Chord of contact of tangent and common chord Questions in Hindi

(B) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 6x - 8y + 21 = 0$ है। केंद्र $C(3, 4)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{3^2 + 4^2 - 21} = \sqrt{9 + 16 - 21} = \sqrt{4} = 2$ है।
मूल बिंदु $O(0, 0)$ से स्पर्श जीवा $AB$ का समीकरण $T = 0$ द्वारा दिया जाता है:
$x(0) + y(0) - 3(x + 0) - 4(y + 0) + 21 = 0$
$3x + 4y - 21 = 0$ ... $(i)$
माना $M$,$OC$ और $AB$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। $CM$,$C(3, 4)$ से रेखा $3x + 4y - 21 = 0$ की लंबवत दूरी है:
$CM = \frac{|3(3) + 4(4) - 21|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|9 + 16 - 21|}{\sqrt{25}} = \frac{4}{5}$
$\triangle AMC$ में,$\angle AMC = 90^\circ$ है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AM = \sqrt{AC^2 - CM^2} = \sqrt{2^2 - (\frac{4}{5})^2} = \sqrt{4 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{100 - 16}{25}} = \sqrt{\frac{84}{25}} = \frac{2\sqrt{21}}{5}$
चूंकि $AB = 2AM$,इसलिए:
$AB = 2 \times \frac{2\sqrt{21}}{5} = \frac{4}{5}\sqrt{21}$

(D) बिंदु $(x_1, y_1)$ से वृत्त $S = 0$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के युग्म का समीकरण $SS_1 = T^2$ होता है।
यहाँ,बिंदु मूल बिंदु $(0, 0)$ है,इसलिए $x_1 = 0$ और $y_1 = 0$ है।
$S = x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$
$S_1 = c$
$T = gx + fy + c$
$SS_1 = T^2$ में मान रखने पर:
$c(x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c) = (gx + fy + c)^2$
$c(x^2 + y^2) + 2gcx + 2fcy + c^2 = (gx + fy)^2 + 2c(gx + fy) + c^2$
$c(x^2 + y^2) = (gx + fy)^2$.

(A) माना बिंदु $P(h, k)$ है और वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ है। स्पर्श जीवा $AB$ का समीकरण $xh + yk = a^2$ है।
केंद्र $O(0, 0)$ से जीवा $AB$ पर लंब $OM$ की लंबाई $OM = \frac{a^2}{\sqrt{h^2 + k^2}}$ है।
त्रिभुज $OAM$ में,$AM = \sqrt{OA^2 - OM^2} = \frac{a\sqrt{h^2 + k^2 - a^2}}{\sqrt{h^2 + k^2}}$।
चूंकि $AB = 2AM$,इसलिए $AB = \frac{2a\sqrt{h^2 + k^2 - a^2}}{\sqrt{h^2 + k^2}}$।
बिंदु $P(h, k)$ से जीवा $AB$ पर लंब $PM$ की लंबाई $PM = OP - OM = \frac{h^2 + k^2 - a^2}{\sqrt{h^2 + k^2}}$ है।
त्रिभुज $PAB$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times AB \times PM = \frac{a(h^2 + k^2 - a^2)^{3/2}}{h^2 + k^2}$ है।

(A) माना स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $P(h, k)$ है।
$P(h, k)$ से वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ पर स्पर्श रेखाओं की जीवा का समीकरण $hx + ky = a^2$ या $hx + ky - a^2 = 0$ है।
यह जीवा वृत्त $x^2 + y^2 - 2ax = 0$ को स्पर्श करती है,जिसका केंद्र $(a, 0)$ और त्रिज्या $a$ है।
केंद्र $(a, 0)$ से रेखा $hx + ky - a^2 = 0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $a$ के बराबर होनी चाहिए:
$\frac{|h(a) + k(0) - a^2|}{\sqrt{h^2 + k^2}} = a$
$|ah - a^2| = a\sqrt{h^2 + k^2}$
$|h - a| = \sqrt{h^2 + k^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(h - a)^2 = h^2 + k^2$
$h^2 - 2ah + a^2 = h^2 + k^2$
$k^2 = a^2 - 2ah = a(a - 2h)$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $y^2 = a(a - 2x)$ है।

(C) बिंदु $P(\alpha, \beta)$ से वृत्त $S = 0$ पर स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{S(\alpha, \beta)}$ द्वारा दी जाती है।
पहले वृत्त $S_1: x^2 + y^2 - 4x - 5 = 0$ के लिए,स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{\alpha^2 + \beta^2 - 4\alpha - 5}$ है।
दूसरे वृत्त $S_2: x^2 + y^2 + 6x - 2y + 6 = 0$ के लिए,स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{\alpha^2 + \beta^2 + 6\alpha - 2\beta + 6}$ है।
चूंकि स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान है,इसलिए:
$\alpha^2 + \beta^2 - 4\alpha - 5 = \alpha^2 + \beta^2 + 6\alpha - 2\beta + 6$
दोनों पक्षों से $\alpha^2 + \beta^2$ घटाने पर:
$-4\alpha - 5 = 6\alpha - 2\beta + 6$
पदों को एक तरफ व्यवस्थित करने पर:
$10\alpha - 2\beta + 11 = 0$.

(B) दिए गए वृत्त $S_1: x^2 + y^2 - 9 = 0$ और $S_2: x^2 + y^2 - 12y + 27 = 0$ हैं।
दो स्पर्श करने वाले वृत्तों के लिए उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x^2 + y^2 - 9) - (x^2 + y^2 - 12y + 27) = 0$
$x^2 + y^2 - 9 - x^2 - y^2 + 12y - 27 = 0$
$12y - 36 = 0$
$12y = 36$
$y = 3$.

(A) माना $S_1 \equiv x^2 + y^2 - 2x + 6y + 6 = 0$ और $S_2 \equiv x^2 + y^2 - 5x + 6y + 15 = 0$ है।
चूंकि दोनों वृत्त एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं,उनकी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा का समीकरण मूल अक्ष (radical axis) $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$(x^2 + y^2 - 2x + 6y + 6) - (x^2 + y^2 - 5x + 6y + 15) = 0$
$3x - 9 = 0$
$x = 3$।
अतः,उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा का समीकरण $x = 3$ है।

(A) प्रथम वृत्त का समीकरण $S_1 = x^2 + y^2 + 4x + 1 = 0$ है।
द्वितीय वृत्त का समीकरण $S_2 = x^2 + y^2 + 6x + 2y + 3 = 0$ है।
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x^2 + y^2 + 4x + 1) - (x^2 + y^2 + 6x + 2y + 3) = 0$.
$(4x - 6x) + (0 - 2y) + (1 - 3) = 0$.
$-2x - 2y - 2 = 0$.
$-2$ से विभाजित करने पर,हमें $x + y + 1 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + x - y - 1 = 0$ है।
इसे सामान्य रूप $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $g = 1/2$,$f = -1/2$,और $c = -1$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $C(-g, -f) = (-1/2, 1/2)$ है।
वृत्त की त्रिज्या $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(1/2)^2 + (-1/2)^2 - (-1)} = \sqrt{1/4 + 1/4 + 1} = \sqrt{3/2}$ है।
माना $M(1, 1)$ जीवा का मध्यबिंदु है। केंद्र $C(-1/2, 1/2)$ से मध्यबिंदु $M(1, 1)$ की दूरी $d$ दूरी सूत्र द्वारा दी जाती है:
$d = \sqrt{(1 - (-1/2))^2 + (1 - 1/2)^2} = \sqrt{(3/2)^2 + (1/2)^2} = \sqrt{9/4 + 1/4} = \sqrt{10/4} = \sqrt{5/2}$ है।
जीवा के अस्तित्व के लिए,केंद्र से मध्यबिंदु की दूरी $d$,वृत्त की त्रिज्या $r$ से कम होनी चाहिए।
यहाँ,$d = \sqrt{5/2}$ और $r = \sqrt{3/2}$ है।
चूंकि $d > r$,बिंदु $(1, 1)$ वृत्त के बाहर स्थित है।
अतः,ऐसी कोई जीवा संभव नहीं है।

(B) वृत्त की त्रिज्या $a$ है और इसका व्यास $x$-अक्ष पर स्थित है,जिसका एक सिरा मूल बिंदु $(0, 0)$ पर है। अतः,केंद्र $(a, 0)$ है और व्यास का दूसरा सिरा $(2a, 0)$ है।
वृत्त का समीकरण $(x - a)^2 + y^2 = a^2$ है,जो सरल होकर $x^2 + y^2 - 2ax = 0$ हो जाता है।
जीवा $y = mx$ वृत्त को मूल बिंदु $O(0, 0)$ और बिंदु $B$ पर काटती है। वृत्त के समीकरण में $y = mx$ रखने पर:
$x^2 + (mx)^2 - 2ax = 0$
$x^2(1 + m^2) - 2ax = 0$
$x(x(1 + m^2) - 2a) = 0$
अतः,$x = 0$ या $x = \frac{2a}{1 + m^2}$.
$x = \frac{2a}{1 + m^2}$ के लिए,$y = m \left( \frac{2a}{1 + m^2} \right) = \frac{2am}{1 + m^2}$.
इस प्रकार,$B = \left( \frac{2a}{1 + m^2}, \frac{2am}{1 + m^2} \right)$.
व्यास के सिरों $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ होता है।
$O(0, 0)$ और $B\left( \frac{2a}{1 + m^2}, \frac{2am}{1 + m^2} \right)$ का उपयोग करने पर:
$x\left( x - \frac{2a}{1 + m^2} \right) + y\left( y - \frac{2am}{1 + m^2} \right) = 0$
$x^2 + y^2 - \frac{2ax}{1 + m^2} - \frac{2amy}{1 + m^2} = 0$
$(1 + m^2)(x^2 + y^2) - 2a(x + my) = 0$.

(C) माना जीवा का मध्य बिंदु $C(h, k)$ है।
चूंकि जीवा मूल बिंदु $O(0, 0)$ पर समकोण बनाती है,इसलिए मूल बिंदु और जीवा के अंतिम बिंदुओं द्वारा निर्मित त्रिभुज एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है।
मूल बिंदु से मध्य बिंदु $C(h, k)$ की दूरी $d = \sqrt{h^2 + k^2}$ है।
मूल बिंदु,मध्य बिंदु और जीवा के एक अंतिम बिंदु द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में,मूल बिंदु पर कोण $45^\circ$ है।
त्रिकोणमिति का उपयोग करते हुए,$\cos(45^\circ) = \frac{d}{r}$,जहाँ $r$ वृत्त की त्रिज्या है।
यहाँ $r = 2$ दिया गया है,इसलिए $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{h^2 + k^2}}{2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{1}{2} = \frac{h^2 + k^2}{4}$,जो सरल होकर $h^2 + k^2 = 2$ प्राप्त होता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $x^2 + y^2 = 2$ है।

(C) वृत्त का समीकरण ${x^2} + {y^2} = 3$ है,इसलिए त्रिज्या $r = \sqrt{3}$ और केंद्र $C(0, 0)$ है।
मान लीजिए जीवा $AB$ की लंबाई $2$ है। केंद्र $C(0, 0)$ से जीवा $x - 2y - k = 0$ की लंबवत दूरी $d$ जीवा को समद्विभाजित करती है।
अतः,दूरी $d = \sqrt{r^2 - (\text{आधी जीवा की लंबाई})^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 - (1)^2} = \sqrt{3 - 1} = \sqrt{2}$।
$(0, 0)$ से $x - 2y - k = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|0 - 2(0) - k|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{|-k|}{\sqrt{5}}$ है।
$d$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{|k|}{\sqrt{5}} = \sqrt{2}$।
$|k| = \sqrt{10}$,जिसका अर्थ है $k = \pm \sqrt{10}$।

(A) दो वृत्तों $S_1 = 0$ और $S_2 = 0$ की उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए वृत्त हैं:
$S_1: (x - a)^2 + (y - b)^2 - c^2 = 0$
$S_2: (x - b)^2 + (y - a)^2 - c^2 = 0$
$S_1$ में से $S_2$ को घटाने पर:
$((x - a)^2 - (x - b)^2) + ((y - b)^2 - (y - a)^2) = 0$
पदों का विस्तार करने पर:
$(x^2 - 2ax + a^2 - (x^2 - 2bx + b^2)) + (y^2 - 2by + b^2 - (y^2 - 2ay + a^2)) = 0$
$(-2ax + a^2 + 2bx - b^2) + (-2by + b^2 + 2ay - a^2) = 0$
समीकरण को सरल करने पर:
$2bx - 2ax + 2ay - 2by = 0$
$2(b - a)x - 2(b - a)y = 0$
$2(b - a)$ से भाग देने पर (मान लीजिए $a \neq b$):
$x - y = 0$

(C) वृत्तों के समीकरण $S_1: x^2 + y^2 - 2ax = 0$ और $S_2: x^2 + y^2 - 2by = 0$ हैं।
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ अर्थात $ax - by = 0$ है।
पहले वृत्त का केंद्र $(a, 0)$ और त्रिज्या $r_1 = a$ है।
केंद्र $(a, 0)$ से रेखा $ax - by = 0$ पर लंबवत दूरी $p = \frac{a^2}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ है।
उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई $2\sqrt{r_1^2 - p^2} = 2\sqrt{a^2 - \frac{a^4}{a^2 + b^2}} = \frac{2ab}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ है।

(A) वृत्तों के समीकरण $S_1: x^2 + y^2 - 12 = 0$ और $S_2: x^2 + y^2 - 4x + 3y - 2 = 0$ हैं।
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा प्राप्त होता है।
$(x^2 + y^2 - 12) - (x^2 + y^2 - 4x + 3y - 2) = 0$
$4x - 3y - 10 = 0$.
प्रथम वृत्त $S_1$ का केंद्र $C_1(0, 0)$ है और इसकी त्रिज्या $R_1 = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ है।
केंद्र $(0, 0)$ से रेखा $4x - 3y - 10 = 0$ पर लंबवत दूरी $p_1$:
$p_1 = \frac{|4(0) - 3(0) - 10|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|-10|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{10}{5} = 2$.
उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई $2\sqrt{R_1^2 - p_1^2}$ है।
लंबाई $= 2\sqrt{12 - 2^2} = 2\sqrt{12 - 4} = 2\sqrt{8} = 2(2\sqrt{2}) = 4\sqrt{2}$.

(A) वृत्तों के समीकरण हैं:
$S_1: (x - a)^2 + (y - b)^2 = c^2$
$S_2: (x - b)^2 + (y - a)^2 = c^2$
$S_1$ से $S_2$ को घटाने पर उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण प्राप्त होता है:
$(x - a)^2 - (x - b)^2 + (y - b)^2 - (y - a)^2 = 0$
इसे हल करने पर $y = x$ प्राप्त होता है।
पहले वृत्त में $y = x$ रखने पर:
$(x - a)^2 + (x - b)^2 = c^2$
केंद्र $(a, b)$ से रेखा $x - y = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|a - b|}{\sqrt{2}}$ है।
उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई $2\sqrt{r^2 - d^2}$:
$= 2\sqrt{c^2 - \frac{(a - b)^2}{2}} = \sqrt{4c^2 - 2(a - b)^2}$

(A) मूल बिंदु $(0, 0)$ से वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ की स्पर्श जीवा का समीकरण $gx + fy + c = 0$ है।
बिंदु $(g, f)$ से स्पर्श जीवा का समीकरण $gx + fy + g(x + g) + f(y + f) + c = 0$ है,जिसे सरल करने पर $2gx + 2fy + g^2 + f^2 + c = 0$ या $gx + fy + \frac{g^2 + f^2 + c}{2} = 0$ प्राप्त होता है।
दो समांतर रेखाओं $Ax + By + C_1 = 0$ और $Ax + By + C_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ होती है।
यहाँ,$A = g$,$B = f$,$C_1 = c$,और $C_2 = \frac{g^2 + f^2 + c}{2}$ है।
अतः,$d = \frac{|c - \frac{g^2 + f^2 + c}{2}|}{\sqrt{g^2 + f^2}} = \frac{1}{2} \left( \frac{g^2 + f^2 - c}{\sqrt{g^2 + f^2}} \right)$.

(B) माना बिंदु $R$ के निर्देशांक $(h, k)$ हैं।
वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ के लिए बिंदु $R(h, k)$ से खींची गई स्पर्श रेखाओं की स्पर्श जीवा का समीकरण $hx + ky = a^2$ या $hx + ky - a^2 = 0$ होता है।
यह दिया गया है कि यह स्पर्श जीवा रेखा $lx + my + n = 0$ है।
चूंकि दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाते हैं,इसलिए उनके गुणांक समानुपाती होंगे:
$\frac{h}{l} = \frac{k}{m} = \frac{-a^2}{n}$.
इससे हमें प्राप्त होता है:
$h = \frac{-a^2l}{n}$ और $k = \frac{-a^2m}{n}$.
अतः,$R$ के निर्देशांक $\left( \frac{-a^2l}{n}, \frac{-a^2m}{n} \right)$ हैं।

(B) दिए गए वृत्त का समीकरण $S \equiv x^2 + y^2 - 2x + 4y + 1 = 0$ है।
बिंदु $A(0, 1)$ के लिए स्पर्श जीवा $BC$ का समीकरण $T = 0$ द्वारा प्राप्त होता है:
$x(0) + y(1) - (x + 0) + 2(y + 1) + 1 = 0$
$-x + 3y + 3 = 0$.
$B$ और $C$ से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण $S + \lambda(BC) = 0$ है:
$(x^2 + y^2 - 2x + 4y + 1) + \lambda(-x + 3y + 3) = 0$.
यह वृत्त $A(0, 1)$ से गुजरता है,इसलिए $x=0, y=1$ रखने पर:
$6 + 6\lambda = 0 \implies \lambda = -1$.
अतः,अभीष्ट वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - x + y - 2 = 0$ है।

(D) उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण ${S_1} - {S_2} = 0$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $({x^2} + {y^2} + 5x + 7y + 9) - ({x^2} + {y^2} + 7x + 5y + 9) = 0$।
यह सरल होकर $-2x + 2y = 0$ या $x - y = 0$ प्राप्त होता है।
वृत्त ${x^2} + {y^2} + 5x + 7y + 9 = 0$ के लिए,केंद्र ${C_1}$ $(-\frac{5}{2}, -\frac{7}{2})$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{\frac{19}{2}}$ है।
केंद्र ${C_1}$ से रेखा $x - y = 0$ पर लंबवत दूरी $d = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई $2\sqrt{r^2 - d^2} = 2\sqrt{\frac{19}{2} - \frac{1}{2}} = 6$ है।

(B) वृत्त के केंद्र $(0, 0)$ से रेखा $mx - y + c = 0$ तक की लंबवत दूरी $d = \left| \frac{c}{\sqrt{1 + m^2}} \right|$ द्वारा दी जाती है।
त्रिज्या $a$,दूरी $d$ और जीवा की आधी लंबाई $b$ द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में,हमारे पास $a^2 = d^2 + b^2$ है।
अतः,$d^2 = a^2 - b^2$।
$d$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{c^2}{1 + m^2} = a^2 - b^2$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$(1 + m^2)(a^2 - b^2) = c^2$।

(B) उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण दोनों वृत्तों के समीकरणों को घटाकर प्राप्त किया जाता है: $(x^2 + y^2 + 4x + 3y + 2) - (x^2 + y^2 + 2x + 3y + 1) = 0$।
इसे सरल करने पर $2x + 1 = 0$ या $x = -1/2$ प्राप्त होता है।
वृत्त $x^2 + y^2 + 2x + 3y + 1 = 0$ के लिए,केंद्र $C_1$ $(-1, -3/2)$ है और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{(-1)^2 + (-3/2)^2 - 1} = \sqrt{1 + 9/4 - 1} = 3/2$ है।
केंद्र $C_1(-1, -3/2)$ से रेखा $x + 1/2 = 0$ की लंबवत दूरी $d = |-1 - (-1/2)| = |-1/2| = 1/2$ है।
उभयनिष्ठ जीवा की आधी लंबाई $PM = \sqrt{r_1^2 - d^2} = \sqrt{(3/2)^2 - (1/2)^2} = \sqrt{9/4 - 1/4} = \sqrt{8/4} = \sqrt{2}$ है।
अतः,उभयनिष्ठ जीवा की कुल लंबाई $PQ = 2 \times PM = 2\sqrt{2}$ है।

(B) दी गई रेखा $\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1$ है,जिसे $4x + 3y - 12 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
वृत्त ${x^2} + {y^2} = \frac{169}{25}$ है,इसलिए त्रिज्या $r = \sqrt{\frac{169}{25}} = \frac{13}{5}$ है।
केंद्र $(0, 0)$ से रेखा $4x + 3y - 12 = 0$ तक की लंबवत दूरी $d = \frac{|4(0) + 3(0) - 12|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{12}{5}$ है।
जीवा की लंबाई $2\sqrt{r^2 - d^2} = 2\sqrt{(\frac{13}{5})^2 - (\frac{12}{5})^2} = 2\sqrt{\frac{169 - 144}{25}} = 2\sqrt{\frac{25}{25}} = 2(1) = 2$ है।

(D) वृत्तों के समीकरण हैं:
${S_1 = x^2 + y^2 + 2x - 3y + 6 = 0}$ .....$(i)$
${S_2 = x^2 + y^2 + x - 8y - 13 = 0}$ .....$(ii)$
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण ${S_1 - S_2 = 0}$ द्वारा दिया जाता है।
समीकरण $(i)$ में से $(ii)$ को घटाने पर:
${(x^2 + y^2 + 2x - 3y + 6) - (x^2 + y^2 + x - 8y - 13) = 0}$
${x + 5y + 19 = 0}$ .....$(iii)$
अब,हम जाँचते हैं कि कौन सा बिंदु समीकरण ${x + 5y + 19 = 0}$ को संतुष्ट करता है:
बिंदु $(1, -4)$ के लिए:
${1 + 5(-4) + 19 = 1 - 20 + 19 = 0}$.
अतः,बिंदु $(1, -4)$ उभयनिष्ठ जीवा पर स्थित है।

(A) बिंदु $(x_1, y_1)$ से वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ पर खींची गई स्पर्श जीवा का समीकरण $xx_1 + yy_1 = a^2$ होता है।
यहाँ बिंदु $(x_1, y_1) = (5, -3)$ है और वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = 10$ है,जहाँ $a^2 = 10$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x(5) + y(-3) = 10$
$5x - 3y = 10$.

(C) दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 - 2x - 6y + 6 = 0$ है।
इसका केंद्र $C(1, 3)$ और त्रिज्या $r = 2$ है।
माना अभीष्ट वृत्त का केंद्र $D(2, 1)$ है।
चूंकि दिए गए वृत्त का व्यास अभीष्ट वृत्त की एक जीवा है,इसलिए जीवा की लंबाई $2 \times 2 = 4$ है।
अतः,समकोण त्रिभुज $\triangle ACD$ में,$AC = 2$ और $CD = \sqrt{(2-1)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{5}$ है।
अभीष्ट वृत्त की त्रिज्या $R = AD = \sqrt{AC^2 + CD^2} = \sqrt{2^2 + (\sqrt{5})^2} = \sqrt{4 + 5} = \sqrt{9} = 3$।

(D) दिया गया है कि वृत्त ${x^2} + {y^2} - 2x = 0$ $(i)$ है और रेखा $y = x$ $(ii)$ है।
$(i)$ में $y = x$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
${x^2} + {x^2} - 2x = 0$
$2{x^2} - 2x = 0$
$2x(x - 1) = 0$
अतः,$x = 0$ या $x = 1$ है।
चूंकि $y = x$ है,प्रतिच्छेदन बिंदु $A = (0, 0)$ और $B = (1, 1)$ हैं।
व्यास के अंत बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ होता है।
$A(0, 0)$ और $B(1, 1)$ रखने पर:
$(x - 0)(x - 1) + (y - 0)(y - 1) = 0$
$x(x - 1) + y(y - 1) = 0$
${x^2} - x + {y^2} - y = 0$
${x^2} + {y^2} - x - y = 0$.

(A) दो वृत्तों $S_1 = 0$ और $S_2 = 0$ की उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
प्रथम वृत्त को $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के रूप में लिखने पर: $x^2 + y^2 - \frac{2}{3}x + 4y - 3 = 0$ $(S_1)$।
दूसरा वृत्त: $x^2 + y^2 + 6x + 2y - 15 = 0$ $(S_2)$।
उभयनिष्ठ जीवा $S_1 - S_2 = 0$:
$(x^2 + y^2 - \frac{2}{3}x + 4y - 3) - (x^2 + y^2 + 6x + 2y - 15) = 0$
$-\frac{20}{3}x + 2y + 12 = 0$
$-3$ से गुणा करने पर,$20x - 6y - 36 = 0$,अर्थात $10x - 3y - 18 = 0$।

(D) उभयनिष्ठ जीवा $PQ$ का समीकरण दोनों वृत्तों के समीकरणों को घटाकर प्राप्त किया जाता है: $(x^2 + y^2 + 2ax + cy + a) - (x^2 + y^2 - 3ax + dy - 1) = 0$।
यह सरल होकर $5ax + (c - d)y + (a + 1) = 0$ हो जाता है.....$(i)$
$P$ और $Q$ से गुजरने वाली रेखा का दिया गया समीकरण $5x + by - a = 0$ है.....$(ii)$
चूंकि दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाते हैं,इसलिए उनके गुणांक समानुपाती होने चाहिए:
$\frac{5a}{5} = \frac{c - d}{b} = \frac{a + 1}{-a}$
पहले और तीसरे भाग से: $a = \frac{a + 1}{-a}$
$-a^2 = a + 1$
$a^2 + a + 1 = 0$
द्विघात समीकरण $a^2 + a + 1 = 0$ के लिए,विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(1) = -3$ है।
चूंकि $D < 0$,इसलिए $a$ का कोई वास्तविक मान मौजूद नहीं है।

(D) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = 25$ है।
बिंदु $(3, 2)$ के लिए,$S_1 = 3^2 + 2^2 - 25 = 9 + 4 - 25 = -12$ है।
चूंकि $S_1 < 0$,इसलिए बिंदु $(3, 2)$ वृत्त के अंदर स्थित है।
स्पर्श जीवा केवल वृत्त के बाहर स्थित बिंदुओं के लिए परिभाषित होती है।
अतः,ऐसी कोई स्पर्श जीवा अस्तित्व में नहीं है और परिणामस्वरूप,त्रिभुज $OAB$ का निर्माण नहीं हो सकता है।

(C) माना बिंदु $P(4, 3)$ है और वृत्त $x^2 + y^2 = 9$ है। त्रिज्या $r = 3$ है।
स्पर्श जीवा $AB$ का समीकरण $T = 0$ है,जो $4x + 3y = 9$ है।
मूल बिंदु $O(0, 0)$ से जीवा $AB$ की दूरी $OQ = \frac{|4(0) + 3(0) - 9|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{9}{5}$ है।
$\triangle OAQ$ में,$AQ = \sqrt{OA^2 - OQ^2} = \sqrt{3^2 - (\frac{9}{5})^2} = \sqrt{9 - \frac{81}{25}} = \sqrt{\frac{144}{25}} = \frac{12}{5}$ है।
स्पर्श जीवा की लंबाई $AB = 2 \times AQ = 2 \times \frac{12}{5} = \frac{24}{5}$ है।
दूरी $PQ$ बिंदु $P(4, 3)$ से रेखा $4x + 3y - 9 = 0$ की दूरी है,जो $PQ = \frac{|16 + 9 - 9|}{5} = \frac{16}{5}$ है।
$\triangle PAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times \frac{24}{5} \times \frac{16}{5} = \frac{192}{25}$.

(A) माना $(h, k)$ वृत्त ${C_2}$ के केंद्र के निर्देशांक हैं।
इसका समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = 5^2$ है।
${C_1}$ का समीकरण $x^2 + y^2 = 4^2$ है। ${C_1}$ और ${C_2}$ की उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $2hx + 2ky = h^2 + k^2 - 9$ $(i)$ है।
माना $p$,${C_1}$ के केंद्र $(0, 0)$ से $(i)$ पर डाले गए लंब की लंबाई है।
अतः $p = \frac{|h^2 + k^2 - 9|}{\sqrt{4h^2 + 4k^2}}$।
उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई $2\sqrt{4^2 - p^2}$ है,जो अधिकतम तब होगी जब $p = 0$ हो।
इससे $h^2 + k^2 - 9 = 0$ $(ii)$ प्राप्त होता है।
$(i)$ का ढाल $\frac{3}{4}$ दिया गया है।
अतः,$-\frac{h}{k} = \frac{3}{4} \Rightarrow k = -\frac{4h}{3}$ $(iii)$।
$(iii)$ का मान $(ii)$ में रखने पर,$h^2 + (-\frac{4h}{3})^2 = 9$ $\Rightarrow h^2 + \frac{16h^2}{9} = 9$ $\Rightarrow \frac{25h^2}{9} = 9$ $\Rightarrow h^2 = \frac{81}{25}$ $\Rightarrow h = \pm \frac{9}{5}$।
यदि $h = \frac{9}{5}$,तो $k = -\frac{12}{5}$।
यदि $h = -\frac{9}{5}$,तो $k = \frac{12}{5}$।
अतः,केंद्र के निर्देशांक $\left( -\frac{9}{5}, \frac{12}{5} \right)$ और $\left( \frac{9}{5}, -\frac{12}{5} \right)$ हैं।

(D) दो वृत्तों ${S_1} = 0$ और ${S_2} = 0$ की उभयनिष्ठ जीवा (रेखा $L$) का समीकरण ${S_1} - {S_2} = 0$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए वृत्त हैं:
${S_1}: {x^2} + {y^2} - 25 = 0$
${S_2}: {x^2} + {y^2} - 8x + 7 = 0$
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$({x^2} + {y^2} - 25) - ({x^2} + {y^2} - 8x + 7) = 0$
$8x - 32 = 0$
$x = 4$
यह रेखा $L$ का समीकरण है।
दूसरा वृत्त ${x^2} + {y^2} - 8x + 7 = 0$ है। इसे व्यापक रूप ${x^2} + {y^2} + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $2g = -8$ मिलता है,इसलिए $g = -4$,और $f = 0$ है।
दूसरे वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (4, 0)$ है।
बिंदु $(4, 0)$ से रेखा $x - 4 = 0$ पर डाले गए लंब की लंबाई:
$d = \frac{|4 - 4|}{\sqrt{1^2 + 0^2}} = \frac{0}{1} = 0$.
अतः,लंब की लंबाई $0$ है।

(D) बिंदु $(x_1, y_1)$ से वृत्त $S = 0$ पर स्पर्श रेखाओं के युग्म का समीकरण $SS_1 = T^2$ होता है।
यहाँ,$S = x^2 + y^2 - 2x + 4y + 3 = 0$ है।
बिंदु $(6, -5)$ के लिए,$S_1 = (6)^2 + (-5)^2 - 2(6) + 4(-5) + 3 = 32$ है।
स्पर्श रेखा $T = 5x - 3y - 13 = 0$ है।
$SS_1 = T^2$ का उपयोग करने पर: $(x^2 + y^2 - 2x + 4y + 3)(32) = (5x - 3y - 13)^2$ प्राप्त होता है।
सरल करने पर: $7x^2 + 23y^2 + 30xy + 66x + 50y - 73 = 0$।

(D) बिंदु $(x_1, y_1)$ से वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ पर स्पर्श जीवा का समीकरण $xx_1 + yy_1 + g(x + x_1) + f(y + y_1) + c = 0$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ बिंदु $(x_1, y_1) = (2, -3)$ और वृत्त $x^2 + y^2 + 4x - 6y - 12 = 0$ है,इसलिए $g = 2$,$f = -3$,और $c = -12$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$x(2) + y(-3) + 2(x + 2) - 3(y - 3) - 12 = 0$
$2x - 3y + 2x + 4 - 3y + 9 - 12 = 0$
$4x - 6y + 1 = 0$

(B) माना $S = x^2 + y^2 - 2x + 4y = 0$ है। बिंदु $(x_1, y_1) = (0, 1)$ के लिए,$S_1 = 0^2 + 1^2 - 2(0) + 4(1) = 5$ है।
$(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा $T$ का समीकरण $x x_1 + y y_1 - (x + x_1) + 2(y + y_1) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(0, 1)$ प्रतिस्थापित करने पर,$T = x(0) + y(1) - (x + 0) + 2(y + 1) = -x + 3y + 2$ प्राप्त होता है।
स्पर्श रेखाओं के युग्म का समीकरण $SS_1 = T^2$ है।
$5(x^2 + y^2 - 2x + 4y) = (-x + 3y + 2)^2$.
$5x^2 + 5y^2 - 10x + 20y = x^2 + 9y^2 + 4 - 6xy - 4x + 12y$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,$4x^2 - 4y^2 + 6xy - 6x + 8y - 4 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) उभयनिष्ठ जीवा $PQ$ का समीकरण दोनों वृत्तों के समीकरणों को घटाकर प्राप्त किया जाता है: $(x^2 + y^2 + 2ax + cy + a) - (x^2 + y^2 - 3ax + dy - 1) = 0$
जो सरल होकर $5ax + (c - d)y + (a + 1) = 0$ हो जाता है ...... $(i)$
हमें दिया गया है कि रेखा $PQ$ का समीकरण $5x + 6y - a = 0$ है ...... (ii)
समीकरण $(i)$ और (ii) के गुणांकों की तुलना करने पर: $\frac{5a}{5} = \frac{c - d}{6} = \frac{a + 1}{-a}$
पहले और तीसरे भाग से: $a = \frac{a + 1}{-a} \implies -a^2 = a + 1 \implies a^2 + a + 1 = 0$
इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर (discriminant) $D = 1^2 - 4(1)(1) = -3$ है
चूंकि $D < 0$,इसलिए $a$ का कोई वास्तविक मान संभव नहीं है।

(D) दिए गए वृत्त $S_1: x^2 + y^2 - 4x - 4y = 0$ और $S_2: x^2 + y^2 - 16 = 0$ हैं।
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ है,जो $-4x - 4y + 16 = 0$ देता है,अर्थात $x + y = 4$ या $\frac{x + y}{4} = 1$ है।
वृत्त $S_2 = 0$ और जीवा के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को मूलबिंदु से जोड़ने वाली रेखाओं के युग्म का समीकरण प्राप्त करने के लिए,जीवा के समीकरण का उपयोग करके वृत्त के समीकरण को समघातीय (homogenize) करने पर:
$x^2 + y^2 - 16(1)^2 = 0$
$x^2 + y^2 - 16\left(\frac{x + y}{4}\right)^2 = 0$
$x^2 + y^2 - (x^2 + y^2 + 2xy) = 0$
$-2xy = 0$,जिसका अर्थ है $xy = 0$ है।
अतः,रेखाएँ $x = 0$ और $y = 0$ हैं।
रेखाओं $x = 0$ और $y = 0$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है।

(A) वृत्तों के समीकरण:
$S_1: x^2 + y^2 + \frac{7}{2}x - \frac{5}{2}y + 1 = 0$
$S_2: x^2 + y^2 - 4x + 8y - 18 = 0$
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ है:
$15x - 21y + 38 = 0$
वृत्त $S_2$ का केंद्र $C_2(2, -4)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{38}$ है।
केंद्र से जीवा पर लंब की लंबाई $d = \frac{152}{\sqrt{666}}$ है।
उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई $= 2\sqrt{r^2 - d^2} = 2\sqrt{38 - \frac{152^2}{666}} = 2\sqrt{\frac{1102}{333}}$.

(C) उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण दोनों वृत्तों के समीकरणों को घटाकर प्राप्त किया जा सकता है:
$[(x - a)^{2} + y^{2} - c^{2}] - [x^{2} + (y - b)^{2} - c^{2}] = 0$
$x^{2} - 2ax + a^{2} + y^{2} - c^{2} - x^{2} - y^{2} + 2by - b^{2} + c^{2} = 0$
$-2ax + 2by + a^{2} - b^{2} = 0$
$2ax - 2by - a^{2} + b^{2} = 0 \dots (1)$
प्रथम वृत्त के केंद्र $(a, 0)$ से रेखा $(1)$ की दूरी $p$ है:
$p = \frac{|2a(a) - 2b(0) - a^{2} + b^{2}|}{\sqrt{(2a)^{2} + (-2b)^{2}}} = \frac{|2a^{2} - a^{2} + b^{2}|}{\sqrt{4a^{2} + 4b^{2}}} = \frac{a^{2} + b^{2}}{2\sqrt{a^{2} + b^{2}}} = \frac{1}{2}\sqrt{a^{2} + b^{2}}$
उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई $2\sqrt{c^{2} - p^{2}}$ है:
$L = 2\sqrt{c^{2} - \left(\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{2}\right)^{2}}$
$L = 2\sqrt{c^{2} - \frac{a^{2} + b^{2}}{4}}$
$L = \sqrt{4c^{2} - a^{2} - b^{2}}$

(C) माना वृत्त $C_2$ का केंद्र $(h, k)$ है। इसका समीकरण $(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = 25$ है।
$C_1$ का समीकरण $x^{2} + y^{2} = 16$ है।
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ के अनुसार $2hx + 2ky = h^{2} + k^{2} - 9$ है।
उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई तब अधिकतम होती है जब वह $C_1$ के केंद्र $(0, 0)$ से होकर गुजरती है।
अतः,$h^{2} + k^{2} - 9 = 0$ या $h^{2} + k^{2} = 9$ है।
उभयनिष्ठ जीवा $2hx + 2ky = 9$ का ढाल $-h/k = 3/4$ है,जिसका अर्थ है $k = -4h/3$ है।
$k$ का मान $h^{2} + k^{2} = 9$ में रखने पर,$h^{2} + (-4h/3)^{2} = 9$,अर्थात $h^{2} + 16h^{2}/9 = 9$,जो $25h^{2}/9 = 9$ देता है,इसलिए $h^{2} = 81/25$ है।
अतः,$h = \pm 9/5$ है। यदि $h = 9/5$ है,तो $k = -12/5$ है। यदि $h = -9/5$ है,तो $k = 12/5$ है।
इसलिए,केंद्र के संभावित निर्देशांक $(9/5, -12/5)$ और $(-9/5, 12/5)$ हैं।

(B) वृत्त का समीकरण $x^{2} + y^{2} - 6x - 8y + 21 = 0$ है। केंद्र $C(3, 4)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{3^{2} + 4^{2} - 21} = \sqrt{9 + 16 - 21} = \sqrt{4} = 2$ है।
मूलबिंदु $(0, 0)$ से स्पर्श जीवा $AB$ का समीकरण $T = 0$ द्वारा दिया जाता है,जो $x(0) + y(0) - 3(x + 0) - 4(y + 0) + 21 = 0$ अर्थात $3x + 4y - 21 = 0$ है।
केंद्र $C(3, 4)$ से रेखा $3x + 4y - 21 = 0$ की लंबवत दूरी $CM = \frac{|3(3) + 4(4) - 21|}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} = \frac{|9 + 16 - 21|}{5} = \frac{4}{5}$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle AMC$ में,$AM = \sqrt{AC^{2} - CM^{2}} = \sqrt{2^{2} - (\frac{4}{5})^{2}} = \sqrt{4 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{100 - 16}{25}} = \sqrt{\frac{84}{25}} = \frac{2\sqrt{21}}{5}$ है।
चूँकि $AB = 2AM$,इसलिए $AB = 2 \times \frac{2\sqrt{21}}{5} = \frac{4}{5}\sqrt{21}$ है।

(A) रेखा का समीकरण $y = mx + c$ है,जिसे $\frac{y - mx}{c} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
वृत्त का समीकरण $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ है।
मूल बिंदु और प्रतिच्छेदन बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखाओं का संयुक्त समीकरण प्राप्त करने के लिए,हम रेखा के समीकरण का उपयोग करके वृत्त के समीकरण को समघातीय बनाते हैं:
$x^{2} + y^{2} = a^{2} \left( \frac{y - mx}{c} \right)^{2}$
$c^{2}(x^{2} + y^{2}) = a^{2}(y^{2} - 2mxy + m^{2}x^{2})$
$x^{2}(c^{2} - a^{2}m^{2}) + 2a^{2}mxy + y^{2}(c^{2} - a^{2}) = 0$.
इन रेखाओं के लंबवत होने के लिए,$x^{2}$ और $y^{2}$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए:
$(c^{2} - a^{2}m^{2}) + (c^{2} - a^{2}) = 0$
$2c^{2} - a^{2}(1 + m^{2}) = 0$
$2c^{2} = a^{2}(1 + m^{2})$.

(D) वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के लिए बिंदु $(x_1, y_1)$ के सापेक्ष स्पर्श जीवा का समीकरण $xx_1 + yy_1 + g(x + x_1) + f(y + y_1) + c = 0$ है।
बिंदु $(0, 0)$ के लिए स्पर्श जीवा: $g(x + 0) + f(y + 0) + c = 0 \Rightarrow gx + fy + c = 0$ (समीकरण $1$)।
बिंदु $(g, f)$ के लिए स्पर्श जीवा: $xg + yf + g(x + g) + f(y + f) + c = 0$ $\Rightarrow 2gx + 2fy + g^2 + f^2 + c = 0$ $\Rightarrow gx + fy + \frac{1}{2}(g^2 + f^2 + c) = 0$ (समीकरण $2$)।
दो समांतर रेखाओं $Ax + By + C_1 = 0$ और $Ax + By + C_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ है।
यहाँ $A = g, B = f, C_1 = c, C_2 = \frac{1}{2}(g^2 + f^2 + c)$।
दूरी $d = \frac{|\frac{1}{2}(g^2 + f^2 + c) - c|}{\sqrt{g^2 + f^2}} = \frac{g^2 + f^2 - c}{2 \sqrt{g^2 + f^2}}$।

(B) दिए गए वृत्तों के समीकरण:
$C_1: x^2 + y^2 - 6x - 16 = 0$
$C_2: x^2 + y^2 - 8y - 9 = 0$
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $C_1 - C_2 = 0$ द्वारा प्राप्त होता है:
$(x^2 + y^2 - 6x - 16) - (x^2 + y^2 - 8y - 9) = 0$
$-6x + 8y - 7 = 0$ या $6x - 8y + 7 = 0$
वृत्त $C_1$ के लिए,केंद्र $(3, 0)$ है और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{3^2 + 0^2 - (-16)} = \sqrt{9 + 16} = 5$ है।
केंद्र $(3, 0)$ से उभयनिष्ठ जीवा $6x - 8y + 7 = 0$ पर लंबवत दूरी $d$:
$d = \frac{|6(3) - 8(0) + 7|}{\sqrt{6^2 + (-8)^2}} = \frac{|18 + 7|}{\sqrt{36 + 64}} = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$
उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई $2 \sqrt{r_1^2 - d^2}$ है:
$= 2 \sqrt{5^2 - (\frac{5}{2})^2} = 2 \sqrt{25 - \frac{25}{4}} = 2 \sqrt{\frac{75}{4}} = 5 \sqrt{3}$

(C) वृत्त $C_1$ की त्रिज्या $r_1 = 1$ है और केंद्र $(1, 1)$ है। इसका समीकरण $(x-1)^2 + (y-1)^2 = 1$ है।
माना दूसरे वृत्त $C_2$ की त्रिज्या $r$ और केंद्र $(r, r)$ है। इसका समीकरण $(x-r)^2 + (y-r)^2 = r^2$ है।
उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई तब अधिकतम होती है जब वह छोटे वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है।
मूल अक्ष (radical axis) का समीकरण $2(r-1)(x+y) + 1 - r^2 = 0$ है।
जब यह रेखा $(1, 1)$ से गुजरती है,तो $2(r-1)(2) + 1 - r^2 = 0 \implies r^2 - 4r + 3 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः $r = 3$।

(A) बिंदु $(x_1, y_1)$ से वृत्त $x^2 + y^2 = r^2$ पर खींची गई स्पर्श जीवा का समीकरण $xx_1 + yy_1 = r^2$ होता है।
यहाँ,बिंदु $(x_1, y_1) = (5, -3)$ है और वृत्त $x^2 + y^2 = 10$ है,इसलिए $r^2 = 10$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$x(5) + y(-3) = 10$
$5x - 3y = 10$
अतः,स्पर्श जीवा का समीकरण $5x - 3y = 10$ है।

(D) वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के लिए बिंदु $(x_1, y_1)$ से स्पर्श जीवा का समीकरण $T = 0$ होता है,जहाँ $T = xx_1 + yy_1 + g(x + x_1) + f(y + y_1) + c = 0$ है।
यहाँ $g = 2$,$f = 3$,$c = -12$ और बिंदु $(x_1, y_1) = (2, 3)$ है।
मान रखने पर:
$x(2) + y(3) + 2(x + 2) + 3(y + 3) - 12 = 0$
$2x + 3y + 2x + 4 + 3y + 9 - 12 = 0$
$4x + 6y + 1 = 0$
$4x + 6y = -1$
दिए गए विकल्पों में से कोई भी सही नहीं है,अतः सही उत्तर 'इनमें से कोई नहीं' है।

(C) माना कि दो दिए गए वृत्त $C_1: x^2 + y^2 + 5x - 8y + 1 = 0$ और $C_2: x^2 + y^2 - 3x + 7y - 25 = 0$ हैं।
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $C_1 - C_2 = 0$ द्वारा प्राप्त होता है।
$(x^2 + y^2 + 5x - 8y + 1) - (x^2 + y^2 - 3x + 7y - 25) = 0$
$8x - 15y + 26 = 0$.
दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 - 2x = 0$ है। इसे $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,$g = -1, f = 0$ प्राप्त होता है।
इस वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (1, 0)$ है।
बिंदु $(x_0, y_0) = (1, 0)$ से रेखा $ax + by + c = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $d = \frac{|8(1) - 15(0) + 26|}{\sqrt{8^2 + (-15)^2}} = \frac{|8 + 26|}{\sqrt{64 + 225}} = \frac{34}{\sqrt{289}} = \frac{34}{17} = 2$.