AP EAMCET 2003 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,તારા દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $Q = \sigma A T^4 = \sigma (4 \pi r^2) T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $T$ એ સપાટીનું તાપમાન છે.
તેથી,$Q \propto r^2 T^4$.
આપેલ છે: $\frac{Q_{\text{star}}}{Q_{\text{sun}}} = 10,000$,$T_{\text{sun}} = 6000 \ K$,અને $T_{\text{star}} = 2000 \ K$.
ગુણોત્તર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{Q_{\text{star}}}{Q_{\text{sun}}} = \left( \frac{r_{\text{star}}}{r_{\text{sun}}} \right)^2 \times \left( \frac{T_{\text{star}}}{T_{\text{sun}}} \right)^4$.
કિંમતો મૂકતા: $10,000 = \left( \frac{r_{\text{star}}}{r_{\text{sun}}} \right)^2 \times \left( \frac{2000}{6000} \right)^4$.
$10,000 = \left( \frac{r_{\text{star}}}{r_{\text{sun}}} \right)^2 \times \left( \frac{1}{3} \right)^4$.
$10,000 = \left( \frac{r_{\text{star}}}{r_{\text{sun}}} \right)^2 \times \frac{1}{81}$.
$\left( \frac{r_{\text{star}}}{r_{\text{sun}}} \right)^2 = 10,000 \times 81 = 810,000$.
$\frac{r_{\text{star}}}{r_{\text{sun}}} = \sqrt{810,000} = 900$.
આમ,ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $900:1$ છે.

(B) શરૂઆતમાં,જ્યારે $1.0\, kg$ દળ લટકાવવામાં આવે છે,ત્યારે સ્પ્રિંગ $x = 5\, cm = 0.05\, m$ જેટલી ખેંચાય છે. હૂકના નિયમ $F = kx$ મુજબ,જ્યાં $F = mg$:
$k = \frac{mg}{x} = \frac{1.0 \times 10}{0.05} = 200\, N/m$.
હવે,સમાન સ્પ્રિંગ સાથે $M = 2.0\, kg$ દળ લટકાવતા,કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ નીચે મુજબ મળે:
$\omega = \sqrt{\frac{k}{M}} = \sqrt{\frac{200}{2}} = \sqrt{100} = 10\, rad/s$.
બ્લોકને $A = 10\, cm = 0.1\, m$ જેટલા કંપવિસ્તારથી ખેંચીને મુક્ત કરવામાં આવે છે. મહત્તમ વેગ $v_{\max}$ નીચે મુજબ મળે:
$v_{\max} = A\omega = 0.1 \times 10 = 1\, m/s$.

(C) સરળ આવર્ત ગતિમાં પદાર્થની મહત્તમ ઝડપનું સૂત્ર $v_{\max} = a\omega$ છે,જ્યાં $a$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega = \frac{2\pi}{T}$,જ્યાં $T$ એ આવર્તકાળ છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $v_{\max} = a \left( \frac{2\pi}{T} \right)$ મળે છે.
કંપવિસ્તાર $a$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$a = \frac{v_{\max} \times T}{2\pi}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો $v_{\max} = 15 \, cm/s$ અને $T = 628 \, ms = 628 \times 10^{-3} \, s = 0.628 \, s$ છે.
$\pi \approx 3.14$ લેતા,આપણે ગણતરી કરીએ તો $a = \frac{15 \times 0.628}{2 \times 3.14} = \frac{15 \times 0.628}{6.28} = \frac{15 \times 0.628}{10 \times 0.628} = \frac{15}{10} = 1.5 \, cm$.

(B) દોરી માટે $n$-માં હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_n = \frac{n}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu = \pi r^2 \rho$ છે.
આમ,$f_n = \frac{n}{2lr} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
$A$ નો પ્રથમ ઓવરટોન એ બીજો હાર્મોનિક $(n=2)$ છે,તેથી $f_{A,2} = \frac{2}{2l_A r_A} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}} = \frac{1}{l_A r_A} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
$B$ નો બીજો ઓવરટોન એ ત્રીજો હાર્મોનિક $(n=3)$ છે,તેથી $f_{B,3} = \frac{3}{2l_B r_B} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
આપેલ છે કે $f_{A,2} = f_{B,3}$,તેથી $\frac{1}{l_A r_A} = \frac{3}{2l_B r_B}$.
આપેલ છે કે $r_A = 2r_B$,આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{1}{l_A (2r_B)} = \frac{3}{2l_B r_B} \Rightarrow \frac{1}{2l_A} = \frac{3}{2l_B}$.
તેથી,$\frac{l_A}{l_B} = \frac{1}{3}$.

(A) ખેંચાયેલી દોરીની મૂળભૂત આવૃત્તિનું સૂત્ર $n = \frac{1}{2l}\sqrt{\frac{T}{m}}$ છે.
આ સૂત્ર પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $n \propto \frac{\sqrt{T}}{l}$.
તેથી,અંતિમ આવૃત્તિ $n'$ અને પ્રારંભિક આવૃત્તિ $n$ નો ગુણોત્તર $\frac{n'}{n} = \sqrt{\frac{T'}{T}} \times \frac{l}{l'}$ થાય.
આપેલ છે કે લંબાઈ $40\%$ ઘટાડવામાં આવે છે,તેથી નવી લંબાઈ $l' = l - 0.4l = 0.6l = \frac{3}{5}l$ થાય.
આપેલ છે કે તણાવ $44\%$ વધારવામાં આવે છે,તેથી નવો તણાવ $T' = T + 0.44T = 1.44T = \frac{144}{100}T$ થાય.
આ કિંમતોને ગુણોત્તરના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{n'}{n} = \sqrt{\frac{1.44T}{T}} \times \frac{l}{0.6l} = \sqrt{1.44} \times \frac{1}{0.6} = 1.2 \times \frac{1}{0.6} = 2$.
આમ,અંતિમ અને પ્રારંભિક મૂળભૂત આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $2:1$ છે.

(C) ગેલ્વેનોમીટરને એમીટરમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે,ગેલ્વેનોમીટર સાથે સમાંતરમાં શંટ અવરોધ $S$ જોડવામાં આવે છે.
આપેલ છે: ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ $G = 50 \,\Omega$,પૂર્ણ સ્કેલ પ્રવાહ $I_g = 0.05 \,A$,માપવા માટેનો મહત્તમ પ્રવાહ $I = 5 \,A$.
શંટ અવરોધનું સૂત્ર $S = \frac{I_g \cdot G}{I - I_g}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $S = \frac{0.05 \times 50}{5 - 0.05} = \frac{2.5}{4.95} = \frac{250}{495} = \frac{50}{99} \,\Omega$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $S = \frac{\rho \cdot l}{A}$,જ્યાં $\rho = 5 \times 10^{-7} \,\Omega \cdot m$ અને $A = 2.97 \times 10^{-2} \,cm^2 = 2.97 \times 10^{-6} \,m^2$.
લંબાઈ $l$ માટે સૂત્ર: $l = \frac{S \cdot A}{\rho} = \frac{50}{99} \times \frac{2.97 \times 10^{-6}}{5 \times 10^{-7}}$.
$l = \frac{50}{99} \times \frac{29.7 \times 10^{-7}}{5 \times 10^{-7}} = \frac{50}{99} \times 5.94 = \frac{297}{99} = 3 \,m$.

(A) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r$ નું સૂત્ર $r = \frac{mv}{qB}$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર:
દળનો ગુણોત્તર: $\frac{m_1}{m_2} = \frac{1}{1}$
વિદ્યુતભારનો ગુણોત્તર: $\frac{q_1}{q_2} = \frac{1}{2}$
ઝડપનો ગુણોત્તર: $\frac{v_1}{v_2} = \frac{2}{3}$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ બંને માટે સમાન હોવાથી,ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર:
$\frac{r_1}{r_2} = \left( \frac{m_1}{m_2} \right) \times \left( \frac{v_1}{v_2} \right) \times \left( \frac{q_2}{q_1} \right)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{r_1}{r_2} = \left( \frac{1}{1} \right) \times \left( \frac{2}{3} \right) \times \left( \frac{2}{1} \right) = \frac{4}{3}$
તેથી,ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $4:3$ છે.

(D) ધારો કે $\alpha$ એ પાયાના ખૂણાનું મહત્તમ મૂલ્ય છે જેના માટે પ્રકાશ કર્ણ પરથી સંપૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન પામે છે.
કાટકોણ પ્રિઝમની ભૂમિતિ પરથી,કર્ણ પર આપાતકોણ $i$ એ $(90^\circ - \alpha)$ છે.
સંપૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થવા માટે,આપાતકોણ એ ક્રાંતિકોણ $C$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ,જ્યાં $\sin C = \frac{1}{\mu}$ છે.
આમ,સીમાંત કિસ્સા માટે (મહત્તમ ખૂણો $\alpha$):
$i = C$
$90^\circ - \alpha = C$
બંને બાજુ સાઈન (sine) લેતા:
$\sin(90^\circ - \alpha) = \sin C$
$\cos \alpha = \frac{1}{\mu}$
તેથી,પાયાના ખૂણાનું મહત્તમ મૂલ્ય:
$\alpha = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\mu}\right)$

(B) એસ્પિરિન (એસેટિલસેલિસિલિક એસિડ) એ સેલિસિલિક એસિડના એસિટિલેશન દ્વારા બનાવવામાં આવે છે. જ્યારે સેલિસિલિક એસિડ $H_2SO_4$ જેવા એસિડ ઉદ્દીપકની હાજરીમાં એસિટિક એનહાઇડ્રાઇડ સાથે પ્રક્રિયા કરે છે,ત્યારે ફિનોલિક $-OH$ ગ્રુપનું એસિટિલેશન થઈને એસ્ટર બને છે,જે એસ્પિરિન આપે છે.
પ્રક્રિયા નીચે મુજબ છે:
$\text{Salicylic acid} + (CH_3CO)_2O \xrightarrow{H_2SO_4} \text{Aspirin} + CH_3COOH$
આમ,સાચું સંયોજન સેલિસિલિક એસિડ છે,જે વિકલ્પ $(B)$ માં આપેલ છે.

(D) આપેલ પદાવલિ: $225 + (3\omega + 8\omega^2)^2 + (3\omega^2 + 8\omega)^2$
$1 + \omega + \omega^2 = 0$ હોવાથી,$\omega^2 = -1 - \omega$ થાય.
પદોમાં $\omega^2$ ની કિંમત મૂકતા:
$(3\omega + 8\omega^2) = 3\omega + 8(-1 - \omega) = -5\omega - 8$.
$(3\omega^2 + 8\omega) = 3(-1 - \omega) + 8\omega = 5\omega - 3$.
હવે,વર્ગનું વિસ્તરણ કરતા:
$(-5\omega - 8)^2 = 25\omega^2 + 80\omega + 64$.
$(5\omega - 3)^2 = 25\omega^2 - 30\omega + 9$.
સરવાળો કરતા: $25\omega^2 + 80\omega + 64 + 25\omega^2 - 30\omega + 9 = 50\omega^2 + 50\omega + 73$.
$50(\omega^2 + \omega) = 50(-1) = -50$ નો ઉપયોગ કરતા:
પરિણામ $= 225 - 50 + 73 = 248$.

(C) આપેલ ત્રિઘાત સમીકરણ $x^3 + 0x^2 + 4x + 1 = 0$ છે,જેના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha + \beta + \gamma = 0$
$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = 4$
$\alpha\beta\gamma = -1$
$\alpha + \beta + \gamma = 0$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ કે $\alpha + \beta = -\gamma$,$\beta + \gamma = -\alpha$,અને $\gamma + \alpha = -\beta$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$(\alpha + \beta)^{-1} + (\beta + \gamma)^{-1} + (\gamma + \alpha)^{-1} = \frac{1}{-\gamma} + \frac{1}{-\alpha} + \frac{1}{-\beta} = -(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma})$
$= -(\frac{\beta\gamma + \alpha\gamma + \alpha\beta}{\alpha\beta\gamma})$
$= -(\frac{4}{-1}) = 4$.

(D) ઉકેલોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta$ શોધીએ:
$\Delta = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & -3 & 2 \\ 1 & 4 & -3 \end{vmatrix}$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = 2((-3)(-3) - (2)(4)) - 1((1)(-3) - (2)(1)) - 1((1)(4) - (-3)(1))$
$\Delta = 2(9 - 8) - 1(-3 - 2) - 1(4 + 3)$
$\Delta = 2(1) - 1(-5) - 1(7)$
$\Delta = 2 + 5 - 7 = 0$
કારણ કે $\Delta = 0$ છે,તેથી સિસ્ટમને કાં તો કોઈ ઉકેલ નથી અથવા અનંત ઉકેલો છે.
હવે,પ્રથમ સ્તંભને અચળાંકો $(7, 1, 5)$ વડે બદલીને $\Delta_x$ શોધીએ:
$\Delta_x = \begin{vmatrix} 7 & 1 & -1 \\ 1 & -3 & 2 \\ 5 & 4 & -3 \end{vmatrix} = 7(9 - 8) - 1(-3 - 10) - 1(4 + 15) = 7(1) - 1(-13) - 1(19) = 7 + 13 - 19 = 1 \neq 0$.
કારણ કે $\Delta = 0$ છે અને $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ માંથી ઓછામાં ઓછું એક શૂન્યતર છે,તેથી સિસ્ટમ અસંગત છે.
તેથી,ઉકેલોની સંખ્યા $0$ છે.

(D) $\sin(a\theta)$ નો આવર્તમાન $\frac{2\pi}{|a|}$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ પદ $\sin(\frac{\theta}{3})$ માટે,આવર્તમાન $T_1 = \frac{2\pi}{1/3} = 6\pi$ છે.
બીજા પદ $\cos(\frac{\theta}{2})$ માટે,આવર્તમાન $T_2 = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$ છે.
બે આવર્તી વિધેયોના સરવાળાનો આવર્તમાન તેમના વ્યક્તિગત આવર્તમાનોનો $L.C.M.$ હોય છે.
$6\pi$ અને $4\pi$ નો $L.C.M.$ $12\pi$ થાય છે.
તેથી,$f(\theta)$ નો આવર્તમાન $12\pi$ છે.

(A) આપેલ સ્પર્શકોના સમીકરણો $5x - 12y + 10 = 0$ અને $12y - 5x + 16 = 0$ છે.
બીજા સમીકરણને $ax + by + c = 0$ સ્વરૂપમાં લખતા,આપણને $5x - 12y - 16 = 0$ મળે છે.
સ્પર્શકો સમાંતર હોવાથી,તેમની વચ્ચેનું અંતર એ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
બે સમાંતર રેખાઓ $ax + by + c_1 = 0$ અને $ax + by + c_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$a = 5$,$b = -12$,$c_1 = 10$,અને $c_2 = -16$ છે.
$d = \frac{|10 - (-16)|}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}} = \frac{|26|}{\sqrt{25 + 144}} = \frac{26}{\sqrt{169}} = \frac{26}{13} = 2$.
વ્યાસ $d = 2$ હોવાથી,ત્રિજ્યા $r = \frac{d}{2} = \frac{2}{2} = 1$ થાય.

(A) વ્યાખ્યા મુજબ,પરવલય એવા બિંદુ $P(x, y)$ નો બિંદુગણ છે કે જેથી તેનું નાભિ $S(0, 0)$ થી અંતર અને નિયામિકા $x + y - 4 = 0$ થી લંબ અંતર સમાન હોય.
$SP = PM \implies SP^2 = PM^2$
$x^2 + y^2 = \left( \frac{x + y - 4}{\sqrt{1^2 + 1^2}} \right)^2$
$x^2 + y^2 = \frac{(x + y - 4)^2}{2}$
$2(x^2 + y^2) = x^2 + y^2 + 16 + 2xy - 8x - 8y$
$x^2 + y^2 - 2xy + 8x + 8y - 16 = 0$

(B) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $x^2 - 2y^2 = 2$ છે,જેને $\frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{1} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = 2$ અને $b^2 = 1$ મળે છે.
અતિવલય પરના કોઈપણ બિંદુથી તેના અનંતસ્પર્શકો પર દોરેલા લંબની લંબાઈનો ગુણાકાર $\frac{a^2 b^2}{a^2 + b^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{2 \times 1}{2 + 1} = \frac{2}{3}$ મળે છે.

(B) આપેલ સદિશ સમીકરણ $r = (1 - p - q)a + pb + qc$ છે.
આને $r = a - pa - qa + pb + qc$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $r = a + p(b - a) + q(c - a)$ મળે છે.
આ સમીકરણ $r = a + p(b - a) + q(c - a)$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $p$ અને $q$ અદિશ પ્રાચલો છે.
આ સમીકરણ એવા સમતલને દર્શાવે છે જે સ્થાન સદિશ $a$ ધરાવતા બિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને સદિશો $(b - a)$ તથા $(c - a)$ ને સમાંતર છે.
કારણ કે $a, b, c$ અસમતલીય છે,તેથી સદિશો $(b - a)$ અને $(c - a)$ સુરેખ રીતે સ્વતંત્ર છે,જે સાબિત કરે છે કે આ સમીકરણ એક સમતલ દર્શાવે છે.

(B) $(1, 1, 1)$ માંથી પસાર થતા કોઈપણ સમતલનું સમીકરણ $a(x - 1) + b(y - 1) + c(z - 1) = 0 \dots (i)$ છે.
આ સમતલ $(1, -1, -1)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે આ યામોને $(i)$ માં મૂકીએ:
$a(1 - 1) + b(-1 - 1) + c(-1 - 1) = 0 \implies 0a - 2b - 2c = 0 \implies b + c = 0 \dots (ii)$.
આ સમતલ $2x - y + z + 5 = 0$ ને લંબ છે,તેથી તેમના અભિલંબ સદિશો પરસ્પર લંબ છે. માંગેલ સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (a, b, c)$ છે અને આપેલ સમતલનો અભિલંબ $\vec{n_1} = (2, -1, 1)$ છે.
તેથી,$2a - b + c = 0 \dots (iii)$.
$(ii)$ પરથી,$c = -b$. આ કિંમત $(iii)$ માં મૂકતા:
$2a - b - b = 0 \implies 2a - 2b = 0 \implies a = b$.
ધારો કે $a = 1$,તો $b = 1$ અને $c = -1$.
આ કિંમતોને $(i)$ માં મૂકતા:
$1(x - 1) + 1(y - 1) - 1(z - 1) = 0 \implies x - 1 + y - 1 - z + 1 = 0 \implies x + y - z - 1 = 0$.

(A) સમતલનું અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે સમતલ $y$-અક્ષને સમાંતર છે,તેથી $y$-અંતઃખંડ અનંત છે,જેનો અર્થ છે કે $y$ વાળું પદ સમીકરણમાં આવશે નહીં.
$x$-અંતઃખંડ $a = 4$ છે અને $z$-અંતઃખંડ $c = 3$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\frac{x}{4} + \frac{z}{3} = 1$ મળે છે.
આખા સમીકરણને $12$ વડે ગુણતા,આપણને $3x + 4z = 12$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = 2x + 3$ અને $g(x) = x^2 + 7$.
આપણે $x$ ની કિંમત શોધવાની છે જેથી $g(f(x)) = 8$ થાય.
પ્રથમ,$g(f(x)) = g(2x + 3) = (2x + 3)^2 + 7$ મેળવો.
આ પદાવલિને $8$ ની બરાબર લેતા:
$(2x + 3)^2 + 7 = 8$
$(2x + 3)^2 = 1$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$2x + 3 = \pm 1$
કિસ્સો $1$: $2x + 3 = 1 \implies 2x = -2 \implies x = -1$.
કિસ્સો $2$: $2x + 3 = -1 \implies 2x = -4 \implies x = -2$.
આમ,$x$ ની કિંમતો $-1$ અને $-2$ છે.

(A) વક્રો $y = \sin x$ અને $y = \cos x$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધવા માટે,આપણે પહેલા $\sin x = \cos x$ લઈને તેમનું છેદબિંદુ શોધીએ.
આનાથી $\tan x = 1$ મળે છે,તેથી $x = \pi/4$.
ધારો કે $m_1$ એ પ્રથમ વક્ર $y = \sin x$ નો ઢાળ છે. તો $m_1 = \frac{dy}{dx} = \cos x$. $x = \pi/4$ પર,$m_1 = \cos(\pi/4) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
ધારો કે $m_2$ એ બીજા વક્ર $y = \cos x$ નો ઢાળ છે. તો $m_2 = \frac{dy}{dx} = -\sin x$. $x = \pi/4$ પર,$m_2 = -\sin(\pi/4) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = \left| \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} - (-\frac{1}{\sqrt{2}})}{1 + (\frac{1}{\sqrt{2}})(-\frac{1}{\sqrt{2}})} \right| = \left| \frac{\frac{2}{\sqrt{2}}}{1 - \frac{1}{2}} \right| = \left| \frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} \right| = 2\sqrt{2}$.
આમ,$\theta = \tan^{-1}(2\sqrt{2})$.

(A) આપેલ છે $x(y^3 - 1) = 1$,તેથી $\frac{1}{x} = y^3 - 1$.
$0 < y < 2^{1/3}$ હોવાથી,$0 < y^3 < 2$,તેથી $-1 < y^3 - 1 < 1$.
આમ,$|1/x| < 1$.
આપેલ શ્રેણી $S = 2 \left[ \frac{1}{x} + \frac{1}{3x^3} + \frac{1}{5x^5} + \dots \right]$ છે.
લઘુગણકીય શ્રેણીના વિસ્તરણ $\ln \left( \frac{1+t}{1-t} \right) = 2 \left( t + \frac{t^3}{3} + \frac{t^5}{5} + \dots \right)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $t = 1/x$:
$S = \ln \left( \frac{1 + 1/x}{1 - 1/x} \right) = \ln \left( \frac{x+1}{x-1} \right)$.
$x = \frac{1}{y^3 - 1}$ મૂકતા:
$S = \ln \left( \frac{\frac{1}{y^3 - 1} + 1}{\frac{1}{y^3 - 1} - 1} \right) = \ln \left( \frac{1 + y^3 - 1}{1 - (y^3 - 1)} \right) = \ln \left( \frac{y^3}{2 - y^3} \right)$.

(B) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $x^2 - 2y^2 = 2$ છે,જેને $\frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{1} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2 = 2$ અને $b^2 = 1$ છે.
અનંતસ્પર્શકોના સમીકરણો $\frac{x}{\sqrt{2}} - y = 0$ અને $\frac{x}{\sqrt{2}} + y = 0$ છે.
ધારો કે $P(x_1, y_1)$ અતિવલય પરનું કોઈપણ બિંદુ છે. બિંદુ $P$ થી અનંતસ્પર્શકો પરના લંબની લંબાઈનો ગુણાકાર $\frac{a^2 b^2}{a^2 + b^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{2 \times 1}{2 + 1} = \frac{2}{3}$ મળે છે.

(A) ઇથાઇલ આલ્કોહોલ $(C_2H_5OH)$ એ મિથાઇલ મેગ્નેશિયમ આયોડાઇડ $(CH_3MgI)$ સાથે પ્રક્રિયા કરીને ઇથોક્સી મેગ્નેશિયમ આયોડાઇડ અને મિથેન વાયુ $(CH_4)$ બનાવે છે.
રાસાયણિક પ્રક્રિયા નીચે મુજબ છે:
$C_2H_5OH + CH_3MgI \rightarrow C_2H_5OMgI + CH_4 \uparrow$
આમ,મિથેન વાયુ મુક્ત થાય છે.

(D) ડાયઇથાઇલ ઇથર $(C_2H_5OC_2H_5)$ અને કાર્બન મોનોક્સાઇડ $(CO)$ વચ્ચેની પ્રક્રિયા $BF_3$ જેવા લુઈસ એસિડ ઉદ્દીપકની હાજરીમાં ઊંચા તાપમાને $(150^{\circ}C)$ અને ઊંચા દબાણે $(500 \text{ atm})$ કાર્બોનાઇલેશન પ્રક્રિયા છે.
આ પ્રક્રિયામાં ઇથરના $C-O$ બંધમાં $CO$ ઉમેરાઈને એસ્ટર બનાવે છે.
પ્રક્રિયા: $C_2H_5OC_2H_5 + CO \xrightarrow{BF_3, 150^{\circ}C, 500 \text{ atm}} C_2H_5COOC_2H_5$.
નીપજ $C_2H_5COOC_2H_5$ એ ઇથાઇલ પ્રોપિયોનેટ છે.

(C) એસીટાલ્ડિહાઈડ $(CH_3CHO)$ સોડિયમ બાયસલ્ફાઈટ $(NaHSO_3)$ ના સંતૃપ્ત જલીય દ્રાવણ સાથે પ્રક્રિયા કરીને એસીટાલ્ડિહાઈડ સોડિયમ બાયસલ્ફાઈટ તરીકે ઓળખાતી યોગશીલ નીપજ બનાવે છે.
આ નીપજ સફેદ સ્ફટિકીય અવક્ષેપ છે.
પ્રક્રિયા નીચે મુજબ છે:
$CH_3CHO + NaHSO_3 \rightarrow CH_3CH(OH)SO_3Na$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C_0 = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ ક્ષેત્રફળ છે અને $d$ એ અંતર છે.
શરૂઆતમાં,સંગ્રહિત ચાર્જ $Q = C_0 V_0$ છે.
કિસ્સો $(i)$: બેટરી દૂર કરવામાં આવે છે. ચાર્જ $Q$ અચળ રહે છે. જ્યારે અંતર બમણું થાય છે,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C' = \frac{C_0}{2}$ થાય છે. સંગ્રહિત ઉર્જા $E_1 = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{(C_0 V_0)^2}{2(C_0 / 2)} = C_0 V_0^2$ છે.
કિસ્સો (ii): બેટરી જોડાયેલી રહે છે. પોટેન્શિયલ $V_0$ અચળ રહે છે. જ્યારે અંતર બમણું થાય છે,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C' = \frac{C_0}{2}$ થાય છે. સંગ્રહિત ઉર્જા $E_2 = \frac{1}{2} C' V_0^2 = \frac{1}{2} (\frac{C_0}{2}) V_0^2 = \frac{1}{4} C_0 V_0^2$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{E_1}{E_2} = \frac{C_0 V_0^2}{\frac{1}{4} C_0 V_0^2} = 4$ છે.

(B) એસ્પિરિન (એસેટાઇલસેલિસિલિક એસિડ) એ સેલિસિલિક એસિડના એસિટિલેશન દ્વારા બનાવવામાં આવે છે. જ્યારે સેલિસિલિક એસિડ સાંદ્ર $H_2SO_4$ (ઉદ્દીપક તરીકે) ની હાજરીમાં એસિટિક એનહાઇડ્રાઇડ સાથે પ્રક્રિયા કરે છે,ત્યારે ફિનોલિક $-OH$ સમૂહનું એસિટિલેશન થઈને એસ્ટર સમૂહ $(-OCOCH_3)$ બને છે. પ્રક્રિયા નીચે મુજબ છે:
સેલિસિલિક એસિડ + $(CH_3CO)_2O \xrightarrow{conc. H_2SO_4} \text{એસ્પિરિન} + CH_3COOH$.
આમ,સાચું સંયોજન સેલિસિલિક એસિડ છે,જે વિકલ્પ $B$ ને અનુરૂપ છે.

(C) એસ્ટર $(X = CH_3COOC_2H_5)$ ના એસિડિક જળવિભાજનથી કાર્બોક્સિલિક એસિડ અને આલ્કોહોલ મળે છે.
$CH_3COOC_2H_5 + H_2O \xrightarrow{H^+} CH_3COOH + C_2H_5OH$
અહીં,$CH_3COOH$ (એસેટિક એસિડ) અને $C_2H_5OH$ (ઇથેનોલ) એ બે અલગ કાર્બનિક સંયોજનો છે.

(C) આપેલ દળ $m_1 = 200 \text{ g}$ અને $m_2 = 500 \text{ g}$ છે.
વેગ $v_1 = 10 \hat{i} \text{ m/s}$ અને $v_2 = (3 \hat{i} + 5 \hat{j}) \text{ m/s}$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $(v_{CM})$ શોધવાનું સૂત્ર:
$v_{CM} = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$v_{CM} = \frac{200(10 \hat{i}) + 500(3 \hat{i} + 5 \hat{j})}{200 + 500}$
$v_{CM} = \frac{2000 \hat{i} + 1500 \hat{i} + 2500 \hat{j}}{700}$
$v_{CM} = \frac{3500 \hat{i} + 2500 \hat{j}}{700}$
$v_{CM} = 5 \hat{i} + \frac{25}{7} \hat{j} \text{ m/s}$.

(A) સલ્ફ્યુરિક એસિડ $(H_2SO_4)$ નું એનહાઇડ્રાઇડ સલ્ફર ટ્રાયોક્સાઇડ $(SO_3)$ છે.
$SO_3$ ની રચનામાં,સલ્ફર પરમાણુ ત્રણ ઓક્સિજન પરમાણુઓ સાથે દ્વિ-બંધથી જોડાયેલ છે.
દરેક $S=O$ બંધમાં એક $\sigma$-બંધ અને એક $\pi$-બંધ હોય છે.
તેથી,$SO_3$ માં $3$ $\sigma$-બંધો અને $3$ $\pi$-બંધો છે.

(D) $Cl$ $(Z=17)$ ની ધરા અવસ્થાની ઇલેક્ટ્રોન રચના $[Ne] 3s^2 3p_x^2 3p_y^2 3p_z^1$ છે.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થામાં,$3p$ માંથી એક ઇલેક્ટ્રોન $3d$ માં જાય છે.
બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થામાં,$3p$ માંથી બીજો ઇલેક્ટ્રોન $3d$ માં જાય છે.
ત્રીજી ઉત્તેજિત અવસ્થામાં,$3s$ માંથી એક ઇલેક્ટ્રોન $3d$ માં જાય છે,જેના પરિણામે $7$ અયુગ્મિત ઇલેક્ટ્રોન $(3s^1, 3p_x^1, 3p_y^1, 3p_z^1, 3d^1, 3d^1, 3d^1)$ મળે છે.
આમ,$Cl$ એ $F$ સાથે $7$ બંધ બનાવીને $ClF_7$ બનાવે છે.
તેનું સંકરણ $sp^3d^3$ છે,જે પંચકોણીય દ્વિપિરામિડલ ભૂમિતિ દર્શાવે છે.

(B) જ્યારે $SO_3$ ને ભારે પાણી $(D_2O)$ માં ઓગાળવામાં આવે છે,ત્યારે $D_2SO_4$ (ડ્યુટેરેટેડ સલ્ફ્યુરિક એસિડ) સંયોજન $X$ તરીકે બને છે.
$SO_3 + D_2O \longrightarrow D_2SO_4 (X)$
$D_2SO_4$ માં,મધ્યસ્થ સલ્ફર પરમાણુ બે $OD$ સમૂહો સાથે અને બે ઓક્સિજન પરમાણુઓ સાથે દ્વિબંધ દ્વારા જોડાયેલ છે.
સલ્ફરનો સ્ટેરિક નંબર $4$ છે (બે એકલ બંધ અને બે દ્વિબંધ,જ્યાં સંકરણ માટે દ્વિબંધને એક ઇલેક્ટ્રોન ડોમેન તરીકે ગણવામાં આવે છે).
તેથી,$D_2SO_4$ માં $S$ ની સંકરણ અવસ્થા $sp^3$ છે.

(A) $H_2O$ માં,મધ્યસ્થ ઓક્સિજન પરમાણુ બે હાઇડ્રોજન પરમાણુઓ સાથે જોડાયેલ છે અને તેની પાસે બે અબંધકારક ઇલેક્ટ્રોન યુગ્મ છે.
$VSEPR$ સિદ્ધાંત મુજબ,સ્ટેરિક નંબર $4$ ($2$ બંધકારક યુગ્મ + $2$ અબંધકારક યુગ્મ) છે,જે $sp^3$ સંકરણ સૂચવે છે.
બે અબંધકારક ઇલેક્ટ્રોન યુગ્મની હાજરીને કારણે,ભૂમિતિ વિકૃત થાય છે,જેના પરિણામે તે કોણીય (angular) આકાર ધરાવે છે.

(C) પ્રાયોગિક ડાયપોલ મોમેન્ટ $\mu_{exp} = 1.0 \ D = 1.0 \times 10^{-18} \ esu \ cm$.
સૈદ્ધાંતિક ડાયપોલ મોમેન્ટ $\mu_{theo} = q \times d$,જ્યાં $q = 4.8 \times 10^{-10} \ esu$ (ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર) અને $d = 1.25 \ \mathring{A} = 1.25 \times 10^{-8} \ cm$.
$\mu_{theo} = 1.25 \times 10^{-8} \ cm \times 4.8 \times 10^{-10} \ esu = 6.0 \times 10^{-18} \ esu \ cm = 6.0 \ D$.
ટકાવારી આયનીય ગુણધર્મ $\frac{\mu_{exp}}{\mu_{theo}} \times 100$ દ્વારા મળે છે.
$\text{ટકાવારી આયનીય ગુણધર્મ} = \frac{1.0}{6.0} \times 100 = 16.66 \%$.

(C) પ્રતિક્રિયા $N_{2(g)} + 3H_{2(g)} \rightleftharpoons 2NH_{3(g)}$ છે.
ધારો કે શરૂઆતના મોલ $n(N_2) = 1$,$n(H_2) = 3$,અને $n(NH_3) = 0$ છે.
સંતુલન સમયે,ધારો કે $x$ એ પ્રતિક્રિયાનું પ્રમાણ છે:
$n(N_2) = 1 - x$
$n(H_2) = 3 - 3x$
$n(NH_3) = 2x$
આપેલ છે કે સંતુલન સમયે,$n(N_2) = 0.6$.
તેથી,$1 - x = 0.6 \implies x = 0.4$.
હવે,સંતુલન સમયે દરેક ઘટકના મોલની ગણતરી કરો:
$n(N_2) = 0.6 \text{ mol}$
$n(H_2) = 3 - 3(0.4) = 3 - 1.2 = 1.8 \text{ mol}$
$n(NH_3) = 2(0.4) = 0.8 \text{ mol}$
સંતુલન સમયે કુલ મોલની સંખ્યા એ તમામ વાયુઓના મોલનો સરવાળો છે:
$\text{કુલ મોલ} = n(N_2) + n(H_2) + n(NH_3) = 0.6 + 1.8 + 0.8 = 3.2 \text{ mol}$.

(A) સમૂહ $14$ ના તત્વોમાં ઓક્સિડેશન અવસ્થાઓની સ્થિરતા 'ઇનર્ટ પેર ઇફેક્ટ' (inert pair effect) દ્વારા નક્કી થાય છે.
જેમ આપણે સમૂહમાં $C$ થી $Pb$ તરફ નીચે જઈએ છીએ,તેમ $d$ અને $f$ કક્ષકોની નબળી શીલ્ડિંગ અસરને કારણે $+4$ ઓક્સિડેશન અવસ્થાની સ્થિરતા ઘટે છે,જ્યારે $+2$ ઓક્સિડેશન અવસ્થાની સ્થિરતા વધે છે.
$Pb$ (લેડ) માટે,$+2$ ઓક્સિડેશન અવસ્થા $+4$ કરતા વધુ સ્થિર છે.
તેથી,સાચો ક્રમ $Pb^{2+} > Pb^{4+}$ છે.

(C) ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ,$G = 50 \Omega$.
પૂર્ણ સ્કેલ પ્રવાહ,$i_g = 0.05 \text{ A}$.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ,$A = 2.97 \times 10^{-2} \text{ cm}^2 = 2.97 \times 10^{-6} \text{ m}^2$.
માપવાનો મહત્તમ પ્રવાહ,$i = 5 \text{ A}$.
વિશિષ્ટ અવરોધકતા,$\rho = 5 \times 10^{-7} \Omega\text{-m}$.
ગેલ્વેનોમીટરને એમીટરમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે જરૂરી શંટ અવરોધ $S = \frac{i_g G}{i - i_g}$ દ્વારા મળે છે.
$S = \frac{0.05 \times 50}{5 - 0.05} = \frac{2.5}{4.95} = \frac{250}{495} = \frac{50}{99} \Omega$.
આમ $S = \rho \frac{l}{A}$ હોવાથી,$l = \frac{S \cdot A}{\rho}$.
$l = \frac{50}{99} \times \frac{2.97 \times 10^{-6}}{5 \times 10^{-7}} = \frac{50}{99} \times \frac{29.7}{5} = 10 \times 0.3 = 3 \text{ m}$.

(B) ફેરસ આયન $(Fe^{2+})$ એ એસિડિક હાઇડ્રોજન પેરોક્સાઇડ $(H_2O_2)$ દ્વારા ફેરિક આયન $(Fe^{3+})$ માં ઓક્સિડાઇઝ થાય છે.
અહીં,$X$ એ $Fe^{3+}$ આયન છે.
$Fe^{3+}$ ની ઇલેક્ટ્રોનિક રચના $[Ar] 3d^5$ છે.
તેથી,$d$-ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $5$ છે.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $(\mu)$ ની ગણતરી $\mu = \sqrt{n(n+2)} \ BM$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ અયુગ્મિત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા છે.
$Fe^{3+}$ માટે,$n = 5$.
$\mu = \sqrt{5(5+2)} = \sqrt{35} \approx 5.92 \ BM$.

(B) આઈન્સ્ટાઈનનું ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ $eV_0 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi = \frac{hc}{\lambda_0}$ એ વર્ક ફંક્શન છે અને $\lambda_0$ એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ છે.
આમ,$V_0 = \frac{hc}{e} \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right)$.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $4.8 = \frac{hc}{e} \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right) \quad \dots (i)$
બીજા કિસ્સા માટે: $1.6 = \frac{hc}{e} \left( \frac{1}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right) \quad \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{4.8}{1.6} = \frac{\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}}{\frac{1}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}}$
$3 = \frac{\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}}{\frac{1}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}}$
$3 \left( \frac{1}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right) = \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}$
$\frac{3}{2\lambda} - \frac{3}{\lambda_0} = \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}$
$\frac{3}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda} = \frac{3}{\lambda_0} - \frac{1}{\lambda_0}$
$\frac{1}{2\lambda} = \frac{2}{\lambda_0}$
$\lambda_0 = 4\lambda$.

(D) ફોટોવોલ્ટેઇક કોષોમાં,ઉત્પન્ન થતો ફોટોઇલેક્ટ્રિક પ્રવાહ આપાત પ્રકાશની તીવ્રતાના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે. તેથી,વિધાન $A$ ખોટું છે.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઇલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ફોટોઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = h\nu - \Phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\nu$ એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ છે. આવૃત્તિ $\nu = c/\lambda$ હોવાથી,ગતિઊર્જા અને પરિણામે ફોટોઇલેક્ટ્રોનનો વેગ આપાત વિકિરણની તરંગલંબાઇ $\lambda$ પર આધાર રાખે છે. તેથી,વિધાન $B$ સાચું છે.

(A) એલ્યુમિનિયમના જમા થવા માટેની પ્રક્રિયા: $Al^{3+} + 3e^- \rightarrow Al(s)$.
ફેરાડેના વિદ્યુતવિભાજનના નિયમ મુજબ,જમા થયેલ દળ $w = \frac{M \times i \times t}{n \times F}$,જ્યાં $M$ એ મોલર દળ $(27 \ g/mol)$,$n$ એ ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $(3)$,$i$ એ એમ્પીયરમાં પ્રવાહ,$t$ એ સેકન્ડમાં સમય $(96.5 \ s)$ અને $F$ એ ફેરાડે અચળાંક $(96500 \ C/mol)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $0.09 = \frac{27 \times i \times 96.5}{3 \times 96500}$.
$0.09 = \frac{9 \times i \times 96.5}{96500}$.
$0.09 = \frac{9 \times i}{1000}$.
$i = \frac{0.09 \times 1000}{9} = 10 \ \text{એમ્પીયર}$.
તેથી,$X$ નું મૂલ્ય $10$ છે.

(C) બિંદુવત વિદ્યુતભાર $Q$ ને કારણે $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિદ્યુતભારો $x = 1, 2, 4, 8, \dots \text{ cm}$ પર મૂકવામાં આવ્યા છે અને તેમના ચિહ્નો એકાંતરે બદલાય છે, તેથી ઉગમબિંદુ $(x=0)$ પરનું કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર દરેક વિદ્યુતભાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે.
ધારો કે $Q = 5 \times 10^{-9} \text{ C}$. અંતર $r_n = 2^{n-1} \times 10^{-2} \text{ m}$ છે, જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$.
$x=0$ આગળનું ક્ષેત્ર ધન વિદ્યુતભાર માટે ઋણ $X$-અક્ષ તરફ અને ઋણ વિદ્યુતભાર માટે ધન $X$-અક્ષ તરફ હોય છે. યોગ્ય ચિહ્નો સાથે મૂલ્યોનો સરવાળો કરતા:
$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{Q}{(1 \times 10^{-2})^2} - \frac{Q}{(2 \times 10^{-2})^2} + \frac{Q}{(4 \times 10^{-2})^2} - \frac{Q}{(8 \times 10^{-2})^2} + \dots \right]$
$E = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 \times 10^{-4}} \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{4^2} - \frac{1}{8^2} + \dots \right]$
$E = (9 \times 10^9) \times (5 \times 10^{-9}) \times 10^4 \left[ 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{16} - \frac{1}{64} + \dots \right]$
કૌંસમાં રહેલું પદ એ અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે, જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = -1/4$ છે.
સરવાળો $S = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1 - (-1/4)} = \frac{1}{5/4} = \frac{4}{5}$.
$E = 45 \times 10^4 \times \frac{4}{5} = 36 \times 10^4 \text{ N/C}$.

(A) પાણીની ગુણવત્તા ઓગળેલા ઓક્સિજન $(D.O.)$ ની સાંદ્રતા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
શુદ્ધ પાણીમાં $D.O.$ નું મૂલ્ય આશરે $6.0 \ ppm$ કે તેથી વધુ હોવું જોઈએ.
જો $D.O.$ નું મૂલ્ય $5.0 \ ppm$ થી નીચે જાય,તો પાણીને પ્રદૂષિત માનવામાં આવે છે કારણ કે તે જળચર જીવોના અસ્તિત્વને અસરકારક રીતે ટેકો આપી શકતું નથી.

(A) $2, 3$-ડાયમિથાઈલહેક્ઝેનનું બંધારણ $CH_3-CH(CH_3)-CH(CH_3)-CH_2-CH_2-CH_3$ છે.
બંધારણનું વિશ્લેષણ કરતા:
- તૃતીયક $(3^{\circ})$ કાર્બન પરમાણુઓ: $2$ અને $3$ સ્થાન પરના કાર્બન પરમાણુઓ અન્ય ત્રણ કાર્બન પરમાણુઓ સાથે જોડાયેલા છે. તેથી,તૃતીયક કાર્બન પરમાણુઓની સંખ્યા $= 2$.
- દ્વિતીયક $(2^{\circ})$ કાર્બન પરમાણુઓ: $4$ અને $5$ સ્થાન પરના કાર્બન પરમાણુઓ અન્ય બે કાર્બન પરમાણુઓ સાથે જોડાયેલા છે. તેથી,દ્વિતીયક કાર્બન પરમાણુઓની સંખ્યા $= 2$.
- પ્રાથમિક $(1^{\circ})$ કાર્બન પરમાણુઓ: $1$,$6$ સ્થાન પરના કાર્બન અને $2$ તથા $3$ સ્થાન પર જોડાયેલા બે મિથાઈલ સમૂહના કાર્બન માત્ર એક જ અન્ય કાર્બન પરમાણુ સાથે જોડાયેલા છે. તેથી,પ્રાથમિક કાર્બન પરમાણુઓની સંખ્યા $= 4$.
આમ,તૃતીયક,દ્વિતીયક અને પ્રાથમિક કાર્બન પરમાણુઓની સંખ્યા અનુક્રમે $2, 2, 4$ છે.

(B) ક્રાયોલાઇટ $(Na_3AlF_6)$ ના વિદ્યુતવિભાજન દરમિયાન,પ્રક્રિયાઓ નીચે મુજબ છે:
કેથોડ પર: $Al^{3+} + 3e^- \rightarrow Al$
એનોડ પર: $2F^- \rightarrow F_2 + 2e^-$
ઇલેક્ટ્રોનને સંતુલિત કરવા માટે,કેથોડ પ્રક્રિયાને $2$ વડે અને એનોડ પ્રક્રિયાને $3$ વડે ગુણો:
કેથોડ: $2Al^{3+} + 6e^- \rightarrow 2Al$
એનોડ: $6F^- \rightarrow 3F_2 + 6e^-$
કુલ પ્રક્રિયા: $2Al^{3+} + 6F^- \rightarrow 2Al + 3F_2$
તેથી,$Al$ અને $F_2$ નો મોલર ગુણોત્તર $2:3$ છે.

(C) ક્ષેત્રીય વેગ $\frac{dA}{dt}$ એ ગ્રહના સ્થાન સદિશ દ્વારા કપાતા ક્ષેત્રફળના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ છે કે $\frac{dA}{dt}$ એ કોણીય વેગ $\omega$ અને અંતર $r$ પર આધાર રાખે છે,તેથી આપણે લખી શકીએ: $\frac{dA}{dt} = K \omega^a r^b$.
ક્ષેત્રીય વેગ $\frac{dA}{dt}$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[L^2 T^{-1}]$ છે.
કોણીય વેગ $\omega$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[T^{-1}]$ અને અંતર $r$ નું $[L]$ છે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $[L^2 T^{-1}] = [T^{-1}]^a [L]^b$.
બંને બાજુ $L$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$T$ માટે: $-a = -1 \Rightarrow a = 1$.
$L$ માટે: $b = 2$.
તેથી,સાચો સંબંધ $\frac{dA}{dt} \propto \omega r^2$ છે.

(A) પગલું $1$: $C_2H_5OH$ ની હાજરીમાં $C_2H_5Cl$ નું $KCN$ સાથે ન્યુક્લિયોફિલિક વિસ્થાપન થવાથી પ્રોપેનનિટ્રાઈલ $(X)$ મળે છે:
$C_2H_5Cl + KCN \rightarrow C_2H_5CN (X) + KCl$
પગલું $2$: $X$ $(C_2H_5CN)$ નું એસિડિક જળવિભાજન અને ગરમ કરવાથી પ્રોપેનોઈક એસિડ $(Y)$ મળે છે:
$C_2H_5CN + H_3O^+ + H_2O \xrightarrow{\Delta} C_2H_5COOH (Y) + NH_3$
પ્રોપેનોઈક એસિડ $(C_2H_5COOH)$ નું આણ્વીય સૂત્ર $C_3H_6O_2$ છે.

(D) પ્રક્રિયા $CH_3-CH_2-CH_3 \xrightarrow{Br_2, h\nu} CH_3-CH(Br)-CH_3$ એ મુક્ત મુલક વિસ્થાપન પ્રક્રિયા છે.
પ્રસરણના તબક્કામાં,બ્રોમિન મુક્ત મુલક પ્રોપેનના દ્વિતીયક કાર્બન પરથી હાઇડ્રોજન પરમાણુનું શોષણ કરીને દ્વિતીયક પ્રોપાઇલ મુક્ત મુલક $(CH_3-\dot{C}H-CH_3)$ બનાવે છે.
આ દ્વિતીયક મુક્ત મુલક પ્રાથમિક મુક્ત મુલક કરતા વધુ સ્થાયી હોવાથી,આ પ્રક્રિયા આ માર્ગે આગળ વધે છે.

(A) જ્યારે એસિટિલીન $(C_2H_2)$ ને લાલ-ગરમ લોખંડની નળીમાંથી પસાર કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે ચક્રીય પોલિમરાઈઝેશન દ્વારા બેન્ઝીન $(C_6H_6)$ બનાવે છે,જે સંયોજન $X$ છે:
$3C_2H_2 \xrightarrow{\text{red hot tube}} C_6H_6$ $(X)$
પ્રક્રિયા $(A)$ માં ઝિંક ડસ્ટ સાથે ફિનોલનું રિડક્શન થાય છે,જે બેન્ઝીન બનાવવા માટેની પ્રમાણભૂત પ્રયોગશાળા પદ્ધતિ છે:
$C_6H_5OH + Zn \xrightarrow{\text{distillation}} C_6H_6 + ZnO$
તેથી,પ્રક્રિયા $(A)$ મુખ્ય નીપજ તરીકે $X$ (બેન્ઝીન) આપે છે.

(B) આલ્કોહોલિક $KOH$ ની હાજરીમાં $C_6H_5NO_2$ અને $Zn$ પાવડરની પ્રક્રિયામાં એનિલિન મુખ્ય નીપજ તરીકે મળતું નથી.
$C_6H_5OH + NH_3 \xrightarrow[300^{\circ}C]{ZnCl_2}$ પ્રક્રિયા એનિલિન આપે છે.
$C_6H_5Cl + NH_3 \xrightarrow[Cu_2O]{200^{\circ}C, \text{high pressure}}$ પ્રક્રિયા એનિલિન આપે છે.
$C_6H_5NO_2 + 6[H] \xrightarrow[HCl]{Fe + H_2O}$ એ નાઈટ્રોબેન્ઝીનનું એનિલિનમાં રિડક્શન છે.
તેથી,જે પ્રક્રિયામાં એનિલિન મુખ્ય નીપજ તરીકે મળતું નથી તે $C_6H_5NO_2 + Zn \text{ powder } \xrightarrow{\text{alcoholic } KOH}$ છે.

(D) શૂન્ય ક્રમની પ્રક્રિયા માટે:
દર $= K[A]^0 = K$
દરના નિયમનું સંકલન કરતા,$[A]_t = [A]_0 - Kt$ મળે છે.
અર્ધ-આયુષ્ય સમયે $(t = t_{1/2})$,સાંદ્રતા $[A]_t = [A]_0/2$ થાય છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $[A]_0/2 = [A]_0 - K t_{1/2}$.
પુનઃગોઠવણ કરતા $K t_{1/2} = [A]_0/2$,અથવા $t_{1/2} = \frac{[A]_0}{2K}$ મળે છે.
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = t_{1/2}$,$x = [A]_0$,અને $m = 1/(2K)$,$t_{1/2}$ વિરુદ્ધ $[A]_0$ નો આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે જેનો ઢાળ $1/(2K)$ છે.

(B) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,અર્ધ-આયુષ્ય $t_{1/2} = \frac{0.693}{K}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે $t_{1/2} = 10 \text{ minutes}$,તેથી વેગ અચળાંક $K = \frac{0.693}{10} = 0.0693 \text{ min}^{-1}$.
પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે સંકલિત વેગ સમીકરણ $t = \frac{2.303}{K} \log \frac{[A]_0}{[A]}$ છે.
અહીં,$[A] = 10 \% [A]_0 = 0.1 [A]_0$,તેથી $\frac{[A]_0}{[A]} = 10$.
કિંમતો મૂકતા: $t = \frac{2.303}{0.0693} \log(10) = \frac{2.303}{0.0693} \times 1 \approx 33.2 \text{ minutes}$.

(A) આપેલ પ્રતિક્રિયાઓ પરથી:
$1$. $X + HCl \xrightarrow{AlCl_3} C_2H_5Cl$ સૂચવે છે કે $X$ એ ઇથિન $(C_2H_4)$ છે.
$2$. $Y + HCl \xrightarrow{ZnCl_2} C_2H_5Cl$ સૂચવે છે કે $Y$ એ ઇથેનોલ $(C_2H_5OH)$ છે (લ્યુકાસ કસોટી).
$3$. $Y$ (ઇથેનોલ) નું $X$ (ઇથિન) માં રૂપાંતર એ નિર્જલીકરણ પ્રતિક્રિયા છે.
$4$. ઇથેનોલનું $350^{\circ}C$ તાપમાને $Al_2O_3$ સાથે ગરમ કરવાથી નિર્જલીકરણ થઈને ઇથિન મળે છે.
પ્રતિક્રિયા: $\underset{(Y)}{C_2H_5OH} \xrightarrow{Al_2O_3, 350^{\circ}C} \underset{(X)}{C_2H_4} + H_2O$.

(D) ફેહલિંગનું દ્રાવણ એ એલિફેટિક આલ્ડિહાઇડ્સ માટેની કસોટી છે. સંયોજન $X$ જે ફેહલિંગના દ્રાવણ સાથે લાલ અવક્ષેપ આપે છે તે એસીટાલ્ડિહાઇડ $(CH_3CHO)$ છે.
એસીટીલીન $(C_2H_2)$ ની $40\% H_2SO_4$ અને $1\% HgSO_4$ ની હાજરીમાં પાણી સાથેની પ્રક્રિયા (કુચેરોવ પ્રક્રિયા) મુખ્ય નીપજ તરીકે એસીટાલ્ડિહાઇડ $(CH_3CHO)$ આપે છે.
$C_2H_2 + H_2O \xrightarrow[1\% HgSO_4]{40\% H_2SO_4} CH_3CHO$
ત્યારબાદ એસીટાલ્ડિહાઇડ ફેહલિંગના દ્રાવણ સાથે પ્રક્રિયા કરીને ક્યુપ્રસ ઓક્સાઇડ $(Cu_2O)$ ના લાલ અવક્ષેપ આપે છે.

(A) ઇથાઇલ આલ્કોહોલ $(C_2H_5OH)$ માં ઓક્સિજન પરમાણુ સાથે જોડાયેલ સક્રિય હાઇડ્રોજન પરમાણુ હોય છે. જ્યારે તે મિથાઇલ મેગ્નેશિયમ આયોડાઇડ $(CH_3MgI)$ જેવા ગ્રીગનાર્ડ પ્રક્રિયક સાથે પ્રક્રિયા કરે છે,ત્યારે સક્રિય હાઇડ્રોજન મિથાઇલ ગ્રુપ દ્વારા બદલાય છે અને મિથેન વાયુ $(CH_4)$ બનાવે છે.
પ્રક્રિયા નીચે મુજબ છે:
$C_2H_5OH + CH_3MgI \rightarrow CH_4 \uparrow + C_2H_5OMgI$

(D) ડાયઇથાઇલ ઈથર $(C_2H_5OC_2H_5)$ ની કાર્બન મોનોક્સાઈડ $(CO)$ સાથે $BF_3$ જેવા લુઈસ એસિડ ઉદ્દીપકની હાજરીમાં ઊંચા તાપમાને $(150^{\circ}C)$ અને ઊંચા દબાણે $(500 \text{ atm})$ થતી પ્રક્રિયા કાર્બોનાઈલેશન પ્રક્રિયા છે.
આ પ્રક્રિયામાં ઈથરના $C-O$ બંધમાં $CO$ દાખલ થવાથી એસ્ટર બને છે.
બનતી નીપજ ઇથાઇલ પ્રોપિયોનેટ $(C_2H_5COOC_2H_5)$ છે.

(C) એસીટાલ્ડિહાઈડ $(CH_3CHO)$ સોડિયમ બાયસલ્ફાઈટ $(NaHSO_3)$ ના સંતૃપ્ત જલીય દ્રાવણ સાથે પ્રક્રિયા કરીને એસીટાલ્ડિહાઈડ સોડિયમ બાયસલ્ફાઈટ નામનું ઉમેરણ નીપજ બનાવે છે.
આ નીપજ સફેદ સ્ફટિકીય અવક્ષેપ તરીકે જોવા મળે છે.
પ્રક્રિયા નીચે મુજબ છે:
$CH_3CHO + NaHSO_3 \rightarrow CH_3-CH(OH)-SO_3Na$
(એસીટાલ્ડિહાઈડ સોડિયમ બાયસલ્ફાઈટ,સફેદ સ્ફટિકીય અવક્ષેપ).

(B) નાઈટ્રોબેન્ઝીન $(C_6H_5NO_2)$ ની આલ્કોહોલિક $KOH$ ની હાજરીમાં ઝિંક પાવડર સાથેની પ્રતિક્રિયામાં,મુખ્ય નીપજ તરીકે એનિલિન મળતું નથી.
વિકલ્પ $A$ એ ફિનોલનું એમોનોલિસિસ છે.
વિકલ્પ $C$ એ ક્લોરોબેન્ઝીનની એમોનિયા સાથેની પ્રતિક્રિયા છે.
વિકલ્પ $D$ એ $Fe/HCl$ નો ઉપયોગ કરીને નાઈટ્રોબેન્ઝીનનું એનિલિનમાં પ્રમાણભૂત રિડક્શન છે.

(B) $2-$હાઇડ્રોક્સીબેન્ઝોઇક એસિડ (સેલિસિલિક એસિડ) સાંદ્ર $H_2SO_4$ ની હાજરીમાં એસિટિક એનહાઇડ્રાઇડ સાથે પ્રક્રિયા કરીને $2-$એસેટોક્સિબેન્ઝોઇક એસિડ બનાવે છે,જેને સામાન્ય રીતે એસ્પિરિન તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. આ પ્રક્રિયા ફિનોલિક $-OH$ સમૂહની એસિટિલેશન પ્રક્રિયા છે.

(C) એસ્ટર $(X = CH_3COOC_2H_5)$ ના એસિડિક જળવિભાજનથી કાર્બોક્સિલિક એસિડ અને આલ્કોહોલ મળે છે.
પ્રક્રિયા આ મુજબ છે: $CH_3COOC_2H_5 + H_2O \xrightarrow{H^+} CH_3COOH + C_2H_5OH$.
અહીં,$CH_3COOH$ (એસિટિક એસિડ) અને $C_2H_5OH$ (ઇથેનોલ) એ બે અલગ-અલગ કાર્બનિક સંયોજનો છે.

(B) એસિડિક હાઇડ્રોજન પેરોક્સાઇડ $(H_2O_2)$ સાથે ફેરસ આયન $(Fe^{2+})$ ની પ્રક્રિયાથી $Fe^{2+}$ નું ફેરિક આયન $(Fe^{3+})$ માં ઓક્સિડેશન થાય છે:
$2Fe^{2+} + H_2O_2 + 2H^+ \longrightarrow 2Fe^{3+} + 2H_2O$
આમ,આયન $X$ એ $Fe^{3+}$ છે.
$Fe^{3+}$ ની ઇલેક્ટ્રોનિક રચના $[Ar] 3d^5$ છે.
$d$-ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $5$ છે.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $(\mu)$ ની ગણતરી $\mu = \sqrt{n(n+2)} \ BM$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ અયુગ્મિત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા છે.
$Fe^{3+}$ માટે,$n = 5$.
$\mu = \sqrt{5(5+2)} = \sqrt{35} \approx 5.92 \ BM$.

(A) એલ્યુમિનિયમના જમા થવા માટેની પ્રક્રિયા: $Al^{3+} + 3e^- \rightarrow Al(s)$.
ફેરાડેના વિદ્યુતવિભાજનના નિયમ મુજબ,જમા થયેલ દળ $w = \frac{M \times I \times t}{n \times F}$,જ્યાં $M$ એ $Al$ નું મોલર દળ $(27 \ g/mol)$,$I$ એ એમ્પીયરમાં પ્રવાહ,$t$ એ સેકન્ડમાં સમય $(96.5 \ s)$,$n$ એ ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $(3)$ અને $F$ એ ફેરાડે અચળાંક $(96500 \ C/mol)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $0.09 = \frac{27 \times I \times 96.5}{3 \times 96500}$.
$I = \frac{0.09 \times 289500}{27 \times 96.5} = 10 \ A$.
તેથી,$X$ નું મૂલ્ય $10$ છે.

(B) ક્રાયોલાઇટ $(Na_3AlF_6)$ ના વિદ્યુતવિભાજનમાં નીચેની પ્રક્રિયાઓ થાય છે:
$Na_3AlF_6 \rightleftharpoons 3NaF + AlF_3$
$4AlF_3 \rightleftharpoons 4Al^{3+} + 12F^-$
કેથોડ પર: $4Al^{3+} + 12e^- \rightarrow 4Al$
એનોડ પર: $12F^- \rightarrow 6F_2 + 12e^-$
આમ,ઉત્પન્ન થતા $Al$ અને $F_2$ નો મોલર ગુણોત્તર $4:6$ છે,જેનું સાદું રૂપ $2:3$ થાય છે.

(A) પ્રક્રિયા શ્રેણી નીચે મુજબ છે:
$1$. $C_2H_5Cl + KCN \xrightarrow{C_2H_5OH} C_2H_5CN (X) + KCl$
આ એક ન્યુક્લિયોફિલિક વિસ્થાપન પ્રક્રિયા છે જેમાં $CN^{-}$ એ $Cl^{-}$ નું સ્થાન લે છે.
$2$. $C_2H_5CN + 2H_2O \xrightarrow{H_3O^{\oplus}, \Delta} C_2H_5COOH (Y) + NH_3$
નાઈટ્રાઈલ $(X)$ નું એસિડિક જળવિભાજન અનુરૂપ કાર્બોક્સિલિક એસિડ $(Y)$ આપે છે,જે પ્રોપેનોઈક એસિડ $(C_2H_5COOH)$ છે.
પ્રોપેનોઈક એસિડ $(C_2H_5COOH)$ નું આણ્વીય સૂત્ર $C_3H_6O_2$ છે.

(D) કાર્બનિક સંયોજન $X$ ફેહલિંગના દ્રાવણ સાથે લાલ અવક્ષેપ આપે છે,જે સૂચવે છે કે $X$ એ એલિફેટિક આલ્ડિહાઈડ (ખાસ કરીને એસિટાલડિહાઈડ,$CH_3CHO$) છે.
પ્રક્રિયા $D$ એ $40 \% H_2SO_4$ અને $1 \% HgSO_4$ ની હાજરીમાં $60^{\circ}C$ તાપમાને એસિટિલીન $(C_2H_2)$ નું જલીયકરણ છે,જે મુખ્ય નીપજ તરીકે એસિટાલડિહાઈડ $(CH_3CHO)$ આપે છે.
$C_2H_2 + H_2O \xrightarrow[1 \% HgSO_4, 60^{\circ}C]{40 \% H_2SO_4} CH_3CHO$ (એસિટાલડિહાઈડ)
એસિટાલડિહાઈડ ગરમ કરવા પર ફેહલિંગના દ્રાવણ સાથે પ્રક્રિયા કરીને ક્યુપ્રસ ઓક્સાઈડ $(Cu_2O)$ ના લાલ અવક્ષેપ બનાવે છે.

(B) $NO + NO_2 \xrightarrow{253 \ K} N_2O_3 \ (X)$
$N_2O_3 + H_2O \longrightarrow 2HNO_2 \ (Y)$
$Y$ $(HNO_2)$ નો ઋણાયન $NO_2^-$ છે.
$NO_2^-$ માં,નાઈટ્રોજન પરમાણુ $sp^2$ સંકરણ ધરાવે છે અને એક અબંધકારક ઇલેક્ટ્રોન યુગ્મ ધરાવે છે,જે બેન્ટ આકાર આપે છે. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો વિકલ્પ ત્રિકોણીય સમતલીય છે.

(B) $50 \% H_2SO_4$ નું પ્લેટિનમ ઇલેક્ટ્રોડનો ઉપયોગ કરીને વિદ્યુતવિભાજન કરવામાં આવે ત્યારે એસિડની સાંદ્રતા એટલી વધારે હોય છે કે પાણીના ઓક્સિડેશનને બદલે એનોડ પર હાઇડ્રોજન સલ્ફેટ આયન $(HSO_4^-)$ નું ઓક્સિડેશન થાય છે.
એનોડ પરની પ્રક્રિયા: $2HSO_4^- \longrightarrow H_2S_2O_8 + 2e^-$.
આમ,એનોડ પર મળતી નીપજ પેરોક્સોડાયસલ્ફ્યુરિક એસિડ $(H_2S_2O_8)$ છે.

(C) $XeO_3$ માં $Xe$ નો ઓક્સિડેશન આંક નીચે મુજબ ગણી શકાય:
$x + 3(-2) = 0$
$x - 6 = 0$
$x = +6$
$XeO_3$ માં $Xe$ નું $sp^3$ સંકરણ થાય છે અને તેમાં એક અબંધકારક ઇલેક્ટ્રોન યુગ્મ હોવાથી તેનો આકાર પિરામિડલ હોય છે.
$XeO_3$ માં બંધકોણ આશરે $103^{\circ}$ હોય છે.

(A) ડાઉન્સ પ્રક્રિયામાં,સોડિયમ ધાતુનું નિષ્કર્ષણ $NaCl$,$CaCl_2$ અને $KF$ ના પીગળેલા મિશ્રણના વિદ્યુતવિભાજન દ્વારા કરવામાં આવે છે.
$CaCl_2$ અને $KF$ ઉમેરવાથી $NaCl$ નું ગલનબિંદુ $801^{\circ}C$ થી ઘટીને આશરે $600^{\circ}C$ થાય છે,જે ઉર્જાનો વપરાશ ઘટાડવામાં અને સોડિયમ ધાતુના બાષ્પીભવનને રોકવામાં મદદ કરે છે.
તેથી,વપરાયેલ ઇલેક્ટ્રોલાઇટ $NaCl$,$CaCl_2$ અને $KF$ નું મિશ્રણ છે.

(B) કાસ્ટનર પ્રક્રિયામાં પીગળેલા સોડિયમ ક્લોરાઇડ $(NaCl)$ નું વિદ્યુતવિભાજન કરવામાં આવે છે.
કેથોડ પર,સોડિયમ આયનોનું રિડક્શન થાય છે: $Na^{+} + e^{-} \longrightarrow Na$.
એનોડ પર,ક્લોરાઇડ આયનોનું ઓક્સિડેશન થઈને ક્લોરિન વાયુ મુક્ત થાય છે: $2 Cl^{-} \longrightarrow Cl_2 + 2 e^{-}$.
તેથી,એનોડ પર થતી પ્રક્રિયા $2 Cl^{-} \longrightarrow Cl_2 + 2 e^{-}$ છે.

(C) ક્લોસિયસ-ક્લેપરોન સમીકરણ મુજબ,બાષ્પ દબાણ $(p)$ અને નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\log p = -\frac{\Delta H_{vap}}{2.303 R} \left(\frac{1}{T}\right) + C$
જ્યાં $\Delta H_{vap}$ એ બાષ્પીભવનની એન્થાલ્પી છે,$R$ એ વાયુ અચળાંક છે,અને $C$ એ અચળાંક છે.
આ સમીકરણ $y = mx + c$ પ્રકારની સીધી રેખાનું સમીકરણ છે,જ્યાં ઢાળ $m = -\frac{\Delta H_{vap}}{2.303 R}$ છે.
ઢાળ ઋણ હોવાથી,$\log p$ વિરુદ્ધ $\frac{1}{T}$ નો આલેખ ઋણ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા મળે છે,જે વિકલ્પ $C$ માં દર્શાવેલ આલેખને અનુરૂપ છે.

(B) દળ ક્ષતિ $3.32 \times 10^{-26} \ g$ આપેલ છે.
પ્રથમ,દળ ક્ષતિને $amu$ માં ફેરવવા માટે તેને $1.66 \times 10^{-24} \ g$ વડે ભાગતા:
$\text{દળ ક્ષતિ } (amu) = \frac{3.32 \times 10^{-26}}{1.66 \times 10^{-24}} = 0.02 \ amu$.
બંધન ઉર્જાની ગણતરી આ સંબંધ દ્વારા કરવામાં આવે છે: $\text{બંધન ઉર્જા} = \text{દળ ક્ષતિ } (amu) \times 931 \ MeV/amu$.
$\text{બંધન ઉર્જા} = 0.02 \times 931 \ MeV = 18.62 \ MeV$.

(B) ફ્રુન્ડલિચ અધિશોષણ સમતાપી નીચે મુજબના અનુભવજન્ય સંબંધ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે:
$\frac{x}{m} = K p^{1/n}$
જ્યાં:
$x$ એ અધિશોષિતનું દળ છે,
$m$ એ અધિશોષકનું દળ છે,
$p$ એ દબાણ છે,
$K$ અને $n$ એ અચળાંકો છે જે ચોક્કસ તાપમાને અધિશોષક અને અધિશોષિતના સ્વભાવ પર આધાર રાખે છે.