int frac{3x+2}{4x^2+4x+5} dx = A log(4x^2+4x+ | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \frac{3x+2}{4x^2+4x+5} dx$. इसे हल करने के लिए,हम अंश को हर के अवकलज के रूप में व्यक्त करते हैं: $3x+2 = k \frac{d}{dx}(4x^2+4x+5)

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$\frac{1}{2}$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int \frac{3x+2}{4x^2+4x+5} dx$. इसे हल करने के लिए,हम अंश को हर के अवकलज के रूप में व्यक्त करते हैं: $3x+2 = k \frac{d}{dx}(4x^2+4x+5) + m = k(8x+4) + m = 8kx + (4k+m)$. गुणांकों की तुलना करने पर: $8k = 3 \implies k = \frac{3}{8}$ और $4k+m = 2 \implies 4(\frac{3}{8}) + m = 2 \implies \frac{3}{2} + m = 2 \implies m = \frac{1}{2}$. अतः,$I = \int \frac{\frac{3}{8}(8x+4) + \frac{1}{2}}{4x^2+4x+5} dx = \frac{3}{8} \int \frac{8x+4}{4x^2+4x+5} dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{(2x+1)^2 + 2^2} dx$. $I = \frac{3}{8} \log(4x^2+4x+5) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} 	an^{-1}(\frac{2x+1}{2}) \cdot \frac{1}{2} + c$. $I = \frac{3}{8} \log(4x^2+4x+5) + \frac{1}{8} 	an^{-1}(\frac{2x+1}{2}) + c$. दिए गए रूप के साथ तुलना करने पर,$A = \frac{3}{8}$ और $B = \frac{1}{8}$. इसलिए,$A+B = \frac{3}{8} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

$\int \frac{3x+2}{4x^2+4x+5} dx = A \log(4x^2+4x+5) + B \tan^{-1}\left(\frac{2x+1}{2}\right) + c$,तो $A+B=$

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