यदि एक चर बिंदु $P$ की बिंदु $(1, 1)$ और रेखा $x-y+2=0$ से दूरियों का अनुपात $1: \sqrt{2}$ है,तो $P$ के बिंदु पथ का समीकरण ज्ञात कीजिए।

एक बिंदु इस प्रकार गति करता है कि बिंदुओं $(1, 2)$ और $(-2, 1)$ से उसकी दूरियों के वर्गों का योग सदैव $6$ रहता है। तब,उसका बिंदुपथ है

एक गतिमान बिंदु की दो स्थिर बिंदुओं $A(a, 0)$ और $B(-a, 0)$ से दूरियों के वर्गों का योग एक स्थिरांक $2c^2$ के बराबर है,तो इसके बिंदुपथ का समीकरण ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $A = (a, 0)$ और $B = (-a, 0)$ दो स्थिर बिंदु हैं। $a \in (-\infty, 0)$ के लिए,बिंदु $P(x, y)$ समतल में इस प्रकार गति करता है कि $PA = nPB$ $(n \neq 0, n \neq 1)$। यदि $0 < n < 1$ है,तो $P$ के बिंदुपथ के बारे में निम्नलिखित में से क्या सत्य है?

$\triangle ABC$ की भुजा $AB$ स्थिर है और इसकी लंबाई $2a$ इकाई है। शीर्ष $C$ समतल में इस प्रकार गति करता है कि ऊर्ध्वाधर कोण $\angle ACB$ हमेशा स्थिर रहता है और $\alpha$ के बराबर है। मान लीजिए कि $x$-अक्ष $AB$ के अनुदिश है और मूल बिंदु $A$ पर है। तब शीर्ष $C$ का बिंदु पथ क्या है?

माना $T'$ बिंदु $P(-2, 7)$ और $Q(2, -5)$ से गुजरने वाली रेखा है। माना $F_1$ वृत्तों के सभी युग्मों $(S_1, S_2)$ का समुच्चय है,जैसे कि $T'$,$S_1$ को $P$ पर और $S_2$ को $Q$ पर स्पर्श करती है,और $S_1$ तथा $S_2$ एक-दूसरे को बिंदु $M$ पर स्पर्श करते हैं। माना $E_1$,$M$ का बिंदुपथ है जैसे-जैसे $(S_1, S_2)$,$F_1$ में परिवर्तित होता है। माना $E_1$ के दो भिन्न बिंदुओं को जोड़ने वाले और बिंदु $R(1, 1)$ से गुजरने वाले सभी रेखाखंडों का समुच्चय $F_2$ है। माना $E_2$,$F_2$ में रेखाखंडों के मध्य-बिंदुओं का समुच्चय है। तो,निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन $TRUE$ है/हैं?