int_0^{pi / 4} frac{1}{5 cos ^2 x+16 sin ^2 x | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_0^{\pi / 4} \frac{1}{5 \cos ^2 x+16 \sin ^2 x+8 \sin x \cos x} d x$. अंश और हर को $\cos^2 x$ से विभाजित करने पर: $I = \int_0^{\pi /

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$\frac{1}{8} \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{8}{9}\right)$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int_0^{\pi / 4} \frac{1}{5 \cos ^2 x+16 \sin ^2 x+8 \sin x \cos x} d x$. अंश और हर को $\cos^2 x$ से विभाजित करने पर: $I = \int_0^{\pi / 4} \frac{\sec^2 x}{5 + 16 	an^2 x + 8 	an x} d x$. माना $u = 	an x$,तब $du = \sec^2 x dx$. जब $x = 0, u = 0$. जब $x = \pi/4, u = 1$. $I = \int_0^1 \frac{du}{16u^2 + 8u + 5} = \int_0^1 \frac{du}{(4u+1)^2 + 4} = \frac{1}{4} \int_0^1 \frac{d(4u+1)}{(4u+1)^2 + 2^2}$. सूत्र $\int \frac{dx}{x^2+a^2} = \frac{1}{a} 	an^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ का उपयोग करने पर: $I = \frac{1}{4} \left[ \frac{1}{2} 	an^{-1} \left( \frac{4u+1}{2} ight) ight]_0^1 = \frac{1}{8} [	an^{-1}(\frac{5}{2}) - 	an^{-1}(\frac{1}{2})]$. $	an^{-1} A - 	an^{-1} B = 	an^{-1} \left( \frac{A-B}{1+AB} ight)$ का उपयोग करने पर: $I = \frac{1}{8} 	an^{-1} \left( \frac{5/2 - 1/2}{1 + (5/2)(1/2)} ight) = \frac{1}{8} 	an^{-1} \left( \frac{2}{1 + 5/4} ight) = \frac{1}{8} 	an^{-1} \left( \frac{2}{9/4} ight) = \frac{1}{8} 	an^{-1} \left( \frac{8}{9} ight)$.

$\int_0^{\pi / 4} \frac{1}{5 \cos ^2 x+16 \sin ^2 x+8 \sin x \cos x} d x=$

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यदि $\int_0^1 f(x) dx = 1$,$\int_0^1 x f(x) dx = a$ और $\int_0^1 x^2 f(x) dx = a^2$ है,तो $\int_0^1 (x-a)^2 f(x) dx$ का मान क्या होगा?

यदि $f(x) = |x| + |x - 1| + |x - 2|$,$x \in R$ है,तो $\int_{0}^{3} f(x) \, dx = $

$\int_{0.2}^{3.5} [x] \, dx = $ (जहाँ $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है जो $x$ से बड़ा नहीं है)

$\int_{0}^{1} \frac{d}{dx} \left[ \sin^{-1} \left( \frac{2x}{1+x^2} \right) \right] dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^x {t{e^{ - {t^2}}}} dt$ का न्यूनतम मान क्या है?

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