मान लीजिए f(x) = [x^2] sin(pi x),x 0 के लिए | vedclass

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Question

(D) फलन $f(x) = [x^2] \sin(\pi x)$ दो फलनों का गुणनफल है: $g(x) = [x^2]$ और $h(x) = \sin(\pi x)$।$g(x) = [x^2]$ उन सभी बिंदुओं पर असतत है जहाँ $x^2$ ए

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इनमें से कोई नहीं

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(D) फलन $f(x) = [x^2] \sin(\pi x)$ दो फलनों का गुणनफल है: $g(x) = [x^2]$ और $h(x) = \sin(\pi x)$।$g(x) = [x^2]$ उन सभी बिंदुओं पर असतत है जहाँ $x^2$ एक पूर्णांक है,अर्थात $x = \sqrt{n}$ जहाँ $n \in \{1, 2, 3, \dots\}$।गुणनफल $f(x) = g(x)h(x)$ के किसी बिंदु $x_0$ पर सतत होने के लिए,जहाँ $g(x)$ असतत है,$h(x_0) = 0$ होना आवश्यक है।यहाँ,$h(x) = \sin(\pi x) = 0$ तब होता है जब $x$ एक पूर्णांक हो।यदि $x^2 = n$ (जहाँ $n$ एक पूर्णांक है) और $x$ भी एक पूर्णांक है,तो $x = \sqrt{n}$ एक पूर्णांक होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $n$ एक पूर्ण वर्ग है।यदि $x^2 = n$ है लेकिन $x$ पूर्णांक नहीं है,तो $\sin(\pi x) 
eq 0$ होता है,इसलिए फलन $f(x)$ इन बिंदुओं पर असतत रहता है।अतः,$f(x)$ केवल उन बिंदुओं पर सतत है जहाँ $x^2$ एक पूर्णांक है और $\sin(\pi x) = 0$ है,जो तब होता है जब $x$ एक पूर्णांक है।दिए गए विकल्प सही नहीं हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

मान लीजिए $f(x) = [x^2] \sin(\pi x)$,$x > 0$ के लिए। तो:

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फलन $f(x) = \begin{cases} 1+|\sin x|^{a/|\sin x|}, & -\pi / 6 < x < 0 \\ b, & x = 0 \\ e^{\tan 2 x / \tan 3 x}, & 0 < x < \pi / 6 \end{cases}$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए $a$ और $b$ के मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 4x + 3}{x^2 - 1}, & x \ne 1 \\ 2, & x = 1 \end{cases}$,तो:

सिद्ध कीजिए कि वास्तविक संख्याओं पर तत्समक फलन (identity function) $f(x) = x$ प्रत्येक वास्तविक संख्या पर संतत है।

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