मान लीजिए कि f अंतराल left[0, frac{pi}{2}righ | vedclass

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Question

(B) लेबनीज़ नियम का उपयोग करते हुए दिए गए समीकरण $\int_0^x (f^{\prime}(t)-\sin 2t) dt = \int_x^0 f(t) 	an t dt$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$f^{\

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$3-\frac{\pi}{2}$

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(B) लेबनीज़ नियम का उपयोग करते हुए दिए गए समीकरण $\int_0^x (f^{\prime}(t)-\sin 2t) dt = \int_x^0 f(t) 	an t dt$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$f^{\prime}(x) - \sin 2x = -f(x) 	an x$$f^{\prime}(x) + f(x) 	an x = \sin 2x$यह $\frac{df}{dx} + P(x)f = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = 	an x$ और $Q(x) = \sin 2x = 2 \sin x \cos x$ है।समाकलन गुणक $IF = e^{\int 	an x dx} = e^{\ln |\sec x|} = \sec x$ है।$IF$ से गुणा करने पर,$\frac{d}{dx} (f(x) \sec x) = \sin 2x \sec x = 2 \sin x$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$f(x) \sec x = \int 2 \sin x dx = -2 \cos x + C$ प्राप्त होता है।चूंकि $f(0) = 1$ दिया गया है,इसलिए $1 \cdot \sec 0 = -2 \cos 0 + C \implies 1 = -2 + C \implies C = 3$ है।अतः,$f(x) \sec x = -2 \cos x + 3$,जिसका अर्थ है $f(x) = -2 \cos^2 x + 3 \cos x$ है।अब,$\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (-2 \cos^2 x + 3 \cos x) dx$ है।$\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}$ का उपयोग करने पर,$\int_0^{\frac{\pi}{2}} (-1 - \cos 2x + 3 \cos x) dx = [-x - \frac{\sin 2x}{2} + 3 \sin x]_0^{\frac{\pi}{2}}$ प्राप्त होता है।$= (-\frac{\pi}{2} - 0 + 3) - (0) = 3 - \frac{\pi}{2}$।

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