अंतराल [1,3] में List-I में दिए गए सभी फलनों | vedclass

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Question

(D) लैग्रेंज का माध्य मान प्रमेय कहता है कि यदि कोई फलन $f(x)$,$[a,b]$ पर सतत है और $(a,b)$ पर अवकलनीय है,तो कम से कम एक $c \in (a,b)$ ऐसा मौजूद होता

Vedclass · Accepted Answer

$A-IV, B-III, C-II, D-V$

Vedclass · Answer

(D) लैग्रेंज का माध्य मान प्रमेय कहता है कि यदि कोई फलन $f(x)$,$[a,b]$ पर सतत है और $(a,b)$ पर अवकलनीय है,तो कम से कम एक $c \in (a,b)$ ऐसा मौजूद होता है कि $f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ हो।$A. f(x) = |x-1|$. यह फलन $x=1$ पर अवकलनीय नहीं है,जो अंतराल $[1,3]$ का अंतिम बिंदु है। अतः,$LMVT$ लागू नहीं होता है। हालाँकि,यदि हम छेदक रेखा की ढाल लें,तो $\frac{f(3)-f(1)}{3-1} = \frac{2-0}{2} = 1$। $x > 1$ के लिए,$f'(x) = 1$। कोई भी $c \in (1,3)$ इसे संतुष्ट करता है। विकल्पों को देखते हुए,$A-II$ अभीष्ट मिलान है।$B. f(x) = \log x$. $f'(c) = \frac{\log 3 - \log 1}{3-1} = \frac{\log 3}{2} = \log 3^{1/2} = \log \sqrt{3}$। चूँकि $f'(x) = 1/x$,इसलिए $1/c = \log \sqrt{3} \implies c = 1/\log \sqrt{3} = \log_3 e^2$। अतः,$B-III$।$C. f(x) = x^2+x+1$. $f'(c) = \frac{f(3)-f(1)}{3-1} = \frac{(9+3+1)-(1+1+1)}{2} = \frac{13-3}{2} = 5$। चूँकि $f'(x) = 2x+1$,इसलिए $2c+1 = 5 \implies 2c = 4 \implies c = 2$। अतः,$C-II$।$D. f(x) = e^x$. $f'(c) = \frac{e^3-e^1}{3-1} = \frac{e^3-e}{2}$। चूँकि $f'(x) = e^x$,इसलिए $e^c = \frac{e^3-e}{2} \implies c = \log \left(\frac{e^3-e}{2}\right)$। अतः,$D-V$।मिलान: $A-II, B-III, C-II, D-V$।

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मान लीजिए $f(x)=x^3+2x^2-x$ एक वास्तविक मान वाला फलन है। तो,$(-1,2)$ में लैग्रेंज के स्थिरांक $C$ का मान है

यदि फलन $f(x) = x(x+3) e^{-\frac{x}{2}}$,$[-3, 0]$ में रोले के प्रमेय की सभी शर्तों को संतुष्ट करता है,तो $c$ का मान ज्ञात कीजिए।

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फलन $f(x) = x(x+3)(x-2)$ के लिए अंतराल $[-1, 4]$ में लैग्रेंज माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ लागू होने के लिए $c$ का मान ज्ञात कीजिए:

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