System of circles Questions in Hindi

(B) वृत्तों के दिए गए समीकरण हैं:
$x^2 + y^2 = 2ax$ ... $(i)$
$x^2 + y^2 = 2by$ ... $(ii)$
$(i)$ में से $(ii)$ को घटाने पर:
$2ax - 2by = 0 \implies ax = by \implies y = \frac{a}{b}x$
$y = \frac{a}{b}x$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 + \left( \frac{a}{b}x \right)^2 = 2ax$
$x^2 + \frac{a^2}{b^2}x^2 = 2ax$
$x^2 \left( \frac{a^2 + b^2}{b^2} \right) = 2ax$
$x \left[ x \left( \frac{a^2 + b^2}{b^2} \right) - 2a \right] = 0$
इससे $x = 0$ या $x = \frac{2ab^2}{a^2 + b^2}$ प्राप्त होता है।
यदि $x = 0$,तो $y = 0$।
यदि $x = \frac{2ab^2}{a^2 + b^2}$,तो $y = \frac{2a^2b}{a^2 + b^2}$।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 0)$ और $\left( \frac{2ab^2}{a^2 + b^2}, \frac{2a^2b}{a^2 + b^2} \right)$ हैं।

(B) दो वृत्तों $S_1 = 0$ और $S_2 = 0$ की मूलाक्ष का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है,बशर्ते $x^2$ और $y^2$ के गुणांक $1$ हों।
दिए गए वृत्त:
$S_1: x^2 + y^2 + x - y + 2 = 0$
$S_2: 3x^2 + 3y^2 - 4x - 12 = 0$
$S_2$ को $3$ से विभाजित करने पर:
$S_2': x^2 + y^2 - \frac{4}{3}x - 4 = 0$
अब,$S_1 - S_2' = 0$ ज्ञात करने पर:
$(x^2 + y^2 + x - y + 2) - (x^2 + y^2 - \frac{4}{3}x - 4) = 0$
$\frac{7}{3}x - y + 6 = 0$
$3$ से गुणा करने पर:
$7x - 3y + 18 = 0$

(C) दो वृत्तों के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्तों का परिवार $S_1 + \lambda S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरणों को प्रतिस्थापित करने पर: $(x^2 + y^2 - 6x + 2y + 4) + \lambda(x^2 + y^2 + 2x - 4y - 6) = 0$.
केंद्र $(\frac{3 - \lambda}{1 + \lambda}, \frac{2\lambda - 1}{1 + \lambda})$ प्राप्त होता है।
चूंकि केंद्र $y = x$ पर स्थित है,इसलिए $\frac{3 - \lambda}{1 + \lambda} = \frac{2\lambda - 1}{1 + \lambda}$.
अतः $3 - \lambda = 2\lambda - 1$,जिससे $\lambda = \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।
समीकरण में $\lambda = \frac{4}{3}$ रखने पर,$7x^2 + 7y^2 - 10x - 10y - 12 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) वृत्त का सामान्य समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
प्रथम वृत्त $x^2 + y^2 - 2ax + c = 0$ के लिए,$g_1 = -a$,$f_1 = 0$,और $c_1 = c$ है।
दूसरे वृत्त $x^2 + y^2 + 2by + 2\lambda = 0$ के लिए,$g_2 = 0$,$f_2 = b$,और $c_2 = 2\lambda$ है।
दो वृत्तों के लंबकोणीय प्रतिच्छेद करने की शर्त $2(g_1g_2 + f_1f_2) = c_1 + c_2$ है।
मान रखने पर,$2((-a)(0) + (0)(b)) = c + 2\lambda$ प्राप्त होता है।
$0 = c + 2\lambda$.
अतः,$2\lambda = -c$,जिसका अर्थ है $\lambda = -\frac{c}{2}$।
अतः सही विकल्प $D$ है।

(C) दो वृत्तों $S_1 = 0$ और $S_2 = 0$ का मूलाक्ष $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $S_1: x^2 + y^2 - 144 = 0$ और $S_2: x^2 + y^2 - 15x + 12y = 0$।
$S_1$ में से $S_2$ को घटाने पर:
$(x^2 + y^2 - 144) - (x^2 + y^2 - 15x + 12y) = 0$
$15x - 12y - 144 = 0$
पूरे समीकरण को $3$ से विभाजित करने पर:
$5x - 4y - 48 = 0$
$5x - 4y = 48$.

(D) दो वृत्त $x^2 + y^2 + 2g_1x + 2f_1y + c_1 = 0$ और $x^2 + y^2 + 2g_2x + 2f_2y + c_2 = 0$ लंबकोणीय प्रतिच्छेद करते हैं यदि $2(g_1g_2 + f_1f_2) = c_1 + c_2$ हो।
दिए गए वृत्तों के लिए:
वृत्त $1$: $g_1 = \lambda, f_1 = 3, c_1 = 1$
वृत्त $2$: $g_2 = 2, f_2 = 1, c_2 = 0$
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$2(\lambda \times 2 + 3 \times 1) = 1 + 0$
$2(2\lambda + 3) = 1$
$4\lambda + 6 = 1$
$4\lambda = -5$
$\lambda = \frac{-5}{4}$.

(C) वृत्त का सामान्य समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
प्रथम वृत्त $x^2 + y^2 + kx + 4y + 2 = 0$ के लिए,$g_1 = \frac{k}{2}$,$f_1 = 2$,और $c_1 = 2$ है।
दूसरे वृत्त को $2$ से विभाजित करने पर $x^2 + y^2 - 2x - \frac{3}{2}y + \frac{k}{2} = 0$ प्राप्त होता है। अतः,$g_2 = -1$,$f_2 = -\frac{3}{4}$,और $c_2 = \frac{k}{2}$ है।
दो वृत्तों के लंबकोणीय प्रतिच्छेदन की शर्त $2(g_1g_2 + f_1f_2) = c_1 + c_2$ है।
मान रखने पर: $2\left[\left(\frac{k}{2}\right)(-1) + (2)\left(-\frac{3}{4}\right)\right] = 2 + \frac{k}{2}$.
$2\left[-\frac{k}{2} - \frac{3}{2}\right] = 2 + \frac{k}{2}$.
$-k - 3 = 2 + \frac{k}{2}$.
$-5 = \frac{3k}{2}$.
$k = -\frac{10}{3}$.

(A) वृत्त का सामान्य समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
पहले वृत्त $x^2 + y^2 - 2x + 22y + 5 = 0$ के लिए,$g_1 = -1$,$f_1 = 11$,और $c_1 = 5$ है।
दूसरे वृत्त $x^2 + y^2 + 14x + 6y + k = 0$ के लिए,$g_2 = 7$,$f_2 = 3$,और $c_2 = k$ है।
दो वृत्त लंबकोणीय रूप से प्रतिच्छेद करते हैं यदि $2(g_1g_2 + f_1f_2) = c_1 + c_2$ हो।
मान रखने पर,$2((-1)(7) + (11)(3)) = 5 + k$ प्राप्त होता है।
$2(-7 + 33) = 5 + k$।
$2(26) = 5 + k$।
$52 = 5 + k$।
$k = 52 - 5 = 47$।

(B) माना बिंदु $(h, k)$ है। वृत्त $S = 0$ पर बिंदु $(h, k)$ से स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{S(h, k)}$ होती है।
चूँकि स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान है,इसलिए तीनों वृत्तों के सापेक्ष बिंदु की शक्ति समान होनी चाहिए।
$S_1 = x^2 + y^2 - 1 = 0$,$S_2 = x^2 + y^2 + 8x + 15 = 0$,और $S_3 = x^2 + y^2 + 10y + 24 = 0$ लें।
$S_1 = S_2$ को बराबर करने पर:
$x^2 + y^2 - 1 = x^2 + y^2 + 8x + 15$
$-1 = 8x + 15$ $\Rightarrow 8x = -16$ $\Rightarrow x = -2$.
$S_1 = S_3$ को बराबर करने पर:
$x^2 + y^2 - 1 = x^2 + y^2 + 10y + 24$
$-1 = 10y + 24$ $\Rightarrow 10y = -25$ $\Rightarrow y = -\frac{5}{2}$.
अतः,अभीष्ट बिंदु $\left( -2, -\frac{5}{2} \right)$ है।

(A) माना वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
चूंकि यह $(2a, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $4a^2 + 4ag + c = 0$ ... $(i)$.
वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ और $x^2 + y^2 - a^2 = 0$ का मूल अक्ष $(2gx + 2fy + c) - (-a^2) = 0$ है,जो $2gx + 2fy + c + a^2 = 0$ में सरल होता है।
दिया गया मूल अक्ष $x - \frac{a}{2} = 0$ है,गुणांकों की तुलना करने पर:
$\frac{2g}{1} = \frac{2f}{0} = \frac{c + a^2}{-a/2}$.
$\frac{2f}{0}$ से,$f = 0$ प्राप्त होता है।
$\frac{2g}{1} = \frac{c + a^2}{-a/2}$ से,$c + a^2 = -ag$ या $ag + c + a^2 = 0$ ... $(ii)$.
$(i)$ में से $(ii)$ घटाने पर: $3a^2 + 3ag = 0 \Rightarrow g = -a$.
$g = -a$ को $(ii)$ में रखने पर: $c = 0$.
अतः,वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 2ax = 0$ है।

(A) वृत्त $x^2 + y^2 - 2x = 0$ और रेखा $y - x = 0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरने वाले किसी भी वृत्त का समीकरण है:
$x^2 + y^2 - 2x + \lambda(y - x) = 0$
$x^2 + y^2 - (2 + \lambda)x + \lambda y = 0$
इस वृत्त का केंद्र $\left( \frac{2 + \lambda}{2}, -\frac{\lambda}{2} \right)$ है।
चूंकि $AB$ व्यास है,इसलिए वृत्त का केंद्र रेखा $y = x$ पर स्थित होना चाहिए।
केंद्र के निर्देशांकों को $y = x$ में रखने पर:
$-\frac{\lambda}{2} = \frac{2 + \lambda}{2}
-\lambda = 2 + \lambda
2\lambda = -2
\lambda = -1$
$\lambda = -1$ को समीकरण में रखने पर:
$x^2 + y^2 - (2 - 1)x - 1y = 0$
$x^2 + y^2 - x - y = 0$.

(A) वृत्तों की प्रणाली का समीकरण ${x^2} + {y^2} + 2gx + c = 0$ है।
इस प्रणाली की मूल अक्ष (radical axis) प्रणाली के किन्हीं दो वृत्तों के समीकरणों को घटाकर प्राप्त की जाती है,जो $y$-अक्ष $(x = 0)$ है।
मूल अक्ष के साथ वृत्तों के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण में $x = 0$ प्रतिस्थापित करते हैं:
${0^2} + {y^2} + 2g(0) + c = 0$
${y^2} = -c$
$y = \pm \sqrt{-c}$.
चूंकि $c < 0$ है,इसलिए $-c$ धनात्मक है,जिसका अर्थ है कि $\sqrt{-c}$ एक वास्तविक संख्या है।
अतः,वृत्त मूल अक्ष को दो अलग-अलग वास्तविक बिंदुओं $(0, \sqrt{-c})$ और $(0, -\sqrt{-c})$ पर काटते हैं।
इसलिए,यह प्रणाली प्रतिच्छेदी वृत्तों को दर्शाती है।

(B) रेखा $Ax + By + C = 0$ और वृत्त $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण:
$x^2 + y^2 + ax + by + c + \lambda(Ax + By + C) = 0$ ... $(i)$
इसी प्रकार,रेखा $A'x + B'y + C' = 0$ और वृत्त $x^2 + y^2 + a'x + b'y + c' = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण:
$x^2 + y^2 + a'x + b'y + c' + \mu(A'x + B'y + C') = 0$ ... $(ii)$
चूंकि $P, Q, R$ और $S$ एक ही वृत्त पर स्थित हैं,समीकरण $(i)$ और $(ii)$ एक ही वृत्त को दर्शाते हैं। गुणांकों की तुलना करने पर:
$a + \lambda A = a' + \mu A' \implies (a - a') + \lambda A - \mu A' = 0$
$b + \lambda B = b' + \mu B' \implies (b - b') + \lambda B - \mu B' = 0$
$c + \lambda C = c' + \mu C' \implies (c - c') + \lambda C - \mu C' = 0$
निश्चित रूप से सारणिक का मान शून्य होना चाहिए:
$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{a - a'}&A&{A'}\\{b - b'}&B&{B'}\\{c - c'}&C&{C'}\end{array}} \right| = 0$
अतः,$D = 0$.

(D) माना वृत्त का समीकरण $(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = r^2$ है।
इस वृत्त का केंद्र $C_1 = (4, 3)$ और त्रिज्या $r$ है।
दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 = 1$ है,जिसका केंद्र $C_2 = (0, 0)$ और त्रिज्या $R = 1$ है।
चूंकि वृत्त आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं,इसलिए उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के अंतर के बराबर होनी चाहिए:
$C_1C_2 = |R - r|$
दूरी $C_1C_2 = \sqrt{(4 - 0)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$.
अतः,$5 = |1 - r|$.
इससे $1 - r = 5$ या $1 - r = -5$ प्राप्त होता है।
$r = -4$ (संभव नहीं) या $r = 6$.
अतः,समीकरण $(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 6^2$ है।
$x^2 - 8x + 16 + y^2 - 6y + 9 = 36$.
$x^2 + y^2 - 8x - 6y - 11 = 0$.

(A) दो वृत्तों $x^2 + y^2 + 2g_1x + 2f_1y + c_1 = 0$ और $x^2 + y^2 + 2g_2x + 2f_2y + c_2 = 0$ के लंबकोणीय प्रतिच्छेदन की शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ है।
दिए गए समीकरणों की तुलना मानक रूप से करने पर:
$2g_1 = a \implies g_1 = \frac{a}{2}$,$2f_1 = b \implies f_1 = \frac{b}{2}$,$c_1 = c$.
$2g_2 = d \implies g_2 = \frac{d}{2}$,$2f_2 = e \implies f_2 = \frac{e}{2}$,$c_2 = f$.
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$2(\frac{a}{2})(\frac{d}{2}) + 2(\frac{b}{2})(\frac{e}{2}) = c + f$
$\frac{ad}{2} + \frac{be}{2} = c + f$
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर:
$ad + be = 2(c + f)$.

(C) माना वृत्तों के समीकरण इस प्रकार हैं:
$S_1: x^2 + y^2 - a^2 = 0$
$S_2: x^2 + y^2 - 2cx + c^2 - a^2 = 0$
$S_3: x^2 + y^2 - 2by + b^2 - a^2 = 0$
$S_1$ और $S_2$ की मूलाक्ष रेखा $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दी जाती है:
$(x^2 + y^2 - a^2) - (x^2 + y^2 - 2cx + c^2 - a^2) = 0$
$2cx - c^2 = 0 \implies x = c/2$
$S_1$ और $S_3$ की मूलाक्ष रेखा $S_1 - S_3 = 0$ द्वारा दी जाती है:
$(x^2 + y^2 - a^2) - (x^2 + y^2 - 2by + b^2 - a^2) = 0$
$2by - b^2 = 0 \implies y = b/2$
मूलाक्ष केंद्र इन मूलाक्ष रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है,जो $(c/2, b/2)$ है।

(A) वृत्तों के दिए गए समीकरण हैं:
$S_1: x^2 + y^2 - x + 1 = 0$
$S_2: 3(x^2 + y^2) + y - 1 = 0$
मूलाक्ष ज्ञात करने के लिए,हम समीकरणों को सामान्यीकृत करते हैं ताकि $x^2$ और $y^2$ के गुणांक समान हों।
$S_1$ को $3$ से गुणा करने पर:
$3x^2 + 3y^2 - 3x + 3 = 0$
अब,पहले समीकरण से दूसरे समीकरण को घटाने पर:
$(3x^2 + 3y^2 - 3x + 3) - (3x^2 + 3y^2 + y - 1) = 0$
$-3x - y + 3 + 1 = 0$
$-3x - y + 4 = 0$
$-1$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$3x + y - 4 = 0$

(A) दो वृत्तों $x^2 + y^2 + 2g_1x + 2f_1y + c_1 = 0$ और $x^2 + y^2 + 2g_2x + 2f_2y + c_2 = 0$ के लंबकोणीय प्रतिच्छेद करने की शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ है।
दिए गए वृत्तों के लिए:
$g_1 = 1, f_1 = k, c_1 = 6$
$g_2 = 0, f_2 = k, c_2 = k$
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$2(1)(0) + 2(k)(k) = 6 + k$
$0 + 2k^2 = 6 + k$
$2k^2 - k - 6 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$2k^2 - 4k + 3k - 6 = 0$
$2k(k - 2) + 3(k - 2) = 0$
$(2k + 3)(k - 2) = 0$
अतः,$k = 2$ या $k = -3/2$.

(C) दिए गए वृत्त $2x^2 + 2y^2 - 3x + 6y + k = 0$ और $x^2 + y^2 - 4x + 10y + 16 = 0$ हैं।
पहले समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर,हमें $x^2 + y^2 - \frac{3}{2}x + 3y + \frac{k}{2} = 0 \dots (i)$ प्राप्त होता है।
दूसरा समीकरण $x^2 + y^2 - 4x + 10y + 16 = 0 \dots (ii)$ है।
दो वृत्तों $x^2 + y^2 + 2g_1x + 2f_1y + c_1 = 0$ और $x^2 + y^2 + 2g_2x + 2f_2y + c_2 = 0$ के लंबकोणीय प्रतिच्छेद करने की शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ है।
यहाँ,$g_1 = -\frac{3}{4}$,$f_1 = \frac{3}{2}$,$c_1 = \frac{k}{2}$ और $g_2 = -2$,$f_2 = 5$,$c_2 = 16$ है।
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$2(-\frac{3}{4})(-2) + 2(\frac{3}{2})(5) = \frac{k}{2} + 16$.
$3 + 15 = \frac{k}{2} + 16$.
$18 = \frac{k}{2} + 16$.
$\frac{k}{2} = 2$.
$k = 4$.

(B) दो वृत्तों $S_1 = 0$ और $S_2 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $S_1 + \lambda S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$S_1 = x^2 + y^2 - 6 = 0$ और $S_2 = x^2 + y^2 - 6x + 8 = 0$ है।
समीकरण $(x^2 + y^2 - 6) + \lambda(x^2 + y^2 - 6x + 8) = 0$ है।
चूंकि वृत्त बिंदु $(1, 1)$ से गुजरता है,हम $x = 1$ और $y = 1$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$(1^2 + 1^2 - 6) + \lambda(1^2 + 1^2 - 6(1) + 8) = 0$
$(2 - 6) + \lambda(2 - 6 + 8) = 0$
$-4 + \lambda(4) = 0$
$4\lambda = 4 \implies \lambda = 1$.
$\lambda = 1$ को समीकरण में रखने पर:
$(x^2 + y^2 - 6) + 1(x^2 + y^2 - 6x + 8) = 0$
$2x^2 + 2y^2 - 6x + 2 = 0$
$2$ से विभाजित करने पर,हमें $x^2 + y^2 - 3x + 1 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) कथन $(A)$ के लिए : दो वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy = 0$ और $x^2 + y^2 + 2g'x + 2f'y = 0$ एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं यदि उनके केंद्रों $(C_1, C_2)$ के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग या अंतर $(r_1 \pm r_2)$ के बराबर हो।
केंद्र $C_1(-g, -f)$ और $C_2(-g', -f')$ हैं। त्रिज्याएँ $r_1 = \sqrt{g^2 + f^2}$ और $r_2 = \sqrt{g'^2 + f'^2}$ हैं।
शर्त $C_1C_2^2 = (r_1 \pm r_2)^2$ है।
गणना करने पर हमें $(gf' - fg')^2 = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $gf' = fg'$.
अतः,कथन $(A)$ सत्य है।
कथन $(R)$ के लिए : दो स्पर्श करने वाले वृत्तों के केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा स्पर्श बिंदु पर उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा के लंबवत होती है,न कि सभी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं के। अतः,कथन $(R)$ असत्य है।

(C) दो वृत्तों $x^2 + y^2 + 2g_1x + 2f_1y + c_1 = 0$ और $x^2 + y^2 + 2g_2x + 2f_2y + c_2 = 0$ के लंबवत प्रतिच्छेद करने की शर्त $2(g_1g_2 + f_1f_2) = c_1 + c_2$ है।
दिए गए समीकरणों की तुलना मानक रूप से करने पर:
पहले वृत्त के लिए: $2g_1 = 5 \Rightarrow g_1 = 5/2$,$2f_1 = 3 \Rightarrow f_1 = 3/2$,$c_1 = 7$.
दूसरे वृत्त के लिए: $2g_2 = -8 \Rightarrow g_2 = -4$,$2f_2 = 6 \Rightarrow f_2 = 3$,$c_2 = k$.
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$2((5/2)(-4) + (3/2)(3)) = 7 + k$
$2(-10 + 9/2) = 7 + k$
$2(-20/2 + 9/2) = 7 + k$
$2(-11/2) = 7 + k$
$-11 = 7 + k$
$k = -11 - 7 = -18$.

(B) दो वृत्तों की उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण दोनों वृत्तों के समीकरणों को घटाकर प्राप्त किया जाता है: $(x^2 + y^2 + 4x + 22y + c) - (x^2 + y^2 - 2x + 8y - d) = 0$.
यह सरल होकर $6x + 14y + c + d = 0$ हो जाता है।
यदि एक वृत्त दूसरे वृत्त की परिधि को समद्विभाजित करता है,तो उभयनिष्ठ जीवा को दूसरे वृत्त के केंद्र से होकर गुजरना चाहिए।
दूसरे वृत्त $x^2 + y^2 - 2x + 8y - d = 0$ का केंद्र $(1, -4)$ है।
उभयनिष्ठ जीवा के समीकरण में $(1, -4)$ रखने पर: $6(1) + 14(-4) + c + d = 0$.
$6 - 56 + c + d = 0$.
$c + d = 50$.

(B) वृत्तों $S_1 = 0$ और $S_2 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले किसी भी वृत्त का समीकरण $S_1 + \lambda S_2 = 0$ होता है।
अतः,अभीष्ट वृत्त का समीकरण:
$(x^{2} + y^{2} - 8x - 2y + 7) + \lambda (x^{2} + y^{2} - 4x + 10y + 8) = 0 \dots (i)$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$x^{2}(1 + \lambda) + y^{2}(1 + \lambda) - x(8 + 4\lambda) - y(2 - 10\lambda) + (7 + 8\lambda) = 0$
$(1 + \lambda)$ से भाग देने पर:
$x^{2} + y^{2} - x\left(\frac{8 + 4\lambda}{1 + \lambda}\right) - y\left(\frac{2 - 10\lambda}{1 + \lambda}\right) + \frac{7 + 8\lambda}{1 + \lambda} = 0$
इस वृत्त का केंद्र $\left(\frac{4 + 2\lambda}{1 + \lambda}, \frac{1 - 5\lambda}{1 + \lambda}\right)$ है।
चूंकि केंद्र $y-$ अक्ष पर स्थित है,इसलिए इसका $x-$ निर्देशांक $0$ होगा:
$\frac{4 + 2\lambda}{1 + \lambda} = 0 \implies 4 + 2\lambda = 0 \implies \lambda = -2$.
समीकरण $(i)$ में $\lambda = -2$ रखने पर:
$(x^{2} + y^{2} - 8x - 2y + 7) - 2(x^{2} + y^{2} - 4x + 10y + 8) = 0$
$x^{2} + y^{2} - 8x - 2y + 7 - 2x^{2} - 2y^{2} + 8x - 20y - 16 = 0$
$-x^{2} - y^{2} - 22y - 9 = 0$
$x^{2} + y^{2} + 22y + 9 = 0$.

(C) वह बिंदु जहाँ से तीन वृत्तों पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान होती है,उसे तीन वृत्तों का मूल केंद्र (Radical Center) कहा जाता है।
दिए गए समीकरण:
$S_1: x^2 + y^2 - 8x + 40 = 0$
$S_2: x^2 + y^2 - 5x + 16 = 0$ ($5$ से विभाजित करने पर)
$S_3: x^2 + y^2 - 8x + 16y + 160 = 0$
$S_1$ और $S_2$ का मूल अक्ष $S_1 - S_2 = 0 \implies (-8x + 5x) + (40 - 16) = 0 \implies -3x + 24 = 0 \implies x = 8$.
$S_1$ और $S_3$ का मूल अक्ष $S_1 - S_3 = 0 \implies (-8x + 8x) - 16y + (40 - 160) = 0 \implies -16y - 120 = 0 \implies y = -\frac{120}{16} = -\frac{15}{2}$.
अतः,मूल केंद्र $\left( 8, -\frac{15}{2} \right)$ है।

(B) वृत्तों के केंद्र $O_1(0, 0)$ और $O_2(h, 0)$ हैं और दोनों की त्रिज्या $r = 1$ है।
मान लीजिए कि अनुप्रस्थ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा वृत्तों को $A$ और $B$ पर स्पर्श करती है और केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा को $P$ पर काटती है।
चूंकि त्रिज्याएं समान हैं,$P$,$O_1O_2$ का मध्य बिंदु है और $AB$ का भी मध्य बिंदु है।
अनुप्रस्थ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा की लंबाई $AB = 2\sqrt{3}$ दी गई है,इसलिए $AP = PB = \sqrt{3}$।
समकोण त्रिभुज $\Delta O_1AP$ में,$O_1A = r = 1$ और $AP = \sqrt{3}$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$O_1P^2 = O_1A^2 + AP^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$।
अतः,$O_1P = 2$।
चूंकि $P$,$O_1O_2$ का मध्य बिंदु है,दूरी $O_1O_2 = 2 \times O_1P = 2 \times 2 = 4$।
चूंकि $O_1 = (0, 0)$ और $O_2 = (h, 0)$ है,दूरी $O_1O_2 = |h| = 4$,जिसका अर्थ है कि $h = \pm 4$।

(A) दो वृत्तों के केंद्र $C_1(a/2, 0)$ और $C_2(0, 0)$ हैं,और उनकी त्रिज्याएँ क्रमशः $r_1 = |a|/2$ और $r_2 = c$ हैं।
दो वृत्त एक-दूसरे को तब स्पर्श करते हैं जब उनके केंद्रों के बीच की दूरी $d = C_1C_2$ उनकी त्रिज्याओं के योग या अंतर के बराबर हो।
$d = \sqrt{(a/2 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = |a|/2$.
स्पर्श करने की शर्त: $d = |r_1 \pm r_2|$.
$|a|/2 = | |a|/2 \pm c |$.
इसका अर्थ है:
$|a|/2 = |a|/2 + c$ या $|a|/2 = | |a|/2 - c |$.
पहले मामले से,$c = 0$,जिसे अस्वीकार कर दिया जाता है क्योंकि $c > 0$ है।
दूसरे मामले से,$|a|/2 - c = |a|/2$ या $|a|/2 - c = -|a|/2$.
$c = 0$ (अस्वीकार) या $c = |a|$.
अतः,शर्त $c = |a|$ है।

(C) वृत्त $S \equiv x^{2} + y^{2} - 10x = 0$ और रेखा $L \equiv 2x - y = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $S + \lambda L = 0$ है।
$(x^{2} + y^{2} - 10x) + \lambda (2x - y) = 0$
$x^{2} + y^{2} + (2\lambda - 10)x - \lambda y = 0$
इस वृत्त का केंद्र $C = (5 - \lambda, \lambda / 2)$ है।
चूंकि रेखा $y = 2x$ व्यास है,इसलिए केंद्र को रेखा $y = 2x$ पर स्थित होना चाहिए।
$\lambda / 2 = 2(5 - \lambda)$
$\lambda = 4(5 - \lambda)$
$\lambda = 20 - 4\lambda$
$5\lambda = 20 \Rightarrow \lambda = 4$.
$\lambda = 4$ का मान समीकरण में रखने पर:
$x^{2} + y^{2} + (2(4) - 10)x - 4y = 0$
$x^{2} + y^{2} - 2x - 4y = 0$.

(A) दोनों वृत्तों के केंद्र $C_1(-1, 1)$ और $C_2(1, 1)$ हैं और दोनों की त्रिज्या $r_1 = r_2 = 1$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $C_1C_2 = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (1 - 1)^2} = 2$ है।
त्रिज्याओं का योग $r_1 + r_2 = 1 + 1 = 2$ है।
चूँकि $C_1C_2 = r_1 + r_2$,इसलिए वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं।
स्पर्श बिंदु ज्ञात करने के लिए,दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$(x^2 + y^2 + 2x - 2y + 1) - (x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1) = 0$
$4x = 0 \implies x = 0$.
किसी भी एक समीकरण में $x = 0$ रखने पर:
$0^2 + y^2 + 2(0) - 2y + 1 = 0$
$y^2 - 2y + 1 = 0 \implies (y - 1)^2 = 0 \implies y = 1$.
अतः,वृत्त $(0, 1)$ बिंदु पर बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं।

(D) माना अभीष्ट वृत्त $S_2$ का केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ है। चूंकि यह $(0, 0)$ और $(1, 0)$ से गुजरता है,इसलिए इसका केंद्र $(0, 0)$ और $(1, 0)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड के लंब समद्विभाजक $x = 1/2$ पर स्थित होगा। अतः $h = 1/2$.
चूंकि यह $(0, 0)$ से गुजरता है,त्रिज्या $r = \sqrt{h^2 + k^2} = \sqrt{(1/2)^2 + k^2} = \sqrt{1/4 + k^2}$ है।
वृत्त $S_2$,वृत्त $x^2 + y^2 = 9$ (जिसका केंद्र $(0, 0)$ और त्रिज्या $R = 3$ है) को स्पर्श करता है।
आंतरिक स्पर्श के लिए,केंद्रों के बीच की दूरी $d = R - r$ होती है।
$S_2$ का केंद्र $(1/2, k)$ है और $S_1$ का केंद्र $(0, 0)$ है।
अतः,$d = \sqrt{(1/2)^2 + k^2} = r$ है।
इस प्रकार,$r = 3 - r$ $\Rightarrow 2r = 3$ $\Rightarrow r = 3/2$ है।
अब,$r^2 = 1/4 + k^2$ $\Rightarrow (3/2)^2 = 1/4 + k^2$ $\Rightarrow 9/4 = 1/4 + k^2$ $\Rightarrow k^2 = 8/4 = 2$ है।
इसलिए,$k = \pm \sqrt{2}$ है।
केंद्र $(1/2, \pm \sqrt{2})$ है।

(A) दिए गए दो वृत्तों $S_1: x^2 + y^2 - 4 = 0$ और $S_2: x^2 + y^2 + 2x + 4y - 6 = 0$ का मूलाक्ष $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा प्राप्त होता है।
$(x^2 + y^2 - 4) - (x^2 + y^2 + 2x + 4y - 6) = 0$
$-2x - 4y + 2 = 0$
$x + 2y - 1 = 0$.
समान मूलाक्ष वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $S_1 + \lambda L = 0$ है,जहाँ $L$ मूलाक्ष है।
$x^2 + y^2 - 4 + \lambda(x + 2y - 1) = 0$
$x^2 + y^2 + \lambda x + 2\lambda y - (4 + \lambda) = 0$.

(C) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है। चूंकि केंद्र रेखा $x + y = 4$ पर स्थित है,इसलिए $h + k = 4$,अर्थात $k = 4 - h$ है।
चूंकि वृत्त मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरता है,इसका समीकरण $x^2 + y^2 - 2hx - 2ky = 0$ है।
$k = 4 - h$ प्रतिस्थापित करने पर,समीकरण $x^2 + y^2 - 2hx - 2(4 - h)y = 0$ प्राप्त होता है।
दो वृत्त $x^2 + y^2 + 2g_1x + 2f_1y + c_1 = 0$ और $x^2 + y^2 + 2g_2x + 2f_2y + c_2 = 0$ लंबकोणीय प्रतिच्छेद करते हैं यदि $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ हो।
यहाँ,$g_1 = -h, f_1 = -(4 - h), c_1 = 0$ और $g_2 = -2, f_2 = 1, c_2 = 4$ है।
शर्त लागू करने पर: $2(-h)(-2) + 2(-(4 - h))(1) = 0 + 4$.
$4h - 8 + 2h = 4$.
$6h = 12$,जिससे $h = 2$ प्राप्त होता है।
अतः $k = 4 - 2 = 2$ है।
वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 2(2)x - 2(2)y = 0$,अर्थात $x^2 + y^2 - 4x - 4y = 0$ है।

(A) वृत्त $S = x^2 + y^2 - a^2 = 0$ और रेखा $L = x - y + 3 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $S + \lambda L = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x^2 + y^2 - a^2) + \lambda (x - y + 3) = 0$
$x^2 + y^2 + \lambda x - \lambda y + (3\lambda - a^2) = 0$
इस वृत्त का केंद्र $\left( -\frac{\lambda}{2}, \frac{\lambda}{2} \right)$ है।
चूंकि $AB$ व्यास है,इसलिए वृत्त का केंद्र रेखा $y = x + 3$ पर स्थित होना चाहिए।
$\frac{\lambda}{2} = -\frac{\lambda}{2} + 3$
$\lambda = 3$
समीकरण में $\lambda = 3$ रखने पर:
$(x^2 + y^2 - a^2) + 3(x - y + 3) = 0$
$x^2 + y^2 + 3x - 3y - a^2 + 9 = 0$

(A) माना दिया गया वृत्त $S: x^{2} + y^{2} - 4x - 6y - 12 = 0$ है।
इसका केंद्र $C(2, 3)$ और त्रिज्या $R = \sqrt{2^{2} + 3^{2} - (-12)} = \sqrt{25} = 5$ है।
माना अभीष्ट वृत्त का केंद्र $C_1(h, k)$ और त्रिज्या $r = 3$ है।
चूंकि वृत्त बिंदु $P(-1, -1)$ पर आंतरिक रूप से स्पर्श करता है,इसलिए केंद्र $C_1$ रेखाखंड $CP$ पर स्थित है।
दूरी $CC_1 = R - r = 5 - 3 = 2$ है।
अतः,$C_1$ रेखाखंड $CP$ को $3 : 2$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$C_1 = (\frac{3(2) + 2(-1)}{3+2}, \frac{3(3) + 2(-1)}{3+2}) = (\frac{4}{5}, \frac{7}{5})$।
अतः वृत्त का समीकरण $(x - \frac{4}{5})^{2} + (y - \frac{7}{5})^{2} = 3^{2}$ है।

(A) वृत्त $S: x^2 + y^2 - a^2 = 0$ और रेखा $L: x - y + 3 = 0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण $S + \lambda L = 0$ है।
$x^2 + y^2 - a^2 + \lambda(x - y + 3) = 0$
$x^2 + y^2 + \lambda x - \lambda y + (3\lambda - a^2) = 0$
इस वृत्त का केंद्र $\left(-\frac{\lambda}{2}, \frac{\lambda}{2}\right)$ है।
चूंकि $AB$ व्यास है,इसलिए केंद्र रेखा $y = x + 3$ पर स्थित होना चाहिए।
केंद्र के निर्देशांकों को रेखा के समीकरण में रखने पर: $\frac{\lambda}{2} = -\frac{\lambda}{2} + 3$.
$\lambda = 3$.
$\lambda = 3$ का मान वृत्त के समीकरण में रखने पर: $x^2 + y^2 + 3x - 3y + (3(3) - a^2) = 0$.
$x^2 + y^2 + 3x - 3y + 9 - a^2 = 0$.

(C) दिए गए वृत्तों के समीकरण $x^2 + y^2 + 2x - 4y + C = 0$ के रूप में हैं।
इन वृत्तों का केंद्र $(-g, -f) = (-1, 2)$ समान है।
वृत्त $x^2 + y^2 + 2x - 4y + C = 0$ की त्रिज्या $r = \sqrt{g^2 + f^2 - C} = \sqrt{1 + 4 - C} = \sqrt{5 - C}$ है।
मान लीजिए कि तीनों वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः $r_1, r_2$ और $r_3$ हैं।
पहले वृत्त के लिए,$C_1 = -4$,इसलिए $r_1^2 = 5 - (-4) = 9$,जिसका अर्थ है $r_1 = 3$।
तीसरे वृत्त के लिए,$C_3 = -20$,इसलिए $r_3^2 = 5 - (-20) = 25$,जिसका अर्थ है $r_3 = 5$।
चूंकि बीच वाला वृत्त अन्य दो वृत्तों के ठीक बीच में स्थित है,इसलिए इसकी त्रिज्या $r_2$,$r_1$ और $r_3$ का समांतर माध्य होनी चाहिए।
$r_2 = \frac{r_1 + r_3}{2} = \frac{3 + 5}{2} = 4$।
अब,बीच वाले वृत्त के लिए,$r_2^2 = 5 - (-k) = 5 + k$।
चूंकि $r_2 = 4$,इसलिए $r_2^2 = 16$।
अतः,$5 + k = 16$,जिससे $k = 11$ प्राप्त होता है।

(A) माना वृत्त $C_1$ समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + \alpha = 0$ है और $C_2$ समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + \beta = 0$ है।
माना $P(x_1, y_1)$ वृत्त $C_1$ पर कोई बिंदु है।
चूंकि $P$,$C_1$ पर स्थित है,इसलिए $x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + \alpha = 0$,जिसका अर्थ है $x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 = -\alpha$।
बिंदु $(x_1, y_1)$ से वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + \beta = 0$ पर खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + \beta}$ द्वारा दी जाती है।
पहले समीकरण से $x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1$ का मान रखने पर,हमें स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{-\alpha + \beta}$ या $\sqrt{\beta - \alpha}$ प्राप्त होती है।

(C) माना दो वृत्त $S_1: x^2 + y^2 - 8x + y - 15 = 0$ और $S_2: x^2 + y^2 - 4x + 4y - 42 = 0$ हैं।
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x^2 + y^2 - 8x + y - 15) - (x^2 + y^2 - 4x + 4y - 42) = 0$.
$-4x - 3y + 27 = 0$ या $4x + 3y - 27 = 0$.
$S_1$ और $S_2$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्तों का परिवार $S_1 + \lambda(S_1 - S_2) = 0$ है।
$(x^2 + y^2 - 8x + y - 15) + \lambda(4x + 3y - 27) = 0$.
$x^2 + y^2 + x(4\lambda - 8) + y(3\lambda + 1) - 27\lambda - 15 = 0$.
इस वृत्त का केंद्र $(- (2\lambda - 4), - \frac{3\lambda + 1}{2})$ है।
चूंकि उभयनिष्ठ जीवा व्यास है,केंद्र को रेखा $4x + 3y - 27 = 0$ पर स्थित होना चाहिए।
$4(-2\lambda + 4) + 3(-\frac{3\lambda + 1}{2}) - 27 = 0$.
$-8\lambda + 16 - \frac{9\lambda + 3}{2} - 27 = 0$.
$-16\lambda + 32 - 9\lambda - 3 - 54 = 0$.
$-25\lambda - 25 = 0 \implies \lambda = -1$.
समीकरण में $\lambda = -1$ रखने पर:
$x^2 + y^2 + x(-4 - 8) + y(-3 + 1) + 27 - 15 = 0$.
$x^2 + y^2 - 12x - 2y + 12 = 0$.

(D) दो वृत्तों $S_1: x^2 + y^2 + 3x + 7y + 2p - 5 = 0$ और $S_2: x^2 + y^2 + 2x + 2y - p^2 = 0$ की उभयनिष्ठ जीवा (रेडिकल अक्ष) का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x^2 + y^2 + 3x + 7y + 2p - 5) - (x^2 + y^2 + 2x + 2y - p^2) = 0$
$x + 5y + 2p - 5 + p^2 = 0 \ldots (i)$
दो वृत्तों $S_1$ और $S_2$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं $P$ और $Q$ से होकर गुजरने वाला वृत्त $S_1 + \lambda(S_1 - S_2) = 0$ के रूप में होता है।
वृत्त के बिंदु $(1, 1)$ से होकर गुजरने के लिए,बिंदु $(1, 1)$ को उभयनिष्ठ जीवा $PQ$ पर स्थित नहीं होना चाहिए।
उभयनिष्ठ जीवा के समीकरण में $(1, 1)$ रखने पर:
$1 + 5(1) + 2p - 5 + p^2 = 0$
$p^2 + 2p + 1 = 0$
$(p + 1)^2 = 0 \Rightarrow p = -1$.
यदि $p = -1$ है,तो बिंदु $(1, 1)$ उभयनिष्ठ जीवा पर स्थित है,जिसका अर्थ है कि $P, Q$ और $(1, 1)$ संरेख हैं,और तीन संरेख बिंदुओं से कोई वृत्त नहीं गुजर सकता। अतः,$p \neq -1$ के किसी भी मान के लिए एक अद्वितीय वृत्त मौजूद है।

(B) वृत्त $S = 0$ और रेखा $L = 0$ के प्रतिच्छेदन से होकर जाने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $S + \lambda L = 0$ है,जहाँ $\lambda \in \mathbb{R}$ है।
दिए गए वृत्त $x^2 + y^2 - 4x - 6y - 21 = 0$ और रेखा $3x + 4y + 5 = 0$ के लिए,वृत्तों के परिवार का समीकरण है:
$x^2 + y^2 - 4x - 6y - 21 + \lambda(3x + 4y + 5) = 0$
चूंकि वृत्त बिंदु $(1, 2)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $x = 1$ और $y = 2$ रखने पर:
$(1)^2 + (2)^2 - 4(1) - 6(2) - 21 + \lambda(3(1) + 4(2) + 5) = 0$
$1 + 4 - 4 - 12 - 21 + \lambda(3 + 8 + 5) = 0$
$-32 + 16\lambda = 0$
$16\lambda = 32$
$\lambda = 2$
$\lambda = 2$ को समीकरण में रखने पर:
$x^2 + y^2 - 4x - 6y - 21 + 2(3x + 4y + 5) = 0$
$x^2 + y^2 - 4x - 6y - 21 + 6x + 8y + 10 = 0$
$x^2 + y^2 + 2x + 2y - 11 = 0$

(A) वृत्त $x^2 + y^2 - a^2 = 0$ और रेखा $x \cos \alpha + y \sin \alpha - p = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले किसी भी वृत्त का समीकरण:
$x^2 + y^2 - a^2 + \lambda(x \cos \alpha + y \sin \alpha - p) = 0$
इस वृत्त का केंद्र $\left(-\frac{\lambda \cos \alpha}{2}, -\frac{\lambda \sin \alpha}{2}\right)$ है।
चूंकि रेखा $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ एक व्यास है,इसलिए केंद्र इस रेखा पर स्थित होना चाहिए:
$\left(-\frac{\lambda \cos \alpha}{2}\right) \cos \alpha + \left(-\frac{\lambda \sin \alpha}{2}\right) \sin \alpha = p$
$-\frac{\lambda}{2} (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = p$
$-\frac{\lambda}{2} = p \implies \lambda = -2p$
$\lambda = -2p$ का मान रखने पर:
$x^2 + y^2 - a^2 - 2p(x \cos \alpha + y \sin \alpha - p) = 0$
$x^2 + y^2 - 2px \cos \alpha - 2py \sin \alpha + 2p^2 - a^2 = 0$

(D) दिए गए वृत्त $C_1: x^2 + y^2 + 4x + d = 0$ और $C_2: x^2 + y^2 + 4fy + d = 0$ हैं।
$C_1$ के लिए,केंद्र $O_1 = (-2, 0)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{4 - d}$ है।
$C_2$ के लिए,केंद्र $O_2 = (0, -2f)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{4f^2 - d}$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $O_1O_2 = 2\sqrt{1 + f^2}$ है।
वृत्त एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं यदि $O_1O_2^2 = (r_1 \pm r_2)^2$ हो।
गणना करने पर $f^2 = \frac{d}{4 - d}$ प्राप्त होता है,इसलिए $f = \pm \sqrt{\frac{d}{4 - d}}$।

(A) प्रथम वृत्त $x^2 + y^2 - 8x - 2y + 1 = 0$ के लिए,केंद्र $C_1 = (4, 1)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{4^2 + 1^2 - 1} = 4$ है।
द्वितीय वृत्त $x^2 + y^2 + 6x + y = 0$ के लिए,केंद्र $C_2 = (-3, -0.5)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{(-3)^2 + (-0.5)^2 - 0} = \sqrt{9.25} \approx 3.04$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{(4 - (-3))^2 + (1 - (-0.5))^2} = \sqrt{7^2 + 1.5^2} = \sqrt{51.25} \approx 7.16$ है।
चूंकि $d > r_1 + r_2$,वृत्त एक-दूसरे के बाहर स्थित हैं।
अतः,उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की संख्या $4$ है।

(A) प्रथम वृत्त $S_1: x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ का केंद्र $C(-g, -f)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{g^2 + f^2 - c}$ है।
दूसरे वृत्त $S_2: x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c \sin^2 \alpha + (g^2 + f^2) \cos^2 \alpha = 0$ का केंद्र भी $C(-g, -f)$ है।
दूसरे वृत्त की त्रिज्या $r_2$ के लिए,$r_2^2 = g^2 + f^2 - (c \sin^2 \alpha + (g^2 + f^2) \cos^2 \alpha) = (g^2 + f^2 - c) \sin^2 \alpha$ प्राप्त होता है।
अतः,$r_2 = r_1 \sin \alpha$।
यदि $P$,$S_1$ पर एक बिंदु है और $T$,$S_2$ पर स्पर्श बिंदु है,तो समकोण त्रिभुज $\triangle PTC$ में,$\sin(\angle PTC) = \frac{r_2}{r_1} = \sin \alpha$ होता है।
इस प्रकार,$\angle PTC = \alpha$ और स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $2 \alpha$ होगा।

(A) वृत्त $x^2 + y^2 = 4$ के बिंदु $P(\sqrt{3}, 1)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $x x_1 + y y_1 = r^2$ के अनुसार $\sqrt{3}x + y = 4$ है।
इस स्पर्शरेखा $PT$ की ढाल $m_1 = -\sqrt{3}$ है।
रेखा $L$,$PT$ के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $m_2 = \frac{1}{\sqrt{3}}$ होगी।
माना रेखा $L$ का समीकरण $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + c$ है,अर्थात $x - \sqrt{3}y + \sqrt{3}c = 0$।
यह रेखा वृत्त $(x - 3)^2 + y^2 = 1$ की स्पर्शरेखा है,जिसका केंद्र $(3, 0)$ और त्रिज्या $r = 1$ है।
केंद्र $(3, 0)$ से रेखा $x - \sqrt{3}y + \sqrt{3}c = 0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $1$ के बराबर होनी चाहिए:
$\frac{|3 - \sqrt{3}(0) + \sqrt{3}c|}{\sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2}} = 1$
$\frac{|3 + \sqrt{3}c|}{2} = 1$
$|3 + \sqrt{3}c| = 2$
स्थिति $1$: $3 + \sqrt{3}c = 2 \implies \sqrt{3}c = -1 \implies c = -\frac{1}{\sqrt{3}}$।
समीकरण $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x - \frac{1}{\sqrt{3}} \implies x - \sqrt{3}y = 1$ प्राप्त होता है।

(D) प्रथम वृत्त ${x^2} + {y^2} - 4x - 6y - 12 = 0$ के लिए,केंद्र $c_{1} = (2, 3)$ और त्रिज्या $r_{1} = \sqrt{2^2 + 3^2 - (-12)} = \sqrt{4 + 9 + 12} = \sqrt{25} = 5$ है।
द्वितीय वृत्त ${x^2} + {y^2} + 6x + 18y + 26 = 0$ के लिए,केंद्र $c_{2} = (-3, -9)$ और त्रिज्या $r_{2} = \sqrt{(-3)^2 + (-9)^2 - 26} = \sqrt{9 + 81 - 26} = \sqrt{64} = 8$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $c_{1}c_{2} = \sqrt{(2 - (-3))^2 + (3 - (-9))^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ है।
चूंकि $c_{1}c_{2} = r_{1} + r_{2} = 5 + 8 = 13$,इसलिए दोनों वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं।
जब दो वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,तो उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की संख्या $3$ होती है।

(D) दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$ है। इसका केंद्र $O(2, -3)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{2^2 + (-3)^2 - (-12)} = \sqrt{4 + 9 + 12} = \sqrt{25} = 5$ है।
माना $A(-3, 2)$ वृत्त $S$ का केंद्र है। दिए गए वृत्त का एक व्यास वृत्त $S$ की जीवा है। माना यह जीवा $BC$ है। चूँकि $BC$ पहले वृत्त का व्यास है,यह केंद्र $O(2, -3)$ से होकर गुजरता है।
$\Delta ABC$ में,$A$ वृत्त $S$ का केंद्र है,इसलिए $AB$ और $AC$ वृत्त $S$ की त्रिज्याएँ हैं। $O$ जीवा $BC$ का मध्यबिंदु है,इसलिए $AO \perp BC$ है।
दूरी $AO$,$(-3, 2)$ और $(2, -3)$ के बीच की दूरी है:
$AO = \sqrt{(2 - (-3))^2 + (-3 - 2)^2} = \sqrt{5^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$।
समकोण त्रिभुज $\Delta AOB$ में,वृत्त $S$ की त्रिज्या $R$ कर्ण $AB$ है:
$R = \sqrt{AO^2 + OB^2} = \sqrt{(5\sqrt{2})^2 + 5^2} = \sqrt{50 + 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$।

(A) मान लीजिए कि दो वृत्त $S_1 = 0$ और $S_2 = 0$ हैं। रेडिकल अक्ष $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा परिभाषित होता है।
रेडिकल अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु $P$ के लिए,दोनों वृत्तों पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान होती है।
इसलिए,$PQ = PR$।
चूंकि त्रिभुज $\triangle PQR$ की दो भुजाएँ बराबर हैं,इसलिए त्रिभुज समद्विबाहु है।

(D) वृत्त $S \equiv x^2 + y^2 - 10x = 0$ और रेखा $L \equiv y - 2x = 0$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं से गुजरने वाले वृत्तों का परिवार $S + \lambda L = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$x^2 + y^2 - 10x + \lambda(y - 2x) = 0$
$x^2 + y^2 - (10 + 2\lambda)x + \lambda y = 0$
इस वृत्त का केंद्र $\left( \frac{10 + 2\lambda}{2}, -\frac{\lambda}{2} \right) = (5 + \lambda, -\frac{\lambda}{2})$ है।
चूंकि जीवा $y = 2x$ इस वृत्त का व्यास है,इसलिए केंद्र को रेखा $y = 2x$ पर स्थित होना चाहिए।
$-\frac{\lambda}{2} = 2(5 + \lambda)$
$-\frac{\lambda}{2} = 10 + 2\lambda$
$-\lambda = 20 + 4\lambda$
$-5\lambda = 20 \Rightarrow \lambda = -4$.
$\lambda = -4$ को समीकरण में रखने पर:
$x^2 + y^2 - (10 - 8)x - 4y = 0$
$x^2 + y^2 - 2x - 4y = 0$.