$\int_{-\pi / 15}^{\pi / 15} \frac{\cos 5 x}{1+e^{5 x}} d x=$

निम्नलिखित निश्चित समाकल का मान ज्ञात कीजिए: $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{\frac{3}{2}} x}{\sin ^{\frac{3}{2}} x+\cos ^{\frac{3}{2}} x} d x$

$\int_2^8 \frac{5^{\sqrt{10-x}}}{5^{\sqrt{x}}+5^{\sqrt{10-x}}} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

कथन $(A)$: $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{2}} [2 \sin x] dx = 0$,जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है।
कारण $(R)$: $2 \sin x$,$\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]$ अंतराल में एक ह्रासमान फलन है।

यदि $f(x)$ एक निरंतर आवर्ती फलन है जिसका आवर्तकाल $T$ है,तो समाकलन $I = \int_a^{a + T} {f(x)\,dx} $ है

मान लीजिए कि $f, f', f''$ अंतराल $[0, \ln 2]$ में सतत हैं और $f(0) = 0, f'(0) = 3, f(\ln 2) = 6, f'(\ln 2) = 4$ तथा $\int_{0}^{\ln 2} e^{-2x} f(x) dx = 3$ है,तो $\int_{0}^{\ln 2} e^{-2x} f''(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।