AIEEE 2004 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) दो सदिशों का सदिश गुणनफल एंटी-कम्यूटेटिव (anti-commutative) होता है,जिसका अर्थ है $\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B} = -(\overrightarrow{B} \times \overrightarrow{A})$।
दी गई शर्त $\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B} = \overrightarrow{B} \times \overrightarrow{A}$ के अनुसार,समीकरण में एंटी-कम्यूटेटिव गुण को प्रतिस्थापित करने पर:
$-(\overrightarrow{B} \times \overrightarrow{A}) = \overrightarrow{B} \times \overrightarrow{A}$।
इसका तात्पर्य है कि $2(\overrightarrow{B} \times \overrightarrow{A}) = 0$,या $\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B} = 0$।
सदिश गुणनफल का परिमाण $|\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}| = |A||B| \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ सदिशों के बीच का कोण है।
सदिश गुणनफल के शून्य होने के लिए,$\sin \theta$ का मान $0$ होना चाहिए,जो $\theta = 0$ या $\theta = \pi$ पर होता है।
दिए गए विकल्पों में से,$\pi$ सही उत्तर है।

(C) द्रव की परत पर कार्य करने वाला श्यान बल $F$ न्यूटन के श्यानता नियम द्वारा दिया जाता है: $F = -\eta A \frac{dv}{dx}$.
यहाँ,$F$ बल है,$\eta$ श्यानता गुणांक है,$A$ क्षेत्रफल है,और $\frac{dv}{dx}$ वेग प्रवणता (velocity gradient) है।
$\eta$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $\eta = \frac{F}{A (dv/dx)}$.
विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $[F] = [M L T^{-2}]$,$[A] = [L^2]$,$[dv] = [L T^{-1}]$,और $[dx] = [L]$.
अतः,$[\eta] = \frac{[M L T^{-2}]}{[L^2] [L T^{-1} / L]} = \frac{[M L T^{-2}]}{[L^2] [T^{-1}]} = [M L^{-1} T^{-1}]$.
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(C) विराम अवस्था से छोड़ी गई गेंद के लिए,$T$ समय में तय की गई कुल ऊँचाई $h$ गति के समीकरण द्वारा दी जाती है:
$h = ut + \frac{1}{2}gT^2$
चूँकि प्रारंभिक वेग $u = 0$ है,इसलिए:
$h = \frac{1}{2}gT^2$ --- $(1)$
$t = \frac{T}{3}$ समय के बाद,शीर्ष से गेंद द्वारा तय की गई दूरी $h'$ है:
$h' = \frac{1}{2}g\left(\frac{T}{3}\right)^2 = \frac{1}{2}g\left(\frac{T^2}{9}\right) = \frac{1}{9} \left(\frac{1}{2}gT^2\right)$
समीकरण $(1)$ का मान इसमें रखने पर:
$h' = \frac{h}{9}$
जमीन से गेंद की स्थिति कुल ऊँचाई में से शीर्ष से तय की गई दूरी को घटाने पर प्राप्त होती है:
$\text{जमीन से स्थिति} = h - h' = h - \frac{h}{9} = \frac{8h}{9} \text{ मीटर}$.

(B) एक समान कोणीय गति (एकसमान वृत्तीय गति) के साथ वृत्त में गति कर रहे कण के लिए,वेग सदिश हमेशा किसी भी बिंदु पर वृत्तीय पथ के स्पर्शरेखीय होता है।
चूंकि गति एकसमान है,इसलिए स्पर्शरेखीय त्वरण शून्य होता है और कुल त्वरण पूरी तरह से अभिकेंद्र होता है।
अभिकेंद्र त्वरण सदिश हमेशा वृत्त के केंद्र की ओर इंगित करता है।
चूंकि वेग सदिश स्पर्शरेखीय (परिधि के अनुदिश) होता है और त्वरण सदिश त्रिज्यीय (केंद्र की ओर) होता है,इसलिए वे हमेशा एक दूसरे के लंबवत होते हैं।
अतः,यह कथन कि त्वरण सदिश वृत्त के स्पर्शरेखीय है,गलत है।

(B) दिए गए वेग $u$ के लिए,परास $R$ दो प्रक्षेपण कोणों $\theta$ और $(90^\circ - \theta)$ के लिए समान होता है।
कोण $\theta$ के लिए उड़ान का समय $t_1 = \frac{2u \sin \theta}{g}$ है।
कोण $(90^\circ - \theta)$ के लिए उड़ान का समय $t_2 = \frac{2u \sin(90^\circ - \theta)}{g} = \frac{2u \cos \theta}{g}$ है।
दोनों उड़ान समयों का गुणा करने पर:
$t_1 t_2 = \left( \frac{2u \sin \theta}{g} \right) \left( \frac{2u \cos \theta}{g} \right) = \frac{4u^2 \sin \theta \cos \theta}{g^2}$.
सर्वसमिका $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$t_1 t_2 = \frac{2u^2 (2 \sin \theta \cos \theta)}{g^2} = \frac{2(u^2 \sin 2\theta)}{g^2}$.
चूंकि परास $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ है,हम इस मान को समीकरण में रख सकते हैं:
$t_1 t_2 = \frac{2R}{g}$.
चूंकि $g$ स्थिर है,हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $t_1 t_2 \propto R$.

(A) व्यक्ति गेंद को तभी पकड़ सकता है यदि उसकी निरंतर गति गेंद के वेग के क्षैतिज घटक के बराबर हो,क्योंकि गेंद अपनी क्षैतिज गति द्वारा निर्धारित दूरी पर गिरेगी।
गेंद के वेग का क्षैतिज घटक $v_x = v_0 \cos \theta$ है।
व्यक्ति की गति $v_p = v_0/2$ है।
व्यक्ति के गेंद को पकड़ने के लिए,उनकी गति समान होनी चाहिए: $v_0/2 = v_0 \cos \theta$.
दोनों पक्षों को $v_0$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\cos \theta = 1/2$.
इसलिए,$\theta = \cos^{-1}(1/2) = 60^\circ$.

(D) मशीन गन द्वारा लगाया गया बल दागी गई गोलियों के संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है।
$F = \frac{dp}{dt} = v \cdot \frac{dm}{dt}$
यहाँ,$v = 1200\,m/s$ गोली का वेग है।
माना $n$ प्रति सेकंड दागी गई गोलियों की संख्या है।
एक गोली का द्रव्यमान $m = 40\,g = 40 \times 10^{-3}\,kg = 0.04\,kg$ है।
प्रति सेकंड दागा गया कुल द्रव्यमान $\frac{dm}{dt} = n \times m$ है।
अधिकतम बल $F = 144\,N$ दिया गया है,इसलिए:
$144 = 1200 \times (n \times 0.04)$
$144 = 1200 \times 0.04 \times n$
$144 = 48 \times n$
$n = \frac{144}{48} = 3$.
अतः,व्यक्ति प्रति सेकंड अधिकतम $3$ गोलियां दाग सकता है।

(D) वाहन के रुकने की दूरी $S$ संबंध $v^2 = u^2 + 2as$ द्वारा दी जाती है। चूंकि अंतिम वेग $v = 0$ है,इसलिए $0 = u^2 - 2a|S|$,जिसका अर्थ है $S = \frac{u^2}{2|a|}$।
चूंकि मंदन $a$ स्थिर है,इसलिए रुकने की दूरी प्रारंभिक वेग के वर्ग के सीधे आनुपातिक होती है: $S \propto u^2$।
दिया गया है कि $u_1 = 60\,km/h$ के लिए $S_1 = 20\,m$ और $u_2 = 120\,km/h$ है।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{S_2}{S_1} = \left(\frac{u_2}{u_1}\right)^2 = \left(\frac{120}{60}\right)^2 = (2)^2 = 4$।
अतः,$S_2 = 4 \times S_1 = 4 \times 20\,m = 80\,m$।

(A) दो द्रव्यमानों $m_1$ और $m_2$ वाली एटवुड मशीन के लिए,जो एक घर्षणहीन घिरनी पर डोरी से जुड़े हैं,निकाय का त्वरण $a$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$a = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) g$
दिया गया है:
$m_1 = 5\,kg$
$m_2 = 4.8\,kg$
$g = 9.8\,m/s^2$
सूत्र में मान रखने पर:
$a = \left( \frac{5 - 4.8}{5 + 4.8} \right) \times 9.8$
$a = \left( \frac{0.2}{9.8} \right) \times 9.8$
$a = 0.2\,m/s^2$
अतः,द्रव्यमानों का त्वरण $0.2\,m/s^2$ है।

(A) विश्राम कोण (angle of repose) $\alpha = \tan^{-1}(\mu) = \tan^{-1}(0.8) \approx 38.6^{\circ}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि नत समतल का कोण $\theta = 30^{\circ}$,विश्राम कोण $\alpha$ से कम है,इसलिए ब्लॉक स्थिर रहेगा।
नत समतल पर स्थिर ब्लॉक के लिए,स्थैतिक घर्षण बल $f_s$ गुरुत्वाकर्षण के नत समतल की दिशा में लगने वाले घटक को संतुलित करता है:
$f_s = mg \sin \theta$
दिया गया है $f_s = 10 \, N$,$g = 10 \, m/s^2$,और $\theta = 30^{\circ}$:
$10 = m \times 10 \times \sin(30^{\circ})$
$10 = m \times 10 \times 0.5$
$10 = 5m$
$m = 2 \, kg$.

(B) माना चेन की कुल लंबाई $L = 2\,m$ और कुल द्रव्यमान $M = 4\,kg$ है।
लटकने वाले भाग की लंबाई $l = 60\,cm = 0.6\,m$ है।
चेन के प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान $\lambda = \frac{M}{L} = \frac{4}{2} = 2\,kg/m$ है।
लटकने वाले भाग का द्रव्यमान $m = \lambda \times l = 2 \times 0.6 = 1.2\,kg$ है।
लटकने वाले भाग का द्रव्यमान केंद्र मेज के किनारे से $h = \frac{l}{2} = \frac{0.6}{2} = 0.3\,m$ नीचे है।
चेन को मेज पर खींचने में किया गया कार्य लटकने वाले भाग की स्थितिज ऊर्जा में हुई वृद्धि के बराबर होता है,जो $W = mgh$ है।
मान रखने पर: $W = 1.2 \times 10 \times 0.3 = 3.6\,J$.

(C) कण पर बल $F$ द्वारा किया गया कार्य $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int \vec{F} \cdot \vec{v} dt$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि बल हमेशा वेग के लंबवत होता है,इसलिए $\vec{F} \cdot \vec{v} = 0$ होता है।
अतः,किया गया कार्य $W = 0$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta K = W$ होता है।
चूंकि $W = 0$ है,इसलिए गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta K = 0$ है,जिसका अर्थ है कि कण की गतिज ऊर्जा नियत रहती है।

(B) एक स्थिर बल $\vec F$ द्वारा विस्थापन $\vec r$ के दौरान किया गया कार्य $W$,बल और विस्थापन सदिशों के अदिश गुणनफल (dot product) द्वारा दिया जाता है:
$W = \vec F \cdot \vec r$
यहाँ $\vec F = (5\hat i + 3\hat j + 2\hat k) \, N$ और $\vec r = (2\hat i - 1\hat j + 0\hat k) \, m$ दिया गया है।
$W = (5\hat i + 3\hat j + 2\hat k) \cdot (2\hat i - 1\hat j + 0\hat k)$
$W = (5 \times 2) + (3 \times -1) + (2 \times 0)$
$W = 10 - 3 + 0 = 7 \, J$
अतः,किया गया कार्य $+7 \, J$ है।

(A) मंदन $a$ विस्थापन $x$ के समानुपाती है,इसलिए $a = -kx$ जहाँ $k$ एक धनात्मक नियतांक है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,बल $F = ma = -mkx$ है।
इस विस्थापन $x$ के लिए इस बल द्वारा किया गया कार्य $W = \int_0^x F \, dx = \int_0^x (-mkx) \, dx = -\frac{1}{2}mkx^2$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta K = W$ है।
गतिज ऊर्जा में हानि $-\Delta K = -W = \frac{1}{2}mkx^2$ है।
चूंकि $m$ और $k$ नियतांक हैं,इसलिए गतिज ऊर्जा में हानि $x^2$ के समानुपाती है।

(D) पिंड विरामावस्था $(u = 0)$ से शुरू होता है और $t_1$ समय में $v_1$ वेग प्राप्त करता है।
त्वरण $a = \frac{v_1 - u}{t_1} = \frac{v_1}{t_1}$ है।
किसी भी समय $t$ पर,पिंड का वेग $v = at = \left( \frac{v_1}{t_1} \right)t$ होगा।
पिंड पर कार्य करने वाला बल $F = ma = m \left( \frac{v_1}{t_1} \right)$ है।
पिंड को दी गई तात्क्षणिक शक्ति $P = F \cdot v$ है।
$F$ और $v$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$P = \left( m \frac{v_1}{t_1} \right) \times \left( \frac{v_1}{t_1} t \right) = \frac{mv_1^2t}{t_1^2}$.

(C) उपग्रह का कक्षीय आवर्तकाल $T$,कक्षा की परिधि और कक्षीय वेग के अनुपात द्वारा दिया जाता है:
$T = \frac{2 \pi r}{v_o}$
चूंकि कक्षीय वेग $v_o = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ होता है,इसलिए हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$T = \frac{2 \pi r}{\sqrt{\frac{GM}{r}}} = 2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$
यहाँ,$M$ ग्रह का द्रव्यमान है,$r$ कक्षा की त्रिज्या है,और $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है।
सूत्र से यह स्पष्ट है कि $T$ कक्षा की त्रिज्या $(r)$ और ग्रह के द्रव्यमान $(M)$ पर निर्भर करता है,लेकिन यह उपग्रह के द्रव्यमान $(m)$ पर निर्भर नहीं करता है।
अतः,आवर्तकाल उपग्रह के द्रव्यमान से स्वतंत्र होता है।

(A) गुरुत्वाकर्षण बल $F$ को $F \propto \frac{1}{R^n}$ के रूप में दिया गया है।
वृत्तातीय कक्षा में घूम रहे ग्रह के लिए,यह बल आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है:
$F = m\omega^2 R = m\left( \frac{4\pi^2}{T^2} \right) R$.
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$m\left( \frac{4\pi^2}{T^2} \right) R \propto \frac{1}{R^n}$.
चूंकि $m$ और $4\pi^2$ स्थिरांक हैं,इसलिए:
$\frac{R}{T^2} \propto \frac{1}{R^n}$.
$T^2$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$T^2 \propto R \cdot R^n = R^{n+1}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$T \propto R^{\left( \frac{n+1}{2} \right)}$.

(C) $R$ त्रिज्या वाले साबुन के बुलबुले के अंदर अतिरिक्त दबाव $\Delta P = \frac{4T}{R}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ साबुन के घोल का पृष्ठ तनाव है।
चूंकि $\Delta P \propto \frac{1}{R}$,इसलिए बड़े बुलबुले की तुलना में छोटे बुलबुले में अतिरिक्त दबाव अधिक होता है।
जब दो बुलबुलों को एक नली द्वारा जोड़ा जाता है,तो हवा उच्च दबाव वाले क्षेत्र से निम्न दबाव वाले क्षेत्र की ओर बहती है।
इसलिए,हवा छोटे बुलबुले से बड़े बुलबुले में बहती है,जिससे छोटा बुलबुला सिकुड़ जाता है और बड़ा बुलबुला और बड़ा हो जाता है।

(B) स्टोक्स के नियम के अनुसार,$\eta$ श्यानता वाले द्रव में $v$ वेग से गति करने वाली $r$ त्रिज्या की गोलाकार वस्तु पर कार्य करने वाला श्यान बल $F$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$F = 6\,\pi \eta \,rv$
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि बल $F$,त्रिज्या $r$ और वेग $v$ दोनों के सीधे समानुपाती है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) जब वाल्व खोला जाता है तो मोल की कुल संख्या $n$ संरक्षित रहती है।
$n = n_1 + n_2$
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,$n = \frac{PV}{RT}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{P_1 V_1}{R T_1} + \frac{P_2 V_2}{R T_2} = \frac{P(V_1 + V_2)}{R T}$
चूंकि निकाय ऊष्मीय रूप से पृथक है,इसलिए कुल आंतरिक ऊर्जा संरक्षित रहती है। आदर्श गैस के लिए,$U = \frac{f}{2} nRT$ होता है। अतः,$n_1 T_1 + n_2 T_2 = (n_1 + n_2) T$।
$n = \frac{PV}{RT}$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{P_1 V_1}{R T_1} T_1 + \frac{P_2 V_2}{R T_2} T_2 = (n_1 + n_2) T$।
$n_1 + n_2 = \frac{P_1 V_1}{R T_1} + \frac{P_2 V_2}{R T_2} = \frac{P_1 V_1 T_2 + P_2 V_2 T_1}{R T_1 T_2}$।
अंतिम दबाव $P = \frac{(n_1 + n_2)RT}{V_1 + V_2}$ द्वारा दिया जाता है।
ऊर्जा संरक्षण समीकरण में मान रखने पर: $P_1 V_1 + P_2 V_2 = (n_1 + n_2) RT$।
अतः,$T = \frac{P_1 V_1 + P_2 V_2}{n_1 + n_2} = \frac{(P_1 V_1 + P_2 V_2) T_1 T_2}{P_1 V_1 T_2 + P_2 V_2 T_1}$।

(A) गैसों के मिश्रण के लिए,रुद्धोष्म सूचकांक (adiabatic index) $\gamma_{\text{mix}}$ का सूत्र है:
$\gamma_{\text{mix}} = \frac{n_1 C_{p,1} + n_2 C_{p,2}}{n_1 C_{v,1} + n_2 C_{v,2}}$
वैकल्पिक रूप से,$C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$ संबंध का उपयोग करते हुए:
$\gamma_{\text{mix}} = \frac{n_1 + n_2}{\frac{n_1}{\gamma_1 - 1} + \frac{n_2}{\gamma_2 - 1}}$
यहाँ $n_1 = 1, \gamma_1 = 5/3$ और $n_2 = 1, \gamma_2 = 7/5$ दिया गया है:
$C_{v,1} = \frac{R}{5/3 - 1} = \frac{3R}{2}$,$C_{v,2} = \frac{R}{7/5 - 1} = \frac{5R}{2}$.
$C_{v,\text{mix}} = \frac{n_1 C_{v,1} + n_2 C_{v,2}}{n_1 + n_2} = \frac{1(1.5R) + 1(2.5R)}{2} = 2R$.
$C_{p,\text{mix}} = C_{v,\text{mix}} + R = 2R + R = 3R$.
$\gamma_{\text{mix}} = \frac{C_{p,\text{mix}}}{C_{v,\text{mix}}} = \frac{3R}{2R} = 1.5 = 3/2$.

(B) ऊष्मागतिकी में,एक अवस्था फलन (state function) वह गुण है जिसका मान केवल निकाय की वर्तमान अवस्था पर निर्भर करता है,न कि उस अवस्था तक पहुँचने के लिए अपनाए गए पथ पर।
आंतरिक ऊर्जा $(U)$ और एन्ट्रापी $(S)$ दोनों अवस्था फलन हैं क्योंकि वे किसी दिए गए संतुलन अवस्था में निकाय के मैक्रोस्कोपिक चरों (जैसे दबाव,आयतन और तापमान) द्वारा परिभाषित होते हैं।
इसलिए,यह कथन कि आंतरिक ऊर्जा और एन्ट्रापी अवस्था फलन हैं,सही है।

(D) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,$R$ त्रिज्या और $T$ तापमान वाले एक गोलाकार पिंड द्वारा विकीर्ण कुल शक्ति $P = \sigma (4\pi R^2) T^4$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि पृथ्वी पर प्राप्त विकिरण ऊर्जा $Q$ सूर्य द्वारा विकीर्ण शक्ति के समानुपाती होती है,इसलिए $Q \propto R^2 T^4$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक ऊर्जा $Q_1 = k R^2 T^4$ है और अंतिम ऊर्जा $Q_2 = k (2R)^2 (2T)^4$ है।
अनुपात लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{Q_2}{Q_1} = \left( \frac{2R}{R} \right)^2 \times \left( \frac{2T}{T} \right)^4$।
$\frac{Q_2}{Q_1} = (2)^2 \times (2)^4 = 4 \times 16 = 64$।
अतः,पृथ्वी पर प्राप्त विकिरण ऊर्जा का अनुपात $64$ है।

(D) स्थिर अवस्था में,श्रेणीक्रम में जुड़ी दो सामग्रियों के संयुक्त स्लैब से ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{A(T_2 - T_1)}{R_1 + R_2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $R_1 = \frac{x}{KA}$ और $R_2 = \frac{4x}{(2K)A} = \frac{2x}{KA}$ है।
कुल ऊष्मीय प्रतिरोध $R_{eq} = R_1 + R_2 = \frac{x}{KA} + \frac{2x}{KA} = \frac{3x}{KA}$ है।
अतः,ऊष्मा स्थानांतरण की दर $H = \frac{A(T_2 - T_1)}{\frac{3x}{KA}} = \frac{1}{3} \frac{AK(T_2 - T_1)}{x}$ है।
इसे दिए गए समीकरण $\left( \frac{A(T_2 - T_1)K}{x} \right)f$ के साथ तुलना करने पर,हमें $f = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।

(C) सरल आवर्त गति $(SHM)$ कर रहे एक कण की कुल ऊर्जा $(E)$,उसकी गतिज ऊर्जा $(K)$ और स्थितिज ऊर्जा $(U)$ के योग के बराबर होती है।
$E = K + U = \frac{1}{2}m\omega^2(a^2 - x^2) + \frac{1}{2}m\omega^2x^2$
$E = \frac{1}{2}m\omega^2a^2$
चूंकि $m$ (द्रव्यमान),$\omega$ (कोणीय आवृत्ति) और $a$ (आयाम) एक दी गई सरल आवर्त गति के लिए नियत रहते हैं,इसलिए कुल ऊर्जा नियत रहती है और यह विस्थापन $x$ से स्वतंत्र होती है।

(B) स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय का आवर्तकाल $t = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।
दो स्प्रिंगों के लिए,हमारे पास $t_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_1}}$ और $t_2 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_2}}$ है।
इनका वर्ग करने पर,हमें $t_1^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k_1}$ और $t_2^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k_2}$ प्राप्त होता है।
जब दो स्प्रिंगों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k$,$\frac{1}{k} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $k = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2}$।
श्रेणी संयोजन के लिए आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ है।
इसका वर्ग करने पर,$T^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k} = 4\pi^2 m \left( \frac{1}{k} \right) = 4\pi^2 m \left( \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} \right)$।
$t_1^2$ और $t_2^2$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $T^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k_1} + 4\pi^2 \frac{m}{k_2} = t_1^2 + t_2^2$ प्राप्त होता है।

(C) हवा में एक सरल लोलक का आवर्तकाल ${t_0} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
जब गोलक को पानी में डुबोया जाता है,तो यह ऊपर की ओर उत्प्लावन बल का अनुभव करता है। गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण ${g_{eff}}$ इस प्रकार है:
${g_{eff}} = g \left(1 - \frac{\rho_{water}}{\rho_{bob}}\right)$.
यहाँ $\rho_{bob} = \frac{4}{3} \times 10^3 \ kg/m^3$ और $\rho_{water} = 10^3 \ kg/m^3$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{\rho_{water}}{\rho_{bob}} = \frac{10^3}{(4/3) \times 10^3} = \frac{3}{4}$.
अतः,${g_{eff}} = g \left(1 - \frac{3}{4}\right) = \frac{g}{4}$.
पानी में आवर्तकाल $t = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g/4}} = 2 \times 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$.
${t_0}$ का मान रखने पर,हमें $t = 2{t_0}$ प्राप्त होता है।

(B) प्रणोदित दोलन (forced oscillation) के लिए,गति का समीकरण $m \frac{d^2x}{dt^2} + kx = F_0 \cos \omega t$ है।
$x = x_0 \cos \omega t$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $-m \omega^2 x_0 + k x_0 = F_0$ प्राप्त होता है।
चूंकि प्राकृतिक कोणीय आवृत्ति $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ है,इसलिए $k = m \omega_0^2$ होगा।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,हमें $m x_0 (\omega_0^2 - \omega^2) = F_0$ प्राप्त होता है।
अतः,आयाम $x_0 = \frac{F_0}{m(\omega_0^2 - \omega^2)}$ है।
इसलिए,विस्थापन $x$,$\frac{1}{m(\omega_0^2 - \omega^2)}$ के समानुपाती है।

(B) मानक तरंग समीकरण $y = A \sin(\omega t + kx + \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरण $y = 10^{-6} \sin(100t + 20x + \pi/4)$ की तुलना मानक समीकरण से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
कोणीय आवृत्ति $\omega = 100 \ rad/s$
तरंग संख्या $k = 20 \ rad/m$
तरंग की गति $v$,$t$ के गुणांक और $x$ के गुणांक के अनुपात द्वारा दी जाती है:
$v = \frac{\omega}{k} = \frac{100}{20} = 5 \ m/s$.

(B) पानी का तापमान बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मीय ऊर्जा $H = m \cdot c \cdot \Delta \theta$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: शक्ति $P = 836\; W$,द्रव्यमान $m = 1\; kg$ (चूंकि $1\; litre$ पानी = $1\; kg$),विशिष्ट ऊष्मा धारिता $c = 4200\; J/kg\cdot^{\circ}C$,और तापमान में परिवर्तन $\Delta \theta = 40^{\circ}C - 10^{\circ}C = 30^{\circ}C$.
हीटर द्वारा $t$ समय में दी गई ऊर्जा $E = P \times t$ है।
हीटर द्वारा दी गई ऊर्जा और आवश्यक ऊष्मा को बराबर करने पर: $P \times t = m \cdot c \cdot \Delta \theta$.
$t = \frac{m \cdot c \cdot \Delta \theta}{P} = \frac{1 \times 4200 \times 30}{836}$.
$J = 4.18\; J/cal$ का उपयोग करते हुए,हम $c = 4180\; J/kg\cdot^{\circ}C$ भी लिख सकते हैं।
$t = \frac{1 \times 4180 \times 30}{836} = 5 \times 30 = 150\; s$.

(D) थर्मो $e.m.f.$ का समीकरण $E = a\theta + b\theta^2$ है।
उदासीन तापमान $\theta_n$ वह तापमान है जहाँ थर्मो $e.m.f.$ अधिकतम होता है,अर्थात $\frac{dE}{d\theta} = 0$।
$\frac{dE}{d\theta} = a + 2b\theta = 0$।
$\theta_n = -\frac{a}{2b}$।
दिया गया है कि $\frac{a}{b} = 700\,^{\circ}C$,इसलिए:
$\theta_n = -\frac{1}{2} \times (700\,^{\circ}C) = -350\,^{\circ}C$।
चूंकि एक मानक थर्मोकपल के लिए उदासीन तापमान कोल्ड जंक्शन के तापमान $(0\,^{\circ}C)$ से अधिक होना चाहिए,इसलिए ऋणात्मक मान यह दर्शाता है कि इस विशिष्ट थर्मोकपल के लिए कोई भी उदासीन तापमान भौतिक रूप से संभव नहीं है।

(A) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले एक ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_A = \frac{2}{5} M R^2$ द्वारा दिया जाता है।
$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले एक खोखले गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_B = \frac{2}{3} M R^2$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,चूंकि दोनों गोलों के लिए $M$ और $R$ समान हैं,हम गुणांकों $\frac{2}{5}$ और $\frac{2}{3}$ की तुलना करते हैं।
चूंकि $\frac{2}{5} = 0.4$ और $\frac{2}{3} \approx 0.67$ है,यह स्पष्ट है कि $\frac{2}{5} < \frac{2}{3}$ है।
अतः,$I_A < I_B$ है।

(C) कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,यदि किसी निकाय पर कार्य करने वाला कुल बाह्य बल आघूर्ण (टॉर्क) शून्य है,तो निकाय का कुल कोणीय संवेग स्थिर रहता है।
इस मामले में,गोला मुक्त आकाश में स्वतंत्र रूप से घूम रहा है,जिसका अर्थ है कि उस पर कोई बाह्य टॉर्क कार्य नहीं कर रहा है $({\tau_{ext}} = 0)$।
चूंकि ${\tau_{ext}} = \frac{dL}{dt} = 0$,इसलिए कोणीय संवेग $(L)$ स्थिर रहना चाहिए।
जब गोले की त्रिज्या बढ़ती है,तो उसका जड़त्व आघूर्ण $(I = \frac{2}{5}MR^2)$ बढ़ जाता है। चूंकि $L = I\omega$ स्थिर है,इसलिए कोणीय वेग $(\omega)$ कम हो जाएगा और घूर्णन गतिज ऊर्जा $(K = \frac{L^2}{2I})$ भी बदल जाएगी। अतः,केवल कोणीय संवेग ही स्थिर रहता है।

(D) जैसे-जैसे तार $0$ से $l$ तक खिंचता है,उस पर लगाया गया बल $0$ से $F$ तक रैखिक रूप से बढ़ता है।
खिंचाव की प्रक्रिया के दौरान लगाया गया औसत बल $F_{av} = \frac{0 + F}{2} = \frac{F}{2}$ है।
तार को खींचने में किया गया कार्य $(W)$,औसत बल और कुल विस्तार का गुणनफल होता है:
$W = F_{av} \times l = \left(\frac{F}{2}\right) \times l = \frac{Fl}{2}$.

(D) उपग्रह पर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल उसकी वृत्ताकार कक्षा के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
माना पृथ्वी का द्रव्यमान $M_e$ है। गुरुत्वाकर्षण बल $F_g = \frac{G M_e m}{(R + x)^2}$ है।
आवश्यक अभिकेंद्र बल $F_c = \frac{m v_0^2}{R + x}$ है।
इन दोनों को बराबर करने पर,$\frac{G M_e m}{(R + x)^2} = \frac{m v_0^2}{R + x}$,जिसे सरल करने पर $v_0^2 = \frac{G M_e}{R + x}$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{G M_e}{R^2}$ है,जिसका अर्थ है कि $G M_e = g R^2$ है।
इस मान को $v_0^2$ के व्यंजक में रखने पर,$v_0^2 = \frac{g R^2}{R + x}$ प्राप्त होता है।
अतः,कक्षीय चाल $v_0 = \sqrt{\frac{g R^2}{R + x}} = \left( \frac{g R^2}{R + x} \right)^{1/2}$ है।

(D) एक अवमंदित प्रणोदित दोलक के लिए,आयाम $A$ का सूत्र $A = \frac{F_0}{\sqrt{m^2(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + b^2\omega^2}}$ है।
आयाम तब अधिकतम होता है जब हर (denominator) न्यूनतम होता है,जो $\omega_1 = \sqrt{\omega_0^2 - 2\gamma^2}$ पर होता है,जहाँ $\gamma = \frac{b}{2m}$ है।
दोलक की ऊर्जा आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है $(E \propto A^2)$।
ऊर्जा तब अधिकतम होती है जब आयाम अधिकतम होता है,जो शक्ति अवशोषण के संदर्भ में $\omega_2 = \omega_0$ (प्राकृतिक आवृत्ति) पर होता है।
दोनों की तुलना करने पर,चूंकि $\omega_1 = \sqrt{\omega_0^2 - 2\gamma^2}$,यह स्पष्ट है कि $\omega_1 < \omega_0$ है।
अतः,$\omega_1 < \omega_2$।

(C) $m$ द्रव्यमान की वस्तु की पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U_{1} = -\frac{GMm}{R}$ द्वारा दी जाती है।
सतह से $h = R$ की ऊँचाई पर,पृथ्वी के केंद्र से दूरी $r = R + h = R + R = 2R$ है।
इस ऊँचाई पर स्थितिज ऊर्जा $U_{2} = -\frac{GMm}{2R}$ है।
स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि $\Delta U = U_{2} - U_{1} = -\frac{GMm}{2R} - (-\frac{GMm}{R}) = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{2R} = \frac{GMm}{2R}$ है।
चूँकि सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^{2}}$ है,इसलिए $GM = gR^{2}$ है।
इस मान को $\Delta U$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta U = \frac{1}{2} \frac{(gR^{2})m}{R} = \frac{1}{2} mgR$.

(D) प्रारंभ में,$B$ और $C$ के बीच का बल कूलॉम के नियम के अनुसार $F = k \frac{Q^2}{r^2}$ है।
जब अनावेशित चालक (मान लीजिए $D$) को $B$ के संपर्क में लाया जाता है,तो समान त्रिज्या होने के कारण आवेश $Q$ उनके बीच समान रूप से साझा हो जाता है। अतः,$B$ पर आवेश $Q_B = Q/2$ हो जाता है।
इसके बाद,चालक $D$ (जिस पर अब $Q/2$ आवेश है) को $C$ (जिस पर $Q$ आवेश है) के संपर्क में लाया जाता है। कुल आवेश $(Q/2 + Q) = 3Q/2$ को $C$ और $D$ के बीच समान रूप से साझा किया जाता है। अतः,$C$ पर नया आवेश $Q_C = (3Q/2) / 2 = 3Q/4$ हो जाता है।
$B$ और $C$ के बीच नया प्रतिकर्षण बल $F' = k \frac{Q_B \cdot Q_C}{r^2} = k \frac{(Q/2) \cdot (3Q/4)}{r^2} = \frac{3}{8} \left( k \frac{Q^2}{r^2} \right) = \frac{3}{8} F$ है।

(D) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,कण $q$ की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा निकटतम पहुँच के बिंदु पर स्थिर वैद्युत स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है,जहाँ कण क्षण भर के लिए विराम अवस्था में आ जाता है।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा = $\frac{1}{2}mv^2$
$r$ दूरी पर स्थिर वैद्युत स्थितिज ऊर्जा = $\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{qQ}{r}$
दोनों को बराबर करने पर: $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{qQ}{r}$
इससे,हम देख सकते हैं कि $r = \frac{qQ}{2\pi\varepsilon_0 mv^2}$,जिसका अर्थ है कि $r \propto \frac{1}{v^2}$।
यदि चाल को दोगुना कर दिया जाए $(v' = 2v)$,तो निकटतम पहुँच की नई दूरी $r'$ होगी:
$r' = r \cdot \left(\frac{v}{v'}\right)^2 = r \cdot \left(\frac{v}{2v}\right)^2 = r \cdot \frac{1}{4} = \frac{r}{4}$।
अतः,निकटतम पहुँच की दूरी $r/4$ हो जाएगी।

(C) दिए गए सर्किट को प्रतिरोधों के श्रेणी और समानांतर संयोजनों की पहचान करके सरल बनाया जा सकता है।
दिए गए समाधान चित्र के अनुसार, सर्किट को $6 \, V$ की बैटरी से जुड़ी दो समानांतर शाखाओं में परिवर्तित किया गया है, जिसमें प्रत्येक शाखा का समतुल्य प्रतिरोध $3 \, \Omega$ है।
कुल समतुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = \frac{3 \times 3}{3 + 3} = 1.5 \, \Omega$ है।
इसलिए, कुल धारा $i = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{6 \, V}{1.5 \, \Omega} = 4 \, A$ प्राप्त होती है।

(B) समानांतर क्रम में जुड़े तारों के लिए,प्रत्येक तार के सिरों पर विभवांतर $V$ समान होता है।
तार में धारा $i = V/R$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $R$ प्रतिरोध है।
प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A} = \rho \frac{l}{\pi r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि पदार्थ समान है,इसलिए प्रतिरोधकता $\rho$ स्थिर रहती है।
अतः,धाराओं का अनुपात $\frac{i_1}{i_2} = \frac{R_2}{R_1} = \frac{l_2}{l_1} \times \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2$ होगा।
दिया गया है कि $\frac{l_1}{l_2} = \frac{4}{3}$ और $\frac{r_1}{r_2} = \frac{2}{3}$।
इन मानों को रखने पर: $\frac{i_1}{i_2} = \frac{3}{4} \times \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{3}{4} \times \frac{4}{9} = \frac{1}{3}$।

(A) मीटर ब्रिज में,संतुलन की स्थिति $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l}{100 - l}$ द्वारा दी जाती है।
प्रथम स्थिति के लिए,$\frac{X}{Y} = \frac{20}{100 - 20} = \frac{20}{80} = \frac{1}{4}$ है।
अतः,$\frac{X}{Y} = \frac{1}{4}$,जिसका अर्थ है $Y = 4X$ है।
दूसरी स्थिति में,हम $4X$ को $Y$ के विरुद्ध संतुलित करते हैं। मान लीजिए कि नया शून्य विक्षेप बिंदु $l \ cm$ पर है।
तब,$\frac{4X}{Y} = \frac{l}{100 - l}$ होगा।
समीकरण में $Y = 4X$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{4X}{4X} = \frac{l}{100 - l}$।
$1 = \frac{l}{100 - l} \Rightarrow 100 - l = l \Rightarrow 2l = 100 \Rightarrow l = 50 \ cm$।

(A) माना कि दो प्रतिरोध $R_1$ और $R_2$ हैं।
श्रेणी क्रम में,तुल्य प्रतिरोध $S = R_1 + R_2$ होता है।
समानांतर क्रम में,तुल्य प्रतिरोध $P = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$ होता है।
दी गई शर्त $S = nP$ के अनुसार,मान रखने पर:
$R_1 + R_2 = n \left( \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} \right)$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $(R_1 + R_2)^2 = n R_1 R_2$ प्राप्त होता है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $(R_1 + R_2)^2 = (R_1 - R_2)^2 + 4 R_1 R_2$ का उपयोग करने पर:
$(R_1 - R_2)^2 + 4 R_1 R_2 = n R_1 R_2$.
$R_1 R_2$ से भाग देने पर,$n = 4 + \frac{(R_1 - R_2)^2}{R_1 R_2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि पद $\frac{(R_1 - R_2)^2}{R_1 R_2}$ हमेशा $0$ या उससे अधिक होता है,इसलिए $n$ का न्यूनतम मान तब प्राप्त होता है जब $R_1 = R_2$ हो,जिससे $n = 4$ प्राप्त होता है।

(A) वृत्ताकार लूप की अक्ष पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B_{axis} = \frac{\mu_0 I r^2}{2(r^2 + x^2)^{3/2}}$ होता है।
लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B_{center} = \frac{\mu_0 I}{2r}$ होता है।
अनुपात लेने पर,$\frac{B_{center}}{B_{axis}} = \frac{(r^2 + x^2)^{3/2}}{r^3} = \left( 1 + \frac{x^2}{r^2} \right)^{3/2}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $r = 3 \ cm$,$x = 4 \ cm$ और $B_{axis} = 54 \ \mu T$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\frac{B_{center}}{54} = \left( 1 + \left( \frac{4}{3} \right)^2 \right)^{3/2} = \left( 1 + \frac{16}{9} \right)^{3/2} = \left( \frac{25}{9} \right)^{3/2} = \frac{125}{27}$।
अतः,$B_{center} = 54 \times \frac{125}{27} = 2 \times 125 = 250 \ \mu T$।

(C) दो लंबे समानांतर चालकों के बीच प्रति इकाई लंबाई बल $F = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभ में,बल $F = k \frac{I_1 I_2}{d}$ है,जहाँ $k = \frac{\mu_0}{2 \pi}$ है।
नई स्थिति में,धारा $I_1$,$2I_1$ हो जाती है और दिशा उलट दी जाती है,इसलिए नई धारा $-2I_1$ है। दूरी $d$,$3d$ हो जाती है।
नया बल $F'$ इस प्रकार है: $F' = k \frac{(-2I_1) I_2}{3d} = -\frac{2}{3} \left( k \frac{I_1 I_2}{d} \right)$।
प्रारंभिक बल $F$ का मान रखने पर,हमें $F' = -\frac{2}{3} F$ प्राप्त होता है।

(B) कंपन चुंबकत्वमापी में चुंबक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $M$ चुंबकीय आघूर्ण है।
प्रारंभ में,$T = 2 \, s = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$.
जब चुंबक को उसकी लंबाई के अनुदिश तीन बराबर भागों में काटा जाता है,तो प्रत्येक भाग के लिए द्रव्यमान $m' = m/3$ और लंबाई $l' = l/3$ होती है।
प्रत्येक भाग का केंद्र से जड़त्व आघूर्ण $I' = \frac{1}{12} m' (l')^2 = \frac{1}{12} (m/3) (l/3)^2 = \frac{I}{27}$ होता है।
प्रत्येक भाग का चुंबकीय आघूर्ण $M' = M/3$ होता है।
जब ऐसे तीन भागों को एक-दूसरे के ऊपर रखा जाता है,तो कुल जड़त्व आघूर्ण $I_s = 3 \times I' = 3 \times (I/27) = I/9$ होता है।
कुल चुंबकीय आघूर्ण $M_s = 3 \times M' = 3 \times (M/3) = M$ होता है।
नया आवर्तकाल $T_s = 2\pi \sqrt{\frac{I_s}{M_s B}} = 2\pi \sqrt{\frac{I/9}{MB}} = \frac{1}{3} \times 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}} = \frac{T}{3}$ होता है।
$T = 2 \, s$ रखने पर,हमें $T_s = 2/3 \, s$ प्राप्त होता है।

(C) विद्युत चुंबक के लिए ऐसे पदार्थ की आवश्यकता होती है जिसे आसानी से चुंबकित और विचुंबकित किया जा सके।
इसे प्राप्त करने के लिए,पदार्थ की रिटेंटिविटी (धारणशीलता) कम होनी चाहिए ताकि धारा बंद होने पर वह चुंबकत्व को बनाए न रखे।
इसके अतिरिक्त,इसकी कोर्सिविटी (निग्राहिता) भी कम होनी चाहिए ताकि इसे एक छोटे विपरीत चुंबकीय क्षेत्र द्वारा आसानी से विचुंबकित किया जा सके।
इसलिए,सही विकल्प कम रिटेंटिविटी और कम कोर्सिविटी है।

(B) फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित विद्युत वाहक बल $(e)$ $e = -n \frac{\Delta \phi}{\Delta t}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ फेरों की संख्या है और $\Delta \phi = W_2 - W_1$ चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R + 4R = 5R \, \Omega$ है।
प्रेरित धारा $i$ का मान $i = \frac{e}{R_{total}}$ होता है।
मान रखने पर,हमें $i = \frac{-n(W_2 - W_1)}{5Rt}$ प्राप्त होता है।

(D) $l$ लंबाई का चालक जब $B$ चुंबकीय क्षेत्र में $\omega$ कोणीय वेग से अपने एक सिरे के परितः घूमता है,तो उत्पन्न $e.m.f.$ $(e)$ का सूत्र है:
$e = \frac{1}{2} B \omega l^2$
दिया गया है:
$l = 1\;m$
$\omega = 5\;rad/s$
$B = 0.2 \times 10^{-4}\;T$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$e = \frac{1}{2} \times (0.2 \times 10^{-4}) \times 5 \times (1)^2$
$e = 0.1 \times 10^{-4} \times 5$
$e = 0.5 \times 10^{-4}\;V$
$e = 50 \times 10^{-6}\;V = 50\;\mu V$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) $DC$ एमीटर में,एक कुंडली एक स्थिर चुंबक के चुंबकीय क्षेत्र में घूमने के लिए स्वतंत्र होती है।
यदि ऐसी कुंडली से प्रत्यावर्ती धारा प्रवाहित की जाती है,तो हर बार धारा की दिशा बदलने पर टॉर्क अपनी दिशा बदल लेगा।
चूंकि $AC$ की आवृत्ति आमतौर पर अधिक होती है,इसलिए कुंडली अपने जड़त्व के कारण टॉर्क में होने वाले तीव्र परिवर्तनों का पालन नहीं कर पाती है।
परिणामस्वरूप,एक पूर्ण चक्र पर टॉर्क का औसत मान शून्य होता है और सूचक (पॉइंटर) शून्य स्थिति पर ही रहता है।

(C) $LCR$ परिपथ की अनुनाद आवृत्ति का सूत्र है: $\nu_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$।
अनुनाद आवृत्ति $\nu_0$ को स्थिर रखने के लिए,$LC$ का गुणनफल स्थिर रहना चाहिए।
मान लीजिए कि नया प्रेरकत्व $L'$ है। दिया गया है कि नई धारिता $C' = 2C$ है,इसलिए:
$L' \cdot C' = L \cdot C$
$L' \cdot (2C) = L \cdot C$
$L' = \frac{L \cdot C}{2C} = \frac{L}{2}$।
अतः,प्रेरकत्व को $L$ से बदलकर $L/2$ किया जाना चाहिए।

(D) एक $LCR$ श्रेणी $ac$ परिपथ में,प्रेरक $(V_L)$ के सिरों पर विभवांतर और संधारित्र $(V_C)$ के सिरों पर विभवांतर एक-दूसरे से $180^{\circ}$ के कलांतर (phase difference) पर होते हैं।
दिया गया है कि $V_L = 50\,V$ और $V_C = 50\,V$ है।
$LC$ संयोजन के सिरों पर कुल विभवांतर फेजर योग द्वारा प्राप्त होता है: $V_{LC} = |V_L - V_C|$.
मान रखने पर: $V_{LC} = |50\,V - 50\,V| = 0\,V$.
अतः,$LC$ संयोजन के सिरों पर विभवांतर $0\,V$ होगा।

(C) पदार्थ का कार्य फलन $W_0 = 4.0 \,eV$ दिया गया है।
देहली तरंगदैर्ध्य $\lambda_0$ वह अधिकतम तरंगदैर्ध्य है जो प्रकाशिक उत्सर्जन उत्पन्न कर सकती है।
इसका सूत्र है: $\lambda_0 = \frac{hc}{W_0}$।
$hc \approx 12400 \,eV \cdot \mathring{A}$ का उपयोग करते हुए:
$\lambda_0 = \frac{12400 \,eV \cdot \mathring{A}}{4.0 \,eV} = 3100 \,\mathring{A}$।
चूंकि $1 \,nm = 10 \,\mathring{A}$,इसलिए $\lambda_0 = 310 \,nm$ प्राप्त होता है।

(A) आइंस्टीन का प्रकाश-विद्युत समीकरण है: $K{E_{\max }} = h\nu - \Phi$,जहाँ $\Phi = h{\nu _0}$ धातु का कार्य-फलन (work function) है।
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,जहाँ $y = K{E_{\max }}$ और $x = \nu$ (आवृत्ति) है:
$K{E_{\max }} = h\nu - h{\nu _0}$
इस रेखा का ढाल $m$,$h$ (प्लांक नियतांक) के बराबर है।
चूंकि $h$ एक सार्वत्रिक नियतांक है,इसलिए ढाल सभी धातुओं के लिए समान होता है और यह आपतित विकिरण की तीव्रता से स्वतंत्र होता है।

(B) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,नाभिक का प्रारंभिक संवेग शून्य है,इसलिए दोनों भागों के अंतिम संवेग समान और विपरीत होने चाहिए: $m_1 v_1 = m_2 v_2$.
दिया गया वेग अनुपात $\frac{v_1}{v_2} = \frac{2}{1}$ है,इसलिए $\frac{m_2}{m_1} = \frac{v_1}{v_2} = \frac{2}{1}$.
चूंकि नाभिकीय पदार्थ का घनत्व $\rho$ स्थिर है,द्रव्यमान $m$ आयतन $V$ के समानुपाती होता है,जहाँ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है। अतः,$\frac{m_2}{m_1} = \frac{r_2^3}{r_1^3}$.
अनुपातों की तुलना करने पर: $\frac{r_2^3}{r_1^3} = \frac{2}{1}$.
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर: $\frac{r_2}{r_1} = 2^{1/3}$.
इसलिए,उनकी त्रिज्याओं का अनुपात $r_1 : r_2 = 1 : 2^{1/3}$ होगा।

(C) निकटतम पहुँच की दूरी पर,$\alpha$-कण की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा पूरी तरह से स्थिर वैद्युत स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
$K.E. = P.E.$
$5 \; MeV = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{(Ze)(2e)}{r_0}$
दिया गया है:
$K.E. = 5 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} \; J = 8 \times 10^{-13} \; J$
$Z = 92$ (यूरेनियम के लिए)
$e = 1.6 \times 10^{-19} \; C$
$\frac{1}{4\pi\epsilon_0} = 9 \times 10^9 \; N \cdot m^2/C^2$
मान रखने पर:
$8 \times 10^{-13} = \frac{9 \times 10^9 \times 92 \times 2 \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{r_0}$
$r_0$ के लिए हल करने पर:
$r_0 = \frac{9 \times 10^9 \times 184 \times 2.56 \times 10^{-38}}{8 \times 10^{-13}}$
$r_0 \approx 5.3 \times 10^{-14} \; m = 5.3 \times 10^{-12} \; cm$
अतः,दूरी की कोटि $10^{-12} \; cm$ है।

(D) तांबा $(Cu)$ एक सुचालक है,और तापमान कम होने पर इसका प्रतिरोध घटता है क्योंकि जाली कंपन (lattice vibrations) द्वारा इलेक्ट्रॉनों का प्रकीर्णन कम हो जाता है।
जर्मेनियम $(Ge)$ एक अर्धचालक है,और तापमान कम होने पर इसका प्रतिरोध बढ़ता है क्योंकि तापमान में कमी के साथ मुक्त आवेश वाहकों (इलेक्ट्रॉनों और होल्स) की संख्या तेजी से घटती है।
इसलिए,तांबे का प्रतिरोध घटता है जबकि जर्मेनियम का प्रतिरोध बढ़ता है।

(B) ठोसों में ऊर्जा बैंड का निर्माण $Pauli$ के अपवर्जन सिद्धांत का सीधा परिणाम है। इस सिद्धांत के अनुसार,एक परमाणु में किन्हीं भी दो इलेक्ट्रॉनों के लिए चारों क्वांटम संख्याओं का सेट समान नहीं हो सकता है। जब परमाणुओं को एक ठोस बनाने के लिए एक साथ लाया जाता है,तो इलेक्ट्रॉनों के बीच परस्पर क्रिया और इस आवश्यकता के कारण कि प्रत्येक इलेक्ट्रॉन को एक अद्वितीय क्वांटम अवस्था में होना चाहिए,उनके अलग-अलग ऊर्जा स्तर बारीकी से व्यवस्थित ऊर्जा बैंड में विभाजित हो जाते हैं।

(D) फॉरवर्ड बायसिंग में,बैटरी का धनात्मक टर्मिनल $p$-सिरे से और ऋणात्मक टर्मिनल $p-n$ जंक्शन डायोड के $n$-सिरे से जुड़ा होता है।
यह बाहरी विद्युत क्षेत्र जंक्शन के आंतरिक विद्युत क्षेत्र का विरोध करता है।
परिणामस्वरूप,अवक्षय क्षेत्र की चौड़ाई $(x)$ कम हो जाती है और विभव अवरोध ऊंचाई $(V_B)$ भी कम हो जाती है।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(A) एक $NPN$ ट्रांजिस्टर में,एमिटर $N-$प्रकार का,बेस $P-$प्रकार का और कलेक्टर $N-$प्रकार का होता है। जब इसे एम्पलीफायर के रूप में उपयोग किया जाता है,तो एमिटर-बेस जंक्शन फॉरवर्ड बायस में होता है और कलेक्टर-बेस जंक्शन रिवर्स बायस में होता है। $N-$प्रकार के एमिटर में इलेक्ट्रॉन बहुसंख्यक आवेश वाहक होते हैं,जो बेस में इंजेक्ट किए जाते हैं। बेस क्षेत्र पतला होने के कारण,इनमें से अधिकांश इलेक्ट्रॉन बेस से होकर गुजरते हैं और कलेक्टर द्वारा एकत्र कर लिए जाते हैं। इस प्रकार,इलेक्ट्रॉन एमिटर से बेस की ओर और फिर बेस से कलेक्टर की ओर गति करते हैं।

(D) कॉमन एमिटर कॉन्फ़िगरेशन में,करंट गेन $A_i$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$A_i = \frac{-h_{fe}}{1 + h_{oe} R_L}$
दिया गया है:
$h_{fe} = 50$
$h_{oe} = 25 \ \mu A/V = 25 \times 10^{-6} \ S$
$R_L = 1 \ k\Omega = 10^3 \ \Omega$
मान रखने पर:
$A_i = \frac{-50}{1 + (25 \times 10^{-6}) \times 10^3}$
$A_i = \frac{-50}{1 + 0.025}$
$A_i = \frac{-50}{1.025}$
$A_i \approx -48.78$

(A) चांदी की परत चढ़ा हुआ समतल-उत्तल लेंस एक अवतल दर्पण की तरह कार्य करता है।
चांदी की परत वाले लेंस की प्रभावी फोकस दूरी $F$ का सूत्र $F = \frac{R}{2\mu}$ है,जहाँ $R$ वक्रता त्रिज्या है और $\mu$ अपवर्तनांक है।
दिए गए मानों को रखने पर: $F = \frac{30 \ cm}{2 \times 1.5} = \frac{30}{3} = 10 \ cm$।
चूंकि यह प्रणाली एक अवतल दर्पण के रूप में कार्य करती है,इसलिए वस्तु के आकार के बराबर वास्तविक प्रतिबिंब प्राप्त करने के लिए,वस्तु को वक्रता केंद्र पर रखा जाना चाहिए।
दर्पण से वक्रता केंद्र की दूरी $2F$ होती है।
अतः,वस्तु की दूरी $u = 2F = 2 \times 10 \ cm = 20 \ cm$ होगी।

(C) पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए,आपतन कोण $i$ का मान क्रांतिक कोण $C$ से अधिक होना चाहिए,अर्थात $i > C$।
चित्र से,किरण कर्ण पर $i = \theta = 45^o$ के आपतन कोण पर टकराती है।
पूर्ण आंतरिक परावर्तन होने के लिए,हमारे पास $\theta > C$ होना चाहिए।
दोनों तरफ साइन लेने पर,$\sin \theta > \sin C$।
चूंकि $\sin C = \frac{1}{n}$,जहाँ $n$ हवा के सापेक्ष कांच का अपवर्तनांक है,इसलिए $\sin \theta > \frac{1}{n}$।
$n$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $n > \frac{1}{\sin \theta}$ प्राप्त होता है।
$\theta = 45^o$ रखने पर,हमें $n > \frac{1}{\sin 45^o} = \frac{1}{1/\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,कांच का अपवर्तनांक $n > \sqrt{2}$ होना चाहिए।

(D) ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,जब प्रकाश ध्रुवण कोण (ब्रूस्टर कोण,$\theta_p$) पर आपतित होता है,तो परावर्तित प्रकाश पूरी तरह से समतल ध्रुवीकृत हो जाता है।
ब्रूस्टर का नियम बताता है कि माध्यम का अपवर्तनांक $n$,ध्रुवण कोण $\theta_p$ के स्पर्शज्या (tangent) के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,$n = \tan(\theta_p)$।
इसलिए,ध्रुवण कोण $\theta_p = \tan^{-1}(n)$ है।

(C) माध्यम का अपवर्तनांक $n$,$n = \sqrt{\frac{\mu\varepsilon}{\mu_0\varepsilon_0}}$ द्वारा दिया जाता है।
यह मानते हुए कि माध्यम अचुंबकीय है,$\mu = \mu_0$,इसलिए $n = \sqrt{\frac{\varepsilon}{\varepsilon_0}}$।
दी गई सापेक्ष विद्युतशीलता (परावैद्युत स्थिरांक) $K = \frac{\varepsilon}{\varepsilon_0} = 4.0$ है,इसलिए $n = \sqrt{4.0} = 2$ है।
विद्युतचुंबकीय तरंग की आवृत्ति $\nu$ केवल स्रोत पर निर्भर करती है और विभिन्न माध्यमों से गुजरते समय अपरिवर्तित रहती है।
माध्यम में तरंग की गति $v = \frac{c}{n} = \frac{c}{2}$ होती है।
चूंकि $v = \nu\lambda$,नई तरंगदैर्ध्य $\lambda' = \frac{v}{\nu} = \frac{c/2}{\nu} = \frac{\lambda}{2}$ होगी।
अतः,तरंगदैर्ध्य आधी हो जाती है और आवृत्ति अपरिवर्तित रहती है।

(B) व्यतिकरण उच्चिष्ठ के लिए,पथांतर $\Delta = d \sin \theta = n\lambda$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है।
दिया गया है कि झिरियों के बीच की दूरी $d = 2\lambda$ है।
इसे समीकरण में रखने पर: $2\lambda \sin \theta = n\lambda$,जो सरल होकर $\sin \theta = \frac{n}{2}$ हो जाता है।
चूँकि $\sin \theta$ का मान $[-1, 1]$ की सीमा में होना चाहिए,इसलिए $-1 \le \frac{n}{2} \le 1$,जिसका अर्थ है $-2 \le n \le 2$।
$n$ के लिए संभावित पूर्णांक मान $-2, -1, 0, 1, 2$ हैं।
इन मानों की गणना करने पर,हमें कुल $5$ उच्चिष्ठ प्राप्त होते हैं।

(B) फोटॉन की ऊर्जा $E = pc$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $p$ फोटॉन का संवेग है और $C$ प्रकाश की गति है।
इसलिए,सतह पर आपतित विकिरण का प्रारंभिक संवेग $p_i = E/C$ है।
चूंकि सतह पूर्णतः परावर्तक है,विकिरण समान संवेग परिमाण के साथ लेकिन विपरीत दिशा में परावर्तित होता है।
अतः,विकिरण का अंतिम संवेग $p_f = -E/C$ है।
सतह को स्थानांतरित संवेग विकिरण के संवेग में परिवर्तन है,जो $\Delta p = p_i - p_f$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\Delta p = E/C - (-E/C) = E/C + E/C = 2E/C$.

(B) नाभिकीय संलयन अभिक्रिया इस प्रकार है: $_1H^2 + _1H^2 \to _2He^4 + \Delta E$.
ड्यूटेरॉन के लिए प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा $1.1 \, MeV$ है।
चूंकि एक ड्यूटेरॉन में $2$ न्यूक्लियॉन होते हैं,इसलिए एक ड्यूटेरॉन की कुल बंधन ऊर्जा $2 \times 1.1 = 2.2 \, MeV$ है।
दो ड्यूटेरियम नाभिकों के लिए,कुल प्रारंभिक बंधन ऊर्जा $2 \times 2.2 = 4.4 \, MeV$ है।
हीलियम नाभिक $(He^4)$ के लिए प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा $7.0 \, MeV$ है।
चूंकि हीलियम नाभिक में $4$ न्यूक्लियॉन होते हैं,इसलिए कुल बंधन ऊर्जा $4 \times 7.0 = 28.0 \, MeV$ है।
संलयन प्रक्रिया में मुक्त ऊर्जा,उत्पाद की कुल बंधन ऊर्जा और अभिकारकों की कुल बंधन ऊर्जा के बीच का अंतर है:
$\Delta E = 28.0 \, MeV - 4.4 \, MeV = 23.6 \, MeV$.

(A) चूंकि तेल की बूंद संतुलन में लटकी हुई है,इसलिए नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल ऊपर की ओर लगने वाले विद्युत बल द्वारा संतुलित होता है।
$F_{e} = F_{g}$
$qE = mg$
$q = \frac{mg}{E}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$q = \frac{9.9 \times 10^{-15} \times 10}{3 \times 10^{4}}$
$q = \frac{9.9 \times 10^{-14}}{3 \times 10^{4}}$
$q = 3.3 \times 10^{-18} \; C$
अतः,बूंद पर आवेश $3.3 \times 10^{-18} \; C$ है।

(B) एम्पीयर के परिपथीय नियम के अनुसार,किसी भी बंद लूप के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ का रेखीय समाकलन लूप द्वारा परिबद्ध कुल धारा $I_{\text{en}}$ के $\mu_0$ गुना के बराबर होता है: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{en}}$.
अनंत लंबी पतली दीवार वाली नली के अंदर किसी भी बिंदु के लिए,हम $r$ त्रिज्या का एक वृत्ताकार एम्पीरियन लूप मान सकते हैं (जहाँ $r < R$,नली की त्रिज्या है)।
चूंकि धारा $i$ केवल नली की सतह पर बहती है,इसलिए इस एम्पीरियन लूप द्वारा परिबद्ध धारा $I_{\text{en}} = 0$ है।
अतः,$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0(0) = 0$.
इसका अर्थ है कि नली के अंदर किसी भी बिंदु पर चुंबकीय प्रेरण $B$ का मान $0$ है।

(B) अर्धवृत्त का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \pi r^{2}$ है।
समय $t$ पर लूप से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B A \cos(\omega t) = B \left(\frac{1}{2} \pi r^{2}\right) \cos(\omega t)$ है।
प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ फैराडे के नियम द्वारा दिया जाता है: $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt} = \frac{1}{2} B \pi r^{2} \omega \sin(\omega t)$।
उत्पन्न तात्क्षणिक शक्ति $P(t) = \frac{\varepsilon^{2}}{R} = \frac{(\frac{1}{2} B \pi r^{2} \omega \sin(\omega t))^{2}}{R} = \frac{B^{2} \pi^{2} r^{4} \omega^{2} \sin^{2}(\omega t)}{4 R}$ है।
एक पूर्ण आवर्तकाल पर औसत शक्ति $\langle P \rangle = \frac{B^{2} \pi^{2} r^{4} \omega^{2}}{4 R} \langle \sin^{2}(\omega t) \rangle$ है।
चूंकि एक आवर्तकाल पर $\sin^{2}(\omega t)$ का औसत मान $\frac{1}{2}$ होता है,इसलिए $\langle P \rangle = \frac{B^{2} \pi^{2} r^{4} \omega^{2}}{4 R} \cdot \frac{1}{2} = \frac{(B \pi r^{2} \omega)^{2}}{8 R}$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए तार की लंबाई $L$ है। $r$ त्रिज्या वाले एक फेरे के लूप के लिए,परिधि $2 \pi r = L$ है,इसलिए $r = \frac{L}{2 \pi}$।
एक फेरे वाले लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_{0} I}{2 r} = \frac{\mu_{0} I}{2 (L / 2 \pi)} = \frac{\mu_{0} I \pi}{L}$ है।
जब उसी तार को $n$ फेरों में मोड़ा जाता है,तो नई त्रिज्या $r'$ का मान $n (2 \pi r') = L$ होता है,इसलिए $r' = \frac{L}{2 \pi n} = \frac{r}{n}$।
$n$ फेरों वाले लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{n} = n \times \frac{\mu_{0} I}{2 r'} = n \times \frac{\mu_{0} I}{2 (r / n)} = n^{2} \times \frac{\mu_{0} I}{2 r}$ है।
चूंकि $B = \frac{\mu_{0} I}{2 r}$,इसलिए $B_{n} = n^{2} B$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए कि वर्ग की भुजा $a$ है। केंद्र से प्रत्येक कोने की दूरी $r = \frac{a}{\sqrt{2}}$ है।
निकाय के संतुलन में रहने के लिए,किसी भी कोने पर स्थित आवेश पर कुल बल शून्य होना चाहिए।
एक कोने पर स्थित $-Q$ आवेश पर विचार करें। उस पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. अन्य तीन $-Q$ आवेशों द्वारा लगाया गया प्रतिकर्षण बल।
मान लीजिए $F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q^2}{a^2}$ है।
भुजाओं के अनुदिश दो बलों का परिणामी बल $F_{res} = \sqrt{F^2 + F^2} = \sqrt{2} F$ है।
विकर्ण पर स्थित आवेश द्वारा लगाया गया बल $F_{diag} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q^2}{(\sqrt{2}a)^2} = \frac{F}{2}$ है।
कुल प्रतिकर्षण बल $F_{total} = \sqrt{2} F + \frac{F}{2} = F(\sqrt{2} + \frac{1}{2})$ है।
$2$. केंद्रीय आवेश $q$ द्वारा लगाया गया आकर्षण बल: $F_q = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q Q}{r^2} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q Q}{(a/\sqrt{2})^2} = \frac{2 q Q}{4 \pi \epsilon_0 a^2}$ है।
संतुलन के लिए,$F_q = F_{total} \implies \frac{2 q Q}{4 \pi \epsilon_0 a^2} = \frac{Q^2}{4 \pi \epsilon_0 a^2} (\sqrt{2} + \frac{1}{2})$.
$2q = Q(\sqrt{2} + 0.5) = Q(\frac{2\sqrt{2}+1}{2})$.
$q = \frac{Q}{4}(1 + 2\sqrt{2})$.
चूंकि बल को आकर्षण बल होना चाहिए,इसलिए $q$ का चिह्न $-Q$ के विपरीत होना चाहिए,अतः $q$ धनात्मक है।