यदि int_0^{pi / 2} tan ^{14}left(frac{x}{2}ri | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_0^{\pi / 2} 	an^{14}(\frac{x}{2}) dx$. माना $t = \frac{x}{2}$,तब $dx = 2dt$. जब $x=0, t=0$ और जब $x=\frac{\pi}{2}, t=\frac{\pi}{4}

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$\frac{(-1)^{n+1}}{2 n-1}$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int_0^{\pi / 2} 	an^{14}(\frac{x}{2}) dx$. माना $t = \frac{x}{2}$,तब $dx = 2dt$. जब $x=0, t=0$ और जब $x=\frac{\pi}{2}, t=\frac{\pi}{4}$.$I = 2 \int_0^{\pi/4} 	an^{14}(t) dt$.रिडक्शन फॉर्मूला $I_n = \int 	an^n(t) dt = \frac{	an^{n-1}(t)}{n-1} - I_{n-2}$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास $\int_0^{\pi/4} 	an^n(t) dt = \frac{1}{n-1} - \int_0^{\pi/4} 	an^{n-2}(t) dt$ है।इसे $n=14, 12, \dots, 2$ के लिए बार-बार लागू करने पर:$I_{14} = \frac{1}{13} - I_{12} = \frac{1}{13} - (\frac{1}{11} - I_{10}) = \frac{1}{13} - \frac{1}{11} + \frac{1}{9} - \frac{1}{7} + \frac{1}{5} - \frac{1}{3} + \frac{1}{1} - \int_0^{\pi/4} 1 dt$.चूंकि $\int_0^{\pi/4} 1 dt = \frac{\pi}{4}$,हमें $I = 2 [ \sum_{k=1}^7 \frac{(-1)^{k+1}}{2k-1} - \frac{\pi}{4} ]$ प्राप्त होता है।इसे दिए गए व्यंजक $2 [ \sum_{n=1}^7 f(n) - \frac{\pi}{4} ]$ के साथ तुलना करने पर,हमें $f(n) = \frac{(-1)^{n+1}}{2n-1}$ प्राप्त होता है।

यदि $\int_0^{\pi / 2} \tan ^{14}\left(\frac{x}{2}\right) d x=2\left[\sum_{n=1}^7 f(n)-\frac{\pi}{4}\right]$ है,तो $f(n)=$

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