मान लीजिए P(n) = 3^{2n+1} + 2^{n+2} जहाँ n in | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $P(n) = 3^{2n+1} + 2^{n+2}$।$n = 1$ के लिए,$P(1) = 3^{2(1)+1} + 2^{1+2} = 3^3 + 2^3 = 27 + 8 = 35$।चूंकि $35 = 5 	imes 7$,$P(1)$ अभाज

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ऐसा अभाज्य पूर्णांक मौजूद है जो $P(n)$ को विभाजित करता है।

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(B) दिया गया है $P(n) = 3^{2n+1} + 2^{n+2}$।$n = 1$ के लिए,$P(1) = 3^{2(1)+1} + 2^{1+2} = 3^3 + 2^3 = 27 + 8 = 35$।चूंकि $35 = 5 	imes 7$,$P(1)$ अभाज्य पूर्णांकों $5$ और $7$ से विभाज्य है।अतः,$n = 1$ के लिए कम से कम एक ऐसा अभाज्य पूर्णांक मौजूद है जो $P(n)$ को विभाजित करता है।किसी भी $n \in N$ के लिए,$P(n) > 1$,और अंकगणित की आधारभूत प्रमेय के अनुसार,$1$ से बड़ी प्रत्येक पूर्णांक संख्या का कम से कम एक अभाज्य गुणनखंड होता है।इसलिए,ऐसा अभाज्य पूर्णांक मौजूद है जो $P(n)$ को विभाजित करता है।

मान लीजिए $P(n) = 3^{2n+1} + 2^{n+2}$ जहाँ $n \in N$ है। तब

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गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सभी $n \in N$ के लिए निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए:
$1^{2}+3^{2}+5^{2}+\ldots+(2n-1)^{2}=\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि सभी $n \in N$ के लिए,$41^{n}-14^{n}$,$27$ का एक गुणज है।

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