AP EAMCET 2003 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,एक तारे द्वारा उत्सर्जित शक्ति $Q = \sigma A T^4 = \sigma (4 \pi r^2) T^4$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $r$ त्रिज्या है और $T$ सतही तापमान है।
इसलिए,$Q \propto r^2 T^4$.
दिया गया है: $\frac{Q_{\text{star}}}{Q_{\text{sun}}} = 10,000$,$T_{\text{sun}} = 6000 \ K$,और $T_{\text{star}} = 2000 \ K$.
अनुपात सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{Q_{\text{star}}}{Q_{\text{sun}}} = \left( \frac{r_{\text{star}}}{r_{\text{sun}}} \right)^2 \times \left( \frac{T_{\text{star}}}{T_{\text{sun}}} \right)^4$.
मान रखने पर: $10,000 = \left( \frac{r_{\text{star}}}{r_{\text{sun}}} \right)^2 \times \left( \frac{2000}{6000} \right)^4$.
$10,000 = \left( \frac{r_{\text{star}}}{r_{\text{sun}}} \right)^2 \times \left( \frac{1}{3} \right)^4$.
$10,000 = \left( \frac{r_{\text{star}}}{r_{\text{sun}}} \right)^2 \times \frac{1}{81}$.
$\left( \frac{r_{\text{star}}}{r_{\text{sun}}} \right)^2 = 10,000 \times 81 = 810,000$.
$\frac{r_{\text{star}}}{r_{\text{sun}}} = \sqrt{810,000} = 900$.
अतः,त्रिज्याओं का अनुपात $900:1$ है।

(B) प्रारंभ में,जब $1.0\, kg$ द्रव्यमान लटकाया जाता है,तो स्प्रिंग $x = 5\, cm = 0.05\, m$ खिंच जाती है। हुक के नियम $F = kx$ का उपयोग करने पर,जहाँ $F = mg$:
$k = \frac{mg}{x} = \frac{1.0 \times 10}{0.05} = 200\, N/m$.
अब,उसी स्प्रिंग से $M = 2.0\, kg$ द्रव्यमान लटकाने पर,कोणीय आवृत्ति $\omega$ होगी:
$\omega = \sqrt{\frac{k}{M}} = \sqrt{\frac{200}{2}} = \sqrt{100} = 10\, rad/s$.
ब्लॉक को $A = 10\, cm = 0.1\, m$ के आयाम तक खींचकर छोड़ा जाता है। अधिकतम वेग $v_{\max}$ होगा:
$v_{\max} = A\omega = 0.1 \times 10 = 1\, m/s$.

(C) सरल आवर्त गति में वस्तु की अधिकतम चाल का सूत्र $v_{\max} = a\omega$ होता है,जहाँ $a$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
हम जानते हैं कि $\omega = \frac{2\pi}{T}$,जहाँ $T$ आवर्तकाल है।
इस मान को सूत्र में रखने पर,हमें $v_{\max} = a \left( \frac{2\pi}{T} \right)$ प्राप्त होता है।
आयाम $a$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,$a = \frac{v_{\max} \times T}{2\pi}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मान $v_{\max} = 15 \, cm/s$ और $T = 628 \, ms = 628 \times 10^{-3} \, s = 0.628 \, s$ हैं।
$\pi \approx 3.14$ का उपयोग करते हुए,गणना करने पर $a = \frac{15 \times 0.628}{2 \times 3.14} = \frac{15 \times 0.628}{6.28} = \frac{15 \times 0.628}{10 \times 0.628} = \frac{15}{10} = 1.5 \, cm$ प्राप्त होता है।

(B) डोरी के लिए $n$-वें हार्मोनिक की आवृत्ति $f_n = \frac{n}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\mu = \pi r^2 \rho$ है।
अतः,$f_n = \frac{n}{2lr} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
$A$ का पहला ओवरटोन दूसरा हार्मोनिक $(n=2)$ है,इसलिए $f_{A,2} = \frac{2}{2l_A r_A} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}} = \frac{1}{l_A r_A} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
$B$ का दूसरा ओवरटोन तीसरा हार्मोनिक $(n=3)$ है,इसलिए $f_{B,3} = \frac{3}{2l_B r_B} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
दिया है कि $f_{A,2} = f_{B,3}$,इसलिए $\frac{1}{l_A r_A} = \frac{3}{2l_B r_B}$.
दिया है कि $r_A = 2r_B$,इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\frac{1}{l_A (2r_B)} = \frac{3}{2l_B r_B} \Rightarrow \frac{1}{2l_A} = \frac{3}{2l_B}$.
अतः,$\frac{l_A}{l_B} = \frac{1}{3}$.

(A) तनी हुई डोरी की मूल आवृत्ति का सूत्र $n = \frac{1}{2l}\sqrt{\frac{T}{m}}$ है।
इस सूत्र से,हम देख सकते हैं कि $n \propto \frac{\sqrt{T}}{l}$।
इसलिए,अंतिम आवृत्ति $n'$ और प्रारंभिक आवृत्ति $n$ का अनुपात $\frac{n'}{n} = \sqrt{\frac{T'}{T}} \times \frac{l}{l'}$ होगा।
दिया गया है कि लंबाई $40\%$ कम हो जाती है,तो नई लंबाई $l' = l - 0.4l = 0.6l = \frac{3}{5}l$ है।
दिया गया है कि तनाव $44\%$ बढ़ जाता है,तो नया तनाव $T' = T + 0.44T = 1.44T = \frac{144}{100}T$ है।
इन मानों को अनुपात के सूत्र में रखने पर:
$\frac{n'}{n} = \sqrt{\frac{1.44T}{T}} \times \frac{l}{0.6l} = \sqrt{1.44} \times \frac{1}{0.6} = 1.2 \times \frac{1}{0.6} = 2$।
अतः,अंतिम और प्रारंभिक मूल आवृत्तियों का अनुपात $2:1$ है।

(C) गैल्वेनोमीटर को एमीटर में बदलने के लिए,गैल्वेनोमीटर के साथ समानांतर क्रम में एक शंट प्रतिरोध $S$ जोड़ा जाता है।
दिया गया है: गैल्वेनोमीटर का प्रतिरोध $G = 50 \,\Omega$,पूर्ण-स्केल धारा $I_g = 0.05 \,A$,मापी जाने वाली अधिकतम धारा $I = 5 \,A$.
शंट प्रतिरोध का सूत्र $S = \frac{I_g \cdot G}{I - I_g}$ है।
मान रखने पर: $S = \frac{0.05 \times 50}{5 - 0.05} = \frac{2.5}{4.95} = \frac{250}{495} = \frac{50}{99} \,\Omega$.
हम जानते हैं कि $S = \frac{\rho \cdot l}{A}$,जहाँ $\rho = 5 \times 10^{-7} \,\Omega \cdot m$ और $A = 2.97 \times 10^{-2} \,cm^2 = 2.97 \times 10^{-6} \,m^2$.
लंबाई $l$ के लिए सूत्र: $l = \frac{S \cdot A}{\rho} = \frac{50}{99} \times \frac{2.97 \times 10^{-6}}{5 \times 10^{-7}}$.
$l = \frac{50}{99} \times \frac{29.7 \times 10^{-7}}{5 \times 10^{-7}} = \frac{50}{99} \times 5.94 = \frac{297}{99} = 3 \,m$.

(A) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में गतिमान आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r$ का सूत्र $r = \frac{mv}{qB}$ होता है।
दिए गए अनुपात:
द्रव्यमान का अनुपात: $\frac{m_1}{m_2} = \frac{1}{1}$
आवेश का अनुपात: $\frac{q_1}{q_2} = \frac{1}{2}$
गति का अनुपात: $\frac{v_1}{v_2} = \frac{2}{3}$
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र $B$ दोनों के लिए समान है,इसलिए त्रिज्याओं का अनुपात होगा:
$\frac{r_1}{r_2} = \left( \frac{m_1}{m_2} \right) \times \left( \frac{v_1}{v_2} \right) \times \left( \frac{q_2}{q_1} \right)$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{r_1}{r_2} = \left( \frac{1}{1} \right) \times \left( \frac{2}{3} \right) \times \left( \frac{2}{1} \right) = \frac{4}{3}$
अतः,त्रिज्याओं का अनुपात $4:3$ है।

(D) माना $\alpha$ आधार कोण का अधिकतम मान है जिसके लिए प्रकाश कर्ण से पूर्ण आंतरिक परावर्तित होता है।
समकोण प्रिज्म की ज्यामिति से,कर्ण पर आपतन कोण $i$ का मान $(90^\circ - \alpha)$ है।
पूर्ण आंतरिक परावर्तन होने के लिए,आपतन कोण का मान क्रांतिक कोण $C$ से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए,जहाँ $\sin C = \frac{1}{\mu}$ होता है।
अतः,सीमांत स्थिति के लिए (अधिकतम कोण $\alpha$):
$i = C$
$90^\circ - \alpha = C$
दोनों पक्षों का ज्या (sine) लेने पर:
$\sin(90^\circ - \alpha) = \sin C$
$\cos \alpha = \frac{1}{\mu}$
इसलिए,आधार कोण का अधिकतम मान है:
$\alpha = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\mu}\right)$

(B) एस्पिरिन (एसिटाइलसैलिसिलिक अम्ल) का संश्लेषण सैलिसिलिक अम्ल के एसिटिलेशन द्वारा किया जाता है। जब सैलिसिलिक अम्ल $H_2SO_4$ जैसे अम्ल उत्प्रेरक की उपस्थिति में एसिटिक एनहाइड्राइड के साथ अभिक्रिया करता है,तो फेनोलिक $-OH$ समूह का एसिटिलेशन होकर एक एस्टर बनता है,जिससे एस्पिरिन प्राप्त होता है।
अभिक्रिया इस प्रकार है:
$\text{Salicylic acid} + (CH_3CO)_2O \xrightarrow{H_2SO_4} \text{Aspirin} + CH_3COOH$
अतः,सही यौगिक सैलिसिलिक अम्ल है,जो विकल्प $(B)$ में दिया गया है।

(D) दी गई व्यंजक: $225 + (3\omega + 8\omega^2)^2 + (3\omega^2 + 8\omega)^2$
चूंकि $1 + \omega + \omega^2 = 0$,इसलिए $\omega^2 = -1 - \omega$ है।
पदों में $\omega^2$ का मान रखने पर:
$(3\omega + 8\omega^2) = 3\omega + 8(-1 - \omega) = -5\omega - 8$.
$(3\omega^2 + 8\omega) = 3(-1 - \omega) + 8\omega = 5\omega - 3$.
अब,वर्गों का विस्तार करने पर:
$(-5\omega - 8)^2 = 25\omega^2 + 80\omega + 64$.
$(5\omega - 3)^2 = 25\omega^2 - 30\omega + 9$.
योग करने पर: $25\omega^2 + 80\omega + 64 + 25\omega^2 - 30\omega + 9 = 50\omega^2 + 50\omega + 73$.
$50(\omega^2 + \omega) = 50(-1) = -50$ का उपयोग करने पर:
परिणाम $= 225 - 50 + 73 = 248$.

(C) दिया गया त्रिघात समीकरण $x^3 + 0x^2 + 4x + 1 = 0$ है,जिसके मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$\alpha + \beta + \gamma = 0$
$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = 4$
$\alpha\beta\gamma = -1$
चूंकि $\alpha + \beta + \gamma = 0$,हम लिख सकते हैं कि $\alpha + \beta = -\gamma$,$\beta + \gamma = -\alpha$,और $\gamma + \alpha = -\beta$।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$(\alpha + \beta)^{-1} + (\beta + \gamma)^{-1} + (\gamma + \alpha)^{-1} = \frac{1}{-\gamma} + \frac{1}{-\alpha} + \frac{1}{-\beta} = -(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma})$
$= -(\frac{\beta\gamma + \alpha\gamma + \alpha\beta}{\alpha\beta\gamma})$
$= -(\frac{4}{-1}) = 4$.

(D) हलों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta$ निकालते हैं:
$\Delta = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & -3 & 2 \\ 1 & 4 & -3 \end{vmatrix}$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = 2((-3)(-3) - (2)(4)) - 1((1)(-3) - (2)(1)) - 1((1)(4) - (-3)(1))$
$\Delta = 2(9 - 8) - 1(-3 - 2) - 1(4 + 3)$
$\Delta = 2(1) - 1(-5) - 1(7)$
$\Delta = 2 + 5 - 7 = 0$
चूंकि $\Delta = 0$ है,इसलिए निकाय का या तो कोई हल नहीं है या अनंत हल हैं।
अब,पहले स्तंभ को स्थिरांकों $(7, 1, 5)$ से बदलकर $\Delta_x$ ज्ञात करते हैं:
$\Delta_x = \begin{vmatrix} 7 & 1 & -1 \\ 1 & -3 & 2 \\ 5 & 4 & -3 \end{vmatrix} = 7(9 - 8) - 1(-3 - 10) - 1(4 + 15) = 7(1) - 1(-13) - 1(19) = 7 + 13 - 19 = 1 \neq 0$.
चूंकि $\Delta = 0$ है और $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ में से कम से कम एक अशून्य है,इसलिए निकाय असंगत है।
अतः,हलों की संख्या $0$ है।

(D) $\sin(a\theta)$ का आवर्तकाल $\frac{2\pi}{|a|}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रथम पद $\sin(\frac{\theta}{3})$ के लिए,आवर्तकाल $T_1 = \frac{2\pi}{1/3} = 6\pi$ है।
द्वितीय पद $\cos(\frac{\theta}{2})$ के लिए,आवर्तकाल $T_2 = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$ है।
दो आवर्ती फलनों के योग का आवर्तकाल उनके व्यक्तिगत आवर्तकालों का $L.C.M.$ होता है।
$6\pi$ और $4\pi$ का $L.C.M.$ $12\pi$ है।
अतः,$f(\theta)$ का आवर्तकाल $12\pi$ है।

(A) दी गई स्पर्श रेखाओं के समीकरण $5x - 12y + 10 = 0$ और $12y - 5x + 16 = 0$ हैं।
दूसरे समीकरण को $ax + by + c = 0$ के रूप में लिखने पर,हमें $5x - 12y - 16 = 0$ प्राप्त होता है।
चूँकि स्पर्श रेखाएँ समानांतर हैं,उनके बीच की दूरी वृत्त का व्यास है।
दो समानांतर रेखाओं $ax + by + c_1 = 0$ और $ax + by + c_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$a = 5$,$b = -12$,$c_1 = 10$,और $c_2 = -16$ है।
$d = \frac{|10 - (-16)|}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}} = \frac{|26|}{\sqrt{25 + 144}} = \frac{26}{\sqrt{169}} = \frac{26}{13} = 2$.
चूँकि व्यास $d = 2$ है,इसलिए त्रिज्या $r = \frac{d}{2} = \frac{2}{2} = 1$ होगी।

(A) परिभाषा के अनुसार,परवलय एक ऐसे बिंदु $P(x, y)$ का बिंदुपथ है जिसकी नाभि $S(0, 0)$ से दूरी,नियता $x + y - 4 = 0$ से लंबवत दूरी के बराबर होती है।
$SP = PM \implies SP^2 = PM^2$
$x^2 + y^2 = \left( \frac{x + y - 4}{\sqrt{1^2 + 1^2}} \right)^2$
$x^2 + y^2 = \frac{(x + y - 4)^2}{2}$
$2(x^2 + y^2) = x^2 + y^2 + 16 + 2xy - 8x - 8y$
$x^2 + y^2 - 2xy + 8x + 8y - 16 = 0$

(B) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $x^2 - 2y^2 = 2$ है,जिसे $\frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{1} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मानक रूप $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,हमें $a^2 = 2$ और $b^2 = 1$ प्राप्त होता है।
अतिपरवलय पर स्थित किसी भी बिंदु से उसके अनंतस्पर्शी पर खींचे गए लंबों की लंबाइयों का गुणनफल $\frac{a^2 b^2}{a^2 + b^2}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\frac{2 \times 1}{2 + 1} = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया सदिश समीकरण $r = (1 - p - q)a + pb + qc$ है।
इसे $r = a - pa - qa + pb + qc$ के रूप में लिखा जा सकता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $r = a + p(b - a) + q(c - a)$ प्राप्त होता है।
यह समीकरण $r = a + p(b - a) + q(c - a)$ के रूप में है,जहाँ $p$ और $q$ अदिश प्राचल हैं।
यह उस समतल को दर्शाता है जो स्थिति सदिश $a$ वाले बिंदु से गुजरता है और सदिशों $(b - a)$ तथा $(c - a)$ के समानांतर है।
चूंकि $a, b, c$ असमतलीय हैं,इसलिए सदिश $(b - a)$ और $(c - a)$ रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं,जो यह पुष्टि करता है कि यह समीकरण एक समतल को दर्शाता है।

(B) $(1, 1, 1)$ से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $a(x - 1) + b(y - 1) + c(z - 1) = 0 \dots (i)$ है।
चूंकि समतल $(1, -1, -1)$ से गुजरता है,हम इन निर्देशांकों को $(i)$ में प्रतिस्थापित करते हैं:
$a(1 - 1) + b(-1 - 1) + c(-1 - 1) = 0 \implies 0a - 2b - 2c = 0 \implies b + c = 0 \dots (ii)$.
समतल $2x - y + z + 5 = 0$ के लंबवत है,इसलिए उनके अभिलंब सदिश परस्पर लंबवत हैं। अभीष्ट समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (a, b, c)$ है और दिए गए समतल का अभिलंब $\vec{n_1} = (2, -1, 1)$ है।
अतः,$2a - b + c = 0 \dots (iii)$.
$(ii)$ से,$c = -b$। इस मान को $(iii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2a - b - b = 0 \implies 2a - 2b = 0 \implies a = b$.
मान लीजिए $a = 1$,तो $b = 1$ और $c = -1$ है।
इन मानों को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$1(x - 1) + 1(y - 1) - 1(z - 1) = 0 \implies x - 1 + y - 1 - z + 1 = 0 \implies x + y - z - 1 = 0$.

(A) समतल का अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि समतल $y$-अक्ष के समांतर है,इसलिए $y$-अंतःखंड अनंत है,जिसका अर्थ है कि $y$ वाला पद समीकरण में अनुपस्थित है।
$x$-अंतःखंड $a = 4$ है और $z$-अंतःखंड $c = 3$ है।
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{x}{4} + \frac{z}{3} = 1$ प्राप्त होता है।
पूरे समीकरण को $12$ से गुणा करने पर,हमें $3x + 4z = 12$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि $f(x) = 2x + 3$ और $g(x) = x^2 + 7$ है।
हमें $x$ का मान ज्ञात करना है ताकि $g(f(x)) = 8$ हो।
सबसे पहले,$g(f(x)) = g(2x + 3) = (2x + 3)^2 + 7$ प्राप्त करें।
व्यंजक को $8$ के बराबर रखने पर:
$(2x + 3)^2 + 7 = 8$
$(2x + 3)^2 = 1$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$2x + 3 = \pm 1$
स्थिति $1$: $2x + 3 = 1 \implies 2x = -2 \implies x = -1$.
स्थिति $2$: $2x + 3 = -1 \implies 2x = -4 \implies x = -2$.
अतः,$x$ के मान $-1$ और $-2$ हैं।

(A) वक्रों $y = \sin x$ और $y = \cos x$ के बीच का कोण ज्ञात करने के लिए,हम पहले $\sin x = \cos x$ रखकर उनका प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
इससे $\tan x = 1$ प्राप्त होता है,अतः $x = \pi/4$.
माना $m_1$ प्रथम वक्र $y = \sin x$ की ढाल है। तब $m_1 = \frac{dy}{dx} = \cos x$. $x = \pi/4$ पर,$m_1 = \cos(\pi/4) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
माना $m_2$ दूसरे वक्र $y = \cos x$ की ढाल है। तब $m_2 = \frac{dy}{dx} = -\sin x$. $x = \pi/4$ पर,$m_2 = -\sin(\pi/4) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
वक्रों के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\tan \theta = \left| \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} - (-\frac{1}{\sqrt{2}})}{1 + (\frac{1}{\sqrt{2}})(-\frac{1}{\sqrt{2}})} \right| = \left| \frac{\frac{2}{\sqrt{2}}}{1 - \frac{1}{2}} \right| = \left| \frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} \right| = 2\sqrt{2}$.
अतः,$\theta = \tan^{-1}(2\sqrt{2})$.

(A) दिया गया है $x(y^3 - 1) = 1$,अतः $\frac{1}{x} = y^3 - 1$.
चूंकि $0 < y < 2^{1/3}$,इसलिए $0 < y^3 < 2$,अतः $-1 < y^3 - 1 < 1$.
इस प्रकार,$|1/x| < 1$.
दी गई श्रेणी $S = 2 \left[ \frac{1}{x} + \frac{1}{3x^3} + \frac{1}{5x^5} + \dots \right]$ है।
लघुगणकीय श्रेणी विस्तार $\ln \left( \frac{1+t}{1-t} \right) = 2 \left( t + \frac{t^3}{3} + \frac{t^5}{5} + \dots \right)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $t = 1/x$:
$S = \ln \left( \frac{1 + 1/x}{1 - 1/x} \right) = \ln \left( \frac{x+1}{x-1} \right)$.
$x = \frac{1}{y^3 - 1}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$S = \ln \left( \frac{\frac{1}{y^3 - 1} + 1}{\frac{1}{y^3 - 1} - 1} \right) = \ln \left( \frac{1 + y^3 - 1}{1 - (y^3 - 1)} \right) = \ln \left( \frac{y^3}{2 - y^3} \right)$.

(B) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $x^2 - 2y^2 = 2$ है,जिसे $\frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{1} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2 = 2$ और $b^2 = 1$ है।
अनंतस्पर्शी के समीकरण $\frac{x}{\sqrt{2}} - y = 0$ और $\frac{x}{\sqrt{2}} + y = 0$ हैं।
मान लीजिए $P(x_1, y_1)$ अतिपरवलय पर कोई बिंदु है। बिंदु $P$ से अनंतस्पर्शी पर खींचे गए लंबों की लंबाइयों का गुणनफल $\frac{a^2 b^2}{a^2 + b^2}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर,हमें $\frac{2 \times 1}{2 + 1} = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।

(A) एथिल अल्कोहल $(C_2H_5OH)$ मिथाइल मैग्नीशियम आयोडाइड $(CH_3MgI)$ के साथ अभिक्रिया करके एथॉक्सी मैग्नीशियम आयोडाइड और मीथेन गैस $(CH_4)$ बनाता है।
रासायनिक अभिक्रिया इस प्रकार है:
$C_2H_5OH + CH_3MgI \rightarrow C_2H_5OMgI + CH_4 \uparrow$
अतः,मीथेन गैस मुक्त होती है।

(D) डाइएथिल ईथर $(C_2H_5OC_2H_5)$ और कार्बन मोनोऑक्साइड $(CO)$ के बीच $BF_3$ जैसे लुईस अम्ल उत्प्रेरक की उपस्थिति में उच्च तापमान $(150^{\circ}C)$ और उच्च दबाव $(500 \text{ atm})$ पर होने वाली अभिक्रिया एक कार्बोनिलीकरण अभिक्रिया है।
यह अभिक्रिया ईथर के $C-O$ बंध में $CO$ के जुड़ने से एस्टर बनाती है।
अभिक्रिया: $C_2H_5OC_2H_5 + CO \xrightarrow{BF_3, 150^{\circ}C, 500 \text{ atm}} C_2H_5COOC_2H_5$ है।
उत्पाद $C_2H_5COOC_2H_5$ एथिल प्रोपियोनेट है।

(C) एसिटाल्डिहाइड $(CH_3CHO)$ सोडियम बाइसल्फाइट $(NaHSO_3)$ के संतृप्त जलीय विलयन के साथ अभिक्रिया करके एक योगात्मक उत्पाद बनाता है जिसे एसिटाल्डिहाइड सोडियम बाइसल्फाइट कहा जाता है।
यह उत्पाद एक सफेद क्रिस्टलीय अवक्षेप है।
अभिक्रिया इस प्रकार है:
$CH_3CHO + NaHSO_3 \rightarrow CH_3CH(OH)SO_3Na$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C_0 = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A$ क्षेत्रफल है और $d$ दूरी है।
प्रारंभ में,संचित आवेश $Q = C_0 V_0$ है।
स्थिति $(i)$: बैटरी हटा दी जाती है। आवेश $Q$ स्थिर रहता है। जब दूरी दोगुनी हो जाती है,तो नई धारिता $C' = \frac{C_0}{2}$ हो जाती है। संचित ऊर्जा $E_1 = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{(C_0 V_0)^2}{2(C_0 / 2)} = C_0 V_0^2$ है।
स्थिति (ii): बैटरी जुड़ी रहती है। विभव $V_0$ स्थिर रहता है। जब दूरी दोगुनी हो जाती है,तो नई धारिता $C' = \frac{C_0}{2}$ हो जाती है। संचित ऊर्जा $E_2 = \frac{1}{2} C' V_0^2 = \frac{1}{2} (\frac{C_0}{2}) V_0^2 = \frac{1}{4} C_0 V_0^2$ है।
अतः,अनुपात $\frac{E_1}{E_2} = \frac{C_0 V_0^2}{\frac{1}{4} C_0 V_0^2} = 4$ है।

(B) एस्पिरिन (एसिटाइलसैलिसिलिक अम्ल) का निर्माण सैलिसिलिक अम्ल के एसिटिलीकरण द्वारा किया जाता है। जब सैलिसिलिक अम्ल सांद्र $H_2SO_4$ (उत्प्रेरक के रूप में) की उपस्थिति में एसिटिक एनहाइड्राइड के साथ अभिक्रिया करता है,तो फिनोलिक $-OH$ समूह का एसिटिलीकरण होकर एस्टर समूह $(-OCOCH_3)$ बनता है। अभिक्रिया इस प्रकार है:
सैलिसिलिक अम्ल + $(CH_3CO)_2O \xrightarrow{conc. H_2SO_4} \text{एस्पिरिन} + CH_3COOH$.
अतः,सही यौगिक सैलिसिलिक अम्ल है,जो विकल्प $B$ के अनुरूप है।

(C) एस्टर $(X = CH_3COOC_2H_5)$ का अम्लीय जल-अपघटन एक कार्बोक्सिलिक अम्ल और एक अल्कोहल देता है।
$CH_3COOC_2H_5 + H_2O \xrightarrow{H^+} CH_3COOH + C_2H_5OH$
यहाँ,$CH_3COOH$ (एसिटिक अम्ल) और $C_2H_5OH$ (एथेनॉल) दो अलग-अलग कार्बनिक यौगिक हैं।

(C) दिए गए द्रव्यमान $m_1 = 200 \text{ g}$ और $m_2 = 500 \text{ g}$ हैं।
वेग $v_1 = 10 \hat{i} \text{ m/s}$ और $v_2 = (3 \hat{i} + 5 \hat{j}) \text{ m/s}$ हैं।
द्रव्यमान केंद्र का वेग $(v_{CM})$ ज्ञात करने का सूत्र:
$v_{CM} = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}$
मान रखने पर:
$v_{CM} = \frac{200(10 \hat{i}) + 500(3 \hat{i} + 5 \hat{j})}{200 + 500}$
$v_{CM} = \frac{2000 \hat{i} + 1500 \hat{i} + 2500 \hat{j}}{700}$
$v_{CM} = \frac{3500 \hat{i} + 2500 \hat{j}}{700}$
$v_{CM} = 5 \hat{i} + \frac{25}{7} \hat{j} \text{ m/s}$.

(A) सल्फ्यूरिक एसिड $(H_2SO_4)$ का एनहाइड्राइड सल्फर ट्राइऑक्साइड $(SO_3)$ है।
$SO_3$ की संरचना में,सल्फर परमाणु तीन ऑक्सीजन परमाणुओं के साथ द्वि-बंध द्वारा जुड़ा होता है।
प्रत्येक $S=O$ बंध में एक $\sigma$-बंध और एक $\pi$-बंध होता है।
इसलिए,$SO_3$ में $3$ $\sigma$-बंध और $3$ $\pi$-बंध होते हैं।

(D) $Cl$ $(Z=17)$ का मूल अवस्था इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ne] 3s^2 3p_x^2 3p_y^2 3p_z^1$ है।
प्रथम उत्तेजित अवस्था में,$3p$ से एक इलेक्ट्रॉन $3d$ में जाता है।
द्वितीय उत्तेजित अवस्था में,$3p$ से दूसरा इलेक्ट्रॉन $3d$ में जाता है।
तृतीय उत्तेजित अवस्था में,$3s$ से एक इलेक्ट्रॉन $3d$ में जाता है,जिससे $7$ अयुग्मित इलेक्ट्रॉन $(3s^1, 3p_x^1, 3p_y^1, 3p_z^1, 3d^1, 3d^1, 3d^1)$ प्राप्त होते हैं।
अतः,$Cl$ फ्लोरीन के साथ $7$ बंध बनाकर $ClF_7$ बनाता है।
इसका संकरण $sp^3d^3$ है,जो पंचकोणीय द्विपिरामिडीय ज्यामिति को दर्शाता है।

(B) जब $SO_3$ को भारी जल $(D_2O)$ में घोला जाता है,तो $D_2SO_4$ (ड्यूटेरेटेड सल्फ्यूरिक एसिड) यौगिक $X$ के रूप में बनता है।
$SO_3 + D_2O \longrightarrow D_2SO_4 (X)$
$D_2SO_4$ में,केंद्रीय सल्फर परमाणु दो $OD$ समूहों और दो ऑक्सीजन परमाणुओं के साथ द्वि-आबंध द्वारा जुड़ा होता है।
सल्फर की स्टेरिक संख्या $4$ है (दो एकल आबंध और दो द्वि-आबंध,जहाँ संकरण के लिए द्वि-आबंध को एक इलेक्ट्रॉन डोमेन के रूप में गिना जाता है)।
इसलिए,$D_2SO_4$ में $S$ की संकरण अवस्था $sp^3$ है।

(A) $H_2O$ में,केंद्रीय ऑक्सीजन परमाणु दो हाइड्रोजन परमाणुओं से बंधा होता है और इसमें दो एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्म (lone pairs) होते हैं।
$VSEPR$ सिद्धांत के अनुसार,स्टेरिक संख्या $4$ ($2$ बंध युग्म + $2$ एकाकी युग्म) है,जो $sp^3$ संकरण को दर्शाता है।
दो एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्मों की उपस्थिति के कारण,ज्यामिति विकृत हो जाती है,जिसके परिणामस्वरूप इसका आकार कोणीय (angular) होता है।

(C) प्रायोगिक द्विध्रुव आघूर्ण $\mu_{exp} = 1.0 \ D = 1.0 \times 10^{-18} \ esu \ cm$.
सैद्धांतिक द्विध्रुव आघूर्ण $\mu_{theo} = q \times d$,जहाँ $q = 4.8 \times 10^{-10} \ esu$ (इलेक्ट्रॉन का आवेश) और $d = 1.25 \ \mathring{A} = 1.25 \times 10^{-8} \ cm$.
$\mu_{theo} = 1.25 \times 10^{-8} \ cm \times 4.8 \times 10^{-10} \ esu = 6.0 \times 10^{-18} \ esu \ cm = 6.0 \ D$.
प्रतिशत आयनिक गुण $\frac{\mu_{exp}}{\mu_{theo}} \times 100$ द्वारा दिया जाता है।
$\text{प्रतिशत आयनिक गुण} = \frac{1.0}{6.0} \times 100 = 16.66 \%$.

(C) अभिक्रिया $N_{2(g)} + 3H_{2(g)} \rightleftharpoons 2NH_{3(g)}$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक मोल $n(N_2) = 1$,$n(H_2) = 3$,और $n(NH_3) = 0$ हैं।
साम्यावस्था पर,मान लीजिए $x$ अभिक्रिया की सीमा है:
$n(N_2) = 1 - x$
$n(H_2) = 3 - 3x$
$n(NH_3) = 2x$
दिया गया है कि साम्यावस्था पर,$n(N_2) = 0.6$ है।
अतः,$1 - x = 0.6 \implies x = 0.4$।
अब,साम्यावस्था पर प्रत्येक घटक के मोलों की गणना करें:
$n(N_2) = 0.6 \text{ mol}$
$n(H_2) = 3 - 3(0.4) = 3 - 1.2 = 1.8 \text{ mol}$
$n(NH_3) = 2(0.4) = 0.8 \text{ mol}$
साम्यावस्था पर मोलों की कुल संख्या सभी गैसों के मोलों का योग है:
$\text{कुल मोल} = n(N_2) + n(H_2) + n(NH_3) = 0.6 + 1.8 + 0.8 = 3.2 \text{ mol}$।

(A) समूह $14$ के तत्वों में ऑक्सीकरण अवस्थाओं की स्थिरता 'इनर्ट पेयर इफेक्ट' (inert pair effect) द्वारा निर्धारित होती है।
जैसे-जैसे हम समूह में $C$ से $Pb$ की ओर नीचे जाते हैं,$d$ और $f$ कक्षकों के खराब परिरक्षण प्रभाव (poor shielding effect) के कारण $+4$ ऑक्सीकरण अवस्था की स्थिरता कम हो जाती है,जबकि $+2$ ऑक्सीकरण अवस्था की स्थिरता बढ़ जाती है।
$Pb$ (लेड) के लिए,$+2$ ऑक्सीकरण अवस्था $+4$ की तुलना में अधिक स्थिर होती है।
इसलिए,सही क्रम $Pb^{2+} > Pb^{4+}$ है।

(C) गैल्वेनोमीटर का प्रतिरोध,$G = 50 \Omega$.
पूर्ण-स्केल धारा,$i_g = 0.05 \text{ A}$.
अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल,$A = 2.97 \times 10^{-2} \text{ cm}^2 = 2.97 \times 10^{-6} \text{ m}^2$.
मापी जाने वाली अधिकतम धारा,$i = 5 \text{ A}$.
विशिष्ट प्रतिरोध,$\rho = 5 \times 10^{-7} \Omega\text{-m}$.
गैल्वेनोमीटर को एमीटर में बदलने के लिए आवश्यक शंट प्रतिरोध $S = \frac{i_g G}{i - i_g}$ द्वारा दिया जाता है।
$S = \frac{0.05 \times 50}{5 - 0.05} = \frac{2.5}{4.95} = \frac{250}{495} = \frac{50}{99} \Omega$.
चूंकि $S = \rho \frac{l}{A}$,इसलिए $l = \frac{S \cdot A}{\rho}$.
$l = \frac{50}{99} \times \frac{2.97 \times 10^{-6}}{5 \times 10^{-7}} = \frac{50}{99} \times \frac{29.7}{5} = 10 \times 0.3 = 3 \text{ m}$.

(B) फेरस आयन $(Fe^{2+})$ अम्लीकृत हाइड्रोजन पेरोक्साइड $(H_2O_2)$ द्वारा फेरिक आयन $(Fe^{3+})$ में ऑक्सीकृत हो जाता है।
यहाँ,$X$ का मान $Fe^{3+}$ आयन है।
$Fe^{3+}$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ar] 3d^5$ है।
अतः,$d$-इलेक्ट्रॉनों की संख्या $5$ है।
चुंबकीय आघूर्ण $(\mu)$ की गणना $\mu = \sqrt{n(n+2)} \ BM$ सूत्र का उपयोग करके की जाती है,जहाँ $n$ अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों की संख्या है।
$Fe^{3+}$ के लिए,$n = 5$ है।
$\mu = \sqrt{5(5+2)} = \sqrt{35} \approx 5.92 \ BM$।

(B) आइंस्टीन का प्रकाश-विद्युत समीकरण $eV_0 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\phi = \frac{hc}{\lambda_0}$ कार्य फलन है और $\lambda_0$ देहली तरंगदैर्ध्य है।
अतः,$V_0 = \frac{hc}{e} \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right)$।
प्रथम स्थिति के लिए: $4.8 = \frac{hc}{e} \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right) \quad \dots (i)$
द्वितीय स्थिति के लिए: $1.6 = \frac{hc}{e} \left( \frac{1}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right) \quad \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ को $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{4.8}{1.6} = \frac{\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}}{\frac{1}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}}$
$3 = \frac{\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}}{\frac{1}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}}$
$3 \left( \frac{1}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right) = \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}$
$\frac{3}{2\lambda} - \frac{3}{\lambda_0} = \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}$
$\frac{3}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda} = \frac{3}{\lambda_0} - \frac{1}{\lambda_0}$
$\frac{1}{2\lambda} = \frac{2}{\lambda_0}$
$\lambda_0 = 4\lambda$.

(D) फोटोवोल्टिक सेल में,उत्पन्न फोटोइलेक्ट्रिक धारा आपतित प्रकाश की तीव्रता के सीधे समानुपाती होती है। इसलिए,कथन $A$ असत्य है।
आइंस्टीन के फोटोइलेक्ट्रिक समीकरण के अनुसार,फोटोइलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = h\nu - \Phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\nu$ आपतित विकिरण की आवृत्ति है। चूँकि आवृत्ति $\nu = c/\lambda$ होती है,इसलिए गतिज ऊर्जा और परिणामस्वरूप फोटोइलेक्ट्रॉनों का वेग आपतित विकिरण की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ पर निर्भर करता है। इसलिए,कथन $B$ सत्य है।

(A) एल्युमीनियम के जमा होने की अभिक्रिया है: $Al^{3+} + 3e^- \rightarrow Al(s)$.
फैराडे के विद्युत अपघटन के नियम के अनुसार,जमा हुआ द्रव्यमान $w = \frac{M \times i \times t}{n \times F}$,जहाँ $M$ मोलर द्रव्यमान $(27 \ g/mol)$,$n$ इलेक्ट्रॉनों की संख्या $(3)$,$i$ एम्पीयर में धारा,$t$ सेकंड में समय $(96.5 \ s)$ और $F$ फैराडे स्थिरांक $(96500 \ C/mol)$ है।
मान रखने पर: $0.09 = \frac{27 \times i \times 96.5}{3 \times 96500}$.
$0.09 = \frac{9 \times i \times 96.5}{96500}$.
$0.09 = \frac{9 \times i}{1000}$.
$i = \frac{0.09 \times 1000}{9} = 10 \ \text{एम्पीयर}$.
अतः,$X$ का मान $10$ है.

(C) बिंदु आवेश $Q$ के कारण $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{r^2}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि आवेश $x = 1, 2, 4, 8, \dots \text{ cm}$ पर रखे गए हैं और उनके चिह्न एकांतर हैं, इसलिए मूल बिंदु $(x=0)$ पर कुल विद्युत क्षेत्र प्रत्येक आवेश द्वारा उत्पन्न क्षेत्रों का सदिश योग है।
मान लीजिए $Q = 5 \times 10^{-9} \text{ C}$ है। दूरियाँ $r_n = 2^{n-1} \times 10^{-2} \text{ m}$ हैं, जहां $n = 1, 2, 3, \dots$ है।
$x=0$ पर क्षेत्र धनात्मक आवेश के लिए ऋणात्मक $X$-अक्ष की ओर और ऋणात्मक आवेश के लिए धनात्मक $X$-अक्ष की ओर होता है। उचित चिह्नों के साथ मानों का योग करने पर:
$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{Q}{(1 \times 10^{-2})^2} - \frac{Q}{(2 \times 10^{-2})^2} + \frac{Q}{(4 \times 10^{-2})^2} - \frac{Q}{(8 \times 10^{-2})^2} + \dots \right]$
$E = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 \times 10^{-4}} \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{4^2} - \frac{1}{8^2} + \dots \right]$
$E = (9 \times 10^9) \times (5 \times 10^{-9}) \times 10^4 \left[ 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{16} - \frac{1}{64} + \dots \right]$
कोष्ठक में दिया गया पद एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = -1/4$ है।
योग $S = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1 - (-1/4)} = \frac{1}{5/4} = \frac{4}{5}$ है।
$E = 45 \times 10^4 \times \frac{4}{5} = 36 \times 10^4 \text{ N/C}$।

(A) जल की गुणवत्ता घुलित ऑक्सीजन $(D.O.)$ की सांद्रता द्वारा निर्धारित की जाती है।
स्वच्छ जल में $D.O.$ का मान लगभग $6.0 \ ppm$ या उससे अधिक होना चाहिए।
यदि $D.O.$ का मान $5.0 \ ppm$ से कम हो जाता है,तो जल को प्रदूषित माना जाता है क्योंकि यह जलीय जीवन के अस्तित्व को प्रभावी ढंग से बनाए रखने में सक्षम नहीं होता है।

(A) $2, 3$-डाइमिथाइलहेक्सेन की संरचना $CH_3-CH(CH_3)-CH(CH_3)-CH_2-CH_2-CH_3$ है।
संरचना का विश्लेषण करने पर:
- तृतीयक $(3^{\circ})$ कार्बन परमाणु: $2$ और $3$ स्थिति पर स्थित कार्बन परमाणु तीन अन्य कार्बन परमाणुओं से जुड़े हैं। अतः,तृतीयक कार्बन परमाणुओं की संख्या $= 2$.
- द्वितीयक $(2^{\circ})$ कार्बन परमाणु: $4$ और $5$ स्थिति पर स्थित कार्बन परमाणु दो अन्य कार्बन परमाणुओं से जुड़े हैं। अतः,द्वितीयक कार्बन परमाणुओं की संख्या $= 2$.
- प्राथमिक $(1^{\circ})$ कार्बन परमाणु: $1$,$6$ स्थिति पर स्थित कार्बन और $2$ तथा $3$ स्थिति पर जुड़े दो मिथाइल समूह के कार्बन केवल एक अन्य कार्बन परमाणु से जुड़े हैं। अतः,प्राथमिक कार्बन परमाणुओं की संख्या $= 4$.
अतः,तृतीयक,द्वितीयक और प्राथमिक कार्बन परमाणुओं की संख्या क्रमशः $2, 2, 4$ है।

(B) क्रायोलाइट $(Na_3AlF_6)$ के विद्युत अपघटन के दौरान,अभिक्रियाएँ इस प्रकार हैं:
कैथोड पर: $Al^{3+} + 3e^- \rightarrow Al$
एनोड पर: $2F^- \rightarrow F_2 + 2e^-$
इलेक्ट्रॉनों को संतुलित करने के लिए,कैथोड अभिक्रिया को $2$ से और एनोड अभिक्रिया को $3$ से गुणा करें:
कैथोड: $2Al^{3+} + 6e^- \rightarrow 2Al$
एनोड: $6F^- \rightarrow 3F_2 + 6e^-$
कुल अभिक्रिया: $2Al^{3+} + 6F^- \rightarrow 2Al + 3F_2$
अतः,$Al$ और $F_2$ का मोलर अनुपात $2:3$ है।

(C) क्षेत्रीय वेग $\frac{dA}{dt}$ को उस दर के रूप में परिभाषित किया जाता है जिस पर ग्रह के स्थिति सदिश द्वारा क्षेत्रफल तय किया जाता है।
यह दिया गया है कि $\frac{dA}{dt}$ कोणीय वेग $\omega$ और दूरी $r$ पर निर्भर करता है,इसलिए हम लिख सकते हैं: $\frac{dA}{dt} = K \omega^a r^b$.
क्षेत्रीय वेग $\frac{dA}{dt}$ का विमीय सूत्र $[L^2 T^{-1}]$ है।
कोणीय वेग $\omega$ का विमीय सूत्र $[T^{-1}]$ है और दूरी $r$ का $[L]$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $[L^2 T^{-1}] = [T^{-1}]^a [L]^b$.
दोनों पक्षों पर $L$ और $T$ के घातांकों की तुलना करने पर:
$T$ के लिए: $-a = -1 \Rightarrow a = 1$.
$L$ के लिए: $b = 2$.
अतः,सही संबंध $\frac{dA}{dt} \propto \omega r^2$ है।

(A) चरण $1$: $C_2H_5OH$ की उपस्थिति में $C_2H_5Cl$ का $KCN$ के साथ नाभिकरागी प्रतिस्थापन प्रोपेननाइट्राइल $(X)$ देता है:
$C_2H_5Cl + KCN \rightarrow C_2H_5CN (X) + KCl$
चरण $2$: $X$ $(C_2H_5CN)$ का अम्लीय जलअपघटन और गर्म करने पर प्रोपेनोइक अम्ल $(Y)$ प्राप्त होता है:
$C_2H_5CN + H_3O^+ + H_2O \xrightarrow{\Delta} C_2H_5COOH (Y) + NH_3$
प्रोपेनोइक अम्ल $(C_2H_5COOH)$ का आण्विक सूत्र $C_3H_6O_2$ है।

(D) अभिक्रिया $CH_3-CH_2-CH_3 \xrightarrow{Br_2, h\nu} CH_3-CH(Br)-CH_3$ एक मुक्त मूलक प्रतिस्थापन अभिक्रिया है।
प्रसारण चरण में,एक ब्रोमीन मुक्त मूलक प्रोपेन के द्वितीयक कार्बन से एक हाइड्रोजन परमाणु को हटाकर एक द्वितीयक प्रोपाइल मुक्त मूलक $(CH_3-\dot{C}H-CH_3)$ बनाता है।
यह द्वितीयक मुक्त मूलक प्राथमिक मुक्त मूलक की तुलना में अधिक स्थिर होता है,इसलिए यह अभिक्रिया इसी मार्ग से आगे बढ़ती है।

(A) जब एसिटिलीन $(C_2H_2)$ को लाल-तप्त लोहे की नली से गुजारा जाता है,तो यह चक्रीय बहुलकीकरण (cyclic polymerization) के माध्यम से बेंजीन $(C_6H_6)$ बनाता है,जो यौगिक $X$ है:
$3C_2H_2 \xrightarrow{\text{red hot tube}} C_6H_6$ $(X)$
अभिक्रिया $(A)$ में जिंक डस्ट के साथ फिनोल का अपचयन (reduction) शामिल है,जो बेंजीन बनाने की एक मानक प्रयोगशाला विधि है:
$C_6H_5OH + Zn \xrightarrow{\text{distillation}} C_6H_6 + ZnO$
अतः,अभिक्रिया $(A)$ मुख्य उत्पाद के रूप में $X$ (बेंजीन) देती है।

(B) आल्कोहॉलिक $KOH$ की उपस्थिति में $C_6H_5NO_2$ और $Zn$ पाउडर की अभिक्रिया में एनिलिन मुख्य उत्पाद के रूप में प्राप्त नहीं होता है।
$C_6H_5OH + NH_3 \xrightarrow[300^{\circ}C]{ZnCl_2}$ अभिक्रिया एनिलिन देती है।
$C_6H_5Cl + NH_3 \xrightarrow[Cu_2O]{200^{\circ}C, \text{high pressure}}$ अभिक्रिया एनिलिन देती है।
$C_6H_5NO_2 + 6[H] \xrightarrow[HCl]{Fe + H_2O}$ नाइट्रोबेंजीन का एनिलिन में अपचयन है।
अतः,वह अभिक्रिया जिसमें एनिलिन मुख्य उत्पाद नहीं है,वह $C_6H_5NO_2 + Zn \text{ powder } \xrightarrow{\text{alcoholic } KOH}$ है।

(D) शून्य कोटि की अभिक्रिया के लिए:
दर $= K[A]^0 = K$
दर नियम का समाकलन करने पर,$[A]_t = [A]_0 - Kt$ प्राप्त होता है।
अर्ध-आयु पर $(t = t_{1/2})$,सांद्रता $[A]_t = [A]_0/2$ हो जाती है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $[A]_0/2 = [A]_0 - K t_{1/2}$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $K t_{1/2} = [A]_0/2$,या $t_{1/2} = \frac{[A]_0}{2K}$ प्राप्त होता है।
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,जहाँ $y = t_{1/2}$,$x = [A]_0$,और $m = 1/(2K)$,$t_{1/2}$ बनाम $[A]_0$ का आलेख मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है जिसकी ढाल $1/(2K)$ है।

(B) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,अर्ध-आयु $t_{1/2} = \frac{0.693}{K}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $t_{1/2} = 10 \text{ minutes}$,इसलिए दर स्थिरांक $K = \frac{0.693}{10} = 0.0693 \text{ min}^{-1}$ है।
प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए समाकलित दर समीकरण $t = \frac{2.303}{K} \log \frac{[A]_0}{[A]}$ है।
यहाँ,$[A] = 10 \% [A]_0 = 0.1 [A]_0$,इसलिए $\frac{[A]_0}{[A]} = 10$ है।
मान रखने पर: $t = \frac{2.303}{0.0693} \log(10) = \frac{2.303}{0.0693} \times 1 \approx 33.2 \text{ minutes}$।

(A) दी गई अभिक्रियाओं से:
$1$. $X + HCl \xrightarrow{AlCl_3} C_2H_5Cl$ का अर्थ है कि $X$ एथीन $(C_2H_4)$ है।
$2$. $Y + HCl \xrightarrow{ZnCl_2} C_2H_5Cl$ का अर्थ है कि $Y$ एथेनॉल $(C_2H_5OH)$ है (ल्यूकास परीक्षण)।
$3$. $Y$ (एथेनॉल) का $X$ (एथीन) में रूपांतरण एक निर्जलीकरण अभिक्रिया है।
$4$. एथेनॉल को $350^{\circ}C$ पर $Al_2O_3$ के साथ गर्म करने पर निर्जलीकरण द्वारा एथीन प्राप्त होता है।
अभिक्रिया: $\underset{(Y)}{C_2H_5OH} \xrightarrow{Al_2O_3, 350^{\circ}C} \underset{(X)}{C_2H_4} + H_2O$.

(D) फेहलिंग विलयन एलिफैटिक एल्डिहाइड के लिए एक परीक्षण है। यौगिक $X$ जो फेहलिंग विलयन के साथ लाल अवक्षेप देता है,वह एसीटैल्डिहाइड $(CH_3CHO)$ है।
$40\% H_2SO_4$ और $1\% HgSO_4$ की उपस्थिति में एसिटिलीन $(C_2H_2)$ की जल के साथ अभिक्रिया (कुचेरोव अभिक्रिया) मुख्य उत्पाद के रूप में एसीटैल्डिहाइड $(CH_3CHO)$ देती है।
$C_2H_2 + H_2O \xrightarrow[1\% HgSO_4]{40\% H_2SO_4} CH_3CHO$
इसके बाद एसीटैल्डिहाइड फेहलिंग विलयन के साथ अभिक्रिया करके क्यूप्रस ऑक्साइड $(Cu_2O)$ का लाल अवक्षेप देता है।

(A) एथिल अल्कोहल $(C_2H_5OH)$ में ऑक्सीजन परमाणु से जुड़ा एक सक्रिय हाइड्रोजन परमाणु होता है। जब यह मिथाइल मैग्नीशियम आयोडाइड $(CH_3MgI)$ जैसे ग्रिग्नार्ड अभिकर्मक के साथ प्रतिक्रिया करता है,तो सक्रिय हाइड्रोजन मिथाइल समूह द्वारा प्रतिस्थापित हो जाता है और मीथेन गैस $(CH_4)$ बनाता है।
अभिक्रिया इस प्रकार है:
$C_2H_5OH + CH_3MgI \rightarrow CH_4 \uparrow + C_2H_5OMgI$

(D) डाइएथिल ईथर $(C_2H_5OC_2H_5)$ की कार्बन मोनोऑक्साइड $(CO)$ के साथ $BF_3$ जैसे लुईस अम्ल उत्प्रेरक की उपस्थिति में उच्च तापमान $(150^{\circ}C)$ और उच्च दाब $(500 \text{ atm})$ पर अभिक्रिया एक कार्बोनिलीकरण अभिक्रिया है।
इस अभिक्रिया के परिणामस्वरूप ईथर के $C-O$ बंध में $CO$ का समावेश होता है जिससे एस्टर बनता है।
प्राप्त उत्पाद एथिल प्रोपियोनेट $(C_2H_5COOC_2H_5)$ है।

(C) एसिटाल्डिहाइड $(CH_3CHO)$ सोडियम बाइसल्फाइट $(NaHSO_3)$ के संतृप्त जलीय विलयन के साथ अभिक्रिया करके एसिटाल्डिहाइड सोडियम बाइसल्फाइट नामक योगात्मक उत्पाद बनाता है।
यह उत्पाद सफेद क्रिस्टलीय अवक्षेप के रूप में प्राप्त होता है।
अभिक्रिया इस प्रकार है:
$CH_3CHO + NaHSO_3 \rightarrow CH_3-CH(OH)-SO_3Na$
(एसिटाल्डिहाइड सोडियम बाइसल्फाइट,सफेद क्रिस्टलीय अवक्षेप)।

(B) अल्कोहलिक $KOH$ की उपस्थिति में नाइट्रोबेन्जीन $(C_6H_5NO_2)$ की जिंक पाउडर के साथ अभिक्रिया में,एनिलीन मुख्य उत्पाद के रूप में प्राप्त नहीं होता है।
विकल्प $A$ फिनोल का अमोनीकरण है।
विकल्प $C$ क्लोरोबेन्जीन की अमोनिया के साथ अभिक्रिया है।
विकल्प $D$ $Fe/HCl$ का उपयोग करके नाइट्रोबेन्जीन का एनिलीन में मानक अपचयन है।

(B) $2-$हाइड्रॉक्सीबेंजोइक एसिड (सैलिसिलिक एसिड) सांद्र $H_2SO_4$ की उपस्थिति में एसिटिक एनहाइड्राइड के साथ अभिक्रिया करके $2-$एसीटॉक्सीबेंजोइक एसिड बनाता है,जिसे आमतौर पर एस्पिरिन के रूप में जाना जाता है। यह अभिक्रिया फेनोलिक $-OH$ समूह की एसिटिलेशन अभिक्रिया है।

(C) एस्टर $(X = CH_3COOC_2H_5)$ के अम्लीय जल-अपघटन से एक कार्बोक्सिलिक अम्ल और एक अल्कोहल प्राप्त होता है।
अभिक्रिया इस प्रकार है: $CH_3COOC_2H_5 + H_2O \xrightarrow{H^+} CH_3COOH + C_2H_5OH$.
यहाँ,$CH_3COOH$ (एसिटिक अम्ल) और $C_2H_5OH$ (एथेनॉल) दो अलग-अलग कार्बनिक यौगिक हैं।

(B) अम्लीकृत हाइड्रोजन पेरोक्साइड $(H_2O_2)$ के साथ फेरस आयन $(Fe^{2+})$ की अभिक्रिया के परिणामस्वरूप $Fe^{2+}$ का फेरिक आयन $(Fe^{3+})$ में ऑक्सीकरण होता है:
$2Fe^{2+} + H_2O_2 + 2H^+ \longrightarrow 2Fe^{3+} + 2H_2O$
अतः,आयन $X$,$Fe^{3+}$ है।
$Fe^{3+}$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ar] 3d^5$ है।
$d$-इलेक्ट्रॉनों की संख्या $5$ है।
चुंबकीय आघूर्ण $(\mu)$ की गणना $\mu = \sqrt{n(n+2)} \ BM$ सूत्र का उपयोग करके की जाती है,जहाँ $n$ अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों की संख्या है।
$Fe^{3+}$ के लिए,$n = 5$ है।
$\mu = \sqrt{5(5+2)} = \sqrt{35} \approx 5.92 \ BM$।

(A) एल्युमीनियम के जमा होने की अभिक्रिया: $Al^{3+} + 3e^- \rightarrow Al(s)$ है।
फैराडे के विद्युत अपघटन के नियम के अनुसार,जमा हुआ द्रव्यमान $w = \frac{M \times I \times t}{n \times F}$ है,जहाँ $M$ $Al$ का मोलर द्रव्यमान $(27 \ g/mol)$,$I$ एम्पीयर में धारा,$t$ सेकंड में समय $(96.5 \ s)$,$n$ इलेक्ट्रॉनों की संख्या $(3)$ और $F$ फैराडे स्थिरांक $(96500 \ C/mol)$ है।
मान रखने पर: $0.09 = \frac{27 \times I \times 96.5}{3 \times 96500}$.
$I = \frac{0.09 \times 289500}{27 \times 96.5} = 10 \ A$.
अतः,$X$ का मान $10$ है।

(B) क्रायोलाइट $(Na_3AlF_6)$ के विद्युत अपघटन में निम्नलिखित अभिक्रियाएँ होती हैं:
$Na_3AlF_6 \rightleftharpoons 3NaF + AlF_3$
$4AlF_3 \rightleftharpoons 4Al^{3+} + 12F^-$
कैथोड पर: $4Al^{3+} + 12e^- \rightarrow 4Al$
एनोड पर: $12F^- \rightarrow 6F_2 + 12e^-$
अतः,उत्पन्न $Al$ और $F_2$ का मोलर अनुपात $4:6$ है,जिसे सरल करने पर $2:3$ प्राप्त होता है।

(A) अभिक्रिया अनुक्रम इस प्रकार है:
$1$. $C_2H_5Cl + KCN \xrightarrow{C_2H_5OH} C_2H_5CN (X) + KCl$
यह एक नाभिकरागी प्रतिस्थापन अभिक्रिया है जहाँ $CN^{-}$ द्वारा $Cl^{-}$ को प्रतिस्थापित किया जाता है।
$2$. $C_2H_5CN + 2H_2O \xrightarrow{H_3O^{\oplus}, \Delta} C_2H_5COOH (Y) + NH_3$
नाइट्राइल $(X)$ का अम्लीय जल-अपघटन संगत कार्बोक्सिलिक अम्ल $(Y)$ देता है,जो प्रोपेनोइक अम्ल $(C_2H_5COOH)$ है।
प्रोपेनोइक अम्ल $(C_2H_5COOH)$ का आणविक सूत्र $C_3H_6O_2$ है।

(D) कार्बनिक यौगिक $X$ फेहलिंग विलयन के साथ लाल अवक्षेप देता है,जो इंगित करता है कि $X$ एक एलिफैटिक एल्डिहाइड (विशेष रूप से एसीटैल्डिहाइड,$CH_3CHO$) है।
अभिक्रिया $D$,$40 \% H_2SO_4$ और $1 \% HgSO_4$ की उपस्थिति में $60^{\circ}C$ पर एसिटिलीन $(C_2H_2)$ का जलयोजन है,जो मुख्य उत्पाद के रूप में एसीटैल्डिहाइड $(CH_3CHO)$ देता है।
$C_2H_2 + H_2O \xrightarrow[1 \% HgSO_4, 60^{\circ}C]{40 \% H_2SO_4} CH_3CHO$ (एसीटैल्डिहाइड)
एसीटैल्डिहाइड गर्म करने पर फेहलिंग विलयन के साथ अभिक्रिया करके क्यूप्रस ऑक्साइड $(Cu_2O)$ का लाल अवक्षेप बनाता है।

(B) $NO + NO_2 \xrightarrow{253 \ K} N_2O_3 \ (X)$
$N_2O_3 + H_2O \longrightarrow 2HNO_2 \ (Y)$
$Y$ $(HNO_2)$ का ऋणायन $NO_2^-$ है।
$NO_2^-$ में,नाइट्रोजन परमाणु $sp^2$ संकरित होता है और इसमें एक एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्म होता है,जिससे यह कोणीय आकृति प्राप्त करता है। दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर त्रिकोणीय समतलीय है।

(B) जब प्लैटिनम इलेक्ट्रोड का उपयोग करके $50 \% H_2SO_4$ का विद्युत अपघटन किया जाता है,तो अम्ल की सांद्रता इतनी अधिक होती है कि पानी के ऑक्सीकरण के बजाय एनोड पर हाइड्रोजन सल्फेट आयन $(HSO_4^-)$ का ऑक्सीकरण होता है।
एनोड पर अभिक्रिया है: $2HSO_4^- \longrightarrow H_2S_2O_8 + 2e^-$.
अतः,एनोड पर प्राप्त उत्पाद पेरोक्सोडाइसल्फ्यूरिक एसिड $(H_2S_2O_8)$ है।

(C) $XeO_3$ में $Xe$ की ऑक्सीकरण अवस्था की गणना इस प्रकार की जा सकती है:
$x + 3(-2) = 0$
$x - 6 = 0$
$x = +6$
$XeO_3$ में $Xe$ का $sp^3$ संकरण होता है और एक एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्म (lone pair) की उपस्थिति के कारण इसकी ज्यामिति पिरामिडीय होती है।
$XeO_3$ में बंध कोण लगभग $103^{\circ}$ होता है।

(A) डाउन प्रक्रिया में,धात्विक सोडियम का निष्कर्षण $NaCl$,$CaCl_2$ और $KF$ के पिघले हुए मिश्रण के विद्युत अपघटन द्वारा किया जाता है।
$CaCl_2$ और $KF$ को मिलाने से $NaCl$ का गलनांक $801^{\circ}C$ से घटकर लगभग $600^{\circ}C$ हो जाता है,जो ऊर्जा की खपत को कम करने और सोडियम धातु के वाष्पीकरण को रोकने में मदद करता है।
इसलिए,उपयोग किया जाने वाला इलेक्ट्रोलाइट $NaCl$,$CaCl_2$ और $KF$ का मिश्रण है।

(B) कास्टनर प्रक्रिया में पिघले हुए सोडियम क्लोराइड $(NaCl)$ का विद्युत अपघटन किया जाता है।
कैथोड पर,सोडियम आयनों का अपचयन होता है: $Na^{+} + e^{-} \longrightarrow Na$।
एनोड पर,क्लोराइड आयनों का ऑक्सीकरण होकर क्लोरीन गैस मुक्त होती है: $2 Cl^{-} \longrightarrow Cl_2 + 2 e^{-}$।
अतः,एनोड पर होने वाली अभिक्रिया $2 Cl^{-} \longrightarrow Cl_2 + 2 e^{-}$ है।

(C) क्लॉसियस-क्लैपेरॉन समीकरण के अनुसार,वाष्प दाब $(p)$ और परम ताप $(T)$ के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$\log p = -\frac{\Delta H_{vap}}{2.303 R} \left(\frac{1}{T}\right) + C$
जहाँ $\Delta H_{vap}$ वाष्पीकरण की एन्थैल्पी है,$R$ गैस नियतांक है,और $C$ एक स्थिरांक है।
यह समीकरण एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के रूप में है,जहाँ ढाल $m = -\frac{\Delta H_{vap}}{2.303 R}$ है।
चूंकि ढाल ऋणात्मक है,इसलिए $\log p$ बनाम $\frac{1}{T}$ का ग्राफ ऋणात्मक ढाल वाली एक सीधी रेखा है,जो विकल्प $C$ में दिखाए गए ग्राफ के अनुरूप है।

(B) द्रव्यमान क्षति $3.32 \times 10^{-26} \ g$ दी गई है।
सबसे पहले,द्रव्यमान क्षति को $amu$ में बदलने के लिए इसे $1.66 \times 10^{-24} \ g$ से विभाजित करें:
$\text{द्रव्यमान क्षति } (amu) = \frac{3.32 \times 10^{-26}}{1.66 \times 10^{-24}} = 0.02 \ amu$.
बंधन ऊर्जा की गणना इस संबंध द्वारा की जाती है: $\text{बंधन ऊर्जा} = \text{द्रव्यमान क्षति } (amu) \times 931 \ MeV/amu$.
$\text{बंधन ऊर्जा} = 0.02 \times 931 \ MeV = 18.62 \ MeV$.

(B) फ्रुंडलिच अधिशोषण समतापी को निम्नलिखित अनुभवजन्य संबंध द्वारा दर्शाया जाता है:
$\frac{x}{m} = K p^{1/n}$
जहाँ:
$x$ अधिशोष्य का द्रव्यमान है,
$m$ अधिशोषक का द्रव्यमान है,
$p$ दाब है,
$K$ और $n$ स्थिरांक हैं जो एक निश्चित तापमान पर अधिशोषक और अधिशोष्य की प्रकृति पर निर्भर करते हैं।