System of circles Questions in Hindi

(D) वृत्त $S = 0$ और रेखा $P = 0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरने वाले वृत्तों के परिवार को समीकरण $S + \lambda P = 0$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $\lambda$ एक प्राचल है।
चूँकि $\lambda$ कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है,इसलिए $S - \lambda P = 0$ भी एक मान्य निरूपण है ($\lambda$ को $-\lambda$ से प्रतिस्थापित करके)।
इसके अतिरिक्त,यदि हम $\lambda S + P = 0$ रूप पर विचार करें,तो यह भी वृत्तों के परिवार को दर्शाता है,बशर्ते $\lambda \neq 0$ हो।
अतः,दिए गए सभी रूप उपयुक्त स्थितियों के तहत वृत्तों के परिवार का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(B) वृत्त $S = 0$ और रेखा $L = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $S + \lambda L = 0$ होता है।
यहाँ $S = {x^2} + {y^2} - 2x - 6y + 6 = 0$ और $L = 3x + 2y - 5 = 0$ है,अतः समीकरण:
$({x^2} + {y^2} - 2x - 6y + 6) + \lambda (3x + 2y - 5) = 0$
चूँकि यह वृत्त बिंदु $(-2, 4)$ से गुजरता है,$x = -2$ और $y = 4$ रखने पर:
$((-2)^2 + (4)^2 - 2(-2) - 6(4) + 6) + \lambda (3(-2) + 2(4) - 5) = 0$
$6 + \lambda (-3) = 0 \implies \lambda = 2$
$\lambda = 2$ का मान रखने पर:
$({x^2} + {y^2} - 2x - 6y + 6) + 2(3x + 2y - 5) = 0$
${x^2} + {y^2} + 4x - 2y - 4 = 0$

(B) माना $P(x_1, y_1)$ पहले वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c_1 = 0$ पर कोई बिंदु है।
चूंकि $P$ वृत्त पर स्थित है,इसलिए $x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c_1 = 0$ होगा,जिसका अर्थ है $x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 = -c_1$।
बिंदु $(x_1, y_1)$ से वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ पर खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c}$ होती है।
पहले समीकरण से $x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1$ का मान रखने पर,हमें स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{-c_1 + c} = \sqrt{c - c_1}$ प्राप्त होती है।

(A) वृत्त $x^2 + y^2 = 5$ के बिंदु $(1, -2)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $x(1) + y(-2) = 5$ है,जो $x - 2y = 5$ या $x = 2y + 5$ के रूप में है।
$x = 2y + 5$ को दूसरे वृत्त $x^2 + y^2 - 8x + 6y + 20 = 0$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(2y + 5)^2 + y^2 - 8(2y + 5) + 6y + 20 = 0$
पदों का विस्तार करने पर:
$(4y^2 + 20y + 25) + y^2 - 16y - 40 + 6y + 20 = 0$
समान पदों को जोड़ने पर:
$5y^2 + 10y + 5 = 0$
$5$ से भाग देने पर:
$y^2 + 2y + 1 = 0$
$(y + 1)^2 = 0$
इससे $y = -1$ प्राप्त होता है। $y = -1$ को $x = 2y + 5$ में रखने पर $x = 2(-1) + 5 = 3$ प्राप्त होता है।
चूंकि केवल एक ही प्रतिच्छेदन बिंदु $(3, -1)$ है,इसलिए रेखा वृत्त को स्पर्श करती है।

(C) प्रथम वृत्त $x^2 + y^2 + 2x + 8y - 23 = 0$ के लिए:
केंद्र $C_1 = (-1, -4)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{1 + 16 + 23} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \approx 6.32$.
दूसरे वृत्त $x^2 + y^2 - 4x - 10y + 9 = 0$ के लिए:
केंद्र $C_2 = (2, 5)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{4 + 25 - 9} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4.47$.
केंद्रों $C_1$ और $C_2$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (5 - (-4))^2} = \sqrt{3^2 + 9^2} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10} \approx 9.49$.
अब,$d$,$r_1 + r_2$,और $|r_1 - r_2|$ के बीच संबंध की जाँच करें:
$r_1 + r_2 = 2\sqrt{10} + 2\sqrt{5} \approx 10.79$.
$|r_1 - r_2| = 2\sqrt{10} - 2\sqrt{5} \approx 1.85$.
चूँकि $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ है,वृत्त दो अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं।
अतः,$2$ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं।

(C) प्रथम वृत्त का समीकरण $S_1: x^2 + y^2 - 4 = 0$ है।
दूसरे वृत्त का समीकरण $S_2: x^2 + y^2 - 2x + 6y + a = 0$ है।
दोनों वृत्तों की उभयनिष्ठ जीवा $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दी जाती है,जो $(x^2 + y^2 - 4) - (x^2 + y^2 - 2x + 6y + a) = 0$ है।
यह सरल होकर $2x - 6y - 4 - a = 0$ हो जाता है।
यदि एक वृत्त दूसरे वृत्त की परिधि को समद्विभाजित करता है,तो उभयनिष्ठ जीवा दूसरे वृत्त का व्यास होनी चाहिए।
इसलिए,उभयनिष्ठ जीवा को दूसरे वृत्त के केंद्र $(1, -3)$ से गुजरना चाहिए।
उभयनिष्ठ जीवा के समीकरण में $(1, -3)$ रखने पर: $2(1) - 6(-3) - 4 - a = 0$.
$2 + 18 - 4 - a = 0$.
$16 - a = 0$,जिससे $a = 16$ प्राप्त होता है।

(C) वृत्त $S \equiv 2x^2 + 2y^2 - 2x - 6y - 25 = 0$ और रेखा $L \equiv x - y - 1 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $S + \lambda L = 0$ है।
$(2x^2 + 2y^2 - 2x - 6y - 25) + \lambda(x - y - 1) = 0$
$2x^2 + 2y^2 + (\lambda - 2)x - (\lambda + 6)y - (25 + \lambda) = 0$
इस वृत्त का केंद्र $\left( -\frac{\lambda - 2}{4}, \frac{\lambda + 6}{4} \right)$ है।
चूंकि रेखा $x - y - 1 = 0$ व्यास है,इसलिए केंद्र इस रेखा पर स्थित होना चाहिए:
$-\frac{\lambda - 2}{4} - \frac{\lambda + 6}{4} - 1 = 0$
$-2\lambda - 8 = 0 \implies \lambda = -4$.
$\lambda = -4$ रखने पर:
$2x^2 + 2y^2 - 6x - 2y - 21 = 0$.

(D) प्रथम वृत्त $x^2 + y^2 - 6x - 2y + 1 = 0$ के लिए,केंद्र $C_1 = (3, 1)$ और त्रिज्या $R_1 = \sqrt{3^2 + 1^2 - 1} = \sqrt{9} = 3$ है।
दूसरे वृत्त $x^2 + y^2 + 2x - 8y + 13 = 0$ के लिए,केंद्र $C_2 = (-1, 4)$ और त्रिज्या $R_2 = \sqrt{(-1)^2 + 4^2 - 13} = \sqrt{1 + 16 - 13} = \sqrt{4} = 2$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $C_1C_2 = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$ है।
चूंकि $R_1 + R_2 = 3 + 2 = 5$,इसलिए $C_1C_2 = R_1 + R_2$ है।
अतः,वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं।

(D) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है। चूँकि वृत्त $(0, 0)$ और $(1, 0)$ से होकर गुजरता है,इसलिए केंद्र $(0, 0)$ और $(1, 0)$ को जोड़ने वाली जीवा के लंब समद्विभाजक पर स्थित होगा। मध्य बिंदु $(1/2, 0)$ है और रेखा $x = 1/2$ है। अतः,$h = 1/2$.
चूँकि वृत्त $(0, 0)$ से होकर गुजरता है,इसकी त्रिज्या $r$,$(1/2, k)$ से $(0, 0)$ की दूरी है,इसलिए $r^2 = (1/2)^2 + k^2 = 1/4 + k^2$.
वृत्त $x^2 + y^2 = 9$ को स्पर्श करता है,जिसका केंद्र $(0, 0)$ और त्रिज्या $R = 3$ है। केंद्रों के बीच की दूरी $\sqrt{(1/2)^2 + k^2} = r$ है।
वृत्तों के स्पर्श करने के लिए,केंद्रों के बीच की दूरी $|R \pm r|$ होनी चाहिए। यहाँ,केंद्रों के बीच की दूरी $r$ है,इसलिए $r = |3 \pm r|$.
स्थिति $1$: $r = 3 - r$ $\Rightarrow 2r = 3$ $\Rightarrow r = 3/2$.
तब $r^2 = 9/4$,इसलिए $1/4 + k^2 = 9/4$ $\Rightarrow k^2 = 2$ $\Rightarrow k = \pm \sqrt{2}$.
अतः,केंद्र $\left( \frac{1}{2}, \pm \sqrt{2} \right)$ है।

(A) दो वृत्तों $x^2 + y^2 + 2g_1x + 2f_1y + c_1 = 0$ और $x^2 + y^2 + 2g_2x + 2f_2y + c_2 = 0$ के लंबकोणीय प्रतिच्छेद करने की शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ है।
दिए गए समीकरणों की तुलना मानक रूप से करने पर:
प्रथम वृत्त के लिए: $2g_1 = p \Rightarrow g_1 = \frac{p}{2}$,$2f_1 = 3 \Rightarrow f_1 = \frac{3}{2}$,$c_1 = -5$.
द्वितीय वृत्त के लिए: $2g_2 = 5 \Rightarrow g_2 = \frac{5}{2}$,$2f_2 = p \Rightarrow f_2 = \frac{p}{2}$,$c_2 = 7$.
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$2\left(\frac{p}{2}\right)\left(\frac{5}{2}\right) + 2\left(\frac{3}{2}\right)\left(\frac{p}{2}\right) = -5 + 7$
$\frac{5p}{2} + \frac{3p}{2} = 2$
$\frac{8p}{2} = 2$
$4p = 2$
$p = \frac{1}{2}$.

(B) दिए गए वृत्तों के समीकरण हैं:
$x^2 + y^2 - 6x - 6y + 10 = 0$ $(i)$
$x^2 + y^2 = 2$ $(ii)$
समीकरण $(i)$ से $(ii)$ को घटाने पर:
$(x^2 + y^2 - 6x - 6y + 10) - (x^2 + y^2) = 0 - 2$
$-6x - 6y + 10 = -2$
$-6x - 6y + 12 = 0$
$x + y = 2$ $(iii)$
$(iii)$ से,$y = 2 - x$. इसे $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 + (2 - x)^2 = 2$
$x^2 + 4 - 4x + x^2 = 2$
$2x^2 - 4x + 2 = 0$
$x^2 - 2x + 1 = 0$
$(x - 1)^2 = 0$
$x = 1$
$x = 1$ को $x + y = 2$ में रखने पर,हमें $y = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,स्पर्श बिंदु $(1, 1)$ है।

(A) वृत्तों की समाक्ष प्रणाली का समीकरण $S + \lambda L = 0$ है,जहाँ $S = x^2 + y^2 - 9 = 0$ और $L$ मूल अक्ष है।
चूंकि $(2, 3)$ एक सीमित बिंदु है,$(2, 3)$ से गुजरने वाला $0$ त्रिज्या का वृत्त $(x-2)^2 + (y-3)^2 = 0$ है,जो $x^2 + y^2 - 4x - 6y + 13 = 0$ है।
मूल अक्ष $S_1 - S_2 = 0$ है,जो $(x^2 + y^2 - 9) - (x^2 + y^2 - 4x - 6y + 13) = 0$ अर्थात $2x + 3y - 11 = 0$ देता है।
समाक्ष वृत्तों का परिवार $(x^2 + y^2 - 9) + k(2x + 3y - 11) = 0$ है।
केंद्र $(-k, -\frac{3k}{2})$ है और त्रिज्या का वर्ग $r^2 = \frac{13k^2 + 44k + 36}{4}$ है।
सीमित बिंदुओं के लिए $r^2 = 0$,अतः $13k^2 + 44k + 36 = 0$ है।
$k$ के लिए हल करने पर,$(13k + 18)(k + 2) = 0$,जिससे $k = -2$ या $k = -\frac{18}{13}$ प्राप्त होता है।
$k = -2$ के लिए केंद्र $(2, 3)$ है।
$k = -\frac{18}{13}$ के लिए केंद्र $(\frac{18}{13}, \frac{27}{13})$ है।

(A) दो वृत्तों ${S_1} = 0$ और ${S_2} = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्तों का परिवार ${S_1} + \lambda {S_2} = 0$ (जहाँ $\lambda \neq -1$) द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है ${S_1}: {x^2} + {y^2} - 2x - 4y + 1 = 0$ और ${S_2}: {x^2} + {y^2} - 4x - 2y + 4 = 0$.
समीकरण: $({x^2} + {y^2} - 2x - 4y + 1) + \lambda ({x^2} + {y^2} - 4x - 2y + 4) = 0$.
केंद्र $\left( \frac{1 + 2\lambda }{1 + \lambda }, \frac{2 + \lambda }{1 + \lambda } \right)$ रेखा $x + 2y - 3 = 0$ पर स्थित है।
मान रखने पर,$\lambda = -2$ प्राप्त होता है।
अतः,वृत्त का समीकरण ${x^2} + {y^2} - 6x + 7 = 0$ है।

(A) प्रथम वृत्त $x^2 + y^2 - 2x - 4y = 0$ के लिए,केंद्र $C_1 = (1, 2)$ और त्रिज्या $R_1 = \sqrt{1^2 + 2^2 - 0} = \sqrt{5}$ है।
दूसरे वृत्त $x^2 + y^2 - 8y - 4 = 0$ के लिए,केंद्र $C_2 = (0, 4)$ और त्रिज्या $R_2 = \sqrt{0^2 + 4^2 - (-4)} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ है।
केंद्रों $C_1$ और $C_2$ के बीच की दूरी $C_1C_2 = \sqrt{(1-0)^2 + (2-4)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$ है।
हम देखते हैं कि $|R_2 - R_1| = |2\sqrt{5} - \sqrt{5}| = \sqrt{5}$ है।
चूंकि $C_1C_2 = |R_2 - R_1|$,इसलिए वृत्त एक-दूसरे को आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं।

(B) दो वृत्तों $S_1 = 0$ और $S_2 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $S_1 + \lambda S_2 = 0$ है।
दिया गया है $S_1: x^2 + y^2 + 13x - 3y = 0$ और $S_2: 2x^2 + 2y^2 + 4x - 7y - 25 = 0$।
अभीष्ट समीकरण $(x^2 + y^2 + 13x - 3y) + \lambda (2x^2 + 2y^2 + 4x - 7y - 25) = 0$ है।
चूंकि वृत्त $(1, 1)$ से गुजरता है,$x = 1$ और $y = 1$ रखने पर:
$(1 + 1 + 13 - 3) + \lambda (2 + 2 + 4 - 7 - 25) = 0$
$12 - 24\lambda = 0 \implies \lambda = \frac{1}{2}$।
$\lambda = \frac{1}{2}$ रखने पर:
$2(x^2 + y^2 + 13x - 3y) + (2x^2 + 2y^2 + 4x - 7y - 25) = 0$
$4x^2 + 4y^2 + 30x - 13y - 25 = 0$।

(D) माना अभीष्ट वृत्त ${x^2} + {y^2} + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
दो वृत्त ${x^2} + {y^2} + 2g_1x + 2f_1y + c_1 = 0$ और ${x^2} + {y^2} + 2g_2x + 2f_2y + c_2 = 0$ समकोण पर काटते हैं यदि $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ हो।
दी गई शर्तों को लागू करने पर:
$(i) \; g + 2f = c + 3$
$(ii) \; 2g + 4f = c + 5$
$(iii) \; -7g - 8f = c - 9$
समीकरणों को हल करने पर $g = 2/3, f = 2/3, c = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट समीकरण $3({x^2} + {y^2}) + 4(x + y) - 3 = 0$ है।

(C) वृत्तों के परिवार का समीकरण $S_2 + \lambda S_1 = 0$ है।
$(x^2 + y^2 - 2x - 4y + 1) + \lambda(x^2 + y^2 - 1) = 0$
$(1 + \lambda)x^2 + (1 + \lambda)y^2 - 2x - 4y + (1 - \lambda) = 0$
केंद्र $C = \left( \frac{1}{1 + \lambda}, \frac{2}{1 + \lambda} \right)$ और त्रिज्या $r = \frac{\sqrt{4 + \lambda^2}}{|1 + \lambda|}$ है।
चूंकि यह रेखा $x + 2y = 0$ को स्पर्श करता है,केंद्र से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या के बराबर होगी।
$\left| \frac{\frac{1}{1 + \lambda} + 2(\frac{2}{1 + \lambda})}{\sqrt{5}} \right| = \frac{\sqrt{4 + \lambda^2}}{|1 + \lambda|}$
$\sqrt{5} = \sqrt{4 + \lambda^2}$ $\Rightarrow \lambda^2 = 1$ $\Rightarrow \lambda = 1$ (क्योंकि $\lambda = -1$ संभव नहीं है)।
अतः,अभीष्ट समीकरण $x^2 + y^2 - x - 2y = 0$ है।

(C) माना वृत्त का समीकरण ${x^2} + {y^2} + 2gx + 2fy = 0$ है क्योंकि यह मूल बिंदु $(0, 0)$ से होकर गुजरता है।
चूंकि केंद्र $(-g, -f)$ रेखा $x + y = 4$ पर स्थित है,इसलिए $-g - f = 4$,या $g + f = -4$ ... $(i)$।
वृत्त ${x^2} + {y^2} - 4x + 2y + 4 = 0$ को लंबकोणीय काटता है। लंबकोणीय होने की शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ है।
यहाँ,$g_1 = g, f_1 = f, c_1 = 0$ और $g_2 = -2, f_2 = 1, c_2 = 4$ है।
अतः,$2(g)(-2) + 2(f)(1) = 0 + 4$,जो $-4g + 2f = 4$,या $-2g + f = 2$ ... $(ii)$ में सरल हो जाता है।
$(i)$ में से $(ii)$ को घटाने पर: $(g + f) - (-2g + f) = -4 - 2$,जिससे $3g = -6$ प्राप्त होता है,अतः $g = -2$।
$g = -2$ को $(i)$ में रखने पर: $-2 + f = -4$,अतः $f = -2$।
वृत्त का समीकरण ${x^2} + {y^2} + 2(-2)x + 2(-2)y = 0$ है,जो ${x^2} + {y^2} - 4x - 4y = 0$ है।

(C) वृत्त का सामान्य समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
दिए गए वृत्तों की तुलना सामान्य रूप से करने पर:
पहले वृत्त के लिए,$2g_1 = a$,$2f_1 = b$,और $c_1 = c$।
दूसरे वृत्त के लिए,$2g_2 = d$,$2f_2 = e$,और $c_2 = f$।
दो वृत्तों के लंबकोणीय प्रतिच्छेद करने की शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ है।
मान रखने पर:
$2(\frac{a}{2})(\frac{d}{2}) + 2(\frac{b}{2})(\frac{e}{2}) = c + f$
$\frac{ad}{2} + \frac{be}{2} = c + f$
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर:
$ad + be = 2(c + f)$.

(A) वृत्तों के समीकरण:
$S_1: x^2 + y^2 + 4x + 6y - 19 = 0$
$S_2: x^2 + y^2 - 9 = 0$
$S_3: x^2 + y^2 - 2x - 2y - 5 = 0$
$S_1$ और $S_2$ की रेडिकल अक्ष $S_1 - S_2 = 0$ है:
$4x + 6y - 10 = 0 \implies 2x + 3y = 5$ ... $(i)$
$S_2$ और $S_3$ की रेडिकल अक्ष $S_2 - S_3 = 0$ है:
$2x + 2y - 4 = 0 \implies x + y = 2$ ... $(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर:
$x = 1$ और $y = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,रेडिकल केंद्र $(1, 1)$ है।

(A) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है और त्रिज्या $r$ है।
चूंकि वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ को बाह्य रूप से स्पर्श करता है,इसलिए उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग के बराबर होगी:
$\sqrt{h^2 + k^2} = r + a \implies r = \sqrt{h^2 + k^2} - a$ $(i)$
चूंकि वृत्त $x^2 + y^2 - 4ax = 0$ (जो $(x-2a)^2 + y^2 = (2a)^2$ है) को बाह्य रूप से स्पर्श करता है,इसलिए उनके केंद्रों के बीच की दूरी:
$\sqrt{(h-2a)^2 + k^2} = r + 2a$ $(ii)$
$(i)$ से $r$ का मान $(ii)$ में रखने पर:
$\sqrt{(h-2a)^2 + k^2} = (\sqrt{h^2 + k^2} - a) + 2a$
$\sqrt{(h-2a)^2 + k^2} = \sqrt{h^2 + k^2} + a$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(h-2a)^2 + k^2 = (h^2 + k^2) + a^2 + 2a\sqrt{h^2 + k^2}$
$h^2 - 4ah + 4a^2 + k^2 = h^2 + k^2 + a^2 + 2a\sqrt{h^2 + k^2}$
$3a^2 - 4ah = 2a\sqrt{h^2 + k^2}$
$a$ से विभाजित करने पर:
$3a - 4h = 2\sqrt{h^2 + k^2}$
पुनः वर्ग करने पर:
$(3a - 4h)^2 = 4(h^2 + k^2)$
$9a^2 - 24ah + 16h^2 = 4h^2 + 4k^2$
$12h^2 - 4k^2 - 24ah + 9a^2 = 0$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,अभीष्ट बिंदुपथ $12x^2 - 4y^2 - 24ax + 9a^2 = 0$ है।

(C) दो वृत्त जिनकी त्रिज्याएँ $r_1$ और $r_2$ हैं और केंद्रों के बीच की दूरी $d$ है,वे लंबकोणीय काटते हैं यदि $d^2 = r_1^2 + r_2^2$ हो।
यहाँ,$r_1 = r_2 = a$ है।
केंद्रों $(2, 3)$ और $(5, 6)$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(5-2)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18}$ है।
अतः,$d^2 = 18$ है।
शर्त में मान रखने पर: $18 = a^2 + a^2$।
$18 = 2a^2$।
$a^2 = 9$।
चूँकि $a$ त्रिज्या है,इसलिए $a = 3$।

(C) मूल बिंदु से गुजरने वाले वृत्त का सामान्य समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy = 0$ है।
सह-अक्षीय वृत्तों की प्रणाली के लिए,किन्हीं दो वृत्तों की मूल अक्ष (radical axis) समान होनी चाहिए।
दिए गए वृत्त $S_1: x^2 + y^2 - a^2 = 0$ और $S_2: x^2 + y^2 + 2ax - 2a^2 = 0$ हैं।
$S_1$ और $S_2$ की मूल अक्ष $S_1 - S_2 = 0$ है,जो $2ax - a^2 = 0$ अर्थात $x = \frac{a}{2}$ देती है।
माना अभीष्ट वृत्त $S_3: x^2 + y^2 + 2gx + 2fy = 0$ है।
$S_1$ और $S_3$ की मूल अक्ष $2gx + 2fy + a^2 = 0$ है।
चूंकि वृत्त सह-अक्षीय हैं,इसलिए यह मूल अक्ष $x = \frac{a}{2}$ होनी चाहिए।
तुलना करने पर,हमें $f = 0$ और $g = -a$ प्राप्त होता है।
अतः,वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 2ax = 0$ है।

(C) वृत्तों के परिवार का समीकरण $S_1 + \lambda S_2 = 0$ है।
$(x^2 + y^2 - 8x - 2y + 7) + \lambda(x^2 + y^2 - 4x + 10y + 8) = 0$
चूंकि केंद्र $y$-अक्ष पर है,इसलिए $x$-निर्देशांक शून्य होगा।
$\frac{4 + 2\lambda}{1 + \lambda} = 0 \implies \lambda = -2$.
मान रखने पर,$x^2 + y^2 + 22y + 9 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) माना $P$ वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ पर कोई बिंदु है। माना $PQ$ और $PR$ बिंदु $P$ से वृत्त $x^2 + y^2 = a^2 \sin^2 \alpha$ पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ हैं,जहाँ $Q$ और $R$ स्पर्श बिंदु हैं।
माना $O$ मूल बिंदु $(0, 0)$ है। आंतरिक वृत्त की त्रिज्या $OQ = a \sin \alpha$ है।
दूरी $OP$ बाहरी वृत्त की त्रिज्या है,इसलिए $OP = a$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle OQP$ में,$\sin(\angle OPQ) = \frac{OQ}{OP} = \frac{a \sin \alpha}{a} = \sin \alpha$ है।
इसलिए,$\angle OPQ = \alpha$ है।
स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\angle QPR = 2 \times \angle OPQ = 2\alpha$ है।

(A) दो वृत्तों $S_1 = 0$ और $S_2 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $S_1 + \lambda S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $S_1: {x^2} + {y^2} - 8x - 2y + 7 = 0$ और $S_2: {x^2} + {y^2} - 4x + 10y + 8 = 0$ है।
समीकरण $({x^2} + {y^2} - 8x - 2y + 7) + \lambda ({x^2} + {y^2} - 4x + 10y + 8) = 0$ है।
चूंकि वृत्त $(3, -3)$ से गुजरता है,इसलिए $x = 3$ और $y = -3$ रखने पर:
$(9 + 9 - 24 + 6 + 7) + \lambda (9 + 9 - 12 - 30 + 8) = 0$
$7 + \lambda (-16) = 0$
$16\lambda = 7 \Rightarrow \lambda = \frac{7}{16}$.
$\lambda = \frac{7}{16}$ का मान समीकरण में रखने पर:
$16({x^2} + {y^2} - 8x - 2y + 7) + 7({x^2} + {y^2} - 4x + 10y + 8) = 0$
$23{x^2} + 23{y^2} - 156x + 38y + 168 = 0$.

(C) माना वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
चूंकि यह दिए गए वृत्तों को लंबकोणीय काटता है,हम शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ का उपयोग करते हैं।
प्रथम वृत्त के लिए: $2g + 4f - c = 6$।
द्वितीय वृत्त के लिए: $4g + 6f - c = 2$।
वृत्त $(1, 1)$ से गुजरता है,इसलिए $2g + 2f + c = -2$।
इन समीकरणों को हल करने पर हमें $g = -8, f = 6$ और $c = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 16x + 12y + 2 = 0$ है।

(A) दो वृत्तों $x^2 + y^2 + 2g_1x + 2f_1y + c_1 = 0$ और $x^2 + y^2 + 2g_2x + 2f_2y + c_2 = 0$ के लंबकोणीय प्रतिच्छेदन की शर्त निम्नलिखित है:
$2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$
यह एक मानक परिणाम है जिसे वृत्तों के केंद्रों और उनके प्रतिच्छेदन बिंदु द्वारा निर्मित त्रिभुज पर पाइथागोरस प्रमेय लागू करके प्राप्त किया जाता है।

(A) दो वृत्त जिनके केंद्र $C_1(-g, -f)$ और $C_2(-g', -f')$ हैं और त्रिज्याएँ $r_1 = \sqrt{g^2 + f^2}$ और $r_2 = \sqrt{g'^2 + f'^2}$ हैं,यदि वे बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,तो उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग के बराबर होनी चाहिए।
$C_1C_2 = r_1 + r_2$
$\sqrt{(-g + g')^2 + (-f + f')^2} = \sqrt{g^2 + f^2} + \sqrt{g'^2 + f'^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(g' - g)^2 + (f' - f)^2 = (g^2 + f^2) + (g'^2 + f'^2) + 2\sqrt{g^2 + f^2}\sqrt{g'^2 + f'^2}$
$g'^2 - 2gg' + g^2 + f'^2 - 2ff' + f^2 = g^2 + f^2 + g'^2 + f'^2 + 2\sqrt{(g^2 + f^2)(g'^2 + f'^2)}$
$-2(gg' + ff') = 2\sqrt{(g^2 + f^2)(g'^2 + f'^2)}$
$-(gg' + ff') = \sqrt{(g^2 + f^2)(g'^2 + f'^2)}$
पुनः वर्ग करने पर:
$(gg' + ff')^2 = (g^2 + f^2)(g'^2 + f'^2)$
$g^2g'^2 + f^2f'^2 + 2gg'ff' = g^2g'^2 + g^2f'^2 + f^2g'^2 + f^2f'^2$
$2gg'ff' = g^2f'^2 + f^2g'^2$
$g^2f'^2 + f^2g'^2 - 2(gf')(fg') = 0$
$(gf' - fg')^2 = 0$
$gf' = fg'$

(B) प्रथम वृत्त $x^2 + y^2 - 2x - 3 = 0$ के लिए:
केंद्र $C_1 = (1, 0)$,त्रिज्या $r_1 = \sqrt{1^2 + 0^2 - (-3)} = \sqrt{4} = 2$.
द्वितीय वृत्त $x^2 + y^2 - 4x - 6y - 8 = 0$ के लिए:
केंद्र $C_2 = (2, 3)$,त्रिज्या $r_2 = \sqrt{2^2 + 3^2 - (-8)} = \sqrt{4 + 9 + 8} = \sqrt{21}$.
केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{(2-1)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$.
प्रतिच्छेदन के लिए शर्त $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ की जाँच करने पर:
$|2 - \sqrt{21}| < \sqrt{10} < 2 + \sqrt{21}$.
यह शर्त संतुष्ट होती है,अतः वृत्त एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करते हैं.

(A) माना $S_1 = x^2 + y^2 - 6x - 6y + 4 = 0$ और $S_2 = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 3 = 0$ है।
रेडिकल अक्ष $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है,जो $(x^2 + y^2 - 6x - 6y + 4) - (x^2 + y^2 - 2x - 4y + 3) = 0$ है।
इसे सरल करने पर,हमें $-4x - 2y + 1 = 0$ या $4x + 2y - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
समाक्षीय प्रणाली का समीकरण $S_1 + \lambda(4x + 2y - 1) = 0$ है,जो $x^2 + y^2 - (6 - 4\lambda)x - (6 - 2\lambda)y + (4 - \lambda) = 0$ है।
इन वृत्तों का केंद्र $(3 - 2\lambda, 3 - \lambda)$ है और त्रिज्या $r$ का मान $r^2 = (3 - 2\lambda)^2 + (3 - \lambda)^2 - (4 - \lambda)$ है।
सीमा बिंदुओं के लिए,त्रिज्या $r = 0$ होती है।
अतः,$(3 - 2\lambda)^2 + (3 - \lambda)^2 - (4 - \lambda) = 0$।
$5\lambda^2 - 17\lambda + 14 = 0$।
$\lambda$ के लिए हल करने पर,हमें $\lambda = 2$ या $\lambda = 7/5$ प्राप्त होता है।
$\lambda = 2$ के लिए,केंद्र $(-1, 1)$ है।
$\lambda = 7/5$ के लिए,केंद्र $(1/5, 8/5)$ है।
विकल्पों की तुलना करने पर,सही सीमा बिंदु $(-1, 1)$ है।

(C) माना अभीष्ट वृत्त ${x^2} + {y^2} + 2gx + 2fy + c = 0$ $(i)$ है।
चूंकि यह मूलबिंदु $(0, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $c = 0$ है।
केंद्र $(-g, -f)$,$y = x$ पर स्थित है,इसलिए $-f = -g$ अर्थात $f = g$ है।
दो वृत्तों ${x^2} + {y^2} + 2g_1x + 2f_1y + c_1 = 0$ और ${x^2} + {y^2} + 2g_2x + 2f_2y + c_2 = 0$ के लंबकोणीय होने की शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ है।
यहाँ,$g_1 = g, f_1 = f, c_1 = 0$ और $g_2 = -2, f_2 = -3, c_2 = 10$ है।
मान रखने पर,$2(g)(-2) + 2(f)(-3) = 0 + 10$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f = g$,यह $-4g - 6g = 10$ हो जाता है,जिससे $-10g = 10$ अर्थात $g = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,$f = -1$ है।
वृत्त का समीकरण ${x^2} + {y^2} - 2x - 2y = 0$ है।

(A) मान लीजिए कि त्रिभुज के शीर्ष $A, B,$ और $C$ हैं। भुजाओं $AB, BC,$ और $CA$ को व्यास मानकर तीन वृत्तों पर विचार करें।
व्यास के अंतिम बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ होता है।
इनमें से किन्हीं भी दो वृत्तों का मूल अक्ष (radical axis) उन दो वृत्तों की उभयनिष्ठ जीवा होती है। त्रिभुज की भुजाओं को व्यास मानकर खींचे गए वृत्तों के लिए,किन्हीं भी दो वृत्तों का मूल अक्ष उस त्रिभुज का शीर्षलंब (altitude) होता है जो उन दो भुजाओं के उभयनिष्ठ शीर्ष से होकर गुजरता है।
चूंकि मूल केंद्र तीन वृत्तों के मूल अक्षों का प्रतिच्छेदन बिंदु है,इसलिए यह त्रिभुज के तीनों शीर्षलंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
अतः,मूल केंद्र त्रिभुज का लंबकेंद्र है।

(D) माना कोएक्सियल वृत्तों का सिस्टम $x^2 + y^2 + 2g_i x + c = 0$ है,जहाँ $i = 1, 2, 3$ है।
निश्चित बिंदु $(h, k)$ से स्पर्श रेखा की लंबाई का वर्ग $t_i^2 = h^2 + k^2 + 2g_i h + c$ है।
केंद्र $P(-g_1, 0)$,$Q(-g_2, 0)$ और $R(-g_3, 0)$ हैं।
केंद्रों के बीच की दूरी $QR = |g_3 - g_2|$,$RP = |g_1 - g_3|$,और $PQ = |g_2 - g_1|$ है।
इन मानों को रखने पर,$QRt_1^2 + RPt_2^2 + PQt_3^2 = (g_3 - g_2)(h^2 + k^2 + 2g_1 h + c) + (g_1 - g_3)(h^2 + k^2 + 2g_2 h + c) + (g_2 - g_1)(h^2 + k^2 + 2g_3 h + c) = 0$ प्राप्त होता है।

(B) तीन सह-अक्षीय वृत्तों के लिए जिनके केंद्र $P, Q, R$ और त्रिज्याएँ $r_1, r_2, r_3$ हैं,उनका रेडिकल अक्ष समान होता है।
मान लीजिए केंद्र $x$-अक्ष पर $x_1, x_2, x_3$ हैं।
रेडिकल अक्ष पर किसी बिंदु की शक्ति स्थिर होती है,इसलिए $x_i^2 - r_i^2 = k$ होता है।
अतः,$r_i^2 = x_i^2 - k$।
व्यंजक $QR r_1^2 + RP r_2^2 + PQ r_3^2$ का मान $(x_3 - x_2)(x_1^2 - k) + (x_1 - x_3)(x_2^2 - k) + (x_2 - x_1)(x_3^2 - k)$ हो जाता है।
चक्रीय गुणधर्म के अनुसार,इसका मान $-(x_1 - x_2)(x_2 - x_3)(x_3 - x_1)$ होता है।
अतः,सही उत्तर $-PQ \cdot QR \cdot RP$ है।

(A) मान लीजिए दो वृत्त ${S_1: x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0}$ और ${S_2: x^2 + y^2 + 2g'x + 2f'y + c' = 0}$ हैं।
यदि ${S_1}$,${S_2}$ की परिधि को समद्विभाजित करता है,तो दोनों वृत्तों की उभयनिष्ठ जीवा ${S_2}$ के केंद्र से होकर गुजरनी चाहिए।
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण ${S_1 - S_2 = 0}$ द्वारा दिया जाता है,जो ${2(g - g')x + 2(f - f')y + (c - c') = 0}$ है।
${S_2}$ का केंद्र ${(-g', -f')}$ है।
केंद्र ${(-g', -f')}$ को उभयनिष्ठ जीवा के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
${2(g - g')(-g') + 2(f - f')(-f') + (c - c') = 0}$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें ${2g'(g - g') + 2f'(f - f') = c - c'}$ प्राप्त होता है।

(B) दो वृत्तों $x^2 + y^2 + 2g_1x + 2f_1y + c_1 = 0$ और $x^2 + y^2 + 2g_2x + 2f_2y + c_2 = 0$ के लंबकोणीय प्रतिच्छेद करने की शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ है।
समीकरणों को मानक रूप में लिखने पर:
वृत्त $1$: $x^2 + y^2 + 4x + 6y + 3 = 0$. यहाँ,$g_1 = 2, f_1 = 3, c_1 = 3$.
वृत्त $2$: $x^2 + y^2 + 3x + 2y + \frac{C}{2} = 0$. यहाँ,$g_2 = \frac{3}{2}, f_2 = 1, c_2 = \frac{C}{2}$.
शर्त लागू करने पर: $2(2)(\frac{3}{2}) + 2(3)(1) = 3 + \frac{C}{2}$.
$6 + 6 = 3 + \frac{C}{2}$ $\Rightarrow 12 = 3 + \frac{C}{2}$ $\Rightarrow 9 = \frac{C}{2}$ $\Rightarrow C = 18$.

(A) मान लीजिए कि दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $A$ है।
चाप $PQ$ द्वारा केंद्र $C$ पर अंतरित कोण,परिधि पर किसी भी बिंदु पर जीवा $PQ$ द्वारा अंतरित कोण का दोगुना होता है।
रेखा $x + \sqrt{3}y = 1$ के लिए,ढाल $m_1 = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
रेखा $\sqrt{3}x - y = 2$ के लिए,ढाल $m_2 = \sqrt{3}$ है।
चूंकि $m_1 \times m_2 = (-\frac{1}{\sqrt{3}}) \times \sqrt{3} = -1$,इसलिए दोनों रेखाएं एक-दूसरे के लंबवत हैं।
अतः,उनके प्रतिच्छेदन बिंदु $A$ पर रेखाओं के बीच का कोण $90^o$ है।
चूंकि रेखाएं लंबवत हैं,जीवा $PQ$ परिधि के बिंदु $A$ पर $90^o$ का कोण अंतरित करती है। वृत्त प्रमेय के अनुसार,चाप $PQ$ द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण $2 \times 90^o = 180^o$ होता है।
इस प्रकार,जीवा $PQ$ वृत्त का व्यास है।

(D) दिया गया वृत्त: $x^2 + y^2 + 14x + 6y + 2 = 0$।
$x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,$g = 7$,$f = 3$,और $c = 2$ प्राप्त होता है।
माना अभीष्ट वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2g'x + 2f'y + c' = 0$ है।
इस वृत्त का केंद्र $(-g', -f') = (0, 2)$ है,इसलिए $g' = 0$ और $f' = -2$ है।
चूंकि वृत्त लंबकोणीय प्रतिच्छेद करते हैं,शर्त $2gg' + 2ff' = c + c'$ है।
मान रखने पर: $2(7)(0) + 2(3)(-2) = 2 + c'$।
$0 - 12 = 2 + c' \Rightarrow c' = -14$।
$g'$,$f'$,और $c'$ के मान समीकरण में रखने पर: $x^2 + y^2 + 2(0)x + 2(-2)y - 14 = 0$।
अतः,समीकरण $x^2 + y^2 - 4y - 14 = 0$ है।

(C) दिए गए वृत्त $x^2 + y^2 = 4$ और $x^2 + y^2 - 10x + \lambda = 0$ हैं।
पहले वृत्त के लिए,केंद्र $C_1 = (0, 0)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{4} = 2$ है।
दूसरे वृत्त के लिए,केंद्र $C_2 = (5, 0)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{5^2 - \lambda} = \sqrt{25 - \lambda}$ है।
चूंकि वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,इसलिए उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग के बराबर होनी चाहिए: $C_1C_2 = r_1 + r_2$.
दूरी $C_1C_2 = \sqrt{(5-0)^2 + (0-0)^2} = 5$.
अतः,$5 = 2 + \sqrt{25 - \lambda}$.
$3 = \sqrt{25 - \lambda}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$9 = 25 - \lambda$.
इसलिए,$\lambda = 25 - 9 = 16$.

(D) दिया गया वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + c = 0$ है,जहाँ $c$ एक स्थिरांक है और $g$ एक प्राचल है।
वृत्त का केंद्र $(-g, 0)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{g^2 - c}$ है।
सह-अक्षीय प्रणाली के लिए,सीमित बिंदु वे हैं जहाँ त्रिज्या शून्य हो जाती है,अर्थात $g^2 - c = 0$,जो $g = \pm \sqrt{c}$ देता है।
चूंकि $c > 0$ है,इसलिए सीमित बिंदु $(\sqrt{c}, 0)$ और $(-\sqrt{c}, 0)$ वास्तविक और भिन्न हैं।
वास्तविक और भिन्न सीमित बिंदुओं वाली सह-अक्षीय प्रणाली को अप्रतिच्छेदी प्रकार की प्रणाली कहा जाता है।

(C) दो वृत्तों $S_1 = 0$ और $S_2 = 0$ की मूलाक्ष का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,समीकरणों को $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के रूप में लिखें,जहाँ $x^2$ और $y^2$ का गुणांक $1$ हो।
पहले वृत्त के लिए: $2x^2 + 2y^2 - 7x = 0 \Rightarrow x^2 + y^2 - 3.5x = 0$.
दूसरे वृत्त के लिए: $x^2 + y^2 - 4y - 7 = 0$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(x^2 + y^2 - 3.5x) - (x^2 + y^2 - 4y - 7) = 0$.
$-3.5x + 4y + 7 = 0$.
दशमलव हटाने के लिए $-2$ से गुणा करने पर: $7x - 8y - 14 = 0$.

(B) दो वृत्तों ${S_1} = 0$ और ${S_2} = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्तों का परिवार ${S_1} + \lambda {S_2} = 0$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है ${S_1} = {x^2} + {y^2} + 13x - 3y = 0$ और ${S_2} = {x^2} + {y^2} + 2x - 3.5y - 12.5 = 0$ (दूसरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर)।
समीकरण $({x^2} + {y^2} + 13x - 3y) + \lambda ({x^2} + {y^2} + 2x - 3.5y - 12.5) = 0$ है।
$(1 + \lambda ){x^2} + (1 + \lambda ){y^2} + (13 + 2\lambda )x - (3 + 3.5\lambda )y - 12.5\lambda = 0$।
$(1 + \lambda )$ से विभाजित करने पर,केंद्र $\left( { - \frac{{13 + 2\lambda }}{{2(1 + \lambda )}}, \frac{{3 + 3.5\lambda }}{{2(1 + \lambda )}}} \right)$ है।
चूंकि केंद्र $13x + 30y = 0$ पर स्थित है,इसलिए $13\left( { - \frac{{13 + 2\lambda }}{{2(1 + \lambda )}}} \right) + 30\left( { \frac{{3 + 3.5\lambda }}{{2(1 + \lambda )}}} \right) = 0$।
$-169 - 26\lambda + 90 + 105\lambda = 0 \Rightarrow 79\lambda = 79 \Rightarrow \lambda = 1$।
$\lambda = 1$ रखने पर: $2{x^2} + 2{y^2} + 15x - 6.5y - 12.5 = 0$।
$2$ से गुणा करने पर,$4{x^2} + 4{y^2} + 30x - 13y - 25 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) माना वृत्तों के समीकरण इस प्रकार हैं:
$S_1 \equiv x^2 + y^2 - 16x + 60 = 0$ $(i)$
$S_2 \equiv x^2 + y^2 - 12x + 27 = 0$ $(ii)$
$S_3 \equiv x^2 + y^2 - 12y + 8 = 0$ $(iii)$
वृत्तों $(i)$ और $(ii)$ की रेडिकल अक्ष $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा प्राप्त होती है:
$(x^2 + y^2 - 16x + 60) - (x^2 + y^2 - 12x + 27) = 0$
$-4x + 33 = 0 \Rightarrow x = \frac{33}{4}$ $(iv)$
वृत्तों $(ii)$ और $(iii)$ की रेडिकल अक्ष $S_2 - S_3 = 0$ द्वारा प्राप्त होती है:
$(x^2 + y^2 - 12x + 27) - (x^2 + y^2 - 12y + 8) = 0$
$-12x + 12y + 19 = 0$ $(v)$
समीकरण $(v)$ में $x = \frac{33}{4}$ रखने पर:
$-12(\frac{33}{4}) + 12y + 19 = 0$
$-99 + 12y + 19 = 0$
$12y = 80 \Rightarrow y = \frac{20}{3}$
अतः रेडिकल केंद्र $(\frac{33}{4}, \frac{20}{3})$ है। चूंकि यह विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही उत्तर $(d)$ है।

(B) दो वृत्तों $S_1 = 0$ और $S_2 = 0$ की मूलाक्ष $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दी जाती है।
पहले वृत्त को $x^2 + y^2 - \frac{7}{3}x + \frac{8}{3}y + \frac{11}{3} = 0$ के रूप में लिखने पर।
दूसरा वृत्त $x^2 + y^2 - 3x - 4y + 5 = 0$ है।
मूलाक्ष: $\left( -\frac{7}{3} + 3 \right)x + \left( \frac{8}{3} + 4 \right)y + \left( \frac{11}{3} - 5 \right) = 0$.
$\frac{2}{3}x + \frac{20}{3}y - \frac{4}{3} = 0$.
$\frac{3}{2}$ से गुणा करने पर,$x + 10y - 2 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) माना कि अभीष्ट वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है $... (i)$
दो वृत्तों $x^2 + y^2 + 2g_1x + 2f_1y + c_1 = 0$ और $x^2 + y^2 + 2g_2x + 2f_2y + c_2 = 0$ के लंबकोणीय होने की शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ है।
इस शर्त का उपयोग करने पर:
$1$) $2g + 17f = c + 4$ $... (ii)$
$2$) $7g + 6f = c + 11$ $... (iii)$
$3$) $-g + 22f = c + 3$ $... (iv)$
समीकरणों को हल करने पर,हमें $g = -3$ और $f = -2$ प्राप्त होता है।
अतः,वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (3, 2)$ है।

(A) दिए गए वृत्त हैं:
${S_1} = {x^2} + {y^2} - 3x - 4y + 5 = 0$ .....$(i)$
दूसरे वृत्त के लिए,${x^2}$ और ${y^2}$ के गुणांकों को $1$ बनाने के लिए $2$ से विभाजित करने पर:
${S_2} = {x^2} + {y^2} - 5x - 6y + 6 = 0$ .....$(ii)$
मूलाक्ष का समीकरण ${S_1} - {S_2} = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(i)$ में से $(ii)$ को घटाने पर:
$({x^2} + {y^2} - 3x - 4y + 5) - ({x^2} + {y^2} - 5x - 6y + 6) = 0$
$2x + 2y - 1 = 0$.

(A) दिए गए वृत्तों के समीकरण हैं:
$x^2 + y^2 = 25$ $(i)$
$x^2 + y^2 - 8x + 7 = 0$ $(ii)$
समीकरण $(i)$ में से समीकरण $(ii)$ को घटाने पर:
$(x^2 + y^2) - (x^2 + y^2 - 8x + 7) = 25 - 0$
$8x - 7 = 25$
$8x = 32$
$x = 4$
$x = 4$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$(4)^2 + y^2 = 25$
$16 + y^2 = 25$
$y^2 = 9$
$y = \pm 3$
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(4, 3)$ और $(4, -3)$ हैं.

(D) वृत्तों के केंद्र $C_1(-a, 0)$ और $C_2(0, -b)$ हैं।
वृत्तों की त्रिज्याएँ $R_1 = \sqrt{a^2 - c}$ और $R_2 = \sqrt{b^2 - c}$ हैं।
केंद्रों के बीच की दूरी $C_1C_2 = \sqrt{a^2 + b^2}$ है।
चूंकि वृत्त एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं,इसलिए $R_1 + R_2 = C_1C_2$ होगा।
$\sqrt{a^2 - c} + \sqrt{b^2 - c} = \sqrt{a^2 + b^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(a^2 - c) + (b^2 - c) + 2\sqrt{(a^2 - c)(b^2 - c)} = a^2 + b^2$.
$2\sqrt{(a^2 - c)(b^2 - c)} = 2c$.
$(a^2 - c)(b^2 - c) = c^2$.
$a^2b^2 - a^2c - b^2c + c^2 = c^2$.
$a^2b^2 = a^2c + b^2c$.
दोनों पक्षों को $a^2b^2c$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{c} = \frac{1}{b^2} + \frac{1}{a^2}$।

(A) जब दो वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग के बराबर होती है,अर्थात $d = r_1 + r_2$,तो वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से एक बिंदु पर स्पर्श करते हैं।