समतल में $\sin ^2 x + \sin ^2 y = 1$ को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं $(x, y)$ का बिंदुपथ क्या है?

$10 \text{ inches}$ लंबी पेंसिल $AB$ जिसका मध्य बिंदु $C$ है और एक छोटा इरेज़र $P$ मेज की सतह पर इस प्रकार रखे गए हैं कि $PC = \sqrt{5} \text{ inches}$ और $\angle PCB = \tan^{-1}(2)$ है। पेंसिल को $C$ के परितः कितने न्यून कोण से घुमाया जाना चाहिए ताकि इरेज़र और पेंसिल के बीच की लंबवत दूरी ठीक $1 \text{ inch}$ हो जाए?

मूल बिंदु से $(a, b)$ बिंदु से गुजरने वाली रेखा पर खींचे गए लंब के पाद (foot of perpendicular) का बिंदुपथ (locus) का समीकरण है:

$A(1, 0)$,$B(0, 2)$,और $C(1, 2)$ $XY$-समतल पर तीन बिंदु हैं। यदि एक बिंदु $P(x, y)$ इस प्रकार गति करता है कि $\triangle PAB$ का क्षेत्रफल $\triangle ABC$ के क्षेत्रफल का दोगुना है,तो बिंदु $P$ का बिंदुपथ क्या है?

सरल रेखाओं $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = K$ और $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = \frac{1}{K}$ के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदु-पथ,जहाँ $K$ एक शून्येतर वास्तविक चर है,क्या है?

यदि एक बिंदु का बिंदुपथ जो निर्देशांक अक्षों से समान दूरी पर है,रेखा $y=3$ के साथ एक त्रिभुज बनाता है,तो त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या है?