यदि रेखाओं $r = \hat{i} - 6\hat{j} + (p \sec \alpha) \hat{k} + t(\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k})$ और $r = 4\hat{j} + \hat{k} + \lambda(2\hat{i} + (p \tan \alpha) \hat{j} + 2\hat{k})$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $8\hat{i} + 8\hat{j} + 9\hat{k}$ है,(जहाँ $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$),तो $p =$

एक समतल $\pi$ बिंदुओं $A(1, -2, 3)$ और $B(6, 4, 5)$ से होकर गुजरता है। यदि समतल $\pi$,समतल $3x - y + z = 2$ के लंबवत है,तो $(0, 0, 0)$ से समतल $\pi$ की लंबवत दूरी ज्ञात कीजिए।

रेखा $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{-1} = \frac{z}{1}$ पर स्थित एक बिंदु $P$ से समतल $x + y + z = 3$ पर एक लंब खींचा जाता है,ताकि लंब का पाद $Q$ समतल $x - y + z = 3$ पर भी स्थित हो। तो $Q$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

माना $P$ एक समतल है जो बिंदुओं $(1,0,1), (1,-2,1)$ और $(0,1,-2)$ से होकर गुजरता है। माना एक सदिश $\vec{a} = \alpha \hat{i} + \beta \hat{j} + \gamma \hat{k}$ इस प्रकार है कि $\vec{a}$,समतल $P$ के समांतर है,$(\hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k})$ के लंबवत है और $\vec{a} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + 2 \hat{k}) = 2$ है,तो $(\alpha - \beta + \gamma)^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि बिंदुओं $P(2, 4, 1)$ और $Q(3, 8, 1)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को समतल $3x - ky - 6z = 0$ द्वारा $4:5$ के अनुपात में बाह्यतः विभाजित किया जाता है,तो $k=$

मान लीजिए $P$ एक समतल $lx + my + nz = 0$ है जिसमें रेखा $\frac{1-x}{1} = \frac{y+4}{2} = \frac{z+2}{3}$ स्थित है। यदि समतल $P$,बिंदुओं $A(-3, -6, 1)$ और $B(2, 4, -3)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड $AB$ को $k : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।