AIEEE 2004 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) दिया गया है $|z^2 - 1| = |z|^2 + 1$.
माना $z = x + iy$. तब $|z|^2 = x^2 + y^2$.
समीकरण में $z = x + iy$ रखने पर:
$|(x + iy)^2 - 1| = x^2 + y^2 + 1$
$|(x^2 - y^2 - 1) + i(2xy)| = x^2 + y^2 + 1$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x^2 - y^2 - 1)^2 + (2xy)^2 = (x^2 + y^2 + 1)^2$
$(x^2 - y^2 - 1)^2 + 4x^2y^2 = (x^2 + y^2 + 1)^2$
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:
$(x^4 + y^4 + 1 - 2x^2y^2 - 2x^2 + 2y^2) + 4x^2y^2 = x^4 + y^4 + 1 + 2x^2y^2 + 2x^2 + 2y^2$
$x^4 + y^4 + 1 + 2x^2y^2 - 2x^2 + 2y^2 = x^4 + y^4 + 1 + 2x^2y^2 + 2x^2 + 2y^2$
दोनों पक्षों से समान पदों को घटाने पर:
$-2x^2 = 2x^2$
$4x^2 = 0 \implies x = 0$.
चूंकि $x = 0$,सम्मिश्र संख्या $z = 0 + iy = iy$ काल्पनिक अक्ष पर स्थित है।

(C) दिया गया है कि $\text{arg}(zw) = \pi$ $(i)$
$\overline{z} + i\overline{w} = 0$ $\Rightarrow \overline{z} = -i\overline{w}$ $\Rightarrow z = i w$ $\Rightarrow w = -iz$
$w = -iz$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\text{arg}(z(-iz)) = \pi$
$\text{arg}(-iz^2) = \pi$
$\text{arg}(-i) + \text{arg}(z^2) = \pi$
$\text{arg}(-i) + 2\text{arg}(z) = \pi$
चूँकि $\text{arg}(-i) = -\pi / 2$,इसलिए:
$-\pi / 2 + 2\text{arg}(z) = \pi$
$2\text{arg}(z) = 3\pi / 2$
$\text{arg}(z) = 3\pi / 4$

(C) दिया गया है कि $4$ समीकरण $x^2 + px + 12 = 0$ का एक मूल है।
समीकरण में $x = 4$ रखने पर: $4^2 + p(4) + 12 = 0$.
$16 + 4p + 12 = 0$ $\Rightarrow 4p = -28$ $\Rightarrow p = -7$.
अब,दूसरा समीकरण $x^2 + px + q = 0$ है,जो $x^2 - 7x + q = 0$ हो जाता है।
चूंकि इस समीकरण के मूल समान हैं,इसलिए विविक्तकर (discriminant) $D = b^2 - 4ac = 0$ होना चाहिए।
$(-7)^2 - 4(1)(q) = 0$.
$49 - 4q = 0$ $\Rightarrow 4q = 49$ $\Rightarrow q = \frac{49}{4}$.

(B) मान लीजिए कि दो संख्याएँ $x_1$ और $x_2$ हैं।
समांतर माध्य $\frac{x_1 + x_2}{2} = 9$ है,जिसका अर्थ है $x_1 + x_2 = 18$.
गुणोत्तर माध्य $\sqrt{x_1 x_2} = 4$ है,जिसका अर्थ है $x_1 x_2 = 16$.
द्विघात समीकरण का सूत्र $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ है।
मान रखने पर,हमें $x^2 - 18x + 16 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) व्यंजक $(1 + x)(1 - x)^n = (1 - x)^n + x(1 - x)^n$ है।
हमें इस व्यंजक में $x^n$ का गुणांक ज्ञात करना है।
$(1 - x)^n$ में $x^n$ का गुणांक सामान्य पद $T_{r+1} = \binom{n}{r} (1)^{n-r} (-x)^r = \binom{n}{r} (-1)^r x^r$ द्वारा दिया जाता है।
$r = n$ के लिए,गुणांक $\binom{n}{n} (-1)^n = (-1)^n$ है।
$x(1 - x)^n$ में $x^n$ का गुणांक $(1 - x)^n$ में $x^{n-1}$ का गुणांक है।
$r = n-1$ के लिए,गुणांक $\binom{n}{n-1} (-1)^{n-1} = n (-1)^{n-1} = -n (-1)^n$ है।
इन दोनों को जोड़ने पर,कुल गुणांक $(-1)^n - n(-1)^n = (-1)^n(1 - n)$ प्राप्त होता है।

(D) हमारे पास ${S_n} = \sum\limits_{r = 0}^n {\frac{1}{{^n{C_r}}}} $ और ${t_n} = \sum\limits_{r = 0}^n {\frac{r}{{^n{C_r}}}} $ है।
गुणधर्म ${^n{C_r}} = {^n{C_{n - r}}}$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं ${t_n} = \sum\limits_{r = 0}^n {\frac{{n - r}}{{^n{C_{n - r}}}}} = \sum\limits_{r = 0}^n {\frac{{n - r}}{{^n{C_r}}}} $.
अतः,${t_n} = n \sum\limits_{r = 0}^n {\frac{1}{{^n{C_r}}}} - \sum\limits_{r = 0}^n {\frac{r}{{^n{C_r}}}} $.
यह ${t_n} = n \cdot {S_n} - {t_n}$ में सरल हो जाता है।
दोनों पक्षों में ${t_n}$ जोड़ने पर,हमें $2{t_n} = n \cdot {S_n}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\frac{{{t_n}}}{{{S_n}}} = \frac{n}{2}$.

(A) माना पेड़ की ऊँचाई $h$ है और नदी की चौड़ाई $b$ है।
दी गई जानकारी के अनुसार:
पहले त्रिभुज में,$\tan 60^\circ = \frac{h}{b} \Rightarrow h = b \tan 60^\circ = b\sqrt{3}$।
दूसरे त्रिभुज में,$\tan 30^\circ = \frac{h}{b + 40} \Rightarrow h = (b + 40) \tan 30^\circ = \frac{b + 40}{\sqrt{3}}$।
$h$ के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$b\sqrt{3} = \frac{b + 40}{\sqrt{3}}$
$3b = b + 40$
$2b = 40$
$b = 20 \ m$।

(D) मान लीजिए कि तीसरा शीर्ष $C$ बिंदु $(x, y)$ है।
त्रिभुज $ABC$ का केंद्रक $G$ इस प्रकार है:
$G = \left( \frac{2 - 2 + x}{3}, \frac{-3 + 1 + y}{3} \right) = \left( \frac{x}{3}, \frac{y - 2}{3} \right)$.
यह दिया गया है कि केंद्रक रेखा $2x + 3y = 1$ पर चलता है,इसलिए $G$ के निर्देशांक को इस समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$2\left( \frac{x}{3} \right) + 3\left( \frac{y - 2}{3} \right) = 1$.
पूरे समीकरण को $3$ से गुणा करने पर:
$2x + 3(y - 2) = 3$
$2x + 3y - 6 = 3$
$2x + 3y = 9$.
अतः,शीर्ष $C$ का बिंदु पथ $2x + 3y = 9$ है।

(A) माना $x$-अक्ष और $y$-अक्ष पर अंतःखंड क्रमशः $a$ और $b$ हैं।
दिया गया है कि $a + b = -1$,इसलिए $b = -1 - a$।
अंतःखंड रूप में रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
$b$ का मान रखने पर,$\frac{x}{a} + \frac{y}{-(1+a)} = 1$,अर्थात $\frac{x}{a} - \frac{y}{1+a} = 1$।
चूंकि रेखा $(4, 3)$ से गुजरती है,इसलिए $\frac{4}{a} - \frac{3}{1+a} = 1$।
$a(1+a)$ से गुणा करने पर,$4(1+a) - 3a = a(1+a)$।
$4 + 4a - 3a = a + a^2$।
$4 + a = a + a^2$,जो सरल होकर $a^2 = 4$ देता है,इसलिए $a = 2$ या $a = -2$।
यदि $a = 2$,तो $b = -1 - 2 = -3$। समीकरण $\frac{x}{2} + \frac{y}{-3} = 1$ या $\frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 1$ प्राप्त होता है।
यदि $a = -2$,तो $b = -1 - (-2) = 1$। समीकरण $\frac{x}{-2} + \frac{y}{1} = 1$ प्राप्त होता है।

(A) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $6x^2 - xy + 4cy^2 = 0$ $(i)$ है।
रेखा $3x + 4y = 0$ की ढाल $m_1 = -\frac{3}{4}$ है।
समघातीय समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के लिए,ढालों का गुणनफल $m_1 m_2 = \frac{a}{b}$ होता है।
यहाँ,$a = 6$,$2h = -1$,और $b = 4c$ है। अतः,$m_1 m_2 = \frac{6}{4c} = \frac{3}{2c}$ है।
$m_1 = -\frac{3}{4}$ रखने पर,$(-\frac{3}{4}) m_2 = \frac{3}{2c}$,जिसका अर्थ है $m_2 = -\frac{2}{c}$।
ढालों का योग $m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b} = -\frac{-1}{4c} = \frac{1}{4c}$ होता है।
$m_1$ और $m_2$ के मान रखने पर: $-\frac{3}{4} - \frac{2}{c} = \frac{1}{4c}$।
$4c$ से गुणा करने पर,$-3c - 8 = 1$ प्राप्त होता है।
$-3c = 9$,इसलिए $c = -3$।

(C) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण ${x^2} - 2cxy - 7{y^2} = 0$ है।
इसे व्यापक समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = 1$,$2h = -2c$,और $b = -7$ प्राप्त होता है।
माना रेखाओं के ढाल $m_1$ और $m_2$ हैं।
ढालों का योग $m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b} = -\frac{-2c}{-7} = -\frac{2c}{7}$ है।
ढालों का गुणनफल $m_1m_2 = \frac{a}{b} = \frac{1}{-7} = -\frac{1}{7}$ है।
प्रश्न के अनुसार,ढालों का योग उनके गुणनफल का चार गुना है:
$m_1 + m_2 = 4(m_1m_2)$
$-\frac{2c}{7} = 4 \times (-\frac{1}{7})$
$-\frac{2c}{7} = -\frac{4}{7}$
$2c = 4$
$c = 2$.

(D) वृत्त का केंद्र उसके व्यासों का प्रतिच्छेदन बिंदु होता है। समीकरणों को हल करने पर:
$2x + 3y = -1$ $(i)$
$3x - y = 4$ (ii)
(ii) को $3$ से गुणा करने पर: $9x - 3y = 12$ (iii)
$(i)$ और (iii) को जोड़ने पर: $11x = 11 \Rightarrow x = 1$.
$x = 1$ को (ii) में रखने पर: $3(1) - y = 4 \Rightarrow y = -1$.
अतः,केंद्र $(h, k) = (1, -1)$ है।
परिधि $2\pi r = 10\pi$ दी गई है,जिससे त्रिज्या $r = 5$ प्राप्त होती है।
वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ के अनुसार:
$(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 5^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 = 25$
$x^2 + y^2 - 2x + 2y - 23 = 0$.

(D) दिया गया है कि वृत्त ${x^2} + {y^2} - 2x = 0$ $(i)$ है और रेखा $y = x$ $(ii)$ है।
$(i)$ में $y = x$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
${x^2} + {x^2} - 2x = 0$
$2{x^2} - 2x = 0$
$2x(x - 1) = 0$
अतः,$x = 0$ या $x = 1$ है।
चूंकि $y = x$ है,प्रतिच्छेदन बिंदु $A = (0, 0)$ और $B = (1, 1)$ हैं।
व्यास के अंत बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ होता है।
$A(0, 0)$ और $B(1, 1)$ रखने पर:
$(x - 0)(x - 1) + (y - 0)(y - 1) = 0$
$x(x - 1) + y(y - 1) = 0$
${x^2} - x + {y^2} - y = 0$
${x^2} + {y^2} - x - y = 0$.

(B) माना चर वृत्त का समीकरण ${x^2} + {y^2} + 2gx + 2fy + c = 0$ है $... (i)$।
चूंकि वृत्त $(i)$,वृत्त ${x^2} + {y^2} - 4 = 0$ को लंबकोणीय काटता है,इसलिए $2g(0) + 2f(0) = c - 4$,जिसका अर्थ है $c = 4$।
चूंकि वृत्त $(i)$,बिंदु $(a, b)$ से गुजरता है,इसलिए ${a^2} + {b^2} + 2ga + 2fb + 4 = 0$।
केंद्र $(-g, -f)$ का बिंदुपथ ज्ञात करने के लिए,$x = -g$ और $y = -f$ लें,जिससे $g = -x$ और $f = -y$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर,${a^2} + {b^2} + 2(-x)a + 2(-y)b + 4 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदुपथ $2ax + 2by - ({a^2} + {b^2} + 4) = 0$ है।

(D) दिए गए परवलय $y^2 = 4ax$ $(i)$ और $x^2 = 4ay$ $(ii)$ हैं।
$(ii)$ से $y = \frac{x^2}{4a}$ का मान $(i)$ में रखने पर,हमें $\frac{x^4}{16a^2} = 4ax$ प्राप्त होता है।
यह $x^4 - 64a^3x = 0$ या $x(x^3 - 64a^3) = 0$ में सरल हो जाता है।
अतः,$x = 0$ या $x = 4a$ है।
$x = 0$ के लिए,$y = 0$ है। $x = 4a$ के लिए,$y = 4a$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $A(0, 0)$ और $B(4a, 4a)$ हैं।
रेखा $2bx + 3cy + 4d = 0$ बिंदु $(0, 0)$ से होकर गुजरती है,इसलिए $2b(0) + 3c(0) + 4d = 0$,जिसका अर्थ है $d = 0$ है।
यह रेखा $(4a, 4a)$ से भी होकर गुजरती है,इसलिए $2b(4a) + 3c(4a) + 4(0) = 0$ है।
$4a$ से भाग देने पर (चूंकि $a \ne 0$),हमें $2b + 3c = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $d = 0$ और $2b + 3c = 0$ है,इसलिए $d^2 + (2b + 3c)^2 = 0$ होता है।

(B) दिया गया है कि नियता $x = 4$ है,जो $y$-अक्ष के समानांतर है,इसलिए दीर्घवृत्त का मुख्य अक्ष $x$-अक्ष पर है।
माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a > b$ है।
उत्केंद्रता $e = \frac{1}{2}$ है।
संबंध $e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$ का उपयोग करने पर,$\frac{b^2}{a^2} = 1 - e^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
नियता का समीकरण $x = \frac{a}{e}$ है। अतः $\frac{a}{e} = 4$ है।
$e = \frac{1}{2}$ रखने पर,$a = 4e = 4 \times \frac{1}{2} = 2$ प्राप्त होता है।
अब,$b^2 = \frac{3}{4}a^2 = \frac{3}{4} \times 4 = 3$ है।
अतः,दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ है,जिसे सरल करने पर $3x^2 + 4y^2 = 12$ प्राप्त होता है।

(B) हम जानते हैं कि $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {(1 + f(x))^{g(x)}} = e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f(x)g(x)}$ यदि $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f(x) = 0$ हो।
दिया गया है $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{a}{x} + \frac{b}{{{x^2}}}} \right)^{2x}} = {e^2}$।
सूत्र का उपयोग करने पर,हमें $e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (\frac{a}{x} + \frac{b}{{{x^2}}}) \cdot 2x} = {e^2}$ प्राप्त होता है।
यह $e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (2a + \frac{2b}{x})} = {e^2}$ में सरल हो जाता है।
सीमा का मूल्यांकन करने पर,हमें $e^{2a + 0} = {e^2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$e^{2a} = {e^2}$,जिसका अर्थ है $2a = 2$,इसलिए $a = 1$।
चूंकि जैसे-जैसे $x \to \infty$ होता है,पद $\frac{b}{x^2}$ शून्य हो जाता है,इसलिए $b$ कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है।
अतः,$a = 1$ और $b \in \mathbb{R}$।

(D) क्रमचय ${}^{n}P_{r}$ को परिभाषित होने के लिए,हमारे पास $n \ge r \ge 0$ और $n, r \in \mathbb{Z}^+ \cup \{0\}$ होना चाहिए।
यहाँ,$n = 7 - x$ और $r = x - 3$ है।
$1$. $n \ge r \implies 7 - x \ge x - 3 \implies 10 \ge 2x \implies x \le 5$.
$2$. $r \ge 0 \implies x - 3 \ge 0 \implies x \ge 3$.
$3$. $n \ge 0 \implies 7 - x \ge 0 \implies x \le 7$.
इन शर्तों को मिलाने पर,प्रांत (domain) $x \in \{3, 4, 5\}$ प्राप्त होता है।
अब,प्रांत के प्रत्येक मान के लिए $f(x)$ की गणना करते हैं:
$x = 3$ के लिए: $f(3) = {}^{7-3}P_{3-3} = {}^{4}P_{0} = 1$.
$x = 4$ के लिए: $f(4) = {}^{7-4}P_{4-3} = {}^{3}P_{1} = 3$.
$x = 5$ के लिए: $f(5) = {}^{7-5}P_{5-3} = {}^{2}P_{2} = 2$.
अतः,परिसर ${f(3), f(4), f(5)} = \{1, 3, 2\}$ अर्थात $\{1, 2, 3\}$ है।

(A) दिया गया परवलय का समीकरण: $y^2 = 18x$।
दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y \left( \frac{dy}{dt} \right) = 18 \left( \frac{dx}{dt} \right)$।
हमें दिया गया है कि कोटि $(y)$,भुज $(x)$ की दर से दोगुनी दर पर बढ़ती है,इसलिए $\frac{dy}{dt} = 2 \frac{dx}{dt}$।
इस मान को अवकलित समीकरण में रखने पर:
$2y \left( 2 \frac{dx}{dt} \right) = 18 \left( \frac{dx}{dt} \right)$।
मान लीजिए $\frac{dx}{dt} \neq 0$,तो हमें प्राप्त होता है:
$4y = 18 \implies y = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}$।
अब,$x$ का मान ज्ञात करने के लिए $y = \frac{9}{2}$ को मूल परवलय समीकरण में रखने पर:
$\left( \frac{9}{2} \right)^2 = 18x$
$\frac{81}{4} = 18x$
$x = \frac{81}{4 \times 18} = \frac{81}{72} = \frac{9}{8}$।
अतः,अभीष्ट बिंदु $\left( \frac{9}{8}, \frac{9}{2} \right)$ है।

(C) माना $P(A)$ वह प्रायिकता है कि $A$ सच बोलता है और $P(B)$ वह प्रायिकता है कि $B$ सच बोलता है।
दिया गया है: $P(A) = \frac{4}{5}$ और $P(B) = \frac{3}{4}$।
तब,$A$ के झूठ बोलने की प्रायिकता $P(\bar{A}) = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$ है।
$B$ के झूठ बोलने की प्रायिकता $P(\bar{B}) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ है।
वे एक-दूसरे का विरोध तब करते हैं यदि ($A$ सच बोलता है और $B$ झूठ बोलता है) या ($A$ झूठ बोलता है और $B$ सच बोलता है)।
अभीष्ट प्रायिकता $= P(A) \times P(\bar{B}) + P(\bar{A}) \times P(B)$।
$= (\frac{4}{5} \times \frac{1}{4}) + (\frac{1}{5} \times \frac{3}{4})$।
$= \frac{4}{20} + \frac{3}{20} = \frac{7}{20}$।

(D) कथन $(1)$ सही है: वर्गीकृत आवृत्ति वितरण का बहुलक हिस्टोग्राम का उपयोग करके ग्राफ़ द्वारा निर्धारित किया जा सकता है।
कथन $(2)$ गलत है: माध्यिका मूल बिंदु के परिवर्तन से स्वतंत्र है,लेकिन यह पैमाने के परिवर्तन से स्वतंत्र नहीं है। यदि $y = a + bx$ है,तो $Median(y) = a + b \times Median(x)$। चूँकि यह $b$ पर निर्भर करता है,इसलिए यह पैमाने के परिवर्तन से स्वतंत्र नहीं है।
कथन $(3)$ गलत है: प्रसरण मूल बिंदु के परिवर्तन से स्वतंत्र है,लेकिन यह पैमाने के परिवर्तन से स्वतंत्र नहीं है। यदि $y = a + bx$ है,तो $Var(y) = b^2 \times Var(x)$। चूँकि यह $b^2$ पर निर्भर करता है,इसलिए यह पैमाने के परिवर्तन से स्वतंत्र नहीं है।
अतः,केवल कथन $(1)$ सही है।

(C) कुल प्रेक्षणों की संख्या $2n$ है।
$n$ प्रेक्षण $a$ के बराबर हैं और $n$ प्रेक्षण $-a$ के बराबर हैं।
माध्य $\bar{x} = \frac{n(a) + n(-a)}{2n} = \frac{0}{2n} = 0$.
मानक विचलन $\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{2n}}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $2 = \sqrt{\frac{n(a - 0)^2 + n(-a - 0)^2}{2n}}$.
$2 = \sqrt{\frac{na^2 + na^2}{2n}} = \sqrt{\frac{2na^2}{2n}} = \sqrt{a^2} = |a|$.
अतः,$|a| = 2$.

(A) दिया गया है $z = x - iy$ और $z^{1/3} = p + iq$.
दोनों पक्षों का घन करने पर,$z = (p + iq)^3$.
$z = p^3 + 3p^2(iq) + 3p(iq)^2 + (iq)^3$.
$z = p^3 + 3ip^2q - 3pq^2 - iq^3$.
$z = (p^3 - 3pq^2) + i(3p^2q - q^3)$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों की $z = x - iy$ से तुलना करने पर:
$x = p^3 - 3pq^2 = p(p^2 - 3q^2)$ और $-y = 3p^2q - q^3$,जिसका अर्थ है $y = q^2 - 3p^2q = q(q^2 - 3p^2)$.
अब,$\frac{x}{p} = p^2 - 3q^2$ और $\frac{y}{q} = q^2 - 3p^2$.
इन दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$\frac{x}{p} + \frac{y}{q} = (p^2 - 3q^2) + (q^2 - 3p^2) = -2p^2 - 2q^2 = -2(p^2 + q^2)$.
अतः,$\frac{\frac{x}{p} + \frac{y}{q}}{p^2 + q^2} = \frac{-2(p^2 + q^2)}{p^2 + q^2} = -2$.

(C) $(1 + \alpha x)^4$ के विस्तार में मध्य पद $3^{rd}$ पद है,जो $T_3 = ^4C_2 (\alpha x)^2 = 6 \alpha^2 x^2$ द्वारा दिया जाता है। गुणांक $6 \alpha^2$ है।
$(1 - \alpha x)^6$ के विस्तार में मध्य पद $4^{th}$ पद है,जो $T_4 = ^6C_3 (-\alpha x)^3 = -20 \alpha^3 x^3$ द्वारा दिया जाता है। गुणांक $-20 \alpha^3$ है।
प्रश्न के अनुसार,गुणांक समान हैं:
$6 \alpha^2 = -20 \alpha^3$
चूंकि $\alpha \neq 0$,$2 \alpha^2$ से विभाजित करने पर:
$3 = -10 \alpha$
$\alpha = -3/10$.

(C) दिया गया है $S(k) = 1 + 3 + 5 + \dots + (2k - 1) = 3 + k^2$.
$k = 1$ के लिए,$S(1) \Rightarrow 1 = 3 + 1^2 = 4$,जो असत्य है।
$k = 2$ के लिए,$S(2) \Rightarrow 1 + 3 = 3 + 2^2 = 7$,जो असत्य है।
अब,मान लें कि $S(k)$ सत्य है,अर्थात $1 + 3 + 5 + \dots + (2k - 1) = 3 + k^2$.
दोनों पक्षों में $(2(k + 1) - 1) = 2k + 1$ जोड़ने पर:
$1 + 3 + 5 + \dots + (2k - 1) + (2k + 1) = 3 + k^2 + 2k + 1 = 3 + (k + 1)^2$.
यह दर्शाता है कि $S(k) \Rightarrow S(k + 1)$ सत्य है,भले ही आधार चरण $S(1)$ असत्य हो।

(B) हम जानते हैं कि $\cosh(x)$ का विस्तार $\frac{e^x + e^{-x}}{2} = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + \dots$ है।
$x = 1$ रखने पर:
$\frac{e + \frac{1}{e}}{2} = 1 + \left( \frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{6!} + \dots \right)$
$\frac{e^2 + 1}{2e} = 1 + \left( \frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{6!} + \dots \right)$
अतः,श्रेणी का योग:
$\frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{6!} + \dots = \frac{e^2 + 1}{2e} - 1 = \frac{(e - 1)^2}{2e}$.

(D) दिया गया है कि $\sin \alpha + \sin \beta = -\frac{21}{65}$ और $\cos \alpha + \cos \beta = -\frac{27}{65}$ है।
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(\sin \alpha + \sin \beta)^2 + (\cos \alpha + \cos \beta)^2 = \left(-\frac{21}{65}\right)^2 + \left(-\frac{27}{65}\right)^2$
$2 + 2\cos(\alpha - \beta) = \frac{1170}{4225} = \frac{18}{65}$
$4 \cos^2\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) = \frac{18}{65}$
$\cos^2\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) = \frac{9}{130}$
$\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) = \pm \frac{3}{\sqrt{130}}$
चूंकि $\pi < \alpha - \beta < 3\pi$ है,इसलिए $\frac{\pi}{2} < \frac{\alpha - \beta}{2} < \frac{3\pi}{2}$ होगा।
इस अंतराल में कोसाइन फलन ऋणात्मक होता है,अतः $\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) = -\frac{3}{\sqrt{130}}$।

(C) माना भुजाएँ $a = \sin \alpha$,$b = \cos \alpha$,और $c = \sqrt{1 + \sin \alpha \cos \alpha}$ हैं।
चूँकि $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$,$\sin \alpha$ और $\cos \alpha$ दोनों धनात्मक हैं,और $c$ सबसे बड़ी भुजा है क्योंकि $c^2 = 1 + \sin \alpha \cos \alpha > \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ है।
कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करते हुए:
$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$
$\cos C = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha - (1 + \sin \alpha \cos \alpha)}{2 \sin \alpha \cos \alpha}$
$\cos C = \frac{1 - 1 - \sin \alpha \cos \alpha}{2 \sin \alpha \cos \alpha}$
$\cos C = \frac{-\sin \alpha \cos \alpha}{2 \sin \alpha \cos \alpha} = -\frac{1}{2}$
अतः,$\cos C = -\frac{1}{2}$ होने के कारण,कोण $C = 120^\circ$ है।

(D) माना व्यास का दूसरा सिरा $B(\alpha, \beta)$ है।
वृत्त का व्यास $AB$ है,इसलिए इसका समीकरण $(x - p)(x - \alpha) + (y - q)(y - \beta) = 0$ है।
इसे विस्तारित करने पर,$x^2 + y^2 - (p + \alpha)x - (q + \beta)y + (p\alpha + q\beta) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि वृत्त $x$-अक्ष को स्पर्श करता है,इसलिए $y = 0$ रखने पर प्राप्त समीकरण का विविक्तकर शून्य होगा।
$y = 0$ रखने पर,$x^2 - (p + \alpha)x + (p\alpha + q\beta) = 0$ प्राप्त होता है।
स्पर्श करने की शर्त के अनुसार,विविक्तकर $D = 0$ है।
$D = (p + \alpha)^2 - 4(p\alpha + q\beta) = 0$.
$p^2 - 2p\alpha + \alpha^2 - 4q\beta = 0$.
$(p - \alpha)^2 = 4q\beta$.
$(\alpha, \beta)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $(x - p)^2 = 4qy$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $u = \sqrt {{a^2}{{\cos }^2}\theta + {b^2}{{\sin }^2}\theta } + \sqrt {{a^2}{{\sin }^2}\theta + {b^2}{{\cos }^2}\theta } $.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
${u^2} = ({a^2}{{\cos }^2}\theta + {b^2}{{\sin }^2}\theta ) + ({a^2}{{\sin }^2}\theta + {b^2}{{\cos }^2}\theta ) + 2\sqrt {({a^2}{{\cos }^2}\theta + {b^2}{{\sin }^2}\theta )({a^2}{{\sin }^2}\theta + {b^2}{{\cos }^2}\theta )} $
${u^2} = {a^2} + {b^2} + 2\sqrt {({a^2}{{\cos }^2}\theta + {b^2}{{\sin }^2}\theta )({a^2}{{\sin }^2}\theta + {b^2}{{\cos }^2}\theta )} $
माना $t = {a^2}{{\cos }^2}\theta + {b^2}{{\sin }^2}\theta $. तब ${a^2}{{\sin }^2}\theta + {b^2}{{\cos }^2}\theta = {a^2} + {b^2} - t$.
अतः,${u^2} = {a^2} + {b^2} + 2\sqrt {t({a^2} + {b^2} - t)} = {a^2} + {b^2} + 2\sqrt { - {t^2} + ({a^2} + {b^2})t} $.
माना $f(t) = - {t^2} + ({a^2} + {b^2})t$. $f(t)$ का अधिकतम मान $t = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2}$ पर प्राप्त होता है,जो $f\left( \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \right) = \frac{{{({a^2} + {b^2})^2}}}{4}$ है।
इस प्रकार,${({u^2})_{\max }} = {a^2} + {b^2} + 2\sqrt {\frac{{{({a^2} + {b^2})^2}}}{4}} = {a^2} + {b^2} + ({a^2} + {b^2}) = 2({a^2} + {b^2})$.
$f(t)$ का न्यूनतम मान $t$ की सीमाओं पर प्राप्त होता है,अर्थात $t = {a^2}$ या $t = {b^2}$.
$t = {a^2}$ पर,$f({a^2}) = - {a^4} + ({a^2} + {b^2}){a^2} = {a^2}{b^2}$.
इस प्रकार,${({u^2})_{\min }} = {a^2} + {b^2} + 2\sqrt {{a^2}{b^2}} = {a^2} + {b^2} + 2ab = {(a + b)^2}$.
अंतर ${({u^2})_{\max }} - {({u^2})_{\min }} = 2{a^2} + 2{b^2} - ({a^2} + {b^2} + 2ab) = {a^2} + {b^2} - 2ab = {(a - b)^2}$.

(C) दिया गया है $A = \{1, 2, 3, 4\}$ और $R = \{(1, 3), (4, 2), (2, 4), (2, 3), (3, 1)\}$।
$1$. संबंध $R$ के सममित होने के लिए,यदि $(a, b) \in R$ है तो $(b, a) \in R$ होना चाहिए। यहाँ,$(2, 3) \in R$ है लेकिन $(3, 2) \notin R$ है। अतः,$R$ सममित नहीं है।
$2$. संबंध $R$ के स्वतुल्य होने के लिए,प्रत्येक $a \in A$ के लिए $(a, a) \in R$ होना चाहिए। यहाँ $(1, 1) \notin R$ है,इसलिए $R$ स्वतुल्य नहीं है।
$3$. संबंध $R$ के फलन होने के लिए,समुच्चय $A$ के प्रत्येक अवयव का एक अद्वितीय प्रतिबिंब होना चाहिए। यहाँ,$2$ का प्रतिबिंब $4$ और $3$ दोनों है (अर्थात $(2, 4) \in R$ और $(2, 3) \in R$),इसलिए $R$ फलन नहीं है।
$4$. संबंध $R$ के संक्रामक होने के लिए,यदि $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$ है तो $(a, c) \in R$ होना चाहिए। यहाँ,$(1, 3) \in R$ और $(3, 1) \in R$ है,लेकिन $(1, 1) \notin R$ है। अतः,$R$ संक्रामक नहीं है।
इसलिए,सही कथन यह है कि $R$ सममित नहीं है।

(A) माना $f(x) = ax^2 + bx + c$ है।
$F(x) = \int_{0}^{x} f(t) dt = \frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx$ को परिभाषित करें।
स्पष्ट है कि $F(0) = 0$ है।
साथ ही,$F(1) = \frac{a}{3} + \frac{b}{2} + c = \frac{2a + 3b + 6c}{6}$ है।
दिया गया है कि $2a + 3b + 6c = 0$,इसलिए $F(1) = 0$ है।
चूंकि $F(0) = F(1) = 0$ है और $F(x)$ एक बहुपद है,इसलिए रोले के प्रमेय (Rolle's Theorem) के अनुसार,$(0, 1)$ के बीच कम से कम एक $x$ ऐसा विद्यमान है जिसके लिए $F'(x) = 0$ है।
चूंकि $F'(x) = f(x) = ax^2 + bx + c$ है,इसलिए $ax^2 + bx + c = 0$ का कम से कम एक मूल अंतराल $(0, 1)$ में स्थित है।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
हम विकल्पों की जाँच करते हैं:
$(i)$ $A^2$ की गणना करने पर:
$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
अतः,विकल्प $A$ सही है।
$(ii)$ $(-1)I = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} \neq A$.
$(iii)$ सारणिक $|A|$ की गणना करने पर:
$|A| = 0(0 - 0) - 0(0 - 0) - 1(0 - 1) = 1$.
चूँकि $|A| \neq 0$,इसलिए $A^{-1}$ का अस्तित्व है।
$(iv)$ $A$ स्पष्ट रूप से एक शून्य आव्यूह नहीं है क्योंकि इसमें गैर-शून्य तत्व मौजूद हैं।

(A) दिया गया है कि $B = A^{-1}$,इसलिए $10B = 10A^{-1}$ है।
अतः,$10A^{-1} = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & \alpha \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}$ है।
दोनों पक्षों को दाईं ओर से $A$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है: $10I = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & \alpha \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$।
इसका परिणाम $10I = \begin{bmatrix} 10 & 0 & 0 \\ 0 & 10 & 0 \\ 0 & 0 & 10 \end{bmatrix}$ है।
$\alpha$ ज्ञात करने के लिए,गुणन आव्यूह की $2^{nd}$ पंक्ति और $1^{st}$ स्तंभ के अवयव की तुलना $10I$ के संगत अवयव (जो $0$ है) से करते हैं:
$(-5 \times 1) + (0 \times 2) + (\alpha \times 1) = 0$।
$-5 + 0 + \alpha = 0$।
$\alpha = 5$।

(D) दिया गया है कि $a + 2b$,$c$ के साथ संरेख है,इसलिए एक अदिश $x$ का अस्तित्व है जिससे $a + 2b = xc$ है।
दिया गया है कि $b + 3c$,$a$ के साथ संरेख है,इसलिए एक अदिश $y$ का अस्तित्व है जिससे $b + 3c = ya$ है।
प्रथम समीकरण से,$a + 2b = xc$ है।
दूसरे समीकरण से,$b = ya - 3c$ है।
$b$ का मान प्रथम समीकरण में रखने पर: $a + 2(ya - 3c) = xc$।
$a + 2ya - 6c = xc$।
$(1 + 2y)a = (x + 6)c$।
चूंकि $a$ और $c$ शून्येतर और असंरेख हैं,इसलिए उनके गुणांक शून्य होने चाहिए:
$1 + 2y = 0 \implies y = -\frac{1}{2}$।
$x + 6 = 0 \implies x = -6$।
$x = -6$ को $a + 2b = xc$ में रखने पर,हमें $a + 2b = -6c$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $a + 2b + 6c = 0$।

(C) परिणामी बल $\overrightarrow{F}$ व्यक्तिगत बलों का योग है:
$\overrightarrow{F} = (4i + j - 3k) + (3i + j - k) = (4+3)i + (1+1)j + (-3-1)k = 7i + 2j - 4k$.
विस्थापन सदिश $\overrightarrow{d}$ अंतिम स्थिति सदिश और प्रारंभिक स्थिति सदिश के बीच का अंतर है:
$\overrightarrow{d} = (5i + 4j + k) - (i + 2j + 3k) = (5-1)i + (4-2)j + (1-3)k = 4i + 2j - 2k$.
किया गया कार्य $W$ बल और विस्थापन सदिशों का अदिश गुणनफल (डॉट प्रोडक्ट) है:
$W = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{d} = (7i + 2j - 4k) \cdot (4i + 2j - 2k)$.
$W = (7 \times 4) + (2 \times 2) + (-4 \times -2) = 28 + 4 + 8 = 40 \text{ units}$.

(C) चूंकि $a, b, c$ असमतलीय सदिश हैं,इसलिए उनका अदिश त्रिक गुणनफल $[a, b, c] \neq 0$ है।
सदिश $a + 2b + 3c, \lambda b + 4c$ और $(2\lambda - 1)c$ असमतलीय होंगे यदि और केवल यदि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य न हो:
$[(a + 2b + 3c), (\lambda b + 4c), (2\lambda - 1)c] \neq 0$.
अदिश त्रिक गुणनफल के गुणों का उपयोग करते हुए:
$(a + 2b + 3c) \cdot [(\lambda b + 4c) \times (2\lambda - 1)c] \neq 0$
$(a + 2b + 3c) \cdot [\lambda(2\lambda - 1)(b \times c)] \neq 0$
चूंकि $a \cdot (b \times c) = [a, b, c]$,$b \cdot (b \times c) = 0$,और $c \cdot (b \times c) = 0$,इसलिए व्यंजक सरल होकर निम्न रूप लेता है:
$\lambda(2\lambda - 1)[a, b, c] \neq 0$.
दिया गया है कि $[a, b, c] \neq 0$,इसलिए असमतलीयता के लिए शर्त $\lambda(2\lambda - 1) \neq 0$ है।
इसका अर्थ है कि $\lambda \neq 0$ और $\lambda \neq \frac{1}{2}$।
अतः,सदिश $\lambda = 0$ और $\lambda = \frac{1}{2}$ को छोड़कर $\lambda$ के सभी मानों के लिए असमतलीय हैं।

(A) माना रेखा की दिक्-कोज्याएँ (direction cosines) $l, m, n$ हैं।
चूंकि रेखा $x$ और $z$-अक्षों के साथ समान कोण $\theta$ बनाती है,इसलिए $l = \cos \theta$ और $n = \cos \theta$ है।
$y$-अक्ष के साथ कोण $\beta$ है,इसलिए $m = \cos \beta$ है।
दिक्-कोज्याओं के वर्गों का योग हमेशा $1$ होता है,इसलिए $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ है।
मान रखने पर,$\cos^2 \theta + \cos^2 \beta + \cos^2 \theta = 1$,जो $2 \cos^2 \theta + \cos^2 \beta = 1$ में सरल हो जाता है।
सर्वसमिका $\cos^2 \beta = 1 - \sin^2 \beta$ का उपयोग करते हुए,$2 \cos^2 \theta + (1 - \sin^2 \beta) = 1$,जिसका अर्थ है $2 \cos^2 \theta = \sin^2 \beta$ है।
दी गई शर्त $\sin^2 \beta = 3 \sin^2 \theta$ को समीकरण में रखने पर: $2 \cos^2 \theta = 3 \sin^2 \theta$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ का उपयोग करते हुए,$2 \cos^2 \theta = 3(1 - \cos^2 \theta)$ है।
इसका विस्तार करने पर,$2 \cos^2 \theta = 3 - 3 \cos^2 \theta$,जो $5 \cos^2 \theta = 3$ की ओर ले जाता है।
अतः,$\cos^2 \theta = \frac{3}{5}$।

(C) समतलों के दिए गए समीकरण $2x + y + 2z - 8 = 0$ और $4x + 2y + 4z + 5 = 0$ हैं।
दो समांतर समतलों $Ax + By + Cz + D_1 = 0$ और $Ax + By + Cz + D_2 = 0$ के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए,हम पहले $x, y, z$ के गुणांकों को समान बनाते हैं।
पहले समीकरण को $2$ से गुणा करने पर: $4x + 2y + 4z - 16 = 0$ प्राप्त होता है।
अब,समतल $4x + 2y + 4z - 16 = 0$ और $4x + 2y + 4z + 5 = 0$ हैं।
दूरी $d$ का सूत्र $d = \frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ है।
यहाँ,$A = 4, B = 2, C = 4, D_1 = -16, D_2 = 5$ है।
$d = \frac{|-16 - 5|}{\sqrt{4^2 + 2^2 + 4^2}} = \frac{|-21|}{\sqrt{16 + 4 + 16}} = \frac{21}{\sqrt{36}} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}$.

(D) दी गई रेखाएँ हैं:
रेखा $1$: $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 3}{-\lambda} = \frac{z - 1}{\lambda} = s$
रेखा $2$: $\frac{x - 0}{1/2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{-1} = t$
रेखाओं पर बिंदु $P_1(1, -3, 1)$ और $P_2(0, 1, 2)$ हैं। दिशा सदिश $\vec{v_1} = (1, -\lambda, \lambda)$ और $\vec{v_2} = (1/2, 1, -1)$ हैं।
दो रेखाएँ समतलीय होती हैं यदि बिंदुओं को जोड़ने वाले सदिश और दोनों दिशा सदिशों का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो:
$\begin{vmatrix} x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ l_1 & m_1 & n_1 \\ l_2 & m_2 & n_2 \end{vmatrix} = 0$
मान रखने पर:
$\begin{vmatrix} -1 & 4 & 1 \\ 1 & -\lambda & \lambda \\ 1/2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$-1(\lambda - \lambda) - 4(-1 - \lambda/2) + 1(1 + \lambda/2) = 0$
$0 + 4 + 2\lambda + 1 + \lambda/2 = 0$
$5 + 5\lambda/2 = 0$
$5\lambda/2 = -5$
$\lambda = -2$.

(B) माना दो रेखाएँ $L_1: x = y + a = z = \lambda$ और $L_2: x + a = 2y = 2z = 2\mu$ हैं।
$L_1$ पर कोई बिंदु $P = (\lambda, \lambda - a, \lambda)$ है।
$L_2$ पर कोई बिंदु $Q = (2\mu - a, \mu, \mu)$ है।
रेखा $PQ$ के दिक्-अनुपात $(2\mu - a - \lambda, \mu - \lambda + a, \mu - \lambda)$ हैं।
चूँकि रेखा $PQ$ के दिक्-अनुपात $2, 1, 2$ के समानुपाती हैं:
$\frac{2\mu - a - \lambda}{2} = \frac{\mu - \lambda + a}{1} = \frac{\mu - \lambda}{2} = k$.
$\mu - \lambda = 2k$ रखने पर,दूसरे अनुपात में प्रतिस्थापित करने पर $2k + a = k \implies k = -a$ प्राप्त होता है।
अतः $\mu - \lambda = -2a$ और $2\mu - \lambda = -a$।
इन समीकरणों को हल करने पर $\mu = a$ और $\lambda = 3a$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$P = (3a, 2a, 3a)$ और $Q = (a, a, a)$ प्राप्त होते हैं।

(B) एक फलन $y = f(x)$ रेखा $x = a$ के परितः सममित होता है यदि डोमेन के सभी $x$ के लिए $f(a + x) = f(a - x)$ हो।
चूंकि ग्राफ रेखा $x = 2$ के परितः सममित है,इसलिए हम शर्त में $a = 2$ प्रतिस्थापित करते हैं।
अतः,$f(2 + x) = f(2 - x)$ प्राप्त होता है।

(A) फलन $f(x) = \sin x - \sqrt{3} \cos x + 1$ द्वारा दिया गया है।
हम जानते हैं कि व्यंजक $a \sin x + b \cos x$ अंतराल $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$ में स्थित होता है।
यहाँ,$a = 1$ और $b = -\sqrt{3}$ है।
अतः,$\sin x - \sqrt{3} \cos x$ का परिसर $[-\sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2}, \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2}] = [-\sqrt{1+3}, \sqrt{1+3}] = [-2, 2]$ है।
इस असमिका में $1$ जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$-2 + 1 \le \sin x - \sqrt{3} \cos x + 1 \le 2 + 1$.
$-1 \le f(x) \le 3$.
चूंकि फलन $f$ आच्छादक है,इसलिए सह-प्रांत $S$ फलन के परिसर के बराबर होना चाहिए।
अतः,$S = [-1, 3]$.

(B) फलन $f(x) = \frac{\sin^{-1}(x - 3)}{\sqrt{9 - x^2}}$ को परिभाषित करने के लिए,हमें दो शर्तों को पूरा करना होगा:
$1$. हर (denominator) में वर्गमूल के अंदर का मान शून्य से बड़ा होना चाहिए:
$9 - x^2 > 0$
$x^2 < 9$
$-3 < x < 3$ --- $(i)$
$2$. प्रतिलोम ज्या (inverse sine) फलन का मान $[-1, 1]$ के अंतराल में होना चाहिए:
$-1 \le x - 3 \le 1$
सभी पक्षों में $3$ जोड़ने पर:
$2 \le x \le 4$ --- $(ii)$
शर्त $(i)$ और $(ii)$ का सर्वनिष्ठ (intersection) लेने पर:
$x \in (-3, 3) \cap [2, 4]$
$x \in [2, 3)$
अतः,फलन का प्रांत $[2, 3)$ है।

(C) $f(x)$ को $x = \frac{\pi }{4}$ पर सतत होने के लिए,$f(\frac{\pi }{4}) = \lim_{x \to \frac{\pi }{4}} f(x)$ होना चाहिए।
सीमा का मूल्यांकन करने पर: $\lim_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{1 - \tan x}{4x - \pi }$.
चूंकि यह $\frac{0}{0}$ अनिर्धारित रूप है,हम एल'हॉपिटल नियम का उपयोग करेंगे:
$\lim_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{\frac{d}{dx}(1 - \tan x)}{\frac{d}{dx}(4x - \pi )} = \lim_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{-\sec^2 x}{4}$.
$x = \frac{\pi }{4}$ रखने पर:
$\frac{-\sec^2(\frac{\pi }{4})}{4} = \frac{-(\sqrt{2})^2}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.
अतः,$f(\frac{\pi }{4}) = -\frac{1}{2}$।

(C) दिया गया समीकरण $x = e^{y + e^{y + \dots \infty}}$ है।
चूंकि घातांक एक अनंत श्रेणी है,हम इसे $x = e^{y + x}$ के रूप में लिख सकते हैं।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर,हमें $\ln(x) = y + x$ प्राप्त होता है।
अब,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(\ln(x)) = \frac{d}{dx}(y + x)$
$\frac{1}{x} = \frac{dy}{dx} + 1$.
$\frac{dy}{dx}$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} - 1 = \frac{1 - x}{x}$.

(D) वक्र के प्राचलिक समीकरण दिए गए हैं: $x = a(1 + \cos \theta)$ और $y = a \sin \theta$.
सबसे पहले,हम $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करते हैं:
$\frac{dx}{d\theta} = -a \sin \theta$
$\frac{dy}{d\theta} = a \cos \theta$
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a \cos \theta}{-a \sin \theta} = -\cot \theta$.
अभिलंब की ढाल स्पर्श रेखा की ढाल का ऋणात्मक व्युत्क्रम होती है:
$m_n = -\frac{1}{dy/dx} = -\frac{1}{-\cot \theta} = \tan \theta$.
बिंदु $(a(1 + \cos \theta), a \sin \theta)$ पर अभिलंब का समीकरण है:
$y - a \sin \theta = \tan \theta (x - a(1 + \cos \theta))$
$y - a \sin \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} (x - a - a \cos \theta)$
$y \cos \theta - a \sin \theta \cos \theta = x \sin \theta - a \sin \theta - a \sin \theta \cos \theta$
$y \cos \theta = x \sin \theta - a \sin \theta$
$y \cos \theta = \sin \theta (x - a)$.
यदि हम समीकरण में बिंदु $(a, 0)$ प्रतिस्थापित करें:
$0 \cdot \cos \theta = \sin \theta (a - a)$
$0 = 0$.
अतः,अभिलंब हमेशा निश्चित बिंदु $(a, 0)$ से होकर गुजरता है।

(B) समाकलन $I = \int \frac{\sin x}{\sin (x - \alpha )} dx$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम अंश को $\sin(x - \alpha + \alpha)$ के रूप में लिखते हैं।
सर्वसमिका $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{\sin(x - \alpha) \cos \alpha + \cos(x - \alpha) \sin \alpha}{\sin(x - \alpha)} dx$
$I = \int \left( \cos \alpha + \sin \alpha \cdot \cot(x - \alpha) \right) dx$
$I = \int \cos \alpha \, dx + \sin \alpha \int \cot(x - \alpha) \, dx$
चूंकि $\int \cos \alpha \, dx = x \cos \alpha$ और $\int \cot(x - \alpha) \, dx = \log |\sin(x - \alpha)|$,इसलिए:
$I = x \cos \alpha + \sin \alpha \log |\sin(x - \alpha)| + c$.

(A) माना $I = \int \frac{dx}{\cos x - \sin x}$.
$\sqrt{2}$ से गुणा और भाग करने पर:
$I = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{dx}{\frac{1}{\sqrt{2}} \cos x - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x}$
$\cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{dx}{\cos x \cos \frac{\pi}{4} - \sin x \sin \frac{\pi}{4}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{dx}{\cos(x + \frac{\pi}{4})}$
$I = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \sec(x + \frac{\pi}{4}) dx$
सूत्र $\int \sec \theta d\theta = \log |\tan(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4})| + c$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{\sqrt{2}} \log \left| \tan \left( \frac{x + \frac{\pi}{4}}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \right| + c$
$I = \frac{1}{\sqrt{2}} \log \left| \tan \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{8} + \frac{2\pi}{8} \right) \right| + c$
$I = \frac{1}{\sqrt{2}} \log \left| \tan \left( \frac{x}{2} + \frac{3\pi}{8} \right) \right| + c$.

(C) दिया गया है $I = \int_0^{\pi /2} \frac{(\sin x + \cos x)^2}{\sqrt{1 + \sin 2x}} dx$।
हम जानते हैं कि $1 + \sin 2x = \sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x = (\sin x + \cos x)^2$।
इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_0^{\pi /2} \frac{(\sin x + \cos x)^2}{\sqrt{(\sin x + \cos x)^2}} dx$।
चूंकि $x \in [0, \pi/2]$ के लिए $\sin x + \cos x > 0$ है,इसलिए $\sqrt{(\sin x + \cos x)^2} = \sin x + \cos x$।
अतः,$I = \int_0^{\pi /2} (\sin x + \cos x) dx$।
समाकलन का मान निकालने पर:
$I = [-\cos x + \sin x]_0^{\pi /2}$।
$I = (-\cos(\pi/2) + \sin(\pi/2)) - (-\cos(0) + \sin(0))$।
$I = (0 + 1) - (-1 + 0) = 1 + 1 = 2$।

(D) हमें समाकलन $I = \int_{-2}^{3} |1 - x^2| dx$ का मान ज्ञात करना है।
पद $|1 - x^2|$,$x = -1$ और $x = 1$ पर अपना चिह्न बदलता है।
$x \in [-2, -1]$ के लिए,$1 - x^2 \le 0$,इसलिए $|1 - x^2| = x^2 - 1$ होगा।
$x \in [-1, 1]$ के लिए,$1 - x^2 \ge 0$,इसलिए $|1 - x^2| = 1 - x^2$ होगा।
$x \in [1, 3]$ के लिए,$1 - x^2 \le 0$,इसलिए $|1 - x^2| = x^2 - 1$ होगा।
अतः,$I = \int_{-2}^{-1} (x^2 - 1) dx + \int_{-1}^{1} (1 - x^2) dx + \int_{1}^{3} (x^2 - 1) dx$ होगा।
प्रत्येक समाकलन का मान निकालने पर:
$\int_{-2}^{-1} (x^2 - 1) dx = [\frac{x^3}{3} - x]_{-2}^{-1} = (-\frac{1}{3} + 1) - (-\frac{8}{3} + 2) = \frac{2}{3} - (-\frac{2}{3}) = \frac{4}{3}$।
$\int_{-1}^{1} (1 - x^2) dx = [x - \frac{x^3}{3}]_{-1}^{1} = (1 - \frac{1}{3}) - (-1 + \frac{1}{3}) = \frac{2}{3} - (-\frac{2}{3}) = \frac{4}{3}$।
$\int_{1}^{3} (x^2 - 1) dx = [\frac{x^3}{3} - x]_{1}^{3} = (9 - 3) - (\frac{1}{3} - 1) = 6 - (-\frac{2}{3}) = \frac{20}{3}$।
इन मानों को जोड़ने पर: $I = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} + \frac{20}{3} = \frac{28}{3}$।

(B) माना $I = \int_0^\pi {xf(\sin x)dx}$.
गुणधर्म $\int_0^a f(x)dx = \int_0^a f(a-x)dx$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_0^\pi {(\pi - x)f(\sin(\pi - x))dx} = \int_0^\pi {(\pi - x)f(\sin x)dx}$.
$I$ के लिए इन दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^\pi {xf(\sin x)dx} + \int_0^\pi {(\pi - x)f(\sin x)dx} = \int_0^\pi {\pi f(\sin x)dx} = \pi \int_0^\pi {f(\sin x)dx}$.
गुणधर्म $\int_0^{2a} f(x)dx = 2\int_0^a f(x)dx$ (यदि $f(2a-x) = f(x)$ हो) का उपयोग करते हुए,$\int_0^\pi {f(\sin x)dx} = 2\int_0^{\pi /2} {f(\sin x)dx}$.
अतः,$2I = \pi \times 2 \int_0^{\pi /2} {f(\sin x)dx} = 2\pi \int_0^{\pi /2} {f(\sin x)dx}$.
इसलिए,$I = \pi \int_0^{\pi /2} {f(\sin x)dx}$.
इसकी तुलना $A \int_0^{\pi /2} {f(\sin x)dx}$ से करने पर,हमें $A = \pi$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया सीमा (limit) योगफल की सीमा के रूप में निश्चित समाकल (definite integral) के रूप में है।
हम जानते हैं कि $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{r = 1}^n {\frac{1}{n}f\left( \frac{r}{n} \right) = \int_0^1 {f(x)dx} }$.
यहाँ,$f\left( \frac{r}{n} \right) = e^{\frac{r}{n}}$,इसलिए $f(x) = e^x$.
अतः,व्यंजक $\int_0^1 {e^x dx}$ हो जाता है।
समाकल का मूल्यांकन करने पर: $\int_0^1 {e^x dx} = [e^x]_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) अभीष्ट क्षेत्रफल समाकलन $\int_{1}^{3} |x - 2| \, dx$ द्वारा प्राप्त होता है।
चूँकि $x < 2$ के लिए $|x - 2| = -(x - 2)$ और $x \geq 2$ के लिए $|x - 2| = (x - 2)$ होता है,इसलिए हम समाकलन को $x = 2$ पर विभाजित करते हैं:
$\text{क्षेत्रफल} = \int_{1}^{2} -(x - 2) \, dx + \int_{2}^{3} (x - 2) \, dx$
$= \int_{1}^{2} (2 - x) \, dx + \int_{2}^{3} (x - 2) \, dx$
$= \left[ 2x - \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{2} + \left[ \frac{x^2}{2} - 2x \right]_{2}^{3}$
$= \left( (4 - 2) - (2 - 0.5) \right) + \left( (4.5 - 6) - (2 - 4) \right)$
$= (2 - 1.5) + (-1.5 - (-2))$
$= 0.5 + 0.5 = 1$.
अतः,क्षेत्रफल $1$ वर्ग इकाई है।

(D) दिया गया है $f(x) = \frac{e^x}{1 + e^x}$. ध्यान दें कि $f(-a) = \frac{e^{-a}}{1 + e^{-a}} = \frac{1}{e^a + 1}$.
अतः,$f(a) + f(-a) = \frac{e^a}{1 + e^a} + \frac{1}{1 + e^a} = 1$.
माना $I_1 = \int_{f(-a)}^{f(a)} x g\{x(1 - x)\} dx$. गुणधर्म $\int_{A}^{B} h(x) dx = \int_{A}^{B} h(A + B - x) dx$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $A + B = 1$:
$I_1 = \int_{f(-a)}^{f(a)} (1 - x) g\{(1 - x)(1 - (1 - x))\} dx = \int_{f(-a)}^{f(a)} (1 - x) g\{(1 - x)x\} dx$.
$I_1 = \int_{f(-a)}^{f(a)} g\{x(1 - x)\} dx - \int_{f(-a)}^{f(a)} x g\{x(1 - x)\} dx$.
$I_1 = I_2 - I_1$.
$2I_1 = I_2$.
इसलिए,$\frac{I_2}{I_1} = 2$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = e^{x - y} + x^2 e^{-y}$
दाहिनी ओर को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\frac{dy}{dx} = e^{-y}(e^x + x^2)$
$x$ और $y$ चरों को अलग करने पर: $e^y dy = (e^x + x^2) dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int e^y dy = \int (e^x + x^2) dx$
समाकलन करने पर: $e^y = e^x + \frac{x^3}{3} + c$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) दिया गया है कि $f''(x) = 6(x - 1)$ है।
$x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $f'(x) = \int 6(x - 1) dx = 3(x - 1)^2 + c_1$ प्राप्त होता है।
चूंकि बिंदु $(2, 1)$ पर स्पर्श रेखा $y = 3x - 5$ है,इसलिए $x = 2$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $f'(2) = 3$ है।
$f'(x)$ के व्यंजक में $x = 2$ रखने पर,$3 = 3(2 - 1)^2 + c_1$,जिसका अर्थ है $3 = 3 + c_1$,अतः $c_1 = 0$ है।
इस प्रकार,$f'(x) = 3(x - 1)^2$ है।
पुनः $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$f(x) = \int 3(x - 1)^2 dx = (x - 1)^3 + c_2$ प्राप्त होता है।
चूंकि ग्राफ बिंदु $(2, 1)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $f(2) = 1$ है।
$f(x)$ के व्यंजक में $x = 2$ रखने पर,$1 = (2 - 1)^3 + c_2$,जिसका अर्थ है $1 = 1 + c_2$,अतः $c_2 = 0$ है।
इसलिए,फलन $f(x) = (x - 1)^3$ है।

(B) घटना $E$ को $X$ के अभाज्य संख्या होने के रूप में परिभाषित किया गया है। दिए गए सेट में अभाज्य संख्याएँ $\{2, 3, 5, 7\}$ हैं।
$P(E) = P(2) + P(3) + P(5) + P(7) = 0.23 + 0.12 + 0.20 + 0.07 = 0.62$.
घटना $F$ को $X < 4$ के रूप में परिभाषित किया गया है। इस शर्त को पूरा करने वाले मान $\{1, 2, 3\}$ हैं।
$P(F) = P(1) + P(2) + P(3) = 0.15 + 0.23 + 0.12 = 0.50$.
प्रतिच्छेदन घटना $E \cap F$ में वे मान शामिल हैं जो अभाज्य भी हैं और $4$ से कम भी हैं,जो $\{2, 3\}$ हैं।
$P(E \cap F) = P(2) + P(3) = 0.23 + 0.12 = 0.35$.
प्रायिकता के योग नियम का उपयोग करते हुए,$P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F)$.
$P(E \cup F) = 0.62 + 0.50 - 0.35 = 0.77$.

(A) एक द्विपद बंटन के लिए,माध्य $\mu = np = 4$ और प्रसरण $\sigma^2 = npq = 2$ है।
प्रसरण को माध्य से विभाजित करने पर,$\frac{npq}{np} = \frac{2}{4}$,जिसका अर्थ है $q = \frac{1}{2}$।
चूंकि $p + q = 1$,हमें $p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
$p = \frac{1}{2}$ को $np = 4$ में रखने पर,$n(\frac{1}{2}) = 4$,अतः $n = 8$ प्राप्त होता है।
$X$ सफलताओं की प्रायिकता $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ द्वारा दी जाती है।
$k = 2$ के लिए,$P(X = 2) = \binom{8}{2} (\frac{1}{2})^2 (\frac{1}{2})^{8-2} = \binom{8}{2} (\frac{1}{2})^8$।
संचय की गणना करने पर,$\binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$।
अतः,$P(X = 2) = 28 \times \frac{1}{256} = \frac{28}{256}$।

(D) दिया गया है कि ${a_1}, {a_2}, {a_3}, \dots$ एक $G.P.$ में हैं जिसका सार्व अनुपात $r$ है।
अतः,${a_{n+1}} = {a_n} \cdot r$,जिसका अर्थ है $\log {a_{n+1}} = \log {a_n} + \log r$.
इसी प्रकार,$\log {a_{n+k}} = \log {a_n} + k \log r$.
मान लीजिए सारणिक $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} \log {a_n} & \log {a_{n+1}} & \log {a_{n+2}} \\ \log {a_{n+3}} & \log {a_{n+4}} & \log {a_{n+5}} \\ \log {a_{n+6}} & \log {a_{n+7}} & \log {a_{n+8}} \end{array} \right|$ है।
स्तंभ संक्रियाओं ${C_2} \to {C_2} - {C_1}$ और ${C_3} \to {C_3} - {C_2}$ को लागू करने पर:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} \log {a_n} & \log {a_{n+1}} - \log {a_n} & \log {a_{n+2}} - \log {a_{n+1}} \\ \log {a_{n+3}} & \log {a_{n+4}} - \log {a_{n+3}} & \log {a_{n+5}} - \log {a_{n+4}} \\ \log {a_{n+6}} & \log {a_{n+7}} - \log {a_{n+6}} & \log {a_{n+8}} - \log {a_{n+7}} \end{array} \right|$.
चूंकि किसी भी $k$ के लिए $\log {a_{n+k}} - \log {a_{n+k-1}} = \log r$ होता है,इसलिए सारणिक इस प्रकार हो जाता है:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} \log {a_n} & \log r & \log r \\ \log {a_{n+3}} & \log r & \log r \\ \log {a_{n+6}} & \log r & \log r \end{array} \right|$.
चूंकि स्तंभ $2$ और स्तंभ $3$ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

(C) दिया गया है कि $|u| = 1, |v| = 2, |w| = 3$ है। चूंकि $v \perp w$,इसलिए $v \cdot w = 0$ है।
$u$ की दिशा में $v$ का प्रक्षेप = $u$ की दिशा में $w$ का प्रक्षेप,अतः $\frac{v \cdot u}{|u|} = \frac{w \cdot u}{|u|}$ है।
चूंकि $|u| = 1$,इसलिए $v \cdot u = w \cdot u$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $(v - w) \cdot u = 0$ है।
हमें $|u - v + w|$ का मान ज्ञात करना है। मान लीजिए $X = u - (v - w)$ है।
तब $|X|^2 = |u - (v - w)|^2 = |u|^2 + |v - w|^2 - 2u \cdot (v - w)$ है।
चूंकि $u \cdot (v - w) = 0$,इसलिए $|X|^2 = |u|^2 + |v - w|^2$ प्राप्त होता है।
$|v - w|^2 = |v|^2 + |w|^2 - 2(v \cdot w) = 2^2 + 3^2 - 2(0) = 4 + 9 = 13$ है।
अतः,$|u - v + w|^2 = 1^2 + 13 = 14$ है।
इसलिए,$|u - v + w| = \sqrt{14}$ है।

(A) सदिश त्रिक गुणन के नियम के अनुसार: $(a \times b) \times c = (a \cdot c)b - (b \cdot c)a$।
दिए गए समीकरण में मान रखने पर: $(a \cdot c)b - (b \cdot c)a = \frac{1}{3}|b||c|a$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $(a \cdot c)b = (b \cdot c + \frac{1}{3}|b||c|)a$।
चूंकि $a$ और $b$ शून्येतर हैं और समांतर नहीं हैं,इसलिए गुणांक शून्य होने चाहिए:
$a \cdot c = 0$ और $b \cdot c + \frac{1}{3}|b||c| = 0$।
अदिश गुणन की परिभाषा $b \cdot c = |b||c| \cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$|b||c| \cos \theta + \frac{1}{3}|b||c| = 0$।
चूंकि $b$ और $c$ शून्येतर हैं,इसलिए $\cos \theta = -\frac{1}{3}$।
प्रश्न में $\theta$ को न्यून कोण कहा गया है,इसलिए $\cos \theta$ का धनात्मक मान लेने पर,$\cos \theta = 1/3$।
अतः,$\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - (1/3)^2} = \sqrt{8/9} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$।

(A) दो गोलों ${S_1} = 0$ और ${S_2} = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतल का समीकरण ${S_1} - {S_2} = 0$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए गोले:
${S_1}: {x^2} + {y^2} + {z^2} + 7x - 2y - z - 13 = 0$
${S_2}: {x^2} + {y^2} + {z^2} - 3x + 3y + 4z - 8 = 0$
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$({x^2} + {y^2} + {z^2} + 7x - 2y - z - 13) - ({x^2} + {y^2} + {z^2} - 3x + 3y + 4z - 8) = 0$
$(7x - (-3x)) + (-2y - 3y) + (-z - 4z) + (-13 - (-8)) = 0$
$10x - 5y - 5z - 5 = 0$
पूरे समीकरण को $5$ से विभाजित करने पर:
$2x - y - z = 1$
अतः,दोनों गोलों का प्रतिच्छेदन समतल $2x - y - z = 1$ पर स्थित है।

(C) दिया गया वक्रों का कुल ${x^2} + {y^2} - 2ay = 0$ है ..... $(i)$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2x + 2yy' - 2ay' = 0$
$2ay' = 2x + 2yy'$
$2a = \frac{2x + 2yy'}{y'} = \frac{2x}{y'} + 2y$ ..... $(ii)$
समीकरण $(ii)$ से $2a$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
${x^2} + {y^2} - (\frac{2x}{y'} + 2y)y = 0$
${x^2} + {y^2} - \frac{2xy}{y'} - 2{y^2} = 0$
${x^2} - {y^2} - \frac{2xy}{y'} = 0$
$y'$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$({x^2} - {y^2})y' - 2xy = 0$
$({x^2} - {y^2})y' = 2xy$.