AP EAMCET 2003 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) બે કણો અથડાય તે માટે,$t$ સમયે તેમના સ્થાન સમાન હોવા જોઈએ: $r_1 + v_1 t = r_2 + v_2 t$.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $r_1 - r_2 = (v_2 - v_1) t$.
આપેલ છે કે $r_1 = (3 \hat{i} + 5 \hat{j})$ અને $r_2 = (-5 \hat{i} - 3 \hat{j})$,તેથી સાપેક્ષ સ્થાન સદિશ $r_1 - r_2 = (3 - (-5)) \hat{i} + (5 - (-3)) \hat{j} = (8 \hat{i} + 8 \hat{j}) \text{ m}$ થાય.
સાપેક્ષ વેગ $v_2 - v_1 = (a \hat{i} + 7 \hat{j}) - (4 \hat{i} + 3 \hat{j}) = (a - 4) \hat{i} + 4 \hat{j}$ છે.
$t = 2 \text{ s}$ સાથે અથડામણની શરતમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$8 \hat{i} + 8 \hat{j} = ((a - 4) \hat{i} + 4 \hat{j}) \times 2$.
$2$ વડે ભાગતા: $4 \hat{i} + 4 \hat{j} = (a - 4) \hat{i} + 4 \hat{j}$.
$\hat{i}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $4 = a - 4$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $a = 8$ મળે છે.

(D) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,આવર્તકાળ $T$ નો વર્ગ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા $R$ ના ઘન ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $T^2 \propto R^3$.
ધારો કે $R_1 = R$ ત્રિજ્યા માટે આવર્તકાળ $T_1$ છે અને $R_2 = 1.02 R$ ત્રિજ્યા માટે આવર્તકાળ $T_2$ છે.
તેથી,$\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{R_2}{R_1} \right)^{3/2} = (1.02)^{3/2}$.
નાના $x$ માટે દ્વિપદી અંદાજ $(1+x)^n \approx 1+nx$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $x = 0.02$ અને $n = 1.5$ છે:
$\frac{T_2}{T_1} \approx 1 + (1.5 \times 0.02) = 1 + 0.03 = 1.03$.
આનો અર્થ એ છે કે $T_2 \approx 1.03 T_1$.
ટકાવારી તફાવત $\frac{T_2 - T_1}{T_1} \times 100 = \left( \frac{T_2}{T_1} - 1 \right) \times 100$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમત મૂકતા: $(1.03 - 1) \times 100 = 0.03 \times 100 = 3\%$.

(B) આપેલ છે: મોલની સંખ્યા $n = 5$, પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 100^{\circ} C$, અંતિમ તાપમાન $T_2 = 120^{\circ} C$, આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = 80 \,J$.
તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta T = T_2 - T_1 = 120^{\circ} C - 100^{\circ} C = 20 \,K$ (કારણ કે તાપમાનનો તફાવત સેલ્સિયસ અને કેલ્વિન બંનેમાં સમાન હોય છે).
અચળ કદ પર વાયુ માટે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = C_V \Delta T$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $C_V$ એ અચળ કદ પર કુલ ઉષ્મા ધારિતા છે.
તેથી, $C_V = \frac{\Delta U}{\Delta T} = \frac{80 \,J}{20 \,K} = 4 \,J/K$.

(A) ધારો કે ઢળતા સમતલને આપવામાં આવતો સમક્ષિતિજ પ્રવેગ $a$ છે. વસ્તુને સમતલની સાપેક્ષમાં સ્થિર રાખવા માટે,વસ્તુ પર સમક્ષિતિજ દિશામાં લાગતું આભાસી બળ (pseudo force) $ma$ એ સમતલની સમાંતર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણના ઘટકને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
આભાસી બળ $ma$ ના ઢળતા સમતલને સમાંતર અને લંબ ઘટકો લેતા,સમતલને સમાંતર ઘટક $ma \cos \theta$ મળે છે.
સમતલ પર નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ઘટક $mg \sin \theta$ છે.
વસ્તુ સમતલની સાપેક્ષમાં સ્થિર રહે તે માટે,આ બંને બળો સમાન હોવા જોઈએ:
$ma \cos \theta = mg \sin \theta$
$a = g \tan \theta$
આપેલ છે કે $\sin \theta = \frac{1}{l}$,તેથી આપણે એક કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવી શકીએ જેમાં સામેની બાજુ $1$ અને કર્ણ $l$ છે. પાસેની બાજુ $\sqrt{l^2 - 1^2} = \sqrt{l^2 - 1}$ થશે.
તેથી,$\tan \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{1}{\sqrt{l^2 - 1}}$.
આ કિંમત $a$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$a = g \left(\frac{1}{\sqrt{l^2 - 1}}\right) = \frac{g}{\sqrt{l^2 - 1}}$.

(C) ટોરીસેલીના નિયમ મુજબ બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ છે.
ધારો કે ટાંકીનું ક્ષેત્રફળ $A$ અને છિદ્રનું ક્ષેત્રફળ $a$ છે. ઊંચાઈમાં થતો ફેરફાર $A \frac{dh}{dt} = -a \sqrt{2gh}$ દ્વારા મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$dt = -\frac{A}{a \sqrt{2g}} h^{-1/2} dh$ મળે છે.
$h_1$ થી $h_2$ સુધી સંકલન કરતા,લાગતો સમય $t = \int_{h_2}^{h_1} \frac{A}{a \sqrt{2g}} h^{-1/2} dh = \frac{A}{a} \sqrt{\frac{2}{g}} (\sqrt{h_1} - \sqrt{h_2})$ છે.
પ્રથમ અંતરાલ ($h$ થી $h/2$) માટે: $t_1 = \frac{A}{a} \sqrt{\frac{2}{g}} (\sqrt{h} - \sqrt{h/2}) = \frac{A}{a} \sqrt{\frac{2h}{g}} (1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$.
બીજા અંતરાલ ($h/2$ થી $0$) માટે: $t_2 = \frac{A}{a} \sqrt{\frac{2}{g}} (\sqrt{h/2} - 0) = \frac{A}{a} \sqrt{\frac{2h}{g}} (\frac{1}{\sqrt{2}})$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{t_1}{t_2} = \frac{1 - 1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{2}-1)/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}} = \sqrt{2}-1$.

(B) પોઈઝ્યુઈલના નિયમ મુજબ,કેશિકા નળીમાંથી વહેતા પાણીના સ્થાયી કદનો દર $V = \frac{\pi p r^4}{8 \eta l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આને દબાણ તફાવત $p = V \left( \frac{8 \eta l}{\pi r^4} \right) = V R_H$ તરીકે લખી શકાય,જ્યાં $R_H = \frac{8 \eta l}{\pi r^4}$ એ હાઇડ્રોલિક અવરોધ છે.
પ્રથમ નળી માટે,$R_1 = \frac{8 \eta l}{\pi r^4}$.
બીજી નળી માટે,$R_2 = \frac{8 \eta l}{\pi (r/2)^4} = \frac{8 \eta l}{\pi r^4 / 16} = 16 R_1$.
શ્રેણી જોડાણમાં,કુલ દબાણ તફાવત $p$ એ દરેક નળી પરના દબાણ તફાવતનો સરવાળો છે: $p = p_1 + p_2 = V' R_1 + V' R_2$,જ્યાં $V'$ એ નવો વહન દર છે.
કારણ કે $p = V R_1$,તેથી $V R_1 = V' (R_1 + 16 R_1) = V' (17 R_1)$.
તેથી,$V = 17 V'$,જે આપણને $V' = \frac{V}{17}$ આપે છે.

(D) પ્રથમ સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $p_1 = \frac{4T}{r_1}$ છે.
તે જ રીતે,બીજા પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $p_2 = \frac{4T}{r_2}$ છે.
ધારો કે પરિણામી મોટા પરપોટાની ત્રિજ્યા $R$ છે. આ પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $p = \frac{4T}{R}$ છે.
સમતાપી પરિસ્થિતિમાં,હવાનું કુલ મોલ પ્રમાણ અચળ રહે છે અને $PV = nRT$ હોવાથી,$PV$ નો ગુણાકાર અચળ રહે છે.
તેથી,$PV = p_1 V_1 + p_2 V_2$.
કિંમતો મૂકતા: $\left(\frac{4T}{R}\right) \left(\frac{4}{3} \pi R^3\right) = \left(\frac{4T}{r_1}\right) \left(\frac{4}{3} \pi r_1^3\right) + \left(\frac{4T}{r_2}\right) \left(\frac{4}{3} \pi r_2^3\right)$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $R^2 = r_1^2 + r_2^2$.
તેથી,$R = \sqrt{r_1^2 + r_2^2}$.

(C) આપેલ છે: $m_1 = 200 \text{ g}$,$m_2 = 500 \text{ g}$.
વેગ: $\vec{v}_1 = 10 \hat{i} \text{ m/s}$,$\vec{v}_2 = (3 \hat{i} + 5 \hat{j}) \text{ m/s}$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $\vec{v}_{CM}$ શોધવા માટેનું સૂત્ર:
$\vec{v}_{CM} = \frac{m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2}{m_1 + m_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\vec{v}_{CM} = \frac{200(10 \hat{i}) + 500(3 \hat{i} + 5 \hat{j})}{200 + 500}$
$\vec{v}_{CM} = \frac{2000 \hat{i} + 1500 \hat{i} + 2500 \hat{j}}{700}$
$\vec{v}_{CM} = \frac{3500 \hat{i} + 2500 \hat{j}}{700}$
$\vec{v}_{CM} = 5 \hat{i} + \frac{25}{7} \hat{j} \text{ m/s}$.

(C) ક્ષેત્રીય વેગ $\frac{d A}{d t}$ નું સૂત્ર $\frac{d A}{d t} = \frac{1}{2} r^2 \omega$ છે.
આ સૂત્ર કોણીય વેગમાન $L = mvr = mr^2 \omega$ પરથી મેળવવામાં આવે છે,જ્યાં ક્ષેત્રીય વેગ $\frac{d A}{d t} = \frac{L}{2m} = \frac{1}{2} r^2 \omega$ થાય છે.
અહીં $\frac{1}{2}$ અચળ હોવાથી,$\frac{d A}{d t} \propto r^2 \omega$ મળે છે.
તેથી,સાચો સંબંધ $\frac{d A}{d t} \propto \omega r^2$ છે.

(A) $1$. જ્યારે બ્લોક $C$ બ્લોક $A$ સાથે અથડાય છે,ત્યારે તે $A$ સાથે ચોંટી જાય છે. વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અથડામણ પછી તરત જ સંયુક્ત તંત્ર $(A+C)$ નો વેગ $v' = \frac{mv}{m+m} = \frac{v}{2}$ થાય છે.
$2$. હવે તંત્રમાં $2m$ દળ ધરાવતો પદાર્થ સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલ છે,જે બ્લોક $B$ (દળ $m$) સાથે જોડાયેલ છે.
$3$. મહત્તમ સંકોચન $x$ ત્યારે થાય છે જ્યારે બંને દળ વચ્ચેનો સાપેક્ષ વેગ શૂન્ય થાય. રિડ્યુસ્ડ માસ $\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $m_1 = 2m$ અને $m_2 = m$,આપણને $\mu = \frac{2m}{3}$ મળે છે.
$4$. સેન્ટર ઓફ માસ ફ્રેમમાં ગતિઊર્જા સ્પ્રિંગની સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે: $\frac{1}{2} \mu v_{rel}^2 = \frac{1}{2} k x^2$.
$5$. અહીં $v_{rel} = \frac{v}{2}$ છે. તેથી,$\frac{1}{2} (\frac{2m}{3}) (\frac{v}{2})^2 = \frac{1}{2} k x^2$.
$6$. $x$ માટે ઉકેલતા: $x^2 = \frac{mv^2}{6k}$. તેથી,$x \propto v \sqrt{\frac{m}{k}}$.
$7$. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$x \propto v \sqrt{\frac{m}{2k}}$ એ સાચો જવાબ છે.

(C) ટોરીસેલીના નિયમ મુજબ,બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ છે.
ધારો કે ટાંકીનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે અને છિદ્રનું ક્ષેત્રફળ $a$ છે. ઊંચાઈમાં થતો ફેરફાર $A \frac{dh}{dt} = -a \sqrt{2gh}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદોને ગોઠવતા,$dt = -\frac{A}{a \sqrt{2g}} h^{-1/2} dh$.
ઊંચાઈ $h_1$ થી $h_2$ સુધી સંકલન કરતા,લાગતો સમય $t = \int_{h_2}^{h_1} \frac{A}{a \sqrt{2g}} h^{-1/2} dh = \frac{A}{a} \sqrt{\frac{2}{g}} (\sqrt{h_1} - \sqrt{h_2})$ મળે છે.
પ્રથમ અંતરાલ ($h$ થી $h/2$) માટે: $t_1 = \frac{A}{a} \sqrt{\frac{2}{g}} (\sqrt{h} - \sqrt{h/2}) = \frac{A}{a} \sqrt{\frac{2h}{g}} (1 - 1/\sqrt{2})$.
બીજા અંતરાલ ($h/2$ થી $0$) માટે: $t_2 = \frac{A}{a} \sqrt{\frac{2}{g}} (\sqrt{h/2} - 0) = \frac{A}{a} \sqrt{\frac{2h}{g}} (1/\sqrt{2})$.
ગુણોત્તર લેતા: $t_1/t_2 = \frac{1 - 1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{2}-1)/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}} = \sqrt{2}-1$.

(C) બલ્ક મોડ્યુલસ $(K)$ નું સૂત્ર $K = -\frac{p}{\Delta V / V}$ છે,જ્યાં $p$ એ દબાણમાં ફેરફાર છે અને $\Delta V / V$ એ કદની વિકૃતિ છે.
આપેલ છે,બલ્ક મોડ્યુલસ $K = 2 \times 10^9 \ N/m^2$.
કદમાં આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta V}{V} = 0.1 \% = \frac{0.1}{100} = 10^{-3}$ છે.
અહીં આપણે કદમાં વધારો કરી રહ્યા છીએ,તેથી દબાણમાં ફેરફાર $p$ ઋણ હશે (તણાવ),પરંતુ આપણે જરૂરી દબાણનું મૂલ્ય શોધવાનું છે.
મૂલ્યનો ઉપયોગ કરતા: $p = K \times \left( \frac{\Delta V}{V} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $p = (2 \times 10^9) \times (10^{-3})$.
$p = 2 \times 10^6 \ N/m^2$.

(A) આપેલા સમીકરણો $x = 36t$ અને $2y = 96t - 9.8t^2$ છે.
બીજા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા,આપણને $y = 48t - 4.9t^2$ મળે છે.
આને પ્રક્ષિપ્ત ગતિના પ્રમાણિત સમીકરણો સાથે સરખાવતા:
$x = (u \cos \theta)t$ અને $y = (u \sin \theta)t - \frac{1}{2}gt^2$.
આપણે વેગના સમક્ષિતિજ ઘટકને $u \cos \theta = 36$ અને શિરોલંબ ઘટકને $u \sin \theta = 48$ તરીકે ઓળખીએ છીએ.
પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta$ શોધવા માટે,આપણે $\tan \theta = \frac{u \sin \theta}{u \cos \theta} = \frac{48}{36} = \frac{4}{3}$ ગણીએ છીએ.
કારણ કે $\tan \theta = \frac{4}{3}$,આપણે એક કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવી શકીએ છીએ જેમાં સામેની બાજુ $4$ અને પાસેની બાજુ $3$ છે. કર્ણ $\sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ થાય.
તેથી,$\sin \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{4}{5}$.
આમ,$\theta = \sin^{-1}(\frac{4}{5})$.

(C) આપેલ છે: મહત્તમ ઝડપ $v_{\max} = 15 \,cm/s$. આવર્તકાળ $T = 628 \,ms = 0.628 \,s$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $v_{\max} = A\omega$, જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે।
કારણ કે $\omega = \frac{2\pi}{T}$, તેથી $v_{\max} = A \times \frac{2\pi}{T}$.
કિંમતો મૂકતા: $15 = A \times \frac{2 \times 3.14}{0.628}$.
$15 = A \times \frac{6.28}{0.628}$.
$15 = A \times 10$.
$A = \frac{15}{10} = 1.5 \,cm$.

(B) આપેલ દળ $m_1 = 1.0 \,kg$, વિસ્તરણ $l_1 = 5 \,cm = 0.05 \,m$.
હૂકના નિયમ મુજબ, $m_1 g = k l_1$, જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક છે।
$k = \frac{m_1 g}{l_1} = \frac{1.0 \times 10}{0.05} = 200 \,N/m$.
હવે, $m_2 = 2.0 \,kg$ દળ માટે, કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{k}{m_2}}$ દ્વારા મળે છે।
$\omega = \sqrt{\frac{200}{2.0}} = \sqrt{100} = 10 \,rad/s$.
બ્લોકને $A = 10 \,cm = 0.1 \,m$ જેટલો ખેંચવામાં આવે છે, જે દોલનનો કંપવિસ્તાર દર્શાવે છે।
મહત્તમ વેગ $v_{\max} = A \omega$ દ્વારા મળે છે।
$v_{\max} = 0.1 \,m \times 10 \,rad/s = 1 \,m/s$.

(C) એકમ સમયમાં ઉત્સર્જિત ઉર્જા સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E = \sigma A T^4$,જ્યાં $\sigma$ એ સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે,$A$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(4\pi R^2)$ છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
સૂર્ય માટે: $E_{\text{sun}} = \sigma (4\pi R_{\text{sun}}^2) T_{\text{sun}}^4$.
તારા $A$ માટે: $E_{\text{star}} = \sigma (4\pi R_{\text{star}}^2) T_{\text{star}}^4$.
આપેલ છે કે $E_{\text{star}} = 10000 E_{\text{sun}}$,તેથી:
$\sigma (4\pi R_{\text{star}}^2) T_{\text{star}}^4 = 10000 \times \sigma (4\pi R_{\text{sun}}^2) T_{\text{sun}}^4$.
સમાન પદો દૂર કરતા:
$R_{\text{star}}^2 T_{\text{star}}^4 = 10000 R_{\text{sun}}^2 T_{\text{sun}}^4$.
ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર શોધવા માટે:
$\left(\frac{R_{\text{star}}}{R_{\text{sun}}}\right)^2 = 10000 \left(\frac{T_{\text{sun}}}{T_{\text{star}}}\right)^4$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા ($T_{\text{sun}} = 6000 \ K$,$T_{\text{star}} = 2000 \ K$):
$\left(\frac{R_{\text{star}}}{R_{\text{sun}}}\right)^2 = 10000 \left(\frac{6000}{2000}\right)^4 = 10000 \times (3)^4 = 10000 \times 81 = 810000$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{R_{\text{star}}}{R_{\text{sun}}} = \sqrt{810000} = 900$.
આમ,ગુણોત્તર $R_{\text{star}} : R_{\text{sun}} = 900 : 1$ છે.

(B) $0^{\circ} C$ તાપમાને ઘનતા,$\rho_0 = 1.0127 \ g/cm^3$
$100^{\circ} C$ તાપમાને ઘનતા,$\rho_{100} = 1 \ g/cm^3$
પ્રવાહીનો વાસ્તવિક પ્રસરણાંક,$\gamma_{\text{real}} = \frac{\rho_0 - \rho_{100}}{\rho_{100} \times \Delta t}$
$\gamma_{\text{real}} = \frac{1.0127 - 1}{1 \times 100} = 1.27 \times 10^{-4} /^{\circ} C$
કાચનો કદ પ્રસરણાંક,$\gamma_g = 3 \alpha = 3 \times 9 \times 10^{-6} = 0.27 \times 10^{-4} /^{\circ} C$
આભાસી પ્રસરણાંક,$\gamma_{\text{app}} = \gamma_{\text{real}} - \gamma_g = 1.27 \times 10^{-4} - 0.27 \times 10^{-4} = 1 \times 10^{-4} /^{\circ} C$
બહાર નીકળેલું દળ $= m_1 - m_2 = 300 - \frac{300}{1.01} = \frac{3}{1.01} \ g$.

(C) પ્રારંભિક સ્થિતિ: નળીની લંબાઈ $100 \ cm$ છે, જેમાં વચ્ચે $10 \ cm$ નો પારો છે. દરેક બાજુએ હવાની લંબાઈ $(100 - 10) / 2 = 45 \ cm$ છે. પ્રારંભિક દબાણ $P_0 = 76 \ cm$ $Hg$, પ્રારંભિક તાપમાન $T_0 = 31 + 273 = 304 \ K$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $\frac{PV}{T} = \text{અચળ}$ નો ઉપયોગ કરતા, પ્રારંભિક સ્થિતિ માટે: $\frac{P_0 V_0}{T_0} = \frac{76 \times 45}{304}$.
અંતિમ સ્થિતિ: ધારો કે $0^{\circ} C$ $(273 \ K)$ તાપમાને હવાના સ્તંભની નવી લંબાઈ $l$ છે, અને $273^{\circ} C$ $(546 \ K)$ તાપમાને હવાના સ્તંભની લંબાઈ $(90 - l)$ છે. ધારો કે નવું દબાણ $P'$ છે.
પારોનો સ્તંભ સ્થિર હોવાથી, બંને બાજુનું દબાણ સમાન હોવું જોઈએ: $P_2 = P_3 = P'$.
બંને બાજુ માટે વાયુના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{P' l}{273} = \frac{P' (90 - l)}{546} = \frac{76 \times 45}{304}$.
$\frac{P' l}{273} = \frac{P' (90 - l)}{546}$ પરથી, આપણને $2l = 90 - l$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $3l = 90$, તેથી $l = 30 \ cm$.
હવે, $l = 30 \ cm$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{P' \times 30}{273} = \frac{76 \times 45}{304}$.
$P' = \frac{76 \times 45 \times 273}{304 \times 30} = 102.375 \approx 102.4 \ cm$ $Hg$.

(A) ખેંચાયેલી દોરીની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l$ એ લંબાઈ છે,$T$ એ તણાવ છે અને $m$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
પ્રારંભિક આવૃત્તિ: $n_1 = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$.
નવી લંબાઈ: $l' = l - 0.40l = 0.6l$.
નવો તણાવ: $T' = T + 0.44T = 1.44T$.
નવી આવૃત્તિ: $n_2 = \frac{1}{2l'} \sqrt{\frac{T'}{m}} = \frac{1}{2(0.6l)} \sqrt{\frac{1.44T}{m}}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{n_2}{n_1} = \frac{\frac{1}{2(0.6l)} \sqrt{\frac{1.44T}{m}}}{\frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}} = \frac{l}{0.6l} \times \sqrt{\frac{1.44T}{T}} = \frac{1}{0.6} \times \sqrt{1.44} = \frac{1.2}{0.6} = 2$.
તેથી,અંતિમ અને પ્રારંભિક આવૃત્તિનો ગુણોત્તર $2: 1$ છે.

(B) લંબાઈ $l$,ત્રિજ્યા $r$,ઘનતા $\rho$ અને તણાવ $T$ ધરાવતી દોરી માટે $p$-મો હાર્મોનિક (અથવા $(p-1)$-મો ઓવરટોન) ની આવૃત્તિ $f = \frac{p}{2l} \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 \rho}} = \frac{p}{2lr} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દોરી $A$ માટે,પ્રથમ ઓવરટોન એ બીજો હાર્મોનિક $(p=2)$ છે:
$f_A = \frac{2}{2l_A r_A} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}} = \frac{1}{l_A r_A} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
દોરી $B$ માટે,બીજો ઓવરટોન એ ત્રીજો હાર્મોનિક $(p=3)$ છે:
$f_B = \frac{3}{2l_B r_B} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
આપેલ છે કે $f_A = f_B$ અને $r_A = 2r_B$:
$\frac{1}{l_A r_A} = \frac{3}{2l_B r_B}$.
$r_A = 2r_B$ મૂકતા:
$\frac{1}{l_A (2r_B)} = \frac{3}{2l_B r_B}$.
$\frac{1}{2l_A} = \frac{3}{2l_B}$.
$\frac{l_A}{l_B} = \frac{1}{3}$.
આમ,લંબાઈનો ગુણોત્તર $l_A : l_B = 1 : 3$ છે.

(C) વિધાન $A$ માટે:
ગતિઊર્જા $KE = \frac{1}{2} m v^2$. પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે અને તેના પર અચળ બળ $F$ લાગે છે,તેથી તેનો પ્રવેગ $a = F/m$ અચળ છે.
આમ,$v = at$,અને $KE = \frac{1}{2} m (at)^2 = \frac{1}{2} m a^2 t^2$.
ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફારનો દર $\frac{d(KE)}{dt} = \frac{d}{dt} (\frac{1}{2} m a^2 t^2) = m a^2 t$ છે.
અહીં $\frac{d(KE)}{dt} \propto t$ હોવાથી,ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર સમય સાથે રેખીય રીતે બદલાય છે. તેથી,વિધાન $A$ સાચું છે.
વિધાન $B$ માટે:
સ્થિર પદાર્થ ત્યારે જ સંતુલનમાં હોય જો તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોય. પદાર્થ ક્ષણિક રીતે સ્થિર હોઈ શકે છે (દા.ત.,ઉપર ફેંકાયેલો દડો તેના મહત્તમ બિંદુએ) જ્યારે તેના પર શૂન્યતર પરિણામી બળ (ગુરુત્વાકર્ષણ) લાગતું હોય. તેથી,તે હંમેશા સંતુલનમાં હોય તે જરૂરી નથી. આમ,વિધાન $B$ ખોટું છે.

(C) પ્રિઝમનો વક્રીભવનાંક $\mu$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\mu = \frac{\sin(\frac{A + \delta_m}{2})}{\sin(\frac{A}{2})}$.
આપેલ છે કે લઘુત્તમ વિચલનનો ખૂણો $\delta_m = A$ છે,તેથી આપણે આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકીએ:
$\mu = \frac{\sin(\frac{A + A}{2})}{\sin(\frac{A}{2})} = \frac{\sin(A)}{\sin(\frac{A}{2})}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(A) = 2\sin(\frac{A}{2})\cos(\frac{A}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\mu = \frac{2\sin(\frac{A}{2})\cos(\frac{A}{2})}{\sin(\frac{A}{2})} = 2\cos(\frac{A}{2})$.
$A$ ને કર્તા બનાવતા:
$\cos(\frac{A}{2}) = \frac{\mu}{2} \Rightarrow \frac{A}{2} = \cos^{-1}(\frac{\mu}{2}) \Rightarrow A = 2\cos^{-1}(\frac{\mu}{2})$.

(B) ધારો કે ત્રણ અવરોધો $R_1, R_2$ અને $R_3$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{R_1}{R_2} = \frac{1}{2}$,તેથી આપણે $R_1 = k$ અને $R_2 = 2k$ લખી શકીએ.
સમાંતર જોડાણ માટે,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નું સૂત્ર $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$\frac{1}{1} = \frac{1}{k} + \frac{1}{2k} + \frac{1}{R_3}$.
$R_3$ માટે સાદું રૂપ આપતા,$\frac{1}{R_3} = 1 - (\frac{1}{k} + \frac{1}{2k}) = 1 - \frac{3}{2k} = \frac{2k-3}{2k}$.
તેથી,$R_3 = \frac{2k}{2k-3}$.
$R_3$ ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ અને બધા અવરોધો અસમાન હોવા જોઈએ:
જો $k=1$,તો $R_3 = -2$ (અશક્ય).
જો $k=2$,તો $R_1=2, R_2=4, R_3=4$ (અસમાન નથી).
જો $k=3$,તો $R_1=3, R_2=6, R_3=\frac{6}{3} = 2$.
અહીં,$R_1=3, R_2=6, R_3=2$. બધા અસમાન અને પૂર્ણાંક છે.
સૌથી મોટો અવરોધ $6 \ \Omega$ છે.

(D) ધારો કે $R_1 = 400 \Omega$ અને $R_2 = 800 \Omega$.
$1$. વોલ્ટમીટર વગર $400 \Omega$ ના અવરોધ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $(V_1)$:
$V_1 = \frac{R_1}{R_1 + R_2} \times V = \frac{400}{400 + 800} \times 6 = \frac{400}{1200} \times 6 = 2 \text{ V}$.
$2$. વોલ્ટમીટર (અવરોધ $R_v = 10000 \Omega$) સાથે $400 \Omega$ ના અવરોધ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $(V_2)$:
$400 \Omega$ અને $10000 \Omega$ ના સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ:
$R_p = \frac{400 \times 10000}{400 + 10000} = \frac{4000000}{10400} = \frac{40000}{104} \approx 384.62 \Omega$.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = R_p + R_2 = 384.62 + 800 = 1184.62 \Omega$.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{6}{1184.62} \approx 0.005065 \text{ A}$.
વોલ્ટમીટર દ્વારા માપવામાં આવેલ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_2 = I \times R_p = 0.005065 \times 384.62 \approx 1.948 \text{ V}$.
$3$. માપનમાં થતી ભૂલ:
$\text{Error} = V_1 - V_2 = 2 - 1.948 = 0.052 \text{ V}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,ભૂલ આશરે $0.05 \text{ V}$ છે.

(B) આપેલ છે: આંટાની સંખ્યા $N = 1000$,ક્ષેત્રફળ $A = 500 \text{ cm}^2 = 500 \times 10^{-4} \text{ m}^2 = 5 \times 10^{-2} \text{ m}^2$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 2 \times 10^{-5} \text{ Wb/m}^2$,સમયગાળો $\Delta t = 0.2 \text{ s}$.
કોઈલનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ હોવાથી,ક્ષેત્રફળ સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta_1 = 0^{\circ}$ છે.
પ્રારંભિક ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_1 = N B A \cos(0^{\circ}) = N B A$.
કોઈલને $180^{\circ}$ ફેરવ્યા પછી,નવો ખૂણો $\theta_2 = 180^{\circ}$ થાય છે.
અંતિમ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_2 = N B A \cos(180^{\circ}) = -N B A$.
ફ્લક્સમાં ફેરફાર $\Delta \phi = \phi_2 - \phi_1 = -N B A - N B A = -2 N B A$.
પ્રેરિત emf $e = -\frac{\Delta \phi}{\Delta t} = -\frac{-2 N B A}{\Delta t} = \frac{2 N B A}{\Delta t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $e = \frac{2 \times 1000 \times 2 \times 10^{-5} \times 5 \times 10^{-2}}{0.2} = \frac{2 \times 10^3 \times 10 \times 10^{-7}}{0.2} = \frac{2 \times 10^{-3}}{0.2} = 10 \times 10^{-3} \text{ V} = 10 \text{ mV}$.

(D) આપેલ દળ ક્ષતિ,$\Delta m = 0.3 \,g = 0.3 \times 10^{-3} \,kg = 3 \times 10^{-4} \,kg$.
આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઉર્જા સમતુલ્યતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$E = \Delta m c^2$.
કિંમતો મૂકતા,$E = (3 \times 10^{-4} \,kg) \times (3 \times 10^8 \,m/s)^2$.
$E = 3 \times 10^{-4} \times 9 \times 10^{16} = 27 \times 10^{12} \,J$.
જૂલને કિલોવોટ-અવર $(kWh)$ માં ફેરવવા માટે,આપણે $3.6 \times 10^6 \,J/kWh$ વડે ભાગાકાર કરીશું.
$E = \frac{27 \times 10^{12}}{3.6 \times 10^6} \,kWh$.
$E = 7.5 \times 10^6 \,kWh$.

(A) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C_0 = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ પ્લેટોનું ક્ષેત્રફળ છે અને $d$ એ અંતર છે.
શરૂઆતમાં,સંગ્રહિત ચાર્જ $Q = C_0 V_0$ છે.
$(i)$ જ્યારે બેટરી ડિસ્કનેક્ટ કરવામાં આવે છે,ત્યારે ચાર્જ $Q$ અચળ રહે છે. જો અંતર બમણું કરવામાં આવે $(d' = 2d)$,તો નવું કેપેસિટન્સ $C' = \frac{C_0}{2}$ થાય છે. સંગ્રહિત ઉર્જા $E_1 = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{(C_0 V_0)^2}{2(C_0 / 2)} = C_0 V_0^2$ છે.
(ii) જ્યારે બેટરી જોડાયેલી રહે છે,ત્યારે પોટેન્શિયલ $V_0$ અચળ રહે છે. જો અંતર બમણું કરવામાં આવે,તો નવું કેપેસિટન્સ $C' = \frac{C_0}{2}$ થાય છે. સંગ્રહિત ઉર્જા $E_2 = \frac{1}{2} C' V_0^2 = \frac{1}{2} (\frac{C_0}{2}) V_0^2 = \frac{1}{4} C_0 V_0^2$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{E_1}{E_2} = \frac{C_0 V_0^2}{\frac{1}{4} C_0 V_0^2} = 4$ છે.

(B) ધારો કે ત્રણ અવરોધો $R_1, R_2$ અને $R_3$ છે.
આપેલ છે કે $R_1:R_2 = 1:2$,તેથી આપણે લખી શકીએ $R_1 = k$ અને $R_2 = 2k$,જ્યાં $k$ એક ધન પૂર્ણાંક છે.
સમાંતર જોડાણ માટે,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નું સૂત્ર $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}$ છે.
$R_{eq} = 1 \ \Omega$ આપેલ હોવાથી,$1 = \frac{1}{k} + \frac{1}{2k} + \frac{1}{R_3}$.
$R_3$ માટે સાદું રૂપ આપતા: $\frac{1}{R_3} = 1 - (\frac{1}{k} + \frac{1}{2k}) = 1 - \frac{3}{2k} = \frac{2k-3}{2k}$.
તેથી,$R_3 = \frac{2k}{2k-3}$.
$R_3$ ધન પૂર્ણાંક હોવા માટે,$2k-3$ એ $2k$ નો ભાજક હોવો જોઈએ. $\frac{2k}{2k-3} = 1 + \frac{3}{2k-3}$ હોવાથી,$2k-3$ એ $3$ નો ભાજક હોવો જોઈએ.
$3$ ના ભાજકો $1$ અને $3$ છે.
કિસ્સો $1$: $2k-3 = 1 \Rightarrow 2k = 4 \Rightarrow k = 2$. તો $R_1 = 2, R_2 = 4, R_3 = 1 + \frac{3}{1} = 4$. અહીં $R_2 = R_3$ થાય છે,જે અસમાન અવરોધોની શરતનું પાલન કરતું નથી.
કિસ્સો $2$: $2k-3 = 3 \Rightarrow 2k = 6 \Rightarrow k = 3$. તો $R_1 = 3, R_2 = 6, R_3 = 1 + \frac{3}{3} = 2$. બધા અવરોધો અસમાન છે $(3, 6, 2)$.
સૌથી મોટો અવરોધ $6 \ \Omega$ છે.

(C) ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ,$G = 50 \Omega$.
પૂર્ણ સ્કેલ પ્રવાહ,$i_g = 0.05 \text{ A}$.
માપવાનો મહત્તમ પ્રવાહ,$i = 5 \text{ A}$.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ,$A = 2.97 \times 10^{-2} \text{ cm}^2 = 2.97 \times 10^{-6} \text{ m}^2$.
વિશિષ્ટ અવરોધકતા,$\rho = 5 \times 10^{-7} \Omega\text{-m}$.
ગેલ્વેનોમીટરને એમીટરમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે,સમાંતરમાં શંટ અવરોધ $S$ જોડવામાં આવે છે.
$S = \frac{i_g G}{i - i_g} = \frac{0.05 \times 50}{5 - 0.05} = \frac{2.5}{4.95} = \frac{250}{495} = \frac{50}{99} \Omega$.
અવરોધના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$S = \rho \frac{l}{A}$,તેથી $l = \frac{S \cdot A}{\rho}$.
$l = \frac{50}{99} \times \frac{2.97 \times 10^{-6}}{5 \times 10^{-7}} = \frac{50}{99} \times \frac{29.7}{5} = 10 \times 0.3 = 3 \text{ m}$.

(D) $1$. વોલ્ટમીટર વગર $400 \Omega$ ના અવરોધ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $(V_1)$:
$V_1 = \frac{R_1}{R_1 + R_2} \times V = \frac{400}{400 + 800} \times 6 = \frac{400}{1200} \times 6 = 2 \text{ V}$.
$2$. જ્યારે $R_v = 10000 \Omega$ અવરોધ ધરાવતું વોલ્ટમીટર $400 \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે,ત્યારે આ સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $(R_p)$:
$R_p = \frac{400 \times 10000}{400 + 10000} = \frac{4000000}{10400} = \frac{40000}{104} \approx 384.62 \Omega$.
$3$. સમાંતર જોડાણ પરનો નવો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $(V_2)$:
$V_2 = \frac{R_p}{R_p + R_2} \times V = \frac{384.62}{384.62 + 800} \times 6 = \frac{384.62}{1184.62} \times 6 \approx 1.948 \text{ V}$.
$4$. માપનમાં થતી ભૂલ:
$\text{Error} = V_1 - V_2 = 2 - 1.948 = 0.052 \text{ V}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,ભૂલ આશરે $0.05 \text{ V}$ છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનનું ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ $eV_0 = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V_0$ એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ છે અને $\lambda_0$ એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $4.8 = \frac{hc}{e} \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right) \quad \dots (i)$
બીજા કિસ્સા માટે: $1.6 = \frac{hc}{e} \left( \frac{1}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right) \quad \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{4.8}{1.6} = \frac{\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}}{\frac{1}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}}$
$3 = \frac{\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}}{\frac{1}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}}$
$3 \left( \frac{1}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right) = \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}$
$\frac{3}{2\lambda} - \frac{3}{\lambda_0} = \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}$
$\frac{3}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda} = \frac{3}{\lambda_0} - \frac{1}{\lambda_0}$
$\frac{1}{2\lambda} = \frac{2}{\lambda_0}$
$\lambda_0 = 4\lambda$

(D) ફોટોવોલ્ટેઇક કોષોમાં, ઉત્પન્ન થતો ફોટોઇલેક્ટ્રિક પ્રવાહ આપાત પ્રકાશની તીવ્રતાના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે. તેથી, વિધાન $A$ ખોટું છે。
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઇલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, $K_{max} = h\nu - \Phi = \frac{hc}{\lambda} - \Phi$. ફોટોઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max}$ એ આપાત વિકિરણની તરંગલંબાઇ $\lambda$ પર આધાર રાખતી હોવાથી, ફોટોઇલેક્ટ્રોનનો વેગ પણ તરંગલંબાઇ પર આધાર રાખે છે. તેથી, વિધાન $B$ સાચું છે。

(B) આપેલ છે: $N = 1000$,$A = 500 \text{ cm}^2 = 500 \times 10^{-4} \text{ m}^2 = 5 \times 10^{-2} \text{ m}^2$,$B = 2 \times 10^{-5} \text{ Wb/m}^2$,$\Delta t = 0.2 \text{ s}$.
કોઈલનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ હોવાથી,ક્ષેત્રફળ સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta_1 = 0^{\circ}$ છે.
કોઈલ સાથે સંકળાયેલ પ્રારંભિક ચુંબકીય ફ્લક્સ: $\phi_1 = N B A \cos 0^{\circ} = N B A$.
કોઈલને $180^{\circ}$ ફેરવ્યા પછી,નવો ખૂણો $\theta_2 = 180^{\circ}$ થાય છે.
અંતિમ ચુંબકીય ફ્લક્સ: $\phi_2 = N B A \cos 180^{\circ} = -N B A$.
ફ્લક્સમાં ફેરફાર: $\Delta \phi = \phi_2 - \phi_1 = -N B A - N B A = -2 N B A$.
સરેરાશ પ્રેરિત emf: $e = -\frac{\Delta \phi}{\Delta t} = -\frac{-2 N B A}{\Delta t} = \frac{2 N B A}{\Delta t}$.
કિંમતો મૂકતા: $e = \frac{2 \times 1000 \times 2 \times 10^{-5} \times 5 \times 10^{-2}}{0.2} = \frac{2 \times 10^3 \times 10 \times 10^{-7}}{0.2} = \frac{2 \times 10^{-3}}{0.2} = 10 \times 10^{-3} \text{ V} = 10 \text{ mV}$.

(C) બિંદુવત વિદ્યુતભારને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ક્રમિક વિદ્યુતભારો વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવતા હોવાથી, $x = 0$ આગળ કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર એ દરેક વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રોનો સરવાળો છે:
$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{Q}{r_1^2} - \frac{Q}{r_2^2} + \frac{Q}{r_3^2} - \frac{Q}{r_4^2} + \dots \infty \right]$
$E = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{1}{(1 \times 10^{-2})^2} - \frac{1}{(2 \times 10^{-2})^2} + \frac{1}{(4 \times 10^{-2})^2} - \frac{1}{(8 \times 10^{-2})^2} + \dots \infty \right]$
$E = (9 \times 10^9) \times (5 \times 10^{-9}) \times 10^4 \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{4^2} - \frac{1}{8^2} + \dots \infty \right]$
$E = 45 \times 10^4 \left[ 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{16} - \frac{1}{64} + \dots \infty \right]$
આ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = -\frac{1}{4}$ છે.
સરવાળો $S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} = \frac{1}{1 - (-1/4)} = \frac{1}{5/4} = \frac{4}{5}$.
તેથી, $E = 45 \times 10^4 \times \frac{4}{5} = 36 \times 10^4 \text{ N/C}$.

(C) આપેલ છે: વિદ્યુતપ્રવાહ $i = 30 \ A$,બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = 4 \times 10^{-4} \ T$,અંતર $r = 2 \ cm = 2 \times 10^{-2} \ m$.
સીધા તાર દ્વારા $r$ અંતરે ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 i}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $B_2 = \frac{2 \times 10^{-7} \times 30}{2 \times 10^{-2}} = 3 \times 10^{-4} \ T$.
બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1$ તારને સમાંતર હોવાથી,તાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2$ (જે તારની આસપાસના વર્તુળાકાર માર્ગને સ્પર્શક છે) તે $B_1$ ને લંબ છે.
તેથી,પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \sqrt{B_1^2 + B_2^2}$ થશે.
$B = \sqrt{(4 \times 10^{-4})^2 + (3 \times 10^{-4})^2} = \sqrt{16 \times 10^{-8} + 9 \times 10^{-8}} = \sqrt{25 \times 10^{-8}} = 5 \times 10^{-4} \ T$.

(A) આપેલ ગુણોત્તર: $m_1: m_2 = 1: 1$,$q_1: q_2 = 1: 2$,અને $v_1: v_2 = 2: 3$.
સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r$ માટેનું સૂત્ર $r = \frac{mv}{Bq}$ છે.
બંને કણો માટે ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{r_1}{r_2} = \left(\frac{m_1}{m_2}\right) \times \left(\frac{v_1}{v_2}\right) \times \left(\frac{q_2}{q_1}\right)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{r_1}{r_2} = \left(\frac{1}{1}\right) \times \left(\frac{2}{3}\right) \times \left(\frac{2}{1}\right) = \frac{4}{3}$.
તેથી,ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $4: 3$ છે.

(B) આપેલ છે: મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી,$\chi = 499$.
શૂન્યાવકાશની પરમિએબિલિટી,$\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ H/m$.
સળિયાની રિલેટિવ પરમિએબિલિટી (સાપેક્ષ પરમિએબિલિટી) નીચેના સંબંધ દ્વારા મળે છે: $\mu_r = 1 + \chi$.
$\chi$ ની કિંમત મૂકતા: $\mu_r = 1 + 499 = 500$.
નિરપેક્ષ પરમિએબિલિટી $\mu$ નીચે મુજબ મળે છે: $\mu = \mu_r \mu_0$.
કિંમતો મૂકતા: $\mu = 500 \times 4 \pi \times 10^{-7} \ H/m$.
$\mu = 2000 \pi \times 10^{-7} \ H/m$.
$\mu = 2 \pi \times 10^{-4} \ H/m$.

(C) વાઇબ્રેશન મેગ્નેટોમીટરમાં ચુંબકનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MH}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,બે સમાન ચુંબકો એકબીજાને લંબ રૂપે મૂકવામાં આવે છે,તેથી કુલ જડત્વની આઘૂર્ણ $I_{total} = I + I = 2I$ અને પરિણામી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M' = \sqrt{M^2 + M^2} = M\sqrt{2}$ છે.
આમ,$T_1 = 2 \pi \sqrt{\frac{2I}{M\sqrt{2}H}} = 2 \pi \sqrt{\frac{\sqrt{2}I}{MH}}$.
આપેલ છે કે $T_1 = 2^{5/4} \ s$,તેથી $2^{5/4} = 2 \pi \sqrt{\frac{\sqrt{2}I}{MH}}$ ... $(i)$.
જ્યારે એક ચુંબક દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે આવર્તકાળ $T_2 = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MH}}$ થાય છે ... (ii).
સમીકરણ $(i)$ ને (ii) વડે ભાગતા:
$\frac{2^{5/4}}{T_2} = \frac{2 \pi \sqrt{\frac{\sqrt{2}I}{MH}}}{2 \pi \sqrt{\frac{I}{MH}}} = \sqrt{\sqrt{2}} = 2^{1/4}$.
તેથી,$T_2 = \frac{2^{5/4}}{2^{1/4}} = 2^{5/4 - 1/4} = 2^1 = 2 \ s$.

(D) કર્ણ પર સંપૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થવા માટે,આપાતકોણ $i$ એ ક્રાંતિકોણ $C$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ.
પ્રિઝમની ભૂમિતિ પરથી,પ્રકાશનું કિરણ પાયા $BC$ ને સમાંતર ગતિ કરે છે. આપાત કિરણ અને કર્ણના લંબ વચ્ચેનો ખૂણો એ આપાતકોણ $i$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,જો પાયાનો ખૂણો $\theta$ હોય,તો કર્ણ પરનો આપાતકોણ $i = 90^{\circ} - \theta$ થાય.
સંપૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન માટે,$i \geq C$,જ્યાં $\sin C = \frac{1}{\mu}$.
આમ,$90^{\circ} - \theta \geq C \Rightarrow \theta \leq 90^{\circ} - C$.
$\theta$ નું મહત્તમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે $\theta = 90^{\circ} - C$ લઈએ છીએ.
બંને બાજુ કોસાઇન લેતા: $\cos \theta = \cos(90^{\circ} - C) = \sin C$.
કારણ કે $\sin C = \frac{1}{\mu}$,તેથી $\cos \theta = \frac{1}{\mu}$.
તેથી,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{1}{\mu}\right)$.

(A) $n-p-n$ ટ્રાન્ઝિસ્ટરમાં,એમિટર $n$-પ્રકારનું,બેઝ $p$-પ્રકારનું અને કલેક્ટર $n$-પ્રકારનું હોય છે.
જ્યારે તેનો ઉપયોગ એમ્પ્લીફાયર તરીકે થાય છે,ત્યારે બેઝ-એમિટર જંકશન ફોરવર્ડ બાયસમાં અને બેઝ-કલેક્ટર જંકશન રિવર્સ બાયસમાં હોય છે.
ફોરવર્ડ બાયસને કારણે,$n$-પ્રકારના એમિટરમાંથી ઇલેક્ટ્રોન $p$-પ્રકારના બેઝમાં દાખલ થાય છે.
બેઝ ખૂબ જ પાતળો અને ઓછી ડોપિંગ ધરાવતો હોવાથી,આમાંથી મોટાભાગના ઇલેક્ટ્રોન બેઝમાંથી પસાર થઈને કલેક્ટર વિસ્તારમાં જાય છે.
કલેક્ટરને બેઝની સાપેક્ષમાં ધન પોટેન્શિયલ પર રાખવામાં આવે છે,જે આ ઇલેક્ટ્રોનને બેઝથી કલેક્ટર તરફ આકર્ષે છે.
તેથી,ઇલેક્ટ્રોન બેઝથી કલેક્ટર તરફ ગતિ કરે છે.

(D) વિધાન $(A)$ ખોટું છે. ડડેલનું થર્મો ગેલ્વેનોમીટર એક સંવેદનશીલ સાધન છે જે પ્રવાહની ઉષ્મીય અસરનો ઉપયોગ કરીને ડાયરેક્ટ કરંટ $(DC)$ અને અલ્ટરનેટિંગ કરંટ $(AC)$ બંને માપી શકે છે.
વિધાન $(B)$ સાચું છે. થર્મોપાઈલ શ્રેણીમાં જોડાયેલા અનેક થર્મોકપલનું બનેલું હોય છે,જે તેની સંવેદનશીલતા વધારે છે,જેનાથી તે ખૂબ જ નાનો તાપમાનનો તફાવત,સામાન્ય રીતે $10^{-3} {}^{\circ}C$ ના ક્રમનો,માપી શકે છે.

(B) આપેલ તરંગલંબાઇ $\lambda = 6000 Å = 6 \times 10^{-7} \ m$ છે.
યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં અપ્રકાશિત શલાકા માટે પથ તફાવત $\Delta x$ નું સૂત્ર $\Delta x = (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$ છે,જ્યાં $n$ એ અપ્રકાશિત શલાકાનો ક્રમ છે.
ત્રીજી અપ્રકાશિત શલાકા માટે,આપણે $n = 3$ લઈએ છીએ.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta x = (2 \times 3 - 1) \frac{6 \times 10^{-7}}{2} \ m$.
$\Delta x = 5 \times 3 \times 10^{-7} \ m = 15 \times 10^{-7} \ m$.
માઇક્રોનમાં રૂપાંતર કરતા $(1 \mu m = 10^{-6} \ m)$:
$\Delta x = 1.5 \times 10^{-6} \ m = 1.5 \mu m$.