निम्नलिखित में से कौन से कथन सत्य हैं?

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Question

(B, D) $T$ आवर्तकाल वाले आवर्ती फलन $f(x)$ के लिए,$T$ लंबाई के किसी भी अंतराल पर समाकलन स्थिर होता है,अर्थात $\int_a^{a+T} f(x) dx = \int_0^T f(x) dx$

Vedclass · Accepted Answer

$(C)$ में परिभाषित $f$ सभी $T \in \mathbb{Q} \setminus \{0\}$ के लिए आवर्ती है।

Vedclass · Answer

(B, D) $T$ आवर्तकाल वाले आवर्ती फलन $f(x)$ के लिए,$T$ लंबाई के किसी भी अंतराल पर समाकलन स्थिर होता है,अर्थात $\int_a^{a+T} f(x) dx = \int_0^T f(x) dx$। अतः,कथन $(B)$ सत्य है और $(A)$ असत्य है।डिरिचलेट फलन $f(x) = \begin{cases} 1, & x \in \mathbb{Q} \ 0, & x 
otin \mathbb{Q} \end{cases}$ के लिए,$f(x+T) = f(x)$ किसी भी परिमेय $T$ के लिए सत्य है क्योंकि यदि $x$ परिमेय है,तो $x+T$ परिमेय है,और यदि $x$ अपरिमेय है,तो $x+T$ अपरिमेय है। इस प्रकार,$f$ सभी परिमेय $T$ के लिए आवर्ती है। कथन $(D)$ सत्य है।

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