$\lim _{x \rightarrow \pi / 6} \left[ \frac{3 \sin x - \sqrt{3} \cos x}{6x - \pi} \right]$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે $x_0$ એ એવી વાસ્તવિક સંખ્યા છે કે જેથી $e^{x_0}+x_0=0$ થાય. આપેલી વાસ્તવિક સંખ્યા $\alpha$ માટે,તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x$ માટે $g(x)=\frac{3 x e^x+3 x-\alpha e^x-\alpha x}{3\left(e^x+1\right)}$ વ્યાખ્યાયિત કરો. તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{27}^x} - {9^x} - {3^x} + 1}}{{\sqrt 5 - \sqrt {4 + \cos x} }}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f(x)$ એ વિકલનીય વિધેય છે અને $f^{\prime}(4)=5$ છે. તો,$\lim _{x \rightarrow 2} \frac{f(4) - f\left(x^{2}\right)}{x-2}$ ની કિંમત શોધો.

જો $\alpha, \beta$ એ $x^{2}+bx+c=0$ ના ભિન્ન બીજ હોય,તો $\lim _{x \rightarrow \beta} \frac{e^{2(x^{2}+bx+c)}-1-2(x^{2}+bx+c)}{(x-\beta)^{2}}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f : R \rightarrow R$ એક વિકલનીય વિધેય છે જેથી $f \left(\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}$,$f \left(\frac{\pi}{2}\right)=0$ અને $f^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$ થાય. જો $g(x)=\int\limits_{x}^{\pi / 4}\left(f^{\prime}(t) \sec t+\tan t \sec t f(t)\right) d t$ એ $x \in\left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)$ માટે હોય,તો $\lim\limits _{ x \rightarrow\left(\frac{\pi}{2}\right)^{-}} g ( x )$ ની કિંમત શોધો.