Tangent and normal to a circle Questions in Hindi

(B) दी गई रेखा $yy' = 2ax + 2ax'$ है,जिसे $2ax - yy' + 2ax' = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस रेखा की ढाल $m_1 = \frac{2a}{y'}$ है।
चूंकि अभीष्ट रेखा इस रेखा के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $m_2 = -\frac{y'}{2a}$ होगी।
बिंदु $(x', y')$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y - y' = -\frac{y'}{2a}(x - x')$ है।
इसे सरल करने पर,$2ay - 2ay' = -xy' + x'y'$ प्राप्त होता है।
अतः,$xy' + 2ay - 2ay' - x'y' = 0$ अभीष्ट समीकरण है।

(A) माना वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ $(i)$ है।
चूंकि यह $(-1, -3)$ से गुजरता है,$10 - 2g - 6f + c = 0$ $(ii)$.
चूंकि यह $(3, 0)$ से गुजरता है,$9 + 6g + c = 0$ $(iii)$.
वृत्त का केंद्र $C(-g, -f)$ है। स्पर्श रेखा की ढाल $-4/3$ है,इसलिए अभिलंब की ढाल $3/4$ होगी।
अतः,$\frac{-f - 0}{-g - 3} = \frac{3}{4} \Rightarrow 3g - 4f + 9 = 0$ $(iv)$.
समीकरणों $(ii)$,$(iii)$ और $(iv)$ को हल करने पर,हमें $g = -1, f = 3/2$ और $c = -3$ प्राप्त होता है।
अतः,वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 2x + 3y - 3 = 0$ है।

(B) बिंदु $(x_1, y_1)$ से वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ पर स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए बिंदु $(5, 3)$ और वृत्त $x^2 + y^2 + 2x + ky + 17 = 0$ के लिए,स्पर्श रेखा की लंबाई $7$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$\sqrt{5^2 + 3^2 + 2(5) + k(3) + 17} = 7$
$\sqrt{25 + 9 + 10 + 3k + 17} = 7$
$\sqrt{61 + 3k} = 7$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$61 + 3k = 49$
$3k = 49 - 61$
$3k = -12$
$k = -4$.

(B) रेखा $y = Mx + C$ के वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $C^2 = a^2(1 + M^2)$ है।
दी गई रेखा $lx + my + n = 0$ को $y = -\frac{l}{m}x - \frac{n}{m}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,ढाल $M = -\frac{l}{m}$ और अंतःखंड $C = -\frac{n}{m}$ है।
इन मानों को $C^2 = a^2(1 + M^2)$ में रखने पर:
$(-\frac{n}{m})^2 = a^2(1 + (-\frac{l}{m})^2)$
$\frac{n^2}{m^2} = a^2(1 + \frac{l^2}{m^2})$
$\frac{n^2}{m^2} = a^2(\frac{m^2 + l^2}{m^2})$
$n^2 = a^2(l^2 + m^2)$.

(D) माना मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरने वाली रेखा $y = mx$ है,अर्थात $mx - y = 0$ है।
यह रेखा वृत्त $(x - 7)^2 + (y + 1)^2 = 25$ की स्पर्श रेखा होगी यदि केंद्र $(7, -1)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $r = 5$ के बराबर हो।
बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ की दूरी के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\frac{|m(7) - (-1)|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 5$ प्राप्त होता है।
$\frac{|7m + 1|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 5$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(7m + 1)^2 = 25(m^2 + 1)$।
$49m^2 + 14m + 1 = 25m^2 + 25$।
$24m^2 + 14m - 24 = 0$।
$12m^2 + 7m - 12 = 0$।
यह $m$ में एक द्विघात समीकरण है। माना इसके मूल $m_1$ और $m_2$ हैं। ढालों का गुणनफल $m_1 m_2 = \frac{-12}{12} = -1$ है।
चूंकि ढालों का गुणनफल $-1$ है,इसलिए दोनों स्पर्श रेखाएं एक-दूसरे पर लंबवत हैं।
अतः,दोनों स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है।

(A) रेखा $y = mx + c$ के वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $c^2 = a^2(1 + m^2)$ है।
वृत्त के समीकरण में $y = mx + c$ प्रतिस्थापित करने पर: $x^2 + (mx + c)^2 = a^2$.
इस समीकरण को हल करने पर स्पर्श बिंदु के निर्देशांक $\left( -\frac{a^2m}{c}, \frac{a^2}{c} \right)$ प्राप्त होते हैं।

(A) दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 = 50$ है और रेखा $x = -7$ है।
$x = -7$ को वृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(-7)^2 + y^2 = 50 \implies 49 + y^2 = 50 \implies y^2 = 1 \implies y = \pm 1$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(-7, 1)$ और $(-7, -1)$ हैं।
बिंदु $(x_1, y_1)$ पर वृत्त $x^2 + y^2 = r^2$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $xx_1 + yy_1 = r^2$ होता है।
बिंदु $(-7, 1)$ के लिए: $-7x + y = 50 \implies 7x - y + 50 = 0$.
बिंदु $(-7, -1)$ के लिए: $-7x - y = 50 \implies 7x + y + 50 = 0$.
इस प्रकार,समीकरण $7x \pm y + 50 = 0$ हैं।

(D) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = 16$ है,जिसका केंद्र $(0, 0)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{16} = 4$ है।
रेखा $y = mx + c$ के वृत्त $x^2 + y^2 = r^2$ को स्पर्श करने की शर्त $c^2 = r^2(1 + m^2)$ है।
यहाँ,$m = \sqrt{3}$,$c = k$,और $r = 4$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $k^2 = 4^2(1 + (\sqrt{3})^2)$ प्राप्त होता है।
$k^2 = 16(1 + 3) = 16 \times 4 = 64$.
अतः,$k = \pm 8$।

(C) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = 36$ है,अतः त्रिज्या $a = 6$ है।
चूँकि स्पर्श रेखा $x$-अक्ष के साथ $45^\circ$ का कोण बनाती है,इसलिए ढाल $m = \tan(45^\circ) = 1$ है।
$m$ ढाल वाली वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm a\sqrt{1 + m^2}$ होता है।
$m = 1$ और $a = 6$ प्रतिस्थापित करने पर:
$y = 1(x) \pm 6\sqrt{1 + (1)^2}$
$y = x \pm 6\sqrt{2}$.

(C) वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ के किसी भी बिंदु $(x_1, y_1)$ पर अभिलंब का समीकरण हमेशा केंद्र $(0, 0)$ से होकर गुजरता है।
चूँकि अभिलंब केंद्र $(0, 0)$ और बिंदु $P = \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$ से होकर गुजरता है,इसलिए इसकी ढाल $m = \frac{1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}} = 1$ है।
केंद्र $(0, 0)$ से गुजरने वाली और $m = 1$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y = x$ या $x - y = 0$ है।

(A) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 22x - 4y + 25 = 0$ है।
केंद्र $(11, 2)$ और त्रिज्या $r = 10$ है।
रेखा $5x + 12y + 8 = 0$ के लंबवत रेखा का समीकरण $12x - 5y + k = 0$ है।
केंद्र से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या के बराबर होने पर,$\frac{|12(11) - 5(2) + k|}{13} = 10$।
$|122 + k| = 130$
अतः $k = 8$ या $k = -252$।
इस प्रकार,स्पर्श रेखाओं के समीकरण $12x - 5y + 8 = 0$ और $12x - 5y - 252 = 0$ हैं।

(D) रेखा $x \cos \alpha + y \sin \alpha - p = 0$ वृत्त की स्पर्श रेखा है यदि केंद्र से रेखा पर डाले गए लंब की लंबाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर हो।
यहाँ केंद्र $(a \cos \alpha, a \sin \alpha)$ है और त्रिज्या $a$ है।
लंबवत दूरी का सूत्र उपयोग करने पर:
$\left| \frac{a \cos^2 \alpha + a \sin^2 \alpha - p}{\sqrt{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}} \right| = a$
$|a - p| = a$
अतः,$p = 0$ या $p = 2a$.

(C) रेखा $lx + my + n = 0$ के वृत्त $(x - h)^2 + (y - k)^2 = a^2$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त यह है कि केंद्र $(h, k)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $a$ के बराबर होनी चाहिए।
लंबवत दूरी $d$ इस प्रकार है:
$d = \frac{|lh + mk + n|}{\sqrt{l^2 + m^2}}$
$d = a$ रखने पर:
$a = \frac{|lh + mk + n|}{\sqrt{l^2 + m^2}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$a^2 = \frac{(lh + mk + n)^2}{l^2 + m^2}$
अतः:
$(lh + mk + n)^2 = a^2(l^2 + m^2)$

(C) वृत्त का समीकरण $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ है,जिसका केंद्र $(a, b)$ और त्रिज्या $r$ है।
केंद्र $(a, b)$ से रेखा $(x - a)\cos \alpha + (y - b)\sin \alpha - r = 0$ की लंबवत दूरी $d$ इस प्रकार है:
$d = \frac{|(a - a)\cos \alpha + (b - b)\sin \alpha - r|}{\sqrt{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}}$
$d = \frac{|0 + 0 - r|}{\sqrt{1}} = |-r| = r$.
चूंकि केंद्र से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या के बराबर है $(d = r)$,इसलिए यह रेखा $\alpha$ के सभी मानों के लिए वृत्त की स्पर्श रेखा है।

(B) एक बिंदु $(x_1, y_1)$ से वृत्त $S = 0$ पर स्पर्श रेखाओं के युग्म का समीकरण $SS_1 = T^2$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,बिंदु $(0, 0)$ है,इसलिए $S_1 = 0^2 + 0^2 - 2r(0) - 2h(0) + h^2 = h^2$ है।
$(0, 0)$ पर स्पर्श रेखा $T$ का समीकरण $x(0) + y(0) - r(x + 0) - h(y + 0) + h^2 = 0$ है,जो $T = -rx - hy + h^2$ के रूप में सरल होता है।
$SS_1 = T^2$ में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$h^2(x^2 + y^2 - 2rx - 2hy + h^2) = (-rx - hy + h^2)^2$।
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:
$h^2x^2 + h^2y^2 - 2rh^2x - 2h^3y + h^4 = r^2x^2 + h^2y^2 + h^4 + 2rhxy - 2rh^2x - 2h^3y$।
समान पदों $h^2y^2, h^4, -2rh^2x, -2h^3y$ को हटाने पर:
$h^2x^2 = r^2x^2 + 2rhxy$।
$(h^2 - r^2)x^2 - 2rhxy = 0$।
$x((h^2 - r^2)x - 2rhy) = 0$।
अतः,समीकरण $x = 0$ और $(h^2 - r^2)x - 2rhy = 0$ हैं।

(A) रेखा $\sqrt{3}x + y + 3 = 0$ के समांतर किसी भी रेखा का समीकरण $\sqrt{3}x + y + k = 0$ के रूप में होता है।
चूंकि यह रेखा वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ की स्पर्श रेखा है,इसलिए केंद्र $(0, 0)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $a$ के बराबर होनी चाहिए।
बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ की दूरी के सूत्र $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{|\sqrt{3}(0) + 1(0) + k|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2}} = a$
$\frac{|k|}{\sqrt{3 + 1}} = a$
$\frac{|k|}{2} = a$
$|k| = 2a$
$k = \pm 2a$
अतः,अभीष्ट समीकरण $\sqrt{3}x + y \pm 2a = 0$ है।

(D) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = 169$ है,जिसका केंद्र $(0, 0)$ और त्रिज्या $r = 13$ है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ पर वृत्त $x^2 + y^2 = r^2$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $xx_1 + yy_1 = r^2$ होता है।
बिंदु $(5, 12)$ के लिए,स्पर्श रेखा का समीकरण $5x + 12y = 169$ है। इसकी ढाल $m_1 = -\frac{5}{12}$ है।
बिंदु $(12, -5)$ के लिए,स्पर्श रेखा का समीकरण $12x - 5y = 169$ है। इसकी ढाल $m_2 = \frac{12}{5}$ है।
चूंकि $m_1 \times m_2 = (-\frac{5}{12}) \times (\frac{12}{5}) = -1$,इसलिए स्पर्श रेखाएं एक-दूसरे पर लंबवत हैं।
अतः,स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $90^o$ है।

(C) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = 9$ है,जिसका केंद्र $(0, 0)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{9} = 3$ है।
रेखा $x = k$ के वृत्त को स्पर्श करने के लिए,केंद्र $(0, 0)$ से रेखा $x - k = 0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर होनी चाहिए।
लंबवत दूरी $d = \frac{|0 - k|}{\sqrt{1^2 + 0^2}} = |k|$ है।
$d = r$ रखने पर,$|k| = 3$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $k = 3$ या $k = -3$।
अतः,$k$ का सही मान $3$ या $-3$ है।

(B) दी गई रेखा $y \cos \alpha = x \sin \alpha + a \cos \alpha$ है।
$\cos \alpha$ से विभाजित करने पर,$y = x \tan \alpha + a$ प्राप्त होता है।
यह $y = mx + c$ के रूप में है,जहाँ $m = \tan \alpha$ और $c = a$ है।
रेखा $y = mx + c$ के वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $c^2 = a^2(1 + m^2)$ है।
मान रखने पर,$a^2 = a^2(1 + \tan^2 \alpha)$ प्राप्त होता है।
चूँकि $a^2 \neq 0$,इसलिए $1 = 1 + \tan^2 \alpha$,जिसका अर्थ है $\tan^2 \alpha = 0$।
वैकल्पिक रूप से,केंद्र $(0, 0)$ से रेखा $x \sin \alpha - y \cos \alpha + a \cos \alpha = 0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $a$ के बराबर होती है:
$\frac{|0 - 0 + a \cos \alpha|}{\sqrt{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}} = a$
$|a \cos \alpha| = a$
$|\cos \alpha| = 1$
$\cos^2 \alpha = 1$.

(A) मान लीजिए $O$ वृत्त का केंद्र है और $C$ एक बाहरी बिंदु है। मान लीजिए $CA$ और $CB$ बिंदु $C$ से वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाएँ हैं जो क्रमशः $A$ और $B$ बिंदुओं पर स्पर्श करती हैं।
$\triangle OAC$ और $\triangle OBC$ में:
$1$. $OA = OB$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
$2$. $OC = OC$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$3$. $\angle OAC = \angle OBC = 90^o$ (स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है)
$RHS$ सर्वांगसमता कसौटी के अनुसार,$\triangle OAC \cong \triangle OBC$ है।
इसलिए,$CPCT$ द्वारा,$CA = CB$ है।
अतः,एक बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाएँ हमेशा लंबाई में समान होती हैं।

(A) दिए गए वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 8x - 2y + 12 = 0$ है। वृत्त का केंद्र $(4, 1)$ है।
$y = -1$ रखने पर:
$x^2 + (-1)^2 - 8x - 2(-1) + 12 = 0$
$x^2 - 8x + 15 = 0$
$(x - 3)(x - 5) = 0$
अतः,$x = 3$ या $x = 5$ है। बिंदु $(3, -1)$ और $(5, -1)$ हैं।
वृत्त के किसी भी बिंदु पर अभिलंब हमेशा केंद्र $(4, 1)$ से होकर गुजरता है।
बिंदु $(3, -1)$ के लिए,अभिलंब की ढाल $m = \frac{1 - (-1)}{4 - 3} = 2$ है।
समीकरण: $y + 1 = 2(x - 3) \Rightarrow 2x - y - 7 = 0$.
बिंदु $(5, -1)$ के लिए,अभिलंब की ढाल $m = \frac{1 - (-1)}{4 - 5} = -2$ है।
समीकरण: $y + 1 = -2(x - 5) \Rightarrow 2x + y - 9 = 0$.

(A) स्पर्श बिंदु को रेखा और वृत्त दोनों के समीकरणों को संतुष्ट करना चाहिए।
विकल्प $A$: $(1, -2)$ की जाँच करने पर:
रेखा के लिए: $1 - (-2) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$। (संतुष्ट है)
वृत्त के लिए: $(1)^2 + (-2)^2 - 4(1) + 6(-2) + 11 = 1 + 4 - 4 - 12 + 11 = 0$। (संतुष्ट है)
अतः,बिंदु $(1, -2)$ स्पर्श बिंदु है।

(B) एक रेखा वृत्त का अभिलंब तभी होती है जब वह वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है।
वृत्त का केंद्र $(a, b)$ दिया गया है और रेखा का समीकरण $y = mx + c$ है।
केंद्र $(a, b)$ के निर्देशांकों को रेखा के समीकरण में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$b = m(a) + c$
$b = ma + c$

(C) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 4x + 6y - 39 = 0$ है। वृत्त का केंद्र $(-2, -3)$ है।
वृत्त के किसी भी बिंदु पर अभिलंब हमेशा वृत्त के केंद्र से होकर गुजरता है।
अभिलंब बिंदु $(2, 3)$ और केंद्र $(-2, -3)$ से होकर गुजरता है।
अभिलंब की ढाल $m = \frac{3 - (-3)}{2 - (-2)} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ है।
अभिलंब का समीकरण $y - 3 = \frac{3}{2}(x - 2)$ है,जो $3x - 2y = 0$ में सरल हो जाता है।
प्रतिच्छेदन का दूसरा बिंदु ज्ञात करने के लिए,$x = \frac{2y}{3}$ को वृत्त के समीकरण में रखने पर:
$13y^2 + 78y - 351 = 0$
$y^2 + 6y - 27 = 0$
$(y - 3)(y + 9) = 0$,अतः $y = 3$ या $y = -9$ है।
यदि $y = -9$ है,तो $x = -6$ प्राप्त होता है।
अतः,दूसरा बिंदु $(-6, -9)$ है।

(C) दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 - 2x = 0$ है।
इसका केंद्र $(-g, -f) = (1, 0)$ है।
रेखा $x + 2y = 3$ के समांतर रेखा का समीकरण $x + 2y + \lambda = 0$ के रूप में होगा।
चूंकि अभिलंब हमेशा वृत्त के केंद्र से होकर गुजरता है,इसलिए बिंदु $(1, 0)$ को समीकरण में रखने पर: $1 + 2(0) + \lambda = 0$,जिससे $\lambda = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,अभिलंब का समीकरण $x + 2y - 1 = 0$ है।

(A) वृत्त $x^2 + y^2 = r^2$ के बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $xx_1 + yy_1 = r^2$ होता है।
यहाँ,$x_1 = \frac{ab^2}{a^2 + b^2}$,$y_1 = \frac{a^2b}{a^2 + b^2}$,और $r^2 = \frac{a^2b^2}{a^2 + b^2}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$x \left( \frac{ab^2}{a^2 + b^2} \right) + y \left( \frac{a^2b}{a^2 + b^2} \right) = \frac{a^2b^2}{a^2 + b^2}$
दोनों पक्षों को $\frac{ab}{a^2 + b^2}$ से विभाजित करने पर:
$xb + ya = ab$
$ab$ से विभाजित करने पर:
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$.

(A) मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y = mx$ है,जिसे $mx - y = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
वृत्त का समीकरण $(x - 4)^2 + (y + 5)^2 = 25$ है,जिसका केंद्र $(4, -5)$ और त्रिज्या $r = 5$ है।
रेखा के वृत्त को स्पर्श करने के लिए,केंद्र $(4, -5)$ से रेखा $mx - y = 0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $r = 5$ के बराबर होनी चाहिए।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{|m(4) - (-5)|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 5$.
$|4m + 5| = 5\sqrt{m^2 + 1}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(4m + 5)^2 = 25(m^2 + 1)$.
$16m^2 + 40m + 25 = 25m^2 + 25$.
$9m^2 - 40m = 0$.
$m(9m - 40) = 0$.
अतः,$m = 0$ या $m = \frac{40}{9}$।

(A) मूल बिंदु $(0, 0)$ से वृत्त ${x^2} + {y^2} + 2gx + 2fy + c = 0$ पर स्पर्श रेखाओं के युग्म का समीकरण $S S_1 = T^2$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$S = {x^2} + {y^2} + 2gx + 2fy + c$,$S_1 = c$,और $T = gx + fy + c$ है।
अतः,$c({x^2} + {y^2} + 2gx + 2fy + c) = (gx + fy + c)^2$।
इसका विस्तार करने पर,हमें $c{x^2} + c{y^2} + 2gcx + 2fcy + {c^2} = {g^2}{x^2} + {f^2}{y^2} + {c^2} + 2gfxy + 2gcx + 2fcy$ प्राप्त होता है।
सरल करने पर,$(c - {g^2}){x^2} - 2gfxy + (c - {f^2}){y^2} = 0$ प्राप्त होता है।
चूँकि स्पर्श रेखाएँ लंबवत हैं,${x^2}$ और ${y^2}$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए।
इसलिए,$(c - {g^2}) + (c - {f^2}) = 0$।
अतः,${g^2} + {f^2} = 2c$ प्राप्त होता है।

(D) माना वृत्त $S \equiv x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है। मूलबिंदु $O(0, 0)$ है।
स्पर्शरेखाएँ $OP$ और $OQ$ मूलबिंदु से खींची गई हैं।
स्पर्श बिंदु $P$ और $Q$ वृत्त पर स्थित हैं और रेखा $PQ$ स्पर्श जीवा है।
स्पर्श जीवा $PQ$ का समीकरण $T = 0$ है,जो $gx + fy + c = 0$ है।
वृत्त $S=0$ और रेखा $PQ=0$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण $S + \lambda(gx + fy + c) = 0$ है।
चूंकि यह वृत्त मूलबिंदु $(0, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $c + \lambda(c) = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\lambda = -1$।
$\lambda = -1$ रखने पर,$O, P, Q$ से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + gx + fy = 0$ प्राप्त होता है।
$\triangle OPQ$ का परिकेंद्र इस वृत्त का केंद्र है,जो $\left(-\frac{g}{2}, -\frac{f}{2}\right)$ है।
चूंकि यह मान दिए गए विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही उत्तर $(d)$ है।

(C) स्पर्श बिंदु ज्ञात करने के लिए,रेखा $x = 0$ के समीकरण को वृत्त $x^2 + y^2 - 2x - 6y + 9 = 0$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करें।
$x = 0$ रखने पर हमें प्राप्त होता है:
$(0)^2 + y^2 - 2(0) - 6y + 9 = 0$
$y^2 - 6y + 9 = 0$
इसे $(y - 3)^2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$y$ के लिए हल करने पर,हमें $y = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,स्पर्श बिंदु $(0, 3)$ है।

(A) वृत्त का समीकरण ${x^2} + {y^2} - 4y = 0$ है।
इसे ${x^2} + {(y - 2)^2} = 4$ के रूप में लिखने पर,केंद्र $(0, 2)$ और त्रिज्या $r = 2$ प्राप्त होती है।
रेखा $mx - y + c = 0$ के वृत्त को स्पर्श करने के लिए,केंद्र $(0, 2)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर होनी चाहिए।
$\frac{|m(0) - 2 + c|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 2$
$|c - 2| = 2\sqrt{1 + m^2}$
$c - 2 = \pm 2\sqrt{1 + m^2}$
$c = 2 \pm 2\sqrt{1 + m^2} = 2(1 \pm \sqrt{1 + m^2})$.

(A) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = 4$ है। स्पर्श बिंदु $P(1, \sqrt{3})$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $x + \sqrt{3}y = 4$ है।
यह स्पर्श रेखा $x$-अक्ष को $A(4, 0)$ पर काटती है।
अभिलंब का समीकरण $y = \sqrt{3}x$ है,जो मूल बिंदु $O(0, 0)$ से गुजरता है।
त्रिभुज के शीर्ष $O(0, 0)$,$P(1, \sqrt{3})$ और $A(4, 0)$ हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = \frac{1}{2} |0 + 0 + 4(-\sqrt{3})| = 2\sqrt{3}$ वर्ग इकाई।

(D) रेखा का समीकरण $x - y + a\sqrt{2} = 0$ है।
बिंदु $(h, k)$ पर वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $hx + ky = a^2$ है।
दी गई रेखा $x - y = -a\sqrt{2}$ की तुलना $hx + ky = a^2$ से करने पर:
$\frac{h}{1} = \frac{k}{-1} = \frac{a^2}{-a\sqrt{2}}$.
इससे,$h = -\frac{a}{\sqrt{2}}$ और $k = \frac{a}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
अतः,स्पर्श बिंदु $\left( -\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{a}{\sqrt{2}} \right)$ है।

(B) वृत्त $x^2 + y^2 = 5$ के बिंदु $(1, -2)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $xx_1 + yy_1 = r^2$ के अनुसार $x(1) + y(-2) = 5$ अर्थात $x - 2y = 5$ है।
दिए गए विकल्पों में से जो बिंदु $x - 2y = 5$ को संतुष्ट करता है,वही स्पर्श बिंदु है।
विकल्प $(B)$ के लिए,$(3, -1)$ रखने पर: $3 - 2(-1) = 3 + 2 = 5$।
अतः,सही उत्तर $(3, -1)$ है।

(A) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 3x - 6y - 10 = 0$ है। इसे सामान्य रूप $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,$g = -\frac{3}{2}$ और $f = -3$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (\frac{3}{2}, 3)$ है।
वृत्त के किसी भी बिंदु $(x_1, y_1)$ पर अभिलंब हमेशा वृत्त के केंद्र से होकर गुजरता है।
केंद्र $(\frac{3}{2}, 3)$ और बिंदु $(-3, 4)$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $m = \frac{4 - 3}{-3 - \frac{3}{2}} = \frac{1}{-\frac{9}{2}} = -\frac{2}{9}$ है।
बिंदु $(-3, 4)$ से गुजरने वाली और $m = -\frac{2}{9}$ ढाल वाली अभिलंब रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ है।
$y - 4 = -\frac{2}{9}(x + 3)$
$9(y - 4) = -2(x + 3)$
$9y - 36 = -2x - 6$
$2x + 9y - 30 = 0$.

(C) रेखा $y = x + c$,वृत्त $x^2 + y^2 = 1$ को दो संपाती बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है,जिसका अर्थ है कि रेखा वृत्त की स्पर्शरेखा है।
रेखा $y = mx + c$ के वृत्त $x^2 + y^2 = r^2$ की स्पर्शरेखा होने की शर्त $c^2 = r^2(1 + m^2)$ है।
यहाँ,$m = 1$ और $r^2 = 1$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $c^2 = 1(1 + 1^2) = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$c = \pm \sqrt{2}$।

(B) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = 25$ है,जो $x^2 + y^2 = a^2$ के रूप में है,जहाँ $a = 5$ है।
रेखा $y = mx + c$ के वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $c = \pm a\sqrt{1 + m^2}$ है।
$a = 5$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $c = \pm 5\sqrt{1 + m^2}$ प्राप्त होता है।
अतः,स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm 5\sqrt{1 + m^2}$ है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही रेखा $y = mx + 5\sqrt{1 + m^2}$ है।

(B) वृत्त का समीकरण $ax^2 + ay^2 = r^2$ है।
$a$ से विभाजित करने पर,हमें मानक रूप प्राप्त होता है: $x^2 + y^2 - \frac{r^2}{a} = 0$।
बिंदु $(\alpha, \beta)$ से वृत्त $S = x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ पर खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई का वर्ग $S_1 = \alpha^2 + \beta^2 + 2g\alpha + 2f\beta + c$ द्वारा दिया जाता है।
हमारे समीकरण से मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $S_1 = \alpha^2 + \beta^2 - \frac{r^2}{a}$ प्राप्त होता है।

(C) वृत्त के किसी भी बिंदु पर अभिलंब हमेशा वृत्त के केंद्र से होकर गुजरता है।
दिया गया अभिलंब समीकरण $y - x + 3 = 0$ है।
वृत्त $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ के लिए,केंद्र $(h, k)$ होता है।
विकल्प $(c)$ के लिए,वृत्त $(x - 3)^2 + y^2 = 9$ है,जिसका केंद्र $(3, 0)$ है।
केंद्र $(3, 0)$ को अभिलंब समीकरण में रखने पर:
$0 - 3 + 3 = 0$।
चूंकि केंद्र समीकरण को संतुष्ट करता है,इसलिए विकल्प $(c)$ सही वृत्त है।

(C) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 2x - 4y + 3 = 0$ है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ पर वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c' = 0$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $xx_1 + yy_1 + g(x + x_1) + f(y + y_1) + c' = 0$ होता है।
दिए गए वृत्त की तुलना मानक रूप से करने पर,$g = -1$,$f = -2$,और $c' = 3$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(2, 3)$ को स्पर्श रेखा के सूत्र में रखने पर:
$x(2) + y(3) - 1(x + 2) - 2(y + 3) + 3 = 0$
$2x + 3y - x - 2 - 2y - 6 + 3 = 0$
$x + y - 5 = 0$
इसे $y = mx + c$ के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$y = -x + 5$
इसकी तुलना $y = mx + c$ से करने पर,$c = 5$ प्राप्त होता है।

(A) माना वृत्त $S: x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
बिंदु $P(x_1, y_1)$ से वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{S_1}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $S_1$ बिंदु $P$ के निर्देशांकों को वृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त मान है।
अतः,स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c}$ है।

(C) वृत्त $x^2 + y^2 = r^2$ के बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $xx_1 + yy_1 = r^2$ होता है।
चूँकि बिंदु $(a, b)$ दिया गया है,स्पर्श रेखा का समीकरण $ax + by = r^2$ होगा।
इसे $ax + by - r^2 = 0$ के रूप में लिखने पर,दिए गए समीकरण $ax + by - \lambda = 0$ से तुलना करने पर,
अतः,$\lambda = r^2$ प्राप्त होता है।

(B) वृत्त का केंद्र $C(-6, 8)$ है।
चूंकि वृत्त मूल बिंदु $O(0, 0)$ से होकर गुजरता है,त्रिज्या $OC$ वह रेखाखंड है जो $(0, 0)$ और $(-6, 8)$ को जोड़ता है।
त्रिज्या $OC$ की ढाल $m_{radius} = \frac{8 - 0}{-6 - 0} = -\frac{4}{3}$ है।
मूल बिंदु पर स्पर्श रेखा त्रिज्या $OC$ के लंबवत होती है।
इसलिए,स्पर्श रेखा की ढाल $m_{tangent} = -\frac{1}{m_{radius}} = \frac{3}{4}$ है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरने वाली और $\frac{3}{4}$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = \frac{3}{4}x$ अर्थात $3x - 4y = 0$ है।

(B) वृत्त का केंद्र $C$ $(-g, -f)$ है और त्रिज्या $r$ $\sqrt{g^2 + f^2 - c}$ है।
माना $O$ मूल बिंदु $(0, 0)$ है। मूल बिंदु से वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई $OA = \sqrt{S_1}$ है,जहाँ $S_1$ $(0, 0)$ पर वृत्त के समीकरण का मान है।
अतः,$OA = \sqrt{0^2 + 0^2 + 2g(0) + 2f(0) + c} = \sqrt{c}$.
समकोण त्रिभुज $\Delta OAC$ में,$\angle OAC = 90^\circ$ है क्योंकि स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है।
$\Delta OAC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times OA \times AC = \frac{1}{2} \times \sqrt{c} \times \sqrt{g^2 + f^2 - c}$.
चतुर्भुज $OACB$ दो सर्वांगसम त्रिभुजों $\Delta OAC$ और $\Delta OBC$ से बना है।
इसलिए,चतुर्भुज $OACB$ का क्षेत्रफल $= 2 \times \text{Area}(\Delta OAC) = 2 \times \frac{1}{2} \times \sqrt{c} \times \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{c(g^2 + f^2 - c)}$.

(D) वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ के बिंदु $(a \cos \alpha, a \sin \alpha)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $x(a \cos \alpha) + y(a \sin \alpha) = a^2$ होता है।
इसे $y = mx + c$ के रूप में लिखने पर,$y = -\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} x + \frac{a}{\sin \alpha}$ प्राप्त होता है।
अतः,स्पर्श रेखा की प्रवणता $m = - \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = - \cot \alpha$ है।

(C) $(0, a)$ और $(0, -a)$ से गुजरने वाले किसी भी वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + \lambda x - a^2 = 0$ के रूप का होता है।
यह वृत्त रेखा $mx - y + c = 0$ को स्पर्श करता है। केंद्र $(-\lambda/2, 0)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $r = \sqrt{(\lambda/2)^2 + a^2}$ के बराबर है।
अतः,$\frac{|m(-\lambda/2) - 0 + c|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{\frac{\lambda^2}{4} + a^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{(c - m\lambda/2)^2}{m^2 + 1} = \frac{\lambda^2}{4} + a^2$.
$(c - m\lambda/2)^2 = (m^2 + 1)(\frac{\lambda^2}{4} + a^2)$.
$c^2 - mc\lambda + \frac{m^2\lambda^2}{4} = \frac{m^2\lambda^2}{4} + m^2a^2 + \frac{\lambda^2}{4} + a^2$.
$\frac{\lambda^2}{4} + mc\lambda + (a^2(m^2 + 1) - c^2) = 0$.
यह $\lambda$ में एक द्विघात समीकरण है,जो $\lambda_1$ और $\lambda_2$ मापदंडों वाले दो वृत्त देता है। इन वृत्तों के लंबकोणीय होने के लिए,$2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$.
यहाँ,$g_1 = \lambda_1/2, g_2 = \lambda_2/2, f_1 = 0, f_2 = 0, c_1 = -a^2, c_2 = -a^2$.
अतः,$2(\frac{\lambda_1}{2})(\frac{\lambda_2}{2}) = -a^2 - a^2$ $\Rightarrow \frac{\lambda_1\lambda_2}{2} = -2a^2$ $\Rightarrow \lambda_1\lambda_2 = -4a^2$.
द्विघात समीकरण से,मूलों का गुणनफल $\lambda_1\lambda_2 = 4(a^2(m^2 + 1) - c^2)$.
दोनों की तुलना करने पर: $4(a^2(m^2 + 1) - c^2) = -4a^2$.
$a^2(m^2 + 1) - c^2 = -a^2$.
$c^2 = a^2(m^2 + 1 + 1) = a^2(m^2 + 2)$.

(B) दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 + 4x - 4y + 4 = 0$ है।
केंद्र $(-2, 2)$ और त्रिज्या $r = 2$ है।
धनात्मक अक्षों पर समान अंतःखंड बनाने वाली रेखा का समीकरण $x + y = a$ $(a > 0)$ है।
केंद्र से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या के बराबर होनी चाहिए,अतः $\left| \frac{-2 + 2 - a}{\sqrt{2}} \right| = 2$.
$|-a| = 2\sqrt{2}$,इसलिए $a = 2\sqrt{2}$.
अतः,स्पर्श रेखा का समीकरण $x + y = 2\sqrt{2}$ है।

(C) माना $P = (\alpha, \beta)$ एक बाहरी बिंदु है और $C$ वृत्त का केंद्र $(0, 0)$ है। माना $P$ से खींची गई स्पर्श रेखाएं वृत्त को $T_1$ और $T_2$ पर स्पर्श करती हैं।
समकोण त्रिभुज $\triangle PT_1C$ में,कोण $\angle CPT_1 = \theta$ है (जहाँ $2\theta$ स्पर्श रेखाओं के बीच का कुल कोण है)।
हमारे पास $CT_1 = a$ (त्रिज्या) और $PT_1 = \sqrt{OP^2 - CT_1^2} = \sqrt{\alpha^2 + \beta^2 - a^2}$ है।
अतः,$\tan \theta = \frac{CT_1}{PT_1} = \frac{a}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2 - a^2}}$.
इसलिए,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{a}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2 - a^2}}\right)$.
स्पर्श रेखाओं के बीच का कुल कोण $2\theta = 2\tan^{-1}\left(\frac{a}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2 - a^2}}\right)$ है।

(D) दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0$ है। केंद्र $(1, 2)$ और त्रिज्या $r = 3$ है।
$3x - 4y - 1 = 0$ के लंबवत रेखा का रूप $4x + 3y + k = 0$ है।
केंद्र $(1, 2)$ से स्पर्श रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $3$ के बराबर होनी चाहिए।
$\frac{|4(1) + 3(2) + k|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = 3 \implies |10 + k| = 15$.
अतः $k = 5$ या $k = -25$.
इसलिए,स्पर्श रेखा का समीकरण $4x + 3y - 25 = 0$ है।

(B) माना स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x}{x_1} + \frac{y}{y_1} = 1$ है। इस रेखा द्वारा निर्देशांक अक्षों के साथ बने त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1 y_1| = a^2$ है,इसलिए $|x_1 y_1| = 2a^2$।
रेखा का समीकरण $y_1 x + x_1 y - x_1 y_1 = 0$ है।
चूंकि यह रेखा वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ की स्पर्श रेखा है,इसलिए मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $a$ के बराबर होनी चाहिए:
$\frac{|-x_1 y_1|}{\sqrt{y_1^2 + x_1^2}} = a$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{x_1^2 y_1^2}{x_1^2 + y_1^2} = a^2$
$x_1^2 y_1^2 = (2a^2)^2 = 4a^4$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{4a^4}{x_1^2 + y_1^2} = a^2 \implies x_1^2 + y_1^2 = 4a^2$।
हमें $|x_1 y_1| = 2a^2$ और $x_1^2 + y_1^2 = 4a^2$ प्राप्त होता है।
$(|x_1| + |y_1|)^2 = x_1^2 + y_1^2 + 2|x_1 y_1| = 4a^2 + 4a^2 = 8a^2 \implies |x_1| + |y_1| = 2a\sqrt{2}$।
$(|x_1| - |y_1|)^2 = x_1^2 + y_1^2 - 2|x_1 y_1| = 4a^2 - 4a^2 = 0 \implies |x_1| = |y_1|$।
अतः,$|x_1| = |y_1| = a\sqrt{2}$।
इन मानों को अंतःखंड रूप $\frac{x}{x_1} + \frac{y}{y_1} = 1$ में रखने पर,हमें $x \pm y = \pm a\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।