उस वृत्त का समीकरण क्या है जो मूल बिंदु से हो | vedclass

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Question

(C) माना वृत्त का समीकरण ${x^2} + {y^2} + 2gx + 2fy = 0$ है क्योंकि यह मूल बिंदु $(0, 0)$ से होकर गुजरता है।चूंकि केंद्र $(-g, -f)$ रेखा $x + y = 4$ प

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${x^2} + {y^2} - 4x - 4y = 0$

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(C) माना वृत्त का समीकरण ${x^2} + {y^2} + 2gx + 2fy = 0$ है क्योंकि यह मूल बिंदु $(0, 0)$ से होकर गुजरता है।चूंकि केंद्र $(-g, -f)$ रेखा $x + y = 4$ पर स्थित है,इसलिए $-g - f = 4$,या $g + f = -4$ ... $(i)$।वृत्त ${x^2} + {y^2} - 4x + 2y + 4 = 0$ को लंबकोणीय काटता है। लंबकोणीय होने की शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ है।यहाँ,$g_1 = g, f_1 = f, c_1 = 0$ और $g_2 = -2, f_2 = 1, c_2 = 4$ है।अतः,$2(g)(-2) + 2(f)(1) = 0 + 4$,जो $-4g + 2f = 4$,या $-2g + f = 2$ ... $(ii)$ में सरल हो जाता है।$(i)$ में से $(ii)$ को घटाने पर: $(g + f) - (-2g + f) = -4 - 2$,जिससे $3g = -6$ प्राप्त होता है,अतः $g = -2$।$g = -2$ को $(i)$ में रखने पर: $-2 + f = -4$,अतः $f = -2$।वृत्त का समीकरण ${x^2} + {y^2} + 2(-2)x + 2(-2)y = 0$ है,जो ${x^2} + {y^2} - 4x - 4y = 0$ है।

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उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी त्रिज्या $3$ है और जो वृत्त $x^2+y^2-4x-6y-12=0$ को $(-1,-1)$ पर आंतरिक रूप से स्पर्श करता है।

$(x \pm 1)^2 + (y \pm 1)^2 = 1$ को स्पर्श करने वाले सबसे बड़े और सबसे छोटे वृत्तों के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

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