AP EAMCET 2003 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) मान लीजिए कि $p(x)$ को $x^2-a^2$ से विभाजित करने पर शेषफल $R(x) = mx + c$ है,जहाँ $x^2-a^2 = (x-a)(x+a)$ है।
शेषफल प्रमेय के अनुसार,$p(a) = -a$ और $p(-a) = a$ है।
चूँकि $p(x) = (x^2-a^2)q(x) + (mx+c)$ है,इसलिए:
$p(a) = m(a) + c = -a$ ... $(i)$
$p(-a) = m(-a) + c = a$ ... (ii)
$(i)$ में से (ii) को घटाने पर: $2ma = -2a \Rightarrow m = -1$ प्राप्त होता है।
$m = -1$ को $(i)$ में रखने पर: $-a + c = -a \Rightarrow c = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,शेषफल $R(x) = -1(x) + 0 = -x$ है।

(A) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n = \frac{1+2+3+\ldots+n}{(n+1)!}$ है।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग का उपयोग करने पर,$T_n = \frac{n(n+1)}{2(n+1)!} = \frac{n(n+1)}{2(n+1)n(n-1)!} = \frac{1}{2(n-1)!}$।
$n=1$ से $\infty$ तक योग करने पर:
$S = \sum_{n=1}^{\infty} T_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2(n-1)!} = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!}$।
मान लीजिए $k = n-1$,तब जब $n=1, k=0$ और जब $n \to \infty, k \to \infty$।
$S = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \ldots \right) = \frac{1}{2} e$।
अतः,योग $\frac{e}{2}$ है।

(A) माना $x = \cos \frac{2 \pi}{15} \cos \frac{4 \pi}{15} \cos \frac{8 \pi}{15} \cos \frac{14 \pi}{15}$.
चूंकि $\frac{14 \pi}{15} = \pi - \frac{\pi}{15}$,इसलिए $\cos \frac{14 \pi}{15} = -\cos \frac{\pi}{15}$ है।
साथ ही,$\frac{2 \pi}{15} = 24^{\circ}$,$\frac{4 \pi}{15} = 48^{\circ}$,$\frac{8 \pi}{15} = 96^{\circ}$,और $\frac{\pi}{15} = 12^{\circ}$ है।
अतः,$x = -\cos 12^{\circ} \cos 24^{\circ} \cos 48^{\circ} \cos 96^{\circ}$.
सूत्र $\cos \theta \cos 2\theta \cos 4\theta \dots \cos 2^{n-1}\theta = \frac{\sin(2^n \theta)}{2^n \sin \theta}$ का उपयोग करने पर:
$x = -\left( \frac{\sin(2^4 \times 12^{\circ})}{2^4 \sin 12^{\circ}} \right) = -\frac{\sin 192^{\circ}}{16 \sin 12^{\circ}}$.
चूंकि $\sin 192^{\circ} = \sin(180^{\circ} + 12^{\circ}) = -\sin 12^{\circ}$,
इसलिए $x = -\frac{-\sin 12^{\circ}}{16 \sin 12^{\circ}} = \frac{1}{16}$.

(C) दिया गया समीकरण: $(5+4 \cos \theta)(2 \cos \theta+1)=0$
चूंकि $5+4 \cos \theta$ कभी भी $0$ नहीं हो सकता (क्योंकि $-1 \le \cos \theta \le 1$,इसलिए $1 \le 5+4 \cos \theta \le 9$),इसलिए हमारे पास होना चाहिए:
$2 \cos \theta + 1 = 0$
$\cos \theta = -\frac{1}{2}$
अंतराल $[0, 2\pi]$ में,$\theta$ के वे मान जिनके लिए $\cos \theta = -\frac{1}{2}$ है,वे हैं:
$\theta = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ और $\theta = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$
अतः,हल समुच्चय $\left\{\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}\right\}$ है।

(D) हम जानते हैं कि $\sin 6 \theta = \sin 3(2 \theta)$.
सर्वसमिका $\sin 3A = 3 \sin A - 4 \sin^3 A$ का उपयोग करने पर:
$\sin 6 \theta = 3 \sin 2 \theta - 4 \sin^3 2 \theta$.
$\sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin 6 \theta = 3(2 \sin \theta \cos \theta) - 4(2 \sin \theta \cos \theta)^3$
$= 6 \sin \theta \cos \theta - 32 \sin^3 \theta \cos^3 \theta$
$= 6 \sin \theta \cos \theta - 32 \sin \theta \cos^3 \theta (1 - \cos^2 \theta)$
$= 32 \cos^5 \theta \sin \theta - 32 \cos^3 \theta \sin \theta + 3 \sin 2 \theta$.
दिए गए समीकरण से तुलना करने पर,$3x = 3 \sin 2 \theta$,अतः $x = \sin 2 \theta$ प्राप्त होता है।

(A) $\sin (A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ सूत्र का उपयोग करके व्यंजक का विस्तार करें:
$\cos \alpha (\sin \beta \cos \gamma - \cos \beta \sin \gamma) + \cos \beta (\sin \gamma \cos \alpha - \cos \gamma \sin \alpha) + \cos \gamma (\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta)$
पदों का विस्तार करने पर:
$\cos \alpha \sin \beta \cos \gamma - \cos \alpha \cos \beta \sin \gamma + \cos \beta \sin \gamma \cos \alpha - \cos \beta \cos \gamma \sin \alpha + \cos \gamma \sin \alpha \cos \beta - \cos \gamma \cos \alpha \sin \beta$
सभी पद एक-दूसरे से कट जाते हैं,अतः परिणाम $0$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $A+B+C=270^{\circ}$,इसलिए $A+B=270^{\circ}-C$.
सूत्र $\cos 2A+\cos 2B=2 \cos(A+B) \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$\cos 2A+\cos 2B+\cos 2C = 2 \cos(A+B) \cos(A-B) + (2 \cos^2 C - 1)$
$= 2 \cos(270^{\circ}-C) \cos(A-B) + 2 \cos^2 C - 1$
$= 2(-\sin C) \cos(A-B) + 2 \cos^2 C - 1$
$= -2 \sin C \cos(A-B) + 2(1-\sin^2 C) - 1$
$= 1 - 2 \sin C [\cos(A-B) + \sin C]$
चूँकि $C = 270^{\circ}-(A+B)$,इसलिए $\sin C = \sin(270^{\circ}-(A+B)) = -\cos(A+B)$.
$= 1 - 2 \sin C [\cos(A-B) - \cos(A+B)]$
$\cos(A-B) - \cos(A+B) = 2 \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$= 1 - 2 \sin C [2 \sin A \sin B] = 1 - 4 \sin A \sin B \sin C$.

(D) माना मूल प्रणाली में निर्देशांक $(x, y)$ हैं और नई प्रणाली में निर्देशांक $(x', y')$ हैं,जहाँ $\theta = 135^{\circ}$ है।
रूपांतरण समीकरण हैं:
$x' = x \cos \theta + y \sin \theta$
$y' = -x \sin \theta + y \cos \theta$
दिया गया है कि $(x', y') = (4, -3)$ और $\theta = 135^{\circ}$,अतः:
$4 = -\frac{x}{\sqrt{2}} + \frac{y}{\sqrt{2}} \Rightarrow -x + y = 4\sqrt{2} \quad (i)$
$-3 = -\frac{x}{\sqrt{2}} - \frac{y}{\sqrt{2}} \Rightarrow x + y = 3\sqrt{2} \quad (ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर $2y = 7\sqrt{2} \Rightarrow y = \frac{7}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(ii)$ से $(i)$ को घटाने पर $2x = -\sqrt{2} \Rightarrow x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
अतः,मूल प्रणाली में निर्देशांक $(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{7}{\sqrt{2}})$ हैं।

(D) माना $P$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
चूंकि $P$,$A, B, C$ से समान दूरी पर है,इसलिए $PA^2 = PB^2$ और $PB^2 = PC^2$ होगा।
$PA^2 = PB^2$ से:
$(x-1)^2 + (y-3)^2 = (x+3)^2 + (y-5)^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 6y + 9 = x^2 + 6x + 9 + y^2 - 10y + 25$
$8x - 4y + 24 = 0 \Rightarrow 2x - y + 6 = 0$ ... $(i)$
$PB^2 = PC^2$ से:
$(x+3)^2 + (y-5)^2 = (x-5)^2 + (y+1)^2$
$16x - 12y + 8 = 0 \Rightarrow 4x - 3y + 2 = 0$ ... (ii)
समीकरण $(i)$ और (ii) को हल करने पर:
$x = -8$ और $y = -10$ प्राप्त होता है।
अतः,$P$ के निर्देशांक $(-8, -10)$ हैं।
$PA = \sqrt{(-8-1)^2 + (-10-3)^2} = \sqrt{81 + 169} = \sqrt{250} = 5 \sqrt{10}$.

(A) दी गई रेखा का समीकरण $\sqrt{3} \sin \theta + 2 \cos \theta = \frac{4}{r}$ है,जिसे $\sqrt{3} r \sin \theta + 2 r \cos \theta = 4$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$x = r \cos \theta$ और $y = r \sin \theta$ का उपयोग करके कार्तीय निर्देशांक में बदलने पर,हमें $2x + \sqrt{3} y - 4 = 0$ प्राप्त होता है।
इस रेखा की ढाल $m_1 = -\frac{2}{\sqrt{3}}$ है।
इसके लंबवत रेखा की ढाल $m_2 = -\frac{1}{m_1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ होगी।
ध्रुवीय निर्देशांक $\left(-1, \frac{\pi}{2}\right)$ कार्तीय निर्देशांक $(0, -1)$ के अनुरूप है।
$(0, -1)$ से गुजरने वाली और $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - (-1) = \frac{\sqrt{3}}{2}(x - 0)$ है।
$y + 1 = \frac{\sqrt{3}}{2} x \Rightarrow \sqrt{3} x - 2y = 2$.
$x = r \cos \theta$ और $y = r \sin \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\sqrt{3} r \cos \theta - 2 r \sin \theta = 2$ प्राप्त होता है।

(D) रेखाओं का युग्म $Ax^2+2Hxy+By^2=0$ द्वारा दिया गया है।
माना इन रेखाओं के बीच का कोण $2\theta$ है। चूंकि $ax+by+c=0$ रेखा के साथ बना त्रिभुज समबाहु है,इसलिए प्रत्येक रेखाओं के बीच का कोण $60^{\circ}$ है।
रेखाओं $y=m_1x$ और $y=m_2x$ के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left|\frac{2\sqrt{H^2-AB}}{A+B}\right|$ द्वारा दिया जाता है।
समबाहु त्रिभुज के लिए,रेखाओं के बीच का कोण $60^{\circ}$ है,इसलिए $\theta = 30^{\circ}$।
अतः,$\tan 30^{\circ} = \frac{\sqrt{H^2-AB}}{|A+B|}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{1}{3} = \frac{H^2-AB}{(A+B)^2}$।
$(A+B)^2 = 3(H^2-AB)$।
$A^2+B^2+2AB = 3H^2-3AB$।
$A^2+B^2+5AB = 3H^2$।
हमें $(A+3B)(3A+B) = 3A^2+10AB+3B^2$ का मान ज्ञात करना है।
रेखाओं $Ax^2+2Hxy+By^2=0$ के बीच का कोण $60^{\circ}$ होने की शर्त के अनुसार,हम $\cos 60^{\circ} = \frac{|A+B|}{\sqrt{(A-B)^2+4H^2}}$ सूत्र का उपयोग करते हैं।
$\frac{1}{2} = \frac{|A+B|}{\sqrt{(A-B)^2+4H^2}} \implies (A-B)^2+4H^2 = 4(A+B)^2$।
$A^2+B^2-2AB+4H^2 = 4(A^2+B^2+2AB)$।
$4H^2 = 3A^2+3B^2+10AB$।
अतः,$(A+3B)(3A+B) = 3A^2+10AB+3B^2 = 4H^2$।

(A) दिए गए समीकरणों को इस प्रकार गुणनखंडित किया जा सकता है:
पहला युग्म: $(\lambda x + my)(\lambda x - my - n) = 0$,जो रेखाओं $L_1: \lambda x + my = 0$ और $L_2: \lambda x - my = n$ को दर्शाता है।
दूसरा युग्म: $(\lambda x + my)(\lambda x - my + n) = 0$,जो रेखाओं $L_3: \lambda x + my = -n$ और $L_4: \lambda x - my = 0$ को दर्शाता है।
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\left| \frac{(c_1 - c_2)(d_1 - d_2)}{a_1 b_2 - a_2 b_1} \right|$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
यहाँ,क्षेत्रफल $= \left| \frac{(0 - n)(0 - (-n))}{\lambda(-m) - m(\lambda)} \right| = \frac{n^2}{2|\lambda m|}$ वर्ग इकाई।

(A) माना समीकरण $x^3+p x^2-q x+r=0$ के मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
$\alpha+\beta+\gamma = -p$
$\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = -q$
$\alpha \beta \gamma = -r$
दिया गया है कि दो मूलों का योग शून्य है,माना $\alpha + \beta = 0$,जिसका अर्थ है $\beta = -\alpha$।
पहले संबंध में $\alpha + \beta = 0$ रखने पर:
$0 + \gamma = -p \implies \gamma = -p$।
तीसरे संबंध में $\gamma = -p$ रखने पर:
$\alpha \beta (-p) = -r \implies \alpha \beta p = r$।
अब,दूसरे संबंध में $\beta = -\alpha$ रखने पर:
$\alpha(-\alpha) + \gamma(\alpha + \beta) = -q$
$-\alpha^2 + \gamma(0) = -q
-\alpha^2 = -q
\alpha^2 = q$।
चूंकि $\alpha \beta = \alpha(-\alpha) = -\alpha^2 = -q$,इसलिए $\alpha \beta = -q$।
$\alpha \beta p = r$ से,हमें $(-q)p = r$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $-pq = r$,या $pq = -r$।

(C) दिया गया है कि $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $x^3+0x^2+4x+1=0$ के मूल हैं।
विएटा के सूत्रों से:
$\alpha+\beta+\gamma = 0$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 4$
$\alpha\beta\gamma = -1$
चूंकि $\alpha+\beta+\gamma = 0$,हम लिख सकते हैं:
$\alpha+\beta = -\gamma$
$\beta+\gamma = -\alpha$
$\gamma+\alpha = -\beta$
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$(\alpha+\beta)^{-1}+(\beta+\gamma)^{-1}+(\gamma+\alpha)^{-1} = \frac{1}{-\gamma} + \frac{1}{-\alpha} + \frac{1}{-\beta}$
$= -\left(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma}\right) = -\left(\frac{\beta\gamma + \alpha\gamma + \alpha\beta}{\alpha\beta\gamma}\right)$
$= -\left(\frac{4}{-1}\right) = 4$

(D) दी गई व्यंजक: $225+(3 \omega+8 \omega^2)^2+(3 \omega^2+8 \omega)^2$
वर्गों का विस्तार करने पर: $225 + (9 \omega^2 + 64 \omega^4 + 48 \omega^3) + (9 \omega^4 + 64 \omega^2 + 48 \omega^3)$
$\omega^3 = 1$ और $\omega^4 = \omega$ गुणों का उपयोग करने पर: $225 + 9 \omega^2 + 64 \omega + 48 + 9 \omega + 64 \omega^2 + 48$
पदों को समूहित करने पर: $225 + 73(\omega^2 + \omega) + 96$
चूंकि $1 + \omega + \omega^2 = 0$,इसलिए $\omega^2 + \omega = -1$: $225 + 73(-1) + 96$
अंतिम मान: $225 - 73 + 96 = 152 + 96 = 248$

(D) दिया गया है,$\arg(z-2-3i) = \frac{\pi}{4}$.
माना $z = x+iy$.
तब $z-2-3i = (x-2) + i(y-3)$.
चूंकि $\arg(z-2-3i) = \frac{\pi}{4}$,इसलिए $\tan^{-1}\left(\frac{y-3}{x-2}\right) = \frac{\pi}{4}$.
इसका अर्थ है $\frac{y-3}{x-2} = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.
अतः,$y-3 = x-2$,जिसे सरल करने पर $x-y+1 = 0$ प्राप्त होता है.
इस प्रकार,$z$ का बिंदुपथ $x-y+1 = 0$ है.

(B) दिया है $z = x+iy$,इसलिए $z-2-3i = (x-2) + i(y-3)$.
चूंकि $z-2-3i$ का आयाम $\frac{\pi}{4}$ है,इसलिए $\arg((x-2) + i(y-3)) = \frac{\pi}{4}$.
इसका अर्थ है $\tan^{-1}\left(\frac{y-3}{x-2}\right) = \frac{\pi}{4}$.
दोनों पक्षों का टेंजेंट लेने पर,$\frac{y-3}{x-2} = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.
अतः,$y-3 = x-2$,जिसे सरल करने पर $x-y+1=0$ प्राप्त होता है।

(C) दी गई रेखाएँ $y=x+r$ और $y=-x+r$ हैं,जहाँ $r \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है।
ये रेखाएँ वर्गों का एक ग्रिड बनाती हैं।
दो रेखाएँ $y=x+r_1$ और $y=x+r_2$ समानांतर हैं,और उनके बीच की दूरी $\frac{|r_1-r_2|}{\sqrt{2}}$ है।
वर्ग की भुजा की लंबाई $\sqrt{2}$ होने के लिए,$\frac{|r_1-r_2|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ आवश्यक है,जिसका अर्थ है $|r_1-r_2| = 2$।
समुच्चय $r \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ के लिए,$2$ के अंतर वाली जोड़ियाँ $(0, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6)$ हैं। ऐसी $5$ जोड़ियाँ हैं।
इसी प्रकार,$y=-x+r$ रेखाओं के लिए,दो रेखाओं के बीच की दूरी $\frac{|r_3-r_4|}{\sqrt{2}}$ है।
इसे $\sqrt{2}$ के बराबर रखने पर $|r_3-r_4| = 2$ प्राप्त होता है,जो भी $5$ जोड़ियाँ देता है।
निर्मित वर्गों की कुल संख्या प्रत्येक दिशा में $2$ लंबाई के अंतरालों की संख्या का गुणनफल है,जो $5 \times 5 = 25$ है।

(D) कुल बिंदुओं की संख्या $8$ है ($P$ को छोड़कर)। $P$ को शामिल करने पर,हमारे पास कुल $9$ बिंदु हैं।
त्रिभुज बनाने के लिए,हमें $3$ असंरेख बिंदुओं का चयन करना होगा।
$9$ बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं को चुनने के कुल तरीके ${^9C_3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$ हैं।
हालाँकि,एक ही रेखा पर स्थित बिंदु त्रिभुज नहीं बना सकते हैं।
$l_1$ पर स्थित बिंदु ($P$ सहित) $4$ हैं $(A_1, B_1, C_1, P)$। इनमें से $3$ संरेख बिंदुओं को चुनने के तरीके ${^4C_3} = 4$ हैं।
$l_2$ पर स्थित बिंदु ($P$ सहित) $6$ हैं $(A_2, B_2, C_2, D_2, E_2, P)$। इनमें से $3$ संरेख बिंदुओं को चुनने के तरीके ${^6C_3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ हैं।
कुल त्रिभुज = ($3$ बिंदु चुनने के कुल तरीके) - ($l_1$ पर संरेख सेट) - ($l_2$ पर संरेख सेट)
कुल त्रिभुज = $84 - 4 - 20 = 60$।

(A) श्रेणी का $n$वाँ पद $T_n = \frac{1+2+3+\ldots+n}{(n+1) !}$ है।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग का उपयोग करने पर,$T_n = \frac{n(n+1)}{2(n+1)!} = \frac{n}{2(n)!} = \frac{1}{2(n-1)!}$.
$n=1, 2, 3, \ldots$ के लिए,पद $T_1 = \frac{1}{2(0!)}, T_2 = \frac{1}{2(1!)}, T_3 = \frac{1}{2(2!)}, \ldots$ हैं।
योग $S = \sum_{n=1}^{\infty} T_n = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots \right]$.
चूंकि $e = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots$,इसलिए $S = \frac{1}{2} e$.

(A) हमारे पास व्यंजक $(1+x^2)^5(1+x)^4$ है।
द्विपद विस्तार सूत्र $(1+a)^n = \sum_{k=0}^{n} {^nC_k} a^k$ का उपयोग करते हुए:
$(1+x^2)^5 = 1 + 5x^2 + 10x^4 + 10x^6 + \dots$
$(1+x)^4 = 1 + 4x + 6x^2 + 4x^3 + x^4$
$x^5$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,हम दोनों विस्तारों के पदों का गुणा इस प्रकार करते हैं कि उनकी घातों का योग $5$ हो:
$(5x^2) \cdot (4x^3) + (10x^4) \cdot (4x) = 20x^5 + 40x^5 = 60x^5$
अतः,$x^5$ का गुणांक $60$ है।

(B) $(1+x)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{k+1} = {}^{n}C_k x^k$ द्वारा दिया जाता है।
$(2r+1)$-वें पद के लिए,$k = (2r+1)-1 = 2r$ है। गुणांक ${}^{43}C_{2r}$ है।
$(r+2)$-वें पद के लिए,$k = (r+2)-1 = r+1$ है। गुणांक ${}^{43}C_{r+1}$ है।
दिया गया है कि गुणांक समान हैं:
${}^{43}C_{2r} = {}^{43}C_{r+1}$.
गुणधर्म ${}^{n}C_a = {}^{n}C_b$ का उपयोग करने पर,या तो $a = b$ या $a+b = n$ होता है।
स्थिति $1$: $2r = r+1 \Rightarrow r = 1$.
स्थिति $2$: $2r + (r+1) = 43$ $\Rightarrow 3r + 1 = 43$ $\Rightarrow 3r = 42$ $\Rightarrow r = 14$.
चूंकि विकल्पों में $14$ दिया गया है,इसलिए $r = 14$ सही उत्तर है।

(A) दिया गया है $x(y^3 - 1) = 1$,अतः $x = \frac{1}{y^3 - 1}$.
माना $k = \frac{1}{x} = y^3 - 1$.
श्रेणी $S = 2k + \frac{2}{3}k^3 + \frac{2}{5}k^5 + \dots$ है।
हम जानते हैं कि $\log \left( \frac{1+k}{1-k} \right) = 2(k + \frac{k^3}{3} + \frac{k^5}{5} + \dots) = 2k + \frac{2}{3}k^3 + \frac{2}{5}k^5 + \dots$
$k = y^3 - 1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$S = \log \left( \frac{1 + (y^3 - 1)}{1 - (y^3 - 1)} \right) = \log \left( \frac{y^3}{2 - y^3} \right)$.

(D) $\sin(a\theta)$ का आवर्तकाल $\frac{2\pi}{|a|}$ है और $\cos(b\theta)$ का आवर्तकाल $\frac{2\pi}{|b|}$ है।
$f(\theta) = \sin \frac{\theta}{3} + \cos \frac{\theta}{2}$ के लिए, $\sin \frac{\theta}{3}$ का आवर्तकाल $T_1 = \frac{2\pi}{1/3} = 6\pi$ है।
$\cos \frac{\theta}{2}$ का आवर्तकाल $T_2 = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$ है।
दो आवर्ती फलनों के योग का आवर्तकाल उनके व्यक्तिगत आवर्तकालों का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ होता है।
हमें $LCM(6\pi, 4\pi)$ ज्ञात करना है।
$LCM(6, 4) = 12$.
अतः, $f(\theta)$ का आवर्तकाल $12\pi$ है।

(A) दी गई स्पर्श रेखाएँ:
$5x - 12y + 10 = 0$ $\dots$ $(i)$
$-5x + 12y + 16 = 0$ $\dots$ $(ii)$
चूंकि दोनों रेखाओं की ढाल $\frac{5}{12}$ है,इसलिए रेखाएँ समांतर हैं।
समांतर रेखाओं के बीच की दूरी वृत्त का व्यास होती है।
$d = \frac{|10 - (-16)|}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}} = \frac{26}{13} = 2$.
व्यास $2r = 2$ है,इसलिए त्रिज्या $r = 1$ है।

(D) दिया गया है कि वृत्त $S_1 \equiv x^2+y^2+6x-2y+k=0$ और $S_2 \equiv x^2+y^2+2x-6y-15=0$ है।
चूंकि $S_1$,$S_2$ की परिधि को समद्विभाजित करता है,इसलिए $S_1$ और $S_2$ की उभयनिष्ठ जीवा $S_2$ का व्यास होगी।
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ है।
$(x^2+y^2+6x-2y+k) - (x^2+y^2+2x-6y-15) = 0$.
$4x + 4y + k + 15 = 0$.
चूंकि यह जीवा $S_2$ का व्यास है,इसलिए यह $S_2$ के केंद्र से होकर गुजरती है।
$S_2$ का केंद्र $(-g, -f) = (-1, 3)$ है।
$(-1, 3)$ को जीवा के समीकरण में रखने पर:
$4(-1) + 4(3) + k + 15 = 0$.
$-4 + 12 + k + 15 = 0$.
$8 + k + 15 = 0$.
$k + 23 = 0$.
$k = -23$.

(B) माना $P$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
दिए गए वृत्तों के समीकरण:
$S_1: x^2+y^2+2x-4y-20=0$
$S_2: x^2+y^2-4x+2y-44=0$
बिंदु $P(x, y)$ से वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ पर स्पर्श रेखा की लंबाई का वर्ग $x^2+y^2+2gx+2fy+c$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,स्पर्श रेखाओं की लंबाई के वर्गों का अनुपात:
$\frac{x^2+y^2+2x-4y-20}{x^2+y^2-4x+2y-44} = \frac{2}{3}$
तिर्यक गुणा करने पर:
$3(x^2+y^2+2x-4y-20) = 2(x^2+y^2-4x+2y-44)$
$3x^2+3y^2+6x-12y-60 = 2x^2+2y^2-8x+4y-88$
पदों को एक तरफ व्यवस्थित करने पर:
$x^2+y^2+14x-16y+28 = 0$
यह $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ के रूप में एक वृत्त का समीकरण है,जहाँ $2g=14$ और $2f=-16$ है।
अतः,$g=7$ और $f=-8$ है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (-7, 8)$ है।

(A) परवलय की नाभि $S(0,0)$ दी गई है।
नियता का समीकरण $x+y-4=0$ है।
माना $P(x, y)$ परवलय पर कोई बिंदु है।
परिभाषा के अनुसार,$P$ की नाभि से दूरी,$P$ की नियता से दूरी के बराबर होती है,इसलिए $SP^2 = PM^2$।
$SP^2 = (x-0)^2 + (y-0)^2 = x^2 + y^2$।
$P(x, y)$ से रेखा $x+y-4=0$ की लंबवत दूरी $PM = \frac{|x+y-4|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|x+y-4|}{\sqrt{2}}$ है।
अतः,$x^2 + y^2 = \left(\frac{x+y-4}{\sqrt{2}}\right)^2$।
$x^2 + y^2 = \frac{(x+y-4)^2}{2}$।
$2(x^2 + y^2) = x^2 + y^2 + 16 + 2xy - 8x - 8y$।
$x^2 + y^2 - 2xy + 8x + 8y - 16 = 0$।

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $9x^2 + 5y^2 - 18x - 20y - 16 = 0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$9(x^2 - 2x) + 5(y^2 - 4y) = 16$ प्राप्त होता है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$9(x^2 - 2x + 1) + 5(y^2 - 4y + 4) = 16 + 9 + 20$ प्राप्त होता है।
यह $9(x - 1)^2 + 5(y - 2)^2 = 45$ में सरल हो जाता है।
$45$ से विभाजित करने पर,मानक रूप $\frac{(x - 1)^2}{5} + \frac{(y - 2)^2}{9} = 1$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$a^2 = 5$ और $b^2 = 9$ है। चूँकि $b^2 > a^2$,दीर्घवृत्त ऊर्ध्वाधर है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{a^2}{b^2}} = \sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$ है।

(B) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $x^2 - 2y^2 = 2$ है,जिसे $\frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{1} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2 = 2$ और $b^2 = 1$ है।
अनंतस्पर्शी के समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 0$ द्वारा दिए जाते हैं,जो $\frac{x}{\sqrt{2}} - y = 0$ और $\frac{x}{\sqrt{2}} + y = 0$ हैं।
अतिपरवलय पर किसी भी बिंदु $P(x_1, y_1)$ के लिए,अनंतस्पर्शी पर खींचे गए लंबों की लंबाइयों का गुणनफल $\frac{a^2 b^2}{a^2 + b^2}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
$a^2 = 2$ और $b^2 = 1$ का मान रखने पर:
गुणनफल $= \frac{2 \times 1}{2 + 1} = \frac{2}{3}$.

(B) माना $L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{6}} \frac{3 \sin x - \sqrt{3} \cos x}{6x - \pi}$.
चूंकि सीमा $\frac{0}{0}$ के रूप में है,हम $L$'$H$ôpital नियम का उपयोग करते हैं:
$L = \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{6}} \frac{3 \cos x + \sqrt{3} \sin x}{6}$
$x = \frac{\pi}{6}$ रखने पर:
$L = \frac{3(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \sqrt{3}(\frac{1}{2})}{6} = \frac{4\sqrt{3}}{12} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(B) दिया गया सीमा: $\lim _{x \rightarrow a} \frac{a^x - x^a}{x^x - a^a} = -1$.
$L^{\prime}$Hospital नियम का उपयोग करते हुए,अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
अंश का अवकलन: $\frac{d}{dx}(a^x - x^a) = a^x \ln a - a x^{a-1}$.
हर का अवकलन: $\frac{d}{dx}(x^x - a^a) = x^x(1 + \ln x)$.
$x = a$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{a^a \ln a - a \cdot a^{a-1}}{a^a(1 + \ln a)} = -1$.
$\frac{a^a \ln a - a^a}{a^a(1 + \ln a)} = -1$.
अंश और हर को $a^a$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\ln a - 1}{1 + \ln a} = -1$.
$\ln a - 1 = -(1 + \ln a)$.
$\ln a - 1 = -1 - \ln a$.
$2 \ln a = 0$.
$\ln a = 0 \Rightarrow a = e^0 = 1$.

(B) दिया है: $b=20, c=21$ और $\sin A=\frac{3}{5}$.
सर्वसमिका $\cos^2 A = 1 - \sin^2 A$ का उपयोग करने पर:
$\cos^2 A = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.
अतः,$\cos A = \frac{4}{5}$ (मानते हुए कि $A$ एक न्यून कोण है)।
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर: $\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$.
मान रखने पर: $\frac{4}{5} = \frac{20^2+21^2-a^2}{2 \times 20 \times 21}$.
$\frac{4}{5} = \frac{400+441-a^2}{840}$.
$840 \times \frac{4}{5} = 841 - a^2$.
$168 \times 4 = 841 - a^2$.
$672 = 841 - a^2$.
$a^2 = 841 - 672 = 169$.
अतः,$a = \sqrt{169} = 13$.

(B) हम जानते हैं कि त्रिभुज में आधे कोणों के लिए कोटैंजेंट का सूत्र: $\cot \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)}}$ और $\cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}}$ है।
इनका गुणा करने पर: $\cot \frac{B}{2} \cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)} \cdot \frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}} = \sqrt{\frac{s^2}{(s-a)^2}} = \frac{s}{s-a}$।
दिया गया है $3a = b + c$,इसलिए अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{a+3a}{2} = 2a$ है।
$s = 2a$ का मान व्यंजक में रखने पर: $\frac{s}{s-a} = \frac{2a}{2a-a} = \frac{2a}{a} = 2$।

(D) हम जानते हैं कि $\cot \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)}}$ और $\cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}}$ है।
इनका गुणा करने पर,$\cot \frac{B}{2} \cdot \cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)} \cdot \frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}} = \sqrt{\frac{s^2}{(s-a)^2}} = \frac{s}{s-a}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $b+c=3a$,इसलिए अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{a+3a}{2} = 2a$ है।
$s = 2a$ का मान रखने पर,$\frac{s}{s-a} = \frac{2a}{2a-a} = \frac{2a}{a} = 2$ प्राप्त होता है।

(A) हमारे पास त्रिभुज की बाह्य त्रिज्याओं (exradii) के लिए सूत्र हैं:
$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}, r_2 = \frac{\Delta}{s-b}, r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$
दिया गया है कि $r_1 < r_2 < r_3$,इसलिए:
$\frac{\Delta}{s-a} < \frac{\Delta}{s-b} < \frac{\Delta}{s-c}$
चूंकि $\Delta$ त्रिभुज का क्षेत्रफल है जो धनात्मक है,व्युत्क्रम लेने पर असमानता के चिह्न बदल जाएंगे:
$s-a > s-b > s-c$
सभी पदों से $s$ घटाने पर:
$-a > -b > -c$
$-1$ से गुणा करने पर असमानता के चिह्न फिर से बदल जाएंगे:
$a < b < c$

(A) हम जानते हैं कि प्रतिलोम अतिपरवलयिक ज्या (inverse hyperbolic sine) फलन का सूत्र $\sinh^{-1}(x) = \log\{x + \sqrt{x^2 + 1\}}$ है।
सूत्र में $x = 2^{3/2}$ रखने पर:
$\sinh^{-1}(2^{3/2}) = \log\{2^{3/2} + \sqrt{(2^{3/2})^2 + 1\}}$.
चूंकि $2^{3/2} = \sqrt{2^3} = \sqrt{8}$,इसलिए:
$\sinh^{-1}(2^{3/2}) = \log\{\sqrt{8} + \sqrt{8 + 1\}}$.
$= \log\{\sqrt{8} + \sqrt{9\}}$.
$= \log\{3 + \sqrt{8\}}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) दी गई असमिका: $3^x + 3^{1-x} - 4 < 0$ है।
$3^{1-x} = \frac{3}{3^x}$ प्रतिस्थापित करने पर: $3^x + \frac{3}{3^x} - 4 < 0$ प्राप्त होता है।
पूरी असमिका को $3^x$ से गुणा करने पर (चूंकि $3^x > 0$ सभी $x \in R$ के लिए): $(3^x)^2 - 4(3^x) + 3 < 0$।
माना $y = 3^x$ है। असमिका $y^2 - 4y + 3 < 0$ बन जाती है।
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $(y - 1)(y - 3) < 0$।
इसका अर्थ है कि $1 < y < 3$ है।
$y = 3^x$ वापस रखने पर,हमें $1 < 3^x < 3$ प्राप्त होता है।
चूंकि $3^0 = 1$ और $3^1 = 3$,इसलिए $3^0 < 3^x < 3^1$ है।
घातांकों की तुलना करने पर,$0 < x < 1$ प्राप्त होता है।
अतः,हल समुच्चय $(0, 1)$ है।

(A) आंशिक भिन्न अपघटन दिया गया है: $\frac{1}{(1-x)(1-2x)(1-3x)} = \frac{a}{1-x} + \frac{b}{1-2x} + \frac{c}{1-3x}$.
दोनों पक्षों को $(1-x)(1-2x)(1-3x)$ से गुणा करने पर:
$1 = a(1-2x)(1-3x) + b(1-x)(1-3x) + c(1-x)(1-2x)$.
$a$ ज्ञात करने के लिए,$x = 1$ रखें: $1 = a(1-2)(1-3) = a(-1)(-2) = 2a \Rightarrow a = \frac{1}{2}$.
$b$ ज्ञात करने के लिए,$x = \frac{1}{2}$ रखें: $1 = b(1-\frac{1}{2})(1-\frac{3}{2}) = b(\frac{1}{2})(-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{4}b \Rightarrow b = -4$.
$c$ ज्ञात करने के लिए,$x = \frac{1}{3}$ रखें: $1 = c(1-\frac{1}{3})(1-\frac{2}{3}) = c(\frac{2}{3})(\frac{1}{3}) = \frac{2}{9}c \Rightarrow c = \frac{9}{2}$.
अब,$\frac{a}{1} + \frac{b}{3} + \frac{c}{5} = \frac{1/2}{1} + \frac{-4}{3} + \frac{9/2}{5} = \frac{1}{2} - \frac{4}{3} + \frac{9}{10}$.
लघुत्तम समापवर्त्य $30$ लेने पर: $\frac{15}{30} - \frac{40}{30} + \frac{27}{30} = \frac{15 - 40 + 27}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$.

(C) हमें दिया गया है,$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x+2 \sqrt{2x-4}}} + \frac{1}{\sqrt{x-2 \sqrt{2x-4}}}$
$x = 11$ प्रतिस्थापित करने पर:
$f(11) = \frac{1}{\sqrt{11+2 \sqrt{18}}} + \frac{1}{\sqrt{11-2 \sqrt{18}}}$
$f(11) = \frac{1}{\sqrt{11+6 \sqrt{2}}} + \frac{1}{\sqrt{11-6 \sqrt{2}}}$
चूंकि $11+6 \sqrt{2} = (3+\sqrt{2})^2$ और $11-6 \sqrt{2} = (3-\sqrt{2})^2$ है,
अतः $f(11) = \frac{1}{3+\sqrt{2}} + \frac{1}{3-\sqrt{2}}$
$f(11) = \frac{3-\sqrt{2} + 3+\sqrt{2}}{9-2} = \frac{6}{7}$

(D) दिया गया है $t_n = \frac{1}{4}(n+2)(n+3)$.
अतः,$\frac{1}{t_n} = \frac{4}{(n+2)(n+3)}$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{t_n} = 4 \left[ \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3} \right]$.
माना $S = \sum_{n=1}^{2003} \frac{1}{t_n} = 4 \sum_{n=1}^{2003} \left( \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3} \right)$.
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:
$S = 4 \left[ \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{5} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{2005} - \frac{1}{2006} \right) \right]$.
$S = 4 \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2006} \right)$.
$S = 4 \left( \frac{2006 - 3}{3 \times 2006} \right) = 4 \left( \frac{2003}{6018} \right) = \frac{8012}{6018} = \frac{4006}{3009}$.

(B) $\triangle ECD$ में,$\tan 3 \alpha = \frac{h}{CD} \Rightarrow CD = h \cot 3 \alpha \quad \dots(i)$
$\triangle EBD$ में,$\tan 2 \alpha = \frac{h}{BD} \Rightarrow BD = h \cot 2 \alpha \quad \dots(ii)$
$\triangle EAD$ में,$\tan \alpha = \frac{h}{AD} \Rightarrow AD = h \cot \alpha \quad \dots(iii)$
समीकरण $(ii)$ और $(iii)$ से,$AB = AD - BD = h(\cot \alpha - \cot 2 \alpha) \quad \dots(iv)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ से,$BC = BD - CD = h(\cot 2 \alpha - \cot 3 \alpha) \quad \dots(v)$
$(iv)$ को $(v)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{AB}{BC} = \frac{\cot \alpha - \cot 2 \alpha}{\cot 2 \alpha - \cot 3 \alpha} = \frac{\sin 3 \alpha}{\sin \alpha} = \frac{3 \sin \alpha - 4 \sin^3 \alpha}{\sin \alpha} = 3 - 4 \sin^2 \alpha = 1 + 2 \cos 2 \alpha$.

(C) माना कि $XOZ$-समतल बिंदुओं $A(2, 3, 1)$ और $B(6, 7, 1)$ को मिलाने वाली रेखा को $m: n$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,विभाजन बिंदु के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$\left(\frac{m(6)+n(2)}{m+n}, \frac{m(7)+n(3)}{m+n}, \frac{m(1)+n(1)}{m+n}\right)$
चूंकि यह बिंदु $XOZ$-समतल पर स्थित है,इसलिए इसका $y$-निर्देशांक शून्य होना चाहिए।
अतः,$\frac{7m + 3n}{m+n} = 0$
$7m + 3n = 0$
$7m = -3n$
$\frac{m}{n} = -\frac{3}{7}$
इस प्रकार,अनुपात $-3: 7$ है।

(D) हम जानते हैं कि किन्हीं दो घटनाओं $A$ और $B$ के लिए,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ होता है।
अतः,$P(A) + P(B) = P(A \cup B) + P(A \cap B)$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$P(A) + P(B) = 0.8 + 0.3 = 1.1$।
हम जानते हैं कि $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ और $P(\bar{B}) = 1 - P(B)$ होता है।
इस प्रकार,$P(\bar{A}) + P(\bar{B}) = (1 - P(A)) + (1 - P(B)) = 2 - (P(A) + P(B))$।
$P(A) + P(B) = 1.1$ रखने पर,हमें $P(\bar{A}) + P(\bar{B}) = 2 - 1.1 = 0.9$ प्राप्त होता है।

(B) हम जानते हैं कि किसी भी $x \in [-1, 1]$ के लिए,सर्वसमिका $\cos^{-1}(x) + \sin^{-1}(x) = \frac{\pi}{2}$ सत्य है।
दी गई अभिव्यक्ति $\cos \left[\cos ^{-1}\left(-\frac{1}{7}\right)+\sin ^{-1}\left(-\frac{1}{7}\right)\right]$ है।
$x = -\frac{1}{7}$ को सर्वसमिका में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\cos \left[\frac{\pi}{2}\right]$
चूंकि $\cos \frac{\pi}{2} = 0$,इसलिए अभिव्यक्ति का मान $0$ है।

(B) हलों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम प्रणाली को मैट्रिक्स रूप $AX = B$ में लिखते हैं,जहाँ $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & -3 & 2 \\ 1 & 4 & -3 \end{bmatrix}$,$X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$,और $B = \begin{bmatrix} 7 \\ 1 \\ 5 \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,$A$ का सारणिक $(|A|)$ ज्ञात करें:
$|A| = 2((-3)(-3) - (2)(4)) - 1((1)(-3) - (2)(1)) - 1((1)(4) - (-3)(1))$
$|A| = 2(9 - 8) - 1(-3 - 2) - 1(4 + 3)$
$|A| = 2(1) - 1(-5) - 1(7) = 2 + 5 - 7 = 0$.
चूँकि $|A| = 0$ है,प्रणाली या तो असंगत है (कोई हल नहीं) या इसके अनंत हल हैं।
हम ऑगमेंटेड मैट्रिक्स $[A|B]$ का उपयोग करके संगतता की जाँच करते हैं:
$\begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & | & 7 \\ 1 & -3 & 2 & | & 1 \\ 1 & 4 & -3 & | & 5 \end{bmatrix}$
पंक्ति संक्रियाएँ करने पर: $R_1 \leftrightarrow R_2$ से प्राप्त होता है $\begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 & | & 1 \\ 2 & 1 & -1 & | & 7 \\ 1 & 4 & -3 & | & 5 \end{bmatrix}$.
$R_2 \to R_2 - 2R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_1$ से प्राप्त होता है $\begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 & | & 1 \\ 0 & 7 & -5 & | & 5 \\ 0 & 7 & -5 & | & 4 \end{bmatrix}$.
$R_3 \to R_3 - R_2$ से प्राप्त होता है $\begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 & | & 1 \\ 0 & 7 & -5 & | & 5 \\ 0 & 0 & 0 & | & -1 \end{bmatrix}$.
अंतिम पंक्ति इंगित करती है कि $0 = -1$,जो एक विरोधाभास है।
इसलिए,इस प्रणाली का कोई हल नहीं है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} -1, & -2 \leq x \leq 0 \\ x-1, & 0 < x \leq 2 \end{cases}$ है।
हमें $x$ का वह समुच्चय ज्ञात करना है जिसके लिए $x \leq 0$ और $f(|x|) = x$ हो।
चूंकि $x \leq 0$,इसलिए $|x| = -x$ है। यदि $x \in [-2, 0]$ है,तो $|x| \in [0, 2]$ है।
$0 < |x| \leq 2$ के लिए,$f(|x|) = |x| - 1 = -x - 1$ है।
$f(|x|) = x$ रखने पर,हमें $-x - 1 = x$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2x = -1$,इसलिए $x = -\frac{1}{2}$ है।
शर्त $x \leq 0$ की जाँच करने पर,हम देखते हैं कि $x = -\frac{1}{2}$ इस शर्त को पूरा करता है।
यदि $x = 0$ है,तो $f(|0|) = f(0) = -1$ है। लेकिन $x = 0$ है,इसलिए $f(0) \neq 0$ है।
अतः,अभीष्ट समुच्चय $\{-\frac{1}{2}\}$ है।

(B) चूंकि $f(x)$ $x=0$ पर सतत है,इसलिए बायां सीमा और दायां सीमा बराबर होनी चाहिए,अर्थात $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$.
सबसे पहले,दायां सीमा की गणना करें: $\lim_{x \to 0^+} (2x^2+3x-2) = 2(0)^2+3(0)-2 = -2$.
अब,बायां सीमा की गणना करें: $\lim_{x \to 0^-} \frac{\sqrt{1+kx}-\sqrt{1-kx}}{x}$.
अंश का परिमेयकरण करने पर: $\lim_{x \to 0^-} \frac{(\sqrt{1+kx}-\sqrt{1-kx})(\sqrt{1+kx}+\sqrt{1-kx})}{x(\sqrt{1+kx}+\sqrt{1-kx})} = \lim_{x \to 0^-} \frac{(1+kx)-(1-kx)}{x(\sqrt{1+kx}+\sqrt{1-kx})} = \lim_{x \to 0^-} \frac{2kx}{x(\sqrt{1+kx}+\sqrt{1-kx})} = \lim_{x \to 0^-} \frac{2k}{\sqrt{1+kx}+\sqrt{1-kx}} = \frac{2k}{1+1} = k$.
दोनों सीमाओं की तुलना करने पर: $k = -2$.

(B) दिया गया है $x \neq 1$ के लिए $f(x) = \frac{x-1}{2x^2-7x+5}$.
हर का गुणनखंड करने पर: $2x^2-7x+5 = 2x^2-2x-5x+5 = 2x(x-1)-5(x-1) = (2x-5)(x-1)$.
अतः,$x \neq 1$ के लिए,$f(x) = \frac{x-1}{(2x-5)(x-1)} = \frac{1}{2x-5}$.
फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2x-5}, & x \neq 1 \\ -\frac{1}{3}, & x=1 \end{cases}$ है।
अवकलन की परिभाषा के अनुसार,$f^{\prime}(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h}$.
$f^{\prime}(1) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2(1+h)-5} - (-\frac{1}{3})}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2h-3} + \frac{1}{3}}{h}$.
$f^{\prime}(1) = \lim_{h \to 0} \frac{3 + (2h-3)}{3h(2h-3)} = \lim_{h \to 0} \frac{2h}{3h(2h-3)}$.
$f^{\prime}(1) = \lim_{h \to 0} \frac{2}{3(2h-3)} = \frac{2}{3(-3)} = -\frac{2}{9}$.

(B) दिया गया है $f(x) = \frac{x}{1+|x|}$.
$f^{\prime}(0)$ ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज की परिभाषा का उपयोग करते हैं:
$f^{\prime}(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h}$.
चूंकि $f(0) = \frac{0}{1+|0|} = 0$,इसलिए:
$f^{\prime}(0) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{h}{1+|h|} - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{1+|h|}$.
अब,हम बाएँ पक्ष की सीमा और दाएँ पक्ष की सीमा की जाँच करते हैं:
बाएँ पक्ष की सीमा $(h \to 0^-)$: $\lim_{h \to 0^-} \frac{1}{1-h} = 1$.
दाएँ पक्ष की सीमा $(h \to 0^+)$: $\lim_{h \to 0^+} \frac{1}{1+h} = 1$.
चूंकि दोनों सीमाएँ समान हैं,इसलिए $f^{\prime}(0) = 1$ है।

(C) दिया गया है,$u(x, y)=y \log x+x \log y$.
सबसे पहले,हम आंशिक अवकलज $u_x$ और $u_y$ ज्ञात करते हैं:
$u_x = \frac{\partial}{\partial x}(y \log x + x \log y) = \frac{y}{x} + \log y$.
$u_y = \frac{\partial}{\partial y}(y \log x + x \log y) = \log x + \frac{x}{y}$.
अब,व्यंजक $E = u_x u_y - u_x \log x - u_y \log y + \log x \log y$ पर विचार करें।
इस व्यंजक का गुणनखंड इस प्रकार किया जा सकता है:
$E = u_x(u_y - \log x) - \log y(u_y - \log x)$.
$E = (u_x - \log y)(u_y - \log x)$.
$u_x$ और $u_y$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$u_x - \log y = (\frac{y}{x} + \log y) - \log y = \frac{y}{x}$.
$u_y - \log x = (\log x + \frac{x}{y}) - \log x = \frac{x}{y}$.
अतः,$E = (\frac{y}{x}) \times (\frac{x}{y}) = 1$.

(A) दिया गया है कि आयतन के परिवर्तन की दर $\frac{dV}{dt} = 30 \ ft^3 / \text{min}$ है और त्रिज्या $r = 15 \ ft$ है।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें $\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$30 = 4 \pi (15)^2 \frac{dr}{dt}$।
$30 = 4 \pi (225) \frac{dr}{dt} = 900 \pi \frac{dr}{dt}$।
अतः,$\frac{dr}{dt} = \frac{30}{900 \pi} = \frac{1}{30 \pi} \ ft / \text{min}$।

(B) हमें समाकलन $I = \int \frac{1+x+\sqrt{x+x^2}}{\sqrt{x}+\sqrt{1+x}} d x$ दिया गया है।
सबसे पहले,हम अंश को $(1+x) + \sqrt{x(1+x)}$ के रूप में लिखते हैं।
इसे $\sqrt{1+x}(\sqrt{1+x} + \sqrt{x})$ के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है।
इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{\sqrt{1+x}(\sqrt{1+x} + \sqrt{x})}{\sqrt{x} + \sqrt{1+x}} d x$.
अंश और हर से $(\sqrt{1+x} + \sqrt{x})$ पद कट जाएगा।
$I = \int \sqrt{1+x} d x$.
समाकलन के घात नियम $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = 1+x$ और $du = dx$:
$I = \frac{(1+x)^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}(1+x)^{3/2} + C$.

(C) दिया गया है कि अंतराल $[2,6]$ को $n=4$ समान लंबाई के उप-अंतरालों में विभाजित किया गया है।
$h = \frac{6-2}{4} = 1$.
मान लीजिए $f(x) = \frac{1}{x^2-x}$.
$x$ के मान $x_0=2, x_1=3, x_2=4, x_3=5, x_4=6$ हैं।
$y = f(x)$ के संगत मान:
$y_0 = f(2) = \frac{1}{2} = 0.5$
$y_1 = f(3) = \frac{1}{6} \approx 0.1667$
$y_2 = f(4) = \frac{1}{12} \approx 0.0833$
$y_3 = f(5) = \frac{1}{20} = 0.05$
$y_4 = f(6) = \frac{1}{30} \approx 0.0333$
सिम्पसन के नियम का उपयोग करते हुए: $\int_2^6 f(x) dx \approx \frac{h}{3} [y_0 + y_4 + 4(y_1 + y_3) + 2y_2]$
$= \frac{1}{3} [\frac{1}{2} + \frac{1}{30} + 4(\frac{1}{6} + \frac{1}{20}) + 2(\frac{1}{12})]$
$= \frac{1}{3} [\frac{16}{30} + 4(\frac{13}{60}) + \frac{1}{6}]$
$= \frac{1}{3} [\frac{32+52+10}{60}] = \frac{94}{180} = \frac{47}{90} \approx 0.5222$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $y^2 dx + (x^2 - xy + y^2) dy = 0$ है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{-y^2}{x^2 - xy + y^2}$ प्राप्त होता है।
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ होगा।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{-(vx)^2}{x^2 - x(vx) + (vx)^2} = \frac{-v^2}{1 - v + v^2}$।
अतः $x \frac{dv}{dx} = \frac{-v^2}{1 - v + v^2} - v = \frac{-v^2 - v + v^2 - v^3}{1 - v + v^2} = \frac{-(v^3 + v)}{v^2 - v + 1}$।
चरों को अलग करने पर: $\frac{v^2 - v + 1}{v^3 + v} dv = -\frac{1}{x} dx$।
आंशिक भिन्नों का उपयोग करने पर: $\frac{v^2 - v + 1}{v(v^2 + 1)} = \frac{1}{v} - \frac{1}{v^2 + 1}$।
अतः,$(\frac{1}{v} - \frac{1}{v^2 + 1}) dv = -\frac{1}{x} dx$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\log|v| - \tan^{-1}(v) = -\log|x| + C$।
$\log|vx| = \tan^{-1}(v) + C$।
चूंकि $y = vx$,इसलिए $\log|y| = \tan^{-1}(\frac{y}{x}) + C$,अर्थात $\tan^{-1}(\frac{y}{x}) = \log y + C$।

(C) मान लीजिए $E_1$ थैली $X$ चुनने की घटना है और $E_2$ थैली $Y$ चुनने की घटना है। चूंकि एक थैली यादृच्छिक रूप से चुनी जाती है,इसलिए $P(E_1) = P(E_2) = \frac{1}{2}$ है।
मान लीजिए $W$ एक सफेद गेंद निकालने की घटना है।
थैली $X$ से सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता $P(W|E_1) = \frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}$ है।
थैली $Y$ से सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता $P(W|E_2) = \frac{4}{4+2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ है।
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए,सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता $P(W) = P(E_1) \cdot P(W|E_1) + P(E_2) \cdot P(W|E_2)$ है।
$P(W) = \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5}\right) + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}\right) = \frac{1}{5} + \frac{1}{3} = \frac{3+5}{15} = \frac{8}{15}$.

(A) पॉइसन वितरण का प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\lambda$ वितरण का माध्य है।
दी गई शर्त $P(X=2) = 3 P(X=3)$ है।
सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{e^{-\lambda} \lambda^2}{2!} = 3 \cdot \frac{e^{-\lambda} \lambda^3}{3!}$
दोनों पक्षों को $e^{-\lambda} \lambda^2$ से विभाजित करने पर ($\lambda \neq 0$ मानते हुए):
$\frac{1}{2} = 3 \cdot \frac{\lambda}{3 \cdot 2 \cdot 1}$
$\frac{1}{2} = \frac{3 \lambda}{6}$
$\frac{1}{2} = \frac{\lambda}{2}$
$\lambda = 1$।
अतः,पॉइसन वितरण का माध्य $1$ है।

(D) दिया गया है कि यादृच्छिक चर $X$ का माध्य $1.3$ है।
माध्य का सूत्र $\Sigma x_i P(X=x_i) = 1.3$ है।
मान प्रतिस्थापित करने पर: $0 \cdot P(X=0) + 1 \cdot P(X=1) + 2 \cdot P(X=2) + 3 \cdot P(X=3) = 1.3$.
दिया गया है कि $P(X=2) = 0.3$ और $P(X=3) = 2 P(X=1)$,इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$0 + P(X=1) + 2(0.3) + 3(2 P(X=1)) = 1.3$.
$P(X=1) + 0.6 + 6 P(X=1) = 1.3$.
$7 P(X=1) = 0.7$,जिससे $P(X=1) = 0.1$ प्राप्त होता है।
अब,$P(X=3) = 2 P(X=1) = 2(0.1) = 0.2$.
चूंकि सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होता है:
$P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 1$.
$P(X=0) + 0.1 + 0.3 + 0.2 = 1$.
$P(X=0) + 0.6 = 1$.
अतः,$P(X=0) = 0.4$.

(C) दिया गया सारणिक समीकरण: $\left|\begin{array}{ccc}p & b & c \\ p+a & q+b & 2c \\ a & b & r\end{array}\right|=0$ है।
सारणिक के गुणधर्म का उपयोग करके दूसरी पंक्ति को विभाजित करने पर:
$\left|\begin{array}{ccc}p & b & c \\ p & q & c \\ a & b & r\end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc}p & b & c \\ a & b & c \\ a & b & r\end{array}\right| = 0$।
प्रथम सारणिक का विस्तार करने पर: $p(qr - bc) - b(ar - ac) + c(ab - aq) = pqr - pbc - abr + abc + abc - acq = pqr - pbc - abr - acq + 2abc = 0$।
अतः,$pqr - pbc - abr - acq = -2abc$।
अब,व्यंजक $E = \frac{p}{p-a} + \frac{q}{q-b} + \frac{r}{r-c}$ पर विचार करें।
इसे $E = (1 + \frac{a}{p-a}) + (1 + \frac{b}{q-b}) + (1 + \frac{c}{r-c}) = 3 + \frac{a}{p-a} + \frac{b}{q-b} + \frac{c}{r-c}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
वैकल्पिक रूप से,समीकरण $pqr - pbc - abr - acq = -2abc$ को $(p-a)(q-b)(r-c)$ से विभाजित करने पर परिणाम $2$ प्राप्त होता है।

(A) दिए गए सारणिक समीकरण को हल करने पर:
$\left|\begin{array}{ccc}\cos (A+B) & -\sin (A+B) & \cos 2 B \\\sin A & \cos A & \sin B \\-\cos A & \sin A & \cos B\end{array}\right|=0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\cos (A+B)[\cos A \cos B - \sin A \sin B] + \sin (A+B)[\sin A \cos B + \cos A \sin B] + \cos 2 B[\sin^2 A + \cos^2 A] = 0$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ और $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$\cos (A+B) \cos (A+B) + \sin (A+B) \sin (A+B) + \cos 2 B(1) = 0$
$\cos^2 (A+B) + \sin^2 (A+B) + \cos 2 B = 0$
चूंकि $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$,हमें प्राप्त होता है:
$1 + \cos 2 B = 0$
$\cos 2 B = -1$
$2 B = (2 n+1) \pi$
$B = \frac{(2 n+1) \pi}{2} = (2 n+1) \frac{\pi}{2}$

(A) दिया गया है $e^{f(x)}=\frac{10+x}{10-x}$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $f(x)=\log \left(\frac{10+x}{10-x}\right)$ प्राप्त होता है।
हमें संबंध $f(x)=k f\left(\frac{200 x}{100+x^2}\right)$ दिया गया है।
दाहिनी ओर $f(x)$ का व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर:
$f\left(\frac{200 x}{100+x^2}\right) = \log \left( \frac{10 + \frac{200x}{100+x^2}}{10 - \frac{200x}{100+x^2}} \right)$
$= \log \left( \frac{10(100+x^2) + 200x}{10(100+x^2) - 200x} \right)$
$= \log \left( \frac{1000 + 10x^2 + 200x}{1000 + 10x^2 - 200x} \right)$
$= \log \left( \frac{10(x^2 + 20x + 100)}{10(x^2 - 20x + 100)} \right)$
$= \log \left( \frac{(x+10)^2}{(10-x)^2} \right)$
$= 2 \log \left( \frac{10+x}{10-x} \right) = 2f(x)$।
इस मान को दिए गए समीकरण में रखने पर: $f(x) = k \cdot 2f(x)$।
चूंकि $x \in (-10, 10)$ के लिए $f(x) \neq 0$,इसलिए $1 = 2k$,जिसका अर्थ है कि $k = 0.5$।

(D) दिया गया है $f(x) = |x|$ और $g(x) = [x]$।
हमें $x \in R$ का वह समुच्चय ज्ञात करना है जिसके लिए $g(f(x)) \leq f(g(x))$ हो।
फलन का मान रखने पर,हमें $[|x|] \leq |[x]|$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: यदि $x \geq 0$ है,तो $|x| = x$ और $[x] \geq 0$ होता है। असमिका $[x] \leq |[x]|$ बन जाती है। चूंकि $[x]$ एक पूर्णांक है और $[x] \geq 0$ है,इसलिए $|[x]| = [x]$ होता है। अतः $[x] \leq [x]$,जो सभी $x \geq 0$ के लिए सत्य है।
स्थिति $2$: यदि $x < 0$ है,तो मान लीजिए $x = -n - f$,जहाँ $n \geq 0$ एक पूर्णांक है और $0 \leq f < 1$ है। यदि $f=0$ है,तो $x = -n$ (एक पूर्णांक),तब $[|x|] = [n] = n$ और $|[x]| = |-n| = n$ होता है। अतः $n \leq n$ सत्य है।
यदि $0 < f < 1$ है,तो $x = -(n+f)$। $|x| = n+f$,इसलिए $[|x|] = [n+f] = n$ होता है। साथ ही $[x] = [-(n+f)] = -(n+1)$। तब $|[x]| = |-(n+1)| = n+1$ होता है। असमिका $n \leq n+1$ बन जाती है,जो सत्य है।
चूंकि असमिका सभी $x \in R$ के लिए सत्य है,इसलिए हल समुच्चय $R$ है।

(C) दिए गए फलन $f(x) = 2x + 3$ और $g(x) = x^2 + 7$ हैं।
हमें $x$ के वे मान ज्ञात करने हैं जिनके लिए $g(f(x)) = 8$ हो।
सबसे पहले,संयुक्त फलन $g(f(x))$ की गणना करें:
$g(f(x)) = g(2x + 3) = (2x + 3)^2 + 7$.
इसे $8$ के बराबर रखने पर:
$(2x + 3)^2 + 7 = 8$.
दोनों पक्षों से $7$ घटाने पर:
$(2x + 3)^2 = 1$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$2x + 3 = 1$ या $2x + 3 = -1$.
स्थिति $1$: $2x + 3 = 1 \Rightarrow 2x = -2 \Rightarrow x = -1$.
स्थिति $2$: $2x + 3 = -1 \Rightarrow 2x = -4 \Rightarrow x = -2$.
अतः,$x$ के मान $-1$ और $-2$ हैं।

(A) दिए गए वक्र $y=\sin x$ और $y=\cos x$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$\sin x = \cos x$ रखें,जिसका अर्थ है $\tan x = 1$।
अतः,$x = \frac{\pi}{4}$।
अब,$x = \frac{\pi}{4}$ पर स्पर्श रेखाओं की ढाल ज्ञात करें।
$y = \sin x$ के लिए,ढाल $m_1 = \frac{dy}{dx} = \cos x$। $x = \frac{\pi}{4}$ पर,$m_1 = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
$y = \cos x$ के लिए,ढाल $m_2 = \frac{dy}{dx} = -\sin x$। $x = \frac{\pi}{4}$ पर,$m_2 = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$।
वक्रों के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\tan \theta = |\frac{\frac{1}{\sqrt{2}} - (-\frac{1}{\sqrt{2}})}{1 + (\frac{1}{\sqrt{2}})(-\frac{1}{\sqrt{2}})}| = |\frac{\frac{2}{\sqrt{2}}}{1 - \frac{1}{2}}| = |\frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}| = 2\sqrt{2}$।
अतः,$\theta = \tan^{-1}(2\sqrt{2})$।

(C) माना $y = 2x^2 + x - 1$ है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम अवकलन करते हैं $y' = 4x + 1$।
क्रांतिक बिंदुओं के लिए $y' = 0$ रखने पर,$4x + 1 = 0$,जिसका अर्थ है $x = -\frac{1}{4}$।
द्वितीय अवकलज $y'' = 4$ है,जो धनात्मक $(> 0)$ है,जो यह पुष्टि करता है कि फलन का मान $x = -\frac{1}{4}$ पर न्यूनतम है।
$x = -\frac{1}{4}$ को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$y = 2(-\frac{1}{4})^2 + (-\frac{1}{4}) - 1$
$y = 2(\frac{1}{16}) - \frac{1}{4} - 1$
$y = \frac{1}{8} - \frac{2}{8} - \frac{8}{8} = -\frac{9}{8}$।
अतः,न्यूनतम मान $-\frac{9}{8}$ है।

(A) माना कि दो संख्याएँ $x$ और $y$ हैं।
दिया गया है कि $x + y = 20$,इसलिए $y = 20 - x$।
माना कि गुणनफल $P = x^2 y^3$ है।
$y$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $P(x) = x^2(20 - x)^3$ प्राप्त होता है।
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,$P$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dP}{dx} = 2x(20 - x)^3 + x^2 \cdot 3(20 - x)^2(-1) = x(20 - x)^2 [2(20 - x) - 3x] = x(20 - x)^2 (40 - 5x)$।
$\frac{dP}{dx} = 0$ रखने पर,हमें $x = 0$,$x = 20$,या $x = 8$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x$ और $y$ धनात्मक होने चाहिए,इसलिए हम $x = 8$ लेते हैं।
यदि $x = 8$ है,तो $y = 20 - 8 = 12$ होगा।
अतः,वे संख्याएँ $8$ और $12$ हैं।

(D) माना $I = \int (1 + x - x^{-1}) e^{x + x^{-1}} dx$.
हम समाकलन को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int e^{x + x^{-1}} dx + \int (x - x^{-1}) e^{x + x^{-1}} dx$.
$x e^{x + x^{-1}}$ का अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx} (x e^{x + x^{-1}}) = 1 \cdot e^{x + x^{-1}} + x \cdot e^{x + x^{-1}} \cdot (1 - x^{-2}) = e^{x + x^{-1}} + x e^{x + x^{-1}} - x^{-1} e^{x + x^{-1}} = (1 + x - x^{-1}) e^{x + x^{-1}}$.
अतः,$\int (1 + x - x^{-1}) e^{x + x^{-1}} dx = x e^{x + x^{-1}} + C$.

(A) हमें समाकलन $I = \int_0^3 \frac{3x+1}{x^2+9} dx$ का मान ज्ञात करना है।
समाकलन को दो भागों में विभाजित करें:
$I = \int_0^3 \frac{3x}{x^2+9} dx + \int_0^3 \frac{1}{x^2+9} dx$
पहले भाग के लिए,मान लीजिए $u = x^2+9$,तो $du = 2x dx$,इसलिए $x dx = \frac{du}{2}$.
$\int_0^3 \frac{3x}{x^2+9} dx = \frac{3}{2} \int_9^{18} \frac{du}{u} = \frac{3}{2} [\log |u|]_9^{18} = \frac{3}{2} (\log 18 - \log 9) = \frac{3}{2} \log 2 = \log (2^{3/2}) = \log (2\sqrt{2})$.
दूसरे भाग के लिए,सूत्र $\int \frac{1}{x^2+a^2} dx = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ का उपयोग करें:
$\int_0^3 \frac{1}{x^2+3^2} dx = [\frac{1}{3} \tan^{-1}(\frac{x}{3})]_0^3 = \frac{1}{3} (\tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(0)) = \frac{1}{3} (\frac{\pi}{4} - 0) = \frac{\pi}{12}$.
दोनों भागों को जोड़ने पर,हमें $I = \log (2\sqrt{2}) + \frac{\pi}{12}$ प्राप्त होता है।

(B) माना $I = \int_0^1 \sin \left(2 \tan ^{-1} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\right) d x$.
$x = \cos \theta$ रखने पर,$d x = -\sin \theta d \theta$ प्राप्त होता है।
जब $x = 0$,तब $\theta = \frac{\pi}{2}$ और जब $x = 1$,तब $\theta = 0$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int_{\pi/2}^0 \sin \left(2 \tan ^{-1} \sqrt{\frac{1+\cos \theta}{1-\cos \theta}}\right) (-\sin \theta) d \theta$.
सर्वसमिका $\sqrt{\frac{1+\cos \theta}{1-\cos \theta}} = \cot(\theta/2) = \tan(\frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2})$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{\pi/2} \sin \left(2 \tan ^{-1} \tan \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2}\right)\right) \sin \theta d \theta$.
$I = \int_0^{\pi/2} \sin \left(\pi - \theta\right) \sin \theta d \theta = \int_0^{\pi/2} \sin^2 \theta d \theta$.
सर्वसमिका $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{\pi/2} \frac{1 - \cos 2\theta}{2} d \theta = \frac{1}{2} \left[ \theta - \frac{\sin 2\theta}{2} \right]_0^{\pi/2}$.
$I = \frac{1}{2} \left[ (\frac{\pi}{2} - 0) - (0 - 0) \right] = \frac{\pi}{4}$.

(A) माना $f(x) = \int_0^x t e^{t^2} dt$.
समाकलन ज्ञात करने के लिए,$u = t^2$ प्रतिस्थापित करें,जिससे $du = 2t dt$,जिसका अर्थ है $t dt = \frac{1}{2} du$.
जब $t = 0$,तो $u = 0$. जब $t = x$,तो $u = x^2$.
अतः,$f(x) = \int_0^{x^2} \frac{1}{2} e^u du = \frac{1}{2} [e^u]_0^{x^2} = \frac{1}{2} (e^{x^2} - 1)$.
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,$f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करें:
$f'(x) = \frac{1}{2} (e^{x^2} \cdot 2x) = x e^{x^2}$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $x = 0$ प्राप्त होता है।
अब,द्वितीय अवकलज ज्ञात करें:
$f''(x) = e^{x^2} + x(e^{x^2} \cdot 2x) = e^{x^2} (1 + 2x^2)$.
$x = 0$ पर,$f''(0) = e^0 (1 + 0) = 1$.
चूंकि $f''(0) > 0$,इसलिए फलन का $x = 0$ पर स्थानीय न्यूनतम मान है।
न्यूनतम मान $f(0) = \frac{1}{2} (e^0 - 1) = \frac{1}{2} (1 - 1) = 0$ है।

(D) हमारे पास है $\int_{-2}^2 |[x]| \, dx = \int_{-2}^{-1} |[x]| \, dx + \int_{-1}^0 |[x]| \, dx + \int_0^1 |[x]| \, dx + \int_1^2 |[x]| \, dx$.
चूँकि $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है:
$x \in [-2, -1)$ के लिए,$[x] = -2$,अतः $|[x]| = |-2| = 2$.
$x \in [-1, 0)$ के लिए,$[x] = -1$,अतः $|[x]| = |-1| = 1$.
$x \in [0, 1)$ के लिए,$[x] = 0$,अतः $|[x]| = |0| = 0$.
$x \in [1, 2)$ के लिए,$[x] = 1$,अतः $|[x]| = |1| = 1$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\int_{-2}^2 |[x]| \, dx = \int_{-2}^{-1} 2 \, dx + \int_{-1}^0 1 \, dx + \int_0^1 0 \, dx + \int_1^2 1 \, dx$.
$= 2[x]_{-2}^{-1} + [x]_{-1}^0 + 0 + [x]_1^2$.
$= 2(-1 - (-2)) + (0 - (-1)) + (2 - 1)$.
$= 2(1) + 1 + 1 = 4$.

(B) मूल बिंदु $(0,0)$ पर नाभि और $X$-अक्ष पर अक्ष वाले परवलय का मानक समीकरण $y^2 = 2ax + a^2$ है,जहाँ $a$ एक प्राचल है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} = 2a \Rightarrow a = y \frac{dy}{dx}$.
$a$ का मान मूल समीकरण $y^2 = 2ax + a^2$ में रखने पर:
$y^2 = 2x(y \frac{dy}{dx}) + (y \frac{dy}{dx})^2$.
$y$ से भाग देने पर ($y \neq 0$ मानते हुए):
$y = 2x \frac{dy}{dx} + y \left(\frac{dy}{dx}\right)^2$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$y \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = y - 2x \frac{dy}{dx}$,जो $-y \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = 2x \frac{dy}{dx} - y$ के बराबर है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{x \log x^2 + x}{\sin y + y \cos y}$.
चरों को अलग करने पर: $(\sin y + y \cos y) dy = (x \log x^2 + x) dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (\sin y + y \cos y) dy = \int (x \log x^2 + x) dx$.
बाएँ पक्ष के लिए,$\int y \cos y dy$ में खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int y \cos y dy = y \sin y - \int \sin y dy = y \sin y + \cos y$.
अतः,$\int (\sin y + y \cos y) dy = -\cos y + y \sin y + \cos y = y \sin y$.
दाएँ पक्ष के लिए,$\int (x \log x^2 + x) dx = \int (2x \log x + x) dx$.
$\int 2x \log x dx$ के लिए खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $u = \log x$,$dv = 2x dx$ लेने पर,$du = \frac{1}{x} dx$,$v = x^2$ प्राप्त होता है।
$\int 2x \log x dx = x^2 \log x - \int x^2 \cdot \frac{1}{x} dx = x^2 \log x - \int x dx = x^2 \log x - \frac{x^2}{2}$.
$x$ का समाकलन जोड़ने पर: $\int (2x \log x + x) dx = x^2 \log x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^2}{2} + C = x^2 \log x + C$.
दोनों पक्षों की तुलना करने पर: $y \sin y = x^2 \log x + C$.

(A) दिया गया है कि $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$.
दोनों पक्षों का स्वयं के साथ अदिश गुणन (dot product) करने पर:
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a} = (\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}) \cdot (\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$
$|\overrightarrow{a}|^2 = |\overrightarrow{b}|^2 + |\overrightarrow{c}|^2 + 2(\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c})$
चूंकि $\overrightarrow{b}$ और $\overrightarrow{c}$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है,इसलिए उनका अदिश गुणन $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = |\overrightarrow{b}| |\overrightarrow{c}| \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ होगा।
अतः,$a^2 = b^2 + c^2 + 0$
$a^2 = b^2 + c^2$.

(B) दिया गया सदिश समीकरण $\overrightarrow{r}=(1-p-q) \overrightarrow{a}+p \overrightarrow{b}+q \overrightarrow{c}$ है।
हम इसे $\overrightarrow{r} = \overrightarrow{a} - p\overrightarrow{a} - q\overrightarrow{a} + p\overrightarrow{b} + q\overrightarrow{c}$ के रूप में लिख सकते हैं।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\overrightarrow{r} - \overrightarrow{a} = p(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) + q(\overrightarrow{c} - \overrightarrow{a})$ प्राप्त होता है।
यह उस समतल के समीकरण का प्राचलिक रूप है जो स्थिति सदिश $\overrightarrow{a}$ वाले बिंदु से गुजरता है और सदिशों $(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a})$ तथा $(\overrightarrow{c} - \overrightarrow{a})$ के समानांतर है।
चूंकि $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ असमतलीय हैं,सदिश $(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a})$ और $(\overrightarrow{c} - \overrightarrow{a})$ रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं,इस प्रकार यह एक अद्वितीय समतल को परिभाषित करता है।

(A) मान लीजिए कि शीर्षों $A, B, C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ हैं।
चूंकि $D, E, F$ क्रमशः $AB, AC, BC$ के मध्य-बिंदु हैं,इसलिए उनके स्थिति सदिश हैं:
$\vec{d} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$,$\vec{e} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$,$\vec{f} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$।
अब,$\overrightarrow{BE} = \vec{e} - \vec{b} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2} - \vec{b} = \frac{\vec{a} + \vec{c} - 2\vec{b}}{2}$।
और $\overrightarrow{AF} = \vec{f} - \vec{a} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} - \vec{a} = \frac{\vec{b} + \vec{c} - 2\vec{a}}{2}$।
इन दो सदिशों को जोड़ने पर:
$\overrightarrow{BE} + \overrightarrow{AF} = \frac{\vec{a} + \vec{c} - 2\vec{b} + \vec{b} + \vec{c} - 2\vec{a}}{2} = \frac{2\vec{c} - \vec{a} - \vec{b}}{2} = \vec{c} - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$।
चूंकि $\vec{d} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$,इसलिए हमें प्राप्त होता है $\overrightarrow{BE} + \overrightarrow{AF} = \vec{c} - \vec{d} = \overrightarrow{DC}$।

(A) दिया गया है $\overrightarrow{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\overrightarrow{b}=\hat{i}+\hat{j}$,$\overrightarrow{c}=\hat{i}$.
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$ ज्ञात करें:
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0-1) - \hat{j}(0-1) + \hat{k}(1-1) = -\hat{i} + \hat{j}$.
अब,$(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) \times \overrightarrow{c}$ ज्ञात करें:
$(-\hat{i} + \hat{j}) \times \hat{i} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = \hat{k}(0-1) = -\hat{k}$.
हमें दिया गया है $(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) \times \overrightarrow{c} = \lambda \overrightarrow{a} + \mu \overrightarrow{b}$.
सदिशों का मान रखने पर: $-\hat{k} = \lambda(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + \mu(\hat{i} + \hat{j})$.
$-\hat{k} = (\lambda + \mu)\hat{i} + (\lambda + \mu)\hat{j} + \lambda\hat{k}$.
दोनों पक्षों के गुणांकों की तुलना करने पर:
$\hat{i}$ के लिए: $\lambda + \mu = 0$.
$\hat{j}$ के लिए: $\lambda + \mu = 0$.
$\hat{k}$ के लिए: $\lambda = -1$.
अतः,$\lambda + \mu$ का मान $0$ है।

(B) स्थिति सदिशों $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ वाले शीर्षों के त्रिभुज का सदिश क्षेत्रफल निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\text{सदिश क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC})$
चूंकि $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{a}$,इसलिए:
$\text{सदिश क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} ((\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) \times (\overrightarrow{c} - \overrightarrow{a}))$
क्रॉस प्रोडक्ट का विस्तार करने पर:
$\text{सदिश क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a} - \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c} + \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a})$
चूंकि $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a} = 0$,$-\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$,और $-\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c} = \overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}$,हमें प्राप्त होता है:
$\text{सदिश क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} + \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c} + \overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a})$

(B) माना $(1, 1, 1)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $a(x - 1) + b(y - 1) + c(z - 1) = 0$ है $\dots (i)$.
यह $(1, -1, -1)$ से भी गुजरता है,इसलिए $a(1 - 1) + b(-1 - 1) + c(-1 - 1) = 0$,जो $-2b - 2c = 0$ यानी $b + c = 0$ में सरल हो जाता है $\dots (ii)$.
यह समतल $2x - y + z + 5 = 0$ के लंबवत है,इसलिए उनके अभिलंब सदिश परस्पर लंबवत हैं। अतः $2a - b + c = 0$ $\dots (iii)$.
$(ii)$ से,$c = -b$। इसे $(iii)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$2a - b - b = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2a = 2b$,यानी $a = b$।
माना $a = 1$,तो $b = 1$ और $c = -1$।
इन मानों को $(i)$ में रखने पर,$1(x - 1) + 1(y - 1) - 1(z - 1) = 0$ प्राप्त होता है।
$x - 1 + y - 1 - z + 1 = 0$,जो $x + y - z - 1 = 0$ में सरल हो जाता है।

(A) समतल का अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a, b, c$ क्रमशः $X, Y, Z$ अक्षों पर अंतःखंड हैं।
दिया गया है कि समतल $X$-अक्ष पर $4$ का अंतःखंड $(a = 4)$ और $Z$-अक्ष पर $3$ का अंतःखंड $(c = 3)$ बनाता है।
चूंकि समतल $Y$-अक्ष के समांतर है,यह $Y$-अक्ष को किसी भी परिमित दूरी पर नहीं काटता है,जिसका अर्थ है कि $Y$-अक्ष पर अंतःखंड $b$ अनंत है $(b \to \infty)$।
इसलिए,पद $\frac{y}{b}$ का मान $\frac{y}{\infty} = 0$ हो जाता है।
समतल का समीकरण $\frac{x}{4} + \frac{z}{3} = 1$ हो जाता है।
पूरे समीकरण को $12$ से गुणा करने पर,हमें $3x + 4z = 12$ प्राप्त होता है।

(B) एक सिक्के को उछालने पर चित आने की प्रायिकता $p = \frac{1}{2}$ है और पट आने की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{1}{2}$ है।
$n$ बार सिक्का उछालने पर एक भी बार चित न आने की प्रायिकता $P(\text{no heads}) = q^n = (\frac{1}{2})^n$ है।
कम से कम एक बार चित आने की प्रायिकता $P(\text{at least one head}) = 1 - P(\text{no heads}) = 1 - (\frac{1}{2})^n$ है।
दिया गया है कि $1 - (\frac{1}{2})^n > 0.8$,इसलिए:
$1 - 0.8 > (\frac{1}{2})^n$
$0.2 > (\frac{1}{2})^n$
$\frac{1}{5} > \frac{1}{2^n}$
$2^n > 5$.
$n = 2$ के लिए,$2^2 = 4 < 5$.
$n = 3$ के लिए,$2^3 = 8 > 5$.
अतः,$n$ का न्यूनतम मान $3$ है।