System of circles Questions in Gujarati

(D) વર્તુળ $S = 0$ અને રેખા $P = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળોના સમૂહને $S + \lambda P = 0$ સમીકરણ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એક પ્રાચલ છે.
$\lambda$ કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા હોઈ શકે છે,તેથી $S - \lambda P = 0$ પણ એક માન્ય રજૂઆત છે ($\lambda$ ને $-\lambda$ સાથે બદલીને).
વધુમાં,જો આપણે $\lambda S + P = 0$ સ્વરૂપને ધ્યાનમાં લઈએ,તો તે પણ વર્તુળોના સમૂહને દર્શાવે છે,જ્યાં $\lambda \neq 0$ હોય.
આમ,આપેલા તમામ સ્વરૂપો યોગ્ય શરતો હેઠળ વર્તુળોના સમૂહને દર્શાવી શકે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) વર્તુળ $S = 0$ અને રેખા $L = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળના સમૂહનું સમીકરણ $S + \lambda L = 0$ છે.
અહીં $S = {x^2} + {y^2} - 2x - 6y + 6 = 0$ અને $L = 3x + 2y - 5 = 0$ હોવાથી,સમીકરણ:
$({x^2} + {y^2} - 2x - 6y + 6) + \lambda (3x + 2y - 5) = 0$
આ વર્તુળ બિંદુ $(-2, 4)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = -2$ અને $y = 4$ મૂકતા:
$((-2)^2 + (4)^2 - 2(-2) - 6(4) + 6) + \lambda (3(-2) + 2(4) - 5) = 0$
$6 + \lambda (-3) = 0 \implies \lambda = 2$
$\lambda = 2$ ની કિંમત મૂકતા:
$({x^2} + {y^2} - 2x - 6y + 6) + 2(3x + 2y - 5) = 0$
${x^2} + {y^2} + 4x - 2y - 4 = 0$

(B) ધારો કે $P(x_1, y_1)$ એ પ્રથમ વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c_1 = 0$ પરનું કોઈપણ બિંદુ છે.
બિંદુ $P$ વર્તુળ પર હોવાથી,$x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c_1 = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 = -c_1$.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ પર દોરેલા સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ સમીકરણમાંથી $x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{-c_1 + c} = \sqrt{c - c_1}$ મળે છે.

(A) વર્તુળ $x^2 + y^2 = 5$ ના બિંદુ $(1, -2)$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $x(1) + y(-2) = 5$ એટલે કે $x - 2y = 5$ અથવા $x = 2y + 5$ છે.
$x = 2y + 5$ ને બીજા વર્તુળ $x^2 + y^2 - 8x + 6y + 20 = 0$ માં મૂકતા:
$(2y + 5)^2 + y^2 - 8(2y + 5) + 6y + 20 = 0$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(4y^2 + 20y + 25) + y^2 - 16y - 40 + 6y + 20 = 0$
સમાન પદો ભેગા કરતા:
$5y^2 + 10y + 5 = 0$
$5$ વડે ભાગતા:
$y^2 + 2y + 1 = 0$
$(y + 1)^2 = 0$
આથી $y = -1$ મળે છે. $y = -1$ ને $x = 2y + 5$ માં મૂકતા $x = 2(-1) + 5 = 3$ મળે છે.
માત્ર એક જ છેદબિંદુ $(3, -1)$ હોવાથી,રેખા વર્તુળને સ્પર્શે છે.

(C) પ્રથમ વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2x + 8y - 23 = 0$ માટે:
કેન્દ્ર $C_1 = (-1, -4)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{1 + 16 + 23} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \approx 6.32$.
બીજા વર્તુળ $x^2 + y^2 - 4x - 10y + 9 = 0$ માટે:
કેન્દ્ર $C_2 = (2, 5)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{4 + 25 - 9} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4.47$.
કેન્દ્રો $C_1$ અને $C_2$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (5 - (-4))^2} = \sqrt{3^2 + 9^2} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10} \approx 9.49$.
હવે,$d$,$r_1 + r_2$,અને $|r_1 - r_2|$ વચ્ચેનો સંબંધ તપાસો:
$r_1 + r_2 = 2\sqrt{10} + 2\sqrt{5} \approx 10.79$.
$|r_1 - r_2| = 2\sqrt{10} - 2\sqrt{5} \approx 1.85$.
અહીં $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ હોવાથી,વર્તુળો બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે.
તેથી,$2$ સામાન્ય સ્પર્શકો મળે.

(C) પ્રથમ વર્તુળનું સમીકરણ $S_1: x^2 + y^2 - 4 = 0$ છે.
બીજા વર્તુળનું સમીકરણ $S_2: x^2 + y^2 - 2x + 6y + a = 0$ છે.
બંને વર્તુળોની સામાન્ય જીવા $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે,જે $(x^2 + y^2 - 4) - (x^2 + y^2 - 2x + 6y + a) = 0$ છે.
આનું સાદું રૂપ $2x - 6y - 4 - a = 0$ થાય છે.
જો એક વર્તુળ બીજા વર્તુળના પરિઘને દુભાગે,તો સામાન્ય જીવા એ બીજા વર્તુળનો વ્યાસ હોવો જોઈએ.
તેથી,સામાન્ય જીવા બીજા વર્તુળના કેન્દ્ર $(1, -3)$ માંથી પસાર થવી જોઈએ.
સામાન્ય જીવાના સમીકરણમાં $(1, -3)$ મૂકતા: $2(1) - 6(-3) - 4 - a = 0$.
$2 + 18 - 4 - a = 0$.
$16 - a = 0$,જેનો અર્થ છે કે $a = 16$.

(C) વર્તુળ $S \equiv 2x^2 + 2y^2 - 2x - 6y - 25 = 0$ અને રેખા $L \equiv x - y - 1 = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળના સમૂહનું સમીકરણ $S + \lambda L = 0$ છે.
$(2x^2 + 2y^2 - 2x - 6y - 25) + \lambda(x - y - 1) = 0$
$2x^2 + 2y^2 + (\lambda - 2)x - (\lambda + 6)y - (25 + \lambda) = 0$
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $\left( -\frac{\lambda - 2}{4}, \frac{\lambda + 6}{4} \right)$ છે.
રેખા $x - y - 1 = 0$ વ્યાસ હોવાથી,કેન્દ્ર આ રેખા પર હોવું જોઈએ:
$-\frac{\lambda - 2}{4} - \frac{\lambda + 6}{4} - 1 = 0$
$-2\lambda - 8 = 0 \implies \lambda = -4$.
$\lambda = -4$ કિંમત મૂકતા:
$2x^2 + 2y^2 - 6x - 2y - 21 = 0$.

(D) પ્રથમ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 6x - 2y + 1 = 0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (3, 1)$ અને ત્રિજ્યા $R_1 = \sqrt{3^2 + 1^2 - 1} = \sqrt{9} = 3$ છે.
બીજા વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2x - 8y + 13 = 0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (-1, 4)$ અને ત્રિજ્યા $R_2 = \sqrt{(-1)^2 + 4^2 - 13} = \sqrt{1 + 16 - 13} = \sqrt{4} = 2$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_1C_2 = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$ છે.
અહીં $R_1 + R_2 = 3 + 2 = 5$ હોવાથી,$C_1C_2 = R_1 + R_2$ થાય છે.
તેથી,વર્તુળો એકબીજાને બહારથી સ્પર્શે છે.

(D) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે. વર્તુળ $(0, 0)$ અને $(1, 0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,તેનું કેન્દ્ર $(0, 0)$ અને $(1, 0)$ ને જોડતી જીવાના લંબદ્વિભાજક પર હશે. મધ્યબિંદુ $(1/2, 0)$ છે અને રેખા $x = 1/2$ છે. તેથી,$h = 1/2$.
વર્તુળ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેની ત્રિજ્યા $r$ એ $(1/2, k)$ થી $(0, 0)$ નું અંતર છે,એટલે કે $r^2 = (1/2)^2 + k^2 = 1/4 + k^2$.
વર્તુળ $x^2 + y^2 = 9$ ને સ્પર્શે છે,જેનું કેન્દ્ર $(0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $R = 3$ છે. કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $\sqrt{(1/2)^2 + k^2} = r$ છે.
વર્તુળો સ્પર્શતા હોવાથી,કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $|R \pm r|$ હોવું જોઈએ. અહીં,કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $r$ છે,તેથી $r = |3 \pm r|$.
કિસ્સો $1$: $r = 3 - r$ $\Rightarrow 2r = 3$ $\Rightarrow r = 3/2$.
તેથી $r^2 = 9/4$,એટલે કે $1/4 + k^2 = 9/4$ $\Rightarrow k^2 = 2$ $\Rightarrow k = \pm \sqrt{2}$.
આમ,કેન્દ્ર $\left( \frac{1}{2}, \pm \sqrt{2} \right)$ છે.

(A) બે વર્તુળો $x^2 + y^2 + 2g_1x + 2f_1y + c_1 = 0$ અને $x^2 + y^2 + 2g_2x + 2f_2y + c_2 = 0$ લંબછેદી હોય તેની શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ છે.
આપેલ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા:
પ્રથમ વર્તુળ માટે: $2g_1 = p \Rightarrow g_1 = \frac{p}{2}$,$2f_1 = 3 \Rightarrow f_1 = \frac{3}{2}$,$c_1 = -5$.
બીજા વર્તુળ માટે: $2g_2 = 5 \Rightarrow g_2 = \frac{5}{2}$,$2f_2 = p \Rightarrow f_2 = \frac{p}{2}$,$c_2 = 7$.
આ કિંમતોને શરતમાં મૂકતા:
$2\left(\frac{p}{2}\right)\left(\frac{5}{2}\right) + 2\left(\frac{3}{2}\right)\left(\frac{p}{2}\right) = -5 + 7$
$\frac{5p}{2} + \frac{3p}{2} = 2$
$\frac{8p}{2} = 2$
$4p = 2$
$p = \frac{1}{2}$.

(B) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો:
$x^2 + y^2 - 6x - 6y + 10 = 0$ $(i)$
$x^2 + y^2 = 2$ $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા:
$(x^2 + y^2 - 6x - 6y + 10) - (x^2 + y^2) = 0 - 2$
$-6x - 6y + 10 = -2$
$-6x - 6y + 12 = 0$
$x + y = 2$ $(iii)$
$(iii)$ પરથી,$y = 2 - x$. આ કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$x^2 + (2 - x)^2 = 2$
$x^2 + 4 - 4x + x^2 = 2$
$2x^2 - 4x + 2 = 0$
$x^2 - 2x + 1 = 0$
$(x - 1)^2 = 0$
$x = 1$
$x = 1$ ને $x + y = 2$ માં મૂકતા,આપણને $y = 1$ મળે છે.
આમ,સ્પર્શબિંદુ $(1, 1)$ છે.

(A) વર્તુળોની સહ-અક્ષીય પ્રણાલીનું સમીકરણ $S + \lambda L = 0$ છે,જ્યાં $S = x^2 + y^2 - 9 = 0$ અને $L$ એ રેડિકલ અક્ષ છે.
બિંદુ $(2, 3)$ સીમિત બિંદુ હોવાથી,તેમાંથી પસાર થતું $0$ ત્રિજ્યાવાળું વર્તુળ $(x-2)^2 + (y-3)^2 = 0$ છે,એટલે કે $x^2 + y^2 - 4x - 6y + 13 = 0$.
રેડિકલ અક્ષ $S_1 - S_2 = 0$ છે,જે $(x^2 + y^2 - 9) - (x^2 + y^2 - 4x - 6y + 13) = 0$ એટલે કે $2x + 3y - 11 = 0$ આપે છે.
સહ-અક્ષીય વર્તુળોનું કુળ $(x^2 + y^2 - 9) + k(2x + 3y - 11) = 0$ છે.
કેન્દ્ર $(-k, -\frac{3k}{2})$ છે અને ત્રિજ્યાનો વર્ગ $r^2 = \frac{13k^2 + 44k + 36}{4}$ છે.
સીમિત બિંદુઓ માટે $r^2 = 0$,તેથી $13k^2 + 44k + 36 = 0$.
$k$ માટે ઉકેલતા,$(13k + 18)(k + 2) = 0$,તેથી $k = -2$ અથવા $k = -\frac{18}{13}$.
$k = -2$ માટે કેન્દ્ર $(2, 3)$ છે.
$k = -\frac{18}{13}$ માટે કેન્દ્ર $(\frac{18}{13}, \frac{27}{13})$ છે.

(A) બે વર્તુળો ${S_1} = 0$ અને ${S_2} = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળોનું કુળ ${S_1} + \lambda {S_2} = 0$ (જ્યાં $\lambda \neq -1$) દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે ${S_1}: {x^2} + {y^2} - 2x - 4y + 1 = 0$ અને ${S_2}: {x^2} + {y^2} - 4x - 2y + 4 = 0$.
સમીકરણ: $({x^2} + {y^2} - 2x - 4y + 1) + \lambda ({x^2} + {y^2} - 4x - 2y + 4) = 0$.
કેન્દ્ર $\left( \frac{1 + 2\lambda }{1 + \lambda }, \frac{2 + \lambda }{1 + \lambda } \right)$ રેખા $x + 2y - 3 = 0$ પર છે.
કિંમત મૂકતા,$\lambda = -2$ મળે છે.
આમ,વર્તુળનું સમીકરણ ${x^2} + {y^2} - 6x + 7 = 0$ છે.

(A) પ્રથમ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 2x - 4y = 0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (1, 2)$ અને ત્રિજ્યા $R_1 = \sqrt{1^2 + 2^2 - 0} = \sqrt{5}$ છે.
બીજા વર્તુળ $x^2 + y^2 - 8y - 4 = 0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (0, 4)$ અને ત્રિજ્યા $R_2 = \sqrt{0^2 + 4^2 - (-4)} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ છે.
કેન્દ્રો $C_1$ અને $C_2$ વચ્ચેનું અંતર $C_1C_2 = \sqrt{(1-0)^2 + (2-4)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$ છે.
આપણે જોઈએ છીએ કે $|R_2 - R_1| = |2\sqrt{5} - \sqrt{5}| = \sqrt{5}$ છે.
કારણ કે $C_1C_2 = |R_2 - R_1|$,તેથી વર્તુળો એકબીજાને અંદરથી સ્પર્શે છે.

(B) બે વર્તુળો $S_1 = 0$ અને $S_2 = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળના સમૂહનું સમીકરણ $S_1 + \lambda S_2 = 0$ છે.
આપેલ છે $S_1: x^2 + y^2 + 13x - 3y = 0$ અને $S_2: 2x^2 + 2y^2 + 4x - 7y - 25 = 0$.
જરૂરી સમીકરણ $(x^2 + y^2 + 13x - 3y) + \lambda (2x^2 + 2y^2 + 4x - 7y - 25) = 0$ છે.
વર્તુળ $(1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = 1$ અને $y = 1$ મૂકતા:
$(1 + 1 + 13 - 3) + \lambda (2 + 2 + 4 - 7 - 25) = 0$
$12 - 24\lambda = 0 \implies \lambda = \frac{1}{2}$.
$\lambda = \frac{1}{2}$ મૂકતા:
$2(x^2 + y^2 + 13x - 3y) + (2x^2 + 2y^2 + 4x - 7y - 25) = 0$
$4x^2 + 4y^2 + 30x - 13y - 25 = 0$.

(D) ધારો કે જરૂરી વર્તુળ ${x^2} + {y^2} + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
બે વર્તુળો ${x^2} + {y^2} + 2g_1x + 2f_1y + c_1 = 0$ અને ${x^2} + {y^2} + 2g_2x + 2f_2y + c_2 = 0$ કાટખૂણે છેદે જો $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ હોય.
આ શરત આપેલા વર્તુળો પર લાગુ પાડતા:
$(i) \; g + 2f = c + 3$
$(ii) \; 2g + 4f = c + 5$
$(iii) \; -7g - 8f = c - 9$
સમીકરણો ઉકેલતા $g = 2/3, f = 2/3, c = -1$ મળે છે.
તેથી,જરૂરી સમીકરણ $3({x^2} + {y^2}) + 4(x + y) - 3 = 0$ છે.

(C) વર્તુળોના સમૂહનું સમીકરણ $S_2 + \lambda S_1 = 0$ છે.
$(x^2 + y^2 - 2x - 4y + 1) + \lambda(x^2 + y^2 - 1) = 0$
$(1 + \lambda)x^2 + (1 + \lambda)y^2 - 2x - 4y + (1 - \lambda) = 0$
કેન્દ્ર $C = \left( \frac{1}{1 + \lambda}, \frac{2}{1 + \lambda} \right)$ અને ત્રિજ્યા $r = \frac{\sqrt{4 + \lambda^2}}{|1 + \lambda|}$ છે.
રેખા $x + 2y = 0$ ને સ્પર્શતું હોવાથી,કેન્દ્રથી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા જેટલું થાય.
$\left| \frac{\frac{1}{1 + \lambda} + 2(\frac{2}{1 + \lambda})}{\sqrt{5}} \right| = \frac{\sqrt{4 + \lambda^2}}{|1 + \lambda|}$
$\sqrt{5} = \sqrt{4 + \lambda^2}$ $\Rightarrow \lambda^2 = 1$ $\Rightarrow \lambda = 1$ (કારણ કે $\lambda = -1$ શક્ય નથી).
તેથી,માંગેલ સમીકરણ $x^2 + y^2 - x - 2y = 0$ છે.

(C) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ ${x^2} + {y^2} + 2gx + 2fy = 0$ છે કારણ કે તે ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
કેન્દ્ર $(-g, -f)$ એ રેખા $x + y = 4$ પર હોવાથી,$-g - f = 4$,એટલે કે $g + f = -4$ ... $(i)$.
વર્તુળ ${x^2} + {y^2} - 4x + 2y + 4 = 0$ ને લંબચ્છેદી છે. લંબચ્છેદી હોવાની શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ છે.
અહીં,$g_1 = g, f_1 = f, c_1 = 0$ અને $g_2 = -2, f_2 = 1, c_2 = 4$.
તેથી,$2(g)(-2) + 2(f)(1) = 0 + 4$,જેનું સાદું રૂપ $-4g + 2f = 4$,અથવા $-2g + f = 2$ ... $(ii)$ થાય છે.
$(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા: $(g + f) - (-2g + f) = -4 - 2$,જે $3g = -6$ આપે છે,તેથી $g = -2$.
$g = -2$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $-2 + f = -4$,તેથી $f = -2$.
વર્તુળનું સમીકરણ ${x^2} + {y^2} + 2(-2)x + 2(-2)y = 0$ છે,જે ${x^2} + {y^2} - 4x - 4y = 0$ થાય છે.

(C) વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
આપેલા વર્તુળોને સામાન્ય સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા:
પ્રથમ વર્તુળ માટે,$2g_1 = a$,$2f_1 = b$,અને $c_1 = c$.
બીજા વર્તુળ માટે,$2g_2 = d$,$2f_2 = e$,અને $c_2 = f$.
બે વર્તુળો લંબરૂપે છેદવાની શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$2(\frac{a}{2})(\frac{d}{2}) + 2(\frac{b}{2})(\frac{e}{2}) = c + f$
$\frac{ad}{2} + \frac{be}{2} = c + f$
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા:
$ad + be = 2(c + f)$.

(A) વર્તુળોના સમીકરણો:
$S_1: x^2 + y^2 + 4x + 6y - 19 = 0$
$S_2: x^2 + y^2 - 9 = 0$
$S_3: x^2 + y^2 - 2x - 2y - 5 = 0$
$S_1$ અને $S_2$ ની રેડિકલ ધરી $S_1 - S_2 = 0$ છે:
$4x + 6y - 10 = 0 \implies 2x + 3y = 5$ ... $(i)$
$S_2$ અને $S_3$ ની રેડિકલ ધરી $S_2 - S_3 = 0$ છે:
$2x + 2y - 4 = 0 \implies x + y = 2$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ઉકેલતા:
$x = 1$ અને $y = 1$ મળે છે.
આમ,રેડિકલ કેન્દ્ર $(1, 1)$ છે.

(A) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $r$ છે.
વર્તુળ $x^2 + y^2 = a^2$ ને બહારથી સ્પર્શતું હોવાથી,તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર તેમની ત્રિજ્યાઓના સરવાળા જેટલું થાય:
$\sqrt{h^2 + k^2} = r + a \implies r = \sqrt{h^2 + k^2} - a$ $(i)$
વર્તુળ $x^2 + y^2 - 4ax = 0$ (જે $(x-2a)^2 + y^2 = (2a)^2$ છે) ને બહારથી સ્પર્શતું હોવાથી,તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર:
$\sqrt{(h-2a)^2 + k^2} = r + 2a$ $(ii)$
$(i)$ માંથી $r$ ની કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$\sqrt{(h-2a)^2 + k^2} = (\sqrt{h^2 + k^2} - a) + 2a$
$\sqrt{(h-2a)^2 + k^2} = \sqrt{h^2 + k^2} + a$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(h-2a)^2 + k^2 = (h^2 + k^2) + a^2 + 2a\sqrt{h^2 + k^2}$
$h^2 - 4ah + 4a^2 + k^2 = h^2 + k^2 + a^2 + 2a\sqrt{h^2 + k^2}$
$3a^2 - 4ah = 2a\sqrt{h^2 + k^2}$
$a$ વડે ભાગતા:
$3a - 4h = 2\sqrt{h^2 + k^2}$
ફરીથી વર્ગ કરતા:
$(3a - 4h)^2 = 4(h^2 + k^2)$
$9a^2 - 24ah + 16h^2 = 4h^2 + 4k^2$
$12h^2 - 4k^2 - 24ah + 9a^2 = 0$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $12x^2 - 4y^2 - 24ax + 9a^2 = 0$ મળે છે.

(C) બે વર્તુળો જેમની ત્રિજ્યા $r_1$ અને $r_2$ છે અને કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d$ હોય,તો તેઓ લંબરૂપે છેદે જો $d^2 = r_1^2 + r_2^2$ હોય.
અહીં,$r_1 = r_2 = a$.
કેન્દ્રો $(2, 3)$ અને $(5, 6)$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(5-2)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18}$ છે.
તેથી,$d^2 = 18$.
શરતમાં કિંમત મૂકતા: $18 = a^2 + a^2$.
$18 = 2a^2$.
$a^2 = 9$.
ત્રિજ્યા હોવાથી,$a = 3$.

(C) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy = 0$ છે.
સહ-અક્ષીય વર્તુળોની સિસ્ટમ માટે,કોઈપણ બે વર્તુળોની રેડિકલ અક્ષ સમાન હોવી જોઈએ.
આપેલ વર્તુળો $S_1: x^2 + y^2 - a^2 = 0$ અને $S_2: x^2 + y^2 + 2ax - 2a^2 = 0$ છે.
$S_1$ અને $S_2$ ની રેડિકલ અક્ષ $S_1 - S_2 = 0$ છે,જે $2ax - a^2 = 0$ એટલે કે $x = \frac{a}{2}$ આપે છે.
ધારો કે જરૂરી વર્તુળ $S_3: x^2 + y^2 + 2gx + 2fy = 0$ છે.
$S_1$ અને $S_3$ ની રેડિકલ અક્ષ $2gx + 2fy + a^2 = 0$ છે.
વર્તુળો સહ-અક્ષીય હોવાથી,આ રેડિકલ અક્ષ $x = \frac{a}{2}$ હોવી જોઈએ.
સરખામણી કરતા,$f = 0$ અને $g = -a$ મળે છે.
તેથી,વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2ax = 0$ છે.

(C) ધારો કે વર્તુળોની ફેમિલીનું સમીકરણ $S_1 + \lambda S_2 = 0$ છે.
$(x^2 + y^2 - 8x - 2y + 7) + \lambda(x^2 + y^2 - 4x + 10y + 8) = 0$
કેન્દ્ર $y$-અક્ષ પર હોવાથી,$x$-યામ શૂન્ય થશે.
$\frac{4 + 2\lambda}{1 + \lambda} = 0 \implies \lambda = -2$.
કિંમત મૂકતા,$x^2 + y^2 + 22y + 9 = 0$ મળે છે.

(C) ધારો કે $P$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 = a^2$ પરનું કોઈપણ બિંદુ છે. ધારો કે $PQ$ અને $PR$ એ $P$ માંથી વર્તુળ $x^2 + y^2 = a^2 \sin^2 \alpha$ પર દોરેલા સ્પર્શકો છે,જ્યાં $Q$ અને $R$ એ સ્પર્શબિંદુઓ છે.
ધારો કે $O$ એ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ છે. અંદરના વર્તુળની ત્રિજ્યા $OQ = a \sin \alpha$ છે.
અંતર $OP$ એ બહારના વર્તુળની ત્રિજ્યા છે,તેથી $OP = a$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle OQP$ માં,$\sin(\angle OPQ) = \frac{OQ}{OP} = \frac{a \sin \alpha}{a} = \sin \alpha$.
તેથી,$\angle OPQ = \alpha$.
સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\angle QPR = 2 \times \angle OPQ = 2\alpha$ છે.

(A) બે વર્તુળો $S_1 = 0$ અને $S_2 = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળના સમૂહનું સમીકરણ $S_1 + \lambda S_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $S_1: {x^2} + {y^2} - 8x - 2y + 7 = 0$ અને $S_2: {x^2} + {y^2} - 4x + 10y + 8 = 0$ છે.
સમીકરણ $({x^2} + {y^2} - 8x - 2y + 7) + \lambda ({x^2} + {y^2} - 4x + 10y + 8) = 0$ છે.
વર્તુળ $(3, -3)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$x = 3$ અને $y = -3$ મૂકતા:
$(9 + 9 - 24 + 6 + 7) + \lambda (9 + 9 - 12 - 30 + 8) = 0$
$7 + \lambda (-16) = 0$
$16\lambda = 7 \Rightarrow \lambda = \frac{7}{16}$.
$\lambda = \frac{7}{16}$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$16({x^2} + {y^2} - 8x - 2y + 7) + 7({x^2} + {y^2} - 4x + 10y + 8) = 0$
$23{x^2} + 23{y^2} - 156x + 38y + 168 = 0$.

(C) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
તે આપેલ વર્તુળોને લંબચ્છેદી હોવાથી,લંબચ્છેદી વર્તુળોની શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ નો ઉપયોગ કરતા:
પ્રથમ વર્તુળ માટે: $2g + 4f - c = 6$.
બીજા વર્તુળ માટે: $4g + 6f - c = 2$.
વર્તુળ $(1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $2g + 2f + c = -2$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા આપણને $g = -8, f = 6$ અને $c = 2$ મળે છે.
તેથી,વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 16x + 12y + 2 = 0$ છે.

(A) બે વર્તુળો $x^2 + y^2 + 2g_1x + 2f_1y + c_1 = 0$ અને $x^2 + y^2 + 2g_2x + 2f_2y + c_2 = 0$ લંબરૂપે છેદે તેની શરત નીચે મુજબ છે:
$2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$
આ એક પ્રમાણિત પરિણામ છે જે વર્તુળોના કેન્દ્રો અને તેમના છેદબિંદુ દ્વારા બનતા ત્રિકોણ પર પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને મેળવવામાં આવે છે.

(A) બે વર્તુળો જેના કેન્દ્રો $C_1(-g, -f)$ અને $C_2(-g', -f')$ છે અને ત્રિજ્યાઓ $r_1 = \sqrt{g^2 + f^2}$ અને $r_2 = \sqrt{g'^2 + f'^2}$ છે,તેઓ બહારથી સ્પર્શે તે માટે તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર તેમની ત્રિજ્યાઓના સરવાળા જેટલું હોવું જોઈએ.
$C_1C_2 = r_1 + r_2$
$\sqrt{(-g + g')^2 + (-f + f')^2} = \sqrt{g^2 + f^2} + \sqrt{g'^2 + f'^2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(g' - g)^2 + (f' - f)^2 = (g^2 + f^2) + (g'^2 + f'^2) + 2\sqrt{g^2 + f^2}\sqrt{g'^2 + f'^2}$
$g'^2 - 2gg' + g^2 + f'^2 - 2ff' + f^2 = g^2 + f^2 + g'^2 + f'^2 + 2\sqrt{(g^2 + f^2)(g'^2 + f'^2)}$
$-2(gg' + ff') = 2\sqrt{(g^2 + f^2)(g'^2 + f'^2)}$
$-(gg' + ff') = \sqrt{(g^2 + f^2)(g'^2 + f'^2)}$
ફરીથી વર્ગ કરતા:
$(gg' + ff')^2 = (g^2 + f^2)(g'^2 + f'^2)$
$g^2g'^2 + f^2f'^2 + 2gg'ff' = g^2g'^2 + g^2f'^2 + f^2g'^2 + f^2f'^2$
$2gg'ff' = g^2f'^2 + f^2g'^2$
$g^2f'^2 + f^2g'^2 - 2(gf')(fg') = 0$
$(gf' - fg')^2 = 0$
$gf' = fg'$

(B) પ્રથમ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 2x - 3 = 0$ માટે:
કેન્દ્ર $C_1 = (1, 0)$,ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{1^2 + 0^2 - (-3)} = \sqrt{4} = 2$.
બીજા વર્તુળ $x^2 + y^2 - 4x - 6y - 8 = 0$ માટે:
કેન્દ્ર $C_2 = (2, 3)$,ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{2^2 + 3^2 - (-8)} = \sqrt{4 + 9 + 8} = \sqrt{21}$.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(2-1)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$.
છેદન માટેની શરત $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ ચકાસતા:
$|2 - \sqrt{21}| < \sqrt{10} < 2 + \sqrt{21}$.
આ શરત સંતોષાય છે,તેથી વર્તુળો એકબીજાને છેદે છે.

(A) ધારો કે $S_1 = x^2 + y^2 - 6x - 6y + 4 = 0$ અને $S_2 = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 3 = 0$.
રેડિકલ અક્ષ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે,જે $(x^2 + y^2 - 6x - 6y + 4) - (x^2 + y^2 - 2x - 4y + 3) = 0$ છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $-4x - 2y + 1 = 0$ અથવા $4x + 2y - 1 = 0$ મળે છે.
કોએક્સિયલ સિસ્ટમનું સમીકરણ $S_1 + \lambda(4x + 2y - 1) = 0$ છે,જે $x^2 + y^2 - (6 - 4\lambda)x - (6 - 2\lambda)y + (4 - \lambda) = 0$ થાય છે.
આ વર્તુળોનું કેન્દ્ર $(3 - 2\lambda, 3 - \lambda)$ છે અને ત્રિજ્યા $r$ એ $r^2 = (3 - 2\lambda)^2 + (3 - \lambda)^2 - (4 - \lambda)$ દ્વારા મળે છે.
લિમિટ પોઈન્ટ માટે,ત્રિજ્યા $r = 0$ થાય.
તેથી,$(3 - 2\lambda)^2 + (3 - \lambda)^2 - (4 - \lambda) = 0$.
$5\lambda^2 - 17\lambda + 14 = 0$.
$\lambda$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\lambda = 2$ અથવા $\lambda = 7/5$ મળે છે.
$\lambda = 2$ માટે,કેન્દ્ર $(-1, 1)$ છે.
$\lambda = 7/5$ માટે,કેન્દ્ર $(1/5, 8/5)$ છે.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચું લિમિટ પોઈન્ટ $(-1, 1)$ છે.

(C) ધારો કે જરૂરી વર્તુળ ${x^2} + {y^2} + 2gx + 2fy + c = 0$ $(i)$ છે.
તે ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $c = 0$.
કેન્દ્ર $(-g, -f)$ એ $y = x$ પર હોવાથી,$-f = -g$ એટલે કે $f = g$ મળે.
બે વર્તુળો ${x^2} + {y^2} + 2g_1x + 2f_1y + c_1 = 0$ અને ${x^2} + {y^2} + 2g_2x + 2f_2y + c_2 = 0$ લંબચ્છેદી હોય તેની શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ છે.
અહીં,$g_1 = g, f_1 = f, c_1 = 0$ અને $g_2 = -2, f_2 = -3, c_2 = 10$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$2(g)(-2) + 2(f)(-3) = 0 + 10$.
$f = g$ હોવાથી,$-4g - 6g = 10$,એટલે કે $-10g = 10$,તેથી $g = -1$.
આમ,$f = -1$.
વર્તુળનું સમીકરણ ${x^2} + {y^2} - 2x - 2y = 0$ છે.

(A) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A, B,$ અને $C$ છે. બાજુઓ $AB, BC,$ અને $CA$ ને વ્યાસ તરીકે લઈને ત્રણ વર્તુળો ધ્યાનમાં લો.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ છે.
આ વર્તુળોમાંથી કોઈપણ બેનું રેડિકલ અક્ષ એ બે વર્તુળોની સામાન્ય જીવા છે. ત્રિકોણની બાજુઓને વ્યાસ તરીકે લઈને દોરેલા વર્તુળો માટે,કોઈપણ બે વર્તુળોનું રેડિકલ અક્ષ એ બે બાજુઓના સામાન્ય શિરોબિંદુમાંથી પસાર થતો ત્રિકોણનો વેધ (altitude) છે.
રેડિકલ કેન્દ્ર એ ત્રણ વર્તુળોના રેડિકલ અક્ષોનું છેદબિંદુ હોવાથી,તે ત્રિકોણના ત્રણ વેધનું છેદબિંદુ છે.
તેથી,રેડિકલ કેન્દ્ર એ ત્રિકોણનું લંબકેન્દ્ર છે.

(D) ધારો કે કોએક્સિયલ વર્તુળોની સિસ્ટમ $x^2 + y^2 + 2g_i x + c = 0$ છે,જ્યાં $i = 1, 2, 3$.
નિશ્ચિત બિંદુ $(h, k)$ થી સ્પર્શકની લંબાઈનો વર્ગ $t_i^2 = h^2 + k^2 + 2g_i h + c$ છે.
કેન્દ્રો $P(-g_1, 0)$,$Q(-g_2, 0)$ અને $R(-g_3, 0)$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $QR = |g_3 - g_2|$,$RP = |g_1 - g_3|$,અને $PQ = |g_2 - g_1|$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$QRt_1^2 + RPt_2^2 + PQt_3^2 = (g_3 - g_2)(h^2 + k^2 + 2g_1 h + c) + (g_1 - g_3)(h^2 + k^2 + 2g_2 h + c) + (g_2 - g_1)(h^2 + k^2 + 2g_3 h + c) = 0$ થાય છે.

(B) ત્રણ સહ-અક્ષીય વર્તુળો માટે જેમનાં કેન્દ્રો $P, Q, R$ અને ત્રિજ્યાઓ $r_1, r_2, r_3$ છે,તેમનો રેડિકલ અક્ષ સમાન હોય છે.
ધારો કે કેન્દ્રો $x$-અક્ષ પર $x_1, x_2, x_3$ છે.
રેડિકલ અક્ષ પરના બિંદુની પાવર અચળ હોવાથી,$x_i^2 - r_i^2 = k$ થાય.
તેથી,$r_i^2 = x_i^2 - k$.
પદાવલિ $QR r_1^2 + RP r_2^2 + PQ r_3^2$ એ $(x_3 - x_2)(x_1^2 - k) + (x_1 - x_3)(x_2^2 - k) + (x_2 - x_1)(x_3^2 - k)$ બને છે.
ચક્રીય ગુણધર્મ મુજબ,આનું મૂલ્ય $-(x_1 - x_2)(x_2 - x_3)(x_3 - x_1)$ થાય છે.
આમ,જવાબ $-PQ \cdot QR \cdot RP$ છે.

(A) ધારો કે બે વર્તુળો ${S_1: x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0}$ અને ${S_2: x^2 + y^2 + 2g'x + 2f'y + c' = 0}$ છે.
જો ${S_1}$ એ ${S_2}$ ના પરિઘને દુભાગે,તો બંને વર્તુળોની સામાન્ય જીવા ${S_2}$ ના કેન્દ્રમાંથી પસાર થવી જોઈએ.
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ ${S_1 - S_2 = 0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે ${2(g - g')x + 2(f - f')y + (c - c') = 0}$ છે.
${S_2}$ નું કેન્દ્ર ${(-g', -f')}$ છે.
કેન્દ્ર ${(-g', -f')}$ ને સામાન્ય જીવાના સમીકરણમાં મૂકતા:
${2(g - g')(-g') + 2(f - f')(-f') + (c - c') = 0}$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને ${2g'(g - g') + 2f'(f - f') = c - c'}$ મળે છે.

(B) બે વર્તુળો $x^2 + y^2 + 2g_1x + 2f_1y + c_1 = 0$ અને $x^2 + y^2 + 2g_2x + 2f_2y + c_2 = 0$ લંબછેદી હોય તેની શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ છે.
પ્રથમ,સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લખો:
વર્તુળ $1$: $x^2 + y^2 + 4x + 6y + 3 = 0$. અહીં,$g_1 = 2, f_1 = 3, c_1 = 3$.
વર્તુળ $2$: $x^2 + y^2 + 3x + 2y + \frac{C}{2} = 0$. અહીં,$g_2 = \frac{3}{2}, f_2 = 1, c_2 = \frac{C}{2}$.
શરત લાગુ પાડતા: $2(2)(\frac{3}{2}) + 2(3)(1) = 3 + \frac{C}{2}$.
$6 + 6 = 3 + \frac{C}{2}$ $\Rightarrow 12 = 3 + \frac{C}{2}$ $\Rightarrow 9 = \frac{C}{2}$ $\Rightarrow C = 18$.

(A) ધારો કે બે રેખાઓનું છેદબિંદુ $A$ છે.
ચાપ $PQ$ દ્વારા કેન્દ્ર $C$ પર આંતરેલો ખૂણો એ પરિઘ પરના કોઈપણ બિંદુએ જીવા $PQ$ દ્વારા આંતરેલા ખૂણા કરતા બમણો હોય છે.
રેખા $x + \sqrt{3}y = 1$ માટે,ઢાળ $m_1 = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
રેખા $\sqrt{3}x - y = 2$ માટે,ઢાળ $m_2 = \sqrt{3}$ છે.
કારણ કે $m_1 \times m_2 = (-\frac{1}{\sqrt{3}}) \times \sqrt{3} = -1$,તેથી બંને રેખાઓ એકબીજાને લંબ છે.
તેથી,તેમના છેદબિંદુ $A$ પર રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $90^o$ છે.
રેખાઓ લંબ હોવાથી,જીવા $PQ$ પરિઘના બિંદુ $A$ પર $90^o$ નો ખૂણો આંતરે છે. વર્તુળના પ્રમેય મુજબ,ચાપ $PQ$ દ્વારા કેન્દ્ર પર આંતરેલો ખૂણો $2 \times 90^o = 180^o$ થાય.
આમ,જીવા $PQ$ એ વર્તુળનો વ્યાસ છે.

(D) આપેલ વર્તુળ: $x^2 + y^2 + 14x + 6y + 2 = 0$.
$x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$g = 7$,$f = 3$,અને $c = 2$ મળે છે.
ધારો કે માંગેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2g'x + 2f'y + c' = 0$ છે.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g', -f') = (0, 2)$ છે,તેથી $g' = 0$ અને $f' = -2$ થાય.
વર્તુળો લંબછેદી હોવાથી,શરત $2gg' + 2ff' = c + c'$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $2(7)(0) + 2(3)(-2) = 2 + c'$.
$0 - 12 = 2 + c' \Rightarrow c' = -14$.
$g'$,$f'$,અને $c'$ ની કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $x^2 + y^2 + 2(0)x + 2(-2)y - 14 = 0$.
આમ,સમીકરણ $x^2 + y^2 - 4y - 14 = 0$ છે.

(C) આપેલ વર્તુળો $x^2 + y^2 = 4$ અને $x^2 + y^2 - 10x + \lambda = 0$ છે.
પ્રથમ વર્તુળ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{4} = 2$ છે.
બીજા વર્તુળ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (5, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{5^2 - \lambda} = \sqrt{25 - \lambda}$ છે.
વર્તુળો બહારથી સ્પર્શતા હોવાથી,તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર તેમની ત્રિજ્યાઓના સરવાળા જેટલું થાય: $C_1C_2 = r_1 + r_2$.
અંતર $C_1C_2 = \sqrt{(5-0)^2 + (0-0)^2} = 5$.
તેથી,$5 = 2 + \sqrt{25 - \lambda}$.
$3 = \sqrt{25 - \lambda}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$9 = 25 - \lambda$.
આમ,$\lambda = 25 - 9 = 16$.

(D) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + c = 0$ છે,જ્યાં $c$ અચળાંક છે અને $g$ પ્રાચલ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, 0)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2 - c}$ છે.
સહ-અક્ષીય પ્રણાલી માટે,સીમિત બિંદુઓ તે છે જ્યાં ત્રિજ્યા શૂન્ય થાય છે,એટલે કે $g^2 - c = 0$,જે $g = \pm \sqrt{c}$ આપે છે.
$c > 0$ હોવાથી,સીમિત બિંદુઓ $(\sqrt{c}, 0)$ અને $(-\sqrt{c}, 0)$ વાસ્તવિક અને ભિન્ન છે.
વાસ્તવિક અને ભિન્ન સીમિત બિંદુઓ ધરાવતી સહ-અક્ષીય પ્રણાલીને ન છેદતા પ્રકારની પ્રણાલી કહેવામાં આવે છે.

(C) બે વર્તુળો $S_1 = 0$ અને $S_2 = 0$ ની રેડિકલ અક્ષનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,સમીકરણોને $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સ્વરૂપમાં લખો,જ્યાં $x^2$ અને $y^2$ નો સહગુણક $1$ હોય.
પ્રથમ વર્તુળ માટે: $2x^2 + 2y^2 - 7x = 0 \Rightarrow x^2 + y^2 - 3.5x = 0$.
બીજા વર્તુળ માટે: $x^2 + y^2 - 4y - 7 = 0$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(x^2 + y^2 - 3.5x) - (x^2 + y^2 - 4y - 7) = 0$.
$-3.5x + 4y + 7 = 0$.
દશાંશ દૂર કરવા માટે $-2$ વડે ગુણતા: $7x - 8y - 14 = 0$.

(B) બે વર્તુળો ${S_1} = 0$ અને ${S_2} = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ ${S_1} + \lambda {S_2} = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ ${S_1} = {x^2} + {y^2} + 13x - 3y = 0$ અને ${S_2} = {x^2} + {y^2} + 2x - 3.5y - 12.5 = 0$ (બીજા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા).
સમીકરણ $({x^2} + {y^2} + 13x - 3y) + \lambda ({x^2} + {y^2} + 2x - 3.5y - 12.5) = 0$ છે.
$(1 + \lambda ){x^2} + (1 + \lambda ){y^2} + (13 + 2\lambda )x - (3 + 3.5\lambda )y - 12.5\lambda = 0$.
$(1 + \lambda )$ વડે ભાગતા,કેન્દ્ર $\left( { - \frac{{13 + 2\lambda }}{{2(1 + \lambda )}}, \frac{{3 + 3.5\lambda }}{{2(1 + \lambda )}}} \right)$ મળે છે.
કેન્દ્ર $13x + 30y = 0$ પર હોવાથી,$13\left( { - \frac{{13 + 2\lambda }}{{2(1 + \lambda )}}} \right) + 30\left( { \frac{{3 + 3.5\lambda }}{{2(1 + \lambda )}}} \right) = 0$.
$-169 - 26\lambda + 90 + 105\lambda = 0 \Rightarrow 79\lambda = 79 \Rightarrow \lambda = 1$.
$\lambda = 1$ મૂકતા: $2{x^2} + 2{y^2} + 15x - 6.5y - 12.5 = 0$.
$2$ વડે ગુણતા,$4{x^2} + 4{y^2} + 30x - 13y - 25 = 0$ મળે છે.

(D) ધારો કે વર્તુળોના સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$S_1 \equiv x^2 + y^2 - 16x + 60 = 0$ $(i)$
$S_2 \equiv x^2 + y^2 - 12x + 27 = 0$ $(ii)$
$S_3 \equiv x^2 + y^2 - 12y + 8 = 0$ $(iii)$
વર્તુળ $(i)$ અને $(ii)$ ની રેડિકલ ધરી $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે:
$(x^2 + y^2 - 16x + 60) - (x^2 + y^2 - 12x + 27) = 0$
$-4x + 33 = 0 \Rightarrow x = \frac{33}{4}$ $(iv)$
વર્તુળ $(ii)$ અને $(iii)$ ની રેડિકલ ધરી $S_2 - S_3 = 0$ દ્વારા મળે છે:
$(x^2 + y^2 - 12x + 27) - (x^2 + y^2 - 12y + 8) = 0$
$-12x + 12y + 19 = 0$ $(v)$
સમીકરણ $(v)$ માં $x = \frac{33}{4}$ મૂકતા:
$-12(\frac{33}{4}) + 12y + 19 = 0$
$-99 + 12y + 19 = 0$
$12y = 80 \Rightarrow y = \frac{20}{3}$
આમ,રેડિકલ કેન્દ્ર $(\frac{33}{4}, \frac{20}{3})$ છે. જે આપેલા વિકલ્પોમાં નથી,તેથી સાચો જવાબ $(d)$ છે.

(B) બે વર્તુળો $S_1 = 0$ અને $S_2 = 0$ ની રેડિકલ ધરી $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ વર્તુળને $x^2 + y^2 - \frac{7}{3}x + \frac{8}{3}y + \frac{11}{3} = 0$ તરીકે લખતા.
બીજું વર્તુળ $x^2 + y^2 - 3x - 4y + 5 = 0$ છે.
રેડિકલ ધરી: $\left( -\frac{7}{3} + 3 \right)x + \left( \frac{8}{3} + 4 \right)y + \left( \frac{11}{3} - 5 \right) = 0$.
$\frac{2}{3}x + \frac{20}{3}y - \frac{4}{3} = 0$.
$\frac{3}{2}$ વડે ગુણતા,$x + 10y - 2 = 0$ મળે છે.

(A) ધારો કે માંગેલ વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે $... (i)$
બે વર્તુળો $x^2 + y^2 + 2g_1x + 2f_1y + c_1 = 0$ અને $x^2 + y^2 + 2g_2x + 2f_2y + c_2 = 0$ લંબચ્છેદી હોય તેની શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ છે.
આ શરતનો ઉપયોગ કરતા:
$1$) $2g + 17f = c + 4$ $... (ii)$
$2$) $7g + 6f = c + 11$ $... (iii)$
$3$) $-g + 22f = c + 3$ $... (iv)$
સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $g = -3$ અને $f = -2$ મળે છે.
તેથી,વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (3, 2)$ છે.

(A) આપેલ વર્તુળો:
${S_1} = {x^2} + {y^2} - 3x - 4y + 5 = 0$ .....$(i)$
બીજા વર્તુળ માટે,${x^2}$ અને ${y^2}$ ના સહગુણકો $1$ બનાવવા માટે $2$ વડે ભાગતા:
${S_2} = {x^2} + {y^2} - 5x - 6y + 6 = 0$ .....$(ii)$
રેડિકલ અક્ષનું સમીકરણ ${S_1} - {S_2} = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા:
$({x^2} + {y^2} - 3x - 4y + 5) - ({x^2} + {y^2} - 5x - 6y + 6) = 0$
$2x + 2y - 1 = 0$.

(A) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો:
$x^2 + y^2 = 25$ $(i)$
$x^2 + y^2 - 8x + 7 = 0$ $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી સમીકરણ $(ii)$ બાદ કરતા:
$(x^2 + y^2) - (x^2 + y^2 - 8x + 7) = 25 - 0$
$8x - 7 = 25$
$8x = 32$
$x = 4$
$x = 4$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$(4)^2 + y^2 = 25$
$16 + y^2 = 25$
$y^2 = 9$
$y = \pm 3$
આમ,છેદબિંદુઓ $(4, 3)$ અને $(4, -3)$ છે.

(D) વર્તુળોના કેન્દ્રો $C_1(-a, 0)$ અને $C_2(0, -b)$ છે.
વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ $R_1 = \sqrt{a^2 - c}$ અને $R_2 = \sqrt{b^2 - c}$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_1C_2 = \sqrt{a^2 + b^2}$ છે.
વર્તુળો એકબીજાને સ્પર્શતા હોવાથી,$R_1 + R_2 = C_1C_2$ થાય.
$\sqrt{a^2 - c} + \sqrt{b^2 - c} = \sqrt{a^2 + b^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(a^2 - c) + (b^2 - c) + 2\sqrt{(a^2 - c)(b^2 - c)} = a^2 + b^2$.
$2\sqrt{(a^2 - c)(b^2 - c)} = 2c$.
$(a^2 - c)(b^2 - c) = c^2$.
$a^2b^2 - a^2c - b^2c + c^2 = c^2$.
$a^2b^2 = a^2c + b^2c$.
બંને બાજુ $a^2b^2c$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{c} = \frac{1}{b^2} + \frac{1}{a^2}$.

(A) જ્યારે બે વર્તુળોના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર તેમની ત્રિજ્યાઓના સરવાળા જેટલું હોય,એટલે કે $d = r_1 + r_2$,ત્યારે વર્તુળો એકબીજાને બહારથી એક બિંદુએ સ્પર્શે છે.