System of circles Questions in Hindi

(A) वृत्त $S = 0$ और रेखा $L = 0$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं से गुजरने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $S + \lambda L = 0$ होता है।
यहाँ,$S = x^2 + y^2 - a^2 = 0$ और $L = x \cos \alpha + y \sin \alpha - p = 0$ है।
अतः,वृत्त का समीकरण $(x^2 + y^2 - a^2) + \lambda(x \cos \alpha + y \sin \alpha - p) = 0$ होगा।
चूँकि इस वृत्त का व्यास रेखा $x \cos \alpha + y \sin \alpha - p = 0$ है,इसलिए वृत्त का केंद्र इस रेखा पर स्थित होगा।
वृत्त $x^2 + y^2 + (\lambda \cos \alpha)x + (\lambda \sin \alpha)y - (a^2 + \lambda p) = 0$ का केंद्र $(-\frac{\lambda \cos \alpha}{2}, -\frac{\lambda \sin \alpha}{2})$ है।
इस केंद्र को रेखा के समीकरण में रखने पर:
$(-\frac{\lambda \cos \alpha}{2}) \cos \alpha + (-\frac{\lambda \sin \alpha}{2}) \sin \alpha - p = 0$
$-\frac{\lambda}{2} (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = p$
$-\frac{\lambda}{2} = p \implies \lambda = -2p$.
$\lambda = -2p$ का मान समीकरण में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x^2 + y^2 - a^2 - 2p(x \cos \alpha + y \sin \alpha - p) = 0$.

(B) दो वृत्तों $S_1 = 0$ और $S_2 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण $S_1 + \lambda S_2 = 0$ होता है।
यहाँ,$S_1 = x^2 + y^2 - 6x + 8 = 0$ और $S_2 = x^2 + y^2 - 6 = 0$ है।
वृत्तों का परिवार $(x^2 + y^2 - 6x + 8) + \lambda(x^2 + y^2 - 6) = 0$ है।
चूंकि वृत्त बिंदु $(1, 1)$ से गुजरता है,इसलिए $x = 1$ और $y = 1$ रखने पर:
$(1^2 + 1^2 - 6(1) + 8) + \lambda(1^2 + 1^2 - 6) = 0$
$(1 + 1 - 6 + 8) + \lambda(1 + 1 - 6) = 0$
$4 - 4\lambda = 0 \implies \lambda = 1$ प्राप्त होता है।
$\lambda = 1$ को समीकरण में रखने पर:
$(x^2 + y^2 - 6x + 8) + 1(x^2 + y^2 - 6) = 0$
$2x^2 + 2y^2 - 6x + 2 = 0$
$2$ से भाग देने पर,$x^2 + y^2 - 3x + 1 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दो वृत्तों के बीच का प्रतिच्छेदन कोण $\theta$ सूत्र $\cos \theta = \frac{r_1^2 + r_2^2 - d^2}{2r_1r_2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $d$ केंद्रों के बीच की दूरी है।
प्रथम वृत्त के लिए केंद्र $C_1 = (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{\frac{17}{2}}$ है।
दूसरे वृत्त के लिए केंद्र $C_2 = (-1, -1)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{13}$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{\frac{5}{2}}$ है।
मान रखने पर,$\cos \theta = \frac{19}{\sqrt{442}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\tan \theta = \frac{9}{19}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{9}{19}\right)$।

(B) दो वृत्तों $S_1 = 0$ और $S_2 = 0$ की रेडिकल अक्ष का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,समीकरणों को सामान्यीकृत करें ताकि ${x^2}$ और ${y^2}$ के गुणांक $1$ हों।
पहले वृत्त के लिए: ${S_1} \equiv {x^2} + {y^2} - 3x - 4y + 5 = 0$.
दूसरे वृत्त के लिए,$3$ से भाग देने पर: ${S_2} \equiv {x^2} + {y^2} - \frac{7}{3}x + \frac{8}{3}y + \frac{11}{3} = 0$.
$S_1$ में से $S_2$ घटाने पर:
$(-3 + \frac{7}{3})x + (-4 - \frac{8}{3})y + (5 - \frac{11}{3}) = 0$
$-\frac{2}{3}x - \frac{20}{3}y + \frac{4}{3} = 0$
$-3$ से गुणा करने पर: $2x + 20y - 4 = 0$,जो सरल होकर $x + 10y - 2 = 0$ बनता है।
रेखा का समीकरण $10y = -x + 2$ या $y = -\frac{1}{10}x + \frac{1}{5}$ है।
अतः,प्रवणता $-\frac{1}{10}$ है।

(D) वांछित बिंदु तीनों दिए गए वृत्तों का रेडिकल केंद्र है।
सबसे पहले,समीकरणों को मानक रूप $S = 0$ में लिखें:
$S_1: x^2 + y^2 - 12x - 16y + 64 = 0$
$S_2: x^2 + y^2 - 12x + 27 = 0$ ($3$ से विभाजित करने पर)
$S_3: x^2 + y^2 - 16x + 81 = 0$
रेडिकल केंद्र ज्ञात करने के लिए,रेडिकल अक्षों $S_1 - S_2 = 0$ और $S_2 - S_3 = 0$ को हल करें:
$S_1 - S_2 = -16y + 37 = 0 \Rightarrow y = \frac{37}{16}$
$S_2 - S_3 = 4x - 54 = 0 \Rightarrow x = \frac{27}{2}$
रेडिकल केंद्र $(\frac{27}{2}, \frac{37}{16})$ है।
चूंकि यह बिंदु दिए गए विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही उत्तर $(d)$ है।

(D) माना वृत्तों के समीकरण इस प्रकार हैं:
$S_1: x^2 + y^2 - 4x - 2y + 6 = 0$
$S_2: x^2 + y^2 - 2x - 4y - 1 = 0$
$S_3: x^2 + y^2 - 12x + 2y + 30 = 0$
$S_1$ और $S_2$ की रेडिकल अक्ष $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दी जाती है:
$(x^2 + y^2 - 4x - 2y + 6) - (x^2 + y^2 - 2x - 4y - 1) = 0$
$-2x + 2y + 7 = 0$ या $2x - 2y = 7$ $(i)$
$S_2$ और $S_3$ की रेडिकल अक्ष $S_2 - S_3 = 0$ द्वारा दी जाती है:
$(x^2 + y^2 - 2x - 4y - 1) - (x^2 + y^2 - 12x + 2y + 30) = 0$
$10x - 6y - 31 = 0$ $(ii)$
समीकरणों $(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर:
$(i)$ से,$2x = 2y + 7 \implies x = y + 3.5$
$(ii)$ में मान रखने पर:
$10(y + 3.5) - 6y - 31 = 0$
$10y + 35 - 6y - 31 = 0$
$4y + 4 = 0 \implies y = -1$
$x = -1 + 3.5 = 2.5$
रेडिकल केंद्र $(2.5, -1)$ है,जो दिए गए विकल्पों में नहीं है।

(D) माना अभीष्ट वृत्त $S: x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
यदि वृत्त $S=0$ किसी अन्य वृत्त $S'=0$ की परिधि को समद्विभाजित करता है,तो उनकी उभयनिष्ठ जीवा $S'=0$ के केंद्र से होकर गुजरती है। उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S - S' = 0$ है।
$1$. $S' = x^2 + y^2 - 1 = 0$ के लिए,केंद्र $(0, 0)$ है।
उभयनिष्ठ जीवा $(x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c) - (x^2 + y^2 - 1) = 0$ अर्थात $2gx + 2fy + c + 1 = 0$ है।
चूंकि यह $(0, 0)$ से गुजरती है,इसलिए $c + 1 = 0$,अर्थात $c = -1$।
$2$. $S' = x^2 + y^2 + 2x - 3 = 0$ के लिए,केंद्र $(-1, 0)$ है।
उभयनिष्ठ जीवा $(x^2 + y^2 + 2gx + 2fy - 1) - (x^2 + y^2 + 2x - 3) = 0$ अर्थात $2(g-1)x + 2fy + 2 = 0$ है।
चूंकि यह $(-1, 0)$ से गुजरती है,इसलिए $2(g-1)(-1) + 2f(0) + 2 = 0$,अर्थात $-2g + 2 + 2 = 0$,जिससे $g = 2$ प्राप्त होता है।
$3$. $S' = x^2 + y^2 + 2y - 3 = 0$ के लिए,केंद्र $(0, -1)$ है।
उभयनिष्ठ जीवा $(x^2 + y^2 + 4x + 2fy - 1) - (x^2 + y^2 + 2y - 3) = 0$ अर्थात $4x + 2(f-1)y + 2 = 0$ है।
चूंकि यह $(0, -1)$ से गुजरती है,इसलिए $4(0) + 2(f-1)(-1) + 2 = 0$,अर्थात $-2f + 2 + 2 = 0$,जिससे $f = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (-2, -2)$ है।

(C) माना दो वृत्त $S_1: x^2 + y^2 - 2x + 8y - q = 0$ और $S_2: x^2 + y^2 + 4x + 12y + p = 0$ हैं।
दोनों वृत्तों की उभयनिष्ठ जीवा $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दी जाती है।
$(x^2 + y^2 - 2x + 8y - q) - (x^2 + y^2 + 4x + 12y + p) = 0$
$-6x - 4y - q - p = 0$
$6x + 4y + (p + q) = 0$
चूंकि $S_1$ की परिधि $S_2$ द्वारा समद्विभाजित होती है,इसलिए उभयनिष्ठ जीवा $S_1$ का व्यास होनी चाहिए।
$S_1$ का केंद्र $(1, -4)$ है।
चूंकि व्यास केंद्र $(1, -4)$ से होकर गुजरता है,इसलिए हम इन निर्देशांकों को उभयनिष्ठ जीवा के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$6(1) + 4(-4) + (p + q) = 0$
$6 - 16 + (p + q) = 0$
$-10 + (p + q) = 0$
$p + q = 10$

(A) मान लीजिए कि दो वृत्तों की त्रिज्याएँ $r$ और $r_1$ हैं। यह दिया गया है कि एक का क्षेत्रफल दूसरे के क्षेत्रफल का दोगुना है,इसलिए $\pi r_1^2 = 2 \pi r^2$,जिसका अर्थ है $r_1^2 = 2r^2$ या $r_1 = \sqrt{2} r$।
$r$ और $r_1$ त्रिज्या वाले दो लंबकोणीय वृत्तों के लिए,यदि केंद्रों के बीच की दूरी $d$ है,तो लंबकोणीयता की शर्त $d^2 = r^2 + r_1^2$ है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $d^2 = r^2 + (\sqrt{2} r)^2 = r^2 + 2r^2 = 3r^2$।
अतः,उनके केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{3} r$ है।

(A) दोनों वृत्तों के केंद्र $C_1(-1, 1)$ और $C_2(1, 1)$ हैं,और दोनों की त्रिज्याएँ $r_1 = 1$ और $r_2 = 1$ हैं।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = C_1C_2 = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (1 - 1)^2} = 2$ है।
चूँकि त्रिज्याओं का योग $r_1 + r_2 = 1 + 1 = 2$ है,और $d = r_1 + r_2$,इसलिए वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं।
उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा का समीकरण दोनों समीकरणों को घटाकर प्राप्त किया जाता है:
$4x = 0 \Rightarrow x = 0$.
पहले वृत्त के समीकरण में $x = 0$ रखने पर:
$y^2 - 2y + 1 = 0$ $\Rightarrow (y - 1)^2 = 0$ $\Rightarrow y = 1$.
अतः,स्पर्श बिंदु $(0, 1)$ है।

(C) प्रथम वृत्त $x^2 + y^2 = 4$ के लिए,केंद्र $C_1 = (0, 0)$ और त्रिज्या $r_1 = 2$ है।
दूसरे वृत्त $x^2 + y^2 - 8x - 8y + 7 = 0$ के लिए,केंद्र $C_2 = (4, 4)$ और त्रिज्या $r_2 = 5$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $C_1 C_2 = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2} \approx 5.66$ है।
चूंकि $|r_1 - r_2| < C_1 C_2 < r_1 + r_2$ है,इसलिए वृत्त एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करते हैं।
जब दो वृत्त प्रतिच्छेद करते हैं,तो $2$ उभयनिष्ठ अनुस्पर्शियाँ होती हैं।

(D) वृत्त का समीकरण $S \equiv x^2 + y^2 - 30x = 0$ है और जीवा $L \equiv y + 3x = 0$ है।
$S = 0$ और $L = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण $S + \lambda L = 0$ है।
$x^2 + y^2 - 30x + \lambda(y + 3x) = 0$
$x^2 + y^2 + (3\lambda - 30)x + \lambda y = 0$
इस वृत्त के लिए,जीवा $y + 3x = 0$ व्यास है। वृत्त का केंद्र $\left( -\frac{3\lambda - 30}{2}, -\frac{\lambda}{2} \right)$ है।
चूंकि केंद्र जीवा $y + 3x = 0$ पर स्थित होना चाहिए,इसलिए केंद्र के निर्देशांकों को जीवा के समीकरण में रखने पर:
$-\frac{\lambda}{2} + 3\left( -\frac{3\lambda - 30}{2} \right) = 0$
$-\lambda - 9\lambda + 90 = 0$
$-10\lambda = -90 \implies \lambda = 9$
$\lambda = 9$ को वृत्त के समीकरण में रखने पर:
$x^2 + y^2 + (3(9) - 30)x + 9y = 0$
$x^2 + y^2 - 3x + 9y = 0$

(A) दिया गया वृत्त $S: x^2 + y^2 - 16 = 0$ है।
जीवा का समीकरण $L: 3x + y + 5 = 0$ है।
$S$ और $L$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $S + \lambda L = 0$ है।
अतः,$x^2 + y^2 - 16 + \lambda(3x + y + 5) = 0$.
$x^2 + y^2 + 3\lambda x + \lambda y + (5\lambda - 16) = 0$.
इस वृत्त का केंद्र $C = (-\frac{3\lambda}{2}, -\frac{\lambda}{2})$ है।
चूंकि जीवा $3x + y + 5 = 0$ इस वृत्त का व्यास है,इसलिए केंद्र $C$ को रेखा $3x + y + 5 = 0$ पर स्थित होना चाहिए।
केंद्र को रेखा के समीकरण में रखने पर: $3(-\frac{3\lambda}{2}) + (-\frac{\lambda}{2}) + 5 = 0$.
$-\frac{9\lambda}{2} - \frac{\lambda}{2} + 5 = 0$.
$-5\lambda + 5 = 0 \implies \lambda = 1$.
$\lambda = 1$ को वृत्त के समीकरण में रखने पर: $x^2 + y^2 + 3(1)x + (1)y + 5(1) - 16 = 0$.
$x^2 + y^2 + 3x + y - 11 = 0$.

(D) वृत्त $S = x^2 + y^2 - 4x - 6y - 21 = 0$ और रेखा $L = 3x + 4y + 5 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण $S + \lambda L = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x^2 + y^2 - 4x - 6y - 21) + \lambda(3x + 4y + 5) = 0$
चूंकि यह वृत्त बिंदु $(1, 2)$ से गुजरता है,इसलिए $x = 1$ और $y = 2$ रखने पर:
$(1^2 + 2^2 - 4(1) - 6(2) - 21) + \lambda(3(1) + 4(2) + 5) = 0$
$-32 + 16\lambda = 0$
$\lambda = 2$
$\lambda = 2$ का मान समीकरण में रखने पर:
$(x^2 + y^2 - 4x - 6y - 21) + 2(3x + 4y + 5) = 0$
$x^2 + y^2 + 2x + 2y - 11 = 0$.

(B) पहला वृत्त $x^2 + y^2 - 16x - 20y + 164 = r^2$ है। मानक रूप में लिखने पर: $(x - 8)^2 + (y - 10)^2 = r^2$। केंद्र $A(8, 10)$ है और त्रिज्या $R_1 = r$ है।
दूसरा वृत्त $(x - 4)^2 + (y - 7)^2 = 36$ है। केंद्र $B(4, 7)$ है और त्रिज्या $R_2 = 6$ है।
केंद्रों $A$ और $B$ के बीच की दूरी $AB = \sqrt{(8 - 4)^2 + (10 - 7)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ है।
दो वृत्तों के दो अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने की शर्त $|R_1 - R_2| < AB < R_1 + R_2$ है।
मान रखने पर: $|r - 6| < 5 < r + 6$।
$r + 6 > 5$ से,हमें $r > -1$ मिलता है। चूंकि यह त्रिज्या है,इसलिए $r > 0$।
$|r - 6| < 5$ से,$-5 < r - 6 < 5$,जिसका अर्थ है $1 < r < 11$।
अतः,शर्त $1 < r < 11$ है।

(D) वृत्त $x^2 + y^2 - 2x - 2y - 2 = 0$ के लिए,केंद्र $C_1 = (1, 1)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{1^2 + 1^2 - (-2)} = \sqrt{4} = 2$ है।
वृत्त $x^2 + y^2 - 6x - 6y + 14 = 0$ के लिए,केंद्र $C_2 = (3, 3)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{3^2 + 3^2 - 14} = \sqrt{18 - 14} = \sqrt{4} = 2$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $C_1C_2 = \sqrt{(3-1)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ है।
चतुर्भुज $PC_1QC_2$ में,भुजाएँ $C_1P = C_1Q = r_1 = 2$ और $C_2P = C_2Q = r_2 = 2$ हैं।
चूंकि सभी भुजाएँ $2$ हैं,इसलिए चतुर्भुज एक समचतुर्भुज है।
विकर्ण $C_1C_2 = 2\sqrt{2}$ और $PQ$ हैं। $\triangle PC_1C_2$ में,$C_1P=2, C_2P=2, C_1C_2=2\sqrt{2}$ है। चूँकि $2^2 + 2^2 = (2\sqrt{2})^2$,इसलिए $\triangle PC_1C_2$ बिंदु $P$ पर एक समकोण त्रिभुज है।
$\triangle PC_1C_2$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$ है।
चतुर्भुज $PC_1QC_2$ का क्षेत्रफल $= 2 \times (\triangle PC_1C_2 \text{ का क्षेत्रफल}) = 2 \times 2 = 4$ वर्ग इकाई है।

(B) वृत्त $x^2 + y^2 = 4$ के लिए,केंद्र $C_1(0, 0)$ और त्रिज्या $r_1 = 2$ है।
वृत्त $x^2 + y^2 + 6x + 8y - 24 = 0$ के लिए,केंद्र $C_2(-3, -4)$ और त्रिज्या $r_2 = 7$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = 5$ है।
चूंकि $d = |r_2 - r_1| = 5$,वृत्त एक-दूसरे को आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं।
उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ है।
$(x^2 + y^2 - 4) - (x^2 + y^2 + 6x + 8y - 24) = 0$
$3x + 4y - 10 = 0$.
बिंदु $(6, -2)$ इस समीकरण को संतुष्ट करता है।

(B) दिए गए वृत्तों के समीकरण $S_{1}: x^{2}+y^{2}-6x+8=0$ और $S_{2}: x^{2}+y^{2}-8y+16-k=0$ हैं।
$S_{1}$ के लिए,केंद्र $C_{1} = (3, 0)$ और त्रिज्या $r_{1} = \sqrt{3^{2}+0^{2}-8} = 1$ है।
$S_{2}$ के लिए,केंद्र $C_{2} = (0, 4)$ और त्रिज्या $r_{2} = \sqrt{0^{2}+4^{2}-(16-k)} = \sqrt{k}$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{(3-0)^{2}+(0-4)^{2}} = 5$ है।
चूंकि वृत्त एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं,इसलिए $d = |r_{1} \pm r_{2}|$ होगा।
स्थिति $1$: $5 = 1+\sqrt{k}$ $\Rightarrow \sqrt{k} = 4$ $\Rightarrow k = 16$.
स्थिति $2$: $5 = |1-\sqrt{k}|$ $\Rightarrow 1-\sqrt{k} = -5$ $\Rightarrow \sqrt{k} = 6$ $\Rightarrow k = 36$.
अतः,$k$ का अधिकतम मान $36$ है।

(A) परवलय $y^{2} = 4x$ है। $y^{2} = 4ax$ से तुलना करने पर,$a = 1$ प्राप्त होता है।
नाभिलंब की लंबाई $4a = 4(1) = 4$ है।
दोनों वृत्तों $C_{1}$ और $C_{2}$ की उभयनिष्ठ जीवा परवलय का नाभिलंब है,इसलिए इसकी लंबाई $4$ है।
माना $D$ नाभिलंब का एक अंतिम बिंदु है और $B$ उभयनिष्ठ जीवा का मध्य बिंदु है। अतः,$DB = \frac{4}{2} = 2$ है।
माना $r$ वृत्तों की त्रिज्या है,$r = 2\sqrt{5}$ है।
त्रिज्या,केंद्र से जीवा तक की दूरी और जीवा की आधी लंबाई द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में,माना $x$ वृत्त के केंद्र से उभयनिष्ठ जीवा तक की दूरी है।
$x^{2} + DB^{2} = r^{2}$
$x^{2} + 2^{2} = (2\sqrt{5})^{2}$
$x^{2} + 4 = 20$
$x^{2} = 16 \implies x = 4$ है।
केंद्रों $C_{1}$ और $C_{2}$ के बीच की दूरी $x + x = 4 + 4 = 8$ है।

(D) माना $S_{1} = x^{2}+y^{2}-6x=0$ और $S_{2} = x^{2}+y^{2}-4y=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण $S_{1} + \lambda S_{2} = 0$ है।
$(x^{2}+y^{2}-6x) + \lambda(x^{2}+y^{2}-4y) = 0$
$(1+\lambda)x^{2} + (1+\lambda)y^{2} - 6x - 4\lambda y = 0$
केंद्र $\left(\frac{3}{1+\lambda}, \frac{2\lambda}{1+\lambda}\right)$ है।
चूंकि केंद्र रेखा $2x - 3y + 12 = 0$ पर स्थित है,इसलिए $\lambda = -3$ प्राप्त होता है।
समीकरण में $\lambda = -3$ रखने पर,$x^{2} + y^{2} + 3x - 6y = 0$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(-3, 6)$ इस समीकरण को संतुष्ट करता है।

(D) पहले वृत्त $x^{2}+y^{2}-10x-10y+41=0$ के लिए:
केंद्र $C_{1} = (5, 5)$,त्रिज्या $r_{1} = \sqrt{5^{2}+5^{2}-41} = \sqrt{25+25-41} = \sqrt{9} = 3$.
दूसरे वृत्त $x^{2}+y^{2}-24x-10y+160=0$ के लिए:
केंद्र $C_{2} = (12, 5)$,त्रिज्या $r_{2} = \sqrt{12^{2}+5^{2}-160} = \sqrt{144+25-160} = \sqrt{9} = 3$.
केंद्रों $C_{1}$ और $C_{2}$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(12-5)^{2}+(5-5)^{2}} = \sqrt{7^{2}+0^{2}} = 7$.
दो वृत्तों के बीच की न्यूनतम दूरी $d - (r_{1} + r_{2}) = 7 - (3 + 3) = 7 - 6 = 1$ है।

(B) दिया गया वृत्त $x^{2}+y^{2}-2x-6y+6=0$ है।
इसे सामान्य समीकरण $x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $g=-1$ और $f=-3$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (1, 3)$ है।
वृत्त की त्रिज्या $R = \sqrt{g^{2}+f^{2}-c} = \sqrt{(-1)^{2}+(-3)^{2}-6} = \sqrt{1+9-6} = \sqrt{4} = 2$ है।
चूंकि इस वृत्त का एक व्यास दूसरे वृत्त $'C'$ (जिसका केंद्र $(2, 1)$ है) की जीवा है,इसलिए वृत्त $'C'$ की त्रिज्या (मान लीजिए $r$) केंद्रों के बीच की दूरी और पहले वृत्त की त्रिज्या के साथ एक समकोण त्रिभुज बनाती है।
केंद्रों $(1, 3)$ और $(2, 1)$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(2-1)^{2}+(1-3)^{2}} = \sqrt{1^{2}+(-2)^{2}} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$ है।
बने हुए समकोण त्रिभुज में,कर्ण वृत्त $'C'$ की त्रिज्या $r$ है,और अन्य दो भुजाएं दूरी $d$ और पहले वृत्त की त्रिज्या $R$ हैं।
अतः,$r^{2} = d^{2} + R^{2} = (\sqrt{5})^{2} + (2)^{2} = 5 + 4 = 9$।
इसलिए,$r = 3$।

(A) रेखा $x-2y=0$ को $(2,1)$ पर स्पर्श करने वाले वृत्त $C$ का समीकरण $(x-2)^{2}+(y-1)^{2}+\lambda(x-2y)=0$ है।
इसे विस्तारित करने पर,$x^{2}+y^{2}+x(\lambda-4)+y(-2-2\lambda)+5=0$ प्राप्त होता है।
दिया गया वृत्त $C_{1}$,$x^{2}+y^{2}+2y-5=0$ है।
उभयनिष्ठ जीवा $PQ$,रेडिकल अक्ष $C-C_{1}=0$ है,जो $x(\lambda-4)-y(2\lambda+4)+10=0$ है।
चूंकि $PQ$,$C_{1}$ का व्यास है,यह $C_{1}$ के केंद्र $(0,-1)$ से होकर गुजरता है।
$(0,-1)$ को $PQ$ के समीकरण में रखने पर: $0(\lambda-4)-(-1)(2\lambda+4)+10=0$ $\Rightarrow 2\lambda+14=0$ $\Rightarrow \lambda=-7$.
$\lambda=-7$ को $C$ के समीकरण में रखने पर: $x^{2}+y^{2}-11x+12y+5=0$.
$C$ का केंद्र $(\frac{11}{2}, -6)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{\frac{121}{4}+36-5} = \frac{7\sqrt{5}}{2}$ है।
अतः,$C$ का व्यास $2r = 7\sqrt{5}$ है।

(C) वृत्त $C_1: x^{2}+y^{2}+6x+8y+16=0$ का केंद्र $O_1(-3, -4)$ और त्रिज्या $r_1 = 3$ है।
वृत्त $C_2: x^{2}+y^{2}+2(3-\sqrt{3})x+2(4-\sqrt{6})y = k+6\sqrt{3}+8\sqrt{6}$ का केंद्र $O_2(\sqrt{3}-3, \sqrt{6}-4)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{k+34}$ है।
चूँकि वृत्त आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं,केंद्रों के बीच की दूरी $d = |r_2 - r_1|$ है।
$d^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{6})^2 = 9$,इसलिए $d = 3$।
$3 = |\sqrt{k+34} - 3|$,जिससे $\sqrt{k+34} = 6$,अर्थात $k=2$।
स्पर्श बिंदु $P(\alpha, \beta)$,$O_1O_2$ को $1:2$ के अनुपात में बाह्य विभाजित करता है।
$\alpha = \frac{1(\sqrt{3}-3) - 2(-3)}{1-2} = -\sqrt{3}-3$।
$\beta = \frac{1(\sqrt{6}-4) - 2(-4)}{1-2} = -\sqrt{6}-4$।
अतः,$(\alpha+\sqrt{3})^{2} + (\beta+\sqrt{6})^{2} = (-3)^2 + (-4)^2 = 25$।

(C) दो वृत्तों के दो अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए,उनके केंद्रों के बीच की दूरी $C_1C_2$ को शर्त $|r_1 - r_2| < C_1C_2 < r_1 + r_2$ को पूरा करना चाहिए।
पहले वृत्त $(x+1)^2 + (y+2)^2 = r^2$ के लिए,केंद्र $C_1 = (-1, -2)$ और त्रिज्या $r_1 = r$ है।
दूसरे वृत्त $x^2 + y^2 - 4x - 4y + 4 = 0$ के लिए,केंद्र $C_2 = (2, 2)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{2^2 + 2^2 - 4} = 2$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $C_1C_2 = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ है।
शर्त $|r - 2| < 5 < r + 2$ लागू करने पर:
$1$) $|r - 2| < 5$ $\Rightarrow -5 < r - 2 < 5$ $\Rightarrow -3 < r < 7$।
$2$) $5 < r + 2 \Rightarrow r > 3$।
इन असमानताओं को मिलाने पर,हमें $3 < r < 7$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया वृत्त $x^2+y^2-10x+4y+13=0$ है। इसका केंद्र $M(5, -2)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{5^2+(-2)^2-13} = 4$ है।
वृत्त $C$ का केंद्र रेखाओं $2x+3y=12$ और $3x-2y=5$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है,जो $O(3, 2)$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{(5-3)^2 + (-2-2)^2} = \sqrt{20}$ है।
वृत्त $C$ की त्रिज्या $R$ के लिए,$R^2 = d^2 + r^2 = 20 + 16 = 36$,अतः $R = 6$।

(D) मान लीजिए वृत्त का समीकरण $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ है। चूँकि यह $(0,0)$ और $(1,0)$ से गुजरता है,त्रिज्या $r$ केंद्र $(h,k)$ से $(0,0)$ की दूरी है,इसलिए $r^2 = h^2+k^2$ है।
समीकरण का विस्तार करने पर: $x^2 - 2hx + h^2 + y^2 - 2ky + k^2 = h^2+k^2$,जो सरल होकर $x^2+y^2-2hx-2ky=0$ हो जाता है।
चूँकि वृत्त $(1,0)$ से गुजरता है,हम $x=1, y=0$ प्रतिस्थापित करते हैं: $1^2+0^2-2h(1)-2k(0)=0$,जिससे $1-2h=0$ प्राप्त होता है,अतः $h=1/2$ है।
वृत्त $x^2+y^2=9$ (केंद्र $(0,0)$ और त्रिज्या $3$ वाला वृत्त) को स्पर्श करता है। केंद्रों के बीच की दूरी त्रिज्याओं के अंतर के बराबर होती है (चूँकि छोटा वृत्त बड़े वृत्त के अंदर है): $\sqrt{h^2+k^2} = 3 - r = 3 - \sqrt{h^2+k^2}$।
अतः,$2\sqrt{h^2+k^2} = 3$,इसलिए $\sqrt{h^2+k^2} = 3/2$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$h^2+k^2 = 9/4$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$4(h^2+k^2) = 4(9/4) = 9$।

(A) वृत्त $C_1$ का समीकरण $x^2+y^2=1$ है और $C_2$ का $(x-4)^2+(y-1)^2=r^2$ है।
दो वृत्तों की मूलाक्ष (radical axis) $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दी जाती है।
$x^2+y^2-1 - ((x-4)^2+(y-1)^2-r^2) = 0$
$x^2+y^2-1 - (x^2-8x+16+y^2-2y+1-r^2) = 0$
$8x+2y-18+r^2 = 0$,जिसे सरल करने पर $8x+2y = 18-r^2$ प्राप्त होता है।
उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा ही दोनों वृत्तों की मूलाक्ष होती है।
यह रेखा $x$-अक्ष को $B$ पर मिलती है। मूलाक्ष के समीकरण में $y=0$ रखने पर,हमें $8x = 18-r^2$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = \frac{18-r^2}{8}$।
अतः,$B = \left(\frac{18-r^2}{8}, 0\right)$ है।
दिया है $A=(4,1)$ और $AB=\sqrt{5}$,इसलिए $AB^2 = 5$ है।
$\left(\frac{18-r^2}{8}-4\right)^2 + (0-1)^2 = 5$
$\left(\frac{18-r^2-32}{8}\right)^2 + 1 = 5$
$\left(\frac{-(14+r^2)}{8}\right)^2 = 4$
$\frac{14+r^2}{8} = 2$ (चूंकि $r^2 > 0$,इसलिए वर्गमूल $2$ प्राप्त करने के लिए कोष्ठक के अंदर का मान धनात्मक होना चाहिए)
$14+r^2 = 16$,जिससे $r^2 = 2$ प्राप्त होता है।

(B) माना वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है $\quad\quad(1)$
दिए गए वृत्त:
$C_1: x^2+y^2-2x-15=0$ $\quad\quad(2)$
$C_2: x^2+y^2-1=0$ $\quad\quad(3)$
चूंकि $(1)$,$(2)$ के लंबकोणीय है,$-2g = c-15$ $\quad\quad(4)$
चूंकि $(1)$,$(3)$ के लंबकोणीय है,$c=1$ प्राप्त होता है।
$(4)$ में $c=1$ रखने पर,$-2g = -14 \Rightarrow g=7$ प्राप्त होता है।
वृत्त $(0,1)$ से गुजरता है:
$1+2f+1=0 \Rightarrow f=-1$ प्राप्त होता है।
वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+14x-2y+1=0$ है।
केंद्र $(-7,1)$ है और त्रिज्या $7$ है।
अतः,$(B)$ और $(C)$ सही हैं।

(C) दिए गए वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-4x+6y-12=0$ है।
सामान्य रूप $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$g=-2$,$f=3$,और $c=-12$ प्राप्त होता है।
इस वृत्त का केंद्र $C_1 = (-g, -f) = (2, -3)$ है और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{4+9+12} = 5$ है।
वृत्त $S$ के लिए जीवा की लंबाई $2r_1 = 10$ है।
वृत्त $S$ का केंद्र $C_2 = (-3, 2)$ है। $C_2$ से जीवा पर लंब की दूरी $d = \sqrt{(-3-2)^2 + (2-(-3))^2} = \sqrt{25+25} = 5\sqrt{2}$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$R^2 = d^2 + (\text{जीवा की आधी लंबाई})^2 = (5\sqrt{2})^2 + 5^2 = 50 + 25 = 75$।
अतः,$R = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$।

(D) अभीष्ट वृत्त $2x^2+2y^2-8x-12y-9=0$ के साथ संकेंद्रीय है।
समीकरण को $2$ से भाग देने पर,$x^2+y^2-4x-6y-\frac{9}{2}=0$ प्राप्त होता है।
अतः,वृत्त का केंद्र $(2, 3)$ है।
यह वृत्त $x^2+y^2+8x+10y-7=0$ के केंद्र $(-4, -5)$ से होकर गुजरता है।
त्रिज्या $r = \sqrt{(-4-2)^2 + (-5-3)^2} = 10$ है।
वृत्त का समीकरण $(x-2)^2 + (y-3)^2 = 10^2$ होगा।
सरल करने पर,$x^2+y^2-4x-6y-87=0$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया वृत्त $2x^2+2y^2-8x-12y-9=0$ के साथ संकेंद्रीय है,जिसे $x^2+y^2-4x-6y-4.5=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,अभीष्ट वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-4x-6y+k=0$ के रूप में है।
यह वृत्त $x^2+y^2+8x+10y-7=0$ के केंद्र से होकर गुजरता है।
$x^2+y^2+8x+10y-7=0$ का केंद्र $(-4, -5)$ है।
$(-4, -5)$ को समीकरण $x^2+y^2-4x-6y+k=0$ में रखने पर:
$(-4)^2+(-5)^2-4(-4)-6(-5)+k=0$
$16+25+16+30+k=0$
$87+k=0 \Rightarrow k=-87$.
अतः,अभीष्ट समीकरण $x^2+y^2-4x-6y-87=0$ है।

(B) वृत्त $x^2+y^2+2ax+c=0$ के लिए,केंद्र $C_1 = (-a, 0)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{a^2-c}$ है।
वृत्त $x^2+y^2+2by+c=0$ के लिए,केंद्र $C_2 = (0, -b)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{b^2-c}$ है।
चूंकि वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,इसलिए उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग के बराबर होगी:
$d(C_1, C_2) = r_1 + r_2$
$\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{a^2-c} + \sqrt{b^2-c}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$a^2+b^2 = a^2-c + b^2-c + 2\sqrt{(a^2-c)(b^2-c)}$
$2c = 2\sqrt{(a^2-c)(b^2-c)}$
$c^2 = (a^2-c)(b^2-c)$
$c^2 = a^2b^2 - a^2c - b^2c + c^2$
$a^2b^2 = c(a^2+b^2)$
दोनों पक्षों को $a^2b^2c$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{b^2} + \frac{1}{a^2} = \frac{1}{c}$

(A) दो वृत्तों $x^{2}+y^{2}+2g_{1}x+2f_{1}y+c_{1}=0$ और $x^{2}+y^{2}+2g_{2}x+2f_{2}y+c_{2}=0$ के लंबकोणीय प्रतिच्छेद करने की शर्त $2g_{1}g_{2}+2f_{1}f_{2}=c_{1}+c_{2}$ है।
दिए गए वृत्तों के लिए:
वृत्त $1$: $g_{1}=1, f_{1}=k, c_{1}=6$.
वृत्त $2$: $g_{2}=0, f_{2}=k, c_{2}=k$.
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$2(1)(0) + 2(k)(k) = 6 + k$
$0 + 2k^{2} = 6 + k$
$2k^{2} - k - 6 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(2k+3)(k-2) = 0$
अतः,$k = 2$ या $k = -3/2$.

(D) वृत्त $x^2+y^2-6x=0$ के लिए,केंद्र $C_1 = (3, 0)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{3^2+0^2-0} = 3$ है।
वृत्त $x^2+y^2+6x+2y+1=0$ के लिए,केंद्र $C_2 = (-3, -1)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{(-3)^2+(-1)^2-1} = \sqrt{9+1-1} = 3$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = C_1C_2 = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (0 - (-1))^2} = \sqrt{6^2 + 1^2} = \sqrt{37}$ है।
चूंकि $r_1 + r_2 = 3 + 3 = 6$ और $\sqrt{36} < \sqrt{37}$,इसलिए $d > r_1 + r_2$ है।
चूंकि केंद्रों के बीच की दूरी त्रिज्याओं के योग से अधिक है,इसलिए दोनों वृत्त एक-दूसरे के बाहर स्थित हैं और एक-दूसरे को स्पर्श नहीं करते हैं।
अतः,खींची जा सकने वाली उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की संख्या $4$ है।

(A) दिया गया वृत्त $x^2+y^2-4x-6y-12=0$ है। इसका केंद्र $C_1(2, 3)$ और त्रिज्या $R = \sqrt{2^2+3^2-(-12)} = \sqrt{25} = 5$ है।
माना अभीष्ट वृत्त का केंद्र $C_2(h, k)$ और त्रिज्या $r = 3$ है।
चूंकि वृत्त बिंदु $P(-1, -1)$ पर आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं,इसलिए $P$,$C_1C_2$ को $R:r = 5:3$ के अनुपात में बाह्य विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$-1 = \frac{5h - 3(2)}{5-3} \implies -2 = 5h - 6 \implies h = \frac{4}{5}$
$-1 = \frac{5k - 3(3)}{5-3} \implies -2 = 5k - 9 \implies k = \frac{7}{5}$
अतः,केंद्र $\left(\frac{4}{5}, \frac{7}{5}\right)$ है।

(D) माना अभीष्ट वृत्त $S: x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0$ है।
वृत्त $x^{2}+y^{2}+2g_{i}x+2f_{i}y+c_{i}=0$ के लिए,लंबकोणीय होने की शर्त $2gg_{i}+2ff_{i}=c+c_{i}$ है।
दिए गए वृत्तों के लिए:
$S_{1}: x^{2}+y^{2}+6x+0y-1=0 \implies 6g=c-1$ $(i)$
$S_{2}: x^{2}+y^{2}+0x-3y+2=0 \implies -3f=c+2$ (ii)
$S_{3}: x^{2}+y^{2}+x+y-3=0 \implies g+f=c-3$ (iii)
$(i)$ और (ii) से: $6g+3f=-3 \implies 2g+f=-1$ (iv)
$(i)$ और (iii) से: $5g-f=2$ $(v)$
(iv) और $(v)$ को जोड़ने पर: $7g=1 \implies g=1/7$.
$g$ का मान (iv) में रखने पर: $f=-9/7$.
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (-1/7, 9/7)$ है।

(C) माना अभीष्ट वृत्त का समीकरण $x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0$ है।
दो वृत्त $x^{2}+y^{2}+2g_{1}x+2f_{1}y+c_{1}=0$ और $x^{2}+y^{2}+2g_{2}x+2f_{2}y+c_{2}=0$ लंबकोणीय होते हैं यदि $2g_{1}g_{2}+2f_{1}f_{2}=c_{1}+c_{2}$ हो।
दिए गए वृत्तों के लिए,शर्तें हैं:
$1) -g-f = c-14 \implies -g-f-c = -14$
$2) 3g-5f = c-10 \implies 3g-5f-c = -10$
$3) -2g+3f = c-27 \implies -2g+3f-c = -27$
$(2)$ में से $(1)$ घटाने पर: $4g-4f = 4 \implies g-f = 1 \implies g = f+1$।
$(3)$ में से $(1)$ घटाने पर: $-g+4f = -13$।
$g = f+1$ प्रतिस्थापित करने पर: $-(f+1)+4f = -13 \implies 3f = -12 \implies f = -4$।
अतः $g = -4+1 = -3$।
$(1)$ से: $-(-3)-(-4) = c-14 \implies 3+4 = c-14 \implies c = 21$।
वृत्त का समीकरण $x^{2}+y^{2}-6x-8y+21=0$ है।
त्रिज्या $r = \sqrt{g^{2}+f^{2}-c} = \sqrt{(-3)^{2}+(-4)^{2}-21} = \sqrt{9+16-21} = \sqrt{4} = 2$।
व्यास $2r = 2 \times 2 = 4$ है।

(C) तीन वृत्तों का रेडिकल केंद्र तभी मौजूद होता है जब उनकी रेडिकल अक्ष समानांतर न हों।
सबसे पहले,$S_{1}$ और $S_{2}$ की रेडिकल अक्ष $S_{1} - S_{2} = 0$ द्वारा ज्ञात करें:
$-4x - 2y + 1 = 0 \Rightarrow 4x + 2y - 1 = 0$.
इसके बाद,$S_{2}$ और $S_{3}$ की रेडिकल अक्ष $S_{2} - S_{3} = 0$ द्वारा ज्ञात करें:
$-(2+2k)x - 6y + 2 = 0 \Rightarrow (2+2k)x + 6y - 2 = 0$.
यदि ये दो रेखाएं समानांतर हैं तो रेडिकल केंद्र मौजूद नहीं होता है।
दो रेखाएं $a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ और $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ समानांतर होती हैं यदि $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}}$ हो।
अतः,$\frac{4}{2+2k} = \frac{2}{6}$.
$24 = 4 + 4k$ $\Rightarrow 20 = 4k$ $\Rightarrow k = 5$.
इस प्रकार,यदि $k = 5$ है,तो रेखाएं समानांतर हैं और रेडिकल केंद्र मौजूद नहीं है।
इसलिए,$k$ का मान $5$ नहीं हो सकता है।

(A) दिए गए वृत्तों $x^{2}+y^{2}=9$ और $x^{2}+y^{2}+2 \alpha x+2 y+1=0$ के केंद्र और त्रिज्याएँ $C_{1}(0,0), r_{1}=3$ और $C_{2}(-\alpha, -1), r_{2}=\sqrt{(-\alpha)^{2}+(-1)^{2}-1} = |\alpha|$ हैं।
चूंकि दो वृत्त आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं,इसलिए उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के अंतर के बराबर होनी चाहिए:
$C_{1}C_{2} = |r_{1} - r_{2}|$
$\sqrt{(-\alpha - 0)^{2} + (-1 - 0)^{2}} = |3 - |\alpha||$
$\sqrt{\alpha^{2} + 1} = |3 - |\alpha||$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\alpha^{2} + 1 = (3 - |\alpha|)^{2}$
$\alpha^{2} + 1 = 9 - 6|\alpha| + \alpha^{2}$
$6|\alpha| = 8$
$|\alpha| = \frac{4}{3}$
$\alpha = \pm \frac{4}{3}$

(D) वृत्तों के दिए गए समीकरण हैं:
$2 x^{2}+2 y^{2}+4 x+5 y+1=0 \Rightarrow x^{2}+y^{2}+2 x+\frac{5}{2} y+\frac{1}{2}=0 \quad \dots (i)$
$3 x^{2}+3 y^{2}+6 x-7 y+3 k=0 \Rightarrow x^{2}+y^{2}+2 x-\frac{7}{3} y+k=0 \quad \dots (ii)$
इन्हें मानक रूप $x^{2}+y^{2}+2 g x+2 f y+c=0$ से तुलना करने पर:
$(i)$ के लिए: $g_{1}=1, f_{1}=\frac{5}{4}, c_{1}=\frac{1}{2}$
$(ii)$ के लिए: $g_{2}=1, f_{2}=-\frac{7}{6}, c_{2}=k$
दो वृत्तों के लंबकोणीय होने की शर्त $2 g_{1} g_{2}+2 f_{1} f_{2}=c_{1}+c_{2}$ है।
मान रखने पर:
$2(1)(1)+2\left(\frac{5}{4}\right)\left(-\frac{7}{6}\right)=\frac{1}{2}+k$
$2-\frac{35}{12}=\frac{1}{2}+k$
$\frac{24-35}{12}=\frac{1}{2}+k$
$-\frac{11}{12}=\frac{1}{2}+k$
$k=-\frac{11}{12}-\frac{6}{12}=-\frac{17}{12}$

(B) दिया गया वृत्त $x^2+y^2+6x-8y-11=0$ है। इसका केंद्र $C_1 = (-3, 4)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{(-3)^2 + 4^2 - (-11)} = \sqrt{9+16+11} = \sqrt{36} = 6$ है।
माना अभीष्ट वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है,जिसका केंद्र $C_2 = (-g, -f)$ और त्रिज्या $r_2 = 3$ है।
चूंकि वृत्त $(3,0)$ पर बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,बिंदु $(3,0)$ केंद्रों $C_1(-3, 4)$ और $C_2(-g, -f)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $r_1:r_2 = 6:3 = 2:1$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$3 = \frac{2(-g) + 1(-3)}{2+1}$ $\Rightarrow 3 = \frac{-2g-3}{3}$ $\Rightarrow 9 = -2g-3$ $\Rightarrow 2g = -12$ $\Rightarrow g = -6$.
$0 = \frac{2(-f) + 1(4)}{2+1}$ $\Rightarrow 0 = \frac{-2f+4}{3}$ $\Rightarrow 0 = -2f+4$ $\Rightarrow 2f = 4$ $\Rightarrow f = 2$.
दूसरे वृत्त की त्रिज्या $r_2 = \sqrt{g^2+f^2-c} = 3$ है।
$g=-6$ और $f=2$ रखने पर: $\sqrt{(-6)^2 + 2^2 - c} = 3$ $\Rightarrow 36+4-c = 9$ $\Rightarrow 40-c = 9$ $\Rightarrow c = 31$.
अंत में,$3g-4f+c = 3(-6) - 4(2) + 31 = -18 - 8 + 31 = 5$.

(A) दो वृत्तों के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र $\cos \theta = \frac{r_1^2+r_2^2-d^2}{2 r_1 r_2}$ है।
$(A)$ $(x-2)^2+y^2=2$ $(r_1=\sqrt{2}, c_1=(2,0))$ और $(x-2)^2+(y-1)^2=1$ $(r_2=1, c_2=(2,1))$।
$d^2 = (2-2)^2 + (1-0)^2 = 1$.
$\cos \theta = \frac{2+1-1}{2 \times \sqrt{2} \times 1} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\theta = 45^{\circ}$ या $135^{\circ}$। अतः,$(A)$ का मिलान $II$ से होता है।
$(B)$ $x^2+y^2-6x-6y+9=0$ $(r_1=\sqrt{3^2+3^2-9}=3, c_1=(3,3))$ और $x^2+y^2-4x+4y-9=0$ $(r_2=\sqrt{2^2+(-2)^2-(-9)}=\sqrt{17}, c_2=(2,-2))$।
$d^2 = (3-2)^2 + (3-(-2))^2 = 1^2 + 5^2 = 26$.
$\cos \theta = \frac{9+17-26}{2 \times 3 \times \sqrt{17}} = 0$.
$\theta = 90^{\circ}$। अतः,$(B)$ का मिलान $I$ से होता है।
$(C)$ $x^2+y^2+4x-14y+28=0$ $(r_1=\sqrt{(-2)^2+7^2-28}=5, c_1=(-2,7))$ और $x^2+y^2+4x-5=0$ $(r_2=\sqrt{(-2)^2+0^2-(-5)}=3, c_2=(-2,0))$।
$d^2 = (-2-(-2))^2 + (7-0)^2 = 49$.
$\cos \theta = \frac{25+9-49}{2 \times 5 \times 3} = \frac{-15}{30} = -\frac{1}{2}$.
$\theta = 120^{\circ}$ या $60^{\circ}$। अतः,$(C)$ का मिलान $III$ से होता है।
अतः,सही मिलान $A-II, B-I, C-III$ है।

(C) माना कि अभीष्ट वृत्त की त्रिज्या $r$ है।
ज्यामिति से,वृत्त का केंद्र $x$-अक्ष पर $(h, 0)$ पर स्थित है।
रेखाएँ $x+y=2$ और $x-y=2$ बिंदु $P(2, 0)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
केंद्र $(h, 0)$ से रेखा $x+y-2=0$ की दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर है।
$\frac{|h+0-2|}{\sqrt{1^2+1^2}} = r \Rightarrow \frac{|h-2|}{\sqrt{2}} = r$.
चूँकि वृत्त $P(2, 0)$ के बाईं ओर है,$h < 2$,इसलिए $\frac{2-h}{\sqrt{2}} = r \Rightarrow h = 2 - r\sqrt{2}$.
साथ ही,वृत्त $x^2+y^2=1$ को बाह्य रूप से स्पर्श करता है,इसलिए केंद्रों के बीच की दूरी $r_1+r_2$ है।
$(h, 0)$ और $(0, 0)$ के बीच की दूरी $h = 1+r$ है।
$h$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$1+r = 2 - r\sqrt{2}$
$r(1+\sqrt{2}) = 1$
$r = \frac{1}{\sqrt{2}+1} = \sqrt{2}-1$.
तब $h = 1 + (\sqrt{2}-1) = \sqrt{2}$.
वृत्त का समीकरण $(x-\sqrt{2})^2 + y^2 = r^2 = (\sqrt{2}-1)^2 = 3-2\sqrt{2}$ है।

(D) वृत्त $S_1 \equiv x^2+y^2-14x+6y+33=0$ के लिए,केंद्र $C_1 = (7, -3)$ और त्रिज्या $r_1 = 5$ है।
वृत्त $S_2 \equiv x^2+y^2+30x-2y+1=0$ के लिए,केंद्र $C_2 = (-15, 1)$ और त्रिज्या $r_2 = 15$ है।
आंतरिक समानता का केंद्र $A$,$C_1C_2$ को $r_1:r_2 = 1:3$ के अनुपात में विभाजित करता है।
$A = \left(\frac{3}{2}, -2\right)$।
बाह्य समानता का केंद्र $B$,$C_1C_2$ को $1:3$ के अनुपात में बाह्य रूप से विभाजित करता है।
$B = (18, -5)$।
$AB$ का मध्यबिंदु $\left(\frac{39}{4}, \frac{-7}{2}\right)$ है।

(D) मान लीजिए वृत्तों $S=0$ और $S'=0$ के केंद्र क्रमशः $C$ और $C'$ हैं।
$S \equiv x^2+y^2-6x+2ky+1=0$ के लिए,केंद्र $C = (3, -k)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{3^2+(-k)^2-1} = \sqrt{8+k^2}$ है।
$S' \equiv x^2+y^2+2kx-6y-7=0$ के लिए,केंद्र $C' = (-k, 3)$ और त्रिज्या $r' = \sqrt{(-k)^2+3^2-(-7)} = \sqrt{k^2+16}$ है।
चूंकि $S=0$ पर $P$ पर स्पर्शरेखा $C'$ से गुजरती है,इसलिए $CP \perp C'P$ है। इसी प्रकार,$S'=0$ पर $P$ पर स्पर्शरेखा $C$ से गुजरती है,इसलिए $C'P \perp CP$ है।
अतः,$\triangle CPC'$ बिंदु $P$ पर एक समकोण त्रिभुज है,जहाँ $CP = r$ और $C'P = r'$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$CP^2 + C'P^2 = CC'^2$ है।
$r^2 + r'^2 = (3 - (-k))^2 + (-k - 3)^2$ है।
$(8+k^2) + (k^2+16) = (3+k)^2 + (-(k+3))^2$ है।
$2k^2 + 24 = 2(k+3)^2 = 2(k^2+6k+9) = 2k^2+12k+18$ है।
$24 = 12k + 18$ $\Rightarrow 12k = 6$ $\Rightarrow k = \frac{1}{2}$ है।
$S'=0$ की त्रिज्या $r' = \sqrt{k^2+16} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2+16} = \sqrt{\frac{1}{4}+16} = \sqrt{\frac{65}{4}} = \frac{\sqrt{65}}{2}$ है।

(D) वृत्त $C_1: x^2+y^2+2 \alpha x+c=0$ का केंद्र $O_1(-\alpha, 0)$ है और इसकी त्रिज्या $r_1 = \sqrt{\alpha^2-c}$ है।
वृत्त $C_2: x^2+y^2+2 \beta x+c=0$ का केंद्र $O_2(-\beta, 0)$ है और इसकी त्रिज्या $r_2 = \sqrt{\beta^2-c}$ है।
$C_1$ को $C_2$ के पूर्णतः अंदर स्थित होने के लिए,केंद्रों के बीच की दूरी $d = |O_1O_2| = |\beta - \alpha|$ को $d + r_1 < r_2$ की शर्त को पूरा करना चाहिए।
इन शर्तों के आधार पर,सही विकल्प $\alpha \beta > 0$ है।

(D) वृत्त $S = 0$ और रेखा $L = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण $S + \lambda L = 0$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$S = x^2 + y^2 - a^2 = 0$ और $L = x \cos \alpha + y \sin \alpha - p = 0$ है।
अतः,वृत्त का समीकरण $(x^2 + y^2 - a^2) + \lambda(x \cos \alpha + y \sin \alpha - p) = 0$ है।
चूंकि $AB$ व्यास है,इस वृत्त का केंद्र रेखा $L = 0$ पर स्थित होना चाहिए।
वृत्त $(x^2 + y^2 + \lambda x \cos \alpha + \lambda y \sin \alpha - a^2 - \lambda p) = 0$ का केंद्र $(-\frac{\lambda \cos \alpha}{2}, -\frac{\lambda \sin \alpha}{2})$ है।
इसे $x \cos \alpha + y \sin \alpha - p = 0$ में रखने पर:
$(-\frac{\lambda \cos \alpha}{2}) \cos \alpha + (-\frac{\lambda \sin \alpha}{2}) \sin \alpha - p = 0$
$-\frac{\lambda}{2}(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = p$
$-\frac{\lambda}{2} = p \Rightarrow \lambda = -2p$।
$\lambda = -2p$ को समीकरण में रखने पर:
$x^2 + y^2 - a^2 - 2p(x \cos \alpha + y \sin \alpha - p) = 0$।

(C) माना $S_1 = x^2+y^2-8x-6y+21=0$ और $S_2 = x^2+y^2-2x-15=0$ है।
वृत्तों के परिवार के समीकरण $S_1 + \lambda S_2 = 0$ का उपयोग करने पर:
$(x^2+y^2-8x-6y+21) + \lambda(x^2+y^2-2x-15) = 0$.
चूंकि यह वृत्त बिंदु $(1, 2)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $x=1$ और $y=2$ रखने पर:
$(1^2+2^2-8(1)-6(2)+21) + \lambda(1^2+2^2-2(1)-15) = 0$.
$6 + \lambda(-12) = 0$.
$\lambda = \frac{1}{2}$.
$\lambda = \frac{1}{2}$ का मान रखने पर:
$2(x^2+y^2-8x-6y+21) + (x^2+y^2-2x-15) = 0$.
$3x^2+3y^2-18x-12y+27 = 0$.
$3(x^2+y^2)-18x-12y+27 = 0$.

(A) दो वृत्तों $S_1=0$ और $S_2=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $S_1 + \lambda S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $S_1: x^2+y^2-8x-6y+21=0$ और $S_2: x^2+y^2-2x-15=0$ है।
समीकरण: $(x^2+y^2-8x-6y+21) + \lambda(x^2+y^2-2x-15) = 0$ है।
चूँकि वृत्त बिंदु $(1,2)$ से होकर गुजरता है,$x=1$ और $y=2$ रखने पर:
$(1^2+2^2-8(1)-6(2)+21) + \lambda(1^2+2^2-2(1)-15) = 0$
$(1+4-8-12+21) + \lambda(5-2-15) = 0$
$6 + \lambda(-12) = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
$\lambda = \frac{1}{2}$ को समीकरण में रखने पर:
$(x^2+y^2-8x-6y+21) + \frac{1}{2}(x^2+y^2-2x-15) = 0$
$2$ से गुणा करने पर:
$2(x^2+y^2-8x-6y+21) + (x^2+y^2-2x-15) = 0$
$3x^2+3y^2-18x-12y+27 = 0$
$3$ से भाग देने पर:
$x^2+y^2-6x-4y+9 = 0$।