मान लीजिए $f:[1,3] \rightarrow R$ अंतराल $[1,3]$ पर संतत है और $(1,3)$ में अवकलनीय है,जहाँ $f^{\prime}(x)=[f(x)]^2+4$ सभी $x \in (1,3)$ के लिए है। तो:

मान लीजिए $y = f(x)$ और $y = g(x)$ अंतराल $[0, 2]$ में दो अवकलनीय फलन हैं,जहाँ $f(0) = 3$,$f(2) = 5$,$g(0) = 1$ और $g(2) = 2$ है। यदि कम से कम एक $c \in (0, 2)$ ऐसा विद्यमान है कि $f'(c) = k g'(c)$ हो,तो $k$ का मान क्या होगा?

दिया गया है $f(x) = 4 - (\frac{1}{2} - x)^{2/3}$,$g(x) = \begin{cases} \frac{\tan([x])}{x}, & x \neq 0 \\ 1, & x = 0 \end{cases}$,$h(x) = \{x\}$,और $k(x) = 5^{\log_2(x + 3)}$. तो,अंतराल $[0, 1]$ में लैग्रेंज का माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ किसके लिए लागू $\text{नहीं}$ होता है?

वास्तविक गुणांकों वाले बहुपद $g(x)$ के लिए,$m_g$ को $g(x)$ के भिन्न वास्तविक मूलों की संख्या के रूप में दर्शाया गया है। मान लीजिए $S$ वास्तविक गुणांकों वाले बहुपदों का एक समुच्चय है जिसे $S = \{(x^2-1)^2(a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3) : a_0, a_1, a_2, a_3 \in \mathbb{R}\}$ द्वारा परिभाषित किया गया है। बहुपद $f$ के लिए,$f'$ और $f''$ क्रमशः इसके प्रथम और द्वितीय क्रम के अवकलज को दर्शाते हैं। तब $(m_f + m_{f'})$ का न्यूनतम संभव मान,जहाँ $f \in S$,क्या है?

यदि $27a + 9b + 3c + d = 0$ है,तो समीकरण $4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d = 0$ का कम से कम एक मूल किसके बीच स्थित है?

यदि $f(x) = x^2 - 2x + 4$ और $\frac{f(5) - f(1)}{5 - 1} = f'(c)$ है,तो $c$ का मान क्या होगा?