int_{-pi / 8}^{pi / 8} frac{sin ^4(4 x)}{1+e^ | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{8}} \frac{\sin ^4(4 x)}{1+e^{4 x}} d x$ ....$(i)$गुणधर्म $\int_a^b f(x) d x = \int_a^b f(a+b-x) d x$ क

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$\frac{3 \pi}{64}$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{8}} \frac{\sin ^4(4 x)}{1+e^{4 x}} d x$ ....$(i)$गुणधर्म $\int_a^b f(x) d x = \int_a^b f(a+b-x) d x$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = -\frac{\pi}{8}$ और $b = \frac{\pi}{8}$,हमें $a+b = 0$ प्राप्त होता है।$I = \int_{-\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{8}} \frac{\sin ^4(-4 x)}{1+e^{-4 x}} d x = \int_{-\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{8}} \frac{\sin ^4(4 x)}{1+\frac{1}{e^{4 x}}} d x = \int_{-\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{8}} \frac{e^{4 x} \sin ^4(4 x)}{e^{4 x}+1} d x$ ....(ii)$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:$2I = \int_{-\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{8}} \frac{(1+e^{4 x}) \sin ^4(4 x)}{1+e^{4 x}} d x = \int_{-\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{8}} \sin ^4(4 x) d x$चूँकि $\sin^4(4x)$ एक सम फलन है,$2I = 2 \int_0^{\frac{\pi}{8}} \sin ^4(4 x) d x$,इसलिए $I = \int_0^{\frac{\pi}{8}} \sin ^4(4 x) d x$ प्राप्त होता है।माना $4x = t$,तो $4 dx = dt$,अर्थात $dx = \frac{1}{4} dt$. जब $x=0, t=0$; जब $x=\frac{\pi}{8}, t=\frac{\pi}{2}$.$I = \frac{1}{4} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^4 t d t$.वालिस के सूत्र $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n t dt = \frac{(n-1)!!}{n!!} 	imes \frac{\pi}{2}$ (जहाँ $n$ सम है) का उपयोग करते हुए:$I = \frac{1}{4} 	imes \left( \frac{3 	imes 1}{4 	imes 2} 	imes \frac{\pi}{2} ight) = \frac{1}{4} 	imes \frac{3 \pi}{16} = \frac{3 \pi}{64}$.

$\int_{-\pi / 8}^{\pi / 8} \frac{\sin ^4(4 x)}{1+e^{4 x}} d x=$

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यदि $f(a + b - x) = f(x)$ है,तो $\int_{a}^{b} x f(x) dx$ किसके बराबर है?

$\int_{-1}^3 \left(\tan^{-1}\left(\frac{x}{x^2+1}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{x^2+1}{x}\right)\right) dx =$

निश्चित समाकल $\int_{-3}^{1} (2(t+1)^5 - 5(t+1)^3 + t + 3) dt$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{0}^{\pi} \frac{x \, dx}{a^{2} \cos ^{2} x+b^{2} \sin ^{2} x}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt[3]{\sec x}}{\sqrt[3]{\sec x}+\sqrt[3]{\operatorname{cosec} x}} d x=$

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