मान लीजिए alpha, beta समीकरण ax^2+bx+c=0 के म | vedclass

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Question

(A) दिया गया सारणिक $D = \left|\begin{array}{ccc} 1+1+1 & 1+\alpha+\beta & 1+\alpha^2+\beta^2 \ 1+\alpha+\beta & 1+\alpha^2+\beta^2 & 1+\alpha^3+\bet

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$b^2-4ac$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया सारणिक $D = \left|\begin{array}{ccc} 1+1+1 & 1+\alpha+\beta & 1+\alpha^2+\beta^2 \ 1+\alpha+\beta & 1+\alpha^2+\beta^2 & 1+\alpha^3+\beta^3 \ 1+\alpha^2+\beta^2 & 1+\alpha^3+\beta^3 & 1+\alpha^4+\beta^4 \end{array}ight|$ है।इसे दो सारणिकों के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है:$D = \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \ 1 & \alpha & \beta \ 1 & \alpha^2 & \beta^2 \end{array}ight| 	imes \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \ 1 & \alpha & \alpha^2 \ 1 & \beta & \beta^2 \end{array}ight|$.दोनों सारणिक वेंडरमोंड सारणिक हैं,इसलिए $D = \{(1-\alpha)(\alpha-\beta)(\beta-1)\}^2 = (1-\alpha)^2(\alpha-\beta)^2(\beta-1)^2$.चूँकि $\alpha+\beta = -b/a$ और $\alpha\beta = c/a$,इसलिए $(\alpha-\beta)^2 = (\alpha+\beta)^2 - 4\alpha\beta = b^2/a^2 - 4c/a = (b^2-4ac)/a^2$.साथ ही,$(1-\alpha)(1-\beta) = 1 - (\alpha+\beta) + \alpha\beta = 1 + b/a + c/a = (a+b+c)/a$.अतः,$D = \{(1-\alpha)(1-\beta)\}^2 (\alpha-\beta)^2 = \left(\frac{a+b+c}{a}ight)^2 \left(\frac{b^2-4ac}{a^2}ight) = (b^2-4ac) \frac{(a+b+c)^2}{a^4}$.दिए गए समीकरण के साथ तुलना करने पर,हमें $k = b^2-4ac$ प्राप्त होता है।

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