मान लीजिए f(x) = x^m,जहाँ m एक अऋणात्मक पूर्ण | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $f(x) = x^m$,जहाँ $m \geq 0$ और $m \in \mathbb{Z}$ है।सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $f^{\prime}(x) = m x^{m-1}$।दी गई शर्त $f^{\prime}(a

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$2$

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(C) दिया गया है $f(x) = x^m$,जहाँ $m \geq 0$ और $m \in \mathbb{Z}$ है।सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $f^{\prime}(x) = m x^{m-1}$।दी गई शर्त $f^{\prime}(a+b) = f^{\prime}(a) + f^{\prime}(b)$ है।अवकलज को प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है: $m(a+b)^{m-1} = m a^{m-1} + m b^{m-1}$।यदि $m=0$ है,तो $f(x) = 1$,इसलिए $f^{\prime}(x) = 0$। समीकरण $0 = 0+0$ बन जाता है,जो सत्य है,लेकिन सामान्यतः हम $m$ के लिए गैर-तुच्छ मामलों पर विचार करते हैं।यदि $m=1$ है,तो $f^{\prime}(x) = 1$। समीकरण $1 = 1+1$ बन जाता है,अर्थात $1=2$ (असत्य)।यदि $m=2$ है,तो $f^{\prime}(x) = 2x$। समीकरण $2(a+b) = 2a + 2b$ बन जाता है,जो $2a+2b = 2a+2b$ में सरल हो जाता है (सत्य)।यदि $m=3$ है,तो $f^{\prime}(x) = 3x^2$। समीकरण $3(a+b)^2 = 3a^2 + 3b^2$ बन जाता है,जो $a^2 + 2ab + b^2 = a^2 + b^2$ में सरल हो जाता है,जिसका अर्थ है $2ab = 0$। चूँकि $a, b > 0$,यह असत्य है।अतः,$m$ का मान $2$ है।

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