एक वृत्त S equiv x^2+y^2+2gx+2fy+6=0 दूसरे वृ | vedclass

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Question

(A) दो वृत्त $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ और $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ लंबकोणीय रूप से प्रतिच्छेद करते हैं यदि $2(g_1g_2+f_1f_2) = c_1+c_2$ हो। प्रथम

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$2$

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(A) दो वृत्त $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ और $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ लंबकोणीय रूप से प्रतिच्छेद करते हैं यदि $2(g_1g_2+f_1f_2) = c_1+c_2$ हो। प्रथम युग्म के लिए: $2(g(-3) + f(-3)) = 6 - 6 = 0$,अतः $g+f=0$,जिसका अर्थ है $f=-g$। वृत्त $S$ का समीकरण $x^2+y^2+2gx-2gy+6=0$ है। त्रिज्या $r_1 = \sqrt{g^2+(-g)^2-6} = \sqrt{2g^2-6}$ है। दूसरा वृत्त $x^2+y^2+6x+6y+2=0$ है,जिसका केंद्र $C_2(-3, -3)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{3^2+3^2-2} = \sqrt{16} = 4$ है। केंद्रों $C_1(-g, g)$ और $C_2(-3, -3)$ के बीच की दूरी $d^2 = (-g+3)^2 + (g+3)^2 = 2g^2+18$ है। कोज्या नियम का उपयोग करने पर: $\cos 	heta = \frac{r_1^2+r_2^2-d^2}{2r_1r_2}$। $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2} = \frac{(2g^2-6) + 16 - (2g^2+18)}{8r_1} = -\frac{1}{r_1}$। अतः,$r_1 = 2$ प्राप्त होता है।

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वृत्त $x^2+y^2=16$ और दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{4}=1$ की उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा का समीकरण है

यदि रेखाएँ $kx + 2y - 4 = 0$ और $5x - 2y - 4 = 0$ वृत्त $x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0$ के सापेक्ष संयुग्मी (conjugate) हैं,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

$(0, 3)$ पर केंद्र वाले और दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ की नाभियों से होकर गुजरने वाले वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

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