AIEEE 2004 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) બે સદિશોનો સદિશ ગુણાકાર એન્ટી-કોમ્યુટેટિવ (anti-commutative) હોય છે,એટલે કે $\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B} = -(\overrightarrow{B} \times \overrightarrow{A})$.
આપેલ શરત $\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B} = \overrightarrow{B} \times \overrightarrow{A}$ મુજબ,આપણે સમીકરણમાં એન્ટી-કોમ્યુટેટિવ ગુણધર્મ મૂકતા:
$-(\overrightarrow{B} \times \overrightarrow{A}) = \overrightarrow{B} \times \overrightarrow{A}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $2(\overrightarrow{B} \times \overrightarrow{A}) = 0$,અથવા $\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B} = 0$.
સદિશ ગુણાકારનું મૂલ્ય $|\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}| = |A||B| \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
સદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થવા માટે,$\sin \theta$ નું મૂલ્ય $0$ હોવું જોઈએ,જે $\theta = 0$ અથવા $\theta = \pi$ હોય ત્યારે શક્ય છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$\pi$ એ સાચો જવાબ છે.

(C) પ્રવાહીના સ્તર પર લાગતું સ્નિગ્ધતા બળ $F$ ન્યૂટનના સ્નિગ્ધતાના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = -\eta A \frac{dv}{dx}$.
અહીં,$F$ એ બળ છે,$\eta$ એ સ્નિગ્ધતા ગુણાંક છે,$A$ એ ક્ષેત્રફળ છે,અને $\frac{dv}{dx}$ એ વેગ પ્રચલન (velocity gradient) છે.
$\eta$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $\eta = \frac{F}{A (dv/dx)}$.
પારિમાણિક સૂત્રો મૂકતા: $[F] = [M L T^{-2}]$,$[A] = [L^2]$,$[dv] = [L T^{-1}]$,અને $[dx] = [L]$.
તેથી,$[\eta] = \frac{[M L T^{-2}]}{[L^2] [L T^{-1} / L]} = \frac{[M L T^{-2}]}{[L^2] [T^{-1}]} = [M L^{-1} T^{-1}]$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવેલા દડા માટે,$T$ સમયમાં કાપેલું કુલ અંતર $h$ ગતિના સમીકરણ દ્વારા મળે છે:
$h = ut + \frac{1}{2}gT^2$
અહીં પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ હોવાથી:
$h = \frac{1}{2}gT^2$ --- $(1)$
$t = \frac{T}{3}$ સમય પછી,દડા દ્વારા ટોચથી કાપેલું અંતર $h'$ છે:
$h' = \frac{1}{2}g\left(\frac{T}{3}\right)^2 = \frac{1}{2}g\left(\frac{T^2}{9}\right) = \frac{1}{9} \left(\frac{1}{2}gT^2\right)$
સમીકરણ $(1)$ ની કિંમત આમાં મૂકતા:
$h' = \frac{h}{9}$
જમીનથી દડાનું સ્થાન એ કુલ ઊંચાઈમાંથી ટોચથી કાપેલું અંતર બાદ કરવાથી મળે છે:
$\text{જમીનથી સ્થાન} = h - h' = h - \frac{h}{9} = \frac{8h}{9} \text{ મીટર}$.

(B) અચળ કોણીય ઝડપ (નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ) સાથે વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરતા કણ માટે,વેગ સદિશ હંમેશા વર્તુળાકાર માર્ગને સ્પર્શક હોય છે.
ગતિ નિયમિત હોવાથી,સ્પર્શીય પ્રવેગ શૂન્ય હોય છે અને પરિણામી પ્રવેગ સંપૂર્ણપણે કેન્દ્રગામી હોય છે.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ સદિશ હંમેશા વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ નિર્દેશ કરે છે.
વેગ સદિશ સ્પર્શક (પરિઘની દિશામાં) હોવાથી અને પ્રવેગ સદિશ ત્રિજ્યાવર્તી (કેન્દ્ર તરફ) હોવાથી,તેઓ હંમેશા એકબીજાને લંબ હોય છે.
તેથી,પ્રવેગ સદિશ વર્તુળને સ્પર્શક છે તેવું વિધાન ખોટું છે.

(B) આપેલ વેગ $u$ માટે,અવધિ $R$ એ બે પ્રક્ષિપ્ત કોણો $\theta$ અને $(90^\circ - \theta)$ માટે સમાન હોય છે.
કોણ $\theta$ માટે ઉડ્ડયન સમય $t_1 = \frac{2u \sin \theta}{g}$ છે.
કોણ $(90^\circ - \theta)$ માટે ઉડ્ડયન સમય $t_2 = \frac{2u \sin(90^\circ - \theta)}{g} = \frac{2u \cos \theta}{g}$ છે.
બંને ઉડ્ડયન સમયનો ગુણાકાર કરતા:
$t_1 t_2 = \left( \frac{2u \sin \theta}{g} \right) \left( \frac{2u \cos \theta}{g} \right) = \frac{4u^2 \sin \theta \cos \theta}{g^2}$.
નિત્યસમ $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$t_1 t_2 = \frac{2u^2 (2 \sin \theta \cos \theta)}{g^2} = \frac{2(u^2 \sin 2\theta)}{g^2}$.
અવધિ $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ હોવાથી,આપણે આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકી શકીએ:
$t_1 t_2 = \frac{2R}{g}$.
અહીં $g$ અચળ હોવાથી,આપણે કહી શકીએ કે $t_1 t_2 \propto R$.

(A) વ્યક્તિ દડાને ત્યારે જ પકડી શકે જો તેની અચળ ઝડપ દડાના વેગના સમક્ષિતિજ ઘટક જેટલી હોય,કારણ કે દડો તેના સમક્ષિતિજ ગતિ દ્વારા નક્કી થયેલ અંતરે પડશે.
દડાના વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = v_0 \cos \theta$ છે.
વ્યક્તિની ઝડપ $v_p = v_0/2$ છે.
વ્યક્તિ દડાને પકડી શકે તે માટે,તેમની ઝડપ સમાન હોવી જોઈએ: $v_0/2 = v_0 \cos \theta$.
બંને બાજુ $v_0$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $\cos \theta = 1/2$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}(1/2) = 60^\circ$.

(D) મશીન ગન દ્વારા લાગતું બળ એ છોડવામાં આવતી ગોળીઓના વેગમાનના ફેરફારના દર જેટલું હોય છે.
$F = \frac{dp}{dt} = v \cdot \frac{dm}{dt}$
અહીં,$v = 1200\,m/s$ એ ગોળીનો વેગ છે.
ધારો કે $n$ એ પ્રતિ સેકન્ડ છોડવામાં આવતી ગોળીઓની સંખ્યા છે.
એક ગોળીનું દળ $m = 40\,g = 40 \times 10^{-3}\,kg = 0.04\,kg$ છે.
પ્રતિ સેકન્ડ છોડવામાં આવતું કુલ દળ $\frac{dm}{dt} = n \times m$ છે.
મહત્તમ બળ $F = 144\,N$ આપેલ છે,તેથી:
$144 = 1200 \times (n \times 0.04)$
$144 = 1200 \times 0.04 \times n$
$144 = 48 \times n$
$n = \frac{144}{48} = 3$.
તેથી,વ્યક્તિ પ્રતિ સેકન્ડ વધુમાં વધુ $3$ ગોળીઓ છોડી શકે છે.

(D) વાહનનું ઉભું રહેવા માટેનું અંતર $S$ એ સંબંધ $v^2 = u^2 + 2as$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અંતિમ વેગ $v = 0$ હોવાથી,આપણને $0 = u^2 - 2a|S|$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $S = \frac{u^2}{2|a|}$.
અહીં પ્રતિપ્રવેગ $a$ અચળ હોવાથી,ઉભું રહેવા માટેનું અંતર એ પ્રારંભિક વેગના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $S \propto u^2$.
આપેલ છે કે $u_1 = 60\,km/h$ માટે $S_1 = 20\,m$ અને $u_2 = 120\,km/h$.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{S_2}{S_1} = \left(\frac{u_2}{u_1}\right)^2 = \left(\frac{120}{60}\right)^2 = (2)^2 = 4$.
તેથી,$S_2 = 4 \times S_1 = 4 \times 20\,m = 80\,m$.

(A) બે દળ $m_1$ અને $m_2$ ધરાવતી એટવુડ મશીન માટે,જે ઘર્ષણરહિત ગરગડી પર દોરી વડે જોડાયેલ છે,સિસ્ટમનો પ્રવેગ $a$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$a = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) g$
આપેલ છે:
$m_1 = 5\,kg$
$m_2 = 4.8\,kg$
$g = 9.8\,m/s^2$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$a = \left( \frac{5 - 4.8}{5 + 4.8} \right) \times 9.8$
$a = \left( \frac{0.2}{9.8} \right) \times 9.8$
$a = 0.2\,m/s^2$
તેથી,દળનો પ્રવેગ $0.2\,m/s^2$ છે.

(A) વિશ્રામ કોણ (angle of repose) $\alpha = \tan^{-1}(\mu) = \tan^{-1}(0.8) \approx 38.6^{\circ}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં ઢળતા સમતલનો ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$ એ વિશ્રામ કોણ $\alpha$ કરતા ઓછો હોવાથી,બ્લોક સ્થિર રહેશે.
ઢળતા સમતલ પર સ્થિર રહેલા બ્લોક માટે,સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_s$ એ ગુરુત્વાકર્ષણના ઢળતા સમતલની દિશાના ઘટકને સંતુલિત કરે છે:
$f_s = mg \sin \theta$
આપેલ છે કે $f_s = 10 \, N$,$g = 10 \, m/s^2$,અને $\theta = 30^{\circ}$:
$10 = m \times 10 \times \sin(30^{\circ})$
$10 = m \times 10 \times 0.5$
$10 = 5m$
$m = 2 \, kg$.

(B) ધારો કે સાંકળની કુલ લંબાઈ $L = 2\,m$ અને કુલ દળ $M = 4\,kg$ છે.
લટકતા ભાગની લંબાઈ $l = 60\,cm = 0.6\,m$ છે.
સાંકળના એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\lambda = \frac{M}{L} = \frac{4}{2} = 2\,kg/m$ છે.
લટકતા ભાગનું દળ $m = \lambda \times l = 2 \times 0.6 = 1.2\,kg$ છે.
લટકતા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ટેબલની ધારથી $h = \frac{l}{2} = \frac{0.6}{2} = 0.3\,m$ નીચે છે.
સાંકળને ટેબલ પર ખેંચવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય એ લટકતા ભાગની સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા વધારા જેટલું હોય છે,જે $W = mgh$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $W = 1.2 \times 10 \times 0.3 = 3.6\,J$.

(C) કણ પર લાગતા બળ $F$ દ્વારા થતું કાર્ય $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int \vec{F} \cdot \vec{v} dt$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં બળ હંમેશા વેગને લંબ હોવાથી,$\vec{F} \cdot \vec{v} = 0$ થાય છે.
તેથી,થતું કાર્ય $W = 0$ છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta K = W$ છે.
જેથી $W = 0$ હોવાથી,ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta K = 0$ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે કણની ગતિઊર્જા અચળ રહે છે.

(B) અચળ બળ $\vec F$ દ્વારા સ્થાનાંતર $\vec r$ દરમિયાન થયેલ કાર્ય $W$ એ બળ અને સ્થાનાંતર સદિશોના અદિશ ગુણાકાર (dot product) દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$W = \vec F \cdot \vec r$
અહીં $\vec F = (5\hat i + 3\hat j + 2\hat k) \, N$ અને $\vec r = (2\hat i - 1\hat j + 0\hat k) \, m$ આપેલ છે.
$W = (5\hat i + 3\hat j + 2\hat k) \cdot (2\hat i - 1\hat j + 0\hat k)$
$W = (5 \times 2) + (3 \times -1) + (2 \times 0)$
$W = 10 - 3 + 0 = 7 \, J$
તેથી,થયેલ કાર્ય $+7 \, J$ છે.

(A) પ્રતિપ્રવેગ $a$ એ સ્થાનાંતર $x$ ના સમપ્રમાણમાં છે,તેથી $a = -kx$ જ્યાં $k$ એ ધન અચળાંક છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,બળ $F = ma = -mkx$ થાય.
આ સ્થાનાંતર $x$ માટે આ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W = \int_0^x F \, dx = \int_0^x (-mkx) \, dx = -\frac{1}{2}mkx^2$ છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta K = W$ છે.
ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો $-\Delta K = -W = \frac{1}{2}mkx^2$ છે.
અહીં $m$ અને $k$ અચળાંક હોવાથી,ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો $x^2$ ના સમપ્રમાણમાં છે.

(D) પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી $(u = 0)$ શરૂઆત કરે છે અને $t_1$ સમયમાં $v_1$ વેગ પ્રાપ્ત કરે છે.
પ્રવેગ $a = \frac{v_1 - u}{t_1} = \frac{v_1}{t_1}$ થાય.
કોઈપણ સમયે $t$ પર,પદાર્થનો વેગ $v = at = \left( \frac{v_1}{t_1} \right)t$ થાય.
પદાર્થ પર લાગતું બળ $F = ma = m \left( \frac{v_1}{t_1} \right)$ થાય.
પદાર્થને આપવામાં આવતો તાત્ક્ષણિક પાવર $P = F \cdot v$ છે.
$F$ અને $v$ ની કિંમતો મૂકતા:
$P = \left( m \frac{v_1}{t_1} \right) \times \left( \frac{v_1}{t_1} t \right) = \frac{mv_1^2t}{t_1^2}$.

(C) ઉપગ્રહનો કક્ષીય આવર્તકાળ $T$ એ કક્ષાના પરિઘ અને કક્ષીય વેગના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$T = \frac{2 \pi r}{v_o}$
કક્ષીય વેગ $v_o = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ હોવાથી,આપણે આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકીએ છીએ:
$T = \frac{2 \pi r}{\sqrt{\frac{GM}{r}}} = 2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$
અહીં,$M$ એ ગ્રહનું દળ છે,$r$ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા છે,અને $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $T$ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા $(r)$ અને ગ્રહના દળ $(M)$ પર આધાર રાખે છે,પરંતુ તે ઉપગ્રહના દળ $(m)$ પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,આવર્તકાળ ઉપગ્રહના દળથી સ્વતંત્ર છે.

(A) ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F$ એ $F \propto \frac{1}{R^n}$ મુજબ આપવામાં આવે છે.
વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરતા ગ્રહ માટે,આ બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$F = m\omega^2 R = m\left( \frac{4\pi^2}{T^2} \right) R$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$m\left( \frac{4\pi^2}{T^2} \right) R \propto \frac{1}{R^n}$.
અહીં $m$ અને $4\pi^2$ અચળાંક હોવાથી:
$\frac{R}{T^2} \propto \frac{1}{R^n}$.
$T^2$ માટે સાદું રૂપ આપતા:
$T^2 \propto R \cdot R^n = R^{n+1}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$T \propto R^{\left( \frac{n+1}{2} \right)}$.

(C) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{4T}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ સાબુના દ્રાવણનું પૃષ્ઠતાણ છે.
$\Delta P \propto \frac{1}{R}$ હોવાથી,મોટા પરપોટાની સરખામણીમાં નાના પરપોટામાં વધારાનું દબાણ વધારે હોય છે.
જ્યારે બે પરપોટાને નળી દ્વારા જોડવામાં આવે છે,ત્યારે હવા વધુ દબાણવાળા વિસ્તારમાંથી ઓછા દબાણવાળા વિસ્તાર તરફ વહે છે.
તેથી,હવા નાના પરપોટામાંથી મોટા પરપોટામાં વહે છે,જેના કારણે નાનો પરપોટો સંકોચાય છે અને મોટો પરપોટો મોટો થાય છે.

(B) સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ,$\eta$ સ્નિગ્ધતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં $v$ વેગથી ગતિ કરતા $r$ ત્રિજ્યાના ગોળાકાર પદાર્થ પર લાગતું સ્નિગ્ધતા બળ $F$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$F = 6\,\pi \eta \,rv$
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે બળ $F$ એ ત્રિજ્યા $r$ અને વેગ $v$ બંનેના સમપ્રમાણમાં છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) જ્યારે વાલ્વ ખોલવામાં આવે છે ત્યારે મોલની કુલ સંખ્યા $n$ જળવાઈ રહે છે.
$n = n_1 + n_2$
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,$n = \frac{PV}{RT}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{P_1 V_1}{R T_1} + \frac{P_2 V_2}{R T_2} = \frac{P(V_1 + V_2)}{R T}$
તંત્ર ઉષ્મીય રીતે અલગ હોવાથી,કુલ આંતરિક ઉર્જા જળવાઈ રહે છે. આદર્શ વાયુ માટે,$U = \frac{f}{2} nRT$. તેથી,$n_1 T_1 + n_2 T_2 = (n_1 + n_2) T$.
$n = \frac{PV}{RT}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{P_1 V_1}{R T_1} T_1 + \frac{P_2 V_2}{R T_2} T_2 = (n_1 + n_2) T$.
$n_1 + n_2 = \frac{P_1 V_1}{R T_1} + \frac{P_2 V_2}{R T_2} = \frac{P_1 V_1 T_2 + P_2 V_2 T_1}{R T_1 T_2}$.
અંતિમ દબાણ $P = \frac{(n_1 + n_2)RT}{V_1 + V_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉર્જા સંરક્ષણ સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $P_1 V_1 + P_2 V_2 = (n_1 + n_2) RT$.
તેથી,$T = \frac{P_1 V_1 + P_2 V_2}{n_1 + n_2} = \frac{(P_1 V_1 + P_2 V_2) T_1 T_2}{P_1 V_1 T_2 + P_2 V_2 T_1}$.

(A) વાયુઓના મિશ્રણ માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma_{\text{mix}}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\gamma_{\text{mix}} = \frac{n_1 C_{p,1} + n_2 C_{p,2}}{n_1 C_{v,1} + n_2 C_{v,2}}$
વૈકલ્પિક રીતે,$C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$ સંબંધનો ઉપયોગ કરતા:
$\gamma_{\text{mix}} = \frac{n_1 + n_2}{\frac{n_1}{\gamma_1 - 1} + \frac{n_2}{\gamma_2 - 1}}$
અહીં $n_1 = 1, \gamma_1 = 5/3$ અને $n_2 = 1, \gamma_2 = 7/5$ આપેલ છે:
$C_{v,1} = \frac{R}{5/3 - 1} = \frac{3R}{2}$,$C_{v,2} = \frac{R}{7/5 - 1} = \frac{5R}{2}$.
$C_{v,\text{mix}} = \frac{n_1 C_{v,1} + n_2 C_{v,2}}{n_1 + n_2} = \frac{1(1.5R) + 1(2.5R)}{2} = 2R$.
$C_{p,\text{mix}} = C_{v,\text{mix}} + R = 2R + R = 3R$.
$\gamma_{\text{mix}} = \frac{C_{p,\text{mix}}}{C_{v,\text{mix}}} = \frac{3R}{2R} = 1.5 = 3/2$.

(B) થર્મોડાયનેમિક્સમાં,સ્ટેટ ફંક્શન એ એક એવી પ્રોપર્ટી છે જેનું મૂલ્ય માત્ર સિસ્ટમની વર્તમાન અવસ્થા પર આધાર રાખે છે,તે અવસ્થા સુધી પહોંચવા માટે લીધેલા માર્ગ પર નહીં.
આંતરિક ઉર્જા $(U)$ અને એન્ટ્રોપી $(S)$ બંને સ્ટેટ ફંક્શન છે કારણ કે તે આપેલ સંતુલન અવસ્થામાં સિસ્ટમના મેક્રોસ્કોપિક ચલો (જેમ કે દબાણ,કદ અને તાપમાન) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
તેથી,આંતરિક ઉર્જા અને એન્ટ્રોપી સ્ટેટ ફંક્શન છે તે વિધાન સાચું છે.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,$R$ ત્રિજ્યા અને $T$ તાપમાન ધરાવતા ગોળાકાર પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત કુલ પાવર $P = \sigma (4\pi R^2) T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વી પર પ્રાપ્ત થતી વિકિરણ ઉર્જા $Q$ એ સૂર્ય દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવરના સમપ્રમાણમાં હોવાથી,$Q \propto R^2 T^4$ થાય.
ધારો કે પ્રારંભિક ઉર્જા $Q_1 = k R^2 T^4$ છે અને અંતિમ ઉર્જા $Q_2 = k (2R)^2 (2T)^4$ છે.
ગુણોત્તર લેતા,આપણને મળે છે $\frac{Q_2}{Q_1} = \left( \frac{2R}{R} \right)^2 \times \left( \frac{2T}{T} \right)^4$.
$\frac{Q_2}{Q_1} = (2)^2 \times (2)^4 = 4 \times 16 = 64$.
તેથી,પૃથ્વી પર પ્રાપ્ત થતી વિકિરણ ઉર્જાનો ગુણોત્તર $64$ છે.

(D) સ્થાયી અવસ્થામાં,શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે પદાર્થોના સંયુક્ત સ્લેબમાંથી ઉષ્મા વહનનો દર $H = \frac{A(T_2 - T_1)}{R_1 + R_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R_1 = \frac{x}{KA}$ અને $R_2 = \frac{4x}{(2K)A} = \frac{2x}{KA}$ છે.
કુલ ઉષ્મીય અવરોધ $R_{eq} = R_1 + R_2 = \frac{x}{KA} + \frac{2x}{KA} = \frac{3x}{KA}$ છે.
તેથી,ઉષ્મા વહનનો દર $H = \frac{A(T_2 - T_1)}{\frac{3x}{KA}} = \frac{1}{3} \frac{AK(T_2 - T_1)}{x}$ થાય છે.
આને આપેલ સમીકરણ $\left( \frac{A(T_2 - T_1)K}{x} \right)f$ સાથે સરખાવતા,આપણને $f = \frac{1}{3}$ મળે છે.

(C) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરતા કણની કુલ ઊર્જા $(E)$ એ તેની ગતિઊર્જા $(K)$ અને સ્થિતિઊર્જા $(U)$ ના સરવાળા જેટલી હોય છે.
$E = K + U = \frac{1}{2}m\omega^2(a^2 - x^2) + \frac{1}{2}m\omega^2x^2$
$E = \frac{1}{2}m\omega^2a^2$
અહીં $m$ (દળ),$\omega$ (કોણીય આવૃત્તિ) અને $a$ (કંપવિસ્તાર) એ આપેલ સરળ આવર્ત ગતિ માટે અચળ હોવાથી,કુલ ઊર્જા અચળ રહે છે અને તે સ્થાનાંતર $x$ થી સ્વતંત્ર છે.

(B) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $t = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે સ્પ્રિંગ માટે,આપણી પાસે $t_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_1}}$ અને $t_2 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_2}}$ છે.
તેનો વર્ગ કરતા,આપણને $t_1^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k_1}$ અને $t_2^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k_2}$ મળે છે.
જ્યારે બે સ્પ્રિંગને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ એ $\frac{1}{k} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$ દ્વારા મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $k = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2}$.
શ્રેણી જોડાણ માટે આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ છે.
તેનો વર્ગ કરતા,$T^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k} = 4\pi^2 m \left( \frac{1}{k} \right) = 4\pi^2 m \left( \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} \right)$.
$t_1^2$ અને $t_2^2$ ના પદોને મૂકતા,આપણને $T^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k_1} + 4\pi^2 \frac{m}{k_2} = t_1^2 + t_2^2$ મળે છે.

(C) હવામાં સાદા લોલકનો આવર્તકાળ ${t_0} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે ગોળાને પાણીમાં ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે તે ઉપરની તરફ ઉત્પ્લાવક બળ અનુભવે છે. ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ ${g_{eff}}$ નીચે મુજબ છે:
${g_{eff}} = g \left(1 - \frac{\rho_{water}}{\rho_{bob}}\right)$.
અહીં $\rho_{bob} = \frac{4}{3} \times 10^3 \ kg/m^3$ અને $\rho_{water} = 10^3 \ kg/m^3$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{\rho_{water}}{\rho_{bob}} = \frac{10^3}{(4/3) \times 10^3} = \frac{3}{4}$.
આમ,${g_{eff}} = g \left(1 - \frac{3}{4}\right) = \frac{g}{4}$.
પાણીમાં આવર્તકાળ $t = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g/4}} = 2 \times 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$.
${t_0}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $t = 2{t_0}$ મળે છે.

(B) બળપૂર્વકના દોલનો (forced oscillation) માટે,ગતિનું સમીકરણ $m \frac{d^2x}{dt^2} + kx = F_0 \cos \omega t$ છે.
$x = x_0 \cos \omega t$ લેતા,આપણને $-m \omega^2 x_0 + k x_0 = F_0$ મળે છે.
પ્રાકૃતિક કોણીય આવૃત્તિ $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ હોવાથી,$k = m \omega_0^2$ થાય.
આ કિંમત મૂકતા,$m x_0 (\omega_0^2 - \omega^2) = F_0$ મળે છે.
આમ,કંપવિસ્તાર $x_0 = \frac{F_0}{m(\omega_0^2 - \omega^2)}$ થાય.
તેથી,સ્થાનાંતર $x$ એ $\frac{1}{m(\omega_0^2 - \omega^2)}$ ના પ્રમાણમાં છે.

(B) પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y = A \sin(\omega t + kx + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 10^{-6} \sin(100t + 20x + \pi/4)$ ને પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 100 \ rad/s$
તરંગ સંખ્યા $k = 20 \ rad/m$
તરંગની ઝડપ $v$ એ $t$ ના સહગુણક અને $x$ ના સહગુણકના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે:
$v = \frac{\omega}{k} = \frac{100}{20} = 5 \ m/s$.

(B) પાણીનું તાપમાન વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા ઉર્જા $H = m \cdot c \cdot \Delta \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: પાવર $P = 836\; W$,દળ $m = 1\; kg$ (કારણ કે $1\; litre$ પાણી = $1\; kg$),વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $c = 4200\; J/kg\cdot^{\circ}C$,અને તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta \theta = 40^{\circ}C - 10^{\circ}C = 30^{\circ}C$.
હીટર દ્વારા $t$ સમયમાં આપવામાં આવતી ઉર્જા $E = P \times t$ છે.
હીટર દ્વારા આપવામાં આવેલી ઉર્જા અને જરૂરી ઉષ્માને સરખાવતા: $P \times t = m \cdot c \cdot \Delta \theta$.
$t = \frac{m \cdot c \cdot \Delta \theta}{P} = \frac{1 \times 4200 \times 30}{836}$.
$J = 4.18\; J/cal$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે $c = 4180\; J/kg\cdot^{\circ}C$ લખી શકીએ છીએ.
$t = \frac{1 \times 4180 \times 30}{836} = 5 \times 30 = 150\; s$.

(D) થર્મો $e.m.f.$ નું સમીકરણ $E = a\theta + b\theta^2$ છે.
તટસ્થ તાપમાન $\theta_n$ એ તાપમાન છે જ્યાં થર્મો $e.m.f.$ મહત્તમ હોય છે,એટલે કે $\frac{dE}{d\theta} = 0$.
$\frac{dE}{d\theta} = a + 2b\theta = 0$.
$\theta_n = -\frac{a}{2b}$.
આપેલ છે કે $\frac{a}{b} = 700\,^{\circ}C$,તેથી:
$\theta_n = -\frac{1}{2} \times (700\,^{\circ}C) = -350\,^{\circ}C$.
સામાન્ય થર્મોકપલ માટે તટસ્થ તાપમાન કોલ્ડ જંકશનના તાપમાન $(0\,^{\circ}C)$ કરતા વધારે હોવું જોઈએ,તેથી ઋણ મૂલ્ય સૂચવે છે કે આ ચોક્કસ થર્મોકપલ માટે કોઈ તટસ્થ તાપમાન ભૌતિક રીતે શક્ય નથી.

(A) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ $I_A = \frac{2}{5} M R^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા પોલા ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ $I_B = \frac{2}{3} M R^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,કારણ કે બંને ગોળાઓ માટે $M$ અને $R$ સમાન છે,આપણે સહગુણકો $\frac{2}{5}$ અને $\frac{2}{3}$ ની સરખામણી કરીએ છીએ.
કારણ કે $\frac{2}{5} = 0.4$ અને $\frac{2}{3} \approx 0.67$ છે,તે સ્પષ્ટ છે કે $\frac{2}{5} < \frac{2}{3}$ છે.
તેથી,$I_A < I_B$ થાય છે.

(C) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ અનુસાર,જો કોઈ તંત્ર પર લાગતું પરિણામી બાહ્ય ટોર્ક શૂન્ય હોય,તો તંત્રનું કુલ કોણીય વેગમાન અચળ રહે છે.
આ કિસ્સામાં,ગોળો મુક્ત અવકાશમાં મુક્તપણે ફરી રહ્યો છે,જેનો અર્થ છે કે તેના પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું નથી $({\tau_{ext}} = 0)$.
જેથી ${\tau_{ext}} = \frac{dL}{dt} = 0$,તેથી કોણીય વેગમાન $(L)$ અચળ રહેવું જોઈએ.
જ્યારે ગોળાની ત્રિજ્યા વધે છે,ત્યારે તેની જડત્વની ચાકમાત્રા $(I = \frac{2}{5}MR^2)$ વધે છે. $L = I\omega$ અચળ હોવાથી,કોણીય વેગ $(\omega)$ ઘટશે અને ચાકગતિ ઉર્જા $(K = \frac{L^2}{2I})$ પણ બદલાશે. તેથી,માત્ર કોણીય વેગમાન જ અચળ રહે છે.

(D) જ્યારે તારને $0$ થી $l$ લંબાઈ સુધી ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે તેના પર લાગતું બળ $0$ થી $F$ સુધી રેખીય રીતે વધે છે.
ખેંચવાની પ્રક્રિયા દરમિયાન લાગતું સરેરાશ બળ $F_{av} = \frac{0 + F}{2} = \frac{F}{2}$ છે.
તારને ખેંચવા માટે થયેલું કાર્ય $(W)$ એ સરેરાશ બળ અને કુલ લંબાઈના વધારાનો ગુણાકાર છે:
$W = F_{av} \times l = \left(\frac{F}{2}\right) \times l = \frac{Fl}{2}$.

(D) ઉપગ્રહ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ તેની વર્તુળાકાર કક્ષા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
ધારો કે પૃથ્વીનું દળ $M_e$ છે. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_g = \frac{G M_e m}{(R + x)^2}$ છે.
જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $F_c = \frac{m v_0^2}{R + x}$ છે.
આ બંનેને સરખાવતા,$\frac{G M_e m}{(R + x)^2} = \frac{m v_0^2}{R + x}$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $v_0^2 = \frac{G M_e}{R + x}$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{G M_e}{R^2}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $G M_e = g R^2$.
આ કિંમતને $v_0^2$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,$v_0^2 = \frac{g R^2}{R + x}$ મળે છે.
તેથી,કક્ષીય ઝડપ $v_0 = \sqrt{\frac{g R^2}{R + x}} = \left( \frac{g R^2}{R + x} \right)^{1/2}$ થાય છે.

(D) ડેમ્પ્ડ ફોર્સ્ડ ઓસિલેટર માટે,કંપનવિસ્તાર $A$ નું સૂત્ર $A = \frac{F_0}{\sqrt{m^2(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + b^2\omega^2}}$ છે.
કંપનવિસ્તાર ત્યારે મહત્તમ હોય છે જ્યારે છેદ ન્યૂનતમ હોય,જે $\omega_1 = \sqrt{\omega_0^2 - 2\gamma^2}$ પર થાય છે,જ્યાં $\gamma = \frac{b}{2m}$ છે.
ઓસિલેટરની ઉર્જા કંપનવિસ્તારના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(E \propto A^2)$.
ઉર્જા ત્યારે મહત્તમ હોય છે જ્યારે કંપનવિસ્તાર મહત્તમ હોય,જે પાવર શોષણના સંદર્ભમાં $\omega_2 = \omega_0$ (કુદરતી આવૃત્તિ) પર થાય છે.
બંનેની સરખામણી કરતા,$\omega_1 = \sqrt{\omega_0^2 - 2\gamma^2}$ હોવાથી,તે સ્પષ્ટ છે કે $\omega_1 < \omega_0$.
તેથી,$\omega_1 < \omega_2$.

(C) પૃથ્વીની સપાટી પર $m$ દળના પદાર્થની ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $U_{1} = -\frac{GMm}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સપાટીથી $h = R$ ઊંચાઈએ,પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર $r = R + h = R + R = 2R$ થાય છે.
આ ઊંચાઈએ સ્થિતિઊર્જા $U_{2} = -\frac{GMm}{2R}$ છે.
સ્થિતિઊર્જામાં થતો વધારો $\Delta U = U_{2} - U_{1} = -\frac{GMm}{2R} - (-\frac{GMm}{R}) = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{2R} = \frac{GMm}{2R}$ છે.
સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^{2}}$ હોવાથી,આપણી પાસે $GM = gR^{2}$ છે.
આ કિંમત $\Delta U$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\Delta U = \frac{1}{2} \frac{(gR^{2})m}{R} = \frac{1}{2} mgR$.

(D) શરૂઆતમાં,$B$ અને $C$ વચ્ચેનું બળ કુલંબના નિયમ મુજબ $F = k \frac{Q^2}{r^2}$ છે.
જ્યારે વિદ્યુતભાર રહિત વાહક (ધારો કે $D$) ને $B$ ના સંપર્કમાં લાવવામાં આવે છે,ત્યારે સમાન ત્રિજ્યા હોવાથી વિદ્યુતભાર $Q$ તેમની વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાય છે. તેથી,$B$ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_B = Q/2$ થાય છે.
ત્યારબાદ,વાહક $D$ (જે હવે $Q/2$ વિદ્યુતભાર ધરાવે છે) ને $C$ (જે $Q$ વિદ્યુતભાર ધરાવે છે) ના સંપર્કમાં લાવવામાં આવે છે. કુલ વિદ્યુતભાર $(Q/2 + Q) = 3Q/2$ એ $C$ અને $D$ વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાય છે. તેથી,$C$ પરનો નવો વિદ્યુતભાર $Q_C = (3Q/2) / 2 = 3Q/4$ થાય છે.
$B$ અને $C$ વચ્ચેનું નવું અપાકર્ષણ બળ $F' = k \frac{Q_B \cdot Q_C}{r^2} = k \frac{(Q/2) \cdot (3Q/4)}{r^2} = \frac{3}{8} \left( k \frac{Q^2}{r^2} \right) = \frac{3}{8} F$ થાય છે.

(D) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કણ $q$ ની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા લઘુત્તમ અંતરના બિંદુએ સ્થિત વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે,જ્યાં કણ ક્ષણિક રીતે સ્થિર થાય છે.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા = $\frac{1}{2}mv^2$
$r$ અંતરે સ્થિત વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા = $\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{qQ}{r}$
બંનેને સરખાવતા: $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{qQ}{r}$
આના પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $r = \frac{qQ}{2\pi\varepsilon_0 mv^2}$,જે સૂચવે છે કે $r \propto \frac{1}{v^2}$.
જો ઝડપ બમણી કરવામાં આવે $(v' = 2v)$,તો નવું લઘુત્તમ અંતર $r'$ નીચે મુજબ હશે:
$r' = r \cdot \left(\frac{v}{v'}\right)^2 = r \cdot \left(\frac{v}{2v}\right)^2 = r \cdot \frac{1}{4} = \frac{r}{4}$.
આમ,લઘુત્તમ અંતર $r/4$ થશે.

(C) આપેલ સર્કિટને અવરોધોના શ્રેણી અને સમાંતર જોડાણોને ઓળખીને સરળ બનાવી શકાય છે.
આપેલ ઉકેલની આકૃતિ મુજબ, સર્કિટને $6 \, V$ ની બેટરી સાથે જોડાયેલ બે સમાંતર શાખાઓમાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે, જેમાં દરેક શાખાનો સમતુલ્ય અવરોધ $3 \, \Omega$ છે.
કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{3 \times 3}{3 + 3} = 1.5 \, \Omega$ થાય છે.
તેથી, કુલ પ્રવાહ $i = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{6 \, V}{1.5 \, \Omega} = 4 \, A$ મળે છે.

(B) સમાંતર જોડાણમાં રહેલા તાર માટે,દરેક તાર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ સમાન હોય છે.
તારમાં વહેતો પ્રવાહ $i = V/R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ અવરોધ છે.
અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A} = \rho \frac{l}{\pi r^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
દ્રવ્ય સમાન હોવાથી,અવરોધકતા $\rho$ અચળ રહે છે.
તેથી,પ્રવાહનો ગુણોત્તર $\frac{i_1}{i_2} = \frac{R_2}{R_1} = \frac{l_2}{l_1} \times \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2$ થાય.
આપેલ છે કે $\frac{l_1}{l_2} = \frac{4}{3}$ અને $\frac{r_1}{r_2} = \frac{2}{3}$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{i_1}{i_2} = \frac{3}{4} \times \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{3}{4} \times \frac{4}{9} = \frac{1}{3}$.

(A) મીટર બ્રિજમાં,સંતુલન સ્થિતિ $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l}{100 - l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$\frac{X}{Y} = \frac{20}{100 - 20} = \frac{20}{80} = \frac{1}{4}$.
તેથી,$\frac{X}{Y} = \frac{1}{4}$,જેનો અર્થ છે કે $Y = 4X$.
બીજા કિસ્સામાં,આપણે $4X$ ને $Y$ ની સામે સંતુલિત કરીએ છીએ. ધારો કે નવું નલ પોઈન્ટ $l \ cm$ પર છે.
તો,$\frac{4X}{Y} = \frac{l}{100 - l}$.
સમીકરણમાં $Y = 4X$ મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{4X}{4X} = \frac{l}{100 - l}$.
$1 = \frac{l}{100 - l} \Rightarrow 100 - l = l \Rightarrow 2l = 100 \Rightarrow l = 50 \ cm$.

(A) ધારો કે બે અવરોધો $R_1$ અને $R_2$ છે.
શ્રેણી જોડાણમાં,સમતુલ્ય અવરોધ $S = R_1 + R_2$ થાય.
સમાંતર જોડાણમાં,સમતુલ્ય અવરોધ $P = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$ થાય.
આપેલ શરત $S = nP$ મુજબ,કિંમતો મૂકતા:
$R_1 + R_2 = n \left( \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} \right)$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $(R_1 + R_2)^2 = n R_1 R_2$ મળે.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(R_1 + R_2)^2 = (R_1 - R_2)^2 + 4 R_1 R_2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(R_1 - R_2)^2 + 4 R_1 R_2 = n R_1 R_2$.
$R_1 R_2$ વડે ભાગતા,$n = 4 + \frac{(R_1 - R_2)^2}{R_1 R_2}$ મળે.
અહીં પદ $\frac{(R_1 - R_2)^2}{R_1 R_2}$ હંમેશા $0$ અથવા તેનાથી મોટું હોય છે,તેથી $n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત ત્યારે મળે જ્યારે $R_1 = R_2$ હોય,જે $n = 4$ આપે છે.

(A) વર્તુળાકાર લૂપની અક્ષ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર $B_{axis} = \frac{\mu_0 I r^2}{2(r^2 + x^2)^{3/2}}$ છે.
લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર $B_{center} = \frac{\mu_0 I}{2r}$ છે.
ગુણોત્તર લેતા,$\frac{B_{center}}{B_{axis}} = \frac{(r^2 + x^2)^{3/2}}{r^3} = \left( 1 + \frac{x^2}{r^2} \right)^{3/2}$ મળે.
અહીં $r = 3 \ cm$,$x = 4 \ cm$ અને $B_{axis} = 54 \ \mu T$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{B_{center}}{54} = \left( 1 + \left( \frac{4}{3} \right)^2 \right)^{3/2} = \left( 1 + \frac{16}{9} \right)^{3/2} = \left( \frac{25}{9} \right)^{3/2} = \frac{125}{27}$.
તેથી,$B_{center} = 54 \times \frac{125}{27} = 2 \times 125 = 250 \ \mu T$.

(C) બે લાંબા સમાંતર વાહકો વચ્ચે લાગતું એકમ લંબાઈ દીઠ બળ $F = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,બળ $F = k \frac{I_1 I_2}{d}$ છે,જ્યાં $k = \frac{\mu_0}{2 \pi}$ છે.
નવી પરિસ્થિતિમાં,પ્રવાહ $I_1$ એ $2I_1$ થાય છે અને દિશા ઉલટાવવામાં આવે છે,તેથી નવો પ્રવાહ $-2I_1$ થાય છે. અંતર $d$ એ $3d$ થાય છે.
નવું બળ $F'$ એ $F' = k \frac{(-2I_1) I_2}{3d} = -\frac{2}{3} \left( k \frac{I_1 I_2}{d} \right)$ દ્વારા મળે છે.
શરૂઆતના બળ $F$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $F' = -\frac{2}{3} F$ મળે છે.

(B) વાઇબ્રેશન મેગ્નેટોમીટરમાં ચુંબકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે.
શરૂઆતમાં,$T = 2 \, s = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$.
જ્યારે ચુંબકને તેની લંબાઈની દિશામાં ત્રણ સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગ માટે દળ $m' = m/3$ અને લંબાઈ $l' = l/3$ થાય છે.
દરેક ભાગની કેન્દ્રમાંથી જડત્વની ચાકમાત્રા $I' = \frac{1}{12} m' (l')^2 = \frac{1}{12} (m/3) (l/3)^2 = \frac{I}{27}$ થાય.
દરેક ભાગની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M' = M/3$ થાય.
જ્યારે આવા ત્રણ ભાગોને એકબીજા પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_s = 3 \times I' = 3 \times (I/27) = I/9$ થાય.
કુલ ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_s = 3 \times M' = 3 \times (M/3) = M$ થાય.
નવો આવર્તકાળ $T_s = 2\pi \sqrt{\frac{I_s}{M_s B}} = 2\pi \sqrt{\frac{I/9}{MB}} = \frac{1}{3} \times 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}} = \frac{T}{3}$ થાય.
$T = 2 \, s$ મૂકતા,આપણને $T_s = 2/3 \, s$ મળે છે.

(C) ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટ માટે એવા પદાર્થની જરૂર હોય છે જેનું સરળતાથી ચુંબકીયકરણ અને વિ-ચુંબકીયકરણ થઈ શકે.
આ પ્રાપ્ત કરવા માટે,પદાર્થની રિટેન્ટિવિટી (ધારણશક્તિ) ઓછી હોવી જોઈએ જેથી જ્યારે પ્રવાહ બંધ કરવામાં આવે ત્યારે તે ચુંબકત્વ જાળવી ન રાખે.
વધુમાં,તેની કોર્સિવિટી (કોર્સિવ ફોર્સ) પણ ઓછી હોવી જોઈએ જેથી તેને નાના વિરુદ્ધ ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા સરળતાથી વિ-ચુંબકીય કરી શકાય.
તેથી,સાચો વિકલ્પ ઓછી રિટેન્ટિવિટી અને ઓછી કોર્સિવિટી છે.

(B) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(e)$ $e = -n \frac{\Delta \phi}{\Delta t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ આંટાની સંખ્યા છે અને $\Delta \phi = W_2 - W_1$ એ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતો ફેરફાર છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R + 4R = 5R \, \Omega$ છે.
પ્રેરિત પ્રવાહ $i$ એ $i = \frac{e}{R_{total}}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $i = \frac{-n(W_2 - W_1)}{5Rt}$ મળે છે.

(D) $l$ લંબાઈનો વાહક જ્યારે $B$ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં $\omega$ કોણીય ઝડપે તેના એક છેડાની આસપાસ ફરે ત્યારે ઉત્પન્ન થતું $e.m.f.$ $(e)$ નીચે મુજબ છે:
$e = \frac{1}{2} B \omega l^2$
આપેલ છે:
$l = 1\;m$
$\omega = 5\;rad/s$
$B = 0.2 \times 10^{-4}\;T$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$e = \frac{1}{2} \times (0.2 \times 10^{-4}) \times 5 \times (1)^2$
$e = 0.1 \times 10^{-4} \times 5$
$e = 0.5 \times 10^{-4}\;V$
$e = 50 \times 10^{-6}\;V = 50\;\mu V$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) $DC$ એમીટરમાં,એક કોઈલ સ્થિર ચુંબકના ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મુક્તપણે ફરી શકે છે.
જો આવી કોઈલમાંથી અલ્ટરનેટિંગ કરંટ પસાર કરવામાં આવે,તો જ્યારે પણ કરંટની દિશા બદલાય ત્યારે ટોર્ક તેની દિશા બદલશે.
$AC$ ની આવૃત્તિ સામાન્ય રીતે ઊંચી હોવાથી,કોઈલ તેના જડત્વને કારણે ટોર્કમાં થતા ઝડપી ફેરફારોને અનુસરી શકતી નથી.
પરિણામે,એક પૂર્ણ ચક્ર દરમિયાન ટોર્કનું સરેરાશ મૂલ્ય શૂન્ય થાય છે અને પોઇન્ટર શૂન્ય સ્થિતિ પર જ રહે છે.

(C) $LCR$ સર્કિટની રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સીનું સૂત્ર: $\nu_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ છે.
રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી $\nu_0$ ને અચળ રાખવા માટે,$LC$ નો ગુણાકાર અચળ રહેવો જોઈએ.
ધારો કે નવું ઇન્ડક્ટન્સ $L'$ છે. આપેલ છે કે નવું કેપેસિટન્સ $C' = 2C$ છે,તેથી:
$L' \cdot C' = L \cdot C$
$L' \cdot (2C) = L \cdot C$
$L' = \frac{L \cdot C}{2C} = \frac{L}{2}$.
તેથી,ઇન્ડક્ટન્સને $L$ થી બદલીને $L/2$ કરવું જોઈએ.

(D) $LCR$ શ્રેણી $ac$ સર્કિટમાં,ઇન્ડક્ટર પરનો વોલ્ટેજ $(V_L)$ અને કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ $(V_C)$ એકબીજા સાથે $180^{\circ}$ ના કળા તફાવત (phase difference) પર હોય છે.
આપેલ છે કે $V_L = 50\,V$ અને $V_C = 50\,V$.
$LC$ સંયોજન પરનો કુલ વોલ્ટેજ ફેઝર સરવાળા દ્વારા મળે છે: $V_{LC} = |V_L - V_C|$.
કિંમતો મૂકતા: $V_{LC} = |50\,V - 50\,V| = 0\,V$.
તેથી,$LC$ સંયોજન પરનો વોલ્ટેજ $0\,V$ થશે.

(C) પદાર્થનું કાર્ય વિધેય $W_0 = 4.0 \,eV$ આપેલ છે.
થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $\lambda_0$ એ ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન માટે જરૂરી સૌથી લાંબી તરંગલંબાઈ છે.
તેનું સૂત્ર: $\lambda_0 = \frac{hc}{W_0}$ છે.
અંદાજિત મૂલ્ય $hc \approx 12400 \,eV \cdot \mathring{A}$ લેતા:
$\lambda_0 = \frac{12400 \,eV \cdot \mathring{A}}{4.0 \,eV} = 3100 \,\mathring{A}$.
$1 \,nm = 10 \,\mathring{A}$ હોવાથી,$\lambda_0 = 310 \,nm$ મળે છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનનું ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ આ મુજબ છે: $K{E_{\max }} = h\nu - \Phi$,જ્યાં $\Phi = h{\nu _0}$ એ ધાતુનું કાર્યવિધેય (work function) છે.
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = K{E_{\max }}$ અને $x = \nu$ (આવૃત્તિ) છે:
$K{E_{\max }} = h\nu - h{\nu _0}$
આ રેખાનો ઢાળ $m$ એ $h$ (પ્લાન્કનો અચળાંક) જેટલો છે.
$h$ એ સાર્વત્રિક અચળાંક હોવાથી,ઢાળ બધી ધાતુઓ માટે સમાન રહે છે અને તે આપાત વિકિરણની તીવ્રતાથી સ્વતંત્ર છે.

(B) રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ન્યુક્લિયસનું પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય છે,તેથી બે ભાગોના અંતિમ વેગમાન સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવા જોઈએ: $m_1 v_1 = m_2 v_2$.
આપેલ વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2} = \frac{2}{1}$ છે,તેથી $\frac{m_2}{m_1} = \frac{v_1}{v_2} = \frac{2}{1}$.
ન્યુક્લિયર દ્રવ્યની ઘનતા $\rho$ અચળ હોવાથી,દળ $m$ એ કદ $V$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જ્યાં $V = \frac{4}{3} \pi r^3$. તેથી,$\frac{m_2}{m_1} = \frac{r_2^3}{r_1^3}$.
ગુણોત્તરને સરખાવતા: $\frac{r_2^3}{r_1^3} = \frac{2}{1}$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા: $\frac{r_2}{r_1} = 2^{1/3}$.
તેથી,તેમની ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $r_1 : r_2 = 1 : 2^{1/3}$ થશે.

(C) નજીકના અભિગમ અંતર (distance of closest approach) પર,$\alpha$-કણની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા સંપૂર્ણપણે સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
$K.E. = P.E.$
$5 \; MeV = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{(Ze)(2e)}{r_0}$
આપેલ છે:
$K.E. = 5 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} \; J = 8 \times 10^{-13} \; J$
$Z = 92$ (યુરેનિયમ માટે)
$e = 1.6 \times 10^{-19} \; C$
$\frac{1}{4\pi\epsilon_0} = 9 \times 10^9 \; N \cdot m^2/C^2$
કિંમતો મૂકતા:
$8 \times 10^{-13} = \frac{9 \times 10^9 \times 92 \times 2 \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{r_0}$
$r_0$ માટે ઉકેલતા:
$r_0 = \frac{9 \times 10^9 \times 184 \times 2.56 \times 10^{-38}}{8 \times 10^{-13}}$
$r_0 \approx 5.3 \times 10^{-14} \; m = 5.3 \times 10^{-12} \; cm$
આમ,અંતરનો ક્રમ $10^{-12} \; cm$ છે.

(D) તાંબુ $(Cu)$ એ સુવાહક છે,અને તાપમાન ઘટતા તેનો અવરોધ ઘટે છે કારણ કે લેટીસના કંપનો દ્વારા ઇલેક્ટ્રોનનું સ્કેટરિંગ ઘટે છે.
જર્મેનિયમ $(Ge)$ એ અર્ધવાહક છે,અને તાપમાન ઘટતા તેનો અવરોધ વધે છે કારણ કે તાપમાનમાં ઘટાડો થવાથી મુક્ત વિદ્યુતભાર વાહકો (ઇલેક્ટ્રોન અને હોલ્સ) ની સંખ્યા ઘાતાંકીય રીતે ઘટે છે.
તેથી,તાંબાનો અવરોધ ઘટે છે જ્યારે જર્મેનિયમનો અવરોધ વધે છે.

(B) ઘન પદાર્થોમાં ઉર્જા બેન્ડનું નિર્માણ એ $Pauli$ ના અપવર્જનના સિદ્ધાંતનું સીધું પરિણામ છે. આ સિદ્ધાંત મુજબ,પરમાણુમાં રહેલા કોઈપણ બે ઇલેક્ટ્રોન માટે ચાર ક્વોન્ટમ નંબરોનો સેટ સમાન હોઈ શકે નહીં. જ્યારે પરમાણુઓને ઘન પદાર્થ બનાવવા માટે નજીક લાવવામાં આવે છે,ત્યારે ઇલેક્ટ્રોન વચ્ચેના આંતરક્રિયા અને દરેક ઇલેક્ટ્રોન એક અનન્ય ક્વોન્ટમ અવસ્થામાં હોવો જોઈએ તે જરૂરિયાતને કારણે તેમના અલગ-અલગ ઉર્જા સ્તરો નજીકથી ગોઠવાયેલા ઉર્જા બેન્ડમાં વિભાજિત થાય છે.

(D) ફોરવર્ડ બાયસિંગમાં,બેટરીનો ધન ટર્મિનલ $p$-સાઇડ સાથે અને ઋણ ટર્મિનલ $p-n$ જંકશન ડાયોડની $n$-સાઇડ સાથે જોડવામાં આવે છે.
આ બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્ર જંકશનના આંતરિક વિદ્યુતક્ષેત્રનો વિરોધ કરે છે.
પરિણામે,ડેપ્લેશન રિજનની પહોળાઈ $(x)$ ઘટે છે અને પોટેન્શિયલ બેરિયર હાઇટ $(V_B)$ પણ ઘટે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) $NPN$ ટ્રાન્ઝિસ્ટરમાં,એમિટર $N-$પ્રકારનું,બેઝ $P-$પ્રકારનું અને કલેક્ટર $N-$પ્રકારનું હોય છે. જ્યારે તેનો ઉપયોગ એમ્પ્લીફાયર તરીકે થાય છે,ત્યારે એમિટર-બેઝ જંકશન ફોરવર્ડ બાયસમાં અને કલેક્ટર-બેઝ જંકશન રિવર્સ બાયસમાં હોય છે. $N-$પ્રકારના એમિટરમાં ઇલેક્ટ્રોન મેજોરિટી ચાર્જ કેરિયર્સ હોવાથી,તેઓ બેઝમાં દાખલ થાય છે. બેઝ વિસ્તાર પાતળો હોવાને કારણે,આમાંથી મોટાભાગના ઇલેક્ટ્રોન બેઝમાંથી પસાર થઈને કલેક્ટર દ્વારા એકત્રિત કરવામાં આવે છે. આમ,ઇલેક્ટ્રોન એમિટરથી બેઝ તરફ અને ત્યારબાદ બેઝથી કલેક્ટર તરફ ગતિ કરે છે.

(D) કોમન એમિટર કોન્ફિગરેશનમાં,કરંટ ગેઈન $A_i$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$A_i = \frac{-h_{fe}}{1 + h_{oe} R_L}$
આપેલ છે:
$h_{fe} = 50$
$h_{oe} = 25 \ \mu A/V = 25 \times 10^{-6} \ S$
$R_L = 1 \ k\Omega = 10^3 \ \Omega$
કિંમતો મૂકતા:
$A_i = \frac{-50}{1 + (25 \times 10^{-6}) \times 10^3}$
$A_i = \frac{-50}{1 + 0.025}$
$A_i = \frac{-50}{1.025}$
$A_i \approx -48.78$

(A) ચાંદીનો ઢોળ ચડાવેલ સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ અંતર્ગોળ અરીસા તરીકે વર્તે છે.
ચાંદીના ઢોળવાળા લેન્સની અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈ $F$ નું સૂત્ર $F = \frac{R}{2\mu}$ છે,જ્યાં $R$ એ વક્રતા ત્રિજ્યા છે અને $\mu$ એ વક્રીભવનાંક છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $F = \frac{30 \ cm}{2 \times 1.5} = \frac{30}{3} = 10 \ cm$.
આ સિસ્ટમ અંતર્ગોળ અરીસા તરીકે વર્તતી હોવાથી,વસ્તુના કદ જેવડું જ વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ મેળવવા માટે,વસ્તુને વક્રતા કેન્દ્ર પર મૂકવી આવશ્યક છે.
અરીસાથી વક્રતા કેન્દ્રનું અંતર $2F$ છે.
તેથી,વસ્તુનું અંતર $u = 2F = 2 \times 10 \ cm = 20 \ cm$ થાય.

(C) પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન માટે,આપાતકોણ $i$ એ ક્રાંતિકોણ $C$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ,એટલે કે $i > C$.
આકૃતિ પરથી,કિરણ કર્ણ પર $i = \theta = 45^o$ ના આપાતકોણે અથડાય છે.
પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થવા માટે,આપણી પાસે $\theta > C$ હોવું જોઈએ.
બંને બાજુ સાઈન લેતા,$\sin \theta > \sin C$.
કારણ કે $\sin C = \frac{1}{n}$,જ્યાં $n$ એ હવાના સાપેક્ષ કાચનો વક્રીભવનાંક છે,તેથી $\sin \theta > \frac{1}{n}$.
$n$ માટે ગોઠવતા,આપણને $n > \frac{1}{\sin \theta}$ મળે છે.
$\theta = 45^o$ મૂકતા,આપણને $n > \frac{1}{\sin 45^o} = \frac{1}{1/\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ મળે છે.
આમ,કાચનો વક્રીભવનાંક $n > \sqrt{2}$ હોવો જોઈએ.

(D) બ્રુસ્ટરના નિયમ મુજબ,જ્યારે પ્રકાશ ધ્રુવીભવન કોણ (બ્રુસ્ટર કોણ,$\theta_p$) પર આપાત થાય છે,ત્યારે પરાવર્તિત પ્રકાશ સંપૂર્ણપણે સમતલ ધ્રુવીભૂત હોય છે.
બ્રુસ્ટરનો નિયમ જણાવે છે કે માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $n$ એ ધ્રુવીભવન કોણ $\theta_p$ ના ટેન્જન્ટ (tangent) જેટલો હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$n = \tan(\theta_p)$.
તેથી,ધ્રુવીભવન કોણ $\theta_p = \tan^{-1}(n)$ થાય છે.

(C) માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $n$ એ $n = \sqrt{\frac{\mu\varepsilon}{\mu_0\varepsilon_0}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે માધ્યમ અચુંબકીય છે,$\mu = \mu_0$,તેથી $n = \sqrt{\frac{\varepsilon}{\varepsilon_0}}$.
આપેલ સાપેક્ષ પરમિટિવિટી (ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક) $K = \frac{\varepsilon}{\varepsilon_0} = 4.0$ હોવાથી,$n = \sqrt{4.0} = 2$ મળે છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની આવૃત્તિ $\nu$ માત્ર ઉદગમ પર આધાર રાખે છે અને તે અલગ-અલગ માધ્યમોમાંથી પસાર થાય ત્યારે બદલાતી નથી.
માધ્યમમાં તરંગની ઝડપ $v = \frac{c}{n} = \frac{c}{2}$ થાય છે.
$v = \nu\lambda$ હોવાથી,નવી તરંગલંબાઈ $\lambda' = \frac{v}{\nu} = \frac{c/2}{\nu} = \frac{\lambda}{2}$ થાય છે.
આમ,તરંગલંબાઈ અડધી થાય છે અને આવૃત્તિ બદલાતી નથી.

(B) વ્યતિકરણના મહત્તમ માટે,પથ તફાવત $\Delta = d \sin \theta = n\lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ પૂર્ણાંક છે.
અહીં આપેલ છે કે સ્લિટનું અંતર $d = 2\lambda$ છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $2\lambda \sin \theta = n\lambda$,જેનું સાદું રૂપ $\sin \theta = \frac{n}{2}$ થાય છે.
કારણ કે $\sin \theta$ નું મૂલ્ય $[-1, 1]$ ની રેન્જમાં હોવું જોઈએ,તેથી $-1 \le \frac{n}{2} \le 1$,જેનો અર્થ છે કે $-2 \le n \le 2$.
$n$ માટે શક્ય પૂર્ણાંક મૂલ્યો $-2, -1, 0, 1, 2$ છે.
આ મૂલ્યો ગણતા,આપણને કુલ $5$ મહત્તમ મળે છે.

(B) ફોટોનની ઉર્જા $E = pc$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $p$ એ ફોટોનનું વેગમાન છે અને $C$ એ પ્રકાશની ગતિ છે.
તેથી,સપાટી પર આપાત થતા વિકિરણનું પ્રારંભિક વેગમાન $p_i = E/C$ છે.
સપાટી સંપૂર્ણ પરાવર્તક હોવાથી,વિકિરણ સમાન વેગમાનના મૂલ્ય સાથે પરંતુ વિરુદ્ધ દિશામાં પરાવર્તિત થાય છે.
આમ,વિકિરણનું અંતિમ વેગમાન $p_f = -E/C$ છે.
સપાટીને સ્થાનાંતરિત થતું વેગમાન એ વિકિરણના વેગમાનમાં થતો ફેરફાર છે,જે $\Delta p = p_i - p_f$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\Delta p = E/C - (-E/C) = E/C + E/C = 2E/C$.

(B) ન્યુક્લિયર ફ્યુઝન પ્રક્રિયા આ મુજબ છે: $_1H^2 + _1H^2 \to _2He^4 + \Delta E$.
ડ્યુટેરોન માટે ન્યુક્લિઓન દીઠ બંધન ઉર્જા $1.1 \, MeV$ છે.
ડ્યુટેરોનમાં $2$ ન્યુક્લિઓન હોવાથી,એક ડ્યુટેરોનની કુલ બંધન ઉર્જા $2 \times 1.1 = 2.2 \, MeV$ થાય.
બે ડ્યુટેરિયમ ન્યુક્લિયસ માટે,કુલ પ્રારંભિક બંધન ઉર્જા $2 \times 2.2 = 4.4 \, MeV$ થાય.
હિલિયમ ન્યુક્લિયસ $(He^4)$ માટે ન્યુક્લિઓન દીઠ બંધન ઉર્જા $7.0 \, MeV$ છે.
હિલિયમ ન્યુક્લિયસમાં $4$ ન્યુક્લિઓન હોવાથી,તેની કુલ બંધન ઉર્જા $4 \times 7.0 = 28.0 \, MeV$ થાય.
ફ્યુઝન પ્રક્રિયામાં મુક્ત થતી ઉર્જા એ નીપજની કુલ બંધન ઉર્જા અને પ્રક્રિયકોની કુલ બંધન ઉર્જા વચ્ચેનો તફાવત છે:
$\Delta E = 28.0 \, MeV - 4.4 \, MeV = 23.6 \, MeV$.

(A) તેલનું ટીપું સંતુલનમાં લટકતું હોવાથી,નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ ઉપરની તરફ લાગતા વિદ્યુત બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે.
$F_{e} = F_{g}$
$qE = mg$
$q = \frac{mg}{E}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$q = \frac{9.9 \times 10^{-15} \times 10}{3 \times 10^{4}}$
$q = \frac{9.9 \times 10^{-14}}{3 \times 10^{4}}$
$q = 3.3 \times 10^{-18} \; C$
આમ,ટીપાં પરનો ચાર્જ $3.3 \times 10^{-18} \; C$ છે.

(B) એમ્પિયરના સર્કિટલ નિયમ મુજબ,કોઈપણ બંધ લૂપની આસપાસ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ નું રેખાસંકલન એ લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલા કુલ પ્રવાહ $I_{\text{en}}$ ના $\mu_0$ ગણું હોય છે: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{en}}$.
અનંત લંબાઈની પાતળી દીવાલવાળી નળીની અંદરના કોઈપણ બિંદુ માટે,આપણે $r$ ત્રિજ્યાનો એક વર્તુળાકાર એમ્પેરિયન લૂપ વિચારી શકીએ (જ્યાં $r < R$,નળીની ત્રિજ્યા).
જેহেতু પ્રવાહ $i$ ફક્ત નળીની સપાટી પર જ વહે છે,તેથી આ એમ્પેરિયન લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલો પ્રવાહ $I_{\text{en}} = 0$ છે.
તેથી,$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0(0) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે નળીની અંદરના કોઈપણ બિંદુએ ચુંબકીય પ્રેરણ $B$ નું મૂલ્ય $0$ છે.

(B) અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} \pi r^{2}$ છે.
સમય $t$ પર લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B A \cos(\omega t) = B \left(\frac{1}{2} \pi r^{2}\right) \cos(\omega t)$ છે.
પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ ફેરાડેના નિયમ દ્વારા મળે છે: $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt} = \frac{1}{2} B \pi r^{2} \omega \sin(\omega t)$.
ઉત્પન્ન થતો ત્વરિત પાવર $P(t) = \frac{\varepsilon^{2}}{R} = \frac{(\frac{1}{2} B \pi r^{2} \omega \sin(\omega t))^{2}}{R} = \frac{B^{2} \pi^{2} r^{4} \omega^{2} \sin^{2}(\omega t)}{4 R}$ છે.
એક સંપૂર્ણ આવર્તકાળ પર સરેરાશ પાવર $\langle P \rangle = \frac{B^{2} \pi^{2} r^{4} \omega^{2}}{4 R} \langle \sin^{2}(\omega t) \rangle$ છે.
આવર્તકાળ પર $\sin^{2}(\omega t)$ નું સરેરાશ મૂલ્ય $\frac{1}{2}$ હોવાથી,$\langle P \rangle = \frac{B^{2} \pi^{2} r^{4} \omega^{2}}{4 R} \cdot \frac{1}{2} = \frac{(B \pi r^{2} \omega)^{2}}{8 R}$ મળે છે.

(B) ધારો કે તારની લંબાઈ $L$ છે. $r$ ત્રિજ્યાવાળા એક આંટાના લૂપ માટે,પરિઘ $2 \pi r = L$ થાય,તેથી $r = \frac{L}{2 \pi}$.
એક આંટાવાળા લૂપના કેન્દ્રમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_{0} I}{2 r} = \frac{\mu_{0} I}{2 (L / 2 \pi)} = \frac{\mu_{0} I \pi}{L}$ છે.
જ્યારે તે જ તારને $n$ આંટામાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે નવી ત્રિજ્યા $r'$ એ $n (2 \pi r') = L$ નું પાલન કરે છે,તેથી $r' = \frac{L}{2 \pi n} = \frac{r}{n}$ થાય.
$n$ આંટાવાળા લૂપના કેન્દ્રમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{n} = n \times \frac{\mu_{0} I}{2 r'} = n \times \frac{\mu_{0} I}{2 (r / n)} = n^{2} \times \frac{\mu_{0} I}{2 r}$ છે.
કારણ કે $B = \frac{\mu_{0} I}{2 r}$,તેથી $B_{n} = n^{2} B$ મળે છે.

(B) ધારો કે ચોરસની બાજુ $a$ છે. કેન્દ્રથી દરેક ખૂણાનું અંતર $r = \frac{a}{\sqrt{2}}$ છે.
તંત્ર સંતુલનમાં રહે તે માટે,કોઈપણ ખૂણા પરના વિદ્યુતભાર પર લાગતું કુલ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
એક ખૂણા પરના $-Q$ વિદ્યુતભારને ધ્યાનમાં લો. તેના પર લાગતા બળો:
$1$. અન્ય ત્રણ $-Q$ વિદ્યુતભારો દ્વારા લાગતું અપાકર્ષી બળ.
ધારો કે $F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q^2}{a^2}$.
બે બાજુઓ પરના બળોનું પરિણામી બળ $F_{res} = \sqrt{F^2 + F^2} = \sqrt{2} F$ છે.
વિકર્ણ પરના વિદ્યુતભાર દ્વારા લાગતું બળ $F_{diag} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q^2}{(\sqrt{2}a)^2} = \frac{F}{2}$ છે.
કુલ અપાકર્ષી બળ $F_{total} = \sqrt{2} F + \frac{F}{2} = F(\sqrt{2} + \frac{1}{2})$.
$2$. કેન્દ્રમાં રહેલા વિદ્યુતભાર $q$ દ્વારા લાગતું આકર્ષી બળ: $F_q = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q Q}{r^2} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q Q}{(a/\sqrt{2})^2} = \frac{2 q Q}{4 \pi \epsilon_0 a^2}$.
સંતુલન માટે,$F_q = F_{total} \implies \frac{2 q Q}{4 \pi \epsilon_0 a^2} = \frac{Q^2}{4 \pi \epsilon_0 a^2} (\sqrt{2} + \frac{1}{2})$.
$2q = Q(\sqrt{2} + 0.5) = Q(\frac{2\sqrt{2}+1}{2})$.
$q = \frac{Q}{4}(1 + 2\sqrt{2})$.
બળ આકર્ષી હોવું જોઈએ,તેથી $q$ ની સંજ્ઞા $-Q$ થી વિરુદ્ધ હોવી જોઈએ,એટલે કે $q$ ધન છે.