \cdot \frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}} = \sqrt{\frac{s^2}{(s-a)^2}} = \frac{s}{s-a}$.
આપેલ છે કે $b+c=3a$,તેથી અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{a+3a}{2} = 2a$.
$s = 2a$ ની કિંમત મૂકતા,$\frac{s}{s-a} = \frac{2a}{2a-a} = \frac{2a}{a} = 2$.

(A) આપણી પાસે ત્રિકોણની બહિર ત્રિજ્યાઓ (exradii) માટેના સૂત્રો છે:
$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}, r_2 = \frac{\Delta}{s-b}, r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$
આપેલ છે કે $r_1 < r_2 < r_3$,તેથી:
$\frac{\Delta}{s-a} < \frac{\Delta}{s-b} < \frac{\Delta}{s-c}$
$\Delta$ એ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ છે જે ધન છે,તેથી વ્યસ્ત લેતા અસમતાની નિશાની બદલાશે:
$s-a > s-b > s-c$
બધા પદોમાંથી $s$ બાદ કરતા:
$-a > -b > -c$
$-1$ વડે ગુણતા અસમતાની નિશાની ફરી બદલાશે:
$a < b < c$

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે ઇન્વર્સ હાઇપરબોલિક સાઇન વિધેયનું સૂત્ર $\sinh^{-1}(x) = \log\{x + \sqrt{x^2 + 1\}}$ છે.
સૂત્રમાં $x = 2^{3/2}$ મૂકતા:
$\sinh^{-1}(2^{3/2}) = \log\{2^{3/2} + \sqrt{(2^{3/2})^2 + 1\}}$.
અહીં $2^{3/2} = \sqrt{2^3} = \sqrt{8}$ હોવાથી:
$\sinh^{-1}(2^{3/2}) = \log\{\sqrt{8} + \sqrt{8 + 1\}}$.
$= \log\{\sqrt{8} + \sqrt{9\}}$.
$= \log\{3 + \sqrt{8\}}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) આપેલ અસમતા: $3^x + 3^{1-x} - 4 < 0$.
$3^{1-x} = \frac{3}{3^x}$ મૂકતા: $3^x + \frac{3}{3^x} - 4 < 0$.
આખી અસમતાને $3^x$ વડે ગુણતા (કારણ કે $3^x > 0$ દરેક $x \in R$ માટે): $(3^x)^2 - 4(3^x) + 3 < 0$.
ધારો કે $y = 3^x$. તેથી અસમતા $y^2 - 4y + 3 < 0$ બને છે.
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા: $(y - 1)(y - 3) < 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $1 < y < 3$.
$y = 3^x$ પાછું મૂકતા,આપણને $1 < 3^x < 3$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $3^0 = 1$ અને $3^1 = 3$,તેથી $3^0 < 3^x < 3^1$.
ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા,$0 < x < 1$ મળે છે.
આમ,ઉકેલ ગણ $(0, 1)$ છે.

(A) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિભાજન: $\frac{1}{(1-x)(1-2x)(1-3x)} = \frac{a}{1-x} + \frac{b}{1-2x} + \frac{c}{1-3x}$.
બંને બાજુ $(1-x)(1-2x)(1-3x)$ વડે ગુણતા:
$1 = a(1-2x)(1-3x) + b(1-x)(1-3x) + c(1-x)(1-2x)$.
$a$ શોધવા માટે,$x = 1$ લેતા: $1 = a(1-2)(1-3) = a(-1)(-2) = 2a \Rightarrow a = \frac{1}{2}$.
$b$ શોધવા માટે,$x = \frac{1}{2}$ લેતા: $1 = b(1-\frac{1}{2})(1-\frac{3}{2}) = b(\frac{1}{2})(-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{4}b \Rightarrow b = -4$.
$c$ શોધવા માટે,$x = \frac{1}{3}$ લેતા: $1 = c(1-\frac{1}{3})(1-\frac{2}{3}) = c(\frac{2}{3})(\frac{1}{3}) = \frac{2}{9}c \Rightarrow c = \frac{9}{2}$.
હવે,$\frac{a}{1} + \frac{b}{3} + \frac{c}{5} = \frac{1/2}{1} + \frac{-4}{3} + \frac{9/2}{5} = \frac{1}{2} - \frac{4}{3} + \frac{9}{10}$.
લસાઅ $30$ લેતા: $\frac{15}{30} - \frac{40}{30} + \frac{27}{30} = \frac{15 - 40 + 27}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$.

(C) આપેલ છે કે,$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x+2 \sqrt{2x-4}}} + \frac{1}{\sqrt{x-2 \sqrt{2x-4}}}$
$x = 11$ મુકતા:
$f(11) = \frac{1}{\sqrt{11+2 \sqrt{18}}} + \frac{1}{\sqrt{11-2 \sqrt{18}}}$
$f(11) = \frac{1}{\sqrt{11+6 \sqrt{2}}} + \frac{1}{\sqrt{11-6 \sqrt{2}}}$
અહીં $11+6 \sqrt{2} = (3+\sqrt{2})^2$ અને $11-6 \sqrt{2} = (3-\sqrt{2})^2$ થાય છે,
તેથી $f(11) = \frac{1}{3+\sqrt{2}} + \frac{1}{3-\sqrt{2}}$
$f(11) = \frac{3-\sqrt{2} + 3+\sqrt{2}}{9-2} = \frac{6}{7}$

(D) આપેલ છે કે $t_n = \frac{1}{4}(n+2)(n+3)$.
તેથી,$\frac{1}{t_n} = \frac{4}{(n+2)(n+3)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{t_n} = 4 \left[ \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3} \right]$.
ધારો કે $S = \sum_{n=1}^{2003} \frac{1}{t_n} = 4 \sum_{n=1}^{2003} \left( \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3} \right)$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે:
$S = 4 \left[ \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{5} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{2005} - \frac{1}{2006} \right) \right]$.
$S = 4 \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2006} \right)$.
$S = 4 \left( \frac{2006 - 3}{3 \times 2006} \right) = 4 \left( \frac{2003}{6018} \right) = \frac{8012}{6018} = \frac{4006}{3009}$.

(B) $\triangle ECD$ માં,$\tan 3 \alpha = \frac{h}{CD} \Rightarrow CD = h \cot 3 \alpha \quad \dots(i)$
$\triangle EBD$ માં,$\tan 2 \alpha = \frac{h}{BD} \Rightarrow BD = h \cot 2 \alpha \quad \dots(ii)$
$\triangle EAD$ માં,$\tan \alpha = \frac{h}{AD} \Rightarrow AD = h \cot \alpha \quad \dots(iii)$
સમીકરણ $(ii)$ અને $(iii)$ પરથી,$AB = AD - BD = h(\cot \alpha - \cot 2 \alpha) \quad \dots(iv)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ પરથી,$BC = BD - CD = h(\cot 2 \alpha - \cot 3 \alpha) \quad \dots(v)$
$(iv)$ ને $(v)$ વડે ભાગતા:
$\frac{AB}{BC} = \frac{\cot \alpha - \cot 2 \alpha}{\cot 2 \alpha - \cot 3 \alpha} = \frac{\sin 3 \alpha}{\sin \alpha} = \frac{3 \sin \alpha - 4 \sin^3 \alpha}{\sin \alpha} = 3 - 4 \sin^2 \alpha = 1 + 2 \cos 2 \alpha$.

(C) ધારો કે $XOZ$-સમતલ બિંદુઓ $A(2, 3, 1)$ અને $B(6, 7, 1)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $m: n$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,વિભાજન બિંદુના યામ નીચે મુજબ મળે છે:
$\left(\frac{m(6)+n(2)}{m+n}, \frac{m(7)+n(3)}{m+n}, \frac{m(1)+n(1)}{m+n}\right)$
આ બિંદુ $XOZ$-સમતલ પર હોવાથી,તેનો $y$-યામ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
તેથી,$\frac{7m + 3n}{m+n} = 0$
$7m + 3n = 0$
$7m = -3n$
$\frac{m}{n} = -\frac{3}{7}$
આમ,ગુણોત્તર $-3: 7$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે ઘટનાઓ $A$ અને $B$ માટે,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
તેથી,$P(A) + P(B) = P(A \cup B) + P(A \cap B)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$P(A) + P(B) = 0.8 + 0.3 = 1.1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ અને $P(\bar{B}) = 1 - P(B)$.
આમ,$P(\bar{A}) + P(\bar{B}) = (1 - P(A)) + (1 - P(B)) = 2 - (P(A) + P(B))$.
$P(A) + P(B) = 1.1$ મૂકતા,આપણને $P(\bar{A}) + P(\bar{B}) = 2 - 1.1 = 0.9$ મળે છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ $x \in [-1, 1]$ માટે,નિત્યસમ $\cos^{-1}(x) + \sin^{-1}(x) = \frac{\pi}{2}$ સાચું છે.
આપેલ પદાવલિ $\cos \left[\cos ^{-1}\left(-\frac{1}{7}\right)+\sin ^{-1}\left(-\frac{1}{7}\right)\right]$ છે.
$x = -\frac{1}{7}$ ને નિત્યસમમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\cos \left[\frac{\pi}{2}\right]$
કારણ કે $\cos \frac{\pi}{2} = 0$,તેથી પદાવલિની કિંમત $0$ છે.

(B) ઉકેલોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે સિસ્ટમને મેટ્રિક્સ સ્વરૂપ $AX = B$ માં લખીએ છીએ,જ્યાં $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & -3 & 2 \\ 1 & 4 & -3 \end{bmatrix}$,$X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$,અને $B = \begin{bmatrix} 7 \\ 1 \\ 5 \end{bmatrix}$ છે.
પ્રથમ,$A$ નો નિશ્ચાયક $(|A|)$ ગણો:
$|A| = 2((-3)(-3) - (2)(4)) - 1((1)(-3) - (2)(1)) - 1((1)(4) - (-3)(1))$
$|A| = 2(9 - 8) - 1(-3 - 2) - 1(4 + 3)$
$|A| = 2(1) - 1(-5) - 1(7) = 2 + 5 - 7 = 0$.
કારણ કે $|A| = 0$ છે,સિસ્ટમ કાં તો અસંગત છે (કોઈ ઉકેલ નથી) અથવા અનંત ઉકેલો ધરાવે છે.
આપણે ઓગમેન્ટેડ મેટ્રિક્સ $[A|B]$ નો ઉપયોગ કરીને સુસંગતતા તપાસીએ છીએ:
$\begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & | & 7 \\ 1 & -3 & 2 & | & 1 \\ 1 & 4 & -3 & | & 5 \end{bmatrix}$
રો ઓપરેશન્સ કરતા: $R_1 \leftrightarrow R_2$ આપણને આપે છે $\begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 & | & 1 \\ 2 & 1 & -1 & | & 7 \\ 1 & 4 & -3 & | & 5 \end{bmatrix}$.
$R_2 \to R_2 - 2R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_1$ આપણને આપે છે $\begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 & | & 1 \\ 0 & 7 & -5 & | & 5 \\ 0 & 7 & -5 & | & 4 \end{bmatrix}$.
$R_3 \to R_3 - R_2$ આપણને આપે છે $\begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 & | & 1 \\ 0 & 7 & -5 & | & 5 \\ 0 & 0 & 0 & | & -1 \end{bmatrix}$.
છેલ્લી હાર સૂચવે છે કે $0 = -1$,જે વિરોધાભાસ છે.
તેથી,આ સિસ્ટમનો કોઈ ઉકેલ નથી.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = \begin{cases} -1, & -2 \leq x \leq 0 \\ x-1, & 0 < x \leq 2 \end{cases}$ છે.
આપણે એવા $x$ નો ગણ શોધવો છે કે જેના માટે $x \leq 0$ અને $f(|x|) = x$ થાય.
કારણ કે $x \leq 0$,તેથી $|x| = -x$ થાય. જો $x \in [-2, 0]$ હોય,તો $|x| \in [0, 2]$ થાય.
$0 < |x| \leq 2$ માટે,$f(|x|) = |x| - 1 = -x - 1$ થાય.
$f(|x|) = x$ લેતા,આપણને $-x - 1 = x$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $2x = -1$,તેથી $x = -\frac{1}{2}$.
શરત $x \leq 0$ ચકાસતા,આપણે જોઈએ છીએ કે $x = -\frac{1}{2}$ આ શરતનું પાલન કરે છે.
જો $x = 0$ હોય,તો $f(|0|) = f(0) = -1$ થાય. પરંતુ $x = 0$ છે,તેથી $f(0) \neq 0$.
આમ,માંગેલ ગણ $\{-\frac{1}{2}\}$ છે.

(B) કારણ કે $f(x)$ એ $x=0$ આગળ સતત છે,તેથી ડાબી બાજુનું લક્ષ અને જમણી બાજુનું લક્ષ સમાન હોવા જોઈએ,એટલે કે $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$.
પ્રથમ,જમણી બાજુનું લક્ષ મેળવીએ: $\lim_{x \to 0^+} (2x^2+3x-2) = 2(0)^2+3(0)-2 = -2$.
હવે,ડાબી બાજુનું લક્ષ મેળવીએ: $\lim_{x \to 0^-} \frac{\sqrt{1+kx}-\sqrt{1-kx}}{x}$.
અંશનું સંમેયીકરણ કરતા: $\lim_{x \to 0^-} \frac{(\sqrt{1+kx}-\sqrt{1-kx})(\sqrt{1+kx}+\sqrt{1-kx})}{x(\sqrt{1+kx}+\sqrt{1-kx})} = \lim_{x \to 0^-} \frac{(1+kx)-(1-kx)}{x(\sqrt{1+kx}+\sqrt{1-kx})} = \lim_{x \to 0^-} \frac{2kx}{x(\sqrt{1+kx}+\sqrt{1-kx})} = \lim_{x \to 0^-} \frac{2k}{\sqrt{1+kx}+\sqrt{1-kx}} = \frac{2k}{1+1} = k$.
બંને લક્ષને સરખાવતા: $k = -2$.

(B) આપેલ છે કે $x \neq 1$ માટે $f(x) = \frac{x-1}{2x^2-7x+5}$.
છેદના અવયવ પાડતા: $2x^2-7x+5 = 2x^2-2x-5x+5 = 2x(x-1)-5(x-1) = (2x-5)(x-1)$.
તેથી,$x \neq 1$ માટે,$f(x) = \frac{x-1}{(2x-5)(x-1)} = \frac{1}{2x-5}$.
વિધેય $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2x-5}, & x \neq 1 \\ -\frac{1}{3}, & x=1 \end{cases}$ છે.
વિકલનની વ્યાખ્યા મુજબ,$f^{\prime}(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h}$.
$f^{\prime}(1) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2(1+h)-5} - (-\frac{1}{3})}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2h-3} + \frac{1}{3}}{h}$.
$f^{\prime}(1) = \lim_{h \to 0} \frac{3 + (2h-3)}{3h(2h-3)} = \lim_{h \to 0} \frac{2h}{3h(2h-3)}$.
$f^{\prime}(1) = \lim_{h \to 0} \frac{2}{3(2h-3)} = \frac{2}{3(-3)} = -\frac{2}{9}$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{x}{1+|x|}$.
$f^{\prime}(0)$ શોધવા માટે,આપણે વિકલનની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$f^{\prime}(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h}$.
કારણ કે $f(0) = \frac{0}{1+|0|} = 0$,તેથી:
$f^{\prime}(0) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{h}{1+|h|} - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{1+|h|}$.
હવે,આપણે ડાબી બાજુનું લક્ષ અને જમણી બાજુનું લક્ષ ચકાસીએ:
ડાબી બાજુનું લક્ષ $(h \to 0^-)$: $\lim_{h \to 0^-} \frac{1}{1-h} = 1$.
જમણી બાજુનું લક્ષ $(h \to 0^+)$: $\lim_{h \to 0^+} \frac{1}{1+h} = 1$.
બંને લક્ષ સમાન હોવાથી,$f^{\prime}(0) = 1$ થાય છે.

(C) આપેલ છે કે,$u(x, y)=y \log x+x \log y$.
સૌ પ્રથમ,આપણે આંશિક વિકલન $u_x$ અને $u_y$ શોધીએ:
$u_x = \frac{\partial}{\partial x}(y \log x + x \log y) = \frac{y}{x} + \log y$.
$u_y = \frac{\partial}{\partial y}(y \log x + x \log y) = \log x + \frac{x}{y}$.
હવે,પદાવલિ $E = u_x u_y - u_x \log x - u_y \log y + \log x \log y$ ને ધ્યાનમાં લો.
આ પદાવલિને આ રીતે અવયવ પાડી શકાય:
$E = u_x(u_y - \log x) - \log y(u_y - \log x)$.
$E = (u_x - \log y)(u_y - \log x)$.
$u_x$ અને $u_y$ ની કિંમતો મૂકતા:
$u_x - \log y = (\frac{y}{x} + \log y) - \log y = \frac{y}{x}$.
$u_y - \log x = (\log x + \frac{x}{y}) - \log x = \frac{x}{y}$.
તેથી,$E = (\frac{y}{x}) \times (\frac{x}{y}) = 1$.

(A) આપેલ છે કે,કદમાં ફેરફારનો દર $\frac{dV}{dt} = 30 \ ft^3 / \text{min}$ અને ત્રિજ્યા $r = 15 \ ft$ છે.
ગોળાનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$30 = 4 \pi (15)^2 \frac{dr}{dt}$.
$30 = 4 \pi (225) \frac{dr}{dt} = 900 \pi \frac{dr}{dt}$.
તેથી,$\frac{dr}{dt} = \frac{30}{900 \pi} = \frac{1}{30 \pi} \ ft / \text{min}$.

(B) આપણને સંકલન $I = \int \frac{1+x+\sqrt{x+x^2}}{\sqrt{x}+\sqrt{1+x}} d x$ આપેલ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે અંશને $(1+x) + \sqrt{x(1+x)}$ તરીકે લખીએ છીએ.
આને $\sqrt{1+x}(\sqrt{1+x} + \sqrt{x})$ તરીકે અવયવ પાડી શકાય છે.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{\sqrt{1+x}(\sqrt{1+x} + \sqrt{x})}{\sqrt{x} + \sqrt{1+x}} d x$.
અંશ અને છેદમાંથી $(\sqrt{1+x} + \sqrt{x})$ પદ ઉડી જશે.
$I = \int \sqrt{1+x} d x$.
સંકલનના ઘાત નિયમ $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 1+x$ અને $du = dx$:
$I = \frac{(1+x)^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}(1+x)^{3/2} + C$.

(C) આપેલ છે કે અંતરાલ $[2,6]$ ને $n=4$ સમાન લંબાઈના પેટા-અંતરાલોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે.
$h = \frac{6-2}{4} = 1$.
ધારો કે $f(x) = \frac{1}{x^2-x}$.
$x$ ના મૂલ્યો $x_0=2, x_1=3, x_2=4, x_3=5, x_4=6$ છે.
$y = f(x)$ ના અનુરૂપ મૂલ્યો:
$y_0 = f(2) = \frac{1}{2} = 0.5$
$y_1 = f(3) = \frac{1}{6} \approx 0.1667$
$y_2 = f(4) = \frac{1}{12} \approx 0.0833$
$y_3 = f(5) = \frac{1}{20} = 0.05$
$y_4 = f(6) = \frac{1}{30} \approx 0.0333$
સિમ્પસનના નિયમ મુજબ: $\int_2^6 f(x) dx \approx \frac{h}{3} [y_0 + y_4 + 4(y_1 + y_3) + 2y_2]$
$= \frac{1}{3} [\frac{1}{2} + \frac{1}{30} + 4(\frac{1}{6} + \frac{1}{20}) + 2(\frac{1}{12})]$
$= \frac{1}{3} [\frac{16}{30} + 4(\frac{13}{60}) + \frac{1}{6}]$
$= \frac{1}{3} [\frac{32+52+10}{60}] = \frac{94}{180} = \frac{47}{90} \approx 0.5222$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $y^2 dx + (x^2 - xy + y^2) dy = 0$ છે.
તેને ફરીથી ગોઠવતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{-y^2}{x^2 - xy + y^2}$ મળે.
આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{-(vx)^2}{x^2 - x(vx) + (vx)^2} = \frac{-v^2}{1 - v + v^2}$.
તેથી $x \frac{dv}{dx} = \frac{-v^2}{1 - v + v^2} - v = \frac{-v^2 - v + v^2 - v^3}{1 - v + v^2} = \frac{-(v^3 + v)}{v^2 - v + 1}$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{v^2 - v + 1}{v^3 + v} dv = -\frac{1}{x} dx$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{v^2 - v + 1}{v(v^2 + 1)} = \frac{1}{v} - \frac{1}{v^2 + 1}$.
તેથી,$(\frac{1}{v} - \frac{1}{v^2 + 1}) dv = -\frac{1}{x} dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\log|v| - \tan^{-1}(v) = -\log|x| + C$.
$\log|vx| = \tan^{-1}(v) + C$.
કારણ કે $y = vx$,તેથી $\log|y| = \tan^{-1}(\frac{y}{x}) + C$,એટલે કે $\tan^{-1}(\frac{y}{x}) = \log y + C$.

(C) ધારો કે $E_1$ એ થેલી $X$ પસંદ કરવાની ઘટના છે અને $E_2$ એ થેલી $Y$ પસંદ કરવાની ઘટના છે. એક થેલી યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવતી હોવાથી,$P(E_1) = P(E_2) = \frac{1}{2}$ છે.
ધારો કે $W$ એ સફેદ દડો કાઢવાની ઘટના છે.
થેલી $X$ માંથી સફેદ દડો કાઢવાની સંભાવના $P(W|E_1) = \frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}$ છે.
થેલી $Y$ માંથી સફેદ દડો કાઢવાની સંભાવના $P(W|E_2) = \frac{4}{4+2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ છે.
સંપૂર્ણ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,સફેદ દડો કાઢવાની સંભાવના $P(W) = P(E_1) \cdot P(W|E_1) + P(E_2) \cdot P(W|E_2)$ છે.
$P(W) = \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5}\right) + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}\right) = \frac{1}{5} + \frac{1}{3} = \frac{3+5}{15} = \frac{8}{15}$.

(A) પોઈસન વિતરણનું સંભાવના દળ વિધેય $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ વિતરણનો મધ્યક છે.
આપેલ શરત $P(X=2) = 3 P(X=3)$ છે.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{e^{-\lambda} \lambda^2}{2!} = 3 \cdot \frac{e^{-\lambda} \lambda^3}{3!}$
બંને બાજુ $e^{-\lambda} \lambda^2$ વડે ભાગતા ($\lambda \neq 0$ ધારીને):
$\frac{1}{2} = 3 \cdot \frac{\lambda}{3 \cdot 2 \cdot 1}$
$\frac{1}{2} = \frac{3 \lambda}{6}$
$\frac{1}{2} = \frac{\lambda}{2}$
$\lambda = 1$.
આમ,પોઈસન વિતરણનો મધ્યક $1$ છે.

(D) આપેલ છે કે યાદચ્છિક ચલ $X$ નો મધ્યક $1.3$ છે.
મધ્યકનું સૂત્ર $\Sigma x_i P(X=x_i) = 1.3$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $0 \cdot P(X=0) + 1 \cdot P(X=1) + 2 \cdot P(X=2) + 3 \cdot P(X=3) = 1.3$.
આપેલ છે કે $P(X=2) = 0.3$ અને $P(X=3) = 2 P(X=1)$,આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$0 + P(X=1) + 2(0.3) + 3(2 P(X=1)) = 1.3$.
$P(X=1) + 0.6 + 6 P(X=1) = 1.3$.
$7 P(X=1) = 0.7$,જે આપણને $P(X=1) = 0.1$ આપે છે.
હવે,$P(X=3) = 2 P(X=1) = 2(0.1) = 0.2$.
કારણ કે તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે:
$P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 1$.
$P(X=0) + 0.1 + 0.3 + 0.2 = 1$.
$P(X=0) + 0.6 = 1$.
તેથી,$P(X=0) = 0.4$.

(C) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ: $\left|\begin{array}{ccc}p & b & c \\ p+a & q+b & 2c \\ a & b & r\end{array}\right|=0$.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને બીજી હારને વિભાજિત કરતા:
$\left|\begin{array}{ccc}p & b & c \\ p & q & c \\ a & b & r\end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc}p & b & c \\ a & b & c \\ a & b & r\end{array}\right| = 0$.
પ્રથમ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $p(qr - bc) - b(ar - ac) + c(ab - aq) = pqr - pbc - abr + abc + abc - acq = pqr - pbc - abr - acq + 2abc = 0$.
આમ,$pqr - pbc - abr - acq = -2abc$.
હવે,પદાવલિ $E = \frac{p}{p-a} + \frac{q}{q-b} + \frac{r}{r-c}$ ને ધ્યાનમાં લો.
આને $E = (1 + \frac{a}{p-a}) + (1 + \frac{b}{q-b}) + (1 + \frac{c}{r-c}) = 3 + \frac{a}{p-a} + \frac{b}{q-b} + \frac{c}{r-c}$ તરીકે લખી શકાય છે.
વૈકલ્પિક રીતે,સમીકરણ $pqr - pbc - abr - acq = -2abc$ ને $(p-a)(q-b)(r-c)$ વડે ભાગતા પરિણામ $2$ મળે છે.

(A) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ:
$\left|\begin{array}{ccc}\cos (A+B) & -\sin (A+B) & \cos 2 B \\\sin A & \cos A & \sin B \\-\cos A & \sin A & \cos B\end{array}\right|=0$
પ્રથમ હારને અનુરૂપ વિસ્તરણ કરતા:
$\cos (A+B)[\cos A \cos B - \sin A \sin B] + \sin (A+B)[\sin A \cos B + \cos A \sin B] + \cos 2 B[\sin^2 A + \cos^2 A] = 0$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ અને $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos (A+B) \cos (A+B) + \sin (A+B) \sin (A+B) + \cos 2 B(1) = 0$
$\cos^2 (A+B) + \sin^2 (A+B) + \cos 2 B = 0$
$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ હોવાથી:
$1 + \cos 2 B = 0$
$\cos 2 B = -1$
$2 B = (2 n+1) \pi$
$B = \frac{(2 n+1) \pi}{2} = (2 n+1) \frac{\pi}{2}$

(A) આપેલ છે કે $e^{f(x)}=\frac{10+x}{10-x}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને $f(x)=\log \left(\frac{10+x}{10-x}\right)$ મળે છે.
આપણને સંબંધ $f(x)=k f\left(\frac{200 x}{100+x^2}\right)$ આપેલ છે.
જમણી બાજુએ $f(x)$ નું પદ મૂકતા:
$f\left(\frac{200 x}{100+x^2}\right) = \log \left( \frac{10 + \frac{200x}{100+x^2}}{10 - \frac{200x}{100+x^2}} \right)$
$= \log \left( \frac{10(100+x^2) + 200x}{10(100+x^2) - 200x} \right)$
$= \log \left( \frac{1000 + 10x^2 + 200x}{1000 + 10x^2 - 200x} \right)$
$= \log \left( \frac{10(x^2 + 20x + 100)}{10(x^2 - 20x + 100)} \right)$
$= \log \left( \frac{(x+10)^2}{(10-x)^2} \right)$
$= 2 \log \left( \frac{10+x}{10-x} \right) = 2f(x)$.
આ કિંમતને આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા: $f(x) = k \cdot 2f(x)$.
$x \in (-10, 10)$ માટે $f(x) \neq 0$ હોવાથી,$1 = 2k$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $k = 0.5$.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = |x|$ અને $g(x) = [x]$.
આપણે $x \in R$ નો એવો ગણ શોધવાનો છે કે જેથી $g(f(x)) \leq f(g(x))$ થાય.
વિધેયોની કિંમત મૂકતા,આપણને $[|x|] \leq |[x]|$ મળે છે.
કિસ્સો $1$: જો $x \geq 0$ હોય,તો $|x| = x$ અને $[x] \geq 0$ થાય. અસમતા $[x] \leq |[x]|$ બને છે. કારણ કે $[x]$ એ પૂર્ણાંક છે અને $[x] \geq 0$ છે,તેથી $|[x]| = [x]$ થાય. આમ,$[x] \leq [x]$,જે તમામ $x \geq 0$ માટે સત્ય છે.
કિસ્સો $2$: જો $x < 0$ હોય,તો ધારો કે $x = -n - f$,જ્યાં $n \geq 0$ પૂર્ણાંક છે અને $0 \leq f < 1$ છે. જો $f=0$ હોય,તો $x = -n$ (પૂર્ણાંક),તેથી $[|x|] = [n] = n$ અને $|[x]| = |-n| = n$ થાય. તેથી $n \leq n$ સત્ય છે.
જો $0 < f < 1$ હોય,તો $x = -(n+f)$. $|x| = n+f$,તેથી $[|x|] = [n+f] = n$ થાય. વળી $[x] = [-(n+f)] = -(n+1)$. તેથી $|[x]| = |-(n+1)| = n+1$ થાય. અસમતા $n \leq n+1$ બને છે,જે સત્ય છે.
આમ,અસમતા તમામ $x \in R$ માટે સત્ય હોવાથી,ઉકેલ ગણ $R$ છે.

(C) આપેલ વિધેયો $f(x) = 2x + 3$ અને $g(x) = x^2 + 7$ છે.
આપણે $x$ ની એવી કિંમતો શોધવાની છે જેના માટે $g(f(x)) = 8$ થાય.
સૌ પ્રથમ,સંયોજિત વિધેય $g(f(x))$ ની ગણતરી કરીએ:
$g(f(x)) = g(2x + 3) = (2x + 3)^2 + 7$.
આને $8$ ની બરાબર લેતા:
$(2x + 3)^2 + 7 = 8$.
બંને બાજુથી $7$ બાદ કરતા:
$(2x + 3)^2 = 1$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$2x + 3 = 1$ અથવા $2x + 3 = -1$.
કિસ્સો $1$: $2x + 3 = 1 \Rightarrow 2x = -2 \Rightarrow x = -1$.
કિસ્સો $2$: $2x + 3 = -1 \Rightarrow 2x = -4 \Rightarrow x = -2$.
આમ,$x$ ની કિંમતો $-1$ અને $-2$ છે.

(A) આપેલ વક્રો $y=\sin x$ અને $y=\cos x$ છે.
છેદબિંદુ શોધવા માટે,$\sin x = \cos x$ લો,જેનો અર્થ છે $\tan x = 1$.
આથી,$x = \frac{\pi}{4}$.
હવે,$x = \frac{\pi}{4}$ આગળ સ્પર્શકોના ઢાળ શોધો.
$y = \sin x$ માટે,ઢાળ $m_1 = \frac{dy}{dx} = \cos x$. $x = \frac{\pi}{4}$ આગળ,$m_1 = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$y = \cos x$ માટે,ઢાળ $m_2 = \frac{dy}{dx} = -\sin x$. $x = \frac{\pi}{4}$ આગળ,$m_2 = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}|$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = |\frac{\frac{1}{\sqrt{2}} - (-\frac{1}{\sqrt{2}})}{1 + (\frac{1}{\sqrt{2}})(-\frac{1}{\sqrt{2}})}| = |\frac{\frac{2}{\sqrt{2}}}{1 - \frac{1}{2}}| = |\frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}| = 2\sqrt{2}$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(2\sqrt{2})$.

(C) ધારો કે $y = 2x^2 + x - 1$.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે વિકલન કરીએ $y' = 4x + 1$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ માટે $y' = 0$ લેતા,$4x + 1 = 0$,જેનો અર્થ છે $x = -\frac{1}{4}$.
દ્વિતીય વિકલન $y'' = 4$ છે,જે ધન $(> 0)$ છે,જે સાબિત કરે છે કે વિધેય $x = -\frac{1}{4}$ પર ન્યૂનતમ છે.
$x = -\frac{1}{4}$ ને મૂળ પદાવલિમાં મૂકતા:
$y = 2(-\frac{1}{4})^2 + (-\frac{1}{4}) - 1$
$y = 2(\frac{1}{16}) - \frac{1}{4} - 1$
$y = \frac{1}{8} - \frac{2}{8} - \frac{8}{8} = -\frac{9}{8}$.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $-\frac{9}{8}$ છે.

(A) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે.
આપેલ છે કે $x + y = 20$,તેથી $y = 20 - x$.
ધારો કે ગુણાકાર $P = x^2 y^3$ છે.
$y$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $P(x) = x^2(20 - x)^3$ મળે છે.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,$P$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dP}{dx} = 2x(20 - x)^3 + x^2 \cdot 3(20 - x)^2(-1) = x(20 - x)^2 [2(20 - x) - 3x] = x(20 - x)^2 (40 - 5x)$.
$\frac{dP}{dx} = 0$ લેતા,આપણને $x = 0$,$x = 20$,અથવા $x = 8$ મળે છે.
$x$ અને $y$ ધન હોવા જોઈએ,તેથી આપણે $x = 8$ લઈએ છીએ.
જો $x = 8$ હોય,તો $y = 20 - 8 = 12$ થાય.
આમ,તે સંખ્યાઓ $8$ અને $12$ છે.

(D) ધારો કે $I = \int (1 + x - x^{-1}) e^{x + x^{-1}} dx$.
આપણે સંકલનને આ રીતે લખી શકીએ:
$I = \int e^{x + x^{-1}} dx + \int (x - x^{-1}) e^{x + x^{-1}} dx$.
$x e^{x + x^{-1}}$ નું વિકલન લેતા:
$\frac{d}{dx} (x e^{x + x^{-1}}) = 1 \cdot e^{x + x^{-1}} + x \cdot e^{x + x^{-1}} \cdot (1 - x^{-2}) = e^{x + x^{-1}} + x e^{x + x^{-1}} - x^{-1} e^{x + x^{-1}} = (1 + x - x^{-1}) e^{x + x^{-1}}$.
તેથી,$\int (1 + x - x^{-1}) e^{x + x^{-1}} dx = x e^{x + x^{-1}} + C$.

(A) આપણે સંકલન $I = \int_0^3 \frac{3x+1}{x^2+9} dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
સંકલનને બે ભાગમાં વિભાજિત કરો:
$I = \int_0^3 \frac{3x}{x^2+9} dx + \int_0^3 \frac{1}{x^2+9} dx$
પ્રથમ ભાગ માટે,ધારો કે $u = x^2+9$,તો $du = 2x dx$,તેથી $x dx = \frac{du}{2}$.
$\int_0^3 \frac{3x}{x^2+9} dx = \frac{3}{2} \int_9^{18} \frac{du}{u} = \frac{3}{2} [\log |u|]_9^{18} = \frac{3}{2} (\log 18 - \log 9) = \frac{3}{2} \log 2 = \log (2^{3/2}) = \log (2\sqrt{2})$.
બીજા ભાગ માટે,સૂત્ર $\int \frac{1}{x^2+a^2} dx = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ નો ઉપયોગ કરો:
$\int_0^3 \frac{1}{x^2+3^2} dx = [\frac{1}{3} \tan^{-1}(\frac{x}{3})]_0^3 = \frac{1}{3} (\tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(0)) = \frac{1}{3} (\frac{\pi}{4} - 0) = \frac{\pi}{12}$.
બંને ભાગોનો સરવાળો કરતા,આપણને $I = \log (2\sqrt{2}) + \frac{\pi}{12}$ મળે છે.

(B) ધારો કે $I = \int_0^1 \sin \left(2 \tan ^{-1} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\right) d x$.
$x = \cos \theta$ લેતા,$d x = -\sin \theta d \theta$ મળે.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $\theta = \frac{\pi}{2}$ અને જ્યારે $x = 1$,ત્યારે $\theta = 0$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int_{\pi/2}^0 \sin \left(2 \tan ^{-1} \sqrt{\frac{1+\cos \theta}{1-\cos \theta}}\right) (-\sin \theta) d \theta$.
નિત્યસમ $\sqrt{\frac{1+\cos \theta}{1-\cos \theta}} = \cot(\theta/2) = \tan(\frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_0^{\pi/2} \sin \left(2 \tan ^{-1} \tan \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2}\right)\right) \sin \theta d \theta$.
$I = \int_0^{\pi/2} \sin \left(\pi - \theta\right) \sin \theta d \theta = \int_0^{\pi/2} \sin^2 \theta d \theta$.
$\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_0^{\pi/2} \frac{1 - \cos 2\theta}{2} d \theta = \frac{1}{2} \left[ \theta - \frac{\sin 2\theta}{2} \right]_0^{\pi/2}$.
$I = \frac{1}{2} \left[ (\frac{\pi}{2} - 0) - (0 - 0) \right] = \frac{\pi}{4}$.

(A) ધારો કે $f(x) = \int_0^x t e^{t^2} dt$.
સંકલન મેળવવા માટે,$u = t^2$ આદેશ લો,તેથી $du = 2t dt$,જેનો અર્થ છે કે $t dt = \frac{1}{2} du$.
જ્યારે $t = 0$,ત્યારે $u = 0$. જ્યારે $t = x$,ત્યારે $u = x^2$.
આમ,$f(x) = \int_0^{x^2} \frac{1}{2} e^u du = \frac{1}{2} [e^u]_0^{x^2} = \frac{1}{2} (e^{x^2} - 1)$.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,$f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરો:
$f'(x) = \frac{1}{2} (e^{x^2} \cdot 2x) = x e^{x^2}$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $x = 0$ મળે છે.
હવે,દ્વિતીય વિકલન શોધો:
$f''(x) = e^{x^2} + x(e^{x^2} \cdot 2x) = e^{x^2} (1 + 2x^2)$.
$x = 0$ આગળ,$f''(0) = e^0 (1 + 0) = 1$.
કારણ કે $f''(0) > 0$,તેથી વિધેયને $x = 0$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ કિંમત મળે છે.
ન્યૂનતમ કિંમત $f(0) = \frac{1}{2} (e^0 - 1) = \frac{1}{2} (1 - 1) = 0$ છે.

(D) આપણી પાસે છે $\int_{-2}^2 |[x]| \, dx = \int_{-2}^{-1} |[x]| \, dx + \int_{-1}^0 |[x]| \, dx + \int_0^1 |[x]| \, dx + \int_1^2 |[x]| \, dx$.
જ્યાં $[x]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે:
$x \in [-2, -1)$ માટે,$[x] = -2$,તેથી $|[x]| = |-2| = 2$.
$x \in [-1, 0)$ માટે,$[x] = -1$,તેથી $|[x]| = |-1| = 1$.
$x \in [0, 1)$ માટે,$[x] = 0$,તેથી $|[x]| = |0| = 0$.
$x \in [1, 2)$ માટે,$[x] = 1$,તેથી $|[x]| = |1| = 1$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\int_{-2}^2 |[x]| \, dx = \int_{-2}^{-1} 2 \, dx + \int_{-1}^0 1 \, dx + \int_0^1 0 \, dx + \int_1^2 1 \, dx$.
$= 2[x]_{-2}^{-1} + [x]_{-1}^0 + 0 + [x]_1^2$.
$= 2(-1 - (-2)) + (0 - (-1)) + (2 - 1)$.
$= 2(1) + 1 + 1 = 4$.

(B) ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર નાભિ અને $X$-અક્ષ પર અક્ષ ધરાવતા પરવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y^2 = 2ax + a^2$ છે,જ્યાં $a$ એ પ્રાચલ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2y \frac{dy}{dx} = 2a \Rightarrow a = y \frac{dy}{dx}$.
$a$ ની કિંમત મૂળ સમીકરણ $y^2 = 2ax + a^2$ માં મૂકતા:
$y^2 = 2x(y \frac{dy}{dx}) + (y \frac{dy}{dx})^2$.
$y$ વડે ભાગતા ($y \neq 0$ ધારતા):
$y = 2x \frac{dy}{dx} + y \left(\frac{dy}{dx}\right)^2$.
પદોને ગોઠવતા:
$y \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = y - 2x \frac{dy}{dx}$,જે $-y \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = 2x \frac{dy}{dx} - y$ ને સમાન છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{x \log x^2 + x}{\sin y + y \cos y}$.
ચલને અલગ કરતા: $(\sin y + y \cos y) dy = (x \log x^2 + x) dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int (\sin y + y \cos y) dy = \int (x \log x^2 + x) dx$.
ડાબી બાજુ માટે,$\int y \cos y dy$ માં ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int y \cos y dy = y \sin y - \int \sin y dy = y \sin y + \cos y$.
તેથી,$\int (\sin y + y \cos y) dy = -\cos y + y \sin y + \cos y = y \sin y$.
જમણી બાજુ માટે,$\int (x \log x^2 + x) dx = \int (2x \log x + x) dx$.
$\int 2x \log x dx$ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $u = \log x$,$dv = 2x dx$ લેતા,$du = \frac{1}{x} dx$,$v = x^2$ મળે.
$\int 2x \log x dx = x^2 \log x - \int x^2 \cdot \frac{1}{x} dx = x^2 \log x - \int x dx = x^2 \log x - \frac{x^2}{2}$.
$x$ નું સંકલન ઉમેરતા: $\int (2x \log x + x) dx = x^2 \log x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^2}{2} + C = x^2 \log x + C$.
બંને બાજુ સરખાવતા: $y \sin y = x^2 \log x + C$.

(A) આપેલ છે કે $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$.
બંને બાજુઓનો પોતાની સાથે ડોટ ગુણાકાર લેતા:
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a} = (\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}) \cdot (\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$
$|\overrightarrow{a}|^2 = |\overrightarrow{b}|^2 + |\overrightarrow{c}|^2 + 2(\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c})$
કારણ કે $\overrightarrow{b}$ અને $\overrightarrow{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે,તેથી તેમનો ડોટ ગુણાકાર $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = |\overrightarrow{b}| |\overrightarrow{c}| \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ થાય.
તેથી,$a^2 = b^2 + c^2 + 0$
$a^2 = b^2 + c^2$.

(B) આપેલ સદિશ સમીકરણ $\overrightarrow{r}=(1-p-q) \overrightarrow{a}+p \overrightarrow{b}+q \overrightarrow{c}$ છે.
આપણે આને $\overrightarrow{r} = \overrightarrow{a} - p\overrightarrow{a} - q\overrightarrow{a} + p\overrightarrow{b} + q\overrightarrow{c}$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $\overrightarrow{r} - \overrightarrow{a} = p(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) + q(\overrightarrow{c} - \overrightarrow{a})$ મળે છે.
આ એક સમતલના સમીકરણનું પ્રચલિત સ્વરૂપ છે જે સ્થાન સદિશ $\overrightarrow{a}$ ધરાવતા બિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને સદિશો $(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a})$ અને $(\overrightarrow{c} - \overrightarrow{a})$ ને સમાંતર છે.
કારણ કે $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ અસમતલીય છે,સદિશો $(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a})$ અને $(\overrightarrow{c} - \overrightarrow{a})$ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે,આમ તે એક અનન્ય સમતલ વ્યાખ્યાયિત કરે છે.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ છે.
કારણ કે $D, E, F$ એ અનુક્રમે $AB, AC, BC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે,તેથી તેમના સ્થાન સદિશો:
$\vec{d} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$,$\vec{e} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$,$\vec{f} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$ છે.
હવે,$\overrightarrow{BE} = \vec{e} - \vec{b} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2} - \vec{b} = \frac{\vec{a} + \vec{c} - 2\vec{b}}{2}$.
અને $\overrightarrow{AF} = \vec{f} - \vec{a} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} - \vec{a} = \frac{\vec{b} + \vec{c} - 2\vec{a}}{2}$.
આ બે સદિશોનો સરવાળો કરતા:
$\overrightarrow{BE} + \overrightarrow{AF} = \frac{\vec{a} + \vec{c} - 2\vec{b} + \vec{b} + \vec{c} - 2\vec{a}}{2} = \frac{2\vec{c} - \vec{a} - \vec{b}}{2} = \vec{c} - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$.
કારણ કે $\vec{d} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$,તેથી આપણને મળે છે $\overrightarrow{BE} + \overrightarrow{AF} = \vec{c} - \vec{d} = \overrightarrow{DC}$.

(A) આપેલ છે કે $\overrightarrow{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\overrightarrow{b}=\hat{i}+\hat{j}$,$\overrightarrow{c}=\hat{i}$.
સૌ પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$ શોધો:
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0-1) - \hat{j}(0-1) + \hat{k}(1-1) = -\hat{i} + \hat{j}$.
હવે,$(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) \times \overrightarrow{c}$ શોધો:
$(-\hat{i} + \hat{j}) \times \hat{i} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = \hat{k}(0-1) = -\hat{k}$.
આપણને આપેલ છે કે $(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) \times \overrightarrow{c} = \lambda \overrightarrow{a} + \mu \overrightarrow{b}$.
સદિશોની કિંમત મૂકતા: $-\hat{k} = \lambda(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + \mu(\hat{i} + \hat{j})$.
$-\hat{k} = (\lambda + \mu)\hat{i} + (\lambda + \mu)\hat{j} + \lambda\hat{k}$.
બંને બાજુના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$\hat{i}$ માટે: $\lambda + \mu = 0$.
$\hat{j}$ માટે: $\lambda + \mu = 0$.
$\hat{k}$ માટે: $\lambda = -1$.
તેથી,$\lambda + \mu$ ની કિંમત $0$ થાય છે.

(B) સ્થાન સદિશો $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ ધરાવતા શિરોબિંદુઓવાળા ત્રિકોણનું સદિશ ક્ષેત્રફળ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\text{સદિશ ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC})$
અહીં $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}$ અને $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{a}$ હોવાથી:
$\text{સદિશ ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} ((\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) \times (\overrightarrow{c} - \overrightarrow{a}))$
ક્રોસ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરતા:
$\text{સદિશ ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a} - \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c} + \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a})$
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a} = 0$,$-\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$,અને $-\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c} = \overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\text{સદિશ ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} + \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c} + \overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a})$

(B) ધારો કે $(1, 1, 1)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $a(x - 1) + b(y - 1) + c(z - 1) = 0$ છે $\dots (i)$.
તે $(1, -1, -1)$ માંથી પણ પસાર થાય છે,તેથી $a(1 - 1) + b(-1 - 1) + c(-1 - 1) = 0$,જેનું સાદુંરૂપ $-2b - 2c = 0$ એટલે કે $b + c = 0$ થાય છે $\dots (ii)$.
આ સમતલ $2x - y + z + 5 = 0$ ને લંબ છે,તેથી તેમના અભિલંબ સદિશો પરસ્પર લંબ છે. એટલે કે $2a - b + c = 0$ $\dots (iii)$.
$(ii)$ પરથી,$c = -b$. તેને $(iii)$ માં મૂકતા,$2a - b - b = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $2a = 2b$,એટલે કે $a = b$.
ધારો કે $a = 1$,તો $b = 1$ અને $c = -1$.
આ કિંમતોને $(i)$ માં મૂકતા,$1(x - 1) + 1(y - 1) - 1(z - 1) = 0$ મળે.
$x - 1 + y - 1 - z + 1 = 0$,જેનું સાદુંરૂપ $x + y - z - 1 = 0$ થાય છે.

(A) સમતલનું અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a, b, c$ એ અનુક્રમે $X, Y, Z$ અક્ષો પરના અંતઃખંડો છે.
આપેલ છે કે સમતલ $X$-અક્ષ પર $4$ નો અંતઃખંડ $(a = 4)$ અને $Z$-અક્ષ પર $3$ નો અંતઃખંડ $(c = 3)$ બનાવે છે.
કારણ કે સમતલ $Y$-અક્ષને સમાંતર છે,તે $Y$-અક્ષને કોઈ પણ નિશ્ચિત અંતરે છેદતું નથી,જેનો અર્થ છે કે $Y$-અક્ષ પરનો અંતઃખંડ $b$ અનંત છે $(b \to \infty)$.
તેથી,પદ $\frac{y}{b}$ એ $\frac{y}{\infty} = 0$ થઈ જાય છે.
સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{4} + \frac{z}{3} = 1$ બને છે.
આખા સમીકરણને $12$ વડે ગુણતા,આપણને $3x + 4z = 12$ મળે છે.

(B) એક સિક્કાને ઉછાળતા છાપ મળવાની સંભાવના $p = \frac{1}{2}$ છે અને કાંટો મળવાની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{1}{2}$ છે.
$n$ વખત સિક્કો ઉછાળતા એક પણ વાર છાપ ન મળે તેની સંભાવના $P(\text{no heads}) = q^n = (\frac{1}{2})^n$ છે.
ઓછામાં ઓછી એક વાર છાપ મળે તેની સંભાવના $P(\text{at least one head}) = 1 - P(\text{no heads}) = 1 - (\frac{1}{2})^n$ છે.
આપેલ છે કે $1 - (\frac{1}{2})^n > 0.8$,તેથી:
$1 - 0.8 > (\frac{1}{2})^n$
$0.2 > (\frac{1}{2})^n$
$\frac{1}{5} > \frac{1}{2^n}$
$2^n > 5$.
$n = 2$ માટે,$2^2 = 4 < 5$.
$n = 3$ માટે,$2^3 = 8 > 5$.
આમ,$n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $3$ છે.