Pole and Polar Questions in Hindi

(D) वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के लिए बिंदु $(x_1, y_1)$ के ध्रुव का समीकरण $xx_1 + yy_1 + g(x + x_1) + f(y + y_1) + c = 0$ होता है।
वृत्त $S_1$ के लिए,ध्रुव का समीकरण $x - 5y - 13 = 0$ प्राप्त होता है।
वृत्त $S_2$ के लिए,ध्रुव का समीकरण $x + y - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि दोनों रेखाओं की ढाल अलग-अलग है,इसलिए वे एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

(B) माना ध्रुव $(x_1, y_1)$ है।
वृत्त $x^2 + y^2 = 1$ के सापेक्ष बिंदु $(x_1, y_1)$ की ध्रुवीय रेखा (polar) का समीकरण $x x_1 + y y_1 = 1$ होता है।
दी गई रेखा $lx + my + n = 0$ को $x(\frac{l}{-n}) + y(\frac{m}{-n}) = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x_1 = -\frac{l}{n}$ और $y_1 = -\frac{m}{n}$।
अतः,ध्रुव के निर्देशांक $\left( -\frac{l}{n}, -\frac{m}{n} \right)$ हैं।

(B) माना कि ध्रुव $(x_1, y_1)$ है। वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ के सापेक्ष बिंदु $(x_1, y_1)$ की ध्रुवीय रेखा का समीकरण $xx_1 + yy_1 = a^2$ होता है।
दिए गए वृत्त $x^2 + y^2 = 5$ के लिए,ध्रुवीय रेखा का समीकरण $xx_1 + yy_1 = 5$ होगा।
हमें रेखा $x + 2y = 1$ दी गई है,जिसे $5$ से गुणा करने पर $5x + 10y = 5$ प्राप्त होता है।
$xx_1 + yy_1 = 5$ और $5x + 10y = 5$ की तुलना करने पर,हमें $x_1 = 5$ और $y_1 = 10$ प्राप्त होता है।
अतः,ध्रुव $(5, 10)$ है।

(C) वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के सापेक्ष बिंदु $(x_1, y_1)$ के ध्रुव का समीकरण $xx_1 + yy_1 + g(x + x_1) + f(y + y_1) + c = 0$ होता है।
बिंदु $(0, 0)$ और वृत्त $x^2 + y^2 + 2\lambda x + 2\mu y + c = 0$ के लिए,ध्रुव $\lambda(x + 0) + \mu(y + 0) + c = 0$ है,जो $\lambda x + \mu y + c = 0$ में सरल हो जाता है।
यह रेखा वृत्त $x^2 + y^2 = r^2$ को स्पर्श करती है यदि केंद्र $(0, 0)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर हो।
$(0, 0)$ से $\lambda x + \mu y + c = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|c|}{\sqrt{\lambda^2 + \mu^2}}$ है।
$d = r$ रखने पर,$\frac{|c|}{\sqrt{\lambda^2 + \mu^2}} = r$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{c^2}{\lambda^2 + \mu^2} = r^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $c^2 = r^2(\lambda^2 + \mu^2)$।

(C) वृत्त का समीकरण $2x^2 + 2y^2 - 3x + 5y - 7 = 0$ है। $2$ से भाग देने पर,$x^2 + y^2 - \frac{3}{2}x + \frac{5}{2}y - \frac{7}{2} = 0$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ के ध्रुवीय रेखा का समीकरण $xx_1 + yy_1 + g(x + x_1) + f(y + y_1) + c = 0$ होता है।
यहाँ $g = -\frac{3}{4}$,$f = \frac{5}{4}$,और $c = -\frac{7}{2}$ है।
ध्रुवीय रेखा का समीकरण $x(x_1 - \frac{3}{4}) + y(y_1 + \frac{5}{4}) - \frac{3}{4}x_1 + \frac{5}{4}y_1 - \frac{7}{2} = 0$ है।
इस रेखा की तुलना $9x + y - 28 = 0$ से करने पर,हमें $x_1 = 3$ और $y_1 = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,ध्रुव $(3, -1)$ है।

(A) बिंदु $(x', y')$ के सापेक्ष वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ की ध्रुवीय रेखा का समीकरण $xx' + yy' = a^2$ होता है,जिसे $x'x + y'y - a^2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह दिया गया है कि ध्रुवीय रेखा का समीकरण $Ax + By + C = 0$ है।
दोनों समीकरणों के गुणांकों की तुलना करने पर:
$\frac{x'}{A} = \frac{y'}{B} = \frac{-a^2}{C}$
इससे हमें प्राप्त होता है:
$x' = \frac{a^2 A}{-C}$
$y' = \frac{a^2 B}{-C}$
अतः,ध्रुव $(x', y')$ का मान $\left( \frac{a^2 A}{-C}, \frac{a^2 B}{-C} \right)$ है।

(B) वृत्त का समीकरण $(x - 2)^2 + y^2 = 4$ है,जिसे $x^2 + y^2 - 4x = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ $g = -2$,$f = 0$ और $c = 0$ है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ के लिए ध्रुवीय का सूत्र $xx_1 + yy_1 + g(x + x_1) + f(y + y_1) + c = 0$ है।
मान रखने पर: $5x - \frac{1}{2}y - 2(x + 5) = 0$
$5x - \frac{y}{2} - 2x - 10 = 0$
$3x - \frac{y}{2} - 10 = 0$
$2$ से गुणा करने पर,$6x - y - 20 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) माना ध्रुव $(x_1, y_1)$ है। वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ के सापेक्ष बिंदु $(x_1, y_1)$ की ध्रुवीय रेखा का समीकरण $xx_1 + yy_1 = a^2$ होता है।
यहाँ,$a^2 = 64$,इसलिए ध्रुवीय रेखा का समीकरण $xx_1 + yy_1 = 64$ $... (i)$ है।
यह दिया गया है कि रेखा $2x + 3y = 4$ ध्रुवीय रेखा के समान है,इसलिए:
$\frac{x_1}{2} = \frac{y_1}{3} = \frac{-64}{-4}$
$\frac{x_1}{2} = 16 \Rightarrow x_1 = 32$
$\frac{y_1}{3} = 16 \Rightarrow y_1 = 48$
अतः,ध्रुव $(32, 48)$ है।

(A) वृत्त $x^2 + y^2 = r^2$ के सापेक्ष बिंदु $(x_1, y_1)$ के ध्रुव का समीकरण $xx_1 + yy_1 = r^2$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया बिंदु $(x_1, y_1) = (1, 2)$ है और वृत्त $x^2 + y^2 = 7$ है,इसलिए $r^2 = 7$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x(1) + y(2) = 7$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $x + 2y = 7$ या $x + 2y - 7 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ $(i)$ है।
माना $(h, k)$ जीवा का ध्रुव है।
$(h, k)$ का ध्रुवीय समीकरण $\frac{xh}{a^2} + \frac{yk}{b^2} = 1$ $(ii)$ है।
यदि यह जीवा बिंदु $\theta$ पर अभिलंब है,तो इसका समीकरण $ax \sec \theta - by \csc \theta = a^2 - b^2$ $(iii)$ है।
$(ii)$ और $(iii)$ की तुलना करने पर:
$\frac{h/a^2}{a \sec \theta} = \frac{k/b^2}{-b \csc \theta} = \frac{1}{a^2 - b^2}$.
इससे $\cos \theta = \frac{a^3}{h(a^2 - b^2)}$ और $\sin \theta = \frac{-b^3}{k(a^2 - b^2)}$ प्राप्त होता है।
$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर:
$\frac{a^6}{h^2(a^2 - b^2)^2} + \frac{b^6}{k^2(a^2 - b^2)^2} = 1$.
अतः $(h, k)$ का बिंदुपथ $\frac{a^6}{x^2} + \frac{b^6}{y^2} = (a^2 - b^2)^2$ है।

(C) दिया गया वृत्त $x^2+y^2-2x-2y+1=0$ है,जिसे $(x-1)^2+(y-1)^2=1$ के रूप में लिखा जा सकता है। केंद्र $O(1, 1)$ और त्रिज्या $r=1$ है।
माना $Q$,$P(2, 3)$ का प्रतिलोम बिंदु है। प्रतिलोम बिंदु $Q$,रेखा $OP$ पर स्थित होता है ताकि $OP \times OQ = r^2$ हो।
$OP$ की ढाल $\frac{3-1}{2-1} = 2$ है। रेखा $OP$ का समीकरण $y-1 = 2(x-1)$ है,जो $2x-y-1=0$ में सरल हो जाता है।
$OP = \sqrt{(2-1)^2+(3-1)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$ है।
चूंकि $OP \times OQ = r^2 = 1$,इसलिए $OQ = \frac{1}{\sqrt{5}}$ है।
माना $Q$ के निर्देशांक $(h, k)$ हैं। चूंकि $Q$,$2x-y-1=0$ पर स्थित है,इसलिए $k = 2h-1$ है। साथ ही,दूरी $OQ = \sqrt{(h-1)^2+(k-1)^2} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ है।
$k-1 = 2h-2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\sqrt{(h-1)^2+(2h-2)^2} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ $\Rightarrow \sqrt{5(h-1)^2} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ $\Rightarrow 5(h-1)^2 = 1$ $\Rightarrow (h-1)^2 = \frac{1}{5}$ प्राप्त होता है।
$h-1 = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} \Rightarrow h = 1 \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$ है।
$h = 1 + \frac{1}{\sqrt{5}}$ के लिए,$k = 2(1 + \frac{1}{\sqrt{5}}) - 1 = 1 + \frac{2}{\sqrt{5}}$ है।
अतः $Q = (1 + \frac{1}{\sqrt{5}}, 1 + \frac{2}{\sqrt{5}})$ है।
$PQ$ को व्यास मानकर वृत्त का समीकरण $(x-2)(x-(1+\frac{1}{\sqrt{5}})) + (y-3)(y-(1+\frac{2}{\sqrt{5}})) = 0$ है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $5x^2+5y^2-16x-22y+33=0$ प्राप्त होता है।

(B) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-10x-10y+25=0$ है।
दिया गया बिंदु $P$ $(1, -2)$ है।
वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ के सापेक्ष बिंदु $(x_1, y_1)$ के ध्रुव का समीकरण $xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0$ होता है।
यहाँ,$g = -5$,$f = -5$,$c = 25$,$x_1 = 1$,और $y_1 = -2$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$x(1) + y(-2) - 5(x+1) - 5(y-2) + 25 = 0$
$x - 2y - 5x - 5 - 5y + 10 + 25 = 0$
$-4x - 7y + 30 = 0$
$-1$ से गुणा करने पर,हमें $4x + 7y - 30 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) वृत्त $x^2+y^2-2x-2y+1=0$ के सापेक्ष बिंदु $P(2,3)$ के ध्रुवीय का समीकरण $T=0$ द्वारा दिया जाता है:
$x(2)+y(3)-(x+2)-(y+3)+1=0$
$x+2y-4=0$ $\ldots(i)$
वृत्त का केंद्र $C(1,1)$ है और त्रिज्या $r = 1$ है।
$P(2,3)$ और $C(1,1)$ को जोड़ने वाली रेखा $2x-y-1=0$ है $\ldots(ii)$।
$P$ का प्रतिलोम बिंदु $Q$,रेखा $CP$ और $P$ के ध्रुवीय का प्रतिच्छेदन बिंदु है। $(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर:
$Q = (\frac{6}{5}, \frac{7}{5})$।
$Q(\frac{6}{5}, \frac{7}{5})$ के ध्रुवीय का समीकरण:
$x+2y-8=0$ $\ldots(iii)$।
समांतर रेखाओं $x+2y-4=0$ और $x+2y-8=0$ के बीच की दूरी:
$d = \frac{|-4 - (-8)|}{\sqrt{1^2+2^2}} = \frac{4}{\sqrt{5}}$।
अतः,विकल्प $(b)$ सही है।

(B) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2 + y^2 + 8x - 6y - 24 = 0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$(x + 4)^2 + (y - 3)^2 = 49$ प्राप्त होता है।
अतः,केंद्र $C(-4, 3)$ और त्रिज्या $r = 7$ है।
दो रेखाएं $l_1: a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $l_2: a_2x + b_2y + c_2 = 0$ केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त के सापेक्ष संयुग्मी होती हैं यदि $r^2(a_1a_2 + b_1b_2) = (a_1h + b_1k + c_1)(a_2h + b_2k + c_2)$ हो।
यहाँ,$a_1 = 2, b_1 = -3, c_1 = 3$ और $a_2 = 1, b_2 = 2, c_2 = k$ है।
मान रखने पर: $49(2(1) + (-3)(2)) = (2(-4) - 3(3) + 3)(1(-4) + 2(3) + k)$.
$49(-4) = (-14)(2 + k)$.
$196 = 14(2 + k)$ $\Rightarrow 14 = 2 + k$ $\Rightarrow k = 12$.
बिंदु $\left(\frac{12}{4}, \frac{12}{3}\right) = (3, 4)$ है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ से वृत्त $S = 0$ पर स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{S(x_1, y_1)}$ होती है।
$L = \sqrt{3^2 + 4^2 + 8(3) - 6(4) - 24} = \sqrt{9 + 16 + 24 - 24 - 24} = \sqrt{1} = 1$.

(B) माना $(h, k)$ रेखा $9x + y - 28 = 0$ का वृत्त $x^2 + y^2 - \frac{3}{2}x + \frac{5}{2}y - \frac{7}{2} = 0$ के सापेक्ष ध्रुव है।
ध्रुवीय रेखा का समीकरण $hx + ky - \frac{3}{4}(x + h) + \frac{5}{4}(y + k) - \frac{7}{2} = 0$ है।
इसे सरल करने पर $x(4h - 3) + y(4k + 5) - 3h + 5k - 14 = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि यह रेखा और $9x + y - 28 = 0$ समान हैं,इसलिए गुणांक समानुपाती होंगे:
$\frac{4h - 3}{9} = \frac{4k + 5}{1} = \frac{-3h + 5k - 14}{-28} = \lambda$.
हल करने पर $\lambda = 1$ प्राप्त होता है,जिससे $h = 3$ और $k = -1$ मिलता है।
अतः,ध्रुव $(3, -1)$ है।

(D) वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ के सापेक्ष बिंदु $(x_1, y_1)$ के ध्रुव का समीकरण $xx_1 + yy_1 + g(x+x_1) + f(y+y_1) + c = 0$ है।
दिए गए वृत्त $x^2+y^2-4x-6y+1=0$ के लिए,$g=-2, f=-3, c=1$ है।
बिंदु $(2t, t-4)$ का ध्रुव है:
$x(2t) + y(t-4) - 2(x+2t) - 3(y+t-4) + 1 = 0$
$2tx + ty - 4y - 2x - 4t - 3y - 3t + 12 + 1 = 0$
$2tx + ty - 2x - 7y - 7t + 13 = 0$
$t$ के पदों को व्यवस्थित करने पर:
$t(2x + y - 7) + (-2x - 7y + 13) = 0$
सभी $t \in R$ के लिए संगामी होने हेतु,दोनों भाग शून्य होने चाहिए:
$2x + y - 7 = 0$ (समीकरण $1$)
$-2x - 7y + 13 = 0$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ और $2$ को जोड़ने पर:
$-6y + 6 = 0 \implies y = 1$
$y=1$ को समीकरण $1$ में रखने पर:
$2x + 1 - 7 = 0 \implies 2x = 6 \implies x = 3$
संगामी बिंदु $(3, 1)$ है।

(A) माना वृत्त $x^2+y^2=4$ की स्पर्श रेखा $x \cos \theta + y \sin \theta = 2$ है।
इस रेखा को $x \cos \theta + y \sin \theta - 2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $(x_1, y_1)$ वृत्त $(x+2)^2+y^2=8$ के सापेक्ष इस स्पर्श रेखा का ध्रुव है,जिसका विस्तार $x^2+y^2+4x-4=0$ है।
$(x_1, y_1)$ के ध्रुवीय का समीकरण $x x_1 + y y_1 + 2(x+x_1) - 4 = 0$ है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,$(x_1+2)x + y_1 y + (2x_1-4) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि ये दोनों रेखाएं समान हैं,गुणांकों की तुलना करने पर:
$\frac{\cos \theta}{x_1+2} = \frac{\sin \theta}{y_1} = \frac{-1}{x_1-2}$।
अतः,$\cos \theta = -\frac{x_1+2}{x_1-2}$ और $\sin \theta = -\frac{y_1}{x_1-2}$।
सर्वसमिका $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर,$(x_1+2)^2 + y_1^2 = (x_1-2)^2$ प्राप्त होता है।
$x_1^2 + 4x_1 + 4 + y_1^2 = x_1^2 - 4x_1 + 4$।
$y_1^2 + 8x_1 = 0$।
$(x_1, y_1)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदु पथ $y^2+8x=0$ प्राप्त होता है।

(C) वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के सापेक्ष बिंदु $P(x_1, y_1)$ की ध्रुवीय रेखा का समीकरण $xx_1 + yy_1 + g(x + x_1) + f(y + y_1) + c = 0$ होता है।
दिए गए वृत्त $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 3 = 0$ के लिए,$g = -1$,$f = 2$ और $c = 3$ है।
मान रखने पर,ध्रुवीय रेखा का समीकरण $xx_1 + yy_1 - 1(x + x_1) + 2(y + y_1) + 3 = 0$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$x(x_1 - 1) + y(y_1 + 2) - x_1 + 2y_1 + 3 = 0$ मिलता है।
दिए गए समीकरण $2x - 3y + 1 = 0$ से तुलना करने पर:
$\frac{x_1 - 1}{2} = \frac{y_1 + 2}{-3} = \frac{-x_1 + 2y_1 + 3}{1} = k$ (माना)।
प्रथम दो अनुपातों से,$x_1 = 2k + 1$ और $y_1 = -3k - 2$ प्राप्त होता है।
तीसरे अनुपात में मान रखने पर: $- (2k + 1) + 2(-3k - 2) + 3 = k$।
$-8k - 2 = k \implies 9k = -2 \implies k = -2/9$।
अतः,$x_1 = 5/9$ और $y_1 = -4/3$।
अंत में,$3x_1 - y_1 = 3(5/9) - (-4/3) = 5/3 + 4/3 = 3$।

(C) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0$ है। केंद्र $(1, 2)$ और त्रिज्या $r = 3$ है।
दो रेखाएँ $L_1$ और $L_2$ वृत्त के सापेक्ष संयुग्मी होती हैं यदि $L_1$ का ध्रुव $L_2$ पर स्थित हो।
रेखा $2kx + 3y - 1 = 0$ का ध्रुव $(x_1, y_1)$ ज्ञात करके और उसे $2x + y + 5 = 0$ में रखने पर,हमें $k = 1$ प्राप्त होता है।

(A) वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ के सापेक्ष बिंदु $(x_1, y_1)$ के ध्रुवीय का समीकरण $xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0$ होता है।
दिए गए वृत्त $x^2+y^2-4x-6y-12=0$ के लिए,$g=-2, f=-3, c=-12$ है।
बिंदु $(\alpha, -1)$ है।
सूत्र में मान रखने पर: $x(\alpha)+y(-1)-2(x+\alpha)-3(y-1)-12=0$.
सरल करने पर: $\alpha x - y - 2x - 2\alpha - 3y + 3 - 12 = 0$.
$(\alpha-2)x - 4y - 2\alpha - 9 = 0$.
दिया गया है कि यह समीकरण $y=\beta$ है,अर्थात $0x + y - \beta = 0$.
$x$ और $y$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$x$ के लिए: $\alpha-2 = 0 \implies \alpha = 2$.
$y$ के लिए: $\frac{-4}{1} = \frac{-2\alpha-9}{-\beta}$.
$-4 = \frac{-2(2)-9}{-\beta} \implies -4 = \frac{-13}{-\beta} \implies -4 = \frac{13}{\beta}$.
$\beta = -\frac{13}{4}$.
अब,$4(\alpha+\beta) = 4(2 - \frac{13}{4}) = 4(\frac{8-13}{4}) = 4(-\frac{5}{4}) = -5$.

(D) वृत्त का समीकरण $S \equiv x^2+y^2-4x-6y+4=0$ है। ध्रुव $(x_1, y_1)$ के लिए ध्रुवीय का समीकरण $x(x_1-2) + y(y_1-3) - 2x_1 - 3y_1 + 4 = 0$ है। दी गई रेखा के साथ तुलना करने और $b=1$ प्राप्त करने पर,बिंदु $(1, -1)$ मिलता है। बिंदु $(1, -1)$ का ध्रुवीय $5x+y-6=0$ है।

(C) माना $P(r, s)$ वृत्त $x^2+y^2=25$ पर एक बिंदु है,अतः $r^2+s^2=25$ $(i)$ है।
वृत्त $x^2+y^2=9$ के सापेक्ष बिंदु $P$ की स्पर्श जीवा $L$ का समीकरण $xr+ys=9$ $(ii)$ है।
माना $(h, k)$ वृत्त $x^2+y^2=36$ के सापेक्ष रेखा $L$ का ध्रुव है। $(h, k)$ का ध्रुवीय समीकरण $xh+yk=36$ $(iii)$ है।
समीकरण $(ii)$ और $(iii)$ की तुलना करने पर,हमें $\frac{r}{h} = \frac{s}{k} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,$r = \frac{h}{4}$ और $s = \frac{k}{4}$ है।
इन मानों को समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(\frac{h}{4})^2 + (\frac{k}{4})^2 = 25$ प्राप्त होता है।
$\frac{h^2+k^2}{16} = 25 \Rightarrow h^2+k^2 = 400$ है।
अतः,ध्रुव $(h, k)$ का बिंदुपथ $x^2+y^2=400$ है।

(B) वृत्त $x^2+y^2-2x+2y-1=0$ के सापेक्ष बिंदु $(-1, 1)$ की ध्रुवीय रेखा (polar) का समीकरण $x(-1) + y(1) - (x-1) + (y+1) - 1 = 0$ है।
यह $-2x + 2y + 1 = 0$ या $2x - 2y - 1 = 0$ में सरल हो जाता है।
प्रतिलोम बिंदु $(p, q)$ वृत्त के केंद्र से ध्रुवीय रेखा पर डाले गए लंब का पाद (foot of perpendicular) है।
वृत्त का केंद्र $(1, -1)$ है।
रेखा $ax + by + c = 0$ पर बिंदु $(x_0, y_0) = (1, -1)$ से लंब का पाद $(p, q)$ निकालने के लिए $\frac{p-x_0}{a} = \frac{q-y_0}{b} = -\frac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2}$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ $a=2, b=-2, c=-1$ है।
$\frac{p-1}{2} = \frac{q-(-1)}{-2} = -\frac{2(1)-2(-1)-1}{2^2+(-2)^2} = -\frac{3}{8}$।
अतः $p = \frac{1}{4}$ और $q = -\frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$p^2+q^2 = (\frac{1}{4})^2 + (-\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{8}$।

(C) माना $(h, k)$ वृत्त $2x^2 + 2y^2 - 3x + 5y - 7 = 0$ के सापेक्ष रेखा $9x + y - 28 = 0$ का ध्रुव है।
वृत्त के सापेक्ष बिंदु $(h, k)$ की ध्रुवीय रेखा का समीकरण $T = 0$ है।
समीकरण $2hx + 2ky - \frac{3(x + h)}{2} + \frac{5(y + k)}{2} - 7 = 0$ है।
$2$ से गुणा करने पर,$4hx + 4ky - 3x - 3h + 5y + 5k - 14 = 0$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$(4h - 3)x + (4k + 5)y + (5k - 3h - 14) = 0$ प्राप्त होता है।
दी गई रेखा $9x + y - 28 = 0$ के साथ तुलना करने पर:
$\frac{4h - 3}{9} = \frac{4k + 5}{1} = \frac{5k - 3h - 14}{-28}$.
समीकरणों को हल करने पर,हमें $(h, k) = (3, -1)$ प्राप्त होता है।

(A) वृत्त $x^2+y^2=4$ के सापेक्ष बिंदु $(3,2)$ के ध्रुव (polar) का समीकरण $T=0$ है,जो $3x+2y=4$ है।
चूंकि $P(\alpha, \beta)$ और $(3,2)$ संयुग्मी बिंदु हैं,इसलिए $(3,2)$ का ध्रुव $P(\alpha, \beta)$ से होकर गुजरता है।
अतः,$3\alpha+2\beta=4$ ...$(i)$।
दिया गया है कि $P(\alpha, \beta)$ रेखा $2x+y=1$ पर स्थित है,इसलिए $2\alpha+\beta=1$ ...(ii)।
समीकरणों $(i)$ और (ii) को हल करने पर:
(ii) से,$\beta = 1-2\alpha$।
$(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $3\alpha + 2(1-2\alpha) = 4$ $\Rightarrow 3\alpha + 2 - 4\alpha = 4$ $\Rightarrow -\alpha = 2$ $\Rightarrow \alpha = -2$।
तब $\beta = 1 - 2(-2) = 5$।
इसलिए,$\alpha+\beta = -2+5 = 3$।

(D) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+y^2-10x+12y-3=0$ है।
तुलना करने पर $g=-5, f=6, c=-3$ प्राप्त होता है।
केंद्र $(5, -6)$ और त्रिज्या $r = 8$ है।
रेखा $Ax+By+C=0$ बिंदु $(x_1, y_1)$ की ध्रुवीय रेखा है यदि $\frac{x_1+g}{A} = \frac{y_1+f}{B} = \frac{gx_1+fy_1+c}{-C}$ हो।
विकल्प $(d)$ $6x-8y+15=0$ के लिए जाँच करने पर,केंद्र से रेखा की दूरी $d = 9.3$ प्राप्त होती है।
चूँकि $d > r$ है,यह रेखा वृत्त के बाहर स्थित है जो वृत्त के अंदर स्थित बिंदु के लिए एक ध्रुवीय रेखा हो सकती है।

(A) माना $P(x_1, y_1)$ वृत्त $x^2 + y^2 = c^2$ के सापेक्ष ध्रुव है।
ध्रुवीय रेखा का समीकरण $T = 0$ द्वारा दिया जाता है,जो $x x_1 + y y_1 = c^2$ है।
इसे $\frac{x x_1}{c^2} + \frac{y y_1}{c^2} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस समीकरण की तुलना दी गई रेखा $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{x_1}{c^2} = \frac{1}{a} \Rightarrow x_1 = \frac{c^2}{a}$
$\frac{y_1}{c^2} = \frac{1}{b} \Rightarrow y_1 = \frac{c^2}{b}$
अतः,ध्रुव $\left(\frac{c^2}{a}, \frac{c^2}{b}\right)$ है।

(D) दिया गया वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+4x+6y-3=0$ है।
दिया गया बिंदु $P(1, 1)$ है।
वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ के सापेक्ष बिंदु $(x_1, y_1)$ के ध्रुवीय का समीकरण $x \cdot x_1 + y \cdot y_1 + g(x+x_1) + f(y+y_1) + c = 0$ होता है।
यहाँ,$g=2$,$f=3$,$c=-3$,$x_1=1$,और $y_1=1$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$x(1) + y(1) + 2(x+1) + 3(y+1) - 3 = 0$
$x + y + 2x + 2 + 3y + 3 - 3 = 0$
$3x + 4y + 2 = 0$.

(D) वृत्त $x^2 + y^2 + 6x + 8y - 96 = 0$ के सापेक्ष रेखा $5x + 7y - 78 = 0$ की सभी संयुग्मी रेखाएं दिए गए वृत्त के सापेक्ष दी गई रेखा के ध्रुव (pole) से होकर गुजरती हैं।
माना अभीष्ट ध्रुव $P(x_1, y_1)$ है। दिए गए वृत्त के सापेक्ष बिंदु $P(x_1, y_1)$ की ध्रुवीय रेखा का समीकरण $T = 0$ है।
$xx_1 + yy_1 + 3(x + x_1) + 4(y + y_1) - 96 = 0$
$(x_1 + 3)x + (y_1 + 4)y + (3x_1 + 4y_1 - 96) = 0 \quad \dots (i)$
दी गई रेखा $5x + 7y - 78 = 0$ से तुलना करने पर:
$\frac{x_1 + 3}{5} = \frac{y_1 + 4}{7} = \frac{3x_1 + 4y_1 - 96}{-78} = k$ (माना)
$x_1 = 5k - 3, y_1 = 7k - 4$ और $3x_1 + 4y_1 - 96 = -78k$
$k$ का मान हल करने पर $k = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$x_1 = 2$ और $y_1 = 3$.
इस प्रकार,अभीष्ट संगामी बिंदु $(2, 3)$ है। अतः,विकल्प $(D)$ सही है।

(A) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-4x+6y-12=0$ है। ध्रुव $(x_1, y_1)$ के लिए ध्रुवीय रेखा का समीकरण $xx_1+yy_1-2(x+x_1)+3(y+y_1)-12=0$ है। दी गई रेखा $x+y+2=0$ के साथ तुलना करने पर,हम ध्रुव के निर्देशांक प्राप्त कर सकते हैं।

(C) वृत्त $x^2+y^2=r^2$ के सापेक्ष बिंदु $(x_1, y_1)$ के ध्रुव का समीकरण $xx_1+yy_1=r^2$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,वृत्त $x^2+y^2=16$ है,इसलिए $r^2=16$ है।
बिंदु $A(2, c)$ का ध्रुव $2x+cy=16$ है।
चूंकि यह ध्रुव $B(d, 2)$ से होकर गुजरता है,हम समीकरण में $x=d$ और $y=2$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(d)+c(2)=16$
$2d+2c=16$
$2$ से विभाजित करने पर,हमें $d+c=8$ प्राप्त होता है।
अतः,$c+d=8$।

(A) माना वृत्त $x^2+y^2-2x+2y+1=0$ पर स्थित बिंदु $P(1,0)$ है।
$P(1,0)$ से गुजरने वाली किसी भी जीवा को $(1,0)$ से गुजरने वाली रेखा $L$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।
वृत्त $x^2+y^2=4$ के सापेक्ष एक जीवा का ध्रुव एक बिंदु $Q(h,k)$ है,ताकि वह जीवा $x^2+y^2=4$ के सापेक्ष $Q$ की ध्रुवीय रेखा हो।
$x^2+y^2=4$ के सापेक्ष $Q(h,k)$ की ध्रुवीय रेखा का समीकरण $hx+ky=4$ है।
चूंकि यह ध्रुवीय रेखा $P(1,0)$ से गुजरती है,इसलिए हमें $h(1)+k(0)=4$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $h=4$।
अतः,ध्रुवों $(h,k)$ का बिंदुपथ $x=4$ है।

(A) माना ध्रुव $P(x_1, y_1)$ है। वृत्त $x^2+y^2=4$ के सापेक्ष $P$ का ध्रुवीय रेखाखंड $xx_1+yy_1=4$ है।
चूंकि यह ध्रुवीय रेखाखंड वृत्त $x^2+y^2-2x+2y-2=0$ की स्पर्श रेखा है,इसलिए इस वृत्त के केंद्र $(1, -1)$ से रेखा $xx_1+yy_1-4=0$ की लंबवत दूरी इसकी त्रिज्या के बराबर होनी चाहिए।
केंद्र $(1, -1)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{1^2+(-1)^2-(-2)} = \sqrt{4} = 2$ है।
लंबवत दूरी $d = \frac{|1(x_1) + (-1)(y_1) - 4|}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}} = 2$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{(x_1-y_1-4)^2}{x_1^2+y_1^2} = 4$
$(x_1-y_1-4)^2 = 4(x_1^2+y_1^2)$
$x_1^2+y_1^2+16-2x_1y_1-8x_1+8y_1 = 4x_1^2+4y_1^2$
$3x_1^2+3y_1^2+2x_1y_1+8x_1-8y_1-16=0$.
$(x_1, y_1)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदु पथ $3x^2+3y^2+2xy+8x-8y-16=0$ प्राप्त होता है।

(A) वृत्त $x^2+y^2-4x+6y-12=0$ के सापेक्ष बिंदु $A(7, -1/2)$ की ध्रुवीय रेखा $T=0$ द्वारा दी जाती है:
$7x - (1/2)y - 2(x+7) + 3(y - 1/2) - 12 = 0$
$7x - 0.5y - 2x - 14 + 3y - 1.5 - 12 = 0$
$5x + 2.5y - 27.5 = 0$
$2/5$ से गुणा करने पर,$2x + y - 11 = 0$,अर्थात $2x + y = 11$।
चूंकि वृत्त के अभिलंब हमेशा उसके केंद्र से गुजरते हैं,केंद्र $(h, k)$ दो अभिलंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु है:
$x + 2y = 7$ $(i)$
$2x + y = 11$ (ii)
$(i)$ को $2$ से गुणा करने पर: $2x + 4y = 14$।
इसमें से (ii) घटाने पर: $3y = 3 \Rightarrow y = 1$।
$(i)$ में $y=1$ रखने पर: $x + 2(1) = 7 \Rightarrow x = 5$।
अतः,केंद्र $(5, 1)$ है।
त्रिज्या $r$,$(5, 1)$ से $P(1, 3)$ तक की दूरी है:
$r^2 = (5-1)^2 + (1-3)^2 = 4^2 + (-2)^2 = 16 + 4 = 20$।
वृत्त का समीकरण $(x-5)^2 + (y-1)^2 = 20$ है।
$x^2 - 10x + 25 + y^2 - 2y + 1 = 20$
$x^2 + y^2 - 10x - 2y + 6 = 0$।

(A) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 10x + 14y + 46 = 0$ है। बिंदु $(\alpha, \beta)$ के ध्रुव का समीकरण $x\alpha + y\beta - 5(x + \alpha) + 7(y + \beta) + 46 = 0$ है।
इसे $3x - 5y + 6 = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = 34/11$ और $\beta = -42/11$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha + \beta = -8/11$.

(A) दी गई रेखाएँ $L_1: x+ky-4=0$ और $L_2: x+y-5=0$ हैं।
वृत्त का समीकरण $(x-1)^2+(y-1)^2=3$ है,जिसे $x^2+y^2-2x-2y-1=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ $g=-1, f=-1, c=-1$ है।
संयुग्मी रेखाओं के प्रतिबंध का उपयोग करने पर,$k=1$ प्राप्त होता है।

(A) वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ के सापेक्ष बिंदु $(x_1, y_1)$ के ध्रुव (polar) का समीकरण $xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0$ होता है।
वृत्त $x^2+y^2-5x+8y+6=0$ के लिए,$g = -\frac{5}{2}$,$f = 4$,और $c = 6$ है।
बिंदु $(4,2)$ का ध्रुव है:
$x(4) + y(2) - \frac{5}{2}(x+4) + 4(y+2) + 6 = 0$
$4x + 2y - \frac{5}{2}x - 10 + 4y + 8 + 6 = 0$
$2$ से गुणा करने पर:
$8x + 4y - 5x - 20 + 8y + 16 + 12 = 0$
$3x + 12y + 8 = 0$
चूंकि $(k,-3)$ एक संयुग्मी बिंदु है,इसलिए यह ध्रुव पर स्थित होगा।
$(k,-3)$ को समीकरण में रखने पर:
$3(k) + 12(-3) + 8 = 0$
$3k - 36 + 8 = 0$
$3k - 28 = 0$
$k = \frac{28}{3}$

(A) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-2x+4y-2=0$ है।
यह दिया गया है कि बिंदु $P(2,3)$ और $Q(K,-2)$ वृत्त के सापेक्ष संयुग्मी हैं,इसलिए बिंदु $P$ की ध्रुवीय रेखा (polar) बिंदु $Q$ से होकर गुजरती है।
वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ के सापेक्ष बिंदु $(x_1, y_1)$ की ध्रुवीय रेखा का समीकरण $xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0$ होता है।
मान $x_1=2, y_1=3, g=-1, f=2, c=-2$ रखने पर:
$x(2)+y(3)-1(x+2)+2(y+3)-2=0$
$2x+3y-x-2+2y+6-2=0$
$x+5y+2=0$.
चूंकि ध्रुवीय रेखा $Q(K,-2)$ से गुजरती है,इसलिए $x=K$ और $y=-2$ रखने पर:
$K+5(-2)+2=0$
$K-10+2=0$
$K-8=0$
$K=8$.

(A) वृत्त $x^2+y^2-4x-6y+12=0$ के सापेक्ष बिंदु $(1,1)$ की ध्रुवीय रेखा (polar) का समीकरण $x(1) + y(1) - 2(x+1) - 3(y+1) + 12 = 0$ है।
इसे सरल करने पर,$-x - 2y + 7 = 0$ या $x + 2y - 7 = 0$ प्राप्त होता है।
प्रतिलोम बिंदु $(h, k)$ बिंदु $(1,1)$ से रेखा $x + 2y - 7 = 0$ पर डाले गए लंब का पाद (foot of the perpendicular) है।
लंब के पाद के सूत्र $\frac{h-x_1}{a} = \frac{k-y_1}{b} = -\frac{ax_1 + by_1 + c}{a^2 + b^2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{h-1}{1} = \frac{k-1}{2} = -\frac{1(1) + 2(1) - 7}{1^2 + 2^2} = \frac{4}{5}$.
अतः,$h = 1 + \frac{4}{5} = \frac{9}{5}$ और $k = 1 + \frac{8}{5} = \frac{13}{5}$.
इसलिए,$h + k = \frac{9}{5} + \frac{13}{5} = \frac{22}{5}$.

(D) कथन $I$: यदि बिंदु $P$ की ध्रुवीय रेखा बिंदु $Q$ से होकर गुजरती है,तो दो बिंदु $P(x_1, y_1)$ और $Q(x_2, y_2)$ वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ के सापेक्ष संयुग्मी होते हैं। अतः,$I$ सत्य है।
कथन $II$: वृत्त $x^2+y^2=9$ के लिए रेखा $x+y+1=0$ का ध्रुव $(-9, -9)$ प्राप्त होता है। इसलिए,$II$ असत्य है।

(C) दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 - 8x - 10y + 25 = 0$ है। पूर्ण वर्ग बनाने पर,$(x - 4)^2 + (y - 5)^2 = 16$ प्राप्त होता है। केंद्र $(4, 5)$ और त्रिज्या $r = 4$ है।
दो रेखाएं $l_1x + m_1y + n_1 = 0$ और $l_2x + m_2y + n_2 = 0$ वृत्त $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ के सापेक्ष संयुग्मी होती हैं यदि $r^2(l_1l_2 + m_1m_2) = (l_1h + m_1k + n_1)(l_2h + m_2k + n_2)$ हो।
यहाँ,$l_1 = 5, m_1 = 6, n_1 = -34$ और $l_2 = 2, m_2 = 1, n_2 = c$ है।
मान रखने पर: $16(5 \times 2 + 6 \times 1) = (5(4) + 6(5) - 34)(2(4) + 1(5) + c)$।
$16(16) = (16)(13 + c)$।
$16 = 13 + c \implies c = 3$।
रेखा $2x + y + 3 = 0$ है।
विकल्पों की जाँच करने पर,$(1, -5)$ के लिए: $2(1) + (-5) + 3 = 2 - 5 + 3 = 0$।
अतः,बिंदु $(1, -5)$ रेखा पर स्थित है।

(C) वृत्त का समीकरण $S \equiv x^2+y^2-2x+4y+1=0$ है। केंद्र $C$ $(1, -2)$ है।
रेखा $lx+my+n=0$ और वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ के लिए,ध्रुव $(x_1, y_1)$ संबंध $\frac{x_1+g}{l} = \frac{y_1+f}{m} = \frac{gx_1+fy_1+c}{-n}$ को संतुष्ट करता है।
यहाँ $g=-1, f=2, c=1, l=1, m=-5, n=-7$ है।
अतः,$\frac{a-1}{1} = \frac{b+2}{-5} = \frac{-a+2b+1}{7}$।
हल करने पर,$a=0$ और $b=3$ प्राप्त होता है।
ध्रुव $P$ $(0, 3)$ है।
दूरी $PC = \sqrt{(0-1)^2 + (3-(-2))^2} = \sqrt{1+25} = \sqrt{26}$।
विकल्प $C$ की जाँच करने पर: $\sqrt{0^3+3^3-1} = \sqrt{26}$।
अतः,$PC = \sqrt{a^3+b^3-1}$।

(B) आयत के शीर्ष $(4, 5), (4, -2), (-2, 5)$ और $(-2, -2)$ हैं।
व्यास रूप में वृत्त का समीकरण: $(x-4)(x+2) + (y-5)(y+2) = 0$.
सरल करने पर: $x^2 + y^2 - 2x - 3y - 18 = 0$.
माना ध्रुव $(h, k)$ है। ध्रुवीय रेखा का समीकरण: $(h-1)x + (k-1.5)y - (h + 1.5k + 18) = 0$.
इसे रेखा $0x + 1y + 2 = 0$ से तुलना करने पर,$h=1$ और $k=\frac{-32}{7}$ प्राप्त होता है।
अतः ध्रुव $\left(1, \frac{-32}{7}\right)$ है।

(C) माना वृत्त $S = x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
दिया गया है कि $P(-3, 5)$ का प्रतिलोम बिंदु $A(1, 3)$ है।
$P$ की ध्रुवीय रेखा $PA$ के लंबवत होती है।
$PA$ की ढाल $m_{PA} = \frac{3 - 5}{1 - (-3)} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$ है।
अतः,ध्रुवीय रेखा की ढाल $m = -\frac{1}{m_{PA}} = 2$ होगी।
ध्रुवीय रेखा $A(1, 3)$ से होकर गुजरती है,इसलिए इसका समीकरण $y - 3 = 2(x - 1)$ होगा।
$y - 3 = 2x - 2$.
$2x - y + 1 = 0$.

(D) माना ध्रुव $(h, k)$ है।
वृत्त $2x^2 + 2y^2 - 3x + 5y - 7 = 0$ के सापेक्ष ध्रुवीय रेखा का समीकरण $T = 0$ है।
समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर: $x^2 + y^2 - \frac{3}{2}x + \frac{5}{2}y - \frac{7}{2} = 0$.
ध्रुवीय रेखा का समीकरण: $hx + ky - \frac{3}{2}(\frac{x+h}{2}) + \frac{5}{2}(\frac{y+k}{2}) - \frac{7}{2} = 0$.
$4$ से गुणा करने पर: $(4h - 3)x + (4k + 5)y - 3h + 5k - 14 = 0$.
दी गई रेखा $9x + y - 28 = 0$ से तुलना करने पर:
$\frac{4h - 3}{9} = \frac{4k + 5}{1} = \frac{-3h + 5k - 14}{-28} = \lambda$.
हल करने पर,हमें $\lambda = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$4h - 3 = 9$ $\Rightarrow 4h = 12$ $\Rightarrow h = 3$.
$4k + 5 = 1$ $\Rightarrow 4k = -4$ $\Rightarrow k = -1$.
अतः,ध्रुव $(3, -1)$ है।

(B) दिया गया वृत्त $S: x^2+y^2-8x+10y+5=0$ है।
$P(1,1)$ के ध्रुव का समीकरण $T=0$ के अनुसार:
$x(1)+y(1)-4(x+1)+5(y+1)+5=0 \Rightarrow x-2y-2=0$ ...$(1)$
$Q(1,-1)$ को मध्य-बिंदु के रूप में रखने वाली जीवा का समीकरण $T=S_1$ के अनुसार:
$x(1)+y(-1)-4(x+1)+5(y-1)+5 = 1+1-8-10+5 \Rightarrow 3x-4y-7=0$ ...$(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को हल करने पर,हमें $(11, 13/2)$ प्राप्त होता है।

(D) वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ के लिए ध्रुव $(x_1, y_1)$ के सापेक्ष ध्रुव रेखा $xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0$ द्वारा दी जाती है।
$S_1 \equiv x^2+y^2+6y+7=0$ के लिए $(-1, 2)$ के सापेक्ष ध्रुव रेखा:
$-x+2y+3(y+2)+7=0 \Rightarrow -x+5y+13=0$ (समीकरण $1$)।
$S_2 \equiv x^2+y^2+6x+1=0$ के लिए $(-1, 2)$ के सापेक्ष ध्रुव रेखा:
$-x+2y+3(x-1)+1=0$ $\Rightarrow 2x+2y-2=0$ $\Rightarrow x+y-1=0$ (समीकरण $2$)।
प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए:
$-x+5y+13=0$
$x+y-1=0$
दोनों को जोड़ने पर $6y+12=0$,जिससे $y=-2$ प्राप्त होता है।
$x+y-1=0$ में $y=-2$ रखने पर $x=3$ प्राप्त होता है।
अतः,ध्रुव रेखाएं $(3, -2)$ बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं,जो एक गैर-शून्य बिंदु है।

(A) वृत्तों के केंद्र $C_1(-1, -4)$ और $C_2(2, -5)$ हैं।
$S_2$ के सापेक्ष $C_1(-1, -4)$ की ध्रुवीय रेखा $L_1: -3x + y + 1 = 0$ है।
$S_1$ के सापेक्ष $C_2(2, -5)$ की ध्रुवीय रेखा $L_2: 3x - y - 41 = 0$ है।
ये रेखाएं समांतर हैं और उनके बीच की दूरी $d = \frac{|1 - (-41)|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{42}{\sqrt{10}} = 4.2\sqrt{10}$ है।

(C) माना $P$ बिंदु $(x_1, y_1)$ है।
$r$ त्रिज्या वाले वृत्त का समीकरण जो निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करता है और प्रथम चतुर्थांश में स्थित है,$(x-r)^2 + (y-r)^2 = r^2$ है,जो $x^2 + y^2 - 2xr - 2yr + r^2 = 0$ में सरल हो जाता है।
वृत्त $x^2 + y^2 - 2xr - 2yr + r^2 = 0$ के सापेक्ष बिंदु $P(x_1, y_1)$ की ध्रुवीय रेखा $xx_1 + yy_1 - r(x+x_1) - r(y+y_1) + r^2 = 0$ द्वारा दी जाती है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $(x_1-r)x + (y_1-r)y = r(x_1+y_1-r)$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि ध्रुवीय रेखा $x+2y=4r$ है,अतः गुणांकों की तुलना करने पर:
$\frac{x_1-r}{1} = \frac{y_1-r}{2} = \frac{x_1+y_1-r}{4}$.
$\frac{x_1-r}{1} = \frac{y_1-r}{2}$ से,हमें $2x_1 - 2r = y_1 - r$ प्राप्त होता है,अर्थात $y_1 = 2x_1 - r$।
$\frac{x_1-r}{1} = \frac{x_1+y_1-r}{4}$ से,हमें $4x_1 - 4r = x_1 + y_1 - r$ प्राप्त होता है,अर्थात $3x_1 - 3r = y_1$।
$y_1$ के दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $2x_1 - r = 3x_1 - 3r$,जिससे $x_1 = 2r$ प्राप्त होता है।
$x_1 = 2r$ को $y_1 = 2x_1 - r$ में रखने पर,$y_1 = 2(2r) - r = 3r$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदु $P$ $(2r, 3r)$ है।

(D) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ है।
दी गई उत्केंद्रता $e=\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ है।
वृत्त $x^2+y^2=18$ है,अतः इसकी त्रिज्या $R=\sqrt{18}=3 \sqrt{2}$ और व्यास $D=6 \sqrt{2}$ है।
दीर्घ अक्ष की लंबाई $2a=6 \sqrt{2}$ है,इसलिए $a=3 \sqrt{2}$ और $a^2=18$ है।
$e^2=1-\frac{b^2}{a^2}$ का उपयोग करने पर,$\frac{8}{9}=1-\frac{b^2}{18}$ प्राप्त होता है,जिससे $\frac{b^2}{18}=\frac{1}{9}$ यानी $b^2=2$ मिलता है।
अतः दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{2}=1$ है।
माना $(h, k)$ स्पर्श रेखा का ध्रुव है। दीर्घवृत्त के सापेक्ष ध्रुवीय रेखा $\frac{xh}{18}+\frac{yk}{2}=1$ है।
यह रेखा वृत्त $x^2+y^2=18$ की स्पर्श रेखा है। रेखा $lx+my=1$ के $x^2+y^2=R^2$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $R^2(l^2+m^2)=1$ है।
यहाँ $l=\frac{h}{18}$ और $m=\frac{k}{2}$ है,इसलिए $18(\frac{h^2}{18^2}+\frac{k^2}{4})=1$।
सरल करने पर,$\frac{h^2}{18}+\frac{18k^2}{4}=1$,जो $\frac{h^2}{18}+\frac{9k^2}{2}=1$ है।
अतः बिंदुपथ $\frac{x^2}{18}+\frac{9y^2}{2}=1$ है।