Equations of circle Questions in Hindi

(A) एक वृत्त जो दोनों अक्षों को स्पर्श करता है और जिसकी त्रिज्या $a$ है,उसका केंद्र $(a, a)$,$(a, -a)$,$(-a, a)$,या $(-a, -a)$ हो सकता है।
यदि केंद्र $(a, a)$ है,तो समीकरण $(x - a)^2 + (y - a)^2 = a^2$ होगा।
इसका विस्तार करने पर,$x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2ay + a^2 = a^2$ प्राप्त होता है।
सरल करने पर,$x^2 + y^2 - 2ax - 2ay + a^2 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) वृत्त का सामान्य समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है,जहाँ केंद्र $(-g, -f)$ है।
प्रथम वृत्त $x^2 + y^2 - 1 = 0$ के लिए,केंद्र $C_1$ $(0, 0)$ है।
दूसरे वृत्त $x^2 + y^2 + 6x - 2y - 1 = 0$ के लिए,$2g = 6 \implies g = 3$ और $2f = -2 \implies f = -1$. केंद्र $C_2$ $(-3, 1)$ है।
तीसरे वृत्त $x^2 + y^2 - 12x + 4y - 1 = 0$ के लिए,$2g = -12 \implies g = -6$ और $2f = 4 \implies f = 2$. केंद्र $C_3$ $(6, -2)$ है।
यह जाँचने के लिए कि क्या $C_1(0, 0)$,$C_2(-3, 1)$,और $C_3(6, -2)$ संरेख हैं,हम जोड़ों के बीच ढाल (slope) की जाँच करते हैं।
$C_1C_2$ की ढाल $= \frac{1 - 0}{-3 - 0} = -\frac{1}{3}$.
$C_2C_3$ की ढाल $= \frac{-2 - 1}{6 - (-3)} = \frac{-3}{9} = -\frac{1}{3}$.
चूँकि ढाल समान हैं,बिंदु संरेख हैं।

(C) माना वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
चूँकि वृत्त $(0, 0)$ से होकर गुजरता है,हमारे पास $0^2 + 0^2 + 2g(0) + 2f(0) + c = 0$ है,जिससे $c = 0$ प्राप्त होता है।
चूँकि यह $(a, 0)$ से होकर गुजरता है,हमारे पास $a^2 + 0^2 + 2g(a) + 2f(0) + 0 = 0$ है,जिसका अर्थ है $a^2 + 2ga = 0$,इसलिए $g = -\frac{a}{2}$।
चूँकि यह $(0, b)$ से होकर गुजरता है,हमारे पास $0^2 + b^2 + 2g(0) + 2f(b) + 0 = 0$ है,जिसका अर्थ है $b^2 + 2fb = 0$,इसलिए $f = -\frac{b}{2}$।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f)$ होता है।
$g$ और $f$ के मान रखने पर,केंद्र $\left( -(-\frac{a}{2}), -(-\frac{b}{2}) \right) = \left( \frac{a}{2}, \frac{b}{2} \right)$ प्राप्त होता है।

(A) वृत्त की त्रिज्या $r$,केंद्र $(1, -3)$ से रेखा $2x - y - 4 = 0$ की लंबवत दूरी है।
$r = \left| \frac{2(1) - (-3) - 4}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} \right| = \left| \frac{2 + 3 - 4}{\sqrt{5}} \right| = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ होता है।
मान रखने पर,$(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right)^2$.
$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 6y + 9) = \frac{1}{5}$.
$x^2 + y^2 - 2x + 6y + 10 = \frac{1}{5}$.
$5$ से गुणा करने पर,$5x^2 + 5y^2 - 10x + 30y + 50 = 1$.
$5x^2 + 5y^2 - 10x + 30y + 49 = 0$.

(B) केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त का मानक समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ है।
यहाँ केंद्र $(x_1, y_1)$ है और वृत्त दोनों अक्षों को स्पर्श करता है,इसलिए त्रिज्या $r = |x_1| = |y_1|$ होगी।
अतः,$x_1 = y_1 = r$ लेने पर,समीकरण $(x - x_1)^2 + (y - x_1)^2 = x_1^2$ प्राप्त होता है।
पदों का विस्तार करने पर: $(x^2 - 2x x_1 + x_1^2) + (y^2 - 2y x_1 + x_1^2) = x_1^2$.
सरल करने पर: $x^2 + y^2 - 2x_1(x + y) + x_1^2 = 0$.

(B) वृत्त का केंद्र व्यास $2x - 3y = 5$ और $3x - 4y = 7$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
इन समीकरणों को हल करने पर: $x = 1$ और $y = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,केंद्र $(h, k) = (1, -1)$ है।
दिया गया क्षेत्रफल $= 154$,इसलिए $\pi r^2 = 154$ $\Rightarrow r^2 = 49$ $\Rightarrow r = 7$ है।
वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ के अनुसार:
$(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 7^2 \Rightarrow x^2 + y^2 - 2x + 2y = 47$.

(C) माना वृत्त का केंद्र $O' = (h, k)$ है।
चूंकि वृत्त $y$-अक्ष को $(0, 4)$ पर स्पर्श करता है,केंद्र का $y$-निर्देशांक $k = 4$ है और त्रिज्या $r = |h|$ है।
अतः,वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - 4)^2 = h^2$ है।
यह वृत्त $x$-अक्ष $(y = 0)$ को $(x - h)^2 + (0 - 4)^2 = h^2$ पर काटता है,जो $(x - h)^2 = h^2 - 16$ में सरल हो जाता है।
अतः,$x = h \pm \sqrt{h^2 - 16}$।
$x$-अक्ष पर जीवा की लंबाई $2\sqrt{h^2 - 16} = 6$ है।
इसलिए,$\sqrt{h^2 - 16} = 3$,जिसका अर्थ है $h^2 - 16 = 9$,यानी $h^2 = 25$,इसलिए $h = 5$।
अतः,वृत्त की त्रिज्या $r = 5$ है।

(B) वृत्त का केंद्र $(h, k) = (1, 2)$ है।
चूंकि वृत्त $x$-अक्ष को स्पर्श करता है,इसलिए त्रिज्या $r$ केंद्र के $y$-निर्देशांक के निरपेक्ष मान के बराबर होगी,अतः $r = |2| = 2$ है।
वृत्त का मानक समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ होता है।
मान रखने पर,$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 2^2$ प्राप्त होता है।
इसका विस्तार करने पर,$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4) = 4$ प्राप्त होता है।
सरल करने पर,$x^2 + y^2 - 2x - 4y + 1 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) वृत्त का सामान्य समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
दिए गए समीकरण $x^2 + y^2 - 18x + 12y + k = 0$ की तुलना सामान्य रूप से करने पर,हमें $2g = -18 \implies g = -9$ और $2f = 12 \implies f = 6$ प्राप्त होता है।
अचर पद $c = k$ है।
वृत्त की त्रिज्या $r$ का सूत्र $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c}$ है।
$r = 11$ दिया गया है,इसलिए $11 = \sqrt{(-9)^2 + (6)^2 - k}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$121 = 81 + 36 - k$।
$121 = 117 - k$।
$k = 117 - 121 = -4$।

(C) व्यास के अंतिम बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ होता है।
वृत्त का केंद्र व्यास का मध्य-बिंदु होता है।
अतः,केंद्र $\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$ है।

(B) चूंकि $\angle C = 90^{\circ}$ है,इसलिए कर्ण $AB$ $\triangle ABC$ के परिवृत्त का व्यास होगा क्योंकि व्यास द्वारा परिधि पर बनाया गया कोण समकोण होता है।
व्यास के अंत बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ होता है।
बिंदुओं $A(-3, 4)$ और $B(3, -4)$ के मान रखने पर:
$(x - (-3))(x - 3) + (y - 4)(y - (-4)) = 0$
$(x + 3)(x - 3) + (y - 4)(y + 4) = 0$
$(x^2 - 9) + (y^2 - 16) = 0$
$x^2 + y^2 - 25 = 0$
$x^2 + y^2 = 25$.

(A) चूंकि वृत्त प्रथम चतुर्थांश में है और मूल बिंदु से $1$ इकाई की दूरी पर दोनों निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करता है,इसलिए वृत्त का केंद्र $(1, 1)$ और त्रिज्या $r = 1$ है।
केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त का मानक समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ होता है।
$h = 1, k = 1$,और $r = 1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = 1$
$x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0$.

(B) माना वृत्त का सामान्य समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
चूँकि वृत्त $(2, -2)$,$(-1, -1)$ और $(5, 2)$ से होकर गुजरता है,इसलिए:
$1) \; 4g - 4f + c = -8$
$2) \; -2g - 2f + c = -2$
$3) \; 10g + 4f + c = -29$
समीकरणों को हल करने पर,हमें $g = -1.5$,$f = -1.5$ और $c = -8$ प्राप्त होता है।
अतः,समीकरण $x^2 + y^2 - 3x - 3y - 8 = 0$ है।

(D) चूंकि वृत्त मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरता है और धनात्मक $x$ और $y$ अक्षों पर क्रमशः $3$ और $4$ लंबाई के अंतःखंड काटता है,इसलिए यह $(3, 0)$ और $(0, 4)$ बिंदुओं से गुजरता है।
मूल बिंदु से गुजरने वाले वृत्त का सामान्य समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy = 0$ है।
समीकरण में बिंदु $(3, 0)$ रखने पर:
$3^2 + 0^2 + 2g(3) + 2f(0) = 0$ $\Rightarrow 9 + 6g = 0$ $\Rightarrow g = -\frac{3}{2}$.
समीकरण में बिंदु $(0, 4)$ रखने पर:
$0^2 + 4^2 + 2g(0) + 2f(4) = 0$ $\Rightarrow 16 + 8f = 0$ $\Rightarrow f = -2$.
$g$ और $f$ के मानों को सामान्य समीकरण में रखने पर:
$x^2 + y^2 + 2(-\frac{3}{2})x + 2(-2)y = 0$
$x^2 + y^2 - 3x - 4y = 0$.

(B) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2 + y^2 + 6y = 0$ है।
इसे सामान्य समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $g = 0$,$f = 3$,और $c = 0$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (0, -3)$ है।
वृत्त की त्रिज्या $R = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{0^2 + 3^2 - 0} = 3$ है।
चूंकि केंद्र $(0, -3)$ है और त्रिज्या $3$ है,केंद्र से $x$-अक्ष की दूरी $|-3| = 3$ है,जो त्रिज्या के बराबर है।
अतः,वृत्त $x$-अक्ष को मूलबिंदु $(0, 0)$ पर स्पर्श करता है।

(A) वृत्त का सामान्य समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
इस वृत्त की त्रिज्या $R$ का सूत्र $R = \sqrt{g^2 + f^2 - c}$ है।
एक वृत्त को बिंदु वृत्त तब कहा जाता है जब उसकी त्रिज्या शून्य हो।
त्रिज्या को शून्य रखने पर,हमें $\sqrt{g^2 + f^2 - c} = 0$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$g^2 + f^2 - c = 0$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $g^2 + f^2 = c$ मिलता है।

(A) सबसे पहले,रेखाओं $3x + y = 14$ और $2x + 5y = 18$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें।
पहले समीकरण को $5$ से गुणा करने पर,$15x + 5y = 70$ प्राप्त होता है।
दूसरे समीकरण को इसमें से घटाने पर,$(15x - 2x) = 70 - 18$ प्राप्त होता है,जिससे $13x = 52$ मिलता है,अतः $x = 4$ है।
$x = 4$ को $3x + y = 14$ में रखने पर,$3(4) + y = 14$ प्राप्त होता है,अतः $y = 2$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(4, 2)$ है।
त्रिज्या $r$,केंद्र $(1, -2)$ और बिंदु $(4, 2)$ के बीच की दूरी है:
$r^2 = (4 - 1)^2 + (2 - (-2))^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.
केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ होता है।
$(h, k) = (1, -2)$ और $r^2 = 25$ रखने पर,$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 25$ प्राप्त होता है।
इसका विस्तार करने पर,$x^2 - 2x + 1 + y^2 + 4y + 4 = 25$,जो सरल होकर $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 20 = 0$ हो जाता है।

(B) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ है।
चूँकि वृत्त $x = 0$ और $y = 0$ रेखाओं को स्पर्श करता है,केंद्र $(r, r)$ लेने पर,समीकरण $(x - r)^2 + (y - r)^2 = r^2$ होगा।
यह वृत्त $3x + 4y - 4 = 0$ रेखा को भी स्पर्श करता है।
केंद्र $(r, r)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर होगी:
$\frac{|3r + 4r - 4|}{5} = r$
$|7r - 4| = 5r$
$r = 2$ लेने पर,समीकरण $(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 4$ अर्थात $x^2 + y^2 - 4x - 4y + 4 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) वृत्त का केंद्र $(h, k) = (2, 2)$ है।
चूंकि वृत्त $(4, 5)$ से होकर गुजरता है,त्रिज्या $r$,$(2, 2)$ और $(4, 5)$ के बीच की दूरी है:
$r = \sqrt{(4 - 2)^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$.
केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ होता है।
मान रखने पर: $(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = (\sqrt{13})^2$.
$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 4y + 4) = 13$.
$x^2 + y^2 - 4x - 4y + 8 = 13$.
$x^2 + y^2 - 4x - 4y - 5 = 0$.

(C) व्यास के अंत बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ होता है।
दिए गए समीकरण $(x - 5)(x - 1) + (y - 7)(y - 4) = 0$ के साथ तुलना करने पर,व्यास के अंत बिंदु $(5, 7)$ और $(1, 4)$ हैं।
व्यास $d$ की लंबाई इन दो बिंदुओं के बीच की दूरी है:
$d = \sqrt{(5 - 1)^2 + (7 - 4)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.
त्रिज्या $r$ व्यास की आधी होती है:
$r = \frac{d}{2} = \frac{5}{2}$.

(B) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है। चूंकि वृत्त $(2, 3)$ और $(4, 5)$ से होकर गुजरता है,केंद्र से इन बिंदुओं की दूरी समान (त्रिज्या $r$) होगी:
$(h - 2)^2 + (k - 3)^2 = (h - 4)^2 + (k - 5)^2$
$h^2 - 4h + 4 + k^2 - 6k + 9 = h^2 - 8h + 16 + k^2 - 10k + 25$
$4h + 4k = 28 \implies h + k = 7$
दिया गया है कि केंद्र $y - 4x + 3 = 0$ पर स्थित है,इसलिए $k - 4h + 3 = 0$।
$h + k = 7$ और $k - 4h = -3$ को हल करने पर:
समीकरणों को घटाने पर: $(h + k) - (k - 4h) = 7 - (-3) \implies 5h = 10 \implies h = 2$।
अतः $k = 7 - 2 = 5$।
केंद्र $(2, 5)$ है।
त्रिज्या का वर्ग $r^2 = (2 - 2)^2 + (5 - 3)^2 = 0^2 + 2^2 = 4$।
वृत्त का समीकरण $(x - 2)^2 + (y - 5)^2 = 4$ है।
$x^2 - 4x + 4 + y^2 - 10y + 25 = 4$
$x^2 + y^2 - 4x - 10y + 25 = 0$.

(A) दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 + 2y - 3 = 0$ है। इसे सामान्य रूप $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $g = 0$ और $f = 1$ प्राप्त होता है। इस वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (0, -1)$ है।
अभीष्ट वृत्त का केंद्र $(1, -2)$ है और यह $(0, -1)$ से होकर गुजरता है।
त्रिज्या $r$ बिंदुओं $(1, -2)$ और $(0, -1)$ के बीच की दूरी है,जो $r = \sqrt{(1 - 0)^2 + (-2 - (-1))^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$ है।
वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ है,जहाँ $(h, k) = (1, -2)$ है।
$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = (\sqrt{2})^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 + 4y + 4 = 2$
$x^2 + y^2 - 2x + 4y + 3 = 0$.

(B) दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 + 8x + 10y - 7 = 0$ है। इस वृत्त के संकेंद्रीय वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 8x + 10y + k = 0$ के रूप में होगा।
वृत्त $x^2 + y^2 - 4x - 6y = 0$ का केंद्र $(-g, -f) = (2, 3)$ है।
चूंकि अभीष्ट वृत्त $(2, 3)$ से गुजरता है,इसलिए:
$(2)^2 + (3)^2 + 8(2) + 10(3) + k = 0$
$4 + 9 + 16 + 30 + k = 0$
$59 + k = 0 \implies k = -59$.
अतः,वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 8x + 10y - 59 = 0$ है।

(C) मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरने वाले वृत्त का सामान्य समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy = 0$ है ... $(i)$.
चूंकि वृत्त $(0, b)$ से गुजरता है,इसलिए $(i)$ में $x = 0$ और $y = b$ रखने पर:
$0^2 + b^2 + 2g(0) + 2f(b) = 0$ $\Rightarrow b^2 + 2fb = 0$ $\Rightarrow f = -\frac{b}{2}$.
चूंकि वृत्त $(a, b)$ से गुजरता है,इसलिए $(i)$ में $x = a$ और $y = b$ रखने पर:
$a^2 + b^2 + 2g(a) + 2f(b) = 0$.
इस समीकरण में $f = -\frac{b}{2}$ रखने पर:
$a^2 + b^2 + 2ag + 2(-\frac{b}{2})(b) = 0$ $\Rightarrow a^2 + b^2 + 2ag - b^2 = 0$ $\Rightarrow a^2 + 2ag = 0$ $\Rightarrow g = -\frac{a}{2}$.
$g = -\frac{a}{2}$ और $f = -\frac{b}{2}$ का मान $(i)$ में रखने पर:
$x^2 + y^2 + 2(-\frac{a}{2})x + 2(-\frac{b}{2})y = 0 \Rightarrow x^2 + y^2 - ax - by = 0$.

(C) द्वितीय-डिग्री वक्र का सामान्य समीकरण $ax^2 + by^2 + 2hxy + 2gx + 2fy + c = 0$ द्वारा दिया जाता है।
इस समीकरण के वृत्त को दर्शाने के लिए,निम्नलिखित शर्तों का पूरा होना आवश्यक है:
$1$. $x^2$ का गुणांक $y^2$ के गुणांक के बराबर होना चाहिए,अर्थात $a = b$।
$2$. $xy$ का गुणांक शून्य होना चाहिए,अर्थात $h = 0$।
$3$. गुणांक $a$ और $b$ शून्य नहीं होने चाहिए $(a = b \neq 0)$।
अतः,सही शर्त $a = b \neq 0$ और $h = 0$ है।

(A) दोनों अक्षों को स्पर्श करने वाले वृत्त का समीकरण $(x - a)^2 + (y - a)^2 = a^2$ होता है,जिसे $x^2 + y^2 - 2ax - 2ay + a^2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि वृत्त बिंदु $(1, 2)$ से गुजरता है,इसलिए:
$(1 - a)^2 + (2 - a)^2 = a^2$
$1 - 2a + a^2 + 4 - 4a + a^2 = a^2$
$a^2 - 6a + 5 = 0$
$(a - 1)(a - 5) = 0$
अतः,$a = 1$ या $a = 5$ है।
$a = 1$ के लिए,समीकरण $x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0$ है।
$a = 5$ के लिए,समीकरण $x^2 + y^2 - 10x - 10y + 25 = 0$ है।

(A) दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 - 6x + 12y + 15 = 0$ है।
इसकी त्रिज्या $r_1 = \sqrt{(-3)^2 + 6^2 - 15} = \sqrt{30}$ है।
दिए गए वृत्त का क्षेत्रफल $A_1 = 30\pi$ है।
वांछित वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 6x + 12y + k = 0$ है।
इसकी त्रिज्या $r_2$ के लिए $r_2^2 = 45 - k$ है।
वांछित वृत्त का क्षेत्रफल $A_2 = \pi(45 - k)$ है।
शर्त के अनुसार $A_2 = 2A_1$,इसलिए $\pi(45 - k) = 60\pi$ है।
$45 - k = 60 \Rightarrow k = -15$ है।
अतः,वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 6x + 12y - 15 = 0$ है।

(C) माना वृत्त का केंद्र $(h, 0)$ है क्योंकि यह $x$-अक्ष पर स्थित है।
दिया गया है कि त्रिज्या $r = 4$ है और वृत्त मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरता है।
केंद्र $(h, 0)$ से मूल बिंदु $(0, 0)$ की दूरी त्रिज्या $4$ के बराबर होनी चाहिए।
अतः,$\sqrt{(h-0)^2 + (0-0)^2} = 4$,जिसका अर्थ है $|h| = 4$,इसलिए $h = \pm 4$ है।
केंद्र $(\pm 4, 0)$ है।
केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ होता है।
$h = \pm 4, k = 0, r = 4$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(x \mp 4)^2 + (y-0)^2 = 4^2$
$x^2 \mp 8x + 16 + y^2 = 16$
$x^2 + y^2 \mp 8x = 0$.

(B) चूंकि वृत्त मूल बिंदु $(0, 0)$ पर $y$-अक्ष को स्पर्श करता है,इसलिए इसका केंद्र $x$-अक्ष पर स्थित होना चाहिए। मान लीजिए केंद्र $(h, 0)$ है।
चूंकि यह मूल बिंदु पर $y$-अक्ष को स्पर्श करता है,इसलिए वृत्त की त्रिज्या $|h|$ है।
वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - 0)^2 = h^2$ होगा,जो सरल होकर ${x^2} + {y^2} - 2hx = 0$ बन जाता है।
चूंकि वृत्त बिंदु $(2, 1)$ से गुजरता है,इसलिए हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
${2^2} + {1^2} - 2h(2) = 0$
$4 + 1 - 4h = 0$
$5 - 4h = 0$
$h = \frac{5}{4}$
$h = \frac{5}{4}$ को समीकरण ${x^2} + {y^2} - 2hx = 0$ में रखने पर:
${x^2} + {y^2} - 2(\frac{5}{4})x = 0$
${x^2} + {y^2} - \frac{5}{2}x = 0$
$2$ से गुणा करने पर,हमें $2{x^2} + 2{y^2} - 5x = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) चूंकि वृत्त मूल बिंदु $(0, 0)$ से होकर गुजरता है,इसलिए अचर पद $c = 0$ है।
वृत्त ऋणात्मक निर्देशांक अक्षों पर $2$ इकाई लंबाई के अंतःखंड काटता है।
$x$-अक्ष पर अंतःखंड की लंबाई $2\sqrt{g^2 - c} = 2$ है। चूंकि अंतःखंड ऋणात्मक अक्ष पर है,इसलिए केंद्र का $x$-निर्देशांक $-g$ ऋणात्मक होना चाहिए,अतः $g = 1$ है।
$y$-अक्ष पर अंतःखंड की लंबाई $2\sqrt{f^2 - c} = 2$ है। चूंकि अंतःखंड ऋणात्मक अक्ष पर है,इसलिए केंद्र का $y$-निर्देशांक $-f$ ऋणात्मक होना चाहिए,अतः $f = 1$ है।
वृत्त का सामान्य समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
$g = 1$,$f = 1$,और $c = 0$ रखने पर,हमें $x^2 + y^2 + 2x + 2y = 0$ प्राप्त होता है।

(D) वृत्त का सामान्य समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ होता है।
दिए गए समीकरण $x^2 + y^2 + 3x + 3y = 0$ की तुलना सामान्य रूप से करने पर,हमें $c = 0$ प्राप्त होता है।
यदि अचर पद $c = 0$ है,तो वृत्त मूल बिंदु $(0, 0)$ से होकर गुजरता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) माना वृत्त का केंद्र $(h, 0)$ है क्योंकि यह $x$-अक्ष पर स्थित है। त्रिज्या $r = 5$ है।
वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + y^2 = 25$ होगा।
वृत्त बिंदु $(2, 3)$ से गुजरता है,इसलिए $(2 - h)^2 + 3^2 = 25$ रखने पर।
$(2 - h)^2 = 16 \Rightarrow 2 - h = \pm 4$।
स्थिति $1$: $h = -2$,समीकरण $(x + 2)^2 + y^2 = 25 \Rightarrow x^2 + y^2 + 4x - 21 = 0$।
स्थिति $2$: $h = 6$,समीकरण $(x - 6)^2 + y^2 = 25 \Rightarrow x^2 + y^2 - 12x + 11 = 0$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार सही उत्तर $x^2 + y^2 + 4x - 21 = 0$ है।

(A) चूँकि वृत्त $x$-अक्ष को $(3, 0)$ पर स्पर्श करता है,इसका केंद्र $(3, k)$ और त्रिज्या $|k|$ है।
वृत्त का समीकरण $(x - 3)^2 + (y - k)^2 = k^2$ है।
यह $(1, 4)$ से गुजरता है,इसलिए:
$(1 - 3)^2 + (4 - k)^2 = k^2$
$4 + 16 - 8k + k^2 = k^2$
$20 = 8k \Rightarrow k = \frac{5}{2}$.
मान रखने पर:
$(x - 3)^2 + (y - \frac{5}{2})^2 = (\frac{5}{2})^2$
$x^2 - 6x + 9 + y^2 - 5y + \frac{25}{4} = \frac{25}{4}$
$x^2 + y^2 - 6x - 5y + 9 = 0$.

(A) दिया गया है कि वृत्त का व्यास $20$ है,इसलिए त्रिज्या $r = \frac{20}{2} = 10$ है।
वृत्त का केंद्र दो व्यासों $x + y = 6$ और $x + 2y = 4$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
दूसरे समीकरण से पहले समीकरण को घटाने पर: $(x + 2y) - (x + y) = 4 - 6 \Rightarrow y = -2$।
$y = -2$ को $x + y = 6$ में रखने पर,हमें $x - 2 = 6 \Rightarrow x = 8$ प्राप्त होता है।
अतः,वृत्त का केंद्र $(h, k) = (8, -2)$ है।
वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ होता है।
$(x - 8)^2 + (y + 2)^2 = 10^2$।
$x^2 - 16x + 64 + y^2 + 4y + 4 = 100$।
$x^2 + y^2 - 16x + 4y + 68 - 100 = 0$।
$x^2 + y^2 - 16x + 4y - 32 = 0$।

(B) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ है।
चूंकि वृत्त $y = a$ और $y = b$ रेखाओं को स्पर्श करता है,इसलिए वृत्त का व्यास इन दो समांतर रेखाओं के बीच की दूरी के बराबर होना चाहिए।
अतः,$2r = |b - a|$,जिसका अर्थ है $r = \frac{|b - a|}{2}$।
केंद्र $(h, k)$ से रेखा $y = a$ की दूरी $|k - a| = r$ है,इसलिए $k = a \pm r$।
केंद्र $(h, k)$ से रेखा $x = 0$ की दूरी $|h| = r$ है,इसलिए $h = \pm r$।
चूंकि $r$ निश्चित है,इसलिए $h$ ($r$ या $-r$) के प्रत्येक मान के लिए हमें एक वृत्त प्राप्त होता है। इस प्रकार,ऐसे ठीक $2$ वृत्त हैं।

(A) व्यास के अंतिम बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण सूत्र: $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए बिंदुओं $(a, 0)$ और $(0, b)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$(x - a)(x - 0) + (y - 0)(y - b) = 0$
$x(x - a) + y(y - b) = 0$
$x^2 - ax + y^2 - by = 0$
$x^2 + y^2 - ax - by = 0$.

(A) वृत्त का दिया गया समीकरण $2x^2 + 2y^2 - x = 0$ है।
पूरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर,हमें $x^2 + y^2 - \frac{1}{2}x = 0$ प्राप्त होता है।
इसे मानक रूप $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,$2g = -\frac{1}{2} \implies g = -\frac{1}{4}$,$2f = 0 \implies f = 0$,और $c = 0$ है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = \left( \frac{1}{4}, 0 \right)$ है।
त्रिज्या $R = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{\left( -\frac{1}{4} \right)^2 + 0^2 - 0} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$ है।
अतः,केंद्र $\left( \frac{1}{4}, 0 \right)$ और त्रिज्या $\frac{1}{4}$ है।

(A) वृत्त का मानक समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $(h, k)$ वृत्त का केंद्र है और $r$ त्रिज्या है।
दिए गए समीकरण $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 5$ की तुलना मानक रूप से करने पर:
$h = 3$ और $k = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,वृत्त का केंद्र $(3, 4)$ है।

(D) वृत्त रेखाओं $x = 0$ (y-अक्ष),$y = 0$ (x-अक्ष) और $x = 4$ को स्पर्श करता है।
चूंकि यह $x = 0$ और $x = 4$ को स्पर्श करता है,वृत्त का व्यास इन रेखाओं के बीच की दूरी है,जो $4 - 0 = 4$ है। अतः,त्रिज्या $r = 2$ है।
वृत्त का केंद्र $x = 0$ और $y = 0$ से $r = 2$ की दूरी पर होना चाहिए,इसलिए केंद्र $(2, 2)$ है।
केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ होता है।
$h = 2, k = 2, r = 2$ रखने पर,हमें $(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 2^2$ प्राप्त होता है।
$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 4y + 4) = 4$.
$x^2 + y^2 - 4x - 4y + 4 = 0$.

(A) समीकरण $x^2 + y^2 = 0$ एक ऐसे वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र $(0, 0)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{0^2 + 0^2 - 0} = 0$ है।
चूंकि त्रिज्या $0$ है,इसलिए यह वृत्त एक बिंदु में बदल जाता है,जो कि मूल बिंदु $(0, 0)$ है।

(D) एक सामान्य द्विघात समीकरण $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ के वृत्त होने के लिए निम्नलिखित शर्तें पूरी होनी चाहिए:
$1$. $x^2$ का गुणांक $y^2$ के गुणांक के बराबर होना चाहिए,इसलिए $a = 2$.
$2$. $xy$ का गुणांक शून्य होना चाहिए,इसलिए $2b = 0$,जिसका अर्थ है $b = 0$.
$3$. चूंकि वृत्त मूल बिंदु $(0, 0)$ से होकर गुजरता है,इसलिए अचर पद $c = 0$ होना चाहिए।
अतः,$a = 2, b = 0, c = 0$ प्राप्त होता है।

(C) रेखाओं $x = 1$ और $x = -1$ के बीच की दूरी $|1 - (-1)| = |1 + 1| = 2$ है।
अतः,वृत्त की त्रिज्या $r = 2$ है।
वृत्त का केंद्र मूल बिंदु $(0, 0)$ है।
केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त का मानक समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ होता है।
मान रखने पर,हमें $(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 2^2$ प्राप्त होता है।
इसलिए,वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = 4$ है।

(A) चूँकि वृत्त $x$-अक्ष को $(3, 0)$ पर स्पर्श करता है,केंद्र का $x$-निर्देशांक $3$ है।
चूँकि वृत्त $y$-अक्ष को $(0, -3)$ पर स्पर्श करता है,केंद्र का $y$-निर्देशांक $-3$ है।
अतः,वृत्त का केंद्र $(3, -3)$ है।

(A) वृत्त की त्रिज्या $r$,केंद्र $(2, 3)$ से स्पर्श रेखा $x + y - 1 = 0$ की लंबवत दूरी है।
लंबवत दूरी के सूत्र $d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ का उपयोग करने पर:
$r = \frac{|1(2) + 1(3) - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|2 + 3 - 1|}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$।
त्रिज्या का वर्ग $r^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8$ है।
केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ होता है।
$(h, k) = (2, 3)$ और $r^2 = 8$ रखने पर,हमें $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 8$ प्राप्त होता है।

(A) चूंकि वृत्त मूल बिंदु $(0, 0)$ से होकर गुजरता है और $x$ तथा $y$ अक्षों पर क्रमशः $a$ और $b$ अंतःखंड काटता है,इसलिए वृत्त बिंदुओं $(a, 0)$ और $(0, b)$ से होकर गुजरता है।
मान लीजिए वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
चूंकि यह $(0, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $c = 0$ है।
चूंकि यह $(a, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $a^2 + 2ga = 0$,जिसका अर्थ है $g = -a/2$ है।
चूंकि यह $(0, b)$ से गुजरता है,इसलिए $b^2 + 2fb = 0$,जिसका अर्थ है $f = -b/2$ है।
इन मानों को सामान्य समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x^2 + y^2 - ax - by = 0$ प्राप्त होता है।

(A) दो वृत्त संकेंद्रित होते हैं यदि उनका केंद्र समान हो।
दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
संदर्भ वृत्त $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 20 = 0$ है।
संदर्भ वृत्त की तुलना $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से करने पर,केंद्र $(-g, -f)$ प्राप्त होता है।
संदर्भ वृत्त के लिए,केंद्र $(-(-1), -(2)) = (1, -2)$ है।
अतः,अभीष्ट वृत्त के लिए $g = -1$ और $f = 2$ है।
समीकरण $x^2 + y^2 - 2x + 4y + c = 0$ हो जाता है।
चूंकि वृत्त $(4, -2)$ से होकर गुजरता है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(4)^2 + (-2)^2 - 2(4) + 4(-2) + c = 0$
$16 + 4 - 8 - 8 + c = 0$
$4 + c = 0$
$c = -4$.

(C) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है।
चूंकि वृत्त $y$-अक्ष को $(0,3)$ पर स्पर्श करता है,केंद्र का $y$-निर्देशांक $k = 3$ है और त्रिज्या $r = |h|$ है।
वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - 3)^2 = h^2$ है।
यह वृत्त $x$-अक्ष पर $8$ इकाई का अंतःखंड काटता है। समीकरण में $y = 0$ रखने पर,$(x - h)^2 + (0 - 3)^2 = h^2$,जो सरल होकर $(x - h)^2 + 9 = h^2$ या $(x - h)^2 = h^2 - 9$ हो जाता है।
अतः,$x = h \pm \sqrt{h^2 - 9}$।
$x$-अक्ष पर अंतःखंड की लंबाई $(h + \sqrt{h^2 - 9}) - (h - \sqrt{h^2 - 9}) = 2\sqrt{h^2 - 9}$ है।
अंतःखंड $8$ दिया गया है,इसलिए $2\sqrt{h^2 - 9} = 8$,जिससे $\sqrt{h^2 - 9} = 4$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर $h^2 - 9 = 16$,अतः $h^2 = 25$,जिसका अर्थ है $h = \pm 5$।
चूंकि त्रिज्या $r = |h|$ है,इसलिए $r = 5$ प्राप्त होता है।

(A) दिए गए वृत्त का केंद्र $C_1 = (-4, 3)$ है और त्रिज्या $r_1$ है। वृत्त $x^2 + y^2 = 1$ का केंद्र $C_2 = (0, 0)$ और त्रिज्या $r_2 = 1$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{(-4 - 0)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$ है।
यदि वृत्त आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं,तो $r_1 = d + r_2 = 5 + 1 = 6$ या $r_1 = |d - r_2| = |5 - 1| = 4$ होगा।
स्थिति $1$: यदि $r_1 = 4$ है,तो समीकरण $(x + 4)^2 + (y - 3)^2 = 4^2 \implies x^2 + y^2 + 8x - 6y + 9 = 0$ होगा।
विकल्पों की तुलना करने पर,विकल्प $A$ सही है।

(B) दिए गए वृत्त $x^2 + y^2 - 4x - 6y - 3 = 0$ के संकेंद्रीय वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 4x - 6y + k = 0$ के रूप का होगा।
इस वृत्त का केंद्र $(2, 3)$ है।
चूंकि वृत्त $y$-अक्ष $(x = 0)$ को स्पर्श करता है,इसलिए वृत्त की त्रिज्या केंद्र के $x$-निर्देशांक का निरपेक्ष मान होगी।
त्रिज्या $r = |2| = 2$.
वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के लिए त्रिज्या का सूत्र $\sqrt{g^2 + f^2 - c}$ है।
यहाँ,$g = -2$,$f = -3$,और $c = k$ है।
अतः,$\sqrt{(-2)^2 + (-3)^2 - k} = 2$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$4 + 9 - k = 4$.
$13 - k = 4 \Rightarrow k = 9$.
$k = 9$ का मान समीकरण में रखने पर,हमें $x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0$ प्राप्त होता है।