$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ तीन सदिश हैं,जिनमें से प्रत्येक का परिमाण $\sqrt{2}$ है,इस प्रकार कि $(\vec{a}, \vec{b})=(\vec{b}, \vec{c})=(\vec{c}, \vec{a})=\frac{\pi}{3}$ है। यदि $\vec{x}=\vec{a} \times(\vec{b} \times \vec{c})$ और $\vec{y}=\vec{b} \times(\vec{c} \times \vec{a})$ है,तो

माना $\vec{a}=\hat{i}+2 \hat{j}+\lambda \hat{k}$,$\vec{b}=3 \hat{i}-5 \hat{j}-\lambda \hat{k}$,$\vec{a} \cdot \vec{c}=7$,$2 \vec{b} \cdot \vec{c}+43=0$,और $\vec{a} \times \vec{c}=\vec{b} \times \vec{c}$ है। तो $|\vec{a} \cdot \vec{b}|$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $\overrightarrow{a}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ और $\overrightarrow{b}=\lambda \hat{j}+2 \hat{k}$,जहाँ $\lambda \in \mathbb{Z}$,दो सदिश हैं। मान लीजिए $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$ और $\overrightarrow{d}$,$yz$-समतल में $2$ परिमाण वाला एक सदिश है। यदि $|\overrightarrow{c}|=\sqrt{53}$ है,तो $(\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{d})^2$ का अधिकतम संभव मान क्या है?

मान लीजिए $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ तीन सदिश इस प्रकार हैं कि $|\vec{a}|=\sqrt{3}$,$|\vec{b}|=5$,$\vec{b} \cdot \vec{c}=10$ और $\vec{b}$ तथा $\vec{c}$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{3}$ है। यदि $\vec{a}$,सदिश $\vec{b} \times \vec{c}$ के लंबवत है,तो $|\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})|$ का मान ज्ञात कीजिए।

सदिश $2 \hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k}$ का,सदिशों $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ और $\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$ को समाहित करने वाले समतल के लंबवत सदिश पर प्रक्षेप का परिमाण ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\vec{a} = 3 \hat{i} + 4 \hat{j} - 5 \hat{k}$ और $\vec{b} = 2 \hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k}$ है। $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के समतल के लंबवत सदिश पर सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के योग का प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।